Polycopié

Universit´e de Marseille
Licence de Math´ematiques, 1ere ann´ee,
Analyse (limites, continuit´e, d´eriv´ees, int´egration)
T. Gallou¨ et
July 29, 2015

Table des mati`eres
1 Limites 3
1.1 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Op´erations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Exercices ............................................. 12
1.4.1 Quelques rappels (Parties major´ees et minor´ees, Suites. . . ) . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Limites .......................................... 14
1.5 Exercicescorrig´es......................................... 16
2 Continuit´e 19
2.1 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Fonction continue sur un intervalle ferm´e born´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Fonction strictement monotone et continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Exercices ............................................. 24
2.6 Exercicescorrig´es......................................... 28
3 D´eriv´ee 39
3.1 D´efinitions............................................. 39
3.2 Op´erations sur les d´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Th´eor`eme des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Fonctions de classe Cn...................................... 44
3.5 Exercices ............................................. 45
3.6 Exercicescorrig´es......................................... 49
4 Formules de Taylor et d´eveloppements limit´es 68
4.1 Taylor-Lagrange ......................................... 68
4.2 Taylor-Young ........................................... 69
4.3 Fonctions analytiques (hors programme...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Exemples (formules de taylor, DL)............................... 78
4.6 Equivalents ............................................ 81
4.7 Exercices ............................................. 82
4.8 Exercicescorrig´es......................................... 88
1

5 Int´egrale et primitives 112
5.1 Objectif .............................................. 112
5.2 Int´egrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Int´egrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Primitives............................................. 121
5.5 Int´egration par parties, formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.6 Th´eor`eme de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.7 Exercices ............................................. 125
5.8 Exercicescorrig´es......................................... 128
6 Fonctions r´eelles de plusieurs variables 133
6.1 Limite,continuit´e......................................... 133
6.2 Diff´erentielle, d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Recherche d’un extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.4 Exercices ............................................. 143
2

Chapitre 1
Limites
1.1 D´efinition et propri´et´es
Dans tout ce document, on utilisera indiff´erement le terme “fonction” et le terme “application”. Une
application (ou une fonction) fde Ddans Eest la donn´ee pour tout x∈Dde son image par f, not´ee
f(x). (Le domaine de d´efinition de fest donc ici l’ensemble D.) lorsque nous parlerons d’une fonction
de Rde R, le domaine de d´efinition de fsera donc Rtout entier.
D´efinition 1.1 (Limite finie en un point de R)Soit fune application de D⊂Rdans R,a∈Ret
l∈R. On suppose qu’il existe b, c ∈Rt.q. b<a<cet D⊃]b, a[∪]a, c[. On dit que lest limite de fen
asi pour tout ε > 0, il existe α > 0t.q. :
(x∈D, x 6=a, |x−a| ≤ α)⇒(|f(x)−l| ≤ ε).
Proposition 1.1 (Unicit´e de la limite) Soit fune application de D⊂Rdans Ret a∈R. On
suppose qu’il existe b, c ∈Rt.q. b<a<cet D⊃]b, a[∪]a, c[. Soit l, m ∈R. On suppose que lest limite
de fen aet que mest aussi limite de fen a. Alors, l=m.
D´ emonstration : Soit ε > 0. Comme lest limite de fen a, il existe α > 0 t.q.
x∈D, x 6=a, |x−a| ≤ α⇒ |f(x)−l| ≤ ε.
Comme mest limite de fen a, il existe β > 0 t.q.
x∈D, x 6=a, |x−a| ≤ β⇒ |f(x)−m| ≤ ε.
On choisit maintenant x= min(a+α, a +β, a+c
2). On a alors x6=a,x∈D(car a<x<c), |x−a| ≤ α
et |x−a| ≤ β. On a donc |f(x)−l| ≤ εet |f(x)−m| ≤ ε. On en d´eduit |l−m| ≤ 2ε.
On a ainsi montr´e que |l−m| ≤ 2ε, pour tout ε > 0. On en d´eduit que l=m. En effet, si l6=mon a
|l−m|>0. On choisit alors ε=|l−m|
4et on obtient
2ε=|l−m|
2≤ε,
et donc 2 ≤1 (car ε > 0). Ce qui est absurde. On a donc bien, n´ecessairement, l=m.
Notation : Si lest limite de fen a, on note l= limx→af(x).
3

