Calcul du groupe fondamental de certains groupes topologiques

Calcul du groupe fondamental de certains groupes
topologiques classiques
Table des mati`eres
1 Le groupe fondamental 2
1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Premi`eres propri´et´es du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Espaces fibr´es et revˆetements 3
3 Les groupes lin´eaires 4
3.1 Construction des fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Calculs directs de certains Π1............................ 4
3.3 Groupes fondamentaux des groupes unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 Groupes fondamentaux des groupes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.5 D´ecomposition polaire et groupes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Annexe 1 : Revˆetements 8
5 Annexe 2 : Alg`ebre de Clifford et groupe des spineurs 9
5.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Le groupe des spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 Le corps des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.4 Non simple connexit´e de SOn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
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Les groupes fondamentaux sont des invariants importants en topologie alg´ebrique, nous allons
dans cette ´etude en donner la d´efinition, puis nous verrons quelques exemples de calcul de ces
groupes pour certains sous groupes du groupe lin´eaire GLn(K) o`u K=Rou C. Pour cela nous
ram`enerons par des d´ecompositions successives ce calcul `a ceux de SOn(R) et SUn(C).
1 Le groupe fondamental
1.1 Construction
D´efinition 1 Soit Xun espace topologique et x0un point de X, on appelle lacet de Xd’origine
x0toute application continue γde [0,1] dans Xv´erifiant γ(0) = γ(1) = x0
Deux lacets γ1et γ2d’origine x0sont dits homotopes si et seulement si il existe une application
continue Γde [0,1] ×[0,1] dans Xtelle que
∀t∈[0,1],Γ(t,0) = γ1(t),Γ(t,1) = γ2(t),∀x∈[0,1],Γ(0,x) = Γ(1,x) = x0
De fa¸con intuitive, on voit que dire que deux chemins sont homotopes si et seulement si
on peut passer de l’un `a l’autre par d´eformation continue, l’origine ´etant fix´ee. Il est facile de
v´erifier que la relation d’homotopie est une relation d’´equivalence sur l’ensemble des lacets de X
d’origine x0. Nous allons maintenant d´efinir le produit de deux lacets de mˆeme origine.
D´efinition 2 Soient γ1et γ2deux lacets de Xd’origine x0, on d´efinit alors l’application αde
[0,1] dans Xpar : α(x) = γ1(2x) si x∈[0,1/2]
γ2(2x−1) si x∈]1/2,1] . Il est clair que αest un lacet de X
d’origine x0, on l’appelle produit de γ1et γ2et on le note γ2.γ1.
Dans la suite on notera ∼la relation d’homotopie, x0le lacet constant ´egal `a x0et γ−1le
lacet d´efini par γ−1(t) = γ(1 −t) si t∈[0,1]. On a alors le r´esultat suivant :
Proposition 1 Soient γ1,γ2,γ3et γ4quatre lacets de Xd’origine x0, alors :
– si γ1∼γ3et γ2∼γ4, alors γ2.γ1∼γ4.γ3
–(γ3.γ2).γ1∼γ3.(γ2.γ1)
–γ1.x0∼x0.γ1∼γ1
–γ.γ−1∼γ−1.γ ∼x0
Soit donc Cl’ensemble des lacets de Xd’origine x0, ce qui pr´ec`ede prouve que l’on peut
munir l’ensemble C/∼d’une structure de groupe au moyen de la loi de composition interne :
(C/∼)2−→ C/∼
(γ,α)7−→ γ.α
D´efinition 3 On appelle ce groupe, groupe fondamental de Xen x0et on le note Π1(X,x0).
Il est clair que Π1(X,x0) est identique au groupe fondamental de la composante connexe par
arcs de x0dans Xen x0et que si xet ysont dans la mˆeme composante connexe par arcs de
X, Π1(X,x) et Π1(X,y) sont isomorphes. C’est pourquoi, lorsque Xest connexe par arcs, on ne
pr´ecise pas toujours l’origine et on parle alors du groupe fondamental de X: Π1(X).
1.2 Premi`eres propri´et´es du groupe fondamental
Soient Xet Ydes espaces topologiques et x0∈X,fune application continue de Xdans Y.
