Des nombres entiers aux réels - Département de mathématiques et

DES NOMBRES ENTIERS NATURELS AUX NOMBRES RÉELS
CHAPITRE 1
M. Delfour
Département de mathématiques et de statistique
Université de Montréal
7 janvier 2012
M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels 7 janvier 2012 1 / 94
PLAN
1LES NOMBRES ENTIERS NATURELS N(+,·, <)
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
2LES NOMBRES ENTIERS Z(+,·, <)
3LES NOMBRES RATIONNELS Q(+,·, <)
4LES NOMBRES RÉELS R(+,·, <)
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
5CARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
Rn’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu cet cardinaux transfinis
ℵ0,ℵ1,ℵ2,ℵ3,···, hypothèse du continu, et axiome du choix
6RÉFÉRENCES
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NOMBRES ENTIERS NATURELS
L’ADDITION
Ndéf ={1,2,3,...}.
L’ addition + : N×N→N
∀x,y∈N,x+y∈N
Les propriétés de l’addition :
P1 (commutativité) x+y=y+x
P2 (associativité) (x+y) + z=x+ (y+z).
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NOMBRES ENTIERS NATURELS
LA MULTIPLICATION
La multiplication ·:N×N→N.
∀x,y∈N,x·y∈N.
Les propriétés de la multiplication :
P1 (commutativité) x·y=y·x
P2 (associativité) (x·y)·z=x·(y·z).
P4 (élément neutre multiplicatif)∃1∈Ntel que ∀x∈N,x·1=x
La propriété de la multiplication par rapport à l’addition :
P3 (distributivité) x·(y+z) = x·y+x·z
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NOMBRES ENTIERS NATURELS
LES RELATIONS D’ORDRE
Définition de la relation d’ordre (strict) sur N(<)
x<ys’il existe n∈Ntel que y=x+n
Elle est transitive, c’est-à-dire si p<qet q<r, alors p<r.
Définition de la seconde relation d’ordre sur N(≤)
x≤ysi x=you x<y
Elle est aussi transitive, c’est-à-dire si p≤qet q≤r, alors p≤r.
Il n’est cependant pas toujours possible pour deux entiers aet bdans Nde trouver
x∈Ntel que (ou résoudre l’équation)
a+x=b.
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PLAN
1LES NOMBRES ENTIERS NATURELS N(+,·, <)
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
2LES NOMBRES ENTIERS Z(+,·, <)
3LES NOMBRES RATIONNELS Q(+,·, <)
4LES NOMBRES RÉELS R(+,·, <)
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
5CARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
Rn’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu cet cardinaux transfinis
ℵ0,ℵ1,ℵ2,ℵ3,···, hypothèse du continu, et axiome du choix
6RÉFÉRENCES
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NOMBRES ENTIERS
L’INVERSE ADDITIF
Nous allons donc enrichir les entiers naturels en introduisant les notions d’élément
neutre et d’inverse.
L’existence de l’élément neutre 0 pour l’addition :
P4 (élément neutre additif) ∃0 tel que ∀x∈N,x+0=x
L’existence d’un inverse pour l’addition :
P5 (existence d’un inverse additif) ∀x∈N,∃ − x
tel que x+ (−x) = 0.
On peut alors définir l’opération −:Z×Z→Z
∀x,y∈Z,x−ydéf =x+ (−y).
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NOMBRES ENTIERS
LES RELATIONS D’ORDRE
On a donc construit les nombres entiers
Zdéf ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.
Les définitions d’ordre demeurent les mêmes.
Définition de la relation d’ordre (strict) sur Z(<)
x<ys’il existe n∈Ntel que x+n=y
Définition de la seconde relation d’ordre sur Z(≤)
x≤ysi x=you x<y.
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NOMBRES ENTIERS
LES PROPRIÉTÉS
On a donc les propriétés suivantes.
P1 (commutativité) x+y=y+xet x·y=y·x
P2 (associativité) (x+y) + z=x+ (y+z)et
(x·y)·z=x·(y·z)
P3 (distributivité) x·(y+z) = x·y+x·z
P4 (élément neutre) - additif ∃0 tel que ∀x∈Z,0+x=x
-multiplicatif ∃1 tel que ∀x∈Z,1·x=x
P5 (∃un inverse additif) ∀x∈Z,∃ − xtel que x+ (−x) = 0
P6 (relation d’ordre) 8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
a) ∀x,y∈Ztel que x>0 et y>0
x+y>0
b) ∀x∈Z
une seule propriété est vraie :
x>0,x=0,ou 0 >x.
