Sur la distribution des zéros du polynôme dérivé d`un polynôme

Z(fn)

P n ≥2C
P0n−1P
P
P
µ
C{Xn:n≥1}µ
n≥2z∈C
fn(z) =
n
Y
i=1
(z−Xi)
f0
n
n→ ∞
fnf0
n
C
µ
f0
n
µ µ
f0
n
P
CP0
P
P=cQn
i=1(X−zi)
P0
P=
n
X
i=1
1
X−zi
z P 0z P

P0(z)
P(z)= 0
n
X
i=1
1
z−zi
= 0 ⇒
n
X
i=1
z−zi
|z−zi|2= 0
⇒
n
X
i=1
z−zi
|z−zi|2= 0
⇒(
n
X
i=1
1
|z−zi|2)−1
n
X
i=1
zi
|z−zi|2=z
P
z1, z2, z3
z1, z2, z3
P0
P
x1,· · · , xr
z1,· · · , zs∀i, =(zi)>0z1, z1,· · · , zs, zs
{z|z /∈R, P 0(z)=0} ⊂ [
1≤j≤s
B(<(zj),|=(zj)|)
z∈C\RP0=(z)>
0j≤s z =zjz∈B(<(zj),|=(zj)|)P(z)6= 0
P0(z)
P(z)=
r
X
i=1
1
z−xi
+
s
X
j=1
1
z−zj
+1
z−zj

z /∈S
1≤j≤s
B(<(zj),|=(zj)|)j≤s
zj=a+ib
1
z−a−ib +1 z−a+ib =2(z−a)((z−a)2+b2) |(z−a)2+b2|2
=((z−a)|z−a|2+ (z−a)b2) = (b2− |z−a|2)=(z)<0
=1
z−zj
+1
z−zj<0
i≤r
1
z−xi
−1
z−xi
=−2=(z)
|z−a|2<0
=1
z−xi<0
=P0(z)
P(z)<0
z P 0
C
C,(C)(C)
C
(C)C,(C)
|µ−ν|P:= inf{ > 0,∀A∈(C), µ(A)≤ν(A) +  ν(A)≤µ(A) + }
A={z∈C|d(z, A)< }
|µ−ν|P:= inf{ > 0,∀F∈(C), µ(F)≤ν(F) + }