Il est clair que la relation d’homotopie est compatible avec l’application f, c’est `a dire que si γ1
et γ2sont deux lacets de Xd’origine x0,f◦γ1et f◦γ2sont deux lacets de Yd’origine f(x0)
2

et que γ1∼γ2⇒f◦γ1∼f◦γ2. On peut ainsi construire une application Π(f) de Π(X,x0)
dans Π(Y,f(x0)) d´efinie par Π(f)(γ) = f◦γet on v´erifie facilement que cette application est un
morphisme de groupes.
Enfin si Zest un espace topologique et gune application continue de Ydans Z, il est facile de
v´erifier que Π(g◦f) = Π(g)◦Π(f).
Ces quelques propri´et´es nous montrent que l’on peut parfois transformer un probl`eme topo-
logique en un probl`eme alg´ebrique portant sur des groupes fondamentaux. Par exemple on a le
r´esultat d’invariance toplogique du groupe fondamental :
Th´eor`eme 1 Soient Xet Ydeux espaces toplogiques hom´eomorphes et fun hom´eomorphisme
de Xdans Y, alors si x0∈X, les groupes Π1(X,x0)et Π1(Y,f(x0)) sont isomorphes.
Concluons enfin cette premi`ere partie en illustrant ces d´efinitions par une d´etermination
particuli`ement simple de groupe fondamental :
Proposition 2 Le groupe fondamental d’une partie ´etoil´ee d’un espace vectoriel norm´e est
r´eduit `a un singleton.
Dans un tel cas, quand le groupe fondamental est trivial, on dit que l’espace est simplement
connexe.
2 Espaces fibr´es et revˆetements
La th´eorie des espaces fibr´es et des revˆetements joue un rˆole important dans le calcul des
groupes fondamentaux, c’est pourquoi nous allons en donner ici un bref aper¸cu nous permettant
de d´eterminer certains de ces groupes.
Dans la suite, si Aet Bsont deux ensembles on note
p1:A×B−→ A
(a,b)7−→ ap2:A×B−→ B (a,b)7−→ b
D´efinition 4 Soit Bun espace topologique et (E,p)un couple form´e d’un espace toplogique E
et d’une application continue pde Edans B. On dit que (E,p)est une fibration de base Bsi et
seulement si pour tout b∈Bil existe un voisinage ouvert Ude bdans B, un espace topologique
Fet un hom´eomorphisme Φde p−1(U)dans U×Ftels que p|p−1(U)=p1◦Φ.Fne d´epend pas
de l’ouvert U(`a hom´eomorphisme pr`es) et s’appelle la fibre au dessus de b, dans la suite on la
notera Fb. On dit que l’ouvert Utrivialise (E,p), une fibration est triviale si elle est trivialis´ee
par B.
Ainsi si b∈B,Fbest hom´eomorphe `a p−1(b) et il existe un voisinage ouvert de bdans B
tel que les fibres au dessus de tous les ´el´ements de Usoient hom´eomorphes entre elles, ainsi les
classes d’´equivalence pour la relation d’´equivalence d´efinie sur Bpar “Fxest hom´eomorphe `a
Fy” sont ouvertes. Et donc, si Best connexe, il n’y a qu’une seule classe d’´equivalence, c’est `a
dire que toutes les fibres sont hom´eomorphes. On parle dans ce cas de la fibre Fde la fibration.
En particulier on en d´eduit que pest surjective.
Si la fibre est discr`ete, on ne parle plus d’espace fibr´e mais de revˆetement, sinon le mˆeme
vocabulaire reste employ´e. Dans l’annexe 1 sur les rel`evements nous d´emontrons le r´esultat
suivant :
Th´eor`eme 2 Si (E,p)est un revˆetement connexe par arcs de B, si b∈Bet x∈Fb, alors
Π1(B,b)agit transitivement sur Fbet le stabilisateur de xest isomorphe `a Π1(E,x).Fbest donc
en bijection avec Π1(B,b)/Π1(E,x).
