Distributions et espaces de Sobolev 1 L`espace vectoriel des

Université de Strasbourg M1 Analyse fonctionnelle (S1)
O. Guichard. [email protected]
Distributions et espaces de Sobolev
Dans tout ce chapitre, on fixe un ouvert Ω(non vide...)
de l’espace vectoriel Rd. Rappelons que les compacts de Ω
sont les sous-ensembles K⊂Ωqui sont fermés et bornés
dans Rd.
1 L’espace vectoriel des fonctions in-
finiment dérivables
L’espace vectoriel D(Ω; C) = C∞
c(Ω; C)des fonctions
f: Ω →Cinfiniment dérivables et qui sont nulles en dehors
d’un compact de Ωest muni de la topologie de la conver-
gence uniforme sur les compacts de la fonction et de toutes
les dérivées partiels (ce n’est pas tout à fait correct, voir la
définition ci-dessous). Afin d’écrire cela correctement, intro-
duisons quelques notations.
1.1 Dérivées partielles
Soit f: Ω →Cune fonction de classe C∞. Pour
i= 1, . . . , d, notons ∂ifla dérivée partielle de fpar rap-
port à la i-ième coordonnée, en notant x= (x1, . . . , xd)les
points de Rd:
∂if(x) = ∂f
∂xi(x).
Le lemme de Schwartz dit que ∂j(∂if) = ∂i(∂jf), on peut
donc se passer des parenthèses dans cette dernière expres-
sion. Les dérivées partielles d’ordre supérieur de fsont les
expressions de la forme
∂α1
1∂α2 2. . . ∂αd
df,
où α1,α2, . . ., αdsont des entiers positifs ou nuls. La fonc-
tion fétant C∞, ses dérivées partielles ∂α1
1. . . ∂αd
df: Ω →C
sont aussi C∞.
Afin d’avoir des expressions plus compactes, l’on intro-
duit la notation suivante : pour α= (α1, α2, . . . , αd)∈Nd,
Dαf=∂α1
1∂α2 2. . . ∂αd
df .
Lorsque α= (0,...,0), il est pratique de définir Dαf=
D(0,...,0)f=f.
Exercice 1. (Lemme de Schwartz généralisé) Pour α=
(α1, . . . , αd)∈Ndet β= (β1, . . . , βd)∈Nd, on pose
α+β= (α1+β1, . . . , αd+βd). Pour tout f: Ω →Cde
classe C∞
Dβ(Dαf) = Dα(Dβf) = Dα+βf .
(Vous aurez probablement à faire une récurrence sur |α|=
α1+· · · +αd.)
1.2 Support d’une fonction
Pour une fonction continue f: Ω →C, son support est
le plus petit fermé de Ωtel que fs’annule sur son complé-
mentaire, explicitement
Supp(f) = {x∈Ω|f(x)6= 0},
où l’adhérence est prise dans Ω.
Exercice 2. Démontrer l’affirmation ci-dessus. (ou plutôt :
ΩrSupp(f)est le plus grand ouvert de Ωsur lequel fs’an-
nule).
Exercice 3. Si fest C∞, alors, pour tout α∈Nd, le support
de Dαfest contenu dans celui de f.
Une fonction fest à support compact si son support
Supp(f)est. . . un sous-ensemble compact de Ω.
Exercice 4. Donner un exemple de fonction C∞f:R→R
dont le support est un intervalle compact (disons [−1,1]).
Certainement, la fonction que vous avez construite est stric-
tement positive sur l’intérieur de l’intervalle (ici ]−1,1[), si-
non construisez une fonction avec ces deux propriétés. Mon-
trer que vous pouvez faire de même avec n’importe quel in-
tervalle compact.
Il y a une sorte de réciproque à l’exercice précédent sur
les supports des dérivées partielles.
Exercice 5. Soit f: Ω →RC∞et à support compact, alors,
pour tout α∈Nd,Supp(Dαf) = Supp(f). Qu’en est-il si f
n’est pas à support compact ? et si f: Ω →C?
