Chap. 7 ʹ Arithmétique, PGCD et fractions irréductibles I. Multiple

Chap.&7&ʹ&Arithmétique,&PGCD&et&fractions&irréductibles&
I. Multiple*ʹ*Diviseur*
Dans%cette%partie%les%nombres%utilisés%sont%des%nombres%entiers%positifs.%
Définition&1&:%Un%nombre%positif%non%nul%ܾ%est%un%diviseur%ĚĞů͛ĞŶƚŝĞƌpositif%ܽ%signifiĞƋƵ͛ŝůĞdžŝƐƚĞƵŶĞŶƚŝĞƌpositifs%݇%
tel%que%ܽ ൌ ܾ ൈ ݇.%On%dit%aussi%que%ܽ%est%un%multiple%de%ܾ.%
Exemple%:%ͷͶ%est%un%multiple%de%ͻ%ƉƵŝƐƋƵ͛ŝůĞdžŝƐƚĞƵŶĞŶƚŝĞƌƉŽƐŝƚŝĨ,%ici%͸%tel%que%ͷͶ ൌ ͻ ൈ ͸.%Ici%ܽ ൌ ͷͶ,%ܾ ൌ ͻ%et%݇ ൌ
͸.%
On%dit%aussi%que%ͻ%est%un%diviseur%de%ͷͶ%et%que%ͷͶ%est%divisible%par%ͻ.%
WŽƵƌƚƌŽƵǀĞƌƚŽƵƐůĞƐĚŝǀŝƐĞƵƌƐĚ͛ƵŶŶŽŵďƌĞŽŶƵƚŝůŝƐĞůĂŵĠƚŚŽĚĞ͘džĞŵƉůĞĂǀĞĐϳϮ%
͹ʹ ൌ ͳ ൈ ͹ʹ%%
͹ʹ ൌ ʹ ൈ ͵͸%%
͹ʹ ൌ ͵ ൈ ʹͶ%%
͹ʹ ൌ Ͷ ൈ ͳͺ%%
͹ʹ ൌ ͸ ൈ ͳʹ%%
͹ʹ ൌ ͺ ൈ ͻ%%
KŶĞƐƚƐƸƌĚ͛ĂǀŽŝƌŽďƚĞŶƵƚŽƵƐůĞƐĚŝǀŝƐĞƵƌƐĚĞϳϮĐĂƌĚ͛ƵŶĞƉĂƌƚƚŽƵƐůĞƐĚŝǀŝƐĞƵƌƐĚĞϳϮƐŽŶƚŝŶĨĠƌŝĞƵƌƐŽƵĠŐĂƵdžăϳϮ
ĞƚĚ͛ĂƵƚƌĞƉĂƌƚůĞƐĨĂĐƚĞƵƌƐǀŽŶƚƐĞƌĠƉĠƚĞƌ.%
Remarque%:%
x 0%est%divisible%par%Ŷ͛ŝŵƉŽƌƚĞƋƵĞůŶŽŵďƌĞĞŶƚŝĞƌ͘%
x ϭĞƐƚƵŶĚŝǀŝƐĞƵƌĚĞŶ͛ŝŵƉŽƌƚĞƋƵĞůŶŽŵďƌĞ.%
%
II. Plus*Grand*Commun*Diviseur*
Définition&2&:%Si%deux%entiers%ܽ%et%ܾ%sont%divisibles%par%un%même%nombre%entier%݀ ് Ͳ,%on%dit%que%݀%est%un%diviseur%
commun%de%ܽ%et%ܾ.%
Exemple%:%Les%diviseurs%communs%à%6%et%36%sont%1%;%2%;%3%;%6%
Déterminer%les%diviseurs%communs%des%couples%suivants%:%
x 12%et%18%
Diviseurs%de%12%:%1%;%2%;%3%;%4%;%6%;%12%
Diviseurs%de%18%:%1%;%2%;%3%;%6%;%9%;%18%
Diviseurs%communs%à%12%et%18%:%1%;%2%;%3%;%6%
x 14%et%42%
Diviseurs%de%14%:%1%;%2%;%7%;%14%
Diviseurs%de%42%:%1%;%2%;%3%;%6%;%7%;%14%;%21%;%42%
Diviseurs%communs%à%14%et%42%:%1%;%2%
x 16%et%21%
Diviseurs%de%16%:%1%;%2%;%4%;%8%;%16%
Diviseurs%de%21%:%1%;%3%;%7%;%21%
Diviseur%commun%à%16%et%21%:%1%
