Représentations galoisiennes, motifs et fonctions L

Représentations galoisiennes, motifs
et fonctions L
Jean-Marc Fontaine
0 – La géométrie arithmétique
Etude des systèmes d’équations polynomiales à coefficients entiers
(Diophante)
0 – La géométrie arithmétique
Etude des systèmes d’équations polynomiales à coefficients entiers
(Diophante) = Schémas de type fini sur Z.
0 – La géométrie arithmétique
Etude des systèmes d’équations polynomiales à coefficients entiers
(Diophante) = Schémas de type fini sur Z.
P1 , P2 , . . . , Pm ∈ Z[X1 , X2 , . . . , Xn ] 7→ le schéma affine X = Spec A
avec A = Z[X1 , X2 , . . . , Xn ]/(P1 , P2 , . . . , Pm ) .
0 – La géométrie arithmétique
Etude des systèmes d’équations polynomiales à coefficients entiers
(Diophante) = Schémas de type fini sur Z.
P1 , P2 , . . . , Pm ∈ Z[X1 , X2 , . . . , Xn ] 7→ le schéma affine X = Spec A
avec A = Z[X1 , X2 , . . . , Xn ]/(P1 , P2 , . . . , Pm ) .
Si R est un anneau commutatif,
X (R) = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R n | P1 (x1 , . . . , xn ) = . . . = Pm (x1 , . . . , xn ) = 0
= Homanneaux (A, R) .
On obtient un schéma de type fini sur Z par recollement d’un nombre fini
de schémas affines de type fini sur Z.
0 – La géométrie arithmétique
Etude des systèmes d’équations polynomiales à coefficients entiers
(Diophante) = Schémas de type fini sur Z.
P1 , P2 , . . . , Pm ∈ Z[X1 , X2 , . . . , Xn ] 7→ le schéma affine X = Spec A
avec A = Z[X1 , X2 , . . . , Xn ]/(P1 , P2 , . . . , Pm ) .
Si R est un anneau commutatif,
X (R) = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R n | P1 (x1 , . . . , xn ) = . . . = Pm (x1 , . . . , xn ) = 0
= Homanneaux (A, R) .
On obtient un schéma de type fini sur Z par recollement d’un nombre fini
de schémas affines de type fini sur Z. De façon analogue : schémas de
présentation finie sur Λ, anneau commutatif quelconque (en remplaçant
Z par Λ).
0 – La géométrie arithmétique
Etude des systèmes d’équations polynomiales à coefficients entiers
(Diophante) = Schémas de type fini sur Z.
P1 , P2 , . . . , Pm ∈ Z[X1 , X2 , . . . , Xn ] 7→ le schéma affine X = Spec A
avec A = Z[X1 , X2 , . . . , Xn ]/(P1 , P2 , . . . , Pm ) .
Si R est un anneau commutatif,
X (R) = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R n | P1 (x1 , . . . , xn ) = . . . = Pm (x1 , . . . , xn ) = 0
= Homanneaux (A, R) .
On obtient un schéma de type fini sur Z par recollement d’un nombre fini
de schémas affines de type fini sur Z. De façon analogue : schémas de
présentation finie sur Λ, anneau commutatif quelconque (en remplaçant
Z par Λ).
Conjectures de Weil (1949, Numbers of solutions of equations in finite
fields) démontrées par Deligne en 1974.
On peut déformer les représentations galoisiennes (Mazur, 1989,
Deforming Galois representations, cf exposé de Mattew Emerton).
1 – Fontions L
Séries de Dirichlet
(an )n≥1 une suite de nombres complexes 7→
+∞
X
an
n=1
ns
=
+∞
X
an e −s log(n) .
n=1
Abscisse de convergence σ0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}. La série converge et
définit une fonction holomorphe pour Re(s) > σ0 .
Prolongement analytique méromorphe dans tout le plan complexe ? ?
1 – Fontions L
Séries de Dirichlet
(an )n≥1 une suite de nombres complexes 7→
+∞
X
an
n=1
ns
=
+∞
X
an e −s log(n) .
n=1
Abscisse de convergence σ0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}. La série converge et
définit une fonction holomorphe pour Re(s) > σ0 .
