###### Chapitre I : Vecteurs et Matrices

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###### Chapitre I : Vecteurs et Matrices
## Nombres réels : dimension 1
#On crée une variable x (case-mémoire dans la RAM), elle va contenir 5 :
x = 5
#On affiche la valeur de x
x
# On enlève 3 à la valeur précédente 5 de x ce qui fait 2, la nouvelle valeur de x vaut 2 :
x = x –3
x
#On crée une variable y (une autre case-mémoire dans la RAM), elle va contenir -2 :
y = -2
#Afficher le résultat du produit de y par x
y*x
#Afficher la somme de y et de 2x :
y + 2*x
#Afficher le quotient de x par y au carré plus un :
x /(y^2 +1)
#Nouvelles valeurs
x = 14
y = 3
# Afficher l’entier qui précède le quotient de x par y
floor(x/y)
# Afficher le reste de la division de x par y
x%%y
## Couples de nombres réels : dimension 2, les vecteurs sont en colonne par défaut
n = 2

v1 = c(5,-1)
v1
v2 = c(-6,4)
v2
v1 + v2
# transposé
t(v1)
#combinaison linéaire
2*v1
2*v1 - 5*v2
#produit coordonnées par coordonnées
v1*v2
# produit scalaire
v1%*%v2
#refaire plusieurs exemples en changeant de vecteurs v1 et v2. Rapport entre la
#représentation graphique des vecteurs dans un plan avec une base orthonormée et le signe du
#produit scalaire ?
#somme, moyenne, max, min
sum(v1)
mean(v1)
max(v1)
min(v1)
# vecteur centré
m = mean(v1)
v1 - m
mean(v1 - m)
# variance d’un vecteur
(v1 - m)^2
sum((v1 - m)^2)/(n-1)
var(v1)
#ecart-type
sqrt(sum((v1-m)^2)/(n-1))
sd(v1)
# vecteur reduit
v = v1/sd(v1)
sd(v)

# vecteur centré réduit
w = (v1 -mean(v1))/sd(v1)
w
mean(w)
sd(w)
##dimension 3
n=3
v1 = c(6,4,8)
v2 = c(-4,3,2)
3*v1 - 4*v2
v1%*%v2
t(v1)
#somme, moyenne
sum(v1)
mean(v1)
# vecteur centré
m = mean(v1)
v1 - m
mean(v1 - m)
# variance d’un vecteur
(v1 - m)^2
sum((v1 - m)^2)/(n-1)
var(v1)
#ecart-type
sqrt(sum((v1-m)^2)/(n-1))
sd(v1)
# vecteur reduit
v = v1/sd(v1)
sd(v)
# vecteur centré réduit
w = (v1 -mean(v1))/sd(v1)
w
mean(w)
sd(w)
# covariance de deux vexteurs : produit scalaire des vecteurs centrés/(dim -1)
cov(v1,v2)
n = 3
(v1 -mean(v1))%*%(v2 - mean(v2))/(n-1)
#correlation : produit scalaire des vecteurs centrés/(dim -1)

cor(v1,v2)
((v1 -mean(v1))/sd(v1))%*%((v2 - mean(v2))/sd(v2))/(n-1)
### MATRICES
M = matrix(c(-2,5,6,4,1,7),3,2)
M
#Elements
M[1,2]
M[3,1]
M[3,2]
M[2,]
M[3,]
M[,2]
#Produit par un scalaire
3*M
#Image d'un vecteur (vecteur image)
M
v = c(5,1)
v
M[1,]%*%v
M[2,]%*%v
M[3,]%*%v
M%*%v
#Matrice transposée
t(M)
w = c(4,2,1)
t(M)%*%w
#Combinaison linéaire de deux matrices
N = matrix(c(-1,3,5,2,-6,5),3,2)
N
M
M+N
2*M -3*N
#Produit de deux matrices : le nombre de colonnes de la premiere
# doit être égal au nombre de lignes de la deuxième
#On fait le produit scalaire de chaque ligne de la premiere
#par chaque colonne de la deuxième
M
Q = matrix(c(-5,7,4,1,9,6,-2,3),2,4)
Q
M%*%Q
M[1,]%*%Q[,1]
M[1,]%*%Q[,2]

M[1,]%*%Q[,3]
M[1,]%*%Q[,4]
M[2,]%*%Q[,3]
M[3,]%*%Q[,4]
#Moyennes
Q
mean(Q)
rowMeans(Q)
apply(Q,1,mean)
colMeans(Q)
apply(Q,2,mean)
m = colMeans(Q)
m
l = nrow(Q)
l
replicate(l,m)
Me =t(replicate(l,m))
#Centrer
Q – Me
colMeans(Q-Me)
# Centrer Réduire
s= apply(Q,2,sd)
replicate(l,s)
Sd =t(replicate(l,s))
Sd
apply((Q-Me)/Sd,2,mean)
apply((Q-Me)/Sd,2,sd)
P = matrix(c(-8,4,5,6,-3,9,-1,2,4,3,1,7,5,8,-3),5,3)
P
#Matrice carrée symétrique de covariance des vecteurs colonnes d’une matrice
cov(P)
#Matrice carrée symétrique de corrélation des vecteurs colonnes d’une matrice
cor(P)
#Matrice carrée
A = matrix(c(7,3,0,5),2,2)
A
#vecteur propre, valeur propre
v = c(2,3)
A%*%v