Distributions

Distributions
1 Espace des fonctions test
1.1 Définition
Définition 1.1. (Fermeture d’un ensemble)
Soit Ωun ouvert de Rdet A⊂Ω. On appelle fermeture de Adans Ω, et on note AΩ, l’ensemble des
points de Ωqui sont limites de suites de points de A.AΩest un fermé de Ω.
Définition 1.2. (Support d’une fonction)
Soit Ωun ouvert de Rd, et φ: Ω →Rcontinue. On définit le support de φcomme la fermeture dans Ω
de {x∈Ω|φ(x)6= 0}:
Supp(φ) = {x∈Ω|φ(x)6= 0}Ω.
Définition 1.3. (Espace des fonctions test)
Soit Ωun ouvert de Rd. On note D(Ω) l’ensemble des fonctions qui sont C∞sur Ω, et dont le support
est compact. Ces fonctions sont appelées fonctions test ou fonctions d’essai.
Remarque: L’ensemble D(Ω) est aussi noté C∞
c(Ω) ou C∞
0(Ω).
Définition 1.4. Soit Kun compact, K⊂Ω. On note DK(Ω) l’ensemble des fonctions de D(Ω) à support
dans K.
1.2 Propriétés de D(Ω)
Lemme 1.1. Soit a∈Ωet rtel que Ba(r)⊂Ω. Il existe φ∈ D(Ω) telle que φ≥0,RΩφ= 1, et φest à
support dans Ba(r).
Lemme 1.2. Soit K⊂Ωun compact. Il existe φ∈ D(Ω) telle que 0≤φ≤1sur Ωet φ= 1 sur K.
Lemme 1.3. (Partition de l’unité)
Soit Ωides ouverts de Rdet Kun compact tel que K⊂Sn
i=1 Ωi. Il existe αi∈ D(Rd), avec Suppαi⊂Ωi
et 0≤αi≤1et Pn
i=1 αi= 1 sur K.
Lemme 1.4. (de Borel)
Soit (an)n∈Nune suite de réels. Il existe φ∈ D(R)telle que
∀n∈N,dnφ
dxn(0) = an.
Lemme 1.5. (d’Hadamard)
Soit φ∈ D(R)telle que φ(k)(0) = 0 pour tout 0≤k≤n. Alors il existe ψ∈ D(R)tel que ∀x∈R,
φ(x) = xn+1ψ(x).
Lemme 1.6. D(Ω) est dense dans Lp(Ω) pour tout 1≤p < +∞. Autrement dit,
∀f∈Lp(Ω),∃{φn} ⊂ D(Ω),kf−φnkLp→
n→+∞0.
Attention! D(Ω) n’est pas dense dans L∞(Ω). En effet, il suffit de prendre f= 1 partout sur Ω.On a
alors bien f∈L∞(Ω) et pour tout φ∈ D(Ω), on a kf−φkL∞(Ω) ≥1puisque il existe toujours un x∈Ωtel
que φ(x) = 0.
1.3 Approximation de l’identité
Définition 1.5. (Approximation de l’identité)
Soit χ∈ D(Rd)une fonction positive à support compact dans B(0,1) et telle que RRdχ= 1. La suite de
fonctions
χn(x) = ndχ(nx)
s’appelle une approximation de l’identité.
Théorème 1.1. Soit φ∈ D(Rd). Alors la suite de fonctions φn=φ∗χnconverge presque partout et en
norme L1vers φ.
Théorème 1.2. Soit h∈L1(Rd). Alors h∗χnconverge vers hdans L1(Rd).
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2 Définition d’une distribution
Notation: Un multi-indice α= (α1,··· , αd)∈Ndest un élément de Nd. On note |α|=Pd
i=1 αiet
∂αφ=∂|α|φ
∂xα1
1···∂xαd
d
=∂α1+···+αdφ
∂xα1
1···∂xαd
d
.
Définition 2.1. (Distribution)
On dit que Test une distribution dans l’ouvert Ωsi Test une forme linéaire sur D(Ω)
T:D(Ω) →R
φ7→ hT, φi
qui vérifie la propriété suivante: pour tout compact Kde Ω, il existe un entier pKet une constante CKtels
que
∀φ∈ DK(Ω),|hT, φi| ≤ CKsup
x∈K, |α|≤pK
|∂αφ(x)|.
On note D′(Ω) l’espace vectoriel des distributions dans Ω.
Remarque:
sup
x∈K, |α|≤pK
|∂αφ(x)|= sup
x∈K
sup
(α1,··· ,αd)∈Nd,0≤α1+···+αd≤pK
∂α1+···+αdφ
∂xα1
1···∂xαd
d
(x).
