Préparation à l`écrit du concours

ATS Préparation à l’écrit du concours Mai 2013
Exercice 1 : (ATS 2012, exercice 1) Corrigé page 7
On veut calculer les suites réelles (un)n∈N,(vn)n∈Net (wn)n∈Ntelles que pour tout entier naturel
n:
un+1 =−3un+vn+ 3wn
vn+1 =−4un+vn+ 4wn
wn+1 =−2un+vn+ 2wn
.
On pose Xn=
un
vn
wn
et X0=
u0
v0
w0
.
On se place dans l’espace vectoriel M3,1(R)des matrices réelles à 3 lignes et une colonne.
1. Déterminer la matrice carrée A telle que Xn+1 =AXn.
2. Donner une expression de Xnen fonction de A, n et X0.
3. Montrer que E1=
1
2
0
est un vecteur propre de la matrice A. Donner la valeur propre, λ1qui
lui est associée.
4. a) Déterminer le polynôme caractéristique PAde la matrice A.
b) Montrer que la matrice A admet trois valeurs propres distrinctes {λ1, λ2, λ3}à déterminer,
avec λ1< λ2< λ3. [λ1est la valeur propre trouvée à la question 3]
c) Déterminer un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ2de la forme E2=
1
α2
β2
.
d) Déterminer un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ3de la forme E3=
1
α3
β3
.
5. Soit D =
λ10 0
0λ20
0 0 λ3
. Déterminer une matrice inversible P telle que A =PDP−1. On ne
demande pas de calculer P−1.
6. Exprimer pour tout entier naturel nla matrice Anà l’aide de P,D et P−1et n. En déduire
que pour tout entier naturel non nul k, A2k−1=A et A2k=A2. Calculer A2.
7. a) On suppose que X0=
2
1
2
. Déduire de ce qui précède l’expression de (un)n∈N,(vn)n∈Net
(wn)n∈N.
b) Montrer que dans ce cas, les suites (un)n∈N,(vn)n∈Net (wn)n∈Nsont constantes à partir
d’un certain rang à préciser. Quelles sont les limites des suites (un)n∈N,(vn)n∈Net (wn)n∈N?
8. On suppose ici que X0=
1
2
0
. Exprimer en fonction de la parité de nl’expression des suites
(un)n∈N,(vn)n∈Net (wn)n∈N. Préciser lesquelles n’ont pas de limite.
9. Donner une condition nécessaire et suffisante sur u0, v0, w0pour que les suites (un)n∈N,(vn)n∈N
et (wn)n∈Nconvergent. Quelles sont alors les limites de ces suites ?
Exercice 2 : (ATS 2009, exercice 2) Corrigé page 9
Soient les fonctions Tn(x) = Pn
k=0 e2ikx et Sn(x)=2Re(Tn(x)) −1pour x∈R\ {kπ |k∈Z},
n∈N.
Rappel : sin (p) + sin (q) = 2 sin p+q
2cos p−q 2et 2sin (a)cos (b) = sin (a+b) + sin (a−b).
1. Calculer Tn(x), en déduire que Re(Tn(x)) = cos (nx)sin [(n+ 1)x]
sin (x)
1

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2. a) Montrer que Sn(x) = sin [(2n+ 1)x]
sin (x)= 1 + 2 Pn
k=1 cos (2kx).
(On posera Sn(0) = Sn(π) = 2n+ 1).
b) Interpréter cela comme une série de Fourier de période π, et en déduire la valeur de
In=1
πZπ
0
Sn(x)dx, puis celle de Jn=1
πZπ
0
(Sn(x))2dx.
3. Soit la fonction π-périodique définie par : f(0) = 0 et f(x) = ln (sin (x)) si 0< x < π.
a) Que vaut lim
x→0+√xln (x)2? En déduire que Z1
0
(ln (x))2dxest convergente.
b) Montrer que ln (sin (x)) ]
x→0+ln (x). En déduire que Zπ
0
(f(x))2dxconverge.