Prolongement analytique méromorphe dans tout le plan complexe ? ?
La fonction zêta d’un schéma X de type fini sur Z
ζ(X , s) =
Y
x point fermé de X
1
( produit eulérien ) .
1 − N(x)−s
Si X = Spec A, les points fermés de X sont les idéaux maximaux de A.
Si x est l’un d’eux, N(x) est le cardinal du corps fini k(x) = A/x.
1 – Fontions L
Séries de Dirichlet
(an )n≥1 une suite de nombres complexes 7→
+∞
X
an
n=1
ns
=
+∞
X
an e −s log(n) .
n=1
Abscisse de convergence σ0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}. La série converge et
définit une fonction holomorphe pour Re(s) > σ0 .
Prolongement analytique méromorphe dans tout le plan complexe ? ?
La fonction zêta d’un schéma X de type fini sur Z
ζ(X , s) =
Y
x point fermé de X
1
( produit eulérien ) .
1 − N(x)−s
Si X = Spec A, les points fermés de X sont les idéaux maximaux de A.
Si x est l’un d’eux, N(x) est le cardinal du corps fini k(x) = A/x.
∀N, il n’y a qu’un nombre fini de points fermés x tels que N(x) ≤ N
⇒ ζ(X , s) =
+∞
X
an
n=1
ns
avec les an ∈ N .
Converge pour Re(s) > d, la dimension de X .
Exemples
1 – La fonction zêta de Riemann :
+∞
ζ(Spec Z, s) =
Y
p premier
X 1
1
=
= ζ(s) .
−s
1−p
ns
n=1
Exemples
1 – La fonction zêta de Riemann :
+∞
ζ(Spec Z, s) =
Y
p premier
X 1
1
=
= ζ(s) .
−s
1−p
ns
n=1
2 – La fonction zêta d’une variété sur un corps fini :
Si X est projective lisse sur Fp = Z/pZ (p un nombre premier), tous les
corps résiduels sont des extensions finies de Fp et les N(x) sont tous des
puissances de p.
Exemples
1 – La fonction zêta de Riemann :
+∞
ζ(Spec Z, s) =
Y
p premier
X 1
1
=
= ζ(s) .
−s
1−p
ns
n=1
2 – La fonction zêta d’une variété sur un corps fini :
Si X est projective lisse sur Fp = Z/pZ (p un nombre premier), tous les
corps résiduels sont des extensions finies de Fp et les N(x) sont tous des
puissances de p. Si νn est le cardinal de X (Fpn ), on a
+∞
X
Tn
ζ(X , s) = Z (X , p −s ) avec Z (X , T ) = exp(
νn
) ∈ Z[[T ]] .
n
n=1
Exemples
1 – La fonction zêta de Riemann :
+∞
ζ(Spec Z, s) =
Y
p premier
X 1
1
=
= ζ(s) .
−s
1−p
ns
n=1
2 – La fonction zêta d’une variété sur un corps fini :
Si X est projective lisse sur Fp = Z/pZ (p un nombre premier), tous les
corps résiduels sont des extensions finies de Fp et les N(x) sont tous des
puissances de p. Si νn est le cardinal de X (Fpn ), on a
+∞
X
Tn
ζ(X , s) = Z (X , p −s ) avec Z (X , T ) = exp(
νn
) ∈ Z[[T ]] .
n
n=1
PX ,1 (T )PX ,3 (T ) . . . PX ,2d−1 (T )
PX ,0 (T )PX ,2 (T ) . . . PX ,2d (T )
∈ Z[T ] et s’écrit dans C[T ]
Weil+Deligne ⇒ Z (X , T ) =
où chaque PX ,m
PX ,m (T ) =
bm
Y
(1 − λm,i T )
i=1
m/2
avec |σ(λm,i )| = p
pour tout automorphisme σ de C (ou tout σ ∈ GQ ,
les λm,i sont dans Q) : Les λm,i sont des p-nombres de Weil de poids m.
