Des nombres entiers aux réels - Département de mathématiques et

P LAN
1
L ES NOMBRES ENTIERS NATURELS N (+, ·, <)
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
2
D ES
3
NOMBRES ENTIERS NATURELS AUX NOMBRES RÉELS
4
C HAPITRE 1
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
M. Delfour
Département de mathématiques et de statistique
Université de Montréal
5
7 janvier 2012
6
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
L ES NOMBRES ENTIERS Z (+, ·, <)
L ES NOMBRES RATIONNELS Q (+, ·, <)
L ES NOMBRES RÉELS R(+, ·, <)
7 janvier 2012
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C ARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
R n’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu c et cardinaux transfinis
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , · · · , hypothèse du continu, et axiome du choix
R ÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
ENTIERS NATURELS
L’ADDITION
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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ENTIERS NATURELS
L A MULTIPLICATION
La multiplication · : N × N → N.
déf
∀x, y ∈ N,
N = {1, 2, 3, . . .}.
Les propriétés de la multiplication :
L’ addition + : N × N → N
∀x, y ∈ N,
x ·y =y ·x
P1 (commutativité)
x +y ∈N
P2 (associativité)
Les propriétés de l’addition :
P4 (élément neutre multiplicatif)
P1 (commutativité)
x +y =y +x
P2 (associativité)
(x + y ) + z = x + (y + z).
M. Delfour (Université de Montréal)
x · y ∈ N.
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
(x · y ) · z = x · (y · z).
∃ 1 ∈ N tel que ∀x ∈ N,
x ·1=x
La propriété de la multiplication par rapport à l’addition :
P3 (distributivité)
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M. Delfour (Université de Montréal)
x · (y + z) = x · y + x · z
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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N OMBRES
L ES
ENTIERS NATURELS
P LAN
RELATIONS D ’ ORDRE
1
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
Définition de la relation d’ordre (strict) sur N (<)
2
x < y s’il existe n ∈ N tel que y = x + n
3
4
Elle est transitive, c’est-à-dire si p < q et q < r , alors p < r .
Définition de la seconde relation d’ordre sur N (≤)
Elle est aussi transitive, c’est-à-dire si p ≤ q et q ≤ r , alors p ≤ r .
Il n’est cependant pas toujours possible pour deux entiers a et b dans N de trouver
x ∈ N tel que (ou résoudre l’équation)
5
a + x = b.
6
N OMBRES
L’INVERSE
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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L ES NOMBRES ENTIERS Z (+, ·, <)
L ES NOMBRES RATIONNELS Q (+, ·, <)
L ES NOMBRES RÉELS R(+, ·, <)
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
x ≤ y si x = y ou x < y
M. Delfour (Université de Montréal)
L ES NOMBRES ENTIERS NATURELS N (+, ·, <)
C ARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
R n’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu c et cardinaux transfinis
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , · · · , hypothèse du continu, et axiome du choix
R ÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
ENTIERS
L ES
ADDITIF
Nous allons donc enrichir les entiers naturels en introduisant les notions d’élément
neutre et d’inverse.
L’existence de l’élément neutre 0 pour l’addition :
P4 (élément neutre additif) ∃0 tel que ∀x ∈ N,
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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7 janvier 2012
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ENTIERS
RELATIONS D ’ ORDRE
On a donc construit les nombres entiers
déf
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } .
x +0=x
Les définitions d’ordre demeurent les mêmes.
Définition de la relation d’ordre (strict) sur Z (<)
L’existence d’un inverse pour l’addition :
P5 (existence d’un inverse additif) ∀x ∈ N, ∃ − x
x < y s’il existe n ∈ N tel que x + n = y
tel que x + (−x) = 0.
Définition de la seconde relation d’ordre sur Z (≤)
On peut alors définir l’opération − : Z × Z → Z
∀x, y ∈ Z,
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x ≤ y si x = y ou x < y .
déf
x − y = x + (−y ).
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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
N OMBRES
L ES
ENTIERS
P LAN
PROPRIÉTÉS
1
L ES NOMBRES ENTIERS NATURELS N (+, ·, <)
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
On a donc les propriétés suivantes.
x + y = y + x et x · y = y · x
P1 (commutativité)
2
(x + y ) + z = x + (y + z) et
P2 (associativité)
3
(x · y ) · z = x · (y · z)
x · (y + z) = x · y + x · z
P3 (distributivité)
P4 (élément neutre) - additif
- multiplicatif
P5 (∃ un inverse additif)
P6 (relation d’ordre)
4
∃0 tel que ∀x ∈ Z,
∃1 tel que ∀x ∈ Z,
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
0+x =x
1·x =x
∀x ∈ Z, ∃ − x tel que x + (−x) = 0
8
a) ∀x, y ∈ Z tel que x > 0 et y > 0
>
>
>
>
>
>
< x +y >0
b) ∀x ∈ Z
>
>
>
une seule propriété est vraie :
>
>
>
:
x > 0, x = 0, ou 0 > x.
5
6
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N OMBRES
L ES NOMBRES ENTIERS Z (+, ·, <)
L ES NOMBRES RATIONNELS Q (+, ·, <)
L ES NOMBRES RÉELS R(+, ·, <)
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C ARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
R n’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu c et cardinaux transfinis
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , · · · , hypothèse du continu, et axiome du choix
R ÉFÉRENCES
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N OMBRES
RATIONNELS
C ONSTRUCTION
FORME
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RATIONNELS
RÉDUITE
Il n’est cependant pas toujours possible pour deux entiers a et b dans Z de trouver
x ∈ Z tel que (ou résoudre l’équation)
a · x = b.
E XEMPLE
Si a = 0, on a deux cas : ou bien b = 0 et tous les x ∈ Z sont solution ou bien b 6= 0 et
il n’y a pas de solution.
Si a = 2 et b = 1, il n’y a pas non plus de solution x ∈ Z.
On ajoute à Z les nombres de la forme p/q avec p, q ∈ Z, q 6= 0. On forme ensuite
les classes d’équivalence
¯
déf ˘
[p/q] = p ′ /q ′ : pq ′ = p ′ q .
Il y a donc plusieurs représentants dans chaque classe d’équivalence ou plusieurs
façons d’écrire un nombre rationnel donné.
On écrira
(p, q)
pour le plus grand commun diviseur de deux entiers positifs p et q non nuls.
Afin d’obtenir l’unicité du représentant p/q, on peut procéder de la façon suivante :
a) si p = 0, on écrit 0/1
b) si p 6= 0,
i) on choisit d’abord le signe + ou −
ii) on se ramène à p/q, pour p, q ∈ N
iii) on simplifie la fraction autant que possible en divisant p et q par leur plus grand
commun diviseur (p, q).
On obtient ainsi l’ensemble des nombres rationnels
déf
Q = {[p/q] : ∀p ∈ Z et ∀q ∈ Z tel que q 6= 0} .
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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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N OMBRES
N OMBRES
RATIONNELS
L A STRUCTURE +, ·, <
L ES
RATIONNELS
PROPRIÉTÉS
La structure (+, ·, <) sur Q subsiste.
L’ addition
déf
[p1 /q1 ] + [p2 /q2 ] = [(p1 · q2 + p2 · q1 )/q1 q2 ]
P1 (commutativité)
la multiplication
P3 (distributivité)
P2 (associativité)
déf
[p1 /q1 ] · [p2 /q2 ] = [p1 · p2 /q1 · q2 ]
P4 (éléments neutres)
la relation d’ordre
[p1 /q1 ] < [p2 /q2 ] si
(
p1 · q2 − p2 · q1 < 0
lorsque q1 · q2 > 0
p1 · q2 − p2 · q1 > 0
lorsque q1 · q2 < 0.
P5 (existence d’inverses)
Elle est aussi transitive, c’est-à-dire
p2
p1
<
q1
q2
et
p2
p3
<
,
q2
q3
⇒
p1
p3
<
.
q1
q3
P6 (relation d’ordre)
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N OMBRES
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N OMBRES
RATIONNELS
L A DIVISION
L ES
x + y = y + x et x · y = y · x
(
(x + y ) + z = x + (y + z)
et (x · y ) · z = x · (y · z)
x · (y + z) = x · y + x · z
(
(additif) ∃ 0 ∈ Q tel que ∀x ∈ Q,
0+x =x
(multiplicatif) ∃ 1 ∈ Q tel que ∀x ∈ Q, x · 1 = x
8
>
> (additif) ∀x ∈ Q, ∃ − x ∈ Q tel que x + (−x) = 0
<
(multiplicatif) ∀x ∈ Q, x 6= 0, ∃x −1 ∈ Q
>
>
:
tel que x · x −1 = 1
8
a) ∀x, y ∈ Q tel que x > 0 et y > 0, on a
>
>
>
< x + y > 0 et x · y > 0
>
b) ∀x ∈ Q, une seule propriété est vraie :
>
>
:
x > 0, x = 0, ou 0 > x.
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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RATIONNELS
INTERMÉDIAIRES ET LES TROUS
En général, dans N et dans Z, il n’y a pas toujours d’élément entre deux éléments
distincts : par exemple, entre 1 et 2. Ce n’est pas le cas de Q.
T HÉORÈME
La relation d’ordre < possède la propriété que pour tout p et q dans Q, on a
Soient a et b dans Q tel que a < b. Alors il existe c ∈ Q tel que a < c < b.
p = q, p < q, ou q < p.
D ÉMONSTRATION .
Elle est aussi transitive, c’est-à-dire
p < q et q < r
On prend c = (a + b)/2 qui appartient bien à Q. Alors, il est facile de vérifier à partir de
la définition que a + b < 2b et 2a < a + b. De là en divisant par 2,
a < (a + b)/2 < b.
⇒ p < r.
On peut définir l’opération division ÷ : Z × Z \{0} → Q
∀x, y ∈ Z, y 6= 0,
Ce premier résultat inciterait à croire qu’il n’y a pas de trous entre deux nombres
rationnels distincts. Ce n’est cependant pas le cas et c’est ce qui va motiver la
construction des nombres réels.
déf
x ÷ y = [x/y ].
T HÉORÈME
Il n’existe pas de x ∈ Q tel que x 2 = 2 ou de façon équivalente
∀x ∈ Q,
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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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M. Delfour (Université de Montréal)
x 2 6= 2.
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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N OMBRES
√
2∈
/Q
N OMBRES
√
2∈
/Q
RATIONNELS
RATIONNELS
D ÉMONSTRATION .
On note d’abord que si m ∈ Z est pair, alors m2 est pair. Si m ∈ Z est impair, alors
m = 2k + 1 pour un k ∈ Z et
On en arrive alors au résultat suivant.
T HÉORÈME
m2 = (2k + 1)2 = 4 · (k 2 + k ) + 1
est impair. Ceci implique que m ∈ Z est impair (resp. pair) si et seulement si m2 est
impair (resp. pair).
On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il existe x ∈ Q tel que x 2 = 2. Alors x est de
la forme m/n pour m et n dans Z, n 6= 0. On prend maintenant x sous sa forme réduite
m/n où le plus grand commun diviseur (m, n) de m et n est 1. On obtient alors
m2 = 2 · n2 ce qui entraîne que m est pair.
