suites num´eriques : une introduction

Jean-Pierre Dedieu
Jean-Claude Yakoubsohn
SUITES NUM´ ERIQUES : UNE
INTRODUCTION
MIP, D´epartement de Math´ematiques
Universit´e Paul Sabatier
31062 Toulouse cedex 04
[email protected]
y[email protected]

2

Table des Mati`eres
1 Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Structure alg´ebrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Relation d’ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 L’axiome de la borne sup´erieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Rest archim´edien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Partie enti`ere, valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Suites num´eriques : d´efinitions et exemples. . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Le principe de r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 Suites arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.2 Suites g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.3 Suites arithm´etico-g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.4 S´eries g´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.5 Suites lin´eaires d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.6 It´erations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Limite d’une suite. ............................. 13
3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Op´erations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Limites et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Limites infinies ............................... 19
4.1 La droite r´eelle achev´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Op´erations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Ordre et limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5 Limites classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Th´eor`emes de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1 Monotonie et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass (hors programme). . . . . . . . . 28

4Table des Mati` eres
6 It´erations successives. ........................... 31
6.1 Image d’une suite par une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 It´erations successives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Aspects graphiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.4 Th´eor`eme de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.4.1 Rappel. Le th´eor`eme des accroissements finis. . . . . . . . . . 33
6.4.2 Th´eor`emes de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.5.1 Approximation de √a, a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.5.2 Suites homographiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7 R´ecurrences lin´eaires d’ordre 2. ..................... 37
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.1.1 Suite de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.1.2 Discr´etisation d’une ´equation diff´erentielle d’ordre 2. . . . . . 37
7.2 L’espace vectoriel des r´ecurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.3 R´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.3.1 Les racines αet βsont r´eelles et distinctes . . . . . . . . . . . 39
7.3.2 Les racines αet βsont distinctes et complexes conjugu´ees . . 40
7.3.3 Une racine double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.4.1 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.4.2 Exemple 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.4.3 Exemple 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5 R´ecurrences lin´eaires et calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8 Suites de Cauchy .............................. 45
Index ....................................... 47

1. Nombres r´eels
Le r´esultat essentiel de ce chapitre est le suivant :
Th´eor`eme 1 L’ensemble des nombres r´eels, not´e R, est un corps commutatif, to-
talement ordonn´e, archim´edien et satisfaisant `a l’axiome de la borne sup´erieure.
La suite consiste `a fixer le vocabulaire et `a expliquer chaque notion introduite dans
ce th´eor`eme.
1.1 Structure alg´ebrique.
On note
1- N={0,1,2,...}les entiers naturels,
2- Z={...,−2,−1,0,1,2,...}les entiers relatifs,
3- Q={p
q:p∈Z, q ∈N, q 6= 0}les nombres rationnels.
ainsi que N∗,Z∗,Q∗les ensembles N,Z,Qpriv´es de 0. On a N⊂Z⊂Q.
Definition 1 (R,+,×)est un corps commutatif contenant N,Z,Q. C’est `a dire que,
pour tout a, b, c ∈R, on a :
(R,+) groupe commutatif
a+b=b+a
a+ (b+c) = (a+b) + c
a+ 0 = 0 + a=a
a+ (−a) = (−a) + a= 0
(R∗,×)groupe commutatif
ab =ba
a(bc) = (ab)c
a×1 = 1 ×a=a
a×a−1=a−1a= 1,(a6= 0)
a(b+c) = ab +bc