Représentations `-adiques
Soient ` un nombre premier, F un corps, F s une clôture séparable de F et
GF = Gal(Fs /F ). Une représentation `-adique de GF est la donnée d’un
espace vectoriel de dimension finie V sur une extension finie E du corps
Q` des nombres `-adiques muni d’une action linéaire continue de GF
ρ : GF → AutE (V )
(' GLd (E ) si V est de dimension d sur E ).
Si E = Q` , continue signifie que l’on peut choisir une base pour que
ρ(g ) ∈ GLd (Z` ) pour tout g et que, pour tout entier n,
l’homomorphisme naturel
ρn : GF → GLd (Z` ) → GLd (Z/`n Z)
se factorise à travers le groupe de Galois d’une extension finie galoisienne
Fn de F contenue dans F s .
Représentations `-adiques
Soient ` un nombre premier, F un corps, F s une clôture séparable de F et
GF = Gal(Fs /F ). Une représentation `-adique de GF est la donnée d’un
espace vectoriel de dimension finie V sur une extension finie E du corps
Q` des nombres `-adiques muni d’une action linéaire continue de GF
ρ : GF → AutE (V )
(' GLd (E ) si V est de dimension d sur E ).
Si E = Q` , continue signifie que l’on peut choisir une base pour que
ρ(g ) ∈ GLd (Z` ) pour tout g et que, pour tout entier n,
l’homomorphisme naturel
ρn : GF → GLd (Z` ) → GLd (Z/`n Z)
se factorise à travers le groupe de Galois d’une extension finie galoisienne
Fn de F contenue dans F s .
Exemples
– Si A est une variété abélienne de dimension g sur F , alors
V` (A) = Q` ⊗Z` T` (A) est une représentation `-adique de GF (de
dimension 2g sur Q` si ` est différent de la caractéristique de F ).
– Si X est une variété projective lisse sur F et si m ∈ N, alors
m
Hét
(XF s , Q` ) est une représentation `-adique de GF (de dimension bm (X )
sur Q` si ` est différent de la caractéristique de F ).
Représentations `-adiques de GQ
In my opinion the most interesting questions about GQ is to describe it
together with the distinguished subgroups GR , GQp , IQp and the distinguished
elements Frobp ∈ GQp /IQp (Richard Taylor, ICM, Beijing 2002).
Représentations `-adiques de GQ
In my opinion the most interesting questions about GQ is to describe it
together with the distinguished subgroups GR , GQp , IQp and the distinguished
elements Frobp ∈ GQp /IQp (Richard Taylor, ICM, Beijing 2002).
Q
∩
Q
⊂ Qp
∩
⊂ Qp
⊃ Zp
∩
⊃ Zp
Fp
∩
Fp
Représentations `-adiques de GQ
In my opinion the most interesting questions about GQ is to describe it
together with the distinguished subgroups GR , GQp , IQp and the distinguished
elements Frobp ∈ GQp /IQp (Richard Taylor, ICM, Beijing 2002).
Q
∩
Q
⊂ Qp
∩
⊂ Qp
⊃ Zp
∩
⊃ Zp
Fp
∩
Fp
GQp ⊂ GQ
1 → IQp → GQp → GFp → 1
Si x ∈ Fp , Frobp (x) = x p est le Frobenius arithmétique. Son inverse fp
est le frobenius géométrique.
Représentations `-adiques de GFp
Le Frobenius engendre un sous-groupe de GFp isomorphe à Z et dense
dans GFp . Si
ρ : GFp → GLd (E )
est une représentation `-adique de GFp , la matrice α = ρ(fp ) détermine ρ.
Représentations `-adiques de GFp
Le Frobenius engendre un sous-groupe de GFp isomorphe à Z et dense
dans GFp . Si
ρ : GFp → GLd (E )
est une représentation `-adique de GFp , la matrice α = ρ(fp ) détermine ρ.
Réciproquement, étant donné α ∈ GLd (E ), il existe ρ : GFp → GLd (E )
telle que ρ(fp ) = α si et seulement si les valeurs propres de α sont des
unités (i.e. des éléments λ ∈ E tels que |λ| = 1).