Le support de la somme de fonctions et d’un multiple est
facile à comprendre :
Exercice 6. Supp(f+g)⊂Supp(f)∪Supp(g),Supp(λf ) =
Supp(f)si λ6= 0.
1.3 La convergence des fonctions à support
compact
Nous ne donnerons pas ici une définition précise de la
topologie sur l’ensemble
D(Ω; C) = {f∈CΩ|fest C∞et à support compact},
mais simplement quelles sont les suites convergentes. (Cela
ne suffit pas pour définir une topologie).
Définition. Une suite (fn)n∈Ndans D(Ω; C)converge vers
f∈ D(Ω; C)si
1. il existe un sous-ensemble compact K⊂Ωtel que,
pour tout n∈N,Supp(fn)⊂K.
2. et, pour tout α∈Nd, la suite de fonctions (Dαfn)n∈N
converge uniformément vers Dαf.
Exercice 7. Montrer qu’alors Supp(f)⊂K.
On peut aussi exprimer cette convergence grâce à une
famille de semi-normes D(Ω; C)→R.
1

Définition. Une semi-norme p:E→Rsur un K-espace
vectoriel Eest une fonction positive (∀e∈E,p(e)≥0),
homogène (αe ∈E,λ∈K,p(λe) = |λ|p(e)) et sous-additive
(∀e, f ∈E,p(e+f)≤p(e) + p(f)).
Pour L⊂Ωcompact et α∈Nd, on pose
pL,α :D(Ω; C)→R
f7→ pL,α(f) = sup
x∈L
|Dαf(x)|.
Exercice 8. (C’est plutôt un problème qu’un exercice...)
Montrer que pL,α est une semi-norme. Exprimer la conver-
gence des suites à l’aide de ces semi-normes. Définir la topo-
logie sur D(Ω; C)(à l’aide de ces semi-normes, mais. . . at-
tention !). En déduire une notion de suites de Cauchy dans
D(Ω; C). Donner aussi une définition d’ensembles bornés
dans D(Ω; C). Montrer ensuite que D(Ω; C)a la propriété
de Heine : les fermés bornés sont compacts ! (il faut utiliser
le théorème d’Ascoli et l’inégalité des accroissements finis)
Remarque. Si (E, k·k)est un espace vectoriel normé, alors
Eest de dimension finie si et seulement si les fermés bornés
sont compacts. (C’est une réexpression du résultat disant
que si la boule unité est compacte alors Eest de dimen-
sion finie). On en conclut que D(Ω; C)n’est pas un espace
vectoriel normé.
Remarque. La famille de semi-normes définissant la topo-
logie sur D(Ω; C)n’est pas unique. On peut par exemple
restreindre le compact Là appartenir à une suite de com-
pacts fixée à l’avance et dont la réunion des intérieurs est
égale à Ω. Un autre choix naturel et de travailler avec toutes
les dérivées jusqu’à un certain ordre n∈N:
p(n)
L(f) = X
α∈Nd,|α|≤n
pL,α(f),
ou p(n)0
L(f) = sup
x∈LX
α∈Nd,|α|≤n
|Dαf(x)|.
2 L’espace des distributions
Les distributions (on dit parfois “fonctions généralisées”)
sont les formes linéaires continues sur l’espace vectoriel to-
pologique D(Ω; C).
2.1 Définition
Une application linéaire T:D(Ω; C)→Cest continue
si, pour toute suite convergente (fn)nde limite f, la suite
(T(fn))nconverge vers T(f).
Notation : On adoptera la notation hT, fipour désigner
T(f).
Définition. Une telle application linéaire continue
D(Ω; C)→Cest appelée distributions. L’ensemble des dis-
tributions est noté D(Ω; C)0.
Remarque. D(Ω; C)0est lui-même un espace vectoriel topolo-
gique, nous n’aborderons pas ces questions ici. Également, ons
n’évoquerons pas la transformée de Fourier, un outil puissant
dans l’étude des distributions.
