Intégration, théorie de la mesure

L3 MASS Année 2012-2013
Olivier ROBERT
Intégration, théorie de la mesure
1 Généralités, rappels
1.1 Intégrale des fonctions continues sur un segment
Soit a, b ∈R,a<b. On rappelle que toute fonction continue f: [a, b]→
Radmet une primitive Fsur [a, b], et que si Gest une autre primitive sur
[a, b], alors la fonction F−Gest constante.
Ainsi, la quantité F(b)−F(a)est indépendante de la primitive choisie
et on pose
Zb
a
f(x)dx:= F(b)−F(a).
1.2 Intégrale des fonctions en escaliers
Soit a, b deux réels tels que a<b. On dit qu’une fonction ϕ: [a, b]→R
est en escalier s’il existe une subdivision σ={x0=a < x1< x2<· · · <
xn−1< xn=b}et une suite finie de réels {λj}06j6n−1tels que
ϕ(x) = λjpour tout x∈]xj, xj+1[ (0 6j6n−1).
Un telle subdivision σest dite adaptée àϕ. Cette subdivision n’est pas
unique : par exemple, en ajoutant des points à la subdivision, on obtient
encore une subdivision adaptée.
Proposition 1.1 L’ensemble Esc([a, b]) des fonctions en escalier sur [a, b]
est une sous-algèbre de l’algèbre B([a, b]) des fonctions bornées sur [a, b].
Proposition 1.2 Soit ϕ∈Esc([a, b]) et σ={x0=a < x1< x2<· · · <
xn−1< xn=b}une subdivision adaptée, et {λj}06j6n−1tels que
ϕ(x) = λjpour tout x∈]xj, xj+1[ (0 6j6n−1).
La quantité
n−1
X
j=0
λj(xj+1 −xj)
est indépendante de la subdivision adaptée choisie. On l’appelle intégrale de
ϕsur [a, b]et on la note
Zb
a
ϕ(x)dx.
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2 Intégrale de Riemann dans R
Définition 2.1 Soit f: [a, b]→Rune fonction bornée. On dit que fest
Riemann intégrable si et seulement si
∀ε > 0∃gε, Gε∈Esc([a, b]) : gε6f6Gε,Zb
aGε(x)−gε(x)dx6ε.
On note R([a, b]) l’espace des fonctions Riemann intégrables sur [a, b].
Proposition 2.2 Soit f∈R([a, b]). Alors les deux quantités
sup
g6f
g∈Esc([a,b]) Zb
a
g(x)dxet inf
G>f
g∈Esc([a,b]) Zb
a
G(x)dx
existent et sont égales. Leur valeur commune est appelée intégrale de Rie-
mann de fsur [a, b]et on la note
Zb
a
f(x)dx.
Théorème 2.3 On a les résultat suivants :
1. L’espace R([a, b]) est une sous-algèbre de l’algèbre B([a, b]) des fonc-
tions bornées sur [a, b].
2. L’application f7→ Rb
af(t)dtest linéaire sur R([a, b]),
3. Si f∈R([a, b]) et f>0, alors Rb
af(t)dt>0
4. Pour tout f∈R([a, b]), on a
Zb
a
f(t)dt 6(b−a)kfk∞
5. L’intégrale de Riemann satisfait à la relation de Chasles.
Théorème 2.4 Toute fonction continue sur [a, b]est Riemann intégrable
sur [a, b], et son intégrale coincide avec son intégrale usuelle. De manière
générale, toute fonction f: [a, b]→Radmettant une limite à droite en a,
une limite à gauche en b, et une limite à droite et à gauche en tout x∈]a, b[
est Riemann intégrable.
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Remarque. Une fonction f: [a, b]→Radmettant une limite à droite
en a, une limite à gauche en b, et une limite à droite et à gauche en tout
x∈]a, b[est appelée une fonction réglée sur [a, b].
- Un exemple de fonction Riemann intégrable qui n’est pas réglée : nous
avons vu que la fonction f: [0,1] →Rdéfinie par f(x) = sin(1/x)pour
x6= 0 et f(0) = 0 n’est pas réglée, mais nous allons montrer que cette
fonction est Riemann-intégrable.
- un exemple de fonction qui n’est pas Riemann intégrable : la fonction
indicatrice des rationnels sur [0,1].
2.1 Changement de variables
Soient quatre réels a < b et α < β. Soit f∈R([a, b]) et ϕ: [α, β]→[a, b]
une bijection monotone de classe C1. On a
Zb
a
f(x)dx=Zβ
α
fϕ(t)|ϕ0(t)|dt.
ut
3 Ensembles négligeables dans R
3.1 Définition des ensembles négligeables
Pour tout intervalle Ide R, on note λ(I)sa longueur : λ]a, b[=b−a.