Remarque: En 1D, la définition d’une distribution se réécrit:
Soit Ωun ouvert de R. On dit que Test une distribution dans l’ouvert Ωsi Test une forme linéaire sur
D(Ω)
T:D(Ω) →R
φ7→ hT, φi
qui vérifie la propriété suivante: pour tout compact Kde Ω, il existe un entier pKet une constante CKtels
que:
∀φ∈ DK(Ω),|hT, φi| ≤ CKsup
x∈K|φ(x)|,
dφ
dx(x),··· ,
dpKφ
dxpK(x)
soit de manière équivalente
∀φ∈ DK(Ω),|hT, φi| ≤ CKsup
0≤α≤pK
sup
x∈K
dαφ
dxα(x).
Définition 2.2. (Ordre d’une distribution)
Si l’entier pKde la définition peut être choisi indépendamment du compact K, on dit que la distribution
Test d’ordre fini. Le plus petit ppossible est appelé ordre de la distribution.
Exemples:
•Dirac: Soit a∈Rd. On pose
δa:D(Rd)→R
φ7→ hδa, φi=φ(a).
Alors δaest une distribution sur Rd(appelée distribution de Dirac), d’ordre 0.
•Dérivée du Dirac en 1D: Soit a∈R. On pose
T:D(R)→R
φ7→ hT, φi=−φ′(a).
Alors Test une distribution sur R, d’ordre 1.
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•Fonction localement intégrable: Soit Ωun ouvert de Rd. Soit f∈L1
loc(Ω), c’est-à-dire que fest
intégrable sur tout compact K⊂Ω. On pose
Tf:D(Ω) →R
φ7→ hTf, φi=RΩfφ.
Alors Tfest une distribution dans Ωd’ordre 0.
Remarque: Comme Lp⊂Lp
loc ⊂L1
loc, toute fonction de Lp(Ω) définit une distribution.
Définition 2.3. Soit T1et T2deux distributions sur Ω. Par définition, T1=T2si et seulement si
∀φ∈ D(Ω),hT1, φi=hT2, φi.
3 Propriétés de D(Ω)
Soit Ωun ouvert de Rd.
4 Fonctions et distributions
Théorème 4.1. (Injectivité)
Soit Ωun ouvert de Rd. Soit fet gdans L1
loc(Ω). Alors
f=g pp ⇐⇒ Tf=Tgdans D′(Ω).
Remarque:
•Une fonction f: Ω →Rassocie à tout x∈Ωun réel noté f(x).
•Une distribution Tsur Ωassocie à toute fonction test φ∈ D(Ω) un réel noté hT, φi, qui dépend
linéairement (et continûment, cf la propriété de continuité) de φ.
•A toute fonction f∈L1
loc(Ω), on peut associer naturellement une distribution bien particulière, la
distribution Tfdéfinie ci-dessus. Cette relation est injective (si les distributions associées sont les
mêmes, alors les fonctions sont égales presque partout). Pour simplifier, la distribution Tfnaturellement
associée à fest encore notée f. On écrira donc, pour f∈L1
loc(Ω) et φ∈ D(Ω),hf, φi=RΩf(x)φ(x)dx.
•Il existe des distributions Tqui ne peuvent pas s’écrire à l’aide d’une fonction f∈L1
loc(Ω), i.e. il
n’existe pas f∈L1
loc(Ω) telle que, ∀φ∈ D(Ω), on ait hT, φi=RΩf(x)φ(x)dx. C’est le cas de la
distribution de Dirac.
Théorème 4.2. Il n’existe pas de fonction f∈L1
loc(Rd)telle que δ0=Tf, c’est-à-dire telle que
∀φ∈ D(Rd), φ(0) = ZRd
f(x)φ(x)dx.
On peut démontrer un résultat plus simple en exercice.
Lemme 4.1. Il n’existe pas de fonction f∈ C0(Rd)telle que δ0=Tf.
Preuve: On raisonne par l’absurde. Soit f∈ C0(Rd)telle que δ0=Tf. Si fest identiquement nulle,
alors, pour tout φ∈ D(Rd),
φ(0) = ZR
f(x)φ(x)dx = 0,
ce qui n’est pas possible. Donc, il existe x0∈Rdtel que f(x0)6= 0. Par exemple, fest strictement positive
sur un voisinage de x0, par exemple sur B(x0, α)avec α > 0. On peut alors prendre φà support compact
dans B(x0, α), positive, et telle que φ(0) = 0. Donc
0 = φ(0) = ZRd
f(x)φ(x)dx =ZB(x0,α)
f(x)φ(x)dx > 0.
Contradiction.
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5 Dérivation au sens des distributions
5.1 Dérivée d’une distribution
Proposition-Définition 5.1. (Dérivation d’une distribution)
Soit Ωun ouvert de Rd. Soit T∈ D′(Ω). On définit la dérivée de la distribution Tpar rapport à la
variable xi, que l’on note ∂T
∂xi, par la relation
∀φ∈ D(Ω),h∂T
∂xi
, φi=−hT, ∂φ
∂xi
i.
∂T
∂xidéfinit bien une distribution sur Ω.
Preuve: A faire en exo.
