Chap. 7 ʹ Arithmétique, PGCD et fractions irréductibles I. Multiple

Chap. 7 ʹ Arithmétique, PGCD et fractions irréductibles I.
Multiple ʹ Diviseur Dans cette partie les nombres utilisés sont des nombres entiers positifs. Définition 1 : Un nombre positif non nul ܾ est un diviseur ĚĞů͛ĞŶƚŝĞƌpositif ܽ signifiĞƋƵ͛ŝůĞdžŝƐƚĞƵŶĞŶƚŝĞƌpositifs ݇ tel que ܽ ൌ ܾ ൈ ݇. On dit aussi que ܽ est un multiple de ܾ. Exemple : ͷͶ est un multiple de ͻ ƉƵŝƐƋƵ͛ŝůĞdžŝƐƚĞƵŶĞŶƚŝĞƌƉŽƐŝƚŝĨ, ici ͸ tel que ͷͶ ൌ ͻ ൈ ͸. Ici ܽ ൌ ͷͶ, ܾ ൌ ͻ et ݇ ൌ
͸. On dit aussi que ͻ est un diviseur de ͷͶ et que ͷͶ est divisible par ͻ. WŽƵƌƚƌŽƵǀĞƌƚŽƵƐůĞƐĚŝǀŝƐĞƵƌƐĚ͛ƵŶŶŽŵďƌĞŽŶƵƚŝůŝƐĞůĂŵĠƚŚŽĚĞ͘džĞŵƉůĞĂǀĞĐϳϮ ͹ʹ ൌ ͳ ൈ ͹ʹ ͹ʹ ൌ ʹ ൈ ͵͸ ͹ʹ ൌ ͵ ൈ ʹͶ ͹ʹ ൌ Ͷ ൈ ͳͺ ͹ʹ ൌ ͸ ൈ ͳʹ ͹ʹ ൌ ͺ ൈ ͻ KŶĞƐƚƐƸƌĚ͛ĂǀŽŝƌŽďƚĞŶƵƚŽƵƐůĞƐĚŝǀŝƐĞƵƌƐĚĞϳϮĐĂƌĚ͛ƵŶĞƉĂƌƚƚŽƵƐůĞƐĚŝǀŝƐĞƵƌƐĚĞϳϮƐŽŶƚŝŶĨĠƌŝĞƵƌƐŽƵĠŐĂƵdžăϳϮ
ĞƚĚ͛ĂƵƚƌĞƉĂƌƚůĞƐĨĂĐƚĞƵƌƐǀŽŶƚƐĞƌĠƉĠƚĞƌ. Remarque : x
x
0 est divisible par Ŷ͛ŝŵƉŽƌƚĞƋƵĞůŶŽŵďƌĞĞŶƚŝĞƌ͘ ϭĞƐƚƵŶĚŝǀŝƐĞƵƌĚĞŶ͛ŝŵƉŽƌƚĞƋƵĞůŶŽŵďƌĞ. II.
Plus Grand Commun Diviseur Définition 2 : Si deux entiers ܽ et ܾ sont divisibles par un même nombre entier ݀ ് Ͳ, on dit que ݀ est un diviseur commun de ܽ et ܾ. Exemple : Les diviseurs communs à 6 et 36 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6 Déterminer les diviseurs communs des couples suivants : x
x
x
12 et 18 Diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 Diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 Diviseurs communs à 12 et 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 14 et 42 Diviseurs de 14 : 1 ; 2 ; 7 ; 14 Diviseurs de 42 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42 Diviseurs communs à 14 et 42 : 1 ; 2 16 et 21 Diviseurs de 16 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 Diviseurs de 21 : 1 ; 3 ; 7 ; 21 Diviseur commun à 16 et 21 : 1 Définition 3 : Le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres entiers ܽ et ܾ est noté le PGCD de ࢇ et ࢈ ou encore PGCD(a ; b) Notation : Le Plus Grand Commun Diviseur (noté PGCD) de 6 et 36 est égal à 6. Ainsi PGCD(6 ;36)=6. Exercice : Déterminer le PGCD des couples suivants : x
x
x
12 et 18 Le PGCD est 6 14 et 42 Le PGCD est 2 16 et 21 Le PGCD est 1 Définition 4: Lorsque PGCD(a ; b)=1 on dit alors que ܽ et ܾ sont premiers entre eux. Les nombres 16 et 21 sont premiers entre eux car le PGCD de 16 et 21 est égal à 1. Exercice résolu : En déterminant les PGCD des nombres suivants, on peut remarquer quelques propriétés du PGCD : x
x
x
x