Lemme 1. Une application linéaire T:D(Ω; C)→Cest
une distribution si, pour tout L⊂Ωcompact, il existe un
entier net un réel Mtels que
∀f∈ D(Ω; C),Supp(f)≤L⇒ |hT, f i| ≤ Mp(n)
L(f).
On dit que la distribution est d’ordre fini si, il existe N,
tel qu’on peut choisir n≤Ndans le lemme précédent. Le
plus petit entier Npossible s’appelle l’ordre de la distribu-
tion. La distribution est dite d’ordre infinie sinon.
Exemple. (Dirac) tout point xde Ωdéfinit une distribu-
tion δx(appelée Dirac en x) par hδx, fi=f(x). C’est une
distribution d’ordre 0.
Exercice 9. Soit (xn)n∈Nune suite de Ωvérifiant la pro-
priété suivante : pour tout compact L⊂Ω, l’ensemble
{n∈N|xn∈L}est finie. Alors pour n’importe quelle suite
(cn)n∈Nla série Pncnδxndéfinit une distribution d’ordre 0.
2.2 Les fonctions sont des distributions
Soit φ: Ω →Rune fonction continue, alors
Tφ:D(Ω; C)→C
f7→ ZΩ φ(x)f(x)dx
est une distribution d’ordre 0, car, si Supp(f)⊂L(où Lest
un compact de Ω), alors |hTφ, fi| ≤ RL|φ(x)|dx ×p(0)
L(f).
En fait, ce calcul montre que l’on peut définir Tφpour
toute fonction φmesurable et intégrable sur les compacts (i.e.
pour tout compact K⊂Ω,RK|φ|<∞) ; on dit encore que φ
est localement intégrable et on écrit φ∈ L1
loc(Ω; C). L’espace
vectoriel quotient des classes d’équivalences presque partout
des fonctions mesurables et localement intégrables est noté
L1
loc(Ω; C)ou L1 loc(Ω) ou simplement L1 loc.
Remarquons que deux fonctions égales presque partout
définiront la même distribution : l’espace des distributions
“ne voit donc” que L1
loc.
Remarque. Les deux exemples ci-dessus, Dirac et fonctions,
tombent dans une même classe d’exemples : celle des mesures
de Radon sur Ω. À toute telle mesure (signée) µ, l’on peut dé-
finir Tµpar hTµ, fi=Rfdµ. C’est une distribution d’ordre 0.
Réciproquement, toute distribution d’ordre 0est donnée par ce
procédé.
2.3 Les fonctions de carré intégrable sont
des distributions
En particulier, toute fonction φ∈L2(Ω; C)définit une
distribution. En effet φest bien localement intégrable comme
cela résulte de l’inégalité de Cauchy-Schwartz appliquée à
φ/|φ| × 1Ket à φ(où K⊂Ωest un compact).
On peut même déterminer la norme L2de φavec la dis-
tribution Tφ. Notons k·k2la norme L2.
Lemme 2. Soit φ∈L2(Ω; C)et soit Tφla distribution as-
sociée. Alors l’on a
sup
f∈D(Ω)r{0}
|hTφ, fi|
kfk2
=kφk2.
Démonstration. Notons aussi h·|·i2le produit scalaire sur
L2(Ω; C).Remarquons aussi que D(Ω; C)⊂L2(Ω; C). Pour
tout f∈ D(Ω; C), l’on a hTφ, fi=h¯ φ|fi2.
Soit Mla borne supérieure apparaissant dans l’énoncé.
L’égalité précédente et l’inégalité de Cauchy-Schwartz
montrent que M≤ kφk2. L’égalité M=kφk2provient de la
densité de D(Ω; C)dans L2(Ω; C).
2

Exercice 10. Démontrer cette densité. Fournir les détails
de la fin de la démonstration.
