Distributions et espaces de Sobolev 1 L`espace vectoriel des

Université de Strasbourg
O. Guichard.
M1 Analyse fonctionnelle (S1)
[email protected]
Distributions et espaces de Sobolev
1.2
Dans tout ce chapitre, on fixe un ouvert Ω (non vide...)
de l’espace vectoriel Rd . Rappelons que les compacts de Ω
sont les sous-ensembles K ⊂ Ω qui sont fermés et bornés
dans Rd .
Support d’une fonction
Pour une fonction continue f : Ω → C, son support est
le plus petit fermé de Ω tel que f s’annule sur son complémentaire, explicitement
Supp(f ) = {x ∈ Ω | f (x) 6= 0} ,
1
L’espace vectoriel des fonctions infiniment dérivables
où l’adhérence est prise dans Ω.
Exercice 2. Démontrer l’affirmation ci-dessus. (ou plutôt :
Ω r Supp(f ) est le plus grand ouvert de Ω sur lequel f s’annule).
L’espace vectoriel D(Ω; C) = Cc∞ (Ω; C) des fonctions
f : Ω → C infiniment dérivables et qui sont nulles en dehors
d’un compact de Ω est muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de la fonction et de toutes
les dérivées partiels (ce n’est pas tout à fait correct, voir la
définition ci-dessous). Afin d’écrire cela correctement, introduisons quelques notations.
1.1
Exercice 3. Si f est C ∞ , alors, pour tout α ∈ Nd , le support
de Dα f est contenu dans celui de f .
Une fonction f est à support compact si son support
Supp(f ) est. . . un sous-ensemble compact de Ω.
Exercice 4. Donner un exemple de fonction C ∞ f : R → R
dont le support est un intervalle compact (disons [−1, 1]).
Certainement, la fonction que vous avez construite est strictement positive sur l’intérieur de l’intervalle (ici ] − 1, 1[), sinon construisez une fonction avec ces deux propriétés. Montrer que vous pouvez faire de même avec n’importe quel intervalle compact.
Dérivées partielles
Soit f : Ω → C une fonction de classe C ∞ . Pour
i = 1, . . . , d, notons ∂i f la dérivée partielle de f par rapport à la i-ième coordonnée, en notant x = (x1 , . . . , xd ) les
points de Rd :
∂f
(x) .
∂i f (x) =
∂xi
Il y a une sorte de réciproque à l’exercice précédent sur
les supports des dérivées partielles.
Exercice 5. Soit f : Ω → R C ∞ et à support compact, alors,
pour tout α ∈ Nd , Supp(Dα f ) = Supp(f ). Qu’en est-il si f
n’est pas à support compact ? et si f : Ω → C ?
Le lemme de Schwartz dit que ∂j (∂i f ) = ∂i (∂j f ), on peut
donc se passer des parenthèses dans cette dernière expression. Les dérivées partielles d’ordre supérieur de f sont les
expressions de la forme
Le support de la somme de fonctions et d’un multiple est
facile à comprendre :
Exercice 6. Supp(f +g) ⊂ Supp(f )∪Supp(g), Supp(λf ) =
Supp(f ) si λ 6= 0.
∂1α1 ∂2α2 . . . ∂dαd f,
où α1 , α2 , . . ., αd sont des entiers positifs ou nuls. La fonction f étant C ∞ , ses dérivées partielles ∂1α1 . . . ∂dαd f : Ω → C
sont aussi C ∞ .
Afin d’avoir des expressions plus compactes, l’on introduit la notation suivante : pour α = (α1 , α2 , . . . , αd ) ∈ Nd ,
Nous ne donnerons pas ici une définition précise de la
topologie sur l’ensemble
Dα f = ∂1α1 ∂2α2 . . . ∂dαd f .
D(Ω; C) = {f ∈ CΩ | f est C ∞ et à support compact} ,
1.3
La convergence des fonctions à support
compact
mais simplement quelles sont les suites convergentes. (Cela
ne suffit pas pour définir une topologie).