Proposition 5.1. Pour toute distribution Tet tout multi-indice α∈Nd, la définition de la dérivation
implique que la distribution ∂αTest définie par
∀φ∈ D(Ω),h∂αT, φi= (−1)|α|hT, ∂αφi.
Preuve: A faire en exo.
Théorème 5.1. (Schwartz)
Soit Ωun ouvert de Rdet T∈ D′(Ω). Soit α∈Ndet β∈Nddeux multi-indices. Alors
∂α∂βT=∂β∂αT=∂α+βT.
Exemples:
•Soit Hla fonction de Heaviside: elle est dans L1
loc(R). On lui associe naturellement une distribution
sur R.
hH′, φi=−hH, φ′i=−Z∞
0
φ′=φ(0) = hδ0, φi.
Donc, on a bien H′=δ0, mais au sens des distributions.
•La distribution de Dirac δa(a∈R) est dérivable,
hδ′
a, φi=−hδa, φ′i=−φ′(a).
Remarque: Toute distribution est dérivable (contrairement aux fonctions...), la dérivée est une distri-
bution. A toute fonction f∈L1
loc, on peut associer une distribution, on peut donc lui associer une dérivée
au sens des distributions, qui est donc une distribution, mais pas forcément une fonction. Cf la fonction
d’Heaviside, dont la dérivée (au sens des distributions) est δ0, qu’on ne peut pas représenter par une fonction.
5.2 Cas des fonctions C1
Théorème 5.2. Soit f∈ C1(R): alors (Tf)′=Tf′, c’est-à-dire que la dérivation au sens des distributions
correspond à la dérivation usuelle, on la notera f′.
Remarque: Ce résultat reste vrai en dimension quelconque.
5.3 Cas des fonctions C1par morceaux
Définition 5.1. (Fonctions Ckpar morceaux dans ]a, b[)
Soit a, b ∈R. On dit qu’une fonction fest Ckpar morceaux dans ]a, b[si, pour tout intervalle compact
[α, β]inclus dans ]a, b[, il existe un nombre fini de points α=a0< a1<···< aN+1 =βtels que:
(i) fest de classe Ckdans chaque intervalle ]ai, ai+1[.
(ii) fet ses dérivées jusqu’à l’ordre k, c’est-à-dire f,f′, ..., f(k)sont prolongeables par continuité à droite
et à gauche en les points a1,··· , aN.
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On note f(ai+ 0) et f(ai−0) les limites à droite et à gauche en ai.
Exemples:
•fonction en escalier C1par morceaux sur R.
•x7→ |x|est C1par morceaux sur R.
•x7→ p|x|n’est pas C1par morceaux.
Théorème 5.3. (Formule des sauts)
Soit fune fonction de classe C1par morceaux dans ]a, b[. Comme f∈L1(]a, b[),fdéfinit une distribution
sur ]a, b[. Soit (ci)i∈Il’ensemble des points de discontinuité de fdans ]a, b[(en fait, cet ensemble est au
plus dénombrable avec des points d’accumulation en aet b). Soit f′
reg la fonction définie sur ]a, b[\Si∈I{ci}
comme la dérivée de f, et soit f′la dérivée de fau sens des distributions. Alors
f′=f′
reg +X
i∈I
(f(ci+ 0) −f(ci−0))δci.(1)
Preuve: Remarque préliminaire: Une fonction gcontinue par morceaux sur un intervalle ]a, b[est
bien une fonction L1
loc(]a, b[). Montrons d’abord qu’elle est mesurable. En effet, il suffit de prendre deux
suites (αn)et (βn)de points de ]a, b[tels que αn→aet βn→blorsque ntend vers l’infini. On a alors
g= supn∈N1[αn,βn]g. On voit facilement que les fonctions gn=1[αn,βn]sont mesurables donc gest également
mesurable. Par ailleurs, gest bornée sur tout compact K⊂]a, b[donc g∈L1(K)et finalement g∈L1
loc(]a, b[).
Par ailleurs, on remarque que si fest une fonction C1par morceaux sur ]a, b[, elle est en particulier
continue par morceaux, et sa dérivée au sens des fonctions f′
reg (qui est définie presque partout) est également
continue par morceaux. On a donc bien que fet f′
reg sont dans L1
loc(]a, b[). Donc l’équation (1) a bien un
sens dans D′(]a, b[). Maintenant prouvons qu’elle est vraie.
Soit φ∈ D(]a, b[). En particulier, il existe α, β ∈]a, b[tels que Supp(φ)⊂[α, β]. Alors, soit N∈Net
c0=α < c1<··· < cN=βtels que fsoient continue sur ]ci, ci+1[pour tout 0≤i≤N−1. On note alors
e
fila fonction définie sur [ci, ci+1]par
e
fi(x) = 
f(ci+ 0) si x=ci,
f(x)si x∈]ci, ci+1[,
f(ci+1 −0) si x=ci+1.
La fonction e fiest alors continue sur [ci, ci+1]et dérivable sur ]ci, ci+1[, et sa dérivée est presque partout égale
àf′
reg.
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