On admettra que cette propriété de carré intégrable permet d’étendre à fle développement
en série de Fourier et ses propriétés connues pour les fonctions C1par morceaux.
c) Pour x∈]0, π[, montrer que f(−x) = f(π−x) = f(x). En déduire que le développement en
série de Fourier de fs’écrit : Sf(x) = a0+P∞
n=1 ancos (2nx), donner l’expression intégrale
de anpour n > 0.
d) Que vaut lim
x→0+ln (sin (x)) sin (2nx)? En déduire en intégrant par parties que si n∈N∗
an=−1
nπ Zπ
0
cos (x)sin (2nx)
sin (x)dxpuis que an=−1 2n(In+In−1) = −1 n·
4. On admet que f(x) = Sf(x)si 0< x < π. En choisissant une valeur particulière de x, montrer
que a0=P∞
n=1
(−1)n
n·Justifier que cette dernière série converge.
5. Quel est le rayon de convergence et la somme de la série entière g(x) = P∞
n=1
(−1)n
nxn?
En admettant que cette somme est continue sur [0,1], en déduire la valeur de a0.
6. On rappelle que P∞
n=1
1
n2=π2 6·Donner la valeur de 1 πZπ
0
[ln (sin (x))]2dx.
Exercice 3 : (ATS 2004, exercice 2) Corrigé page 12
Dans ce qui suit, la fonction fest définie et dérivable sur R.
On considère les équations différentielles, de fonction inconnue fen la variable réelle x
(E1)f0(x) + xf(x) = 0
(E2)f0(x) + xf(x) = x3
1. Donner la solution générale de (E1)et l’unique solution f0telle que f0(0) = 1.
2. Donner la solution générale de (E2), et la fonction f1solution de (E2)et telle que f1(0) = 0.
Dans la suite de l’exercice, on pose F(x) = e−x2
2et on note I(R) = ZR
0
e
−x2
2dx.
3. a) Montrer que A =Z∞
0
F(t)dt=lim
R→+∞I(R)existe.
b) Soit J(R) = ZZC F(x)F(y)dxdyavec C = [0,R]×[0,R] = [0,R]2.
Exprimer J(R)en fonction de I(R).
c) Soit K(R) = ZZD F(x)F(y)dxdyavec D =(x, y)∈R2|06x, 06y, x2+y26R2.
Montrer que pour tout R positif, on a K(R)6J(R)6KR√2.
d) Calculer la valeur de K(R)par passage en coordonnées polaires. Calculer lim
R→+∞K(R)et en
déduire que A =rπ
2.
2

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4. On considère la fonction g(x) = Z+∞
−∞
cos (xt)F(t)dt.
a) Justifier l’existence de g(x).
b) En admettant que l’on peut dériver sous l’intégrale, démontrer que gest solution de (E1).
[On transformera l’expression trouvée pour g0(x)à l’aide d’une intégration par parties].
c) En déduire l’expression de g(x)en fonction de F(x).
5. Donner le développement en série entière (et le rayon de convergence) de G(x) = Zx
0
F(t)dt.
Exercice 4 : (ATS 2011, exercice 2) Corrigé page 15
Partie A
Soit un espace vectoriel euclidien E de dimension 3de base orthonormée B=#– ı , #–  ,
#–
k,fun
endomorphisme de matrice Adans la base B, et une matrice Savec A=
7−4−4
−4 1 −8
−4−8 1 
,
S=
1 2 2
2−2 1
2 1 −2
. Soient la famille de vecteurs #–
ı0,
#–
0,
#–
k0ayant pour composantes dans la base
B:#– ı0: (1,2,2),
#–
0: (2,−2,1),
#–
k0: (2,1,−2).
1. Montrer que B0=#– ı0,
#–
0,
#–
k0est une base orthogonale de E.
2. Montrer que S2=S.S= 9I, (Iétant la matrice de l’identité de E). En déduire l’inverse de S.
3. Montrer que #– ı0,
#–
0,
#–
k0sont des vecteurs propres de A. Préciser les valeurs propres associées
ainsi que la matrice de passage de Bvers B0. Trouver une matrice diagonale Dtelle que
A=S.D.S(1)
En déduire, sans calcul explicite de produit matriciel, que A2=A.A= 81I.