Lorsque α = (0, . . . , 0), il est pratique de définir Dα f =
(0,...,0)
D
f = f.
Définition. Une suite (fn )n∈N dans D(Ω; C) converge vers
f ∈ D(Ω; C) si
1. il existe un sous-ensemble compact K ⊂ Ω tel que,
pour tout n ∈ N, Supp(fn ) ⊂ K.
2. et, pour tout α ∈ Nd , la suite de fonctions (Dα fn )n∈N
converge uniformément vers Dα f .
Exercice 1. (Lemme de Schwartz généralisé) Pour α =
(α1 , . . . , αd ) ∈ Nd et β = (β1 , . . . , βd ) ∈ Nd , on pose
α + β = (α1 + β1 , . . . , αd + βd ). Pour tout f : Ω → C de
classe C ∞
Dβ (Dα f ) = Dα (Dβ f ) = Dα+β f .
Exercice 7. Montrer qu’alors Supp(f ) ⊂ K.
(Vous aurez probablement à faire une récurrence sur |α| =
α1 + · · · + αd .)
On peut aussi exprimer cette convergence grâce à une
famille de semi-normes D(Ω; C) → R.
1
Définition. Une semi-norme p : E → R sur un K-espace
vectoriel E est une fonction positive (∀e ∈ E, p(e) ≥ 0),
homogène (αe ∈ E, λ ∈ K, p(λe) = |λ|p(e)) et sous-additive
(∀e, f ∈ E, p(e + f ) ≤ p(e) + p(f )).
On dit que la distribution est d’ordre fini si, il existe N ,
tel qu’on peut choisir n ≤ N dans le lemme précédent. Le
plus petit entier N possible s’appelle l’ordre de la distribution. La distribution est dite d’ordre infinie sinon.
Pour L ⊂ Ω compact et α ∈ Nd , on pose
Exemple. (Dirac) tout point x de Ω définit une distribution δx (appelée Dirac en x) par hδx , f i = f (x). C’est une
distribution d’ordre 0.
pL,α : D(Ω; C) → R
f 7→ pL,α (f ) = sup|Dα f (x)| .
x∈L
Exercice 9. Soit (xn )n∈N une suite de Ω vérifiant la propriété suivante : pour tout compact L ⊂ Ω, l’ensemble
{n ∈ N | xn ∈ L}Pest finie. Alors pour n’importe quelle suite
(cn )n∈N la série n cn δxn définit une distribution d’ordre 0.
Exercice 8. (C’est plutôt un problème qu’un exercice...)
Montrer que pL,α est une semi-norme. Exprimer la convergence des suites à l’aide de ces semi-normes. Définir la topologie sur D(Ω; C) (à l’aide de ces semi-normes, mais. . . attention !). En déduire une notion de suites de Cauchy dans
D(Ω; C). Donner aussi une définition d’ensembles bornés
dans D(Ω; C). Montrer ensuite que D(Ω; C) a la propriété
de Heine : les fermés bornés sont compacts ! (il faut utiliser
le théorème d’Ascoli et l’inégalité des accroissements finis)
2.2
Soit φ : Ω → R une fonction continue, alors
Tφ : D(Ω; C) → C
Z
f 7→
φ(x)f (x)dx
Remarque. Si (E, k·k) est un espace vectoriel normé, alors
E est de dimension finie si et seulement si les fermés bornés
sont compacts. (C’est une réexpression du résultat disant
que si la boule unité est compacte alors E est de dimension finie). On en conclut que D(Ω; C) n’est pas un espace
vectoriel normé.
Remarque. La famille de semi-normes définissant la topologie sur D(Ω; C) n’est pas unique. On peut par exemple
restreindre le compact L à appartenir à une suite de compacts fixée à l’avance et dont la réunion des intérieurs est
égale à Ω. Un autre choix naturel et de travailler avec toutes
les dérivées jusqu’à un certain ordre n ∈ N :
X
(n)
pL (f ) =
pL,α (f ),
Ω
est une distribution d’ordre 0, car, si Supp(f ) ⊂ L (où L est
R
(0)
un compact de Ω), alors |hTφ , f i| ≤ L |φ(x)|dx × pL (f ).