Il existe donc r ∈ Z tel que m = 2r .
De l’équation (m/n)2 = 2, il vient
4 r 2 = 2 n2
⇒ 2 r 2 = n2
i) Il n’existe pas de plus grand nombre rationnel positif de carré inférieur ou égal à 2.
ii) Il n’existe pas de plus petit nombre rationnel positif de carré supérieur ou égal à 2.
√
√
En d’autres termes, pour tout r ∈ Q tel que r 2 ≤ 2, on a − 2 < r < 2.
D ÉMONSTRATION .
(i) Soient Q+ = {x ∈ Q : x ≥ 0} et A = {p ∈ Q+ : p 2 ≤ 2}. Du Théorème 42 on sait
que A = {p ∈ Q+ : p 2 < 2}. Prenons p ∈ A et montrons que nous pouvons toujours lui
associer un nombre q ∈ A tel que p < q, ce qui montrerait qu’il n’y a pas de plus grand
élément dans A.
et on en conclut que n2 et a fortiori n sont pair.
Comme m est aussi pair, le plus grand commun diviseur (m, n) ≥ 2 et cela contredit le
choix initial d’une forme réduite pour x = m/n telle que (m, n) = 1.
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N OMBRES
√
2∈
/Q
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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N OMBRES
RATIONNELS
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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RATIONNELS
BORNES INFÉRIEURES OU SUPÉRIEURES DANS
Q?
D ÉMONSTRATION .
(i) Soient Q+ = {x ∈ Q : x ≥ 0} et A = {p ∈ Q+ : p 2 ≤ 2}. Du Théorème 42 on sait
que A = {p ∈ Q+ : p 2 < 2}. Prenons p ∈ A et montrons que nous pouvons toujours lui
associer un nombre q ∈ A tel que p < q, ce qui montrerait qu’il n’y a pas de plus grand
élément dans A.
Associons à p ∈ A le nombre rationnel
p2 − 2
2 − p2
déf
q = p−
=p+
>p
p+2
p+2
puisque p 2 − 2 < 0 et p + 2 > 0.
Pour conclure, il faut maintenant montrer que q ∈ A. On estime la différence
˛
«2
«2
„
„
˛
2p + 2
p2 − 2
2
˛
q∈A
−2=
−2
q −2= p−
˛
p+2
p+2
˛
˛ ⇒ et
˛
2(p 2 − 2)
4p 2 + 8p + 4 − 2(p 2 + 4p + 4)
˛
p < q.
=
<
0.
=
˛
2
2
(p + 2)
(p + 2)
Il n’y a donc pas de plus grand élément dans A.
(ii) La démonstration est la même en commençant avec l’ensemble
B = {p ∈ Q+ : p 2 ≥ 2}.
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Il y a cependant des nombres rationnels M ∈ Q tel que
∀p ∈ A = {p ∈ Q+ : p 2 < 2},
p≤M
et des nombres rationnels m ∈ Q tel que
∀p ∈ B = {p ∈ Q+ : p 2 > 2},
p ≥ m.
Il suffit de prendre par exemple M = 2 et m = 1. En effet, s’il existait un p ∈ A tel que
p > 2, cela entraînerait p 2 > 4 ce qui contredit la condition p 2 ≤ 2.
Ces nombres M et m sont respectivement une borne supérieure de A et une borne
inférieure de B.
Ceci va nous amener naturellement à parler d’ensembles bornés supérieurement
(resp. inférieurement) et pour ce type d’ensembles de plus petite borne supérieure
(resp. plus grande borne inférieure).
Malheureusement, comme l’indique le Théorème 4, ces dernières bornes ne se
trouvent pas nécessairement dans Q.
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N OMBRES
P LAN
1
COUPURES DE
RÉELS
R ICHARD D EDEKIND
L ES NOMBRES ENTIERS NATURELS N (+, ·, <)
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
2
3
4
L ES NOMBRES ENTIERS Z (+, ·, <)
L ES NOMBRES RATIONNELS Q (+, ·, <)
L ES NOMBRES RÉELS R(+, ·, <)
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
5
6
F IGURE : Richard Dedekind, mathématicien allemand,1831-1916
Nous allons maintenant décrire rapidement la construction faite en 1858 par Richard
Dedekind qui va nous permettre de remplir les trous dans l’ensemble Q des rationnels
et construire les nombres réels en suivant, par exemple, la présentation de Rudin ou
(plus complet) de Landau. Dedekind reçut son doctorat en 1852 à Göttingen et il fut le
dernier élève de Gauss.
L’idée de base est de mettre en correspondance les nombres rationnels avec des
“coupures" de Q comme suit :
C ARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
R n’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu c et cardinaux transfinis
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , · · · , hypothèse du continu, et axiome du choix
R ÉFÉRENCES
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N OMBRES
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N OMBRES
RÉELS
STRUCTURE DES COUPURES
∀r ∈ Q,
déf
r ←→ r ∗ = {s ∈ Q : s < r }.
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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RÉELS
STRUCTURE DES COUPURES
i) α contient au moins un rationnel mais pas tous les rationnels,
Il y a donc un plongement naturel de Q dans R. On vérifiera aisément que l’ensemble
n
o
déf
α = x ∈ Q+ : x 2 < 2 ∪ {Q \ Q+ }
√
qui correspondra à la racine carrée 2. De la même façon on peut
est une√coupure
√
définir 3, 5, etc. Ce sont les coupures irrationnelles qui vont compléter ou boucher
certains des trous de Q. Mais elles contiennent aussi des nombres qui ne s’expriment
pas à l’aide de radicaux comme π = 3, 14159 . . . et e = 2, 7182818284 . . . .
ii) si p ∈ α, q < p et q ∈ Q, alors q ∈ α,
T HÉORÈME
déf
∀r ∈ Q, r ←→ r ∗ = {s ∈ Q : s < r }.
Pour construire les nombres manquants, on étend la notion de coupure.
D ÉFINITION
Un ensemble α de nombres rationnels est appelé une coupure si
iii) α ne contient pas de plus grand rationnel.
Soient α une coupure et p et q dans Q tel que p ∈ α et q ∈
/ α. Alors p < q.
On notera par R l’ensemble de toutes les coupures de Q.
On peut définir une relation d’ordre pour les coupures.
Nous pouvons identifier chaque rationnel r ∈ Q à une coupure particulière.
D ÉFINITION
T HÉORÈME
Soient α et β deux coupures.
déf
Soient r ∈ Q et α = {p ∈ Q : p < r }. Alors α une coupure.
i) On écrira α < β (ou β > α) s’il existe p ∈ Q tel que
D ÉFINITION
On dira que la coupure {p ∈ Q : p < r } associée à r ∈ Q est une coupure rationnelle
et on la notera r ∗ .
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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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23 / 94
p ∈ β et p ∈
/ α.
ii) On écrira α ≤ β si α = β ou α < β.
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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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N OMBRES
N OMBRES
RÉELS
ADDITION , ÉLÉMENT NEUTRE , ET VALEUR ABSOLUE DES COUPURES
RÉELS
MULTIPLICATION ET ÉLÉMENT NEUTRE DES COUPURES
D ÉFINITION
Soient α et β deux coupures de Q.
D ÉFINITION
i) La multiplication de deux coupures α ≥ 0∗ et β ≥ 0∗ est définie comme
Soient α et β deux coupures de Q.
i) L’addition est définie comme l’addition des deux ensembles
¯
déf ˘
α · β = s · t : s ∈ α ∩ Q+ et t ∈ β ∩ Q+ ∪ (Q \ Q+ ).
déf
α + β = {s + t : s ∈ α et t ∈ β} .
et celle de deux coupures arbitraires α et β
8
|α| · |β|,
>
>
>
< |α| · |β|,
déf
α·β =
>
−(|α| · |β|),
>
>
:
−(|α| · |β|),
ii) L’élément additif neutre
∗ déf
0 = {p ∈ Q : p < 0}.
iii) La valeur absolue d’une coupure α est l’ensemble
(
α,
si α ≥ 0∗
déf
|α| =
−α,
si α < 0∗ .
comme
si α ≥ 0∗ , β ≥ 0∗ ,
si α < 0∗ , β < 0∗ ,
si α < 0∗ , β ≥ 0∗ ,
si α ≥ 0∗ , β < 0∗ .
ii) L’ élément multiplicatif neutre
déf
1∗ = {p ∈ Q : p < 1}.
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N OMBRES
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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N OMBRES
RÉELS
T HÉORÈME
PROPRIÉTÉS
On peut alors démontrer que l’on a conservé toutes les propriétés sur Q.
P1 (commutativité)
P2 (associativité)
P3 (distributivité)
P4 (éléments neutres)
P5 (existence d’inverses)
P6 (relation d’ordre)
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M. Delfour (Université de Montréal)
D EDEKIND
COMPLÉTUDE DE
D EDEKIND .)
Soit A et B deux sous-ensembles de R tel que
a) A ∪ B = R
b) A ∩ B = ∅
∗
0 +x =x
(multiplicatif) ∃1 tel que ∀x ∈ R,
c) A 6= ∅ et B 6= ∅
x · 1∗ = x
d) si α ∈ A et β ∈ B, alors α < β.
8
(additif) ∀x ∈ R, ∃ − x tel que x + (−x) = 0∗
>
>
<
(multiplicatif) ∀x ∈ R, x 6= 0∗ , ∃x −1 ∈ R
>
>
:
tel que x · x −1 = 1∗
8
a) ∀x, y ∈ R tel que x > 0∗ et y > 0∗ on a
>
>
>
<
x + y > 0∗ et x · y > 0∗
>
b) ∀x ∈ R une seule propriété est vraie :
>
>
:
x > 0∗ , x = 0∗ , ou 0∗ > x.
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
26 / 94
RÉELS
DE COMPLÉTUDE DE
T HÉORÈME (T HÉORÈME DE
et (x · y ) · z = x · (y · z)
∗
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Mais, comme nous avons beaucoup travaillé, nous obtenons une propriété de plus
qui découle du théorème dit de complétude de Dedekind.
x + y = y + x et x · y = y · x
(
(x + y ) + z = x + (y + z)
x · (y + z) = x · y + x · z
(
(additif) ∃0∗ tel que ∀x ∈ R,
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
Alors il existe un et un seul γ ∈ R tel que
∀α ∈ A, α ≤ γ
et
∀β ∈ B, γ ≤ β.
De ce théorème on tire le corollaire suivant.
C OROLLAIRE
Sous les hypothèses du Théorème 12, ou bien A contient un plus grand élément ou B
contient un plus petit élément.
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M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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N OMBRES
B ORNES
N OMBRES
RÉELS
B ORNES
SUPÉRIEURES OU INFÉRIEURES
RÉELS
SUPÉRIEURES OU INFÉRIEURES
D ÉFINITION
Soit E ⊂ R.
a) On dit que E est borné supérieurement s’il existe M ∈ R tel que
∀x ∈ E,
E XEMPLE
x ≤ M.
déf
1) Soit E = {1, 2, 3}. Alors 0 est une borne inférieure de E et π une borne
supérieure. E est borné.
