PS2 – Géométrie analytique dans le plan I Produit scalaire en

PS2 – Géométrie analytique dans le plan
I Produit scalaire en repère orthonormé (RON)
Dans cette section, on munit le plan d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j).
A Expression du produit scalaire en RON
PROPOSITION.Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j), on considère −→ ux
yet −→
ux0
y0
deux vecteurs du plan. Alors leur produit scalaire est donné par
−→
u·−→ v=xx0+yy0.
Démonstration. Nous allons démontrer cette proposition en deux temps. Tout d’abord, montrons que, dans un repère
orthonormal quelconque (O;−→ i , −→ j),
k−→ u+−→ vk2− k−→ uk2− k−→ vk2= 2(xx0+yy0).
On a −→ ux
y,−→
ux0
y0et −→
u+−→ vx+x0
y+y0. On a donc
k−→ u+−→ vk2− k−→ uk2− k−→ vk2= (x+x0)2+ (y+y0)2−(x2+y2)−(x02+y02) = 2(xx0+yy0).
Montrons maintenant, d’autre part, que
k−→ u+−→ vk2− k−→ uk2− k−→ vk2= 2−→ u·−→ v
Attention, nous n’utiliserons pas ici la bilinéarité du produit scalaire car
ce résultat (que nous avons admis dans le premier chapitre sur le pro-
duit scalaire) sera une conséquence de la proposition. On considère un
nouveau repère (O;−→ u1;−→ u2)orthonormal dont le premier vecteur de base
−→
u1est le vecteur unitaire colinéaire de même sens que −→ uet le second
vecteur −→ u2unitaire tel que (−→ u1;−→ u2) = π
2. Déterminons les coordonnées
des vecteurs −→ u,−→ vdans ce nouveau repère :
−→
uk−→
uk
0et −→
vk−→
vkcos(θ)
k−→ vksin(θ)où θ= (−→
u;−→ v)
D’après le résultat montré dans la première partie, on a
k−→ u+−→ vk2− k−→ uk2− k−→ vk2= 2k−→ uk × k−→ vkcos(θ) = 2−→ u·−→ v
−→
i
−→
j
O
A
B
C
−→
u1
−→
u2−→
u
−→
vθ
Les deux égalités démontrées permettent alors de déduire que quel que soit le repère orthonormé (O;−→ i , −→ j), on a
−→
u·−→ v=1
2k−→
u+−→ vk2− k−→ uk2− k−→ vk2=xx0+yy0.
B Conséquences
PROPOSITION (Critère d’orthogonalité de deux vecteurs).
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j), on considère −→ ux
yet −→
ux0
y0deux vecteurs du
plan. On a l’équivalence
−→
uet −→ vsont orthogonaux ⇔xx0+yy0= 0.
Démonstration. On sait que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul or ce produit
scalaire vaut xx0+yy0d’où la proposition.

On avait laissé la preuve de la proposition suivante en suspens. Nous avons maintenant les outils pour faire
cette démonstration.
PROPOSITION (Bilinéarité du produit scalaire).
Soient −→ u , −→ vet −→ wtrois vecteurs, et kun nombre réel. Alors, on a les égalités suivantes :
−→
u·−→ v=−→ v·−→ u(Symétrie) −→ u·(−→ v+−→ w) = −→ u·−→ v+−→ u·−→ w−→ u·(k−→ v) = (k−→ u)·−→ v=k(−→ u·−→ v)(Linéarité)
Démonstration. Cette démonstration n’est qu’une simple vérification de chaque égalité, cependant les écritures sont
un peu lourdes, on montrera que la première identité, la deuxième étant sans difficulté. On munit le plan d’un repère
orthonormal (O;−→ i , −→ j), on note alors −→ ux1
y1,−→
vx2
y2et −→
wx3
y3les coordonnées des vecteurs dans cette base. On
a, d’une part, −→
u·(−→ v+−→ w) = x1(x2+x3) + y1(y2+y3) = x1x2+x1x3+y1y2+y1y3
et d’autre part,
−→
u·−→ v+−→ u·−→ w= (x1x2+y1y2) + (x1x3+y2y3) = x1x2+x1x3+y1y2+y1y3.