Représentations `-adiques de GFp
Le Frobenius engendre un sous-groupe de GFp isomorphe à Z et dense
dans GFp . Si
ρ : GFp → GLd (E )
est une représentation `-adique de GFp , la matrice α = ρ(fp ) détermine ρ.
Réciproquement, étant donné α ∈ GLd (E ), il existe ρ : GFp → GLd (E )
telle que ρ(fp ) = α si et seulement si les valeurs propres de α sont des
unités (i.e. des éléments λ ∈ E tels que |λ| = 1).
La semi-simplification de la représentation ρ est déterminée par le
polynôme caractéristique de α ou, ce qui revient au même, par le
polynôme Pρ (T ) = det(1 − αT ).
Représentations `-adiques de GFp
Le Frobenius engendre un sous-groupe de GFp isomorphe à Z et dense
dans GFp . Si
ρ : GFp → GLd (E )
est une représentation `-adique de GFp , la matrice α = ρ(fp ) détermine ρ.
Réciproquement, étant donné α ∈ GLd (E ), il existe ρ : GFp → GLd (E )
telle que ρ(fp ) = α si et seulement si les valeurs propres de α sont des
unités (i.e. des éléments λ ∈ E tels que |λ| = 1).
La semi-simplification de la représentation ρ est déterminée par le
polynôme caractéristique de α ou, ce qui revient au même, par le
polynôme Pρ (T ) = det(1 − αT ). Ou encore par la fonction L de ρ
L(ρ, T ) =
1
.
1 − Pρ (p −s )
(Ici on a implicitement choisi un plongement de E dans C.)
Encore les conjectures de Weil
Si X est une variété projective lisse sur Fp et si m ∈ N, alors
PX ,m (T ) = PH m (XF ,Q` ) (T ) ∈ Z[T ], est indépendant de ` 6= p et les
p
valeurs propres sont des nombres de Weil de poids m.
Encore les conjectures de Weil
Si X est une variété projective lisse sur Fp et si m ∈ N, alors
PX ,m (T ) = PH m (XF ,Q` ) (T ) ∈ Z[T ], est indépendant de ` 6= p et les
p
valeurs propres sont des nombres de Weil de poids m.
En particulier, la fonction ζ(X , s) s’écrit comme un produit alterné des
fonctions L des représentations fournies par la cohomologie étale `-adique.
Motifs
Si F est un corps, on voudrait fabriquer à partir de la catégorie des
variétés projectives lisses sur F une catégorie tannakienne neutre M(F )Q
sur Q, la catégorie des motifs purs sur F . On voudrait aussi disposer,
pour tout nombre premier ` différent de la caractéristique de F , d’un
⊗-foncteur réalisation `-adique
H` : MQ → RepQ` (GF )
dont on espère, lorsque F est de type fini sur son sous-corps premier qu’il
induit une équivalence entre la catégorie tannakienne sur Q` déduite de
M(F )Q et une sous-catégorie pleine de RepQ` (GF ), la catégorie
Repgéo,ss
(G ) des représentations géométriques semi-simples.
Q`
Motifs
Si F est un corps, on voudrait fabriquer à partir de la catégorie des
variétés projectives lisses sur F une catégorie tannakienne neutre M(F )Q
sur Q, la catégorie des motifs purs sur F . On voudrait aussi disposer,
pour tout nombre premier ` différent de la caractéristique de F , d’un
⊗-foncteur réalisation `-adique
H` : MQ → RepQ` (GF )
dont on espère, lorsque F est de type fini sur son sous-corps premier qu’il
induit une équivalence entre la catégorie tannakienne sur Q` déduite de
M(F )Q et une sous-catégorie pleine de RepQ` (GF ), la catégorie
Repgéo,ss
(G ) des représentations géométriques semi-simples.
Q`
Exemples : 1 – Une variété abélienne A est un motif pur de poids −1 et
H` (A) = V` (A).
2 – A X variété projective lisse sur F et m ∈ N, on doit pouvoir associer
m
le motif hm (X ) avec H` (hm (X )) = Hét
(XF s , Q` ).
Représentations `-adiques géométriques de GQ
Quelles sont les représentations `-adiques fournies par la cohomologie des
variétés algébriques ?