Définition&3&:%Le%Plus%Grand%Commun%Diviseur%à%deux%nombres%entiers%ܽ%et%ܾ%est%noté%le%PGCD*de*ࢇ*et*࢈%ou%encore%
PGCD(a%;%b)%
Notation%:%Le%Plus*Grand*Commun*Diviseur%(noté%PGCD)%de%6%et%36%est%égal%à%6.%Ainsi%PGCD(6%;36)=6.%

Exercice%:%Déterminer%le%PGCD%des%couples%suivants%:%
x 12%et%18%
Le%PGCD%est%6%
x 14%et%42%
Le%PGCD%est%2%
x 16%et%21%
Le%PGCD%est%1%
Définition&4:&Lorsque%PGCD(a%;%b)=1%on%dit%alors%que%ܽ%et%ܾ%sont%premiers*entre*eux.%
Les%nombres%16%et%21%sont%premiers%entre%eux%car%le%PGCD%de%16%et%21%est%égal%à%1.%
%
Exercice%résolu%:%En%déterminant%les%PGCD%des%nombres%suivants,%on%peut%remarquer%quelques%propriétés%du%PGCD%:%
x PGCD(12%;%18)%et%PGCD(18%;%12)%
Diviseurs%de%12%:%1%;%2%;%3%;%4%;%6%;%12%
Diviseurs%de%18%:%1%;%2%;%3%;%6%;%9%;%18%
Diviseurs%communs%à%12%et%18%:%1%;%2%;%3%;%6%
Donc%PGCD(12%;%18)=6%et%PGCD(18%;%12)=6%ainsi%PGCD(12%;%18)=PGCD(18%;%12)%
=>PGCD(a%;%b)=PGCD(b%;%a)%
x PGCD(12%;%12)% % % %
Diviseurs%de%12%:%1%;%2%;%3%;%4%;%6%;%12%
Diviseurs%communs%à%12%et%12%:%1%;%2%;%3%;%4%;%6%;%12%
PGCD(12%;%12)=12%
=>PGCD(a%;%a)=a%
x PGCD(1%;%14)%puis%PGCD(1%;%19)%et%PGCD(1%;%25)% % =>PGCD(1%;%a)=1%
x PGCD(0%;%6)%puis%PGCD(0%;%10)% % % % =>PGCD(0%;%a)=a%
%
%
Propriété%1%:%Propriétés%du%PGCD%(admise)%
PGCD(a%;%b)=PGCD(b%;%a)%
PGCD(a%;%a)=a%
PGCD(1%;%a)=1%
PGCD(0%;%a)=a%
%
Propriété%2%͗ĂůĐƵůĚƵW'ƉĂƌů͛ĂůŐŽƌŝƚŚŵĞĚĞƐƐŽƵƐƚƌĂĐƚŝŽŶƐƐƵĐĐĞƐƐŝǀĞƐ͘%(admise)%
Soient%ܽ%et%ܾ%deux%entiers%strictement%positifs%tels%que%ܽ ൐ ܾ,%alors%%
PGCD(a%;%b)=PGCD(aXb,%b).%
Exemple%͗KŶĐŚĞƌĐŚĞůĞW'ĚĞϮϴϱĞƚϭϭϰƉĂƌů͛ĂůŐŽƌŝƚŚŵĞĚĞƐƐŽƵƐƚƌĂĐƚŝŽŶƐƐƵĐĐĞƐƐŝǀĞƐ%:%
PGCD(285%;%114)%
%
=PGCD(171%;%114)%
Car%285X114=171%
=PGCD(114%;%57)%
Car%171X114=57%
=PGCD(57%;%57)%
Car%114X57=57% %
=57%