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PLAN
1LES NOMBRES ENTIERS NATURELS N(+,·, <)
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
2LES NOMBRES ENTIERS Z(+,·, <)
3LES NOMBRES RATIONNELS Q(+,·, <)
4LES NOMBRES RÉELS R(+,·, <)
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
5CARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
Rn’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu cet cardinaux transfinis
ℵ0,ℵ1,ℵ2,ℵ3,···, hypothèse du continu, et axiome du choix
6RÉFÉRENCES
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NOMBRES RATIONNELS
CONSTRUCTION
Il n’est cependant pas toujours possible pour deux entiers aet bdans Zde trouver
x∈Ztel que (ou résoudre l’équation)
a·x=b.
EXEMPLE
Si a=0, on a deux cas : ou bien b=0 et tous les x∈Zsont solution ou bien b6=0 et
il n’y a pas de solution.
Si a=2 et b=1, il n’y a pas non plus de solution x∈Z.
On ajoute à Zles nombres de la forme p/qavec p,q∈Z,q6=0. On forme ensuite
les classes d’équivalence
[p/q]déf =˘p′/q′:pq′=p′q¯.
On obtient ainsi l’ensemble des nombres rationnels
Qdéf ={[p/q] : ∀p∈Zet ∀q∈Ztel que q6=0}.
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NOMBRES RATIONNELS
FORME RÉDUITE
Il y a donc plusieurs représentantsdans chaque classe d’équivalence ou plusieurs
façons d’écrire un nombre rationnel donné.
On écrira
(p,q)
pour le plus grand commun diviseur de deux entiers positifs pet qnon nuls.
Afin d’obtenir l’unicité du représentant p/q, on peut procéder de la façon suivante :
a) si p=0, on écrit 0/1
b) si p6=0,
i) on choisit d’abord le signe +ou −
ii) on se ramène à p/q, pour p,q∈N
iii) on simplifie la fraction autant que possible en divisant pet qpar leur plus grand
commun diviseur (p,q).
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NOMBRES RATIONNELS
LA STRUCTURE +,·, <
La structure (+,·, <)sur Qsubsiste.
L’ addition
[p1/q1] + [p2/q2]déf = [(p1·q2+p2·q1)/q1q2]
la multiplication
[p1/q1]·[p2/q2]déf = [p1·p2/q1·q2]
la relation d’ordre
[p1/q1]<[p2/q2]si (p1·q2−p2·q1<0 lorsque q1·q2>0
p1·q2−p2·q1>0 lorsque q1·q2<0.
Elle est aussi transitive, c’est-à-dire
p1
q1<p2 q2et p2 q2<p3 q3,⇒p1 q1<p3 q3.
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NOMBRES RATIONNELS
LES PROPRIÉTÉS
P1 (commutativité) x+y=y+xet x·y=y·x
P2 (associativité) ((x+y) + z=x+ (y+z)
et (x·y)·z=x·(y·z)
P3 (distributivité) x·(y+z) = x·y+x·z
P4 (éléments neutres) ((additif) ∃0∈Qtel que ∀x∈Q,0+x=x
(multiplicatif) ∃1∈Qtel que ∀x∈Q,x·1=x
P5 (existence d’inverses) 8
>
>
<
>
>
:
(additif) ∀x∈Q,∃ − x∈Qtel que x+ (−x) = 0
(multiplicatif) ∀x∈Q,x6=0,∃x−1∈Q
tel que x·x−1=1
P6 (relation d’ordre) 8
>
>
>
<
>
>
>
:
a) ∀x,y∈Qtel que x>0 et y>0,on a
x+y>0et x·y>0
b) ∀x∈Q,une seule propriété est vraie :
x>0,x=0,ou 0 >x.
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NOMBRES RATIONNELS
LA DIVISION
La relation d’ordre <possède la propriété que pour tout pet qdans Q, on a
p=q,p<q,ou q<p.
Elle est aussi transitive, c’est-à-dire
p<qet q<r⇒p<r.
On peut définir l’opération division ÷:Z×Z\{0} → Q
∀x,y∈Z,y6=0,x÷ydéf = [x/y].
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NOMBRES RATIONNELS
LES INTERMÉDIAIRES ET LES TROUS
En général, dans Net dans Z, il n’y a pas toujours d’élément entre deux éléments
distincts : par exemple, entre 1 et 2. Ce n’est pas le cas de Q.
THÉORÈME
Soient a et b dans Qtel que a<b. Alors il existe c∈Qtel que a<c<b.
DÉMONSTRATION.