En fait, ce calcul montre que l’on peut définir Tφ pour
toute fonction φ mesurable et
R intégrable sur les compacts (i.e.
pour tout compact K ⊂ Ω, K |φ| < ∞) ; on dit encore que φ
est localement intégrable et on écrit φ ∈ L1loc (Ω; C). L’espace
vectoriel quotient des classes d’équivalences presque partout
des fonctions mesurables et localement intégrables est noté
L1loc (Ω; C) ou L1loc (Ω) ou simplement L1loc .
Remarquons que deux fonctions égales presque partout
définiront la même distribution : l’espace des distributions
“ne voit donc” que L1loc .
α∈Nd , |α|≤n
ou
2
(n)0
pL (f )
= sup
x∈L
X
α∈Nd ,
Remarque. Les deux exemples ci-dessus, Dirac et fonctions,
tombent dans une même classe d’exemples : celle des mesures
de Radon sur Ω. À toute
R telle mesure (signée) µ, l’on peut définir Tµ par hTµ , f i = f dµ. C’est une distribution d’ordre 0.
Réciproquement, toute distribution d’ordre 0 est donnée par ce
procédé.
|Dα f (x)|.
|α|≤n
L’espace des distributions
Les distributions (on dit parfois “fonctions généralisées”)
sont les formes linéaires continues sur l’espace vectoriel topologique D(Ω; C).
2.1
Les fonctions sont des distributions
2.3
Les fonctions de carré intégrable sont
des distributions
En particulier, toute fonction φ ∈ L2 (Ω; C) définit une
distribution. En effet φ est bien localement intégrable comme
cela résulte de l’inégalité de Cauchy-Schwartz appliquée à
φ/|φ| × 1K et à φ (où K ⊂ Ω est un compact).
On peut même déterminer la norme L2 de φ avec la distribution Tφ . Notons k·k2 la norme L2 .
Définition
Une application linéaire T : D(Ω; C) → C est continue
si, pour toute suite convergente (fn )n de limite f , la suite
(T (fn ))n converge vers T (f ).
Notation : On adoptera la notation hT, f i pour désigner
T (f ).
Lemme 2. Soit φ ∈ L2 (Ω; C) et soit Tφ la distribution associée. Alors l’on a
Définition. Une telle application linéaire continue
D(Ω; C) → C est appelée distributions. L’ensemble des distributions est noté D(Ω; C)0 .
|hTφ , f i|
= kφk2 .
f ∈D(Ω)r{0} kf k2
sup
Remarque. D(Ω; C)0 est lui-même un espace vectoriel topologique, nous n’aborderons pas ces questions ici. Également, ons
n’évoquerons pas la transformée de Fourier, un outil puissant
dans l’étude des distributions.
Démonstration. Notons aussi h·|·i2 le produit scalaire sur
L2 (Ω; C).Remarquons aussi que D(Ω; C) ⊂ L2 (Ω; C). Pour
tout f ∈ D(Ω; C), l’on a hTφ , f i = hφ̄|f i2 .
Soit M la borne supérieure apparaissant dans l’énoncé.
L’égalité précédente et l’inégalité de Cauchy-Schwartz
montrent que M ≤ kφk2 . L’égalité M = kφk2 provient de la
densité de D(Ω; C) dans L2 (Ω; C).
Lemme 1. Une application linéaire T : D(Ω; C) → C est
une distribution si, pour tout L ⊂ Ω compact, il existe un
entier n et un réel M tels que
(n)
∀f ∈ D(Ω; C), Supp(f ) ≤ L ⇒ |hT, f i| ≤ M pL (f ).
2
Exercice 10. Démontrer cette densité. Fournir les détails
de la fin de la démonstration.
Lemme 5. Soit φ : Ω → C une fonction C ∞ . Pour tout
α ∈ Nd , on a Dα Tφ = TDα φ .