PGCD(12 ; 18) et PGCD(18 ; 12) Diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 Diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 Diviseurs communs à 12 et 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 Donc PGCD(12 ; 18)=6 et PGCD(18 ; 12)=6 ainsi PGCD(12 ; 18)=PGCD(18 ; 12) =>PGCD(a ; b)=PGCD(b ; a) PGCD(12 ; 12) Diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 Diviseurs communs à 12 et 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 PGCD(12 ; 12)=12 =>PGCD(a ; a)=a PGCD(1 ; 14) puis PGCD(1 ; 19) et PGCD(1 ; 25) =>PGCD(1 ; a)=1 PGCD(0 ; 6) puis PGCD(0 ; 10) =>PGCD(0 ; a)=a Propriété 1 : Propriétés du PGCD (admise) PGCD(a ; b)=PGCD(b ; a) PGCD(a ; a)=a PGCD(1 ; a)=1 PGCD(0 ; a)=a Propriété 2 ͗ĂůĐƵůĚƵW'ƉĂƌů͛ĂůŐŽƌŝƚŚŵĞĚĞƐƐŽƵƐƚƌĂĐƚŝŽŶƐƐƵĐĐĞƐƐŝǀĞƐ͘ (admise) Soient ܽ et ܾ deux entiers strictement positifs tels que ܽ ൐ ܾ, alors PGCD(a ; b)=PGCD(a-­‐b, b). Exemple ͗KŶĐŚĞƌĐŚĞůĞW'ĚĞϮϴϱĞƚϭϭϰƉĂƌů͛ĂůŐŽƌŝƚŚŵĞĚĞƐƐŽƵƐƚƌĂĐƚŝŽŶƐƐƵĐĐĞƐƐŝǀĞƐ : PGCD(285 ; 114) =PGCD(171 ; 114) =PGCD(114 ; 57) =PGCD(57 ; 57) =57 Car 285-­‐114=171 Car 171-­‐114=57 Car 114-­‐57=57 Définition 5 : ܽ et ܾ désignent deux nombres entiers positifs avec ܾ ് Ͳ. Effectuer la division euclidienne de ܽ par ܾ Đ͛ĞƐƚƚƌŽƵǀĞƌůĞƋƵŽƚŝĞŶƚĞŶƚŝĞƌ‫ ݍ‬ et le reste entier ‫ ݎ‬ tel que ܽ ൌ ܾ ൈ ‫ ݍ‬൅ ‫ ݎ‬ avec Ͳ ൑ ‫ ݎ‬൏ ܾ. Exemple : On effectue la division euclidienne de 155 par 4 155 4 Alors 155=4ൈ38+3 et 3<4. Dans la division euclidienne de 155 par 4, le quotient entier est 38 et le reste 35 38 entier est 3. 3 Propriété 3 ͗ĂůĐƵůĚƵW'ƉĂƌů͛ĂůŐŽƌŝƚŚŵĞĚ͛ƵĐůŝĚĞ͘ (admise) Soient ܽ et ܾ deux entiers strictement positifs tels que ܽ ൐ ܾ et ܾ ് Ͳ, alors PGCD(a ; b)=PGCD(b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de ܽ par ܾ. Exemple ͗KŶĐŚĞƌĐŚĞůĞW'ĚĞϮϴϱĞƚϭϭϰƉĂƌů͛ĂůŐŽƌŝƚŚŵĞd͛Euclide : Dividende 285 114 Diviseur 114 57 Reste ͷ͹ 0 Division euclidienne 285=114ൈ2+57 114=57ൈ2+0 III.
Fractions irréductibles Définition 6 : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. ଷ
La fraction ସ est irréductible car PGCD(3 ; 4)=1 et donc le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. ଵସ ହ ଵଷ ଶ଻
; ; ; ଵ଼ ଼ ଷ
ଷ
௔
௕
Propriété 4 : ܽ et ܾ désignent des nombres entiers avec ܾ ് Ͳ. La fraction peut être simplifiée par le nombre PGCD(a ;b). La fraction obtenue est irréductible. ଶସ
Exemple : On veut simplifier la fraction ଷଶ͘KŶĐŚĞƌĐŚĞĚ͛ĂďŽƌĚůĞW'ĚĞϮϰĞƚĚĞϯϮƉĂƌůĂŵĠƚŚŽĚĞĚĞƐŽn choix. sĞƌƐŝŽŶĂůŐŽƌŝƚŚŵĞĚ͛ƵĐůŝĚĞ : 32=24ൈ1+8 24=8ൈ3+0 Donc le PGCD de 24 et 32 et 8. On peut simplifier la fraction au numérateur et au dénominateur par le PGCD de 24 et 32. ଶସ
ଷൈ଼
ଷ
Alors ଷଶ ൌ ସൈ଼ ൌ ସ Certaines fractions peuvent se simplifier mentalement à ů͛ĂŝĚĞĚĞƐŝŵƉůŝĨŝĐĂƚŝŽŶĠǀŝĚĞŶƚĞƉĂƌϮ͕ƉĂƌϯ͕ƉĂƌϳ͕ƉĂƌϭϬ͕
ƉĂƌϭϬϬ͕ĞƚĐ͙