Partie B
On considère trois fonctions (x, y, z)dérivables sur Rvérifiant le système différentiel :
(SD) 
x0(t) = 7x(t)−4y(t)−4z(t)
y0(t) = −4x(t) + y(t)−8z(t)
z0(t) = −4x(t)−8y(t) + z(t)
,avec la condition initiale (CI) (x(0), y(0), z(0)) = (9,0,9)
Dans un espace affine A de dimension 3, on sera amené à utiliser le repère orthonormé R =
(O;B) = O;#– ı , #–  ,
#–
kainsi que le repère orthogonal R0= (O;B0) = O;
#–
ı0,
#–
0,
#–
k0.
1. Montrer que (SD) peut s’écrire X0(t) = A.X(t)en précisant ce qu’est X(t).
2. Soit la matrice colonne U(t) = S.X(t), avec U(t) = t (u(t)v(t)w(t)). Montrer que U(t)vérifie un
système différentiel simple (calculer U0(t)et utiliser l’équation (1) du A3)). Préciser la condition
initiale U(0).
3. Calculer U(t). Si dans le repère orthonormé R0,mtest le point de coordonnées (u(t), v(t), w(t))
déterminer un vecteur (constant) #– n∈E tel que ∀t∈R,#– n⊥
# –
Omt.
4. Déduire de ce qui précède l’unique fonction X(t)vérifiant (SD) et (CI). Si dans le repère R,
Mtest le point de coordonnées (x(t), y(t), z(t)) déterminer un vecteur (constant) #– N∈E tel que
∀t∈R,
#–
N⊥
# –
OMt.
5. Pour t∈Rle point Mtde coordonnées (x(t), y(t), z(t)) décrit la courbe H. Montrer que H
est incluse dans un plan dont on donnera une équation cartésienne.
6. Représenter graphiquement dans le repère O;
#–
ı0,
#–
0la courbe de représentation paramétrique
(u(t), v(t)). Quelle est la nature de cette courbe ? Quel est son rapport avec la courbe H?
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Exercice 5 : (ATS 2004, exercice 1) Corrigé page 20
Notations : M3(C)désigne l’ensemble des matrices carrées de dimension 3sur le corps C.a,b,c
sont des nombres complexes. On note I, J et M(a, b, c)les matrices suivantes
I=
100
010
001
J=
010
001
100
M(a, b, c) = 
a b c
c a b
b c a
On note j=e2iπ/3.j2=j=e4iπ/3 est une autre racine cubique de l’unité.
Partie A
1. Calculer J2et J3.
2. Déterminer les valeurs propres de J. La matrice J est-elle diagonalisable sur le corps C? L’est-elle
sur le corps R?
3. Pour chaque valeur propre de J déterminer le vecteur propre associé ayant 1pour première
composante, et une matrice P de passage à une base de vecteurs propres.
4. a) Exprimer la matrice M(a, b, c)à l’aide des matrices I, J et J2.
b) En déduire que H =M(a, b, c)|(a, b, c)∈C3est un sous-espace vectoriel de M3(C)pour
les lois usuelles (somme et loi externe). Précisez la dimension de H.
5. Montrer que les vecteurs propres (complexes) de J sont aussi vecteurs propres de J2ainsi que
de M(a, b, c). En déduire les valeurs propres de M(a, b, c)à l’aide de celles de J, puis en fonction
du nombre complexe j.
6. Montrer que tout élément de H est diagonalisable sur C. Donner la décomposition de M(a, b, c)
en fonction de la matrice P du I.3 et d’une matrice diagonale que l’on explicitera.
7. On suppose ici que les coefficients (a, b, c)sont réels.
a) Montrer que toutes les valeurs propres de M(a, b, c)sont réelles si et seulement si b=c.
b) Déterminer les valeurs propres de M(a, b, b)ainsi que les sous-espaces propres réels associés.
Partie B
Soit E un espace vectoriel euclidien réel de dimension 3, de base orthonormée B=#– i ,
#–
j ,
#–
k. On
note Id l’endomorphisme identité de E. Dans cette partie, on s’intéresse à une étude géométrique
des endomorphismes fa,b,c différents de Id dont la matrice relativement à la base Best M(a, b, c), en
supposant que les coefficients (a, b, c)sont réels. Il est recommandé d’utiliser les résultats trouvés
dans la première partie.
