I. Fonctions réciproques A. Introduction Dom f im f f(x)=2x+4 f(x) 2 . 3

6 SH 3 h/sem.
I.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Fonctions réciproques
A. Introduction
Que font réellement les fonctions ?
Exemple : f(x) = 2x + 4

Si j’évalue f(2) = ?
f(2) = 2.2 + 4 = 8

(On remplace x par 2.)
Si j’évalue f(3) = ?
f(3) = 2.3 + 4 = 10
(On remplace x par 3.)
L’ensemble des nombres que je peux mettre dans cette fonction (ou les valeurs que
peut prendre cette fonction) est appelé le domaine de définition, Dom f
Dom f
im f
f(x)=2x+4
2.
.8
f(x)
3.
. 10
Tandis que les valeurs renvoyées par la fonction (8 et 10) sont les images de cette
fonction : im f
En d’autres termes, la fonction f(x) associe :
LEJ
2
8
3
10
x
f(x)
(D’une manière générale)
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Question : existe-il une façon de passer de 8 vers 2 et de 10 vers 3 ?
Dom f
im f
.8
2.
. 10
3.
Afin de répondre à cette question, nous allons partir de la fonction f(x) = 2x + 4, et
nommons f(x) = y.
D’où :
y = 2x + 4
1. Ensuite, isolons x :
2. Remplaçons x par y et y par x :
3. Cette dernière relation est appelé la fonction réciproque de f(x) et elle est
notée :
d’où
Dom f
2.
3.
im f
.8
. 10
Représentons graphiquement les fonctions f(x) et
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
:
A
(2,8)
B
(3,10)
C
(0,4)
D
(-1,2)
E
(-2,0)
Y
F
A’
(-4,-4) (8,2)
B’
(10,3)
C’
(4,0)
D’
(2,-1)
E’
(0,-2)
F’
(-4,-4)
f(x)
X
Que constatons-nous à partir de ce graphique ?
1. Les points A’, B’, C’, D’, … sont les images des points A, B, C, D par la
symétrie axiale de la droite y = x
2. Que toute la droite
est l’image de f(x)= 2x + 4 par la symétrie
axiale d’axe
3. Que im f devient le domaine de définition de la fonction réciproque
. En d’autres termes : im f = Dom
4. Que Dom f(x) devient l’ensemble des images de la fonction réciproque
En d’autres termes : Dom f = im
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Résumé
Dom f = im
im f = Dom
Dom f = im
im f = Dom
f(x)=2x+4
.8
2.
. 10
3.
f(x)
.y=f(x)
x.
Définition
Si
est une bijection de dom f dans im f, alors il existe une fonction
réciproque notée
telle que :
Dom f
im f
f(x)
y = f(x)
x= .
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Rappel:
Une fonction à variable réelle est une bijection de dom f dans im f si à chaque
valeur de x appartenant au dom f correspond une et une seule valeur de y
appartenant à im f et vice et versa.
B. Applications – Réciproques des fonctions
Voici les graphiques des deux fonctions
et
a) Déterminer leurs réciproques
b) Tracer le graphique de leurs réciproques dans le même système d’axe
c) Les réciproques obtenues sont-elles à chaque fois des fonctions ?
Justifier.
a) Déterminer
a.
: Nommons f(x) par y
b.
: Élevons les deux membres au carré
c.
: Isolons x
d.
: Remplaçons x par y et y par x
b) Le graphique de
y
y=x
f(x)
x
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
c) Dom f =
et im f = [0 ; + [.
La fonction f est une bijection de
D’où :
Note de cours
vers [0 ; + [
est une fonction
a) Déterminons
a.
b.
c.
d.
b) Le graphique de
: Nommons f(x) par y
: Élevons les deux membres au cube
: Isolons x
: Remplaçons x par y et y par x
Y
X
c) La fonction g(x)
Cette fonction
bijection de
LEJ
est une bijection de
, sa réciproque
aussi une
.
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Exercices
1) Voici la relation entre les températures en degré Celsius et Fahrenheit.
T Fahrenheit = ((T Celsius × 9) / 5) + 32
alors y =
si T Fahrenheit = y et T Celsius = x
+32
Déterminer T Celsius = f (T Fahrenheit) et tracer les deux graphiques sur un même
système d’axe.
2) voici une fonction
1. Déterminer le domaine de définition (Dom f)
2. Déterminer l’expression analytique de la réciproque
3. Déterminer le domaine de définition de la réciproque (dom
)
1. Déterminer le domaine de définition (Dom f)
Dom f =]
;+
2. Déterminer l’expression analytique de la réciproque
Nommons f(x) = y
Isolons x
Divisons par (2y – 1) chaque membre
Remplaçons x par y et y par x
La réciproque
3. Dom
est identique à la fonction initiale f(x)
?
Dom
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
4. Traçons le graphique f(x)
Y
X
Nous constatons que l’image du point A est B par la symétrie axiale d’axe : y = x
De même que l’image du point D est C par la symétrie axiale d’axe : y = x
Donc f(x) est l’image de
II.
par la symétrie axiale d’axe : y = x
Fonctions exponentielles et logarithmiques
A. Fonctions exponentielles
Situation problème de départ
Ce matin, à 10 h, dans une piscine circulaire de diamètre 8 mètres, on découvre une
petite tâche verte de micro-algues de 25 cm de surface.
Sous l’effet de la lumière, ces algues se développent rapidement. Toutes les dix min,
la surface occupée est doublée.
Question 1 :
Si on ne fait rien, combien de temps faudra-t-il aux algues pour recouvrir toute la surface de la
piscine ?
LEJ
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Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
a) Commençons par dresser un tableau de l’aire occupée par les algues de 10 min en 10 min.
heures
10 h
10 h 10
10 h 20
10 h 30
10 h 40
10 h 50
11 h
11 h 10
11 h 20
11 h 30
11 h 40
11 h 50
12 h
12 h 10
12 h 20
12 h 30
….
…
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
….
…
Aire (cm)
25
50 = 25.2
100 = 25.2.2 = 25.2²
200 = 25.2.2.2 = 25.2³
400 = 25.
800 = 25.
1600 = 25.
3200 = 25.
6400 = 25.
12800 = 25.
25600 = 25.
51200 = 25.
102400 = 25.
204800 = 25.
409600 = 25.
819200 = 25.
….
…
b) Traçons le graphique de l’évolution de la surface des algues en fonction du temps.
Aire [cm²]
t
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
c) Calculer la surface totale de la piscine
Comme la piscine est de forme circulaire et de diamètre 8 m.
L’aire de la piscine vaut :
Réponse à la question 1