Un tel nombre M est appelé une borne supérieure de E.
b) On dit que E est borné inférieurement s’il existe m ∈ R tel que
∀x ∈ E,
déf
2) Soit E = {1/n : n ∈ N}. Alors 0 est une borne inférieure de E et 1 une borne
supérieure. E est borné.
m ≤ x.
déf
3) Soit E = {p : p > 0}. Alors 0 est une borne inférieure de E et E n’est pas borné
supérieurement.
Un tel nombre m est appelé une borne inférieure de E.
c) Si E est borné supérieurement et inférieurement, on dit que E est borné.
déf
4) Soit E = {p : p 2 < 2}. Alors −2 est une borne inférieure de E et 3/2 une borne
supérieure.
E XEMPLE
déf
1) Soit E = {1, 2, 3}. Alors 0 est une borne inférieure de E et π une borne
supérieure. E est borné.
déf
2) Soit E = {1/n : n ∈ N}. Alors 0 est une borne inférieure de E et 1 une borne
supérieure. E est borné.
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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N OMBRES
RÉELS
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURE
a) Soit E ⊂ R un ensemble borné supérieurement. On dit que b 0 est est la plus petite
borne supérieure de E si
i) b 0 est une borne supérieure de E,
ii) pour toute autre borne supérieure M de E, on a b 0 < M.
La plus petite borne supérieure b 0 de E est unique et sera notée sup E.
b) Soit E ⊂ R un ensemble borné inférieurement. On dit que b0 est est la plus
grande borne inférieure de E si
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RÉELS
Lorsque E est un ensemble fini, inf E ∈ E et sup E ∈ E. Lorsque E n’est pas un
/ E,
ensemble fini et que par exemple inf E ∈
il peut être intéressant de construite une suite d’éléments de E qui converge vers
inf E.
Dans ce cas, on peut utiliser les conditions équivalentes suivantes.
T HÉORÈME
Soit E ⊂ R.
a) b 0 est la plus petite borne supérieure de E si et seulement si
i) b0 est une borne inférieure de E,
ii) pour toute autre borne inférieure m de E, on a b0 > m.
i) b 0 est une borne supérieure de E,
ii’) pour tout M tel que b 0 > M, il existe x0 ∈ E tel que b 0 ≥ x0 > M.
La plus grande borne inférieure b0 de E est unique et sera notée inf E.
b) b0 est la plus grande borne inférieure de E si et seulement si
Lorsque E n’est pas borné supérieurement, on posera sup E = +∞
Lorsque E n’est pas borné inférieurement, on posera inf E = −∞
◮ Si E 6= ∅, alors −∞ ≤ inf E ≤ sup E ≤ +∞.
◮ Si E = ∅, alors par convention on posera inf ∅ = +∞ et sup ∅ = −∞.
i) b0 est une borne inférieure de E,
ii’) pour tout m tel que b0 < m, il existe x0 ∈ E tel que b0 ≤ x0 < m.
E XEMPLE
E XEMPLE
Par exemple si b 0 = sup E est finie et b 0 ∈
/ E, on construit pour chaque n ∈ N, xn ∈ E
tel que b 0 ≥ xn > b 0 − 1/n. Cette suite comporte un nombre infini déléments.
déf
Soit E = {1, 2, 3}. Alors inf E = 1 ∈ E et sup E = 3 ∈ E.
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
PLUS PETITE BORNE SUPÉRIEURE ET PLUS GRANDE BORNE INFÉRIEURE
D ÉFINITION
M. Delfour (Université de Montréal)
M. Delfour (Université de Montréal)
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M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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N OMBRES
PROPRIÉTÉ P7
N OMBRES
RÉELS
PROPRIÉTÉ P7
DE COMPLÉTUDE
RÉELS
DE COMPLÉTUDE
a) b 0 est est la plus petite borne supérieure de E si et seulement si
i) b 0 est une borne supérieure de E,
ii’) pour tout M tel que b 0 > M, il existe x0 ∈ E tel que b 0 ≥ x0 > M.
On peut maintenant donner la dernière propriété de R.
◮ Rappel : ii) pour toute autre borne supérieure M de E, on a b 0 < M.
T HÉORÈME (P7 -
COMPLÉTUDE
D ÉMONSTRATION .
On démontre seulement a). Le cas b) est semblable. Il est aussi suffisant de démontrer
l’équivalence des conditions ii) et ii’) puisque la condition i) est commune.
ii) ⇒ ii’) De i), on sait que b 0 est une borne supérieure de E. Pour M tel que b 0 > M,
on sait de ii) que M n’est pas une borne supérieure de E car dans ce cas on aurait
b 0 ≤ M. Il existe donc x0 ∈ E tel que x0 > M. Comme b 0 est une borne supérieure de
E, par i), on a aussi b 0 ≥ x0 et finalement b 0 ≥ x0 > M.
ii) ⇐ ii’) De i), on sait que b 0 est une borne supérieure de E. Supposons que M soit
une borne supérieure de E tel que b 0 > M. Alors de ii’), il existe x0 ∈ E tel que
b 0 ≥ x0 > M. Ceci contredit le fait que M est une borne supérieure de E. Donc
b 0 ≤ M.
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
PROPRIÉTÉ P7
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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P7 (complétude)
Tout sous-ensemble E non-vide de R borné supérieurement
possède une plus petite borne supérieure sup E ∈ R.
On a évidemment la propriété duale suivante.
T HÉORÈME (P7* -
COMPLÉTUDE
-)
Tout sous-ensemble E non-vide de R borné inférieurement possède une plus grande
borne inférieure inf E ∈ R.
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
RÉELS
PROPRIÉTÉ P7
DE COMPLÉTUDE
-)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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RÉELS
DE COMPLÉTUDE
D ÉMONSTRATION DE P7 - COMPLÉTUDE -.
On fait appel au Théorème de complétude de Dedekind 12 en construisant les
ensembles A et B à partir de E de la façon suivante :
D ÉMONSTRATION DE P7 - COMPLÉTUDE -.
déf
A = {α ∈ R : ∃x ∈ E tel que α < x}
déf
B = R \A.
Par définition, aucun élément de A n’est une borne supérieure de E et tous les
éléments de B sont des bornes supérieures de E. Pour montrer que sup E ∈ R, il suffit
de montrer que B possède un plus petit élément.
On voit que les hypothèses a) et b) du Théorème de complétude de Dedekind sont
vérifiées. Il reste à vérifier
c) A 6= ∅ et B 6= ∅
d) si α ∈ A et β ∈ B, alors α < β.
Comme E 6= ∅, prenons x ∈ E. Alors A 6= ∅ car il contient tous les α ∈ R tel que
α < x. D’autre part, puisque E est borné supérieurement, il existe y ∈ R tel que x ≤ y
pour tout x ∈ E. Par définition, y ∈ B, B 6= ∅, et c) est vérifiée.
Enfin, si α ∈ A, il existe x0 ∈ E tel que α < x0 . Si β ∈ B, il n’existe pas de x ∈ E tel que
β < x. Donc pour tout x ∈ E, on a β ≥ x. Finalement, α < x0 ≤ β, α < β, et d) est
vérifiée. Les hypothèses a), b), c), et d) sont donc vérifiées.
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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(suite) Par le Théorème de complétude de Dedekind, il existe un et un seul γ ∈ R tel
que
∀α ∈ A, α ≤ γ et ∀β ∈ B, γ ≤ β.
De là, γ est une borne supérieure de A, et, ou bien γ ∈ A ou bien γ ∈ B. Par définition,
aucun élément de A n’est une borne supérieure de E et tous les éléments de B sont
des bornes supérieures de E.
On montre enfin que γ ∈
/ A ce qui entraîne que γ ∈ B est la plus petite borne
supérieure de E. Si γ ∈ A, alors il existerait x ∈ E tel que γ < x. On pourrait alors
choisir α ∈ R tel que γ < α < x. Comme α < x, on aurait par définition α ∈ A et γ ne
serait pas une borne supérieure de A. Donc γ ∈ B.
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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N OMBRES
PROPRIÉTÉ P7
N OMBRES
RÉELS
PROPRIÉTÉ P7
DE COMPLÉTUDE
T HÉORÈME (P7* -
COMPLÉTUDE
-)
E XEMPLE (E XEMPLE 1.30 PAGE 19
Tout sous-ensemble E non-vide borné inférieurement de R possède une plus grande
borne inférieure inf E ∈ R.
D ÉMONSTRATION .
Par hypothèse, il existe une borne b ∈ R tel que pour tout x ∈ E, on a b ≤ x. Donc
pour tout x ∈ E, on a −x ≤ −b et −b est une borne supérieure de l’ensemble
déf
−E = {−x : x ∈ E}. Par la propriété P7 de complétude, il existe une plus petite borne
supérieure
b 0 = sup −E ∈ R
Calculer le b0 = sup E de
−x ≤ b
⇒ ∀x ∈ E,
∃x ∈ E tel que b 0 ≥ x > 2
N OMBRES
L’INDUCTION
x =
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Les retombées de la propriété P7 sont importantes et prennent des formes très
différentes. On donne d’abord la démonstration du Principe du bon ordre.
Comme E ⊂ N, pour tout x ∈ E on a x ≥ 1 et 1 est une borne inférieure de E. Par la
propriété P7* du Théorème 23, b0 = inf E ∈ R. On utilise maintenant la partie b) du
Théorème 19. Pour tout entier n ≥ 2, il existe xn ∈ E tel que
1
n
1
1
≤ b0 + .
n
2
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RÉELS
RETOMBÉES DE LA PROPRIÉTÉ
P7
DE COMPLÉTUDE
⇒ n ≥ 2,
1
n
1
1
< xn < b0 +
n
n
1
1
1
1
b0 − ≤ b0 − < xn < b0 + ≤ b0 + .
2
n
n
2
⇒ b0 −
Comme il n’y a qu’un seul entier entre b0 − 1/2 et b0 + 1/2, on a
∀n ≥ 2,
xn = x2 .
Supposons qu’il existe x ∈ E tel que x < x2 . Comme x et x2 sont des entiers on a
x ≤ x2 − 1 ce qui entraîne b0 ≤ x ≤ x2 − 1 d’où b0 + 1 ≤ x2 . Mais par construction
x2 < b0 + 1/2 ce qui donne une contradiction. Donc il existe x2 ∈ E tel que pour tout
x ∈ E, x ≥ x2 et inf E = x2 ∈ E.
suite . . .
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
⇒ x ∈E
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
b0 ≤ xn < b0 +
D ÉMONSTRATION .
M. Delfour (Université de Montréal)
⇒ x2 < 4
{z
}
Comme E ⊂ N, pour tout x ∈ E on a x ≥ 1 et 1 est une borne inférieure de E. Par la
propriété P7∗ du Théorème 23, b0 = inf E ∈ R. On utilise maintenant la partie b) du
Théorème 19. Pour tout entier n ≥ 2, il existe xn ∈ E tel que
Soit E ⊂ N tel que E 6= ∅. Alors inf E ∈ E,
c’est-à-dire, tout sous-ensemble non vide d’entiers positifs possède un plus petit
élément.
⇒ ∀n ≥ 2,
⇒ 0 ≤ b0 < x < 2
|
D ÉMONSTRATION .
