•Fonction localement intégrable: Soit Ωun ouvert de Rd. Soit f∈L1
loc(Ω), c’est-à-dire que fest
intégrable sur tout compact K⊂Ω. On pose
Tf:D(Ω) →R
φ7→ hTf, φi=RΩfφ.
Alors Tfest une distribution dans Ωd’ordre 0.
Remarque: Comme Lp⊂Lp
loc ⊂L1
loc, toute fonction de Lp(Ω) définit une distribution.
Définition 2.3. Soit T1et T2deux distributions sur Ω. Par définition, T1=T2si et seulement si
∀φ∈ D(Ω),hT1, φi=hT2, φi.
3 Propriétés de D(Ω)
Soit Ωun ouvert de Rd.
4 Fonctions et distributions
Théorème 4.1. (Injectivité)
Soit Ωun ouvert de Rd. Soit fet gdans L1
loc(Ω). Alors
f=g pp ⇐⇒ Tf=Tgdans D′(Ω).
Remarque:
•Une fonction f: Ω →Rassocie à tout x∈Ωun réel noté f(x).
•Une distribution Tsur Ωassocie à toute fonction test φ∈ D(Ω) un réel noté hT, φi, qui dépend
linéairement (et continûment, cf la propriété de continuité) de φ.
•A toute fonction f∈L1
loc(Ω), on peut associer naturellement une distribution bien particulière, la
distribution Tfdéfinie ci-dessus. Cette relation est injective (si les distributions associées sont les
mêmes, alors les fonctions sont égales presque partout). Pour simplifier, la distribution Tfnaturellement
associée à fest encore notée f. On écrira donc, pour f∈L1
loc(Ω) et φ∈ D(Ω),hf, φi=RΩf(x)φ(x)dx.
•Il existe des distributions Tqui ne peuvent pas s’écrire à l’aide d’une fonction f∈L1
loc(Ω), i.e. il
n’existe pas f∈L1
loc(Ω) telle que, ∀φ∈ D(Ω), on ait hT, φi=RΩf(x)φ(x)dx. C’est le cas de la
distribution de Dirac.
Théorème 4.2. Il n’existe pas de fonction f∈L1
loc(Rd)telle que δ0=Tf, c’est-à-dire telle que
∀φ∈ D(Rd), φ(0) = ZRd
f(x)φ(x)dx.
On peut démontrer un résultat plus simple en exercice.
Lemme 4.1. Il n’existe pas de fonction f∈ C0(Rd)telle que δ0=Tf.
Preuve: On raisonne par l’absurde. Soit f∈ C0(Rd)telle que δ0=Tf. Si fest identiquement nulle,
alors, pour tout φ∈ D(Rd),
φ(0) = ZR
f(x)φ(x)dx = 0,
ce qui n’est pas possible. Donc, il existe x0∈Rdtel que f(x0)6= 0. Par exemple, fest strictement positive
sur un voisinage de x0, par exemple sur B(x0, α)avec α > 0. On peut alors prendre φà support compact
dans B(x0, α), positive, et telle que φ(0) = 0. Donc
0 = φ(0) = ZRd
f(x)φ(x)dx =ZB(x0,α)
f(x)φ(x)dx > 0.
Contradiction.
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