3

Le th´eor`eme qui suit nous permet de faire le lien entre fibration et groupe fondamental. Soit
Bun espace topologique et (E,p) une fibration de base B,x0un point de B, et Fla fibre au
dessus de x0.F´etant hom´eomorphe `a p−1(x0), on peut les identifier et donc parler de l’injection
canonique ide Fdans Equi est donc continue. Cette application induit un morphisme Π(i)
de Π1(F,y0) dans Π1(E,y0) o`u y0est un point de F. De mˆeme pinduit un morphisme Π(p) de
Π1(E,y0) dans Π1(B,x0).
Th´eor`eme 3 La suite (Π(i),Π(p)) est exacte, c’est `a dire que ImΠ(i) = KerΠ(p).
3 Les groupes lin´eaires
3.1 Construction des fibrations
Nous allons faire op´erer les groupes SOn(R) et SUn(C) sur les sph`eres pour construire une
fibration qui nous permettra de raisonner par r´ecurrence au moyen du th´eor`eme de suite exacte.
Dans la suite on notera Sn−1la sph`ere unit´e de l’espace Rn, la sph`ere unit´e de l’espace Cnest
alors hom´eomorphe `a S2n−1. On note e1le vecteur de coordonn´ees (1,0,...,0).
Tout d’abord remarquons que les groupes SOn(R) et SUn(C) agissent sur Sn−1et S2n−1par les
actions : SOn(R)×Sn−1−→ Sn−1SUn(C)×S2n−1−→ S2n−1
(f,x)7−→ f(x) (f,x)7−→ f(x)
En fait nous allons montrer que les applications de SOn(R) dans Sn−1et de SUn(C) dans S2n−1
p:f7−→ f(e1) sont des fibrations de fibres respectives SOn−1(R) et SUn−1(C).
Lemme 1 Soit y∈Sn−1, il existe un voisinage Vde ydans Sn−1et une application continue s
de Vdans SOn(R)telle que p◦s=Id.
Preuve : Il s’agit en fait d’associer `a un ´el´ement xde Vune base orthorm´ee directe de Rndont
le premier vecteur soit x. Soit (y,y2,...,yn) une base orthonorm´ee de Rn, l’application det ´etant
continue il existe un voisinage Vde ytel que si x∈V, la base (x,y2,...,yn) soit directe. On peut
ensuite transformer cette base en une base orthonorm´ee directe s(x) au moyen de l’algorithme
d’orthogonalisation de Schmidt. Or les formules intervenant dans ce proc´ed´e sont visiblement
continues, et donc l’application sest continue et v´erifie trivialement p◦s=Id.
On en d´eduit le th´eor`eme qui va nous permettre de d´egager une relation de r´ecurrence entre
les groupes fondamentaux de ces espaces.
Th´eor`eme 4 Les applications p:SOn(R)−→ Sn−1et SUn(C)−→ S2n−1sont des fibrations de
fibres respectives SOn−1(R)et SUn−1(C), c’est `a dire les sous groupes de SOn(R)et de SUn(C)
laissant e1invariant.
Preuve : On l’´ecrit pour SOn(R), la d´emonstration est la mˆeme pour le groupe unitaire. Soit V
un voisinage de ycomme dans le lemme et φl’application de V×SO(n−1) dans p−1(V) d´efinie
par φ(x,g) = s(x)◦g. Posons, si f∈p−1(V), ψ(f) = (p(f),((s◦p)(f))−1◦f). Il est clair que
ψ◦φ=IdV×SO(n−1) et φ◦ψ=Idp−1. De plus, la continuit´e de p,set la structure de groupe
topologique de SOn(R) nous assurent que φet ψsont continues, ψest donc un hom´eomorphisme
de p−1(V) sur V×SO(n−1) commutant avec p, ce qu’il fallait d´emontrer.
3.2 Calculs directs de certains Π1
Il paraˆıt clair que nous allons avoir besoin de connaˆıtre les groupes fondamentaux des sph`eres
avant de continuer. Nous admettrons pour cela le r´esultat suivant :
Proposition 3 Soient X1et X2deux espaces connexes par arcs, p1et p2les projections respec-
4

tives dans X1∪X2. Si X1∩X2est non vide et connexe par arcs alors le groupe fondamental de
X1∪X2est engendr´e par les groupes Π(p1)(Π1(X1)) et Π(p2)(Π1(X2)).
