Distributions

Distributions
1
Espace des fonctions test
1.1
Définition
Définition 1.1. (Fermeture d’un ensemble)
Ω
Soit Ω un ouvert de Rd et A ⊂ Ω. On appelle fermeture de A dans Ω, et on note A , l’ensemble des
Ω
points de Ω qui sont limites de suites de points de A. A est un fermé de Ω.
Définition 1.2. (Support d’une fonction)
Soit Ω un ouvert de Rd , et φ : Ω → R continue. On définit le support de φ comme la fermeture dans Ω
de {x ∈ Ω | φ(x) 6= 0}:
Ω
Supp(φ) = {x ∈ Ω | φ(x) 6= 0} .
Définition 1.3. (Espace des fonctions test)
Soit Ω un ouvert de Rd . On note D(Ω) l’ensemble des fonctions qui sont C ∞ sur Ω, et dont le support
est compact. Ces fonctions sont appelées fonctions test ou fonctions d’essai.
Remarque: L’ensemble D(Ω) est aussi noté Cc∞ (Ω) ou C0∞ (Ω).
Définition 1.4. Soit K un compact, K ⊂ Ω. On note DK (Ω) l’ensemble des fonctions de D(Ω) à support
dans K.
1.2
Propriétés de D(Ω)
Lemme 1.1. Soit a ∈ Ω et r tel que Ba (r) ⊂ Ω. Il existe φ ∈ D(Ω) telle que φ ≥ 0,
support dans Ba (r).
R
Ω
φ = 1, et φ est à
Lemme 1.2. Soit K ⊂ Ω un compact. Il existe φ ∈ D(Ω) telle que 0 ≤ φ ≤ 1 sur Ω et φ = 1 sur K.
Lemme 1.3. (Partition de l’unité)
Sn
d
d
Soit Ωi des ouverts
Pn de R et K un compact tel que K ⊂ i=1 Ωi . Il existe αi ∈ D(R ), avec Suppαi ⊂ Ωi
et 0 ≤ αi ≤ 1 et i=1 αi = 1 sur K.
Lemme 1.4. (de Borel)
Soit (an )n∈N une suite de réels. Il existe φ ∈ D(R) telle que
∀n ∈ N,
dn φ
(0) = an .
dxn
Lemme 1.5. (d’Hadamard)
Soit φ ∈ D(R) telle que φ(k) (0) = 0 pour tout 0 ≤ k ≤ n. Alors il existe ψ ∈ D(R) tel que ∀x ∈ R,
φ(x) = xn+1 ψ(x).
Lemme 1.6. D(Ω) est dense dans Lp (Ω) pour tout 1 ≤ p < +∞. Autrement dit,
∀f ∈ Lp (Ω), ∃{φn } ⊂ D(Ω), kf − φn kLp
→ 0.
n→+∞
Attention! D(Ω) n’est pas dense dans L∞ (Ω). En effet, il suffit de prendre f = 1 partout sur Ω.On a
alors bien f ∈ L∞ (Ω) et pour tout φ ∈ D(Ω), on a kf − φkL∞ (Ω) ≥ 1 puisque il existe toujours un x ∈ Ω tel
que φ(x) = 0.
1.3
Approximation de l’identité
Définition 1.5. (Approximation de l’identité)
R
Soit χ ∈ D(Rd ) une fonction positive à support compact dans B(0, 1) et telle que Rd χ = 1. La suite de
fonctions
χn (x) = nd χ(nx)
s’appelle une approximation de l’identité.
Théorème 1.1. Soit φ ∈ D(Rd ). Alors la suite de fonctions φn = φ ∗ χn converge presque partout et en
norme L1 vers φ.
Théorème 1.2. Soit h ∈ L1 (Rd ). Alors h ∗ χn converge vers h dans L1 (Rd ).
1
2
Définition d’une distribution
Notation: Un multi-indice α = (α1 , · · · , αd ) ∈ Nd est un élément de Nd . On note |α| =
∂αφ =
∂ |α| φ
∂ α1 +···+αd φ
=
.