T HÉORÈME ( DU BON ORDRE )
1
< xn < b0 +
n
1
1
b0 − ≤ b0 − < xn < b0 +
2
n
b0 + 2
2
M. Delfour (Université de Montréal)
L ES
⇒ b0 −
⇒ x∈
/ E (d’où contradiction).
ce qui contredit le fait que b 0 = sup E.
Il ne reste donc plus que le cas b 0 = 2. On en conclut que sup E = 2.
N OMBRES
RÉELS
1
n
⇒ x2 > 4
puisque x ≥0
MATHÉMATIQUE
b0 ≤ xn < b0 +
n
o
x ∈ R : x2 < 4 .
Il reste donc les cas b 0 ≤ 2. Comme 0 ∈ E, b 0 ≥ 0 et donc 0 ≤ b 0 ≤ 2.
Si b 0 < 2, on pose
−b ≤ x
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
L ABELLE ET M ERCIER )
Comme 0 ∈ E, l’ensemble E est non-vide.
déf
b0 = sup E est possiblement +∞ si E n’est pas borné supérieurement.
Si b 0 > 2 , alors
0
et −b 0 est une borne inférieure de E. Mais on a montré que pour toute borne inférieure
b de E, on a b 0 ≤ −b ou de façon équivalente b ≤ −b 0 . Donc −b 0 est la plus grande
borne inférieure de E et inf E = −b 0 ∈ R.
M. Delfour (Université de Montréal)
déf
E =
déf
0
DE
déf
de −E et b 0 ≤ −b. On a donc
∀x ∈ E,
RÉELS
DE COMPLÉTUDE
7 janvier 2012
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M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
40 / 94
N OMBRES
L’INDUCTION
N OMBRES
RÉELS
L’INDUCTION
MATHÉMATIQUE
Le raisonnement par récurrence ou le principe d’induction est dû à Blaise Pascal
(1623-1662).
On peut maintenant démontrer le théorème suivant.
T HÉORÈME
T HÉORÈME (P RINCIPE D ’ INDUCTION MATHÉMATIQUE )
Soit E ⊂ N tel que
a) 1 ∈ E, et
Soit P(n) une proposition définie pour chaque n ∈ N.
Si
b) si m ∈ E, alors m + 1 ∈ E (c-à-d.
Alors E = N.
m∈E
⇒
m + 1 ∈ E).
a) P(1) est vraie et
b) si P(m) est vraie implique que P(m + 1) est vraie,
alors P(m) est vraie pour tout m ∈ N.
D ÉMONSTRATION .
déf
Soit S = N \E l’ensemble des entiers naturels qui ne sont pas dans E. On veut
démontrer que S = ∅. Si S 6= ∅, alors il existe b = inf S ∈ S par le Théorème 25.
Donc b ∈
/ E et nécessairement par la propriété a) 1 ∈ E entraîne b > 1. Donc
b − 1 ∈ N et b − 1 ∈ E parce que b est une borne inférieure de S. Par la propriété b)
b ∈ E ce qui contredit le fait que b ∈ S = N \E.
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
LE
RÉELS
MATHÉMATIQUE
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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D ÉMONSTRATION .
déf
Soit E = {n ∈ N : P(n) est vraie}. Cet ensemble satisfait les hypothèses du
Théorème 26, d’où E = N, c’est-à-dire que P(n) est vraie pour tout n ∈ N.
Le principe d’induction est un outil très pratique pour démontrer des formules
générales qui dépendent de n ∈ N. En voici quelques exemples.
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
RÉELS
LE
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
RÉELS
Pour tout n ∈ N
Enfant précoce, il est éduqué par son père. Les tous premiers travaux de Pascal
concernent les sciences naturelles et appliquées. Il contribue de manière importante à
la construction d’une calculatrice mécanique (la “Pascaline") et à l’étude des fluides. Il
a clarifié les concepts de pression et de vide, en étendant le travail de Torricelli. Pascal
a écrit des textes importants sur la méthode scientifique.
Mathématicien de premier ordre, il crée deux nouveaux champs de recherche
majeurs : tout d’abord il publie un traité de géométrie projective à seize ans ; ensuite il
correspond, à partir de 1654, avec Pierre de Fermat à propos de la théorie des
probabilités, qui influencera fortement les théories économiques modernes et les
sciences sociales.
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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42 / 94
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
E XEMPLE (I NÉGALITÉ DE B ERNOULLI , E XEMPLE 1.23. PAGE 13
M ERCIER )
F IGURE : Blaise Pascal, mathématicien français, 1623-1662
7 janvier 2012
∀x ≥ −1,
DE
L ABELLE ET
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Pour chaque n ∈ N, on désigne par P(n) la proposition précédente.
Comme (1 + x)1 = 1 + x, P(1) est vraie.
Supposons que P(m) soit vraie et montrons que P(m + 1) est vraie. Il vient
successivement
(1 + x)m+1 = (1 + x) (1 + x)m
≥ (1 + x) (1 + mx)
2
puisque x ≥ −1
= 1 + x + mx + mx ≥ 1 + (m + 1)x
et P(m + 1) est vraie.
Par le Théorème 27, P(n) est vraie pour tout n ∈ N.
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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N OMBRES
LE
N OMBRES
RÉELS
LE
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
E XEMPLE (E XEMPLE 1.24. PAGE 13
Pour tout n ∈ N
DE
Le théorème du binôme pour les exposants entiers était déjà connu des arabes mais
le nom de Newton est resté attaché à ce théorème pour la généralisation qu’il en fit
aux exposants fractionnaires et négatifs.
E XEMPLE (B INÔME DE N EWTON )
L ABELLE ET M ERCIER )
1 + 2+ 3 + ··· + n =
RÉELS
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
n(n + 1)
.
2
Soient a et b dans R. Pour tout n ∈ N
Soit P(n) la proposition ci-dessus pour n ∈ N.
P(1) est vraie :
1 (1 + 1)
1=
.
2
Supposons P(m) vraie et montrons que P(m + 1) est vraie.
[a + b]n =
k =0
où
„ «
n!
n déf
=
k
(n − k )! k !
N OMBRES
LE
45 / 94
LE
E XEMPLE (B INÔME DE N EWTON - SUITE )
k =0
On peut montrer l’identité
am+1−k b k +
k
k =0
am−k b k +1
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
46 / 94
RÉELS
ce qui termine la démonstration car
m+1
(a + b)
„
„
«
«–
„
«
m »„ «
m + 1 0 m+1
m
m + 1 m+1 0 X m
m+1−k k
a
b +
+
=
a
b +
a b
k
m+1
k −1
0
k =1
=
m+1 „
X
k =0
„ « „
« „
«
m
m
m+1
+
=
k
k −1
k
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
k
m „ «
X
m
am−k b k
„ « „
«
m!
m!
m
m
=
+
+
k
k −1
k ! (m − k )!
(k − 1)! (m − k + 1)!
»
–
1
1
m!
+
=
(k − 1)! (m − k )! k
m+1−k
„
«
»
–
m!
(m + 1)!
m+1
m+1
=
.
=
=
k
(k − 1)! (m − k )! k (m − k + 1)
k ! (m + 1 − k )!
m+1
X„
k =1
M. Delfour (Université de Montréal)
k
En effet
«
m
m
am+1−k b k +
am+1−k b k
k
k −1
k =0
k =1
„
«–
m »„ «
X
m
m
m+1
=a
+
+
am+1−k b k + b m+1
k
k −1
k =1
„
«–
„
„
«
«
m »„ «
m
m + 1 m+1 X m
m+1
m+1−k k
=
+
+
a
b +
a
b m+1 .
k
k −1
0
m+1
=
m „ «
X
m
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
k =0
«
déf
0! = 1.
E XEMPLE (B INÔME DE N EWTON - SUITE )
m „ «
X
m
m
am−k b k
= (a + b) (a + b) = (a + b)
k
k =0
m „ «
m „ «
X
X
m
m
m+1−k k
a
am−k b k +1
=
b +
k
k
m „
X
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
RÉELS
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
(a + b)m+1
et
k =0
m „ «
X
m
k =0
7 janvier 2012
an−k b k ,
(a + b)m+1 = (a + b) (a + b)m = (a + b)
=
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
k
Cette identité est vraie pour n = 1. Supposons qu’elle le soit pour m et montrons
qu’elle est vraie pour m + 1. On a successivement
m(m + 1)
+ (m + 1)
2
i (m + 1)(m + 2)
hm
+1 =
.
= (m + 1)
2
2
La formule est donc vraie pour tout n ∈ N.
1 + 2 + 3 + · · · + m +(m + 1) =
|
{z
}
M. Delfour (Université de Montréal)
n „ «
X
n
«
m + 1 m+1−k k
a
b .
k
n
Pour a = b = 1 on obtient l’identité 2 =
n „ «
X
n
k =0
7 janvier 2012
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M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
k
.
7 janvier 2012
48 / 94
N OMBRES
LE
N OMBRES
RÉELS
LE
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
E XEMPLE (E XEMPLE 1.28 ( SUITE ), PAGE 18
Voici maintenant un exemple plus compliqué de calcul du inf E et du sup E.
E XEMPLE (E XEMPLE 1.28. PAGE 18 DE L ABELLE ET M ERCIER )
k =0
k =0
où
„ «
n!
n déf
déf
et 0! = 1.
=
k
(n − k )! k !
„ «
n
Comme tous les termes sont positifs et que
= n, on a
1
∀n ∈ N,
1
1+
n
1
≥1+ n =2
n
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
LE
et
»
–1
1
1+
=2
1
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
k =0
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M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
PROPRIÉTÉ
E XEMPLE (E XEMPLE 1.28 ( SUITE ), PAGE 18
DE
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
50 / 94
RÉELS
ARCHIMÉDIENNE
T HÉORÈME
–n X
»
n „ « » –k
n
X
1
1
1
n
.
=
≤1+
1+
k
n
n
k!
R est un corps archimédien. c’est-à-dire que
k =1
Mais k ! ≥ 2k −1 . C’est vrai pour k = 1 car 1! = 1 = 20 = 21−1 et pour k = 2 car
2! = 2 = 22−1 . Pour k ≥ 3, k ! = k (k − 1) . . . 2 1 ≥ 2k −1 . D’où
` ´n
»
–n
n
n
n „ «k −1
X
X
X
1 − 12
1
1
1
1
` ´ < 1 + 2 = 3.
1+
1
+
≤1+
=
1
+
≤1 +
=
n
k!
2k −1
2
1 − 12
k =1
k =1
Il est intuitif que l’ensemble des nombres entiers Z n’est pas borné supérieurement.
C’est une conséquence de la propriété archimédienne de R en faisant x = 1 dans le
théorème suivant.
L ABELLE ET M ERCIER )
k =0
–n X
»
n „ « » –k
n
X
1
1
1
n
.
=
≤1+
1+
k
n
n
k!
⇒ inf E = 2.
RÉELS
k =1
et on cherche à estimer les termes de la somme et montrer qu’il existe une borne
supérieure. Pour k = 0 et 1, il vient
„ « » –0
„ « » –1
1
1
1
1
n
n
= 1 et
=n· =1= ;
0
1
n
n
n
1!