Corollaire 3. L’application L2 (Ω; C) → D(Ω; C)0 ; φ 7→ Tφ
est linéaire et injective.
Exercice 14. Démontrer le lemme sous les hypothèses les
plus générales possibles pour la fonction φ.
Démonstration. La linéarité est facile à vérifier. L’injectivité
suit alors du lemme précédent qui montre que le noyau de
l’application φ 7→ Tφ est réduit à 0.
Exemple. À part les fonctions, on peut donner facilement une expression des dérivées des Dirac : hDα δx , f i =
(−1)α Dα f (x).
Grâce à ce corollaire, on identifie L2 à un sous-espace de
D(Ω; C)0 . On écrira aussi T ∈ L2 (Ω; C) pour signifier qu’une
distribution T appartient à l’image de l’application φ 7→ Tφ .
2.4
Exercice 15. (“fonction de Heavyside”) Soient ei , i =
1, . . . , d, les vecteurs de la base canonique. Pour tout x ∈ Ω
et i ∈ {1, . . . , d},
L’intégration par parties
Hi,x : D(Ω; C) → C
Z +∞
f (x + tei )dt
f 7→
Nous en donnons ici une version plus “particulière” (car
il n’y a pas de terme d’intégration).
Considérons d’abord deux fonctions C ∞ φ, f : I → C définies sur un intervalle ouvert I et avec f à support compact
dans I, on a alors
Z
Z
φ0 (t)f (t)dt = − φ(t)f 0 (t)dt.
I
0
est une distribution qui vérifie ∂i Hi,x = δx . Pouvez-vous définir des primitives à tous les ordres des Dirac ?
Remarque. Les distributions ont d’autres propriétés tout à fait
formidables. Par exemple toute distribution est la somme d’une
série dont les termes sont des dérivées (au sens des distributions)
de fonctions localement intégrables (il est nécessaire de connaître
les partitions de l’unité pour démontrer ce résultat). Par ailleurs,
si (Tn )n∈N est une suite de distributions telles que, pour tout
f ∈ D(Ω; C), la suite complexe (hTn , f i)n∈N est convergente de
limite notée hT, f i, alors T est une distribution et, pour tout
α ∈ Nd , la suite de distributions (Dα Tn )n∈N converge (au sens de
la topologie sur D(Ω; C)0 ) vers Dα T (c’est une conséquence du
théorème de Banach-Steinhaus).
I
Soient maintenant φ, f deux fonctions C ∞ définies sur un
ouvert Ω ⊂ Rd . Pour tout i ∈ {1, . . . , d}, l’intégration par
parties sur la variable xi donnent
Z
Z
(∂i φ)(x)f (x)dx = −
φ(x)(∂i f )(x)dx.
Ω
Ω
Exercice 11. Démontrer cette formule.
Ceci permet d’obtenir une relation entre les intégrales des
produits de f avec toutes les dérivées partielles de φ ; précisément, pour tout φ : Ω → C C ∞ et pour tout f ∈ D(Ω; C)
et pour tout α ∈ Nd , l’on a
Z
Z
α
|α|
D φ(x)f (x)dx = (−1)
φ(x)Dα f (x)dx.
Ω
La possibilité de dériver n’importe quelle distribution et
donc en particulier n’importe quelle fonction est importante
justement dans la résolution d’équations aux dérivées partielles : on définit d’abord la notion de “solution faible” (ici
au sens des distributions), l’on montre l’existence d’une solution faible (souvent à l’aide d’un théorème “général” basé
sur la complétude), puis, et c’est là que le travail le plus
substantiel commence, on montre que la distribution obtenue comme solution faible est une “vraie” fonction et que
cette fonction est bien la solution de l’équation aux dérivées
partielles initiale (on parle parfois de solution “classique”).
Au chapitre suivant, nous mettrons en place ce programme
dans le cadre des espaces de Sobolev plutôt que celui des
distributions.
Ω
Exercice 12. Démontrer cette formule.
2.5
Dériver les distributions
C’est l’une des principales qualités des distributions :
toute distributions est dérivable et ceci à tous les ordres ! La
définition est inspirée de la formule d’intégration par parties
ci-dessus.