Corollaire 3. L’application L2(Ω; C)→ D(Ω; C)0;φ7→ Tφ
est linéaire et injective.
Démonstration. La linéarité est facile à vérifier. L’injectivité
suit alors du lemme précédent qui montre que le noyau de
l’application φ7→ Tφest réduit à 0.
Grâce à ce corollaire, on identifie L2à un sous-espace de
D(Ω; C)0. On écrira aussi T∈L2(Ω; C)pour signifier qu’une
distribution Tappartient à l’image de l’application φ7→ Tφ.
2.4 L’intégration par parties
Nous en donnons ici une version plus “particulière” (car
il n’y a pas de terme d’intégration).
Considérons d’abord deux fonctions C∞φ, f :I→Cdé-
finies sur un intervalle ouvert Iet avec fà support compact
dans I, on a alors
ZI
φ0(t)f(t)dt =−ZI φ(t)f0(t)dt.
Soient maintenant φ, f deux fonctions C∞définies sur un
ouvert Ω⊂Rd. Pour tout i∈ {1, . . . , d}, l’intégration par
parties sur la variable xidonnent
ZΩ
(∂iφ)(x)f(x)dx =−ZΩ φ(x)(∂if)(x)dx.
Exercice 11. Démontrer cette formule.
Ceci permet d’obtenir une relation entre les intégrales des
produits de favec toutes les dérivées partielles de φ; préci-
sément, pour tout φ: Ω →CC∞et pour tout f∈ D(Ω; C)
et pour tout α∈Nd, l’on a
ZΩ
Dαφ(x)f(x)dx = (−1)|α|ZΩ φ(x)Dαf(x)dx.
Exercice 12. Démontrer cette formule.
2.5 Dériver les distributions
C’est l’une des principales qualités des distributions :
toute distributions est dérivable et ceci à tous les ordres ! La
définition est inspirée de la formule d’intégration par parties
ci-dessus.
Définition. Soit T∈ D(Ω; C)0une distribution et soit
α∈Nd, on pose
DαT:D(Ω; C)→C
f7→ (−1)|α|hT, Dαfi.
Lemme 4. Avec les notations ci-dessus, DαTest une forme
linéaire continue, i.e. c’est une distribution.
Exercice 13. Démontrer le lemme.
La distribution DαTs’appelle la dérivée (partielle) de T
au sens des distributions. En particulier, pour toute fonction
φlocalement intégrable, les dérivées de Tφexistent au sens
des distributions à tous les ordres !
Remarquons que si l’on dérive des fonctions dérivables,
tout “va bien”
Lemme 5. Soit φ: Ω →Cune fonction C∞. Pour tout
α∈Nd, on a DαTφ=TDαφ.
Exercice 14. Démontrer le lemme sous les hypothèses les
plus générales possibles pour la fonction φ.
Exemple. À part les fonctions, on peut donner facile-
ment une expression des dérivées des Dirac : hDαδx, fi=
(−1)αDαf(x).
Exercice 15. (“fonction de Heavyside”) Soient ei,i=
1, . . . , d, les vecteurs de la base canonique. Pour tout x∈Ω
et i∈ {1, . . . , d},
Hi,x :D(Ω; C)→C
f7→ Z+∞
0
f(x+tei)dt
est une distribution qui vérifie ∂iHi,x =δx. Pouvez-vous dé-
finir des primitives à tous les ordres des Dirac ?
Remarque. Les distributions ont d’autres propriétés tout à fait
formidables. Par exemple toute distribution est la somme d’une
série dont les termes sont des dérivées (au sens des distributions)
de fonctions localement intégrables (il est nécessaire de connaître
les partitions de l’unité pour démontrer ce résultat). Par ailleurs,
si (Tn)n∈Nest une suite de distributions telles que, pour tout
f∈ D(Ω; C), la suite complexe (hTn, fi)n∈Nest convergente de
limite notée hT, f i, alors Test une distribution et, pour tout
α∈Nd, la suite de distributions (DαTn)n∈Nconverge (au sens de
la topologie sur D(Ω; C)0) vers DαT(c’est une conséquence du
théorème de Banach-Steinhaus).