Après 1 h 30 :
Le temps d’aller acheter le produit pour nettoyer la piscine, quelle surface
sera occupée par les algues ?
D’après le tableau l’aire vaut 12 800 cm² après 1 h 30. (À 11 h 30)
Donc

.
Soit 2,5 % de la surface de la piscine.
Après 2 h :
D’après le tableau l’aire occupée par les algues vaut : 102 400 cm². (À 12 h)
Donc
.
Soit 20,37 % ; c’est 8 fois plus en 30 min !!! Donc une croissance très rapide
ou croissance exponentielle.

Si on ne fait rien, combien de temps faudra-t-il aux algues pour recouvrir toute
la surface de la piscine ?
Après 2 h 20 : d’après le tableau, (t = 14,3 environ) les algues recouvrent 100 % de la
surface de la piscine.
Question 2
Trouver un modèle, une formule qui représente cette croissance.
Comme la valeur de la surface vaut chaque fois le double de la surface précédente,
cela nous fait penser aux suites géométriques où la raison de cette suite vaut 2.
En représentant l’aire des algues par y et le temps par t,
On a :
où 2 est la raison et 25 le terme initial.
Remarque importante:
est une fonction exponentielle car l’exposant est la variable (t)
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
B. Une autre fonction exponentielle :
Traçons point par point le graphique de cette fonction f(x) =
X
Constats ?
(0) = 1
=100
Les points P et P’ sont symétriques par rapport à l’axe y = x
Le graphique de f(x) est le symétrique du graphique
f(x) est une bijection de
Le dom f(x) est
sur
par l’axe : y = x
. Donc une bijection de
et im f(x) est
Dom f=
im f=
f(x)=
2.
. 100
y = f(x)
x.
. 0.1
- 1.
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Tandis que la fonction
est une bijection de
et elle se nomme logarithme en base 10.
Si f(x) =
Note de cours
sur
ou de
;
alors sa réciproque est
Si
Exemple :
Résumé
Exemples :
n’est pas défini
Car
car
C. Fonctions logarithmes
a. Fonction logarithme décimal
Définition
Pour tout x, log (10x) = x.
Ou alors, y = log(x) alors x = 10y
Remarque : lorsque le logarithme est en base 10, sa notation est : log(x)
Lorsque le logarithme est en base a, sa notation est :
LEJ
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Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Sens de variation et tracé de la courbe y = log(x)
Remplir à l’aide de la touche "log" de la calculatrice le tableau de valeurs suivant,
arrondir les valeurs au dixième.
x
0,01
0,1
0,5
1
3
5
10
Log(x)
-2
-1
-0,3
0
0,5
0,7
1
Puis tracer la courbe y = log(x) sur l'intervalle [0,01 ; 10].
b. Propriétés des logarithmes
1) Logarithme d’un produit, d’une puissance
o Vérifions à l’aide de la calculatrice si le logarithme d’une somme de
deux nombres positifs est-il égal à la somme des logarithmes de
chaque nombre ?
Log (100 + 10) est il égal au log (100) + log(10) ?
Log(110) = 2,04
tandis que log (100) = 2 et log(10) = 1
Donc 2,04 est différent de (2+1)
o Vérifions à l’aide de la calculatrice si le logarithme d’un produit de deux
nombres positifs est il égal à la somme des logarithmes de chaque
nombre ?
log (ab) est il égal à log(a) + log(b) ?
log (10.1000) est il égal à log(10) + log(1000) ?
log (10000) = 4
Ici :
LEJ
tandis que
log(10)=1 et log(1000)=3
log (10000) =1 +3 = 4
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
y
x
Constatons que l’ordonnée de B = 2A puisque log(100) = 2 et log(10) = 1
2) Logarithme d’un quotient
Traçons le graphique de log x et
x
log x
:
0.25
-0.60
0.5
-0.30
1
0
2
0.30
3
0.48
4
0.60
5
0.70
6
0.78
7
0.84
0.60
0.30
0
-0.30
-0.48
-0.60
-0.70
-0.78
-0.84
Y
X
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
D’après le graphique, les deux courbes sont opposées :
c. Résumons les propriétés des logarithmes
Propriété 1
Propriété 2
Propriété 3
d. Démonstration
Propriété 1
Si nous posons :
et
Alors
Cqfd
Propriété 2
Si n > 0 :
n fois
D’où :
Cqfd
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Si n < 0 :
Posons –n = m
Propriété 3
Cqfd
e. Applications
1.
Égal ou différent (= ou
?
.
2.
Calculer sans calculatrice, les valeurs de :
3
log103, log10-5, log 10
log103 = 3  log10 = 3  1 = 3 ;
log10-5 = -5 ;
3
log 10 =
LEJ
3
 log10 = 1,5  1 = 1,5
