Partie 2 : notions élémentaires de trigonométrie rectiligne

Math´ematiques ´el´ementaires 2015-2016 Cl. Gabriel
Partie 2 : notions ´el´ementaires de trigonom´etrie rectiligne
1 Rappel sur les angles
1.1 Mesure en radian des angles
Consid´erons un secteur angulaire, form´e de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon rtrac´e
dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d’intersection des droites. Alors, la valeur
de l’angle en radians est le rapport entre la longueur Lde l’arc de cercle intercept´e par les droites et le rayon r.
Le radian est une grande unit´e qui n’est pas intuitive contrairement au degr´e qui est notre unit´e premi`ere.
Son grand avantage est de permettre de connaˆıtre directement la longueur d’un arc. C’est aussi une unit´e du
Syst`eme international.
Soit Cun cercle de centre O. La d´efinition pr´ec´edente implique que, dire que l’angle g´eom´etrique { AOB a pour
mesure 1 radian signifie que la longueur du petit arc Ŋ AB est ´egal au rayon Rdu cercle.
De mˆeme, la longueur d’un arc de cercle de rayon Ret dont l’angle au centre a pour mesure αradians est αR.
1

Math´ematiques ´el´ementaires 2015-2016 Cl. Gabriel
Exercice 1 Calculer les longueurs d’arcs de cercle dans les cas suivants :
•un arc de cercle de rayon 1 et d’angle 10˚
•un arc de cercle de rayon 10 et d’angle 10˚
•un arc de cercle de rayon 1 et d’angle 270˚
•un arc de cercle de rayon 3 et d’angle 45˚
•un arc de cercle de rayon et d’angle 80˚
•un arc de cercle de rayon 1 et d’angle 120˚
Il est important de connaˆıtre les angles remarquables en radians :
Pour convertir les 2 unit´es de mesure d’angle, on utilise la formule :
180α“πx (1)
soit :
α“π
180x(2)
o`u αest la mesure de l’angle en radian et xla mesure de l’angle en degr´e.AM
1.2 Cercle trigonom´etrique
On appelle cercle trigonom´etrique dans un rep`ere orthogonal direct pO,⃗ i,⃗ jq, le cercle de centre Oet de rayon 1.
2

Math´ematiques ´el´ementaires 2015-2016 Cl. Gabriel
1.3 Angles dans le cercle trigonom´etrique
La mesure d’un angle αrep´er´e par un point Mdans le cercle trigonom´etrique, est la valeur alg´ebrique de la
longueur de l’arc Ŋ AM o`u A“ p1,0q. Le sens trigonom´etrique ou direct correspond au sens antihoraire. On
remarquera que l’on a indiqu´e le sens trigonom´etrique par une fl`eche et un signe `.
On a repr´esent´e deux angles αet βdont l’un est positif pαqet l’autre n´egatif pβq.
On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonom´etrique. Il est important de visualiser l’emplacement
des angles pour s’en faire une id´ee.
Exercice 2 Dans le cercle trigonom´etrique, convertir en degr´es les mesures d’angles donn´ees en radians :
π
5,7π 5,5π 3,2π , 2π 3,5π 6.
Exercice 3 Convertissez en radians les angles suivants et situez les sur le cercle trigonom´etrique : 120˚, 150˚,
225˚, 315˚.
3

Math´ematiques ´el´ementaires 2015-2016 Cl. Gabriel
En fait, mesurer les angles en radians consiste `a !enrouler "l’axe r´eel sur le cercle trigonom´etrique, c’est-`a-dire
le cercle de centre Oet de rayon 1, orient´e dans le sens direct.
A chaque r´eel xcorrespond un et un seul point du cercle trigonom´etrique. Si xest positif, le point Massoci´e `a
xest le point du cercle obtenu en parcourant une longueur xsur ce cercle, dans le sens direct, `a partir du point
de coordonn´ees p1,0q. Si xest n´egatif, on parcourt sur le cercle une longueur |x|“ ´xdans le sens indirect.
Ainsi, tout r´eel est associ´e `a un et un seul angle et si Mest le point associ´e au r´eel xalors xs’appelle UNE mesure
en radian de l’angle orient´e { pÝÑ i , ÝÝÑ OMq. Ici, l’unit´e de mesure est la longueur du rayon du cercle trigonom´etrique,
`a savoir 1 et |x|est le nombre de rayons qui constituent l’arc de cercle qui va de O`a M, d’o`u le mot radian.
4

Math´ematiques ´el´ementaires 2015-2016 Cl. Gabriel
Inversement, puisque le tour complet a une longueur ´egale `a 2π, deux r´eels mesurent un mˆeme angle si et
seulement si leur diff´erence est un multiple entier (relatif) de 2π. Tout angle admet donc une infinit´e de mesures.
Propri´et´e
Un mˆeme angle αpeut avoir plusieurs mesures. Si un angle α, rep´er´e par le point Msur le cercle trigonom´etrique,
a comme mesures xet y, alors on a la relation suivante :
y“x`k.2πo`u kPZ(3)
ou plus simplement :
y”xr2πs
qui signifie que yest ´egal `a x, modulo 2π.
Sur la figure ci-dessous on a trac´e deux mesures d’un mˆeme angle rep´er´e par un point M.
par exemple x“π
6et y“´11π 6sont deux mesures du mˆeme angle puisque π 6´´11π 6“2π
Definition On appelle mesure principale d’un angle α, la mesure xqui se trouve dans l’intervalle s ´ π, πr.
Exemple : trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont 17π
4et ´31π 6.
L’existence et l’unicit´e de la mesure pricipale d’un angle de mesure xpeut se comprendre sur le sch´ema suivant :
On part de xet on se dirige vers l’intervalle r0,2πren faisant des pas de longueur 2π. Quand on arrive juste en
dessous de 0 (ou juste au-dessus de 2πsi on est parti d’un xą2π), le pas suivant est suffisamment long pour
nous faire d´epasser 0, mais trop court pour nous faire d´epasser 2πet on tombe donc dans l’intervalle r0,2πr.
Puis, si on effectue encore un pas, on ressort forc´ement de cet intervalle.
Exercice 4 On donne des mesures d’angles en radian, d´eterminer la mesure principale de chacun de ces angles :
75π
3,´98π 5,59π 11 ,´94π 7.
Exercice 5 Placer sur le cercle trigonom´etrique Cde centre Oet d’origine Iles points P,Q,Ret Stels que :
z
IOP “πrad
z
IOQ “ ´π
2rad
z
IOR “6πrad
z
IOS “7π
6rad
5