Ceci nous permet de connaˆıtre `a isomorphisme pr`es les groupes fondamentaux des sph`eres
de dimension sup´erieure ou ´egale `a 2. Prenons en effet pour X1la sph`ere Snpriv´ee d’un point,
et pour X2la mˆeme sph`ere priv´ee d’un autre point. Par projection st´er´eographique, on sait que
ces deux espaces sont hom´eomorphes `a Rn, donc simplement connexes. De plus leur intersection
est alors hom´eomorphe `a Rnpriv´ee d’un point qui est connexe par arcs (car on pris 2 ≤n).
Ainsi Π1(Sn) est engendr´e par le neutre, c’est donc un singleton et Snest simplement connexe.
Cependant ceci ne nous donne pas le groupe fondamental du cercle S1.
Th´eor`eme 5 Le groupe fondamental du cercle S1est isomorphe `a Z.
Preuve : On note el’application de Rdans S1d´efinie par e(x) = e2iπx. Soit U= (]1−1
2,1+ 1 2[×]−
1,1[)∩S1un voisinage de 1 (on plonge S1dans le plan complexe). Il est clair que U=e(] −1
6,1 6[).
La restriction sde e`a ] −1
6,1 6[ est alors un hom´eomorphisme de cet intervalle sur U. Comme
e−1(U) = Pn∈Z]n−1
6,n +1 6[, l’application Z×]−1
6,1 6[−→ e−1(U)
(n,x)7−→ n+xest un hom´eomorphisme,
ce qui prouve que l’on a un revˆetement du cercle de fibre Z.
Soient γ1et γ2deux ´el´ements de Π1(S1,1) repr´esent´es par γ1et γ2. Soit Γ1un rel`evement de γ1
tel que Γ1(0) = 0 et Γ2un rel`evement de γ2tel que Γ2(0) = Γ1(1) = γ1.0. Alors Γ2.Γ1est un
rel`evement de γ2.γ1s’annulant en 0, donc Γ2(1) = γ2.γ1.0. Or l’application [0,1] −→ R
t7−→ Γ2(t)−γ1.0
est un rel`evement de γ2s’annulant en 0, donc γ2.0 = Γ2(1) −Γ1(1), d’o`u (γ2.γ1).0 = γ1.0 + γ2.0.
L’application d:Π1(S1,1) −→ Z
γ7−→ γ.0est un morphisme de groupes. Il est injectif car si
d(γ) = 0, alors Γ est un lacet de R. Or Rest simplement connexe, donc Γ est homotope au lacet
constant, et donc γaussi. dest donc injectif. De plus, il est clair, si n∈Z, que d(t7−→ e2iπnt) = n,
donc dest surjective et c’est un isomorphisme.
Pour amorcer la r´ecurrence qui suivra nous aurons besoin du groupe fondamental de SO3(R)
que nous obtiendrons en amettant l’existence d’un revˆetement simplement connexe connu de
SO3(R).
Th´eor`eme 6 La sph`ere S3est un revˆetement `a deux feuillets du groupe SO3(R).
La sph`ere S3´etant simplement connexe, on en conclut que le groupe fondamental de SO3(R)
est de cardinal 2, c’est donc Z/2Z.
On peut montrer de la mˆeme fa¸con que pour n≥2, il existe un groupe topologique Spinn
constituant un revˆetement `a deux feuillets de SOn(R), on s’en servira par la suite.
3.3 Groupes fondamentaux des groupes unitaires
SU1(C) ´etant r´eduit `a l’identit´e, il est simplement connexe. Supposons avoir d´emontr´e pour
n(n≥1) que SUn(C) est simplement connexe. Etant donn´e que SUn+1(C) est un revˆetement
de S2n+1 de fibre SU(n), on a une suite exacte : Π1(SUn(C)) −→ Π1(SUn+1(C)) −→ Π1(S2n+1),
c’est `a dire, vu ce que l’on conaˆıt : {0} −→ SUn+1(C)−→ {0}.SUn+1(C) est donc forc´ement un
singleton, et SUn+1(C) est simplement connexe.
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