Représentations galoisiennes, motifs et fonctions L

Repr´esentations galoisiennes, motifs
et fonctions L
Jean-Marc Fontaine

0 – La g´eom´etrie arithm´etique
Etude des syst`emes d’´equations polynomiales `a coefficients entiers
(Diophante)
= Sch´emas de type fini sur Z.
P1,P2,...,Pm∈Z[X1,X2,...,Xn]7→ le sch´ema affine X=Spec A
avec A=Z[X1,X2,...,Xn]/(P1,P2,...,Pm).
Si Rest un anneau commutatif,
X(R) = (x1,x2,...,xn)∈Rn|P1(x1,...,xn) = . . . =Pm(x1,...,xn)=0
=Homanneaux (A,R).
On obtient un sch´ema de type fini sur Zpar recollement d’un nombre fini
de sch´emas affines de type fini sur Z. De fa¸con analogue : sch´emas de
pr´esentation finie sur Λ, anneau commutatif quelconque (en rempla¸cant
Zpar Λ).
Conjectures de Weil (1949, Numbers of solutions of equations in finite
fields) d´emontr´ees par Deligne en 1974.
On peut d´eformer les repr´esentations galoisiennes (Mazur, 1989,
Deforming Galois representations, cf expos´e de Mattew Emerton).

0 – La g´eom´etrie arithm´etique
Etude des syst`emes d’´equations polynomiales `a coefficients entiers
(Diophante) = Sch´emas de type fini sur Z.
P1,P2,...,Pm∈Z[X1,X2,...,Xn]7→ le sch´ema affine X=Spec A
avec A=Z[X1,X2,...,Xn]/(P1,P2,...,Pm).
Si Rest un anneau commutatif,
X(R) = (x1,x2,...,xn)∈Rn|P1(x1,...,xn) = . . . =Pm(x1,...,xn)=0
=Homanneaux (A,R).
On obtient un sch´ema de type fini sur Zpar recollement d’un nombre fini
de sch´emas affines de type fini sur Z. De fa¸con analogue : sch´emas de
pr´esentation finie sur Λ, anneau commutatif quelconque (en rempla¸cant
Zpar Λ).
Conjectures de Weil (1949, Numbers of solutions of equations in finite
fields) d´emontr´ees par Deligne en 1974.
On peut d´eformer les repr´esentations galoisiennes (Mazur, 1989,
Deforming Galois representations, cf expos´e de Mattew Emerton).

0 – La g´eom´etrie arithm´etique
Etude des syst`emes d’´equations polynomiales `a coefficients entiers
(Diophante) = Sch´emas de type fini sur Z.
P1,P2,...,Pm∈Z[X1,X2,...,Xn]7→ le sch´ema affine X=Spec A
avec A=Z[X1,X2,...,Xn]/(P1,P2,...,Pm).
Si Rest un anneau commutatif,
X(R) = (x1,x2,...,xn)∈Rn|P1(x1,...,xn) = . . . =Pm(x1,...,xn)=0
=Homanneaux (A,R).
On obtient un sch´ema de type fini sur Zpar recollement d’un nombre fini
de sch´emas affines de type fini sur Z. De fa¸con analogue : sch´emas de
pr´esentation finie sur Λ, anneau commutatif quelconque (en rempla¸cant
Zpar Λ).
Conjectures de Weil (1949, Numbers of solutions of equations in finite
fields) d´emontr´ees par Deligne en 1974.
On peut d´eformer les repr´esentations galoisiennes (Mazur, 1989,
Deforming Galois representations, cf expos´e de Mattew Emerton).

0 – La g´eom´etrie arithm´etique
Etude des syst`emes d’´equations polynomiales `a coefficients entiers
(Diophante) = Sch´emas de type fini sur Z.
P1,P2,...,Pm∈Z[X1,X2,...,Xn]7→ le sch´ema affine X=Spec A
avec A=Z[X1,X2,...,Xn]/(P1,P2,...,Pm).
Si Rest un anneau commutatif,
X(R) = (x1,x2,...,xn)∈Rn|P1(x1,...,xn) = . . . =Pm(x1,...,xn)=0
=Homanneaux (A,R).
On obtient un sch´ema de type fini sur Zpar recollement d’un nombre fini
de sch´emas affines de type fini sur Z.
De fa¸con analogue : sch´emas de
pr´esentation finie sur Λ, anneau commutatif quelconque (en rempla¸cant
Zpar Λ).
Conjectures de Weil (1949, Numbers of solutions of equations in finite
fields) d´emontr´ees par Deligne en 1974.
On peut d´eformer les repr´esentations galoisiennes (Mazur, 1989,
Deforming Galois representations, cf expos´e de Mattew Emerton).