% %

Définition&5&:%ܽ%et%ܾ%désignent%deux%nombres%entiers%positifs%avec%ܾ ് Ͳ.%Effectuer%la%division*euclidienne%de%ܽ%par%ܾ%
Đ͛ĞƐƚƚƌŽƵǀĞƌůĞƋƵŽƚŝĞŶƚĞŶƚŝĞƌݍ%et%le%reste%entier%ݎ%tel%que%ܽ ൌ ܾ ൈ ݍ ൅ ݎ%avec%%Ͳ ൑ ݎ ൏ ܾ.%
Exemple%:%On%effectue%la%division%euclidienne%de%155%par%4%
Alors%155=4ൈ38+3%et%3<4.%Dans%la%division%euclidienne%de%155%par%4,%le%quotient%entier%est%38%et%le%reste%
entier%est%3.%
%
Propriété%3%͗ĂůĐƵůĚƵW'ƉĂƌů͛ĂůŐŽƌŝƚŚŵĞĚ͛ƵĐůŝĚĞ͘%(admise)%
Soient%ܽ%et%ܾ%deux%entiers%strictement%positifs%tels%que%ܽ ൐ ܾ%et%ܾ ് Ͳ,%alors%PGCD(a%;%b)=PGCD(b%;%r)%où%r%est%le%reste%
de%la%division%euclidienne%de%ܽ%par%ܾ.%
Exemple%͗KŶĐŚĞƌĐŚĞůĞW'ĚĞϮϴϱĞƚϭϭϰƉĂƌů͛ĂůŐŽƌŝƚŚŵĞd͛Euclide%:%
Dividende%
Diviseur%
Reste%
Division%euclidienne%
285%
114%
ͷ͹ %%
285=114ൈ2+57%
114%
57%
%0%
114=57ൈ2+0%
*
III. Fractions*irréductibles*
Définition&6&:%Une%fraction%est%irréductible%lorsque%son%numérateur%et%son%dénominateur%sont%premiers%entre%eux.%
La%fraction%ଷ
ସ%est%irréductible%car%PGCD(3%;%4)=1%et%donc%le%numérateur%et%le%dénominateur%sont%premiers%entre%eux.%
ଵସ
ଵ଼ !;%ହ ଼!;%ଵଷ ଷ%;%ଶ଻ ଷ%
Propriété%4%:%ܽ%et%ܾ%désignent%des%nombres%entiers%avec%ܾ ് Ͳ.%La%fraction%௔
௕%peut%être%simplifiée%par%le%nombre%
PGCD(a%;b).%La%fraction%obtenue%est%irréductible.%
Exemple%:%On%veut%simplifier%la%fraction%ଶସ
ଷଶ͘KŶĐŚĞƌĐŚĞĚ͛ĂďŽƌĚůĞW'ĚĞϮϰĞƚĚĞϯϮƉĂƌůĂŵĠƚŚŽĚĞĚĞƐŽn%choix.%
sĞƌƐŝŽŶĂůŐŽƌŝƚŚŵĞĚ͛ƵĐůŝĚĞ%:%%
32=24ൈ1+8%
24=8ൈ3+0%Donc%le%PGCD%de%24%et%32%et%8.%
On%peut%simplifier%la%fraction%au%numérateur%et%au%dénominateur%par%le%PGCD%de%24%et%32.%
Alors%ଶସ
ଷଶ ൌଷൈ଼ ସൈ଼ ൌଷ ସ%
Certaines%fractions%peuvent%se%simplifier%mentalement%à%ů͛ĂŝĚĞĚĞƐŝŵƉůŝĨŝĐĂƚŝŽŶĠǀŝĚĞŶƚĞƉĂƌϮ͕ƉĂƌϯ͕ƉĂƌϳ͕ƉĂƌϭϬ͕
ƉĂƌϭϬϬ͕ĞƚĐ͙%
*
155%
4%
35%
38%
3%
%