∂xα1 1 · · · ∂xαd d
∂xα1 1 · · · ∂xαd d
Pd
i=1 αi
et
Définition 2.1. (Distribution)
On dit que T est une distribution dans l’ouvert Ω si T est une forme linéaire sur D(Ω)
D(Ω) →
R
T :
φ
7→ hT, φi
qui vérifie la propriété suivante: pour tout compact K de Ω, il existe un entier pK et une constante CK tels
que
|∂ α φ(x)|.
∀φ ∈ DK (Ω), |hT, φi| ≤ CK
sup
x∈K, |α|≤pK
On note D ′ (Ω) l’espace vectoriel des distributions dans Ω.
Remarque:
sup
α
|∂ φ(x)| = sup
sup
x∈K (α1 ,··· ,αd )∈Nd , 0≤α1 +···+αd ≤pK
x∈K, |α|≤pK
α +···+α
dφ
∂ 1
.
α
(x)
α
∂x 1 · · · ∂x d
1
d
Remarque: En 1D, la définition d’une distribution se réécrit:
Soit Ω un ouvert de R. On dit que T est une distribution dans l’ouvert Ω si T est une forme linéaire sur
D(Ω)
D(Ω) →
R
T :
φ
7→ hT, φi
qui vérifie la propriété suivante: pour tout compact K de Ω, il existe un entier pK et une constante CK tels
que:
p
d Kφ dφ ∀φ ∈ DK (Ω), |hT, φi| ≤ CK sup |φ(x)|, (x) , · · · , p (x)
dx
dx K
x∈K
soit de manière équivalente
α
d φ ∀φ ∈ DK (Ω), |hT, φi| ≤ CK sup sup α (x) .
0≤α≤pK x∈K dx
Définition 2.2. (Ordre d’une distribution)
Si l’entier pK de la définition peut être choisi indépendamment du compact K, on dit que la distribution
T est d’ordre fini. Le plus petit p possible est appelé ordre de la distribution.
Exemples:
• Dirac: Soit a ∈ Rd . On pose
δa :
D(Rd ) →
R
φ
7→ hδa , φi = φ(a).
Alors δa est une distribution sur Rd (appelée distribution de Dirac), d’ordre 0.
• Dérivée du Dirac en 1D: Soit a ∈ R. On pose
D(R) →
R
T :
φ
7→ hT, φi = −φ′ (a).
Alors T est une distribution sur R, d’ordre 1.
2
• Fonction localement intégrable: Soit Ω un ouvert de Rd . Soit f ∈ L1loc (Ω), c’est-à-dire que f est
intégrable sur tout compact K ⊂ Ω. On pose
D(Ω) →
RR
Tf :
φ
7→ hTf , φi = Ω f φ.
Alors Tf est une distribution dans Ω d’ordre 0.
Remarque: Comme Lp ⊂ Lploc ⊂ L1loc , toute fonction de Lp (Ω) définit une distribution.
Définition 2.3. Soit T1 et T2 deux distributions sur Ω. Par définition, T1 = T2 si et seulement si
∀φ ∈ D(Ω), hT1 , φi = hT2 , φi.
3
Propriétés de D(Ω)
Soit Ω un ouvert de Rd .
4
Fonctions et distributions
Théorème 4.1. (Injectivité)
Soit Ω un ouvert de Rd . Soit f et g dans L1loc (Ω). Alors
f = g pp ⇐⇒ Tf = Tg dans D ′ (Ω).
Remarque:
• Une fonction f : Ω → R associe à tout x ∈ Ω un réel noté f (x).
• Une distribution T sur Ω associe à toute fonction test φ ∈ D(Ω) un réel noté hT, φi, qui dépend
linéairement (et continûment, cf la propriété de continuité) de φ.
• A toute fonction f ∈ L1loc (Ω), on peut associer naturellement une distribution bien particulière, la
distribution Tf définie ci-dessus. Cette relation est injective (si les distributions associées sont les
mêmes, alors les fonctions sont égales presque partout). Pour simplifier, la distribution TfR naturellement
associée à f est encore notée f . On écrira donc, pour f ∈ L1loc (Ω) et φ ∈ D(Ω), hf, φi = Ω f (x)φ(x) dx.
• Il existe des distributions T qui ne peuvent pas s’écrire à l’aide d’une
fonction f ∈ L1loc (Ω), i.e. il
R
1
n’existe pas f ∈ Lloc (Ω) telle que, ∀φ ∈ D(Ω), on ait hT, φi = Ω f (x)φ(x) dx. C’est le cas de la
distribution de Dirac.