Définition. Soit T ∈ D(Ω; C)0 une distribution et soit
α ∈ Nd , on pose
Exercice 16. Trouver une suite de fonctions qui converge
(au sens des distributions) vers une distribution de Dirac.
Dα T : D(Ω; C) → C
3
f 7→ (−1)|α| hT, Dα f i.
Lemme 4. Avec les notations ci-dessus, Dα T est une forme
linéaire continue, i.e. c’est une distribution.
Espaces de Sobolev
Nous allons utiliser les distributions pour définir les espaces de Sobolev. Ce n’est pas obligatoire mais les possibilités de dériver n’importe quelle distribution (voir § 2.5) et de
détecter les distributions qui sont des fonctions (voir § 2.3)
vont permettre une définition rapide.
Ici seuls les espaces de Sobolev qui sont des espaces de
Hilbert vont être définis, i.e. les fonctions qui entrent en jeu
seront L2 (de carré intégrable). Il est possible de faire les
mêmes constructions avec les fonctions Lp et obtenir les espaces de Sobolev souvent notés W 1,p .
Exercice 13. Démontrer le lemme.
La distribution Dα T s’appelle la dérivée (partielle) de T
au sens des distributions. En particulier, pour toute fonction
φ localement intégrable, les dérivées de Tφ existent au sens
des distributions à tous les ordres !
Remarquons que si l’on dérive des fonctions dérivables,
tout “va bien”
3
3.1
De la complétude de L2 (Ω; C) et de ce lemme, on déduit :
Définition
Soit comme plus haut Ω un ouvert non vide de Rd .
On pose :
Corollaire 7. L’espace (H 1 (Ω; C), h·|·iH 1 ) est un espace de
Hilbert.
Exercice 21. Démontrer ce corollaire !
H 1 (Ω; C) = {T ∈ D(Ω; C)0 | T ∈ L2 (Ω; C) et
∀i = 1, . . . , d, ∂i T ∈ L2 (Ω; C)}
Exercice 22. Soit f dans H 1 (Ω; C) alors, pour tout k : Ω →
C Rfonction de classe C 1 Rest à support compact, et pour tout
i, Ω f (x)∂i k(x)dx = − Ω ∂i f (x)k(x)dx.
C’est pour l’instant seulement un C-espace vectoriel
(pourquoi ?) et nous allons maintenant le munir d’une structure préhilbertienne pour montrer enfin que, muni de cette
structure, c’est un espace de Hilbert (i.e. il est complet).
Les éléments f de H 1 (Ω; C) seront toujours identifiés à
des (classes de) fonctions f : Ω → C mesurable et de carré
intégrable, i.e. H 1 (Ω; C) ⊂ L2 (Ω; C). Pour f ∈ H 1 (Ω; C),
l’on notera par ∂1 f , . . ., ∂d f les fonctions de L2 (Ω; C) vérifiant T∂i f = ∂i Tf . Explicitement, pour tout g ∈ D(Ω; C), on
doit avoir l’équation
Z
Z
f (x)∂i g(x)dx = −
∂i f (x)g(x)dx.
Ω
Exercice 23. Soit I ⊂ R un intervalle ouvert et borné.
Trouver une fonction u ∈ L2 (I; C) qui ne soit pas dans
H 1 (Ω; C). (Trouver d’abord une distribution qui ne soit pas
dans L2 (Ω; C) et en prendre une “primitive” pour déterminer
u).
Exercice 24. H 1 (Ω; C) s’identifie à un sous-espace fermé
de L2 (Ω; C)d+1 . L’espace de Hilbert H 1 (Ω; C) est séparable.
Il est donc isométrique à `2C (N).
3.3
Ω
Attention : C’est seulement au sens des distributions
(i.e. de l’égalité précédente) que ces dérivées partielles sont
définies ; elles ne sont jamais définies par un taux d’accroissement.
On peut également travailler avec des dérivées d’ordre
supérieure.