Définition 3.1 Soit Eune partie de R. On dit que Eest négligeable si pour
tout ε > 0il existe une famille dénombrable (Ij)j∈Jd’intervalles ouverts tels
que
E⊂[
j∈J
Ij
et tels que
X
j∈J
λ(Ij)6ε.
Proposition 3.2 Une union dénombrable d’ensembles négligeables de Rest
négligeable.
ut
Premiers exemples :
3

– Tout ensemble fini est négligeable. En effet si E={x1, x2,...xk},
alors pour tout ε > 0
E⊂
k
[
j=1 xj−ε
2k, xj+ε 2k
et k
X
j=1
λxj−ε
2k, xj+ε 2k6ε.
– Tout ensemble dénombrable est négligeable. En effet, tout singleton
est négligeable, et tout union dénombrable d’ensembles négligeables
est négligeable.
Remarque 3.3 Il existe des parties de Rqui sont négligeables, mais non
dénombrables.
Définition 3.4 Dans l’ensemble des nombres réels, si une propriété est
vraie sur Rprivé d’un ensemble négligeable, on dira que cette propriété est
vraie presque partout et on notera pp après cette propriété.
Exemple : la fonction
x7→ f(x) := 1 si x∈Qet f(x) := 0 si x∈RrQ
est nulle sauf sur Q, qui est négligeable, donc on note
f(x)=0 pp.
On dit aussi que f(x)est nul pour presque tout x.
La notion d’ensemble négligeable est une notion centrale dans la théorie
de l’intégration : cette notion va nous permettre dans un chapitre suivant
d’étendre la définition de l’intégrale à une classe plus vaste de fonctions.
3.2 Une caractérisation des fonctions Riemann-intégrables
Théorème 3.5 ( Lebesgue-Vitali) Soit f∈B([a, b]). Alors fest Riemann-
intégrable si et seulement si fest continue presque partout, i.e. , l’ensemble
de ses points de discontinuité est un ensemble négligeable.
ut
Remarque. On retrouve plus facilement les exemples de fonctions consi-
dérées précédemment.
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4 Intégrale de Riemann généralisée dans R
L’intégrale de Riemann intervient dans le cadre des fonctions bornées sur
un intervalle bornée. Nous cherchons ici à étendre par passage à la limite la
notion d’intégrale pour certaines fonctions non bornées, ou sur des intervalles
non bornés.
Définition 4.1 Soit Iun intervalle d’intérieur non vide. Soit f:I→R
une fonction. On dit que fest localement Riemann-intégrable sur Isi f∈
R[a, b]pour tout [a, b]⊂I.
Remarque. Si une fonction est localement bornée sur Iet continue presque
partout, alors elle est localement intégrable sur I.
Définition 4.2 Soit f: [a, +∞[→Rune fonction localement Riemann in-
tégrable sur [a, +∞[. On dit que fpossède une intégrale de Riemann géné-
ralisée sur [a, +∞[si Rb
af(t)dttend vers une limite finie lorsque b→+∞.
Cette limite est alors notée R+∞
af(t)dt.
De même, lorsque fest localement Riemann intégrable sur [a, b[, on dit que f
possède une intégrale de Riemann généralisée sur [a, b[si Rc
af(t)dttend vers
une limite finie lorsque ctend vers b. Cette limite est alors notée Rb
af(t)dt.
Définition 4.3 Soit fune fonction à valeurs réelles localement intégrable
sur ]a, b[. On dit que fpossède une intégrale généralisée si et seulement si
pour tout c∈]a, b[les intégrales Rc
af(t)dtRb cf(t)dtconvergent. Dans ce cas,
on pose
Zb
a
f(t)dt=Zc
a
f(t)dt+Zb
c
f(t)dt
qui est indépendant du point cchoisi.
Cette définition se généralise aisément au cas des intervalles ]a, +∞[,]−
∞, a[et R.
Exemple. Étude de
Z+∞
−∞
dx
1 + x2·
Remarque 4.4 Si f∈R([a, b]), alors |f| ∈ R([a, b]). Ainsi, si fest locale-
ment Riemann intégrable sur un intervalle I, il en est de même de |f|.
Définition 4.5 Soit fune fonction à valeurs réelles localement intégrable
sur un intervalle I. On dit que l’intégrale RIf(t)dtest absolument conver-
gente si |f|possède une intégrale généralisée sur I.
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