La possibilité de dériver n’importe quelle distribution et
donc en particulier n’importe quelle fonction est importante
justement dans la résolution d’équations aux dérivées par-
tielles : on définit d’abord la notion de “solution faible” (ici
au sens des distributions), l’on montre l’existence d’une so-
lution faible (souvent à l’aide d’un théorème “général” basé
sur la complétude), puis, et c’est là que le travail le plus
substantiel commence, on montre que la distribution obte-
nue comme solution faible est une “vraie” fonction et que
cette fonction est bien la solution de l’équation aux dérivées
partielles initiale (on parle parfois de solution “classique”).
Au chapitre suivant, nous mettrons en place ce programme
dans le cadre des espaces de Sobolev plutôt que celui des
distributions.
Exercice 16. Trouver une suite de fonctions qui converge
(au sens des distributions) vers une distribution de Dirac.
3 Espaces de Sobolev
Nous allons utiliser les distributions pour définir les es-
paces de Sobolev. Ce n’est pas obligatoire mais les possibili-
tés de dériver n’importe quelle distribution (voir § 2.5) et de
détecter les distributions qui sont des fonctions (voir § 2.3)
vont permettre une définition rapide.
Ici seuls les espaces de Sobolev qui sont des espaces de
Hilbert vont être définis, i.e. les fonctions qui entrent en jeu
seront L2(de carré intégrable). Il est possible de faire les
mêmes constructions avec les fonctions Lpet obtenir les es-
paces de Sobolev souvent notés W1,p.
3

3.1 Définition
Soit comme plus haut Ωun ouvert non vide de Rd.
On pose :
H1(Ω; C) = {T∈ D(Ω; C)0|T∈L2(Ω; C)et
∀i= 1, . . . , d, ∂iT∈L2(Ω; C)}
C’est pour l’instant seulement un C-espace vectoriel
(pourquoi ?) et nous allons maintenant le munir d’une struc-
ture préhilbertienne pour montrer enfin que, muni de cette
structure, c’est un espace de Hilbert (i.e. il est complet).
Les éléments fde H1(Ω; C)seront toujours identifiés à
des (classes de) fonctions f: Ω →Cmesurable et de carré
intégrable, i.e. H1(Ω; C)⊂L2(Ω; C). Pour f∈H1(Ω; C),
l’on notera par ∂1f, . . ., ∂dfles fonctions de L2(Ω; C)véri-
fiant T∂if=∂iTf. Explicitement, pour tout g∈ D(Ω; C), on
doit avoir l’équation
ZΩ
f(x)∂ig(x)dx=−ZΩ ∂if(x)g(x)dx.
Attention : C’est seulement au sens des distributions
(i.e. de l’égalité précédente) que ces dérivées partielles sont
définies ; elles ne sont jamais définies par un taux d’accrois-
sement.
Définition. Pour fet gdans H1(Ω; C), on pose
hf|giH1=hf|gi2+
d
X
i=1
h∂if|∂igi.
Exercice 17. Démontrer que h·|·iH1est un produit scalaire
hermitien.
Remarque. Il y a d’autres conventions possibles pour le pro-
duit scalaire.
Exercice 18. Écrire la formule pour la norme sur H1(Ω; C).
3.2 Les espaces de Sobolev sont complets
Avant d’en faire la démonstration, remarquons la carac-
térisation suivante des fonctions fde carré intégrable qui
sont dans H1:
Lemme 6. Soit fdans L2(Ω; C). Les deux énoncés suivant
sont alors équivalents
—fappartient à H1(Ω; C)
— il existe g1, . . ., gddans L2(Ω; C)tels que, pour tout
h∈ D(Ω; C)et tout i∈ {1, . . . , d},RΩf(x)∂ih(x)dx =
RΩgi(x)h(x)dx.