2
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6 SH 3 h/sem.
3.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Exprimer en fonction de log2 et log3 les nombres suivants :
log4 ; log6 ; log8 ; log9 ; log12
log4 = 2log2 ;
log6 = log2 + log3 ;
log8 = 3log2 ;
log9 = 2log3 ;
log12 = log3 + 2log2
D. Autres fonctions exponentielles ou logarithmes
Vocabulaire et notation
Les fonctions exponentielles, comme les fonctions logarithmes, peuvent
admettre d’autres bases que la base 10.
Il faut cependant que la base soit un nombre strictement positif et différent de 1.
Exemple :
est la fonction réciproque de
Lorsque la base de la fonction exponentielle est le nombre de Neper
alors la fonction réciproque de f(x) =
s’écrit g(x) = ln(x)
,
Ce logarithme en base e est appelé logarithme népérien et noté
Remarques
a. Les règles de calcul des logarithmes sont identiques, quelle que soit la
base.
Dans tous les cas,
b. Lorsque la base de la fonction exponentielle ou de la fonction
logarithme est un nombre supérieur à 1, chacune de ces fonctions est
croissante.
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
c) Lorsque la base de la fonction exponentielle ou de la fonction logarithme est
un nombre compris entre 0 ou 1, chacune de ces fonctions est décroissante.
y
x
E. Changement de base
Pour pouvoir calculer un logarithme dans une base quelconque au moyen de la
calculatrice, il faut parfois changer de base.
On donne
on cherche
Prenons le log de chaque membre
Appliquons la propriété 2
Exemple :
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
F. Comment résoudre une équation exponentielle ?
Méthode
Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition.
Ici, l'équation est définie sur .
1.
La première étape vise à transformer l’équation pour qu’elle soit de
la forme :
Exemple :
devient :
2.
Il faut ensuite rechercher le logarithme de chaque membre :
3.
Il faut ensuite appliquer la propriété 2 :
4.
D’où x:
Exercices- applications
Exercice 1
Résoudre l'équation :
.
Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition.
Ici, l'équation est définie sur .
Or, la fonction exponentielle est bijective de
sur
ce qui permet d'écrire :
On reconnaît l'identité remarquable suivante :
L'équation
admet donc pour solution le singleton
.
Exercice 2
Résoudre l'équation :
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition.
est défini
, mais est défini
donc l'équation est définie sur
Or, la fonction exponentielle est bijective de sur
, ce qui permet d'écrire :
On reconnaît l'identité remarquable suivante :
L'équation
admet donc pour solution le singleton
, constitué d'un réel
non nul.
Exercice 3
Résoudre l'équation :
Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition.
est défini
, mais
est défini
, donc l'équation est définie
sur
.
Or,
Donc, l'équation devient :
Or, la fonction exponentielle est bijective de
L'équation
de réels non nuls.
sur
, ce qui permet d'écrire :
admet donc pour solutions le doublet
, constitué
Exercice 4
Résoudre l'équation :
Avant de résoudre l'équation, on détermine son ensemble de définition.
Ici, l'équation est définie sur .
Dans ce cas particulier, une astuce consiste à remplacer dans l'équation considérée
par , ce qui permet alors d'écrire :
LEJ
Page 20
6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
On obtient donc une équation du second degré.
On remplace maintenant par , ce qui conduit à une impossibilité dans le cas de
puisque
. Il ne reste donc plus qu'une seule solution:
c'est-à-dire d'après
les propriétés de la fonction exponentielle
L'équation
admet donc pour solution le singleton
.
G. Comment résoudre une équation logarithmique ?
Une équation logarithmique est une équation dans laquelle les inconnues
interviennent dans l’argument ou la base d’un logarithme.
Il faut être attentif au domaine de définition de la fonction logarithmique : rechercher
les conditions d’existence.
Exemples :
Exemple 1
C.E. :
=>
1
x < -1
1
x>1
x>1
x>1
1
Pour résoudre une telle équation, il faut que tous les logarithmes soient exprimés
dans la même base.