8 „ « » –k
>
1
1 n (n − 1)
n!
1
(n − (k − 1))
n
>
>
=
...
=
< k
n
(n − k )! k ! nk
k! n
n
n
∀k ≥ 2,
„
«
„
«
>
1
1
k −1
1
>
>
=
1−
... 1 −
< .
:
k!
n
n
k!
Il vient donc
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
Il vient donc
L ABELLE ET M ERCIER )
–n X
»
n „ « » –k
1
1
n
=
1+
k
n
n
Par la formule du binôme
–n X
„ « » –n
»
„ «» –
„ « » –k
n „ « » –k
1
1
1
1
1
n
n
n
n
=
=1+
+ ··· +
,
1+
+ ··· +
k
n
1
k
n
n
n
n
n
–n
DE
Pour l’autre borne, on part de l’expression du binôme de Newton
Chercher le inf E et le sup E de l’ensemble
–n
ff
»
1
déf
:n∈N .
E =
1+
n
»
RÉELS
RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
k =1
L’ensemble E est donc borné supérieurement et l’on montrera plus tard que
sup E = e = 2.718 281 828 459 045 . . . , un nombre irrationnel ?
∀y ∈ R et ∀x ∈ R tel que x > 0,
∃n ∈ N tel que nx > y .
D ÉMONSTRATION .
Si y ≤ 0, il suffit de prendre n = 1. Si y > 0, supposons que pour tout n ∈ N, nx ≤ y .
déf
Donc y est une borne supérieure pour l’ensemble E = {nx : n ∈ N}. Par la propriété
0
P7, il existe une plus petite borne supérieure b = sup E ∈ R. Comme par hypothèse
x > 0, on a b 0 − x < b 0 . Il existe donc un élément nx ∈ E pour un n ∈ N tel que
b 0 − x < nx ≤ b 0 . De là b 0 < (n + 1)x. Mais comme (n + 1)x ∈ E, on a un élément de
E strictement plus grand que la borne supérieure b 0 de E. D’où la contradiction.
Le théorème peut être utilisé pour calculer des inf E ou des sup E.
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N OMBRES
PROPRIÉTÉ
N OMBRES
RÉELS
PROPRIÉTÉ
ARCHIMÉDIENNE
E XEMPLE
RÉELS
ARCHIMÉDIENNE
E XEMPLE (E XEMPLE 1.29 PAGE 18
déf
1) Soit E = {1/n : n ∈ N}. Alors inf E = 0 ∈
/ E et sup E = 1 ∈ E.
Clairement 1 est une borne supérieure, 1/n ≤ 1, et 1 ∈ E. Donc sup E = 1 ∈ E. Pour
montrer que inf E = 0, on voit que pour tout n ∈ N, 1/n > 0 et que 0 est une borne
inférieure de E. Il existe donc b0 = inf E ∈ R et b0 ≥ 0. Supposons que b0 > 0, alors
par la propriété archimédienne du Théorème 36, il existe n0 ∈ N tel que n0 b0 > 1. D’où
1
∃n0 ∈ N tel que b0 >
∈E
n0
ce qui contredit le fait que b0 est une borne inférieure de E.
déf
2) Soit E = {p : p ∈ R et p > 0}. Alors inf E = 0 ∈
/ E et sup E = +∞. On procède
comme précédemment pour le inf E. Pour le sup E, supposons que M soit une borne
supérieure de E. Donc
∀p > 0,
0<p≤M
⇒ M > 0.
Par la propriété archimédienne du Théorème 36, il existe p0 ∈ N tel que p0 1 > M > 0
et nécessairement p0 ≥ 1. Il existe donc p0 ∈ E tel que p0 > M ce qui contredit le fait
que M soit une borne supérieure de E. L’ensemble E n’est donc pas borné
supérieurement et sup E = +∞.
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N OMBRES
PROPRIÉTÉ
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L ABELLE ET M ERCIER )
Calculer le inf E et le sup E de
déf
E =
En réécrivant
déf
xn =

ff
3n + 4
: ∀n ∈ N .
n
3n + 4
4
= 3 + il vient xn ≤ 7 et x1 = 7
n
n
De la même façon pour n ≥ 1
déf
xn =
⇒ sup E = x1 = 7.
4
3n + 4
= 3 + > 3.
n
n
E est donc borné inférieurement par 3 et le b0 = inf E ∈ R avec b0 ≥ 3. Donc
∀n ≥ 1,
xn = 3 +
4
≥ b0
n
⇒
4
≥ b0 − 3
n
⇒ ∀n ≥ 1, n (b0 − 3) ≤ 4.
Supposons que b0 > 3, alors b0 − 3 > 0. Par la propriété archimédienne du
Théorème 36, il existe n ∈ N (et donc n ≥ 1) tel que n (b0 − 3) > 4, d’où contradiction.
Donc b0 = 3.
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N OMBRES
RÉELS
D ENSITÉ
ARCHIMÉDIENNE
DE
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RÉELS
DES RATIONNELS ET DES IRRATIONNELS DANS
R
À l’aide du Théorème 36, on introduit la notion de partie entière d’un nombre réel.
On a déjà démontré le Théorème 2 qui dit qu’entre deux rationnels on peut toujours
trouver un rationnel différent des deux premiers. On va donner deux résultats
analogues pour les réels.
T HÉORÈME
On peut associer à tout x ∈ R un entier unique n ∈ Z tel que
T HÉORÈME
n ≤ x < n + 1.
Soient a et b dans R tel que a < b.
On appelera cet entier la partie entière de x et l’on la notera [x].
i) (densité des nombres rationnels)
Il existe r ∈ Q tel que a < r < b.
déf
On désignera par {x} = x − [x] le reste, 0 ≤ {x} < 1.
D ÉMONSTRATION .
(Existence) Si x ∈ Z, on prend l’entier n = x qui vérifie la double inégalité. Si x ∈
/ Z, il
existe N ∈ N tel que N = N · 1 > |x| ce qui implique −N < x < N, d’après la propriété
archimédienne. En particulier, N ≥ 1. Le nombre x se retrouve nécessairement entre
deux entiers consécutifs de l’ensemble {−N, −N + 1, . . . , 0, 1, 2, . . . , N}. Il reste à
démontrer l’unicité.
(Unicité) Soient m et n dans Z, m 6= n, tel que m ≤ x < m + 1 et n ≤ x < n + 1.
Supposons que m < n. Alors m < n ≤ x < m + 1 et il existerait un entier n ∈ Z tel que
m < n < m + 1, ce qui est impossible. En interchangeant les rôles de m et n, on
obtient aussi une contradiction.
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ii) (densité des nombres irrationnels)
Il existe s ∈ R \ Q tel que a < s < b.
C OROLLAIRE
Soient a et b dans R tel que a < b.
i) Il existe une infinité de nombres rationnels entre a et b.
ii) Il existe une infinité de nombres irrationnels entre a et b.
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N OMBRES
D ENSITÉ
N OMBRES
RÉELS
DES RATIONNELS ET DES IRRATIONNELS DANS
R
UN
D ÉMONSTRATION DU T HÉORÈME 40.
Dans la démonstration du théorème suivant
i) Puisque b − a > 0 et que R est archimédien, il existe n ∈ N tel que n (b − a) > 1,
d’où b > a + 1/n. Comme na ∈ R, il existe m ∈ Z tel que m − 1 ≤ na < m, d’où
na < m ≤ na + 1. En divisant par n, il vient
a<
T HÉORÈME
Il n’existe pas de x ∈ Q tel que x 2 = 2 ou de façon équivalente
m
1
≤ a + < b.
n
n
∀x ∈ Q,
T HÉORÈME
Si le nombre x0 = p/q ∈ Q, où la fraction p/q est réduite, est une racine du polynôme
D ÉMONSTRATION DU C OROLLAIRE 41.
i) On sait qu’il en existe au moins un. Supposons qu’il en existe un nombre fini n ≥ 1,
c’est-à-dire {ri }ni=1 ⊂ Q tel que a < r1 < r2 < · · · < rn < b. On applique alors le
Théorème 40 (i) au couple a < r1 . Il existe r0 ∈ Q tel que a < r0 < r1 . On a donc
construit un autre rationnel entre a et b ce qui contredit notre hypothèse.
ii) Même procédé pour les irrationnels.
N OMBRES
UN
x 2 6= 2.
on a montré que le polynôme x 2 − 2 = 0 n’a pas de racine rationnelle. Ce résultat
simple se généralise et est utile pour décider si un nombre est rationnel ou non.
On prend r = m/n ∈ Q.
√
√
ii) Puisque
a < b, on
√
√ a a − 2 < b − 2 et de√la partie i) il existe r ∈ Q tel
√que
a − 2 < r < b − 2 ce qui entraîne a < r + 2 < b. On prend s = r + 2 qui est
bien un irrationnel.
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RÉELS
CRITÈRE POUR DÉTERMINER SI UN NOMBRE EST RATIONNEL OU IRRATIONNEL
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an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = 0,
où les coefficients ai ∈ Z, 0 ≤ i ≤ n, et an 6= 0, alors
p divise a0
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N OMBRES
RÉELS
UN
CRITÈRE POUR DÉTERMINER SI UN NOMBRE EST RATIONNEL OU IRRATIONNEL
et q divise an .
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RÉELS
CRITÈRE POUR DÉTERMINER SI UN NOMBRE EST RATIONNEL OU IRRATIONNEL
T HÉORÈME
Si le nombre x0 = p/q ∈ Q, où la fraction p/q est réduite, est une racine du polynôme
an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 = 0,
où les coefficients ai ∈ Z, 0 ≤ i ≤ n, et an 6= 0, alors
p divise a0
et q divise an .
D ÉMONSTRATION .
Puisque x0 = p/q est une racine, on a
» –n
» –n−1
» –
p
p
p
+ a0 = 0,
+ an−1
+ · · · + a1
an
q
q
q
E XEMPLE
√
√
Montrer que x = 2 + 3 est un nombre irrationnel. On cherche d’abord le polynôme
dont il est une racine.
“
”2 “ √ ”2
“√
√ ”2
√
2 + 3 = 2 + 3 + 2 6 ⇒ x2 − 5 = 2 6
x2 =
⇒ x 4 − 10x 2 + 1 = 0.
Si x est rationnel il est
√ de la forme p/q et p doivent tous deux diviser 1. D’où x = 1 ce
qui est faux puisque 2 > 1.
√
3
On peut aussi montrer que 2 est irrationnel à partir de x 3 − 2 = 0 puisque les seuls
candidats rationnels sont 1 et 2 et que 13 = 1 et 23 = 8.
⇒ an pn + an−1 p n−1 q + · · · + a1 pq n−1 + a0 q n = 0
h
i
⇒ a0 q n = −p an p n−1 + an−1 pn−2 q + · · · + a1 q n−1
h
i
⇒ an pn = − an−1 pn−1 + · · · + a1 pq n−2 + a0 q n−1 q
Comme p et q n’ont pas de facteur commun, on obtient que p divise a0 et q divise
an .
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N OMBRES
L A VALEUR
N OMBRES
RÉELS
L A VALEUR
ABSOLUE
On sait maintenant comment additionner, multiplier, et comparer les nombres réels. Il
nous manque une moyen de mesurer l’écart ou la distance entre deux nombres.