Dans ce cas, l’on a aussi ∂if=−gi.
Exercice 19. Démontrer ce lemme.
Exercice 20. Soit f∈L2(Ω; C). Alors fappartient à
H1(Ω; C)si et seulement si il existe C∈Rtel que, pour tout
h∈ D(Ω; C)et pour tout i∈ {1, . . . , d},|RΩf(x)h0(x)dx| ≤
Ckhk2.
Vous aurez vraisemblablement besoin de la caractérisa-
tion suivante des distributions Tqui appartiennent à L2:
une distribution Tappartient à L2(Ω; C)si et seulement si
il existe C∈Rtel que, pour tout k∈ D(Ω; C),|hT, ki| ≤
Ckkk2. (Indication : densité de D(Ω; C)dans L2(Ω; C)et
théorème de représentation de Riesz).
De la complétude de L2(Ω; C)et de ce lemme, on déduit :
Corollaire 7. L’espace (H1(Ω; C),h·|·iH1)est un espace de
Hilbert.
Exercice 21. Démontrer ce corollaire !
Exercice 22. Soit fdans H1(Ω; C)alors, pour tout k: Ω →
Cfonction de classe C1est à support compact, et pour tout
i,RΩf(x)∂ik(x)dx =−RΩ∂if(x)k(x)dx.
Exercice 23. Soit I⊂Run intervalle ouvert et borné.
Trouver une fonction u∈L2(I;C)qui ne soit pas dans
H1(Ω; C). (Trouver d’abord une distribution qui ne soit pas
dans L2(Ω; C)et en prendre une “primitive” pour déterminer
u).
Exercice 24. H1(Ω; C)s’identifie à un sous-espace fermé
de L2(Ω; C)d+1. L’espace de Hilbert H1(Ω; C)est séparable.
Il est donc isométrique à `2
C(N).
3.3 Les espaces Hp
On peut également travailler avec des dérivées d’ordre
supérieure.
Définition. Soit pun entier. On pose
Hp(Ω; C) = {T∈ D(Ω; C)0| ∀α∈Nd,
|α| ≤ p⇒DαT∈L2(Ω; C)},
et, si T,T0appartiennent à Hp(Ω; C):
hT|T0iHp=X
α∈Nd,|α|≤p
hDαT|DαT0i2.
C’est un espace de Hilbert. On a des inclusions
Hp+1(Ω; C)⊂Hp(Ω; C).
3.4 En dimension 1
Donnons, pour des raisons de comodité, quelques résul-
tats généraux sur les espaces de Sobolev lorsque Ωest un
intervalle I, ouvert et borné de R.
Pour un élément u∈H1(I;C)on notera u0la fonction
∂1u.
3.4.1 Les éléments de H1(I;C)sont des fonctions
continues
Précisément :
Théorème 8. Soit u∈H1(I;C). Il existe une unique fonc-
tion ˜u∈ C(I;C)(i.e. ˜u:I→Cest continue) telle que
u= ˜upresque partout,
et l’on a, pour tout x, y dans I,
˜u(x)−˜u(y) = Zx
y
u0(t)dt.
Avant d’entamer la démonstration, commençons par
deux lemmes.
Lemme 9. Soit g:I→Cune fonction localement inté-
grable et telle que, pour tout φ∈ D(I;C),RIg(t)φ0(t)dt = 0.
Il existe alors C∈Rtel que g=Cpresque partout.
4

Démonstration. Il suffit de démontrer le lemme pour g:I→
R(justifier pourquoi). On ne travaillera donc que avec des
fonctions à valeurs réelles dans cette démonstration.
Fixons ψ∈ D(I;R)avec RIψ= 1.
Pour tout w∈ D(I;R), la fonction w−(RIw)ψest d’inté-
grale nulle et admet donc une primitive φ:I→Rcontinue
à support compact. La condition RIgφ0= 0 s’écrit donc
ZI
gw =ZI (ZI w)g=ZI w×ZI g=CZI wavec C=ZI g.