Ainsi, −→ u·(−→ v+−→ w) = −→ u·−→ v+−→ u·−→ w .
II Equations cartesiennes d’une droite
A Qu’est-ce qu’une équation de droite ?
DÉFINITION.Soit −→ uun vecteur non nul et Dune droite.
On dit que −→ uest un vecteur directeur de la droite Dsi −→ uet Dont même direction.
Par exemple, si Aet Bsont deux points distincts, −−→ AB,2−−→ AB,3
4−−→
BA sont trois vecteurs directeurs de la droite
(AB).
Préambule Dans le plan muni d’un repre (O;−→
i , −→ j), on considère les points A(2; 5) et B(−2; 2). Soit M(x;y)
un point du plan.
On souhaite déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées xet yde Mpour que
Mappartienne à la droite (AB).
On note Dla droite (AB). Un vecteur directeur de Dest, par exemple, −→ u=−−→ AB −4
−3
M(x;y)appartient à la droite D ⇐⇒ les vecteurs −−→ AM et −→ usont colinéaires
⇐⇒ −−→ AM x−2
y−5et −→
u−4
−3sont colinéaires
⇐⇒ (−3) ×(x−2) −(−4) ×(y−5) = 0
⇐⇒ −3x+ 6 + 4y−20 = 0
⇐⇒ −3x+ 4y−14 = 0
Ainsi, un point M(x;y)appartient à la droite (AB)si et seulement si ses coordonnées vérifient la relation
−3x+ 4y−14 = 0.
On dit que −3x+ 4y−14 = 0 est une équation cartesienne de la droite (AB). Remarquez qu’une droite
n’admet pas une unique équation cartesienne mais une infinité, par exemple, −6x+ 8y−28 = 0 ou encore
y=3
4x+14 4sont aussi des équations cartesienne de la droite (AB). L’équation y=3 4x+14 4est appelée équa-
tion réduite de la droite (AB).
Plus généralement, on montre exactement de la même façon que

PROPOSITION (Equation cartesienne d’une droite connaissant un vecteur directeur).
Toute droite du plan admet une équation de la forme
ax +by +c= 0
où a, b et csont trois réels, aet bétant non simultanément nuls. On dit que cette équation est une équation
cartésienne de la droite.
Réciproquement, si a, b et ctrois réels tels que (a;b)6= (0; 0), alors l’ensemble des points M(x;y)qui
vérifient la relation ax+by +c= 0 est une droite. De plus, un vecteur directeur de cette droite est −→ u(−b;a).
EXEMPLES.Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les points A(1; −3) et B(2; −5).
On sait que −−→ AB(1; −2) est un vecteur directeur de la droite (AB). On note Dcette droite. On note
(x;y)les coordonnées d’un point M.
M(x;y)appartient à la droite D ⇐⇒ les vecteurs −−→
AM et −−→
AB sont colinéaires
⇐⇒ −−→ AM x−1
y+ 3 et −−→
AB 1
−2sont colinéaires
⇐⇒ (x−1) ×(−2) −1(y+ 3) = 0
⇐⇒ −2x+ 2 −y−3 = 0
Ainsi, une équation cartesienne de (AB)est −2x−y−1 = 0. Bien entendu, on déduit l’équation
réduite de (AB)qui est y=−2x−1.
EXEMPLES.5x−2y+ 3 = 0 est l’équation d’une droite : on a a= 5,b=−2et c= 3. Un vecteur
directeur de cette droite est −→ u(−b;a)soit −→ u(2; 5). Cette droite passe par le point A(1; 4) : on peut
alors construire cette droite.