1. Montrer qu’il existe deux couples (a, b)tels que fa,b,b ait pour seules valeurs propres 1et −1.
Préciser les sous-espaces propres associés. Donner la nature géométrique de fa,b,b dans les deux
cas.
2. Montrer qu’il existe deux couples (a, b)tels que fa,b,b ait pour seules valeurs propres 1et 0.
Préciser les sous-espaces propres associés. Donner la nature géométrique de fa,b,b dans les deux
cas.
3. a) À quelles conditions nécessaires et suffisantes une matrice 3×3à coefficients réels représente-
t-elle la matrice dans la base Bd’une rotation ?
b) Montrer que J et J2sont des matrices de rotation de E, préciser le cosinus de leurs angles de
rotation.
c) Montrer que fa,b,c est une rotation vectorielle si et seulement si a2+b2+c2= 1 et a+b+c= 1.
En déduire que ab +bc +ca = 0.
Préciser l’axe de rotation ainsi que le cosinus de son angle de rotation en fonction de (a, b, c).
Exercice 6 : (ATS 2000, problème 3) Corrigé page 24
On note (E)l’équation différentielle 4xy00(x) + 2y0(x) + y(x)=0où y(x)désigne la fonction
inconnue.
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Partie A
On cherche ici les solutions de (E)qui sont développables en série entière sur un intervalle de centre
O, sous la forme y(x) = P∞
n=0 anxn.
1. Montrer que si y(x) = P∞
n=0 anxnest solution de (E), alors si n>1,2n(2n−1)an+an−1= 0.
2. En déduire l’expression de anen fonction de a0.
3. Quel est le rayon de convergence de la série obtenue ? En déduire qu’il existe une unique solution
de (E)développable en série entière en 0, et telle que y(0) = 1. On notera y1(x)cette solution .
4. Vérifier que y1(x) = cos √xpour x>0; que vaut y1(x)si x < 0?
Partie B
On cherche maintenant sur ]0,+∞[les solutions de (E)de la forme , y(x) = k(x)y1(x)où y1(x)
est la solution trouvée dans la partie A.
1. Montrer que y(x) = k(x)y1(x)est solution de (E)si et seulement si
4xy1(x)k00(x) + (8xy0
1(x)+2y1(x))k0(x) = 0
puis que
k00(x)
k0(x)=−1 2x−2y0
1(x)
y1(x)
lorsque les dénominateurs ne sont pas nuls.
En déduire k0(x)pour x > 0.
2. Montrer que la dérivée de tan x=sin x
cos xest égale à 1 cos2x; en déduire que k(x) = αtan √x+β,
avec α, β constantes réelles.
3. En déduire que les solutions de (E)sur R+∗sont de la forme y(x) = αsin √x+βcos √x.
4. Quelles sont les solutions de (E)dérivables en 0?
Peut-on déterminer une solution vérifiant y(0) = 0
y0(0) = 1 ?
Exercice 7 : (ATS 2011, exercice 1) Corrigé page 26
Soit la fonction f:R→Rimpaire et 2π-périodique telle que : ∀x∈]0,2π[, f(x) = π−x
2.
1. On suppose de plus que fest définie sur R. En déduire f(0).
2. Représenter graphiquement fsur l’intervalle [−π, 3π]. On précisera sur cette figure la valeur de
faux points de discontinuité.
3. Calculer la série de Fourier de la fonction f. Montrer que ∀x∈R, f(x) =
+∞
X
n=1
sin(nx)
n.
Soit la fonction g:R→Rimpaire et 2π-périodique telle que : ∀x∈]0,1], g(x) = xf(1)
∀x∈]1, π], g(x) = f(x).
4. Représenter la fonction gsur [−π, 3π].
5. Calculer Z1
0
xsin(nx)dx, puis Zπ
0
(g(x)−f(x)) sin(nx)dx. En déduire la série de Fourier g.
6. Montrer que ∀x∈R, g(x) =
+∞
X
n=1
sin(n)sin(nx)
n2.
7. Montrer que
+∞
X
n=1
sin(n)
n=
+∞
X
n=1
sin2(n)
n2. Exprimer ces sommes à l’aide de π.
8. En appliquant la relation de Parseval à la fonction g, calculer
+∞
X
n=1
sin2(n)
n4.
5