Concours Euclide 2000 Solutions

(12 année – Sec. V)
Concours Euclide
e
2000 Solutions
C
oncours
canadien de
mathématiques
Une activité du Centre d'éducation
en mathématiques et en informatique,
Université de Waterloo, Waterloo, Ontario
pour les prix
The CENTRE for EDUCATION in MATHEMATICS and
COMPUTING
© 2000 Waterloo Mathematics Foundation

Solution du Concours Euclide 2000 2
1. a) Si
x+=27 125
1
3
1
3
, quelle est la valeur de x?
Solution
125 5
1
3
=
et
27 3
1
3
=
L’équation est donc
x+=35
, d’où
x=2
.
b) La droite d’équation
yaxc=+
passe par le point
15,
()
et elle est parallèle à la droite
d’équation
yx=2
. Quelle est la valeur de c?
Solution
La droite d’équation
yx=2
a une pente de 2. Puisque les droites sont parallèles, l’autre
droite a une pente de 2. Son équation a donc la forme
yxc=+2
. Puisque le point
15,
()
est
sur la droite,
521=
()
+c
, d’où
c=3
.
c) La parabole d’équation
yx=
()
––216
2
a pour
sommet A et elle croise l’axe des x au point B,
comme l’indique le diagramme. Déterminer
l’équation de la droite qui passe par les points
A et B.
y
x
O
A
B
Solution
Pour un point sur l’axe des x, on a
y=0
, d’où
x––2160
2
()
=
.
xx–– –24 240
()
[]
()
+
[]
=
Donc
x=6
ou
x=–2
.
Les coordonnées du point B sont donc
60,
()
.
Le sommet de la parabole est le point
A216,–
()
.
La droite qui passe par les points
A216,–
()
et
B60,
()
a pour pente
−−
−
16 0
26
, ou 4.
La droite a donc pour équation
y
x
−
−=
0
64
, ou
yx=−424
.
2. a) On a découpé six morceaux identiques d’une planche de bois, comme l’indique le premier
diagramme. Chaque trait de scie a été fait à un angle de
x°
. Les morceaux sont ensuite
rassemblés pour former un cadre hexagonal illustré dans le deuxième diagramme. Quelle est
la valeur de x?

Solution du Concours Euclide 2000 3
x°x°x°x°x°x°x°
Solution
Chaque angle intérieur d’un hexagone régulier mesure
120°.
Lorsqu’on place deux morceaux pour former le cadre,
on a :
2 120x=
(en degrés)
x=60
120°
120°
xx
b) Si log log
10 10
3xy=+ , quelle est la valeur de
x
y
?
Solution
L’équation devient :
log log
log
10 10
10
3
3
3
10
xy
x
y
x
y
x
y
−=
=
=, ou = 1000
c) Si
xx +=
113
6
, déterminer toutes les valeurs de l’expression
xx
22
1
+
.
Solution 1 ‘En prenant le carré de chaque membre’
xx
xx
xx
xx
+
=
++ =
+= −
+=
113
6
21 169
36
1 169
36
72
36
197
36
22
2
2
2
2
2
2

Solution du Concours Euclide 2000 4
Solution 2 ‘En multipliant chaque membre par
6x
’
61613
6
6613
61360
32230
2
2
xx xx
xx
xx
xx
+
=
+=
−+=
−−=()()
x=2
3
ou
x=3
2
Si
x=2
3
, alors :
xx
22
1
+
=
+
=+
=+
=
2
3
1
2
3
4
9
9
4
81 16
36
97
36
2
2
Si
x=3
2
, alors :
xx
22
1
+
=
+
=+
=
3
2
1
3
2
9
4
4
9
97
36
2
2
3. a) Le diagramme illustre un cercle de
diamètre
AB
. Le cercle croise la
partie positive de l’axe des y au point
Dd0,
()
. Quelle est la valeur de d?
D0, d
A–2, 0 B8, 0
y
x
O
Solution 1
D’après le diagramme, le cercle a un rayon de 5 et son centre est le point
30,
()
. Donc :
()()03 0 5
925
16
222
2
2
−+−=
+=
=
d
d
d
Puisque
d>0
,
d=4
.

Solution du Concours Euclide 2000 5
Solution 2
Puisque
AB
est un diamètre du cercle, l’angle
ADB
intercepte un demi-cercle et il est donc
droit. De plus,
∠=°AOD 90
.
Les triangles
ADO
et
DBO
sont donc semblables car deux de leurs angles sont congrus deux
à deux.
Donc
OD
AO
BO
OD
=
, d’où
d228=
()
.
Donc
d216=
Puisque
d>0
,
d=4
.
Solution 3
Comme dans la solution 2,
∠=∠=∠=°ADB AOD BOD 90
.
Dans le triangle
AOD
, on a donc
AD d
22
4=+
.
Dans le triangle
BOD
, on a
DB d
22
64=+
.
Dans le triangle
ADB
, on a
4 64 100
22
+
()
++
()
=dd
.
232
2
d=
Puisque
d>0
,
d=4
.
b) Le diagramme illustre un carré
PQRS
,
ayant des côtés de longueur x. Le carré
est subdivisé en quatre régions
triangulaires de manière que l’aire de
A + l’aire de B = l’aire de C. Si
PT =3 et
RU =5
, déterminer la valeur
de x.
PTS
U
R
Qx
x
3
5
A
B
C
Solution
Puisque les côtés du carré ont pour longueur x,
TS x=–3
et
US x=−5
.
Aire du triangle
Ax=
()()
1
23
.
Aire du triangle
Bx=
()
()
1
25
Aire du triangle
Cxx=
()
()
1
253––