REMARQUES.On privilégiera maintenant les équations cartesiennes ax +by +c= 0 aux équations réduites
y=mx +p. En effet, le principal défaut des équations réduites réside dans le fait que les droites de vecteurs
directeurs −→ jn’ont pas une équation de la forme y=mx +palors que les équations cartesiennes englobent
toutes les droites du plan.
B Vecteur normal et équation cartesienne en RON
En repère orthonormal, on peut aussi déterminer une équation cartesienne d’une droite Dconnaissant un
vecteur normal de la droite, c’est à dire un vecteur de direction perpendiculaire à celle de la droite D. Dans la
suite de ce paragraphe, on munit le plan d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j).
DÉFINITION.Soit Dune droite du plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j). On dit qu’un vecteur
non nul −→ nest un vecteur normal pour la droite Dsi sa direction est perpendiculaire à celle de D.
PROPOSITION (Caractérisation d’une droite par le produit scalaire).
Soit Dune droite du plan de vecteur normal −→ npassant par un point A.
Alors, Dest exactement l’ensemble des points Mdu plan tels que
−→
n·−−→ AM = 0.
Démonstration. Soit Mun point de la droite D. Si M=A, alors −−→ AM·−→ n=−→ 0·−→ n= 0.
Si M6=A, alors −−→ AM est un vecteur orthogonal à −→ npar définition de −→ net donc
−−→
AM ·−→ n= 0.
Réciproquement, soit Mun point tel que −→ n·−−→ AM = 0. Alors soit −−→ AM =−→ 0c’est-à-
dire M=A, soit −−→
AM est non nul et donc orthogonal à −→ n. Ainsi, Mappartient à la
droite D. D’où la proposition.
D
−→
u
(vecteur directeur)
−→
n(vecteur normal)

CONSÉQUENCE (Equation cartesienne d’une droite connaissant un vecteur normal).
Soient a, b deux réels tels que (a;b)6= (0; 0). Dans un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j), si une droite Dadmet
−→
n(a;b)comme vecteur normal alors Da une équation du type
ax +by +c= 0.
Réciproquement, si une droite admet pour équation cartesienne ax +by +c= 0 alors −→ n(a;b)est un vecteur
normal de cette droite.
Démonstration. Soit Dla droite passant par le point A(xA;yA)et admettant −→ n(a;b)comme vecteur normal.
M(x;y)appartient à la droite D ⇐⇒ −−→ AM ·−→ n= 0
⇐⇒ (x−xA)×a+ (y−yA)×b= 0
⇐⇒ ax+by+ (−axA−byA)
c
= 0
Réciproquement, si Dadmet ax +by +c= 0 comme équation cartesienne ((a;b)6= (0; 0)) alors on sait que −→ u(−b;a)
est un vecteur directeur de D. Ainsi −→ n(a;b)est un vecteur normal de D. En effet, −→ u·−→ n=a×(−b) + a×b= 0 et
−→
n6=−→ 0.
Exercice 1 Dans un repère orthonormé du plan, on considère A,Bet Ctrois points de coordon-
nées respectives (−1; 2),(3; 1) et (2; 4). Déterminer une équation cartesienne de la médiatrice ∆
de [AB], de la hauteur Dissue de Adu triangle ABC et de la médiane Dissue de B.
Exercice 2 Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j). On considère la droite
D:1
2x+1 3y−1 = 0
et Ale point de coordonnées (3; −2). Déterminer une équation cartesienne de la droite ∆perpen-
diculaire à Det passant par le point A. Déterminer les coordonnées du point d’intersection Mde
ces deux droites.
C Critère d’orthogonalité de deux droites en RON
PROPOSITION.Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j), on considère Det D0deux droites
d’équations cartesiennes respectives
D:ax +by +c= 0 D0:a0x+b0y+c0= 0
avec (a;b)6= (0; 0) et (a0;b0)6= (0; 0). Alors,
D ⊥ D0⇐⇒ aa0+bb0= 0
Démonstration. C’est immédiat car −→ n(a;b)et −→ n0(a0;b0)sont des vecteurs normaux respectifs de Det D0. Ainsi, D ⊥ D0
si et seulement si −→ n·−→ n0= 0 d’où le résultat.