RÉELS
ABSOLUE
L EMME
Pour tout x ∈ R,
(i) | − x| = |x|,
D ÉFINITION
(ii) −|x| ≤ x ≤ |x|.
La valeur absolue de x ∈ R que l’on désigne par |x| est définie par
(
x,
si x ≥ 0
déf
|x| =
−x,
si x < 0.
(iii) Pour tout b ≥ 0, |x| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ x ≤ b.
D ÉMONSTRATION .
(i) Par définition.
(ii) Si x ≥ 0, |x| = x ≥ 0 et −|x| ≤ 0 ≤ x = |x| ≤ |x|. Si x < 0, alors −x > 0 et donc
On a immédiatement les résultats suivants.
−| − x| ≤ −x ≤ | − x|.
L EMME
Mais de (i) | − x| = |x| entraîne
Pour tout x ∈ R,
(i) | − x| = |x|,
−|x| ≤ −x ≤ |x|
(ii) −|x| ≤ x ≤ |x|.
(iii) Pour tout b ≥ 0,
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N OMBRES
(iii) Si x ≥ 0, alors −b ≤ 0 ≤ x = |x| ≤ b. Si x < 0, alors −b ≤ 0 ≤ −x = |x| ≤ b ce
qui entraîne
−b ≤ −x ≤ b ⇒ −b ≤ x ≤ b.
|x| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ x ≤ b.
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N OMBRES
RÉELS
L A NORME
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RÉELS
L A NORME
On a les propriétés fondamentales suivantes qui caractérisent une norme.
T HÉORÈME
T HÉORÈME
Pour tout x et y dans R,
Pour tout x et y dans R,
(iii) |xy | = |x||y |.
(iv) (inégalité du triangle) |x + y | ≤ |x| + |y |.
(i) |x| ≥ 0.
(ii) |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
D ÉMONSTRATION DU T HÉORÈME .
(iii) |xy | = |x||y |.
(iii) Il y a quatre cas.
(iv) (inégalité du triangle) |x + y | ≤ |x| + |y |.
1. (x ≥ 0 et y ≥ 0) Alors |x| = x, |y | = y et xy = |x||y | ≥ 0. Donc, par défintion de la
valeur absolue, |xy | = xy et |xy | = |x||y |
C OROLLAIRE
2. (x ≥ 0 et y < 0) Alors |x| = x, |y | = −y et
−xy = −yx = (−y )x = x(−y ) = |x||y | ≥ 0 par la propriété P1 (multiplication).
Donc, par définition de la valeur absolue, |xy | = −xy = |x||y |.
Pour tout x et y dans R, ||x| − |y || ≤ |x − y |.
D ÉMONSTRATION DU T HÉORÈME .
(i) Par définition, si x ≥ 0, |x| = x ≥ 0. Si x < 0, |x| = −x > 0 ≥ 0.
(ii) (⇐) Comme de (i) 0 = |0| ≥ 0, on a |0| = 0. (⇒) On démontre l’implication inverse
par contradiction : x 6= 0 ⇒ |x| > 0. Comme x 6= 0, alors ou bien x > 0 ou bien x < 0.
Dans le premier cas, |x| = x > 0 ; dans le second cas, |x| = −x > 0. Donc, pour tout
x 6= 0, on a |x| 6= 0.
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⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|.
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3. (x < 0 et y ≥ 0) On interchange les rôles de x et y du cas 2.
4. (x ≤ 0 et y ≤ 0) On prend l’opposé des rôles de x et y du cas 1.
(iv) On a de (iii) du Lemme, −|x| ≤ x ≤ |x| et −|y | ≤ y ≤ |y |. En additionnant,
−|x| − |y | = −(|x| + |y |) ≤ x + y ≤ |x| + |y |. Le résultat suit du Lemme (iii) :
|x + y | ≤ ||x| + |y || = |x| + |y |.
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N OMBRES
L A NORME
N OMBRES
RÉELS
L A VALEUR
ET LA DISTANCE
RÉELS
ABSOLUE
C OROLLAIRE
E XEMPLE (E XEMPLE 1.18, P.11 DE L ABELLE ET M ERCIER )
Pour tout x et y dans R, ||x| − |y || ≤ |x − y |.
Pour |x| ≤ 1, montrez que
D ÉMONSTRATION DU C OROLLAIRE .
On applique (iv) à x et y − x, puis à y et x − y
|y | = |x + (y − x)| ≤ |x| + |y − x|
⇒ −(|x| − |y |) = |y | − |x|≤|y − x| = |x − y |
|x| = |y + (x − y )| ≤ |y | + |x − y |
˛
˛
˛ 4
˛
˛x − 36x + 47˛ ≥ 10
On écrit 47 = x 4 − 36x + 47 − (x 4 − 36x) et on utilise l’inégalité du triangle.
˛
˛ ˛
˛ ˛
˛ ˛
˛
˛
˛ ˛
˛ ˛
˛ ˛
˛
47 = |47| ≤ ˛x 4 − 36x + 47˛ + ˛−(x 4 − 36x)˛ = ˛x 4 − 36x + 47˛ + ˛x 4 − 36x ˛
⇒ |x| − |y | ≤|x − y |
et ||x| − |y || ≤ |x − y |.
Á partir de la valeur absolue, on obtient une notion de distance ou métrique
d(x, y ) = |x − y | entre deux points x et y.
On applique de nouveau l’inégalité du triangle au second terme,
˛
˛ ˛ ˛
˛
˛ ˛ ˛
47 ≤ ˛x 4 − 36x + 47˛ + ˛x 4 ˛ + |−36x|
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
≤ ˛x 4 − 36x + 47˛ + 1 + 36 |x| ≤ ˛x 4 − 36x + 47˛ + 1 + 36
˛
˛
˛
˛
≤ ˛x 4 − 36x + 47˛ + 37
T HÉORÈME
Pour tout x et y dans R,
(i) |x − y | ≥ 0.
(ii) |y − x| = |x − y |.
(iii) |x − y | = 0 ⇐⇒ x = y .
d’où le résultat.
(iv) (inégalité du triangle) |x − y | ≤ |x − z| + |z − y |.
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L A VALEUR
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N OMBRES
RÉELS
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DÉCIMALE
Il est pratique d’exprimer les nombres et plus particulièrement les rationnels sous
une forme compacte. On le fait en introduisant une base. La plus commune est la base
10. Par l’intermédiaire de la division on a par exemple
5
= 2.5 = 2.5 0000 . . .
2
1
1
4
2
8
5
7
= 0.142857 142857 · · · = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + . . .
7
10
10
10
10
10
10
142857 142857
+
+ ...
=
106
1012
«
„
4
3
3
3
− = −1.333 · · · = −1 −
+
+
+
.
.
.
3
101
102
103
Ce sont trois exemples de nombres rationnels. On remarquera qu’à partir d’un certain
pas toujours le cas.
rang il y a périodicité des décimales. Ce n’est cependant
√
Considérons par exemple le nombre irrationnel 2 dont on peut construire les
décimales par encadrements successifs. En effet
√
12 < 2 < 22 = 4 ⇒ 1 < 2 < 2.
E XEMPLE
Pour tout x tel que |x + a| ≤ |a|/2, montrez que
1
3
|a| ≤ |x| ≤ |a|.
2
2
Par le Théorème 49 (v) sur la norme on a
||x| − |a|| = ||x| − | − a|| ≤ |x − (−a)| ≤ |x + a|.
Enfin, pour tout a et x dans R tel que |x + a| ≤ 12 |a|, il vient
1
|a|
2
1
1
⇒ − |a| ≤ |x| − |a| ≤ |a|
2
2
3
1
⇒ |a| ≤ |x| ≤ |a|
2
2
||x| − |a|| ≤ |x + a| ≤
En subdivisant l’intervalle [1, 2] en 10 parties de longueur 1/10, on trouve que
√
1.4 < 2 < 1.5
ce qui démontre le résultat.
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RÉELS
L A REPRÉSENTATION
ABSOLUE
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N OMBRES
N OMBRES
RÉELS
L A REPRÉSENTATION
RÉELS
L A REPRÉSENTATION
DÉCIMALE
Considérons par exemple le nombre irrationnel
décimales par encadrements successifs. En effet
12 < 2 < 22 = 4
√
Un autre phénomène observable est que certains nombres ont deux
développements décimaux distincts comme le montre l’exemple suivant
2 dont on peut construire les
⇒ 1<
√
217
1
7
=2+
+
= 2.17 = 2.17 000000 . . ..
100
10
100
2 < 2.
Considérons maintenant le développement périodique x = 2.169 999 . . . . Alors
En subdivisant l’intervalle [1, 2] en 10 parties de longueur 1/10, on trouve que
√
(1.4)2 = 1.96 < 2 < 2.25 = (1.5)2 ⇒ 1.4 < 2 < 1.5
100x = 216.999 . . . et 1000x = 2169.999 . . .
En subdivisant l’intervalle [1.4, 1.5] en 10 parties de longueur 1/100, on trouve que
√
(1.41)2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = (1.42)2 ⇒ 1.41 < 2 < 1.42
En continuant le procédé on trouve, par exemple, que
√
1.414 213 562 4 < 2 < 1.414 213 562 5
On dit que 1.414 213 562 4 . . . est un développement décimal de
on n’entrevoit pas de périodicité, mais cela ne démontre rien.
DÉCIMALE
√
2. Par ce procédé,
⇒ 900x = 2169 − 216 = 1953
En simplifiant par 9 on obtient x = 1953/900 = 217/100. Il y a donc deux
développements décimaux pour le même rationnel. Lorsqu’il y a périodicité des
décimales à partir d’un certain rang on écrira les décimales qui se répètent surmontés
d’un barre comme suit
1
= 0. 142857
| {z } 142857
| {z } · · · = 0.142857
7
4
217
− = −1.333 · · · = −1.3
= 2.17 = 2.169
3
100
En particulier, x = 0.999 . . ., 10x = 9.999 . . ., 9x = 9 . . ., et
1 = 0.999 999 · · · = 0.9.
possède deux représentations décimales.
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RÉELS
L A REPRÉSENTATION
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RÉELS
L A REPRÉSENTATION
DÉCIMALE
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
DÉCIMALE
T HÉORÈME
D ÉMONSTRATION DU T HÉORÈME .
Soient deux nombres réels x et y dans R de développements décimaux
On peut supposer sans perte de généralité que an > bn . Donc
x = 0, a1 a2 a3 . . .
a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , an−1 = bn−1 , an > bn .
y = 0, b1 b2 b3 . . .
On multiplie chaque nombre par 10n−1 et on enlève sa partie entière. Comme an > bn ,
on a an ≥ bn + 1 et Il vient
Si on suppose que
1) ∃ n tel que an 6= bn et
0, an an+1 an+2 . . . ≥ 0, an 00 · · · ≥ 0, bn 00 · · · + 0, 100 . . .
2) ni l’un ni l’autre ne se termine par une suite infinie de 9
≥ 0, an 00 · · · ≥ 0, bn 00 · · · + 0, 099 . . . = 0, bn 99 . . .
alors x 6= y en tant que nombres réels.