Si p est un nombre premier, on dit qu’une représentation `-adique W de
GQp est non ramifiée si IQp opère trivialement. C’est donc la même chose
qu’une représentation `-adique de GFp et on peut définir PW (T ) et
L(W , s).
Représentations `-adiques géométriques de GQ
Quelles sont les représentations `-adiques fournies par la cohomologie des
variétés algébriques ?
Si p est un nombre premier, on dit qu’une représentation `-adique W de
GQp est non ramifiée si IQp opère trivialement. C’est donc la même chose
qu’une représentation `-adique de GFp et on peut définir PW (T ) et
L(W , s).
Soit V une représentation `-adique. Pour tout nombre premier p, V IFp est
une représentation non ramifiée de GQp et on peut poser
Lp (V , s) = L( V IFp , s) .
Si S est un sous-ensemble de l’ensemble des nombres premiers,
considérons la fonction
Y
LS (V , s) =
Lp (V , s) .
p6∈S
Le théorème de Chebotarev implique que, si V est non ramifiée en dehors
d’un nombre fini de nombres premiers et si S est fini, alors V est
déterminée par LS (V , s).
X projectif lisse sur Q, M = hm (X ). Pour tout nombre premier `, H` (M)
est une représentation `-adique dont la dimension r est indépendante de
`.
Il existe un ensemble fini S de nombres premiers tel que, pour tout `,
H` (M) est non ramifiée en dehors de S ∪ {p}. En outre, pour p 6∈ S,
Lp (M, s) = Lp (H` (M), s)
est indépendant de ` 6= p.
X projectif lisse sur Q, M = hm (X ). Pour tout nombre premier `, H` (M)
est une représentation `-adique dont la dimension r est indépendante de
`.
Il existe un ensemble fini S de nombres premiers tel que, pour tout `,
H` (M) est non ramifiée en dehors de S ∪ {p}. En outre, pour p 6∈ S,
Lp (M, s) = Lp (H` (M), s)
est indépendant de ` 6= p. Conjecturalement, pour tout nombre premier
Lp (M, s) = Lp (H` (M)IQp , s)
est indépendant de ` 6= p. Permet de définir
Y
L(M, s) =
Lp (M, s) .
p premier
X projectif lisse sur Q, M = hm (X ). Pour tout nombre premier `, H` (M)
est une représentation `-adique dont la dimension r est indépendante de
`.
Il existe un ensemble fini S de nombres premiers tel que, pour tout `,
H` (M) est non ramifiée en dehors de S ∪ {p}. En outre, pour p 6∈ S,
Lp (M, s) = Lp (H` (M), s)
est indépendant de ` 6= p. Conjecturalement, pour tout nombre premier
Lp (M, s) = Lp (H` (M)IQp , s)
est indépendant de ` 6= p. Permet de définir
Y
L(M, s) =
Lp (M, s) .
p premier
On veut
a) pouvoir définir L(H` (M), s) de façon que L(M, s) = L(H` (M), s),
b) définir les représentations `-adiques géométriques. Pour cela, on a
besoin de la théorie de Hodge p-adique.
Qp ⊂ Bcris ⊂ BdR
GQp opère sur BdR et Bcris est stable par GQp . En outre, Bcris est muni
d’un endomorphisme ϕ de Qp -algèbres qui commute à l’action de GQp . Si
V est une représentation p-adique de GQp
Dcris (V ) = (Bcris ⊗Qp V )GK ⊂ DdR (V ) = (BdR ⊗Qp V )GQp
sont des Qp -espaces vectoriels de dimension finie ≤ à la dimension de V .
On dit que V est de de Rham si la dimension de DdR (V ) est égale à celle
de V .
Une représentation `-adique V de GQ est géométrique si elle est non
ramifiée en dehors d’un ensemble fini de nombres premiers et de de Rham
en ` = p. On définit alors sa fonction L par
Y
L(V , s) =
Lp (V , s)
p premier
avec Lp (V , s) = Lp (V IQp , s) si p 6= `
et Lp (V , s) = Pp (p1−s ) où Pp (V , T ) = det(1 − ϕ |Dcris (V ) T ) si p = `.