On prend c= (a+b)/2 qui appartient bien à Q. Alors, il est facile de vérifier à partir de
la définition que a+b<2bet 2a<a+b. De là en divisant par 2,
a<(a+b)/2<b.
Ce premier résultat inciterait à croire qu’il n’y a pas de trous entre deux nombres
rationnels distincts. Ce n’est cependant pas le cas et c’est ce qui va motiver la
construction des nombres réels.
THÉORÈME
Il n’existe pas de x ∈Qtel que x2=2ou de façon équivalente
∀x∈Q,x26=2.
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NOMBRES RATIONNELS
√2/∈Q
DÉMONSTRATION.
On note d’abord que si m∈Zest pair, alors m2est pair. Si m∈Zest impair, alors
m=2k+1 pour un k∈Zet
m2= (2k+1)2=4·(k2+k) + 1
est impair. Ceci implique que m∈Zest impair (resp. pair) si et seulement si m2est
impair (resp. pair).
On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il existe x∈Qtel que x2=2. Alors xest de
la forme m/npour met ndans Z,n6=0. On prend maintenant xsous sa forme réduite
m/noù le plus grand commun diviseur (m,n)de met nest 1. On obtient alors
m2=2·n2ce qui entraîne que mest pair.
Il existe donc r∈Ztel que m=2r.
De l’équation (m/n)2=2, il vient
4r2=2n2⇒2r2=n2
et on en conclut que n2et a fortiori nsont pair.
Comme mest aussi pair, le plus grand commun diviseur (m,n)≥2 et cela contredit le
choix initial d’une forme réduite pour x=m/ntelle que (m,n) = 1.
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NOMBRES RATIONNELS
√2/∈Q
On en arrive alors au résultat suivant.
THÉORÈME
i) Il n’existe pas de plus grand nombre rationnel positif de carré inférieur ou égal à2.
ii) Il n’existe pas de plus petit nombre rationnel positif de carré supérieur ou égal à2.
En d’autres termes, pour tout r∈Qtel que r2≤2, on a −√2<r<√2.
DÉMONSTRATION.
(i) Soient Q+={x∈Q:x≥0}et A={p∈Q+:p2≤2}. Du Théorème 42 on sait
que A={p∈Q+:p2<2}. Prenons p∈Aet montrons que nous pouvons toujours lui
associer un nombre q∈Atel que p<q, ce qui montrerait qu’il n’y a pas de plus grand
élément dans A.
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NOMBRES RATIONNELS
√2/∈Q
DÉMONSTRATION.
(i) Soient Q+={x∈Q:x≥0}et A={p∈Q+:p2≤2}. Du Théorème 42 on sait
que A={p∈Q+:p2<2}. Prenons p∈Aet montrons que nous pouvons toujours lui
associer un nombre q∈Atel que p<q, ce qui montrerait qu’il n’y a pas de plus grand
élément dans A.
Associons à p∈Ale nombre rationnel
qdéf =p−p2−2
p+2=p+2−p2 p+2>p
puisque p2−2<0 et p+2>0.
Pour conclure, il faut maintenant montrer que q∈A. On estime la différence
q2−2=„p−p2−2
p+2«2
−2=„2p+2
p+2«2
−2
=4p2+8p+4−2(p2+4p+4)
(p+2)2=2(p2−2) (p+2)2<0.
˛˛˛˛˛˛˛˛˛
⇒
q∈A
et
p<q.
Il n’y a donc pas de plus grand élément dans A.
(ii) La démonstration est la même en commençant avec l’ensemble
B={p∈Q+:p2≥2}.
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NOMBRES RATIONNELS
BORNES INFÉRIEURES OU SUPÉRIEURES DANS Q?
Il y a cependant des nombres rationnels M∈Qtel que
∀p∈A={p∈Q+:p2<2},p≤M
et des nombres rationnels m∈Qtel que
∀p∈B={p∈Q+:p2>2},p≥m.
Il suffit de prendre par exemple M=2 et m=1. En effet, s’il existait un p∈Atel que
p>2, cela entraînerait p2>4 ce qui contredit la condition p2≤2.
Ces nombres Met msont respectivement une borne supérieure de Aet une borne
inférieure de B.
Ceci va nous amener naturellement à parler d’ensembles bornés supérieurement
(resp. inférieurement) et pour ce type d’ensembles de plus petite borne supérieure
(resp. plus grande borne inférieure).
Malheureusement, comme l’indique le Théorème 4, ces dernières bornes ne se
trouvent pas nécessairement dans Q.
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