I. Fonctions réciproques A. Introduction Dom f im f f(x)=2x+4 f(x) 2 . 3

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I. Fonctions réciproques
A. Introduction
Que font réellement les fonctions ?
Exemple : f(x) = 2x + 4
 2) = ?
f(2) = 2.2 + 4 = 8 (On remplace x par 2.)
  ?
f(3) = 2.3 + 4 = 10 (On remplace x par 3.)
L(ou les valeurs que
peut prendre cette fonction) est appelé le domaine de définition, Dom f
Dom f im f
f(x)=2x+4
f(x)
Tandis que les valeurs renvoyées par la fonction (8 et 10) sont les images de cette
fonction : im f
En  :
2 8
3 10
x f(x) ()
2 .
3 .
. 8
. 10

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Question : existe-il une façon de passer de 8 vers 2 et de 10 vers 3 ?
Dom f im f
Afin de répondre à cette question, nous allons partir de la fonction f(x) = 2x + 4, et
nommons f(x) = y.
 : y = 2x + 4
1. Ensuite, isolons x : 
2. Remplaçons x par y et y par x :
3. Cette dernière relation est appelé la fonction réciproque de f(x) et elle est
notée : 
Dom f im f
Représentons graphiquement les fonctions f(x) et 
2 .
3 .
. 8
. 10
2 .
3 .
. 8
. 10

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 :
A
B
C
D
E
F
(2,8)
(3,10)
(0,4)
(-1,2)
(-2,0)
(-4,-4)
A’
B’
C’
D’
E’
F’
(8,2)
(10,3)
(4,0)
(2,-1)
(0,-2)
(-4,-4)
Y f(x)
X
Que constatons-nous à partir de ce graphique ?
1. A, B, C, D par la
symétrie axiale de la droite y = x
2. Que toute la droite
 f(x)= 2x + 4 par la symétrie
3. Que im f devient le domaine de définition de la fonction réciproque
 : im f = Dom 
4. Que Dom f(x) 
En d’autres termes : Dom f = im

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Résumé
Dom f = im
im f = Dom 
Dom f = im im f = Dom 
f(x)=2x+4
f(x)
Définition
Si  est une bijection de dom f dans im f, alors il existe une fonction
réciproque notée  telle que :
Dom f im f
f(x)
2 .
3 .
x.
. 8
. 10
.y=f(x)
x= .
y = f(x)

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Rappel:
Une fonction à variable réelle est une bijection de dom f dans im f si à chaque
valeur de x appartenant au dom f correspond une et une seule valeur de y
appartenant à im f et vice et versa.
B. Applications  Réciproques des fonctions
Voici les graphiques des deux fonctions  et 
a) Déterminer leurs réciproques 
b) 
c) Les réciproques obtenues sont-elles à chaque fois des fonctions ?
Justifier.
a) Déterminer 
a.  : Nommons f(x) par y
b.  : Élevons les deux membres au carré
c.  : Isolons x
d.  : Remplaçons x par y et y par x
b) Le graphique de 
y
y = x
f(x)
x