1 Introduction 2 Coefficients de Fourier

Devoir: Les séries de Fourier
201-NYB Calcul Intégral
Professeur : Dimitri Zuchowski
1
Introduction
Le but de ce devoir optionnel est de vous introduire aux séries de Fourier, un sujet qui sort légèrement
du cadre du cours mais qui repose sur des notions vues en classe. D’ici la fin de la session, nous allons voir
les séries de Taylor. Ces dernières vont nous permettre d’avoir une approximation d’une fonction à l’aide
d’un “polynôme” infini. Les séries de Fourier et les séries de Taylor jouent un peu le même rôle mais avec
chacun ses avantages et désavantages.
Les séries de Fourier ont comme objet d’étude les fonctions périodiques. Une fonction f (x) est dite
périodique s’il existe un nombre a ∈ R, a 6= 0 tel que f (x) = f (x + a). Le nombre a est une période1 D’une
certaine façon, si on prend la fonction sur un intervalle [x, x + a], on peut obtenir la fonction sur l’intervalle
[x + a, x + 2a] en effectuant un “copier-coller”. Les fonctions trigonométriques sont de bons exemples de
fonctions périodiques de période 2π.
Le point de départ des séries de Fourier est la supposition qu’une fonction périodique f (x) de période 2π
sur l’intervalle [−π, π] peut s’écrire comme une somme infini de sinus et de cosinus de la manière suivante ;
f (x) =
∞
X
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
k=0
= a0 cos(0x) + b0 sin(0x) + a1 cos(x) + b1 sin(x) + a2 cos(2x) + b2 sin(2x) + . . .
et les termes ai et bi sont les coefficients de Fourier. Montrer que cette supposition n’est pas farfelue n’est
pas une mince affaire et est beaucoup trop poussé pour ce devoir. Par contre, on peut se lancer à la recherche
des coefficients de Fourier qui sont les seuls inconnus de la suite ci-dessus.
2
Coefficients de Fourier
Dans cette section, je vais vous guider pour que vous puissiez découvrir comment trouver les coefficients
de Fourier.
Question 1. Trouvez a0 . Pour ce faire considérez
f (x) =
∞
X
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
k=0
= a0 cos(0x) + b0 sin(0x) +
∞
X
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) = a0 +
k=1
∞
X
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
k=1
1
Cette période n’est pas unique car si on prend 2a par exemple, on a que f (x) = f (x + a) = f ((x + a) + a) = f (x + 2a) et
donc que 2a aussi est une période.
1
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Devoir: Les séries de Fourier
intégrez de chaque coté cette dernière équation de −π à π, c’est-à-dire
Z
π
Z
π
f (x)dx =
−π
a0 +
−π
∞
X
!
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) dx
k=1
(Ici on tourne un peu les coins ronds, car l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales mais lorsque
cette somme est infini ce n’est pas toujours vrai ! Pour le cas présent vous pouvez vous
Z donner le droit de le
π
f (x)dx.
faire !). Ensuite, isolez a0 . Gros indice . . .votre réponse devrait être en fonction de
−π
Question 2. Préparons-nous pour trouver les an et les bn . Calculez les trois intégrales suivantes en
supposant que n, k ∈ N et que k 6= n.
Z π
Z π
Z π
a)
cos(nx) cos(kx)dx
b)
cos(nx) sin(kx)dx
c)
sin(nx) sin(kx)dx
−π
−π
−π
Maintenant calculez les trois intégrales suivantes si k = n
Z π
Z π
2
a)
cos (nx)dx
b)
cos(nx) sin(nx)dx
−π
Z
π
c)
−π
sin2 (nx)dx
−π
Question 3. Trouvez les an . Pour ce faire, on multiplie l’équation
f (x) = a0 +
∞
X
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
k=1
de chaque cotés par cos(nx) pour obtenir
f (x) cos(nx) = a0 cos(nx) +
∞
X
(ak cos(nx) cos(kx) + bk cos(nx) sin(kx))
k=1
et ensuite, intégrez de −π à π cette dernière équation (en utilisant la question 2) et isolez an .
Question 4. Inspirez-vous de la question 3 pour trouver les bn .
3
Développement de fonction en série de Fourier
Pour vous donner une idée de tout cela, voici un exemple. Soit la fonction périodique de période 2π défini
par
(
3
f (x) =
1
−π ≤ x < 0
0 ≤ x < π.
Sa série de Fourier (après quelques calculs) est :
f (x) = 2 −
4 sin(x) 4 sin(3x) 4 sin(5x) 4 sin(7x) 4 sin(9x)
−
−
−
−
− ...
π
3π
5π
7π
9π
Calcul Intégral – 201-NYB – Hiver 2008
Devoir: Les séries de Fourier
-4
-3,2
-2,4
-1,6
-0,8
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4
4
3
3
2
2
1
1
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4
4,8
5,6
-4
-3,2
-2,4
-1,6
-0,8
0
-1
-2,4
-1,6
-0,8
4
4
3
3
2
2
1
1
0
2,4
3,2
4
4,8
5,6
2,4
3,2
4
4,8
5,6
-2
(b) 2 −
(a) f (x)
-3,2
1,6
-1
-2
-4
0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
4,8
5,6
-4
-3,2
-2,4
-1,6
-0,8
0
-1
-1
-2
-2
4 sin(x)
4 sin(3x)
(c) 2 −
−
π
3π
(d) 2 − 4
4 sin(x)
π
0,8
1,6
9
X
sin((2k + 1)x)
(2k + 1)π
k=0
=2−4
∞
X
sin((2k + 1)x)
(2k + 1)π
k=0
.
Bon. . .c’est pas mal abstrait tout ça ! Regardons ce que ça donne graphiquement.
Question 5. Trouvez le développement en série de Fourier de la fonction périodique de période 2π définie par f (x) = 1 + x pour −π < x ≤ π. Qui ressemble à :
5
2,5
-7,5
-5
-2,5
0
2,5
5
7,5
-2,5
-5
Calcul Intégral – 201-NYB – Hiver 2008
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