REMARQUES (Caractérisation de l’orthogonalité vs éqt réduite).Si D:y=mx +pet D0:y=m0x+p0sont les
équations réduites de deux droites, alors ces droites admettent respectivement −→ n(−m; 1) et −→ n0(−m0; 1) pour
vecteurs normaux et donc, ces droites sont perpendiculaires si et seulement si mm0=−1.
Exercice 3 ABC est un triangle rectangle en Aavec AB = 2 et AC = 1. Le point Dest le
symétrique de Cpar rapport à Aet Kle point tel que −−→ AK =1
4−−→
AB.
En utilisant un repère orthonormal bien choisi, démontrer que les droites (BD)et (CK)sont
perpendiculaires.

III Equations d’un cercle
Dans la suite, on munit le plan d’un repère orthonormé (O;−→ i , −→ j).
A Equations d’un cercle
Connaissant le centre Ωet le rayon rdu cercle.
Préambule Soit Ω(−3; 2) et Cle cercle de centre Ωet de rayon 4. Soit M(x;y)un point du plan.
On souhaite déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées xet yde Mpour que
Mappartienne au cercle C.
M(x;y)appartient au cercle C⇐⇒ ΩM= 4
⇐⇒ ΩM2= 16
⇐⇒ (x+ 3)2+ (y−2)2= 16
⇐⇒ x2+y2+ 6x−4y−3 = 0
Ainsi, un point M(x;y)appartient au cercle Csi et seulement si ses coordonnées vérifient la relation
x2+y2+ 6x−4y−3 = 0.
On dit que x2+y2+ 6x−4y−3 = 0 est une équation cartesienne du cercle C.
Vérifier que le point A(1; 2) appartient au cercle C.
Plus généralement, on montre exactement de la même façon que
PROPOSITION.Dans un repère orthonormé, un cercle Cadmet une équation cartesienne du type
x2+y2+ax +bx +c= 0
où a, b, c sont trois réels.
Attention! Il est important ici de retenir la méthode pour obtenir une équation cartesienne d’un
cercle connaissant les coordonnées du centre Ωet le rayon rc’est-à-dire la méthode vue en préam-
bule
Connaissant un diamètre [AB]du cercle.
PROPOSITION (Caractérisation d’un cercle par le produit scalaire).
Soit Cun cercle de diamètre [AB]. Alors, Cest exactement l’ensemble des points Mdu plan tels que
−−→
MA ·−−→ MB = 0.
Démonstration. Si Mappartient au cercle de diamètre [AB]alors, soit M=A, soit M=Bet donc on a clairement
−−→
MA ·−−→ MB = 0, soit finalement, Mest distinct de Aet de Bet donc, le triangle AMB est rectangle en M(par la
caractérisation d’un triangle rectangle par le cercle circonscrit) et par conséquent le produit scalaire −−→ MA ·−−→ MB est nul.
Réciproquement, si Mest un point tel que −−→
MA ·−−→
MB = 0 alors −−→
MA =−→ 0ou −−→
MA =−→ 0ou bien (M A)⊥(MB)
autrement dit, ou M=A, ou M=Bou bien Mappartient au cercle Cde diamètre [AB].
Application Soient A(−2; 2) et B(1; 3) deux points du plan. Déterminons une équation cartesienne du cercle
Cde diamètre [AB].
M(x;y)appartient au cercle C⇐⇒ −−→ MA ·−−→ MB = 0
⇐⇒ (−2−x)(1 −x) + (2 −y)(3 −y) = 0
⇐⇒ x2+y2+x−5y+ 4 = 0
Le cercle Cadmet pour équation cartesienne
x2+y2+x−5y+ 4 = 0.