Définition. Soit p un entier. On pose
Définition. Pour f et g dans H 1 (Ω; C), on pose
hf |giH 1 = hf |gi2 +
d
X
H p (Ω; C) = {T ∈ D(Ω; C)0 | ∀α ∈ Nd ,
|α| ≤ p ⇒ Dα T ∈ L2 (Ω; C)},
h∂i f |∂i gi.
et, si T , T 0 appartiennent à H p (Ω; C) :
X
hT |T 0 iH p =
hDα T |Dα T 0 i2 .
i=1
Exercice 17. Démontrer que h·|·iH 1 est un produit scalaire
hermitien.
α∈Nd ,|α|≤p
Remarque. Il y a d’autres conventions possibles pour le produit scalaire.
C’est un espace de Hilbert. On a des inclusions
H p+1 (Ω; C) ⊂ H p (Ω; C).
Exercice 18. Écrire la formule pour la norme sur H 1 (Ω; C).
3.2
Les espaces H p
3.4
Les espaces de Sobolev sont complets
En dimension 1
Donnons, pour des raisons de comodité, quelques résultats généraux sur les espaces de Sobolev lorsque Ω est un
intervalle I, ouvert et borné de R.
Pour un élément u ∈ H 1 (I; C) on notera u0 la fonction
∂1 u.
Avant d’en faire la démonstration, remarquons la caractérisation suivante des fonctions f de carré intégrable qui
sont dans H 1 :
Lemme 6. Soit f dans L2 (Ω; C). Les deux énoncés suivant
sont alors équivalents
3.4.1
1
— f appartient à H (Ω; C)
— il existe g1 , . . ., gd dans L2 (Ω; C) Rtels que, pour tout
Rh ∈ D(Ω; C) et tout i ∈ {1, . . . , d}, Ω f (x)∂i h(x)dx =
g (x)h(x)dx.
Ω i
Les éléments de H 1 (I; C) sont des fonctions
continues
Précisément :
Théorème 8. Soit u ∈ H 1 (I; C). Il existe une unique fonction ũ ∈ C(I; C) (i.e. ũ : I → C est continue) telle que
Dans ce cas, l’on a aussi ∂i f = −gi .
u = ũ presque partout,
Exercice 19. Démontrer ce lemme.
et l’on a, pour tout x, y dans I,
Exercice 20. Soit f ∈ L2 (Ω; C). Alors f appartient à
H 1 (Ω; C) si et seulement si il existe C ∈ RRtel que, pour tout
h ∈ D(Ω; C) et pour tout i ∈ {1, . . . , d}, | Ω f (x)h0 (x)dx| ≤
Ckhk2 .
Vous aurez vraisemblablement besoin de la caractérisation suivante des distributions T qui appartiennent à L2 :
une distribution T appartient à L2 (Ω; C) si et seulement si
il existe C ∈ R tel que, pour tout k ∈ D(Ω; C), |hT, ki| ≤
Ckkk2 . (Indication : densité de D(Ω; C) dans L2 (Ω; C) et
théorème de représentation de Riesz).
Z
ũ(x) − ũ(y) =
x
u0 (t)dt.
y
Avant d’entamer la démonstration, commençons par
deux lemmes.
Lemme 9. Soit g : I → C une fonctionR localement intégrable et telle que, pour tout φ ∈ D(I; C), I g(t)φ0 (t)dt = 0.
Il existe alors C ∈ R tel que g = C presque partout.
4
Démonstration. Il suffit de démontrer le lemme pour g : I →
R (justifier pourquoi). On ne travaillera donc que avec des
fonctions à valeurs réelles dans
R cette démonstration.
Fixons ψ ∈ D(I; R) avec I ψ = 1.
R
Pour tout w ∈ D(I; R), la fonction w−( I w)ψ est d’intégrale nulle et admet donc une primitive
φ : I → R continue
R
à support compact. La condition I gφ0 = 0 s’écrit donc
Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
gw = ( w)g = w × g = C w avec C = g.