> 0, bn bn+1 bn+2 . . .
⇒ 0, an an+1 an+2 · · · > 0, bn bn+1 bn+2 . . .
C OROLLAIRE
Si un nombre réel possède deux développements décimaux distincts, alors l’un deux
se termine par des 9 et l’autre est fini.
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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d’où x > y .
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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N OMBRES
N OMBRES
RÉELS
L A REPRÉSENTATION
RÉELS
L A REPRÉSENTATION
DÉCIMALE
DÉCIMALE
D ÉFINITION
C OROLLAIRE
Si un nombre réel possède deux développements décimaux distincts, alors l’un deux
se termine par des 9 et l’autre est fini.
Un développement décimal de la forme
n0 , a1 a2 . . . an b1 b2 . . . bm b1 b2 . . . bm . . .
| {z } | {z } | {z }
n≥0
D ÉMONSTRATION DU C OROLLAIRE .
m≥1
où la partie b1 b2 . . . bm se répète à l’infini est dit périodique :
Il suffit de considérer un nombre réel 0 ≤ x ≤ 1. Par le Théorème l’un des deux
développements se termine par une suite infinie de 9, c’est-à-dire
x = 0, a1 . . . am 999 . . .
= 0, a1 . . . am 000 · · · + 0, 0 . . . 0999 . . .
1
périodique pur si n = 0
2
périodique mixte (ou éventuellement périodique) si n ≥ 1.
E XEMPLE
= 0, a1 . . . am 000 · · · + 0, 0 . . . 1000 . . .
Le rationnel 1/7 est périodique pur avec n = 0 et
= 0, a1 . . . (am + 1)000 . . .
1
= 0, 142857
| {z } 142857
| {z } . . . = 0, 142857
7
et le développement est fini.
m=6
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N OMBRES
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
RÉELS
L A REPRÉSENTATION
m≥1
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
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RÉELS
L A REPRÉSENTATION
DÉCIMALE
m=6
DÉCIMALE
T HÉORÈME
x ∈ R admet un développement décimal périodique ⇐⇒ x ∈ Q.
n0 , a1 a2 . . . an b1 b2 . . . bm b1 b2 . . . bm . . .
| {z } | {z } | {z }
n≥0
m≥1
D ÉMONSTRATION .
m≥1
Il suffit de considérer les x > 0.
(⇒) Soit un nombre réel x ∈ R avec le développement décimal périodique suivant
E XEMPLE
Le rationnel 1/7 est périodique pur avec n = 0 et
On a
1
= 0, 142857
| {z } 142857
| {z } . . . = 0, 142857
7
m=6
x = n0 , a1 a2 . . . an b1 b2 . . . bm b1 b2 . . . bm . . .
| {z } | {z } | {z }
n≥0
10n x =
m=6
33
= 0, |{z}
33 |{z}
0 |{z}
0 . . . = 0.330
100
D’où
n=2 m=1 m=1
m≥1
m≥1
10n+m x = n0 a1 a2 . . . an b1 b2 . . . bm , b1 b2 . . . bm b1 b2 . . . bm . . .
| {z } | {z } | {z } | {z }
n≥0
m≥1
m≥1
m≥1
déf
(10n+m − 10n )x = N0 = n0 a1 a2 . . . an b1 b2 . . . bm − n0 a1 a2 . . . an ∈ N ∪{0}
33
= 0, |{z}
32 |{z}
9 |{z}
9 . . . = 0.329
100
⇒ x=
n=2 m=1 m=1
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
m≥1
n0 a1 a2 . . . an , b1 b2 . . . bm b1 b2 . . . bm . . .
| {z } | {z } | {z }
n≥0
Le rationnel 33/100 possède deux développements :
M. Delfour (Université de Montréal)
m≥1
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75 / 94
M. Delfour (Université de Montréal)
N0
∈ Q.
10n (10m − 1)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
76 / 94
N OMBRES
N OMBRES
RÉELS
L A REPRÉSENTATION
RÉELS
L A REPRÉSENTATION
DÉCIMALE
DÉCIMALE
D ÉMONSTRATION .
(suite) On recommence en multipliant par 10.
»
–
–
»
p
p
− n0 = k1 , k2 k3 k4 . . . ⇒ 0 ≤ 10
− n0 − k1 = 0, k2 k3 k4 · · · < 1
0 ≤ 10
q
q
D ÉMONSTRATION .
(suite) (⇐) On considère un nombre x ∈ Q, x > 0 de forme réduite p/q, q > 0 et
p > 0, et de développement décimal
x=
En multipliant par q > 0, on ne change pas les inégalités et on obtient un nouvel entier
en regroupant les parties entières
p
= n0 , k1 k2 k3 . . .
q
0 ≤ 10(p − n0 q) − qk1 = q · {0, k2 k3 k4 . . .} < q
|
{z
}
S’il existe i0 tel que pour tout i ≥ i0 , ki = 9, alors le développement décimal de x est
périodique par définition. Sinon, on procède comme suit :
∈N ∪{0}
p
0 ≤ − n0 = 0, k1 k2 k3 . . . < 1.
q
On poursuit ainsi en multipliant successivement par 102 , 103 , etc. On obtient ainsi (par
exemple, par induction mathématique) :
En multipliant par q > 0, on ne change pas les inégalités et on obtient un entier
∀i ≥ 1,
⇒ ∀i ≥ 1,
0 ≤ p − n0 q = q · {0, k1 k2 k3 . . .} < q.
| {z }
N OMBRES
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
q · {0, ki ki+1 ki+2 . . .} = q · {0, kj kj+1 kj+2 . . .}
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77 / 94
RÉELS
L A REPRÉSENTATION
M. Delfour (Université de Montréal)
1
q · {0, ki ki+1 ki+2 . . .} = q · {0, kj kj+1 kj+2 . . .}
⇒ ∀ℓ ≥ 0,
⇒ ∀ℓ ≥ 0,
2
3
ki+ℓ = kj+ℓ = ki+ℓ+(j−i) ,
4
ki+ℓ = ki+ℓ+(j−i) = kj+ℓ+(j−i) = ki+ℓ+2(j−i) ,
⇒ ∀N ≥ 0, ∀ℓ ≥ 0,
78 / 94
ki+ℓ+N(j−i) = ki+ℓ .
Le développement est donc éventuellement périodique de période j − i de la forme
p
= n0 , k1 k2 . . . ki−1 ki ki+1 . . . ki+(j−i)−1 kj kj+1 . . . kj+(j−i)−1 . . .
q
{z
}|
|
{z
}|
{z
}
n=i−1
7 janvier 2012
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L ES NOMBRES ENTIERS NATURELS N (+, ·, <)
m=j−i≥1
5
m=j−i≥1
kj = ki , kj+1 = ki+1 , . . . , kj+(j−i)−1 = ki+(j−i)−1 = kj−1 .
6
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
L ES NOMBRES ENTIERS Z (+, ·, <)
L ES NOMBRES RATIONNELS Q (+, ·, <)
L ES NOMBRES RÉELS R(+, ·, <)
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
ki+ℓ+N(j−i) = ki+ℓ
⇒ ∀N ≥ 0, ∀ℓ, 0 ≤ ℓ < j − i,
M. Delfour (Université de Montréal)
7 janvier 2012
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
(suite) Il existe un couple (i, j), 1 ≤ i < j, tel que
puisque
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
P LAN
DÉCIMALE
D ÉMONSTRATION .
x=
q · {0, ki ki+1 ki+2 . . .} ∈ {0, 1, . . . , q − 1}.
Comme {0, 1, . . . , q − 1} est fini, Il existe un couple (i, j), 1 ≤ i < j, tel que
∈N ∪{0}
M. Delfour (Université de Montréal)
0 ≤ q · {0, ki ki+1 ki+2 . . .} < q
79 / 94
C ARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
R n’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu c et cardinaux transfinis
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , · · · , hypothèse du continu, et axiome du choix
R ÉFÉRENCES
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
N OMBRES
C ARDINAL
N OMBRES
RÉELS
C ARDINAL
ET DÉNOMBRABILITÉ
RÉELS
ET DÉNOMBRABILITÉ
E XEMPLE
(i) N et 2 N ont le même cardinal. Il suffit de choisir la bijection
Si l’on considère des ensembles finis de nombres comme {1, 2, 3, 4} et
{10, 20, 25, 60} on voit facilement qu’ils contiennent chacun le même nombre
d’éléments.
Si on considère maintenant les ensembles N, Z, Q, ou R, ils contiennent tous un
nombre infini d’éléments bien que les inclusions sucessives N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R soient
strictes. Y-a-t-il plus de nombres dans le dernier que le premier ?
déf
x 7→ f (x) = 2x : N → 2 N,
D ÉFINITION
(i) On dira que deux ensembles A et B ont le même cardinal ou sont équipotents s’il
existe une bijection entre A et B.
(ii) N et Z ont le même cardinal et donc Z est dénombrable. On choisit la bijection
8x
>
si est pair
< ,
déf
2
f : N → Z, x 7→ f (x) =
>
: 1−x,
si x est impair
2
dont l’inverse est
(ii) On dira qu’un ensemble A est dénombrable s’il a le même cardinal que N.
f
Si A et B sont finis, cela revient à dire qu’ils ont le même nombre d’éléments.
L’avantage c’est que maintenant on va pouvoir aussi comparer des ensembles infinis.
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
C ARDINAL
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
81 / 94
−1
: Z → N,
y 7→ f
−1
(y ) =
(
si y ∈ N
si y ∈ Z \ N .
2y ,
1 − 2y ,
On remarque que construire une bijection entre N et un ensemble A revient à
énumérer les éléments de A les uns à la suite des autres en commençant par un
premier élément, puis un autre, etc, et de façon à ne pas en oublier et à ne pas
faire de répétitions : . . .
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
RÉELS
C ARDINAL
ET DÉNOMBRABILITÉ
x 7→ f −1 (x) = x/2 : 2 N → N .
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
82 / 94
RÉELS
ET DÉNOMBRABILITÉ
E XEMPLE
N × N est dénombrable. Le processus ci-dessous énumère en fait toutes les paires de
(p, q) ∈ N × N. On compose le tableau suivant et on le parcourt dans le sens des
flèches.
E XEMPLE ( SUITE )
On remarque que construire une bijection entre N et un ensemble A revient à
énumérer les éléments de A les uns à la suite des autres en commençant par un
premier élément, puis un autre, etc, et de façon à ne pas en oublier et à ne pas faire de
répétitions :
1
l
f (1) = 0
2
l
f (2) = 1
3
l
f (3) = −1
4
l
f (4) = 2
5
l
f (5) = −2
....
l
....
On forme ainsi une suite ordonnée a1 , a2 , a3 , . . ..
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
83 / 94
(1, 1)
(1, 2)
↓
(1, 3)
↓
(1, 4)
↓
(1, 5)
↓
(1, 6)
↓
..
.
→
ւ
ր
ւ
ր
ւ
ր
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
..
.
(3, 1)
ր
ւ
ր
ւ
ր
ւ
M. Delfour (Université de Montréal)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
..
.
→
ւ
ր
ւ
ր
ւ
ր
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
..
.