On a donc, pour tout w∈ D(I;R)
ZI(g−C)w= 0,
ceci n’est possible que si g=Cpresque partout (jus-
tifier pourquoi en utilisant la théorie de la mesure par
exemple).
Lemme 10. Soit g∈L2(I;C)et soit y0∈I. La fonction
v:I→Cdéfinie par, pour tout x∈I,v(x) = Rx
y0g(t)dt, est
continue et vérifie
ZI
v(t)φ0(t)dt =−ZI g(t)φ(t)dt, pour tout φ∈ D(I;C).
Démonstration. La continuité (uniforme même) de vsuit de
l’inégalité de Cauchy-Schwartz (le faire ! c’est instructif).
Écrivons I=]a, b[. Pour tout φ∈ D(I;C), on a
ZI
vφ0=Zb
aZx y0
g(t)dtφ0(x)dx
=−Zy0
a
dx Zy0
x
dtg(t)φ0(x) + Zb
y0
dx Zx
y0
dtg(t)φ0(x)
=−Zy0
a
dt Za
t
dxφ0(x)g(t) + Zb
y0
dt Zb
t
dxφ0(x)g(t)
=−Zy0
a
dtφ(t)g(t) + Zb
y0
dt(−φ(t))g(t)
=−Zb
a
gφ.
démonstration du théorème. On pose ¯u(x) = Rx
y0u0(t)dt.
ALors pour tout φD(I;C),RI¯uφ0=−RIu0φ=RIuφ. Donc
la fonction g=u−¯uvérifie les hypothèses du lemme 9 et
est égale presque partout à C∈R. La fonction ˜u= ¯u+C
vérifie les propriétés désirées.
3.4.2 Le sous-espace H1
0
Le théorème précédent est d’une importance fondamen-
tale : il permet de parler des valeurs prises en un point de I
d’une fonction ude H1(I;C)(que l’on identifiera désormais
toujours à son représentant continu). (Ceci n’a par contre
aucun sens pour des éléments de L2(I;C)).
Exercice 25. L’injection H1(I;C)→ C(I;C)est elle conti-
nue ? est-elle compacte ? (il faut bien sûr savoir que peut
signifier la compacité d’un opérateur dans ce cadre).
Définition. On pose
H1
0(I;C) = {u∈H1(I;C)|u(inf I) = u(sup I) = 0}.
C’est un sous-espace vectoriel fermé de H1(I;C).
Les fonctions C∞à support compact appartiennent à H1
0,
“Réciproquement” :
Théorème 11. Soit I=]a, b[un intervalle de longueur finie
(i.e. −∞ < a < b < +∞). Le sous-espace D(I;C)est dense
dans H1
0(I;C).
Démonstration. Soit u∈H1
0(I;C), la fonction u0est dans
L2(I;C)et est donc limite (pour la norme k·k2) de fonc-
tions C∞à support compact : il existe une suite (φn)n∈N∈
D(Ω; C)Ntelle que ku0−φnk2→0.
L’inégalité de Cauchy-Schwartz appliquée à (u0−φn)et
à1Ipermet de montrer que la suite (RIu0−φn)ntend vers
0lorsque ntend vers l’infini. Mais, puisque u∈H1
0(I;C),
Rb
au0=u(b)−u(a)=0et donc la suite δn=−RIφn,n∈N,
tend vers 0.
Fixons ψ:I→Cune fonction C∞à support compact
et d’intégrale 1. La suite de fonctions (ψn=φn+δnψ)n
converge donc vers u0pour la norme k·k2.
Comme ψnest d’intégrale nulle, la fonction θn:I→C
définie par, pour tout x∈I,θn(x) = Rx
aψn(t)dt est C∞
à support compact. La suite (θn)nconverge uniformément
vers uet donc kθn−uk2→0. Ceci prouve que uest la limite
de la suite (θn)dans H1
0.
5