I
I
I
I
I
I
la fonction g = u − ū vérifie les hypothèses du lemme 9 et
est égale presque partout à C ∈ R. La fonction ũ = ū + C
vérifie les propriétés désirées.
3.4.2
Le sous-espace H01
Le théorème précédent est d’une importance fondamentale : il permet de parler des valeurs prises en un point de I
d’une fonction u de H 1 (I; C) (que l’on identifiera désormais
toujours à son représentant continu). (Ceci n’a par contre
aucun sens pour des éléments de L2(I;C) ).
I
On a donc, pour tout w ∈ D(I; R)
Z
I(g − C)w = 0,
Exercice 25. L’injection H 1 (I; C) → C(I; C) est elle continue ? est-elle compacte ? (il faut bien sûr savoir que peut
signifier la compacité d’un opérateur dans ce cadre).
ceci n’est possible que si g = C presque partout (justifier pourquoi en utilisant la théorie de la mesure par
exemple).
Définition. On pose
Lemme 10. Soit g ∈ L2 (I; C) et soit y0 ∈ I.R La fonction
x
v : I → C définie par, pour tout x ∈ I, v(x) = y0 g(t)dt, est
continue et vérifie
Z
Z
0
v(t)φ (t)dt = − g(t)φ(t)dt, pour tout φ ∈ D(I; C).
C’est un sous-espace vectoriel fermé de H 1 (I; C).
H01 (I; C) = {u ∈ H 1 (I; C) | u(inf I) = u(sup I) = 0}.
Les fonctions C ∞ à support compact appartiennent à H01 ,
“Réciproquement” :
Théorème 11. Soit I =]a, b[ un intervalle de longueur finie
(i.e. −∞ < a < b < +∞). Le sous-espace D(I; C) est dense
dans H01 (I; C).
I
I
Démonstration. La continuité (uniforme même) de v suit de
l’inégalité de Cauchy-Schwartz (le faire ! c’est instructif).
Écrivons I =]a, b[. Pour tout φ ∈ D(I; C), on a
Z
I
vφ0 =
b Z x
Z
a
Z
g(t)dt φ0 (x)dx
y0
y0
=−
Z
y0
dx
a
Z
y0
=−
Z
a
dtg(t)φ0 (x) +
x
a
dt
Z
=−
x
dtg(t)φ0 (x)
Z
y0
b
dt
dxφ0 (x)g(t)
t
b
dtφ(t)g(t) +
Z
Z
y0
b
y0
Z
b
dx
dxφ (x)g(t) +
t
a
Z
Z
0
y0
=−
Démonstration. Soit u ∈ H01 (I; C), la fonction u0 est dans
L2 (I; C) et est donc limite (pour la norme k·k2 ) de fonctions C ∞ à support compact : il existe une suite (φn )n∈N ∈
D(Ω; C)N telle que ku0 − φn k2 → 0.
L’inégalité de Cauchy-Schwartz appliquée
à (u0 − φn ) et
R 0
à 1I permet de montrer que la suite ( I u − φn )n tend vers
0 lorsque n tend vers l’infini. Mais, puisque u ∈ H01 (I; C),
Rb 0
R
u = u(b) − u(a) = 0 et donc la suite δn = − I φn , n ∈ N,
a
tend vers 0.
Fixons ψ : I → C une fonction C ∞ à support compact
et d’intégrale 1. La suite de fonctions (ψn = φn + δn ψ)n
converge donc vers u0 pour la norme k·k2 .
Comme ψn est d’intégrale nulle, la fonction
θn : I → C
Rx
définie par, pour tout x ∈ I, θn (x) = a ψn (t)dt est C ∞
à support compact. La suite (θn )n converge uniformément
vers u et donc kθn − uk2 → 0. Ceci prouve que u est la limite
de la suite (θn ) dans H01 .
dt(−φ(t))g(t)
y0
b
gφ.
a
Rx
démonstration du théorème. On pose ū(x) = y0 u0 (t)dt.
R
R
R
ALors pour tout φD(I; C), I ūφ0 = − I u0 φ = I uφ. Donc
5