 Équation du deuxième degré
LEJ
Page 21
6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
La deuxième solution
être rejetée.
La première solution
Sol = {3}
Note de cours
ne vérifie pas les conditions d’existence et doit
les vérifie. C’est la seule solution acceptable.
Exemple 2 :
C.E. :
Dans cet exemple, les logarithmes ont des bases différentes. Nous devons
effectuer un changement de base.




 Posons

 Équation du deuxième degré
Les deux solutions vérifient les conditions d’existence. Sol = {1, }
Exercices – applications
Préciser l’ensemble de définition puis résoudre les équations logarithmiques
suivantes :
1)
2)
3)
4)
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
1)
 Est définie ssi

-2/5
Note de cours
et
-6
Donc le domaine de définition est
Maintenant, nous allons résoudre l’équation



 Comme 1 fait partie du domaine de définition, alors la solution est : sol = {1}
2)
 Est définie ssi

et
 Donc dom f :
Maintenant, nous allons résoudre l’équation
En appliquant la propriété 1 : log(a) + log(b) = log (ab), l’équation devient :




 x = 0 ou x = 4
Nous constatons que x = 0 ne fait pas partie du domaine de définition, donc à
rejeter.
Cela signifie que la solution de l’équation
est :
Sol = {4}
LEJ
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6 SH 3 h/sem.
Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
H. Comment résoudre une inéquation exponentielle ?
LEJ
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Fonctions exponentielles et logarithmiques
Note de cours
I. Comment résoudre une inéquation logarithmique ?
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