(5, 1)
ր
ւ
ր
ւ
ր
ւ
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
..
.
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
→
ւ
ր
ւ
ր
ւ
ր
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
..
.
ր
ւ
ր
ւ
ր
ւ
(7, 1)
...
(7, 2)
...
(7, 3)
...
(7, 4)
...
(7, 5)
...
(7, 6)
...
..
.
7 janvier 2012
84 / 94
N OMBRES
C ARDINAL
N OMBRES
RÉELS
C ARDINAL
ET DÉNOMBRABILITÉ
E XEMPLE
E XEMPLE
Q est dénombrable. On commence d’abord par énumérer Q+ , les rationnels positifs.
1
1/2
↓
1/3
↓
1/4
↓
1/5
↓
1/6
↓
..
.
→
ւ
2/2
ր
3/2
→
ւ
4/2
ր
5/2
→
ւ
6/2
ր
7/2
...
ր
2/3
ւ
3/3
ր
4/3
ւ
5/3
ր
6/3
ւ
7/3
...
ւ
2/4
ր
3/4
ւ
4/4
ր
5/4
ւ
6/4
ր
7/4
...
ր
2/5
ւ
3/5
ր
4/5
ւ
5/5
ր
6/5
ւ
7/5
...
ւ
2/6
ր
3/6
ւ
4/6
ր
5/6
ւ
6/6
ր
7/6
...
ր
2
..
.
3
ւ
..
.
ր
4
..
.
5
ւ
..
.
ր
6
..
.
7
ւ
...
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
..
.
7 janvier 2012
Si chaque paire représente un rationnel p/q, il y a donc des répétitions. Il suffit donc
de sauter un nombre déjà rencontré.
1
Le processus ci-dessus énumère toutes les paires de (p, q) ∈ N × N. Si chaque paire
représente un rationnel p/q, il y a donc des répétitions.
C ARDINAL
RÉELS
ET DÉNOMBRABILITÉ
85 / 94
1/2
↓
1/3
↓
1/4
↓
1/5
↓
1/6
↓
..
.
→
ւ
ր
ւ
ր
ւ
ր
2
2/2
2/3
2/4
2/5
2/6
..
.
ւ
ր
ւ
ր
ւ
M. Delfour (Université de Montréal)
N OMBRES
RÉELS
R N ’EST
ET DÉNOMBRABILITÉ
3
ր
3/2
3/3
3/4
3/5
3/6
..
.
→
ւ
ր
ւ
ր
ւ
ր
4
4/2
4/3
4/4
4/5
4/6
..
.
5
ր
ւ
ր
ւ
ր
ւ
5/2
5/3
5/4
5/5
5/6
..
.
→
ւ
ր
ւ
ր
ւ
ր
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
6
6/2
6/3
6/4
6/5
6/6
..
.
ր
ւ
ր
ւ
ր
ւ
7
...
7/2
...
7/3
...
7/4
...
7/5
...
7/6
...
..
.
7 janvier 2012
86 / 94
RÉELS
PAS DÉNOMBRABLE
E XEMPLE (D ÉMONSTRATION DIAGONALE DE G EORG C ANTOR )
R n’est pas dénombrable. On raisonne par contradiction. On fait l’hypothèse que R est
dénombrable. On peut alors trouver une façon d’écrire les éléments de R les uns à la
suite des autres sans oubli ni répétition. On a la liste suivante sous forme de
développements décimaux :
a1 = n1 , a11 a12 a13 a14 a15 . . .
E XEMPLE
a2 = n2 , a21 a22 a23 a24 a25 . . .
On peut ensuite énumérer Q− de la même manière, puis ensuite combiner Q+ , Q− et
{0} comme suit
a3 = n3 , a31 a32 a33 a34 a35 . . .
..
.
0, 1, −1, 2, −2, 1/2, −1/2, 1/3, −1/3, 3, −3, 4, −4, . . .
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
où ni représente la partie entière du i-ième nombre ai de la liste et les aij sont les
chiffres du développement décimal de ai .
À partir de cette liste, on construit le réel b = 0, b1 b2 b3 b4 b5 . . . où
(
5,
si aii 6= 5
déf
bi =
4,
si aii = 5.
On constate que ce b ∈ R n’apparait nulle part dans la liste !
◮ En effet, par construction, pour chaque i on a bi 6= aii et donc b 6= ai . Ceci contredit
notre hypothèse que la liste des éléments de R était complète. R n’est donc pas
dénombrable.
7 janvier 2012
87 / 94
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
88 / 94
N OMBRES
C ARDINAL
C ARDINALITÉ
RÉELS
N OMBRES
ET DÉNOMBRABILITÉ
: G EORG C ANTOR
F IGURE : Georg Cantor (1845-1918) mathématicien allemand né en Russie
E XEMPLE
En mathématiques, les nombres cardinaux, sont une géralisation des entiers naturels
N, utilisés pour mesurer la cardinalité (taille) des ensembles. La cardinalité d’un
ensemble fini est un entier naturel, le nombre d’éléments dans l’ensemble. Les
nombres cardinaux transfinis décrivent les tailles des ensembles infinis. La cardinalité
est définie en terme de bijections. Deux ensembles ont le même cardinal si et
seulement si il existe une bijection entre eux. Dans le cas des ensembles finis, ceci
coincide avec la notion intuitive de taille. Dans le cas des ensembles infinis, le
comportement est plus complexe.
La notion de cardinalité, comme on la comprend de nos jours, fut formulée par
Georg Cantor, qui est à l’origine de la théorie des ensembles, entre 1874 er 1884.
Cantor a été confronté à la résistance de la part des mathématiciens de son époque,
en particulier Kronecker. Poincaré, bien qu’il connût et appréciât les travaux de Cantor,
avait de profondes réserves sur son maniement de l’infini en tant que totalité achevée.
(i) L’ensemble des irrationnels R \ Q n’est pas dénombrable.
(ii) Le segment ]a, b[ et le segment ]c, d[ ont le même cardinal.
(iii) Le segment ]0, 1[ et R ont le même cardinal.
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
89 / 94
C ARDINALITÉ
N OMBRES
CARDINAUX
CARDINAUX
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
90 / 94
C ARDINALITÉ
: G EORG C ANTOR
C ARDINALITÉ
ET LES CARDINAUX TRANSFINIS
Cantor comprit que le fait qu’il y ait une bijection entre deux ensembles est la bonne
façon de dire que deux ensembles ont la même taille, appelée cardinalité dans le cas
des ensembles finis. Il appliqua cette notion aux ensembles infinis comme par exemple
les entiers naturels N.
Il appela tous les ensembles ayant la même cardinalité que N des ensembles
dénombrables et introduisit la notation ℵ0 : un ensemble dénombrable est un ensemble
qui peut être mis en bijection avec les nombres entiers, c’est-à-dire que l’on peut, d’un
certaine façon, numéroter tous ses éléments par des entiers (sans répétition mais ce
n’est pas essentiel). Il montre que les ensembles des nombres entiers relatifs, des
nombres rationnels, et des nombres algébriques sont tous dénombrables. Il est aussi
possible pour un sous-ensembles stricts d’un ensemble infini d’avoir la même
cardinalité que l’ensemble d’origine, ce qui ne peut arriver avec les sous-ensemble
stricts d’ensembles finis.
Dans son article de 1874, Cantor démontre qu’il existe des cardinaux d’ordre plus
élevé (les cardinaux transfinis) en montrant que la cardinalité de R est plus grande que
la cardinalité de N. Sa première présentation fait appel à une démonstration
compliquée, mais dans un article en 1891 il démontre le même résultat en utilisant
l’ingénieux et simple argument diagonal. Le nouveau cardinal, appelé cardinalité du
continu fut appelé c par Cantor.
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
7 janvier 2012
91 / 94
DU CONTINU
c,
ALEPHS
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , · · · , HYPOTHÈSE
DU CONTINU , ET AXIOME DU CHOIX
Cantor développa aussi une large portion de la théorie générale des cardinaux ; il
démontra qu’il y a un plus petit transfini (ℵ0 ) et que pour chaque cardinal, il y a un
cardinal suivant plus grand (ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , · · · ). Son hypothèse du continu est la
proposition que c est ℵ1 , mais on s’est aperçu que ceci est indépendant des axiomes
habituels de la théorie des ensembles ; on ne peut ni le démontrer, ni le nier sous ces
hypothèses (voir théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, axiome du choix, et
axiome de fondation de Frege).
Il y a donc une suite transfinie de nombre cardinaux :
0, 1, 2, 3, · · · , n, · · · ; ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , · · · , ℵα , · · · .
La suite commence avec les entiers naturels (cardinaux finis), qui sont suivis par les
nombres aleph (les cardinaux infinis d’ensembles bien ordonnés). Les nombres aleph
sont indicés par des (nombres) ordinaux. Sous l’hypothèse de l’axiome du choix,
Étant donné un ensemble X d’ensembles non vides, il existe une fonction
définie sur X , appelée fonction de choix, qui à chacun d’entre eux associe un
de ses éléments
la suite des nombres transfinis inclut tous les nombres cardinaux. Si l’on rejette cette
hypothèse, la situation devient plus compliquée, avec des nombres cardinaux infinis
qui ne sont pas des alephs. La cardinalité est étudiée en elle-même comme une partie
de la théorie des ensembles.
M. Delfour (Université de Montréal)
Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels
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P LAN
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R ÉFÉRENCES
L ES NOMBRES ENTIERS NATURELS N (+, ·, <)
L’addition
La multiplication
Les relations d’ordre
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3
4
[1] C. Cassidy et M. L. Lavertu, Introduction à l’analyse : fonction d’une variable
réelle, Les Presses de l’Université Laval, Sainte-Foy, Canada, 1994.
L ES NOMBRES ENTIERS Z (+, ·, <)
L ES NOMBRES RATIONNELS Q (+, ·, <)
L ES NOMBRES RÉELS R(+, ·, <)
[2] J. Labelle et A. Mercier, Introduction à l’analyse réelle, Modulo Éditeur,
Mont-Royal, Canada, 1993.
Construction : les coupures de Dedekind
Propriété P7 de complétude
L’induction mathématique ou le raisonnement par récurrence
Propriété archimédienne et partie entière d’un réel
Densité des rationnels et des irrationnels dans R
La valeur absolue
La représentation décimale des nombres réels
5
6
[3] E. G. H. Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Publishing Company, New
York, 1951.
[4] W. Rudin, Principes d’analyse mathématique, Édiscience, Paris 1995.
[5] Notes sur Cantor, http : //fr .wikipedia.org/wiki/GeorgC antor ,
http : //en.wikipedia.org/wiki/GeorgC antor
[6] Notes sur les cardinaux, http : //en.wikipedia.org/wiki/Cardinalnumber
http : //fr .wikipedia.org/wiki/Nombrec ardinal
C ARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ
Definitions et exemples
R n’est pas dénombrable
Georg Cantor
Cardinalité du continu c et cardinaux transfinis
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , ℵ3 , · · · , hypothèse du continu, et axiome du choix
[7] Notes sur Richard Dedekind, http : //fr .wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind
[8] Notes sur Blaise Pascal, http : //fr .wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal
R ÉFÉRENCES
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