Proposition 1.2 (Caract´erisation s´equentielle de la limite) Soit fune application de D⊂Rdans
R,a∈Ret l∈R. On suppose qu’il existe b, c ∈Rt.q. b<a<cet D⊃]b, a[∪]a, c[. Alors, lest la
limite en ade fsi et seulement si ftransforme toute suite convergente vers a(et prenant ses valeurs
dans D\ {a}) en suite convergente vers l, c’est-`a-dire :
(xn)n∈N⊂D\ {a},lim
n→+∞xn=a⇒lim n→+∞f(xn) = l.
D´ emonstration : On suppose tout d’abord que l= limx→af(x) et on va montrer que ftransforme
toute suite convergente vers a(et prenant ses valeurs dans D\ {a}) en suite convergente vers l.
Soit (xn)n∈N⊂D\{a}t.q. limn→+∞xn=a. On veut montrer que limn→+∞f(xn) = l, c’est-`a-dire (par
d´efinition de la limite d’une suite) que pout tout ε > 0 il existe n0∈Nt.q.
n≥n0⇒ |f(xn)−l| ≤ ε. (1.1)
Soit donc ε > 0. On cherche `a montrer l’existence de n0donnant (1.1). On commence par remarquer
que, comme l= limx→af(x), il existe α > 0 t.q.
x∈D, x 6=a, |x−a| ≤ α⇒ |f(x)−l| ≤ ε. (1.2)
Puis, comme limn→+∞xn=a, il existe n0∈Nt.q.
n≥n0⇒ |xn−a| ≤ α.
On a donc pour n≥n0,xn∈D,xn6=a(car la suite (xn)n∈Nprend ses valeurs dans D\ {a}) et
|xn−a| ≤ α. Ce qui donne, par (1.2), |f(xn)−l| ≤ ε. On a donc bien
n≥n0⇒ |f(xn)−l| ≤ ε.
On a donc bien montr´e que limn→+∞f(xn) = l. Ce qui termine la premi`ere partie de la d´emonstration
(c’est-`a-dire que l= limx→af(x) implique que ftransforme toute suite convergente vers a(et prenant
ses valeurs dans D\ {a}) en suite convergente vers l.)
On montre maintenant la r´eciproque. On suppose que ftransforme toute suite convergente vers a(et
prenant ses valeurs dans D\ {a}) en suite convergente vers l. On veut montrer que l= limx→af(x).
Pour cela, on va raisonner par l’absurde. On suppose que ln’est pas la limite en ade f(la fonction f
peut alors avoir une limite en adiff´erente de lou bien ne pas avoir de limite en a) et on va construire
une suite (xn)n∈Nprenant ses valeurs dans D\ {a}, t.q. limn→+∞xn=aet ln’est pas limite de f(xn)
quand n→+∞(en contradiction avec l’hypoth`ese).
Comme ln’est pas la limite en ade f, il existe ε > 0 t.q. pour tout α > 0 il existe xt.q.
x∈D, x 6=a, |x−a| ≤ αet |f(x)−l|> ε. (1.3)
Soit n∈N. En prenant α=1
n+1 dans (1.3), on peut donc choisir un r´eel xnt.q.
xn∈D, xn6=a, |xn−a| ≤ 1
n+ 1 et |f(xn)−l|> ε. (1.4)
On a ainsi construit une suite (xn)n∈Nt.q. (xn)n∈N⊂D\{a}, limn→+∞xn=a(car |xn−a| ≤ 1
n+1 pour
tout n) et ln’est pas limite de f(xn) quand n→+∞(car |f(xn)−l|> ε pour tout n). Ce qui est bien
en contradiction avec l’hypoth`ese que ftransforme toute suite convergente vers a(et prenant ses valeurs
dans D\ {a}) en suite convergente vers l. Ce qui termine la d´emonstration de la proposition 1.2.
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