1 Introduction 2 Coefficients de Fourier

Devoir: Les s´eries de Fourier
201-NYB Calcul Int´egral
Professeur : Dimitri Zuchowski
1 Introduction
Le but de ce devoir optionnel est de vous introduire aux s´eries de Fourier, un sujet qui sort l´eg`erement
du cadre du cours mais qui repose sur des notions vues en classe. D’ici la fin de la session, nous allons voir
les s´eries de Taylor. Ces derni`eres vont nous permettre d’avoir une approximation d’une fonction `a l’aide
d’un “polynˆome” infini. Les s´eries de Fourier et les s´eries de Taylor jouent un peu le mˆeme rˆole mais avec
chacun ses avantages et d´esavantages.
Les s´eries de Fourier ont comme objet d’´etude les fonctions p´eriodiques. Une fonction f(x) est dite
p´eriodique s’il existe un nombre a∈R, a 6= 0 tel que f(x) = f(x+a). Le nombre aest une p´eriode1D’une
certaine fa¸con, si on prend la fonction sur un intervalle [x, x +a], on peut obtenir la fonction sur l’intervalle
[x+a, x + 2a] en effectuant un “copier-coller”. Les fonctions trigonom´etriques sont de bons exemples de
fonctions p´eriodiques de p´eriode 2π.
Le point de d´epart des s´eries de Fourier est la supposition qu’une fonction p´eriodique f(x) de p´eriode 2π
sur l’intervalle [−π, π] peut s’´ecrire comme une somme infini de sinus et de cosinus de la mani`ere suivante ;
f(x) =
∞
X
k=0
(akcos(kx) + bksin(kx))
=a0cos(0x) + b0sin(0x) + a1cos(x) + b1sin(x) + a2cos(2x) + b2sin(2x) + . . .
et les termes aiet bisont les coefficients de Fourier. Montrer que cette supposition n’est pas farfelue n’est
pas une mince affaire et est beaucoup trop pouss´e pour ce devoir. Par contre, on peut se lancer `a la recherche
des coefficients de Fourier qui sont les seuls inconnus de la suite ci-dessus.
2 Coefficients de Fourier
Dans cette section, je vais vous guider pour que vous puissiez d´ecouvrir comment trouver les coefficients
de Fourier.
Question 1. Trouvez a0. Pour ce faire consid´erez
f(x) =
∞
X
k=0
(akcos(kx) + bksin(kx))
=a0cos(0x) + b0sin(0x) +
∞
X
k=1
(akcos(kx) + bksin(kx)) = a0+
∞
X
k=1
(akcos(kx) + bksin(kx))
1Cette p´eriode n’est pas unique car si on prend 2apar exemple, on a que f(x) = f(x+a) = f((x+a) + a) = f(x+ 2a) et
donc que 2aaussi est une p´eriode.
1

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int´egrez de chaque cot´e cette derni`ere ´equation de −π`a π, c’est-`a-dire
Zπ
−π
f(x)dx =Zπ
−π a0+
∞
X
k=1
(akcos(kx) + bksin(kx))!dx
(Ici on tourne un peu les coins ronds, car l’int´egrale d’une somme est la somme des int´egrales mais lorsque
cette somme est infini ce n’est pas toujours vrai ! Pour le cas pr´esent vous pouvez vous donner le droit de le
faire !). Ensuite, isolez a0.Gros indice . . .votre r´eponse devrait ˆetre en fonction de Zπ
−π
f(x)dx.
Question 2. Pr´eparons-nous pour trouver les anet les bn. Calculez les trois int´egrales suivantes en
supposant que n, k ∈Net que k6=n.
a) Zπ
−π
cos(nx) cos(kx)dx b) Zπ
−π
cos(nx) sin(kx)dx c) Zπ
−π
sin(nx) sin(kx)dx
Maintenant calculez les trois int´egrales suivantes si k=n
a) Zπ
−π
cos2(nx)dx b) Zπ
−π
cos(nx) sin(nx)dx c) Zπ
−π
sin2(nx)dx
Question 3. Trouvez les an. Pour ce faire, on multiplie l’´equation
f(x) = a0+
∞
X
k=1
(akcos(kx) + bksin(kx))
de chaque cot´es par cos(nx) pour obtenir
f(x) cos(nx) = a0cos(nx) +
∞
X
k=1
(akcos(nx) cos(kx) + bkcos(nx) sin(kx))
et ensuite, int´egrez de −π`a πcette derni`ere ´equation (en utilisant la question 2) et isolez an.
Question 4. Inspirez-vous de la question 3 pour trouver les bn.
3 D´ eveloppement de fonction en s´ erie de Fourier
Pour vous donner une id´ee de tout cela, voici un exemple. Soit la fonction p´eriodique de p´eriode 2πd´efini
par
f(x) = (3−π≤x < 0
1 0 ≤x < π.
Sa s´erie de Fourier (apr`es quelques calculs) est :
f(x)=2−4 sin(x)
π−4 sin(3x) 3π−4 sin(5x) 5π−4 sin(7x) 7π−4 sin(9x) 9π−. . .
Calcul Int´egral – 201-NYB – Hiver 2008

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-4 -3 ,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6
-2
-1
1
2
3
4
(a) f(x)
-4 -3 ,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6
-2
-1
1
2
3
4
(b) 2 −
4 sin(x)
π
-4 -3 ,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6
-2
-1
1
2
3
4
(c) 2 −
4 sin(x)
π
−
4 sin(3x)
3π
-4 -3 ,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6
-2
-1
1
2
3
4
(d) 2 −4
9
X
k=0
sin((2k+ 1)x)
(2k+ 1)π
= 2 −4
∞
X
k=0
sin((2k+ 1)x)
(2k+ 1)π.
Bon. . .c’est pas mal abstrait tout ¸ca ! Regardons ce que ¸ca donne graphiquement.
Question 5. Trouvez le d´eveloppement en s´erie de Fourier de la fonction p´eriodique de p´eriode 2πd´e-
finie par f(x) = 1 + xpour −π < x ≤π. Qui ressemble `a :
-7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10
-5
-2,5
2,5
5
Calcul Int´egral – 201-NYB – Hiver 2008