Théorème 4.2. Il n’existe pas de fonction f ∈ L1loc (Rd ) telle que δ0 = Tf , c’est-à-dire telle que
Z
d
f (x)φ(x) dx.
∀φ ∈ D(R ), φ(0) =
Rd
On peut démontrer un résultat plus simple en exercice.
Lemme 4.1. Il n’existe pas de fonction f ∈ C 0 (Rd ) telle que δ0 = Tf .
Preuve: On raisonne par l’absurde. Soit f ∈ C 0 (Rd ) telle que δ0 = Tf . Si f est identiquement nulle,
alors, pour tout φ ∈ D(Rd ),
Z
f (x)φ(x) dx = 0,
φ(0) =
R
Rd
ce qui n’est pas possible. Donc, il existe x0 ∈
tel que f (x0 ) 6= 0. Par exemple, f est strictement positive
sur un voisinage de x0 , par exemple sur B(x0 , α) avec α > 0. On peut alors prendre φ à support compact
dans B(x0 , α), positive, et telle que φ(0) = 0. Donc
Z
Z
f (x)φ(x) dx > 0.
f (x)φ(x) dx =
0 = φ(0) =
Rd
B(x0 ,α)
Contradiction.
3
5
Dérivation au sens des distributions
5.1
Dérivée d’une distribution
Proposition-Définition 5.1. (Dérivation d’une distribution)
Soit Ω un ouvert de Rd . Soit T ∈ D ′ (Ω). On définit la dérivée de la distribution T par rapport à la
∂T
, par la relation
variable xi , que l’on note ∂x
i
∀φ ∈ D(Ω), h
∂T
∂xi
∂T
∂φ
, φi = −hT,
i.
∂xi
∂xi
définit bien une distribution sur Ω.
Preuve: A faire en exo.
Proposition 5.1. Pour toute distribution T et tout multi-indice α ∈ Nd , la définition de la dérivation
implique que la distribution ∂ α T est définie par
∀φ ∈ D(Ω), h∂ α T, φi = (−1)|α| hT, ∂ α φi.
Preuve: A faire en exo.
Théorème 5.1. (Schwartz)
Soit Ω un ouvert de Rd et T ∈ D ′ (Ω). Soit α ∈ Nd et β ∈ Nd deux multi-indices. Alors
∂ α ∂ β T = ∂ β ∂ α T = ∂ α+β T.
Exemples:
• Soit H la fonction de Heaviside: elle est dans L1loc (R). On lui associe naturellement une distribution
sur R.
Z ∞
′
′
φ′ = φ(0) = hδ0 , φi.
hH , φi = −hH, φ i = −
0
Donc, on a bien
H′
= δ0 , mais au sens des distributions.
• La distribution de Dirac δa (a ∈ R) est dérivable,
hδa′ , φi = −hδa , φ′ i = −φ′ (a).
Remarque: Toute distribution est dérivable (contrairement aux fonctions...), la dérivée est une distribution. A toute fonction f ∈ L1loc , on peut associer une distribution, on peut donc lui associer une dérivée
au sens des distributions, qui est donc une distribution, mais pas forcément une fonction. Cf la fonction
d’Heaviside, dont la dérivée (au sens des distributions) est δ0 , qu’on ne peut pas représenter par une fonction.
5.2
Cas des fonctions C 1
Théorème 5.2. Soit f ∈ C 1 (R): alors (Tf )′ = Tf ′ , c’est-à-dire que la dérivation au sens des distributions
correspond à la dérivation usuelle, on la notera f ′ .
Remarque: Ce résultat reste vrai en dimension quelconque.
5.3
Cas des fonctions C 1 par morceaux
Définition 5.1. (Fonctions C k par morceaux dans ]a, b[)
Soit a, b ∈ R. On dit qu’une fonction f est C k par morceaux dans ]a, b[ si, pour tout intervalle compact
[α, β] inclus dans ]a, b[, il existe un nombre fini de points α = a0 < a1 < · · · < aN +1 = β tels que:
(i) f est de classe C k dans chaque intervalle ]ai , ai+1 [.
(ii) f et ses dérivées jusqu’à l’ordre k, c’est-à-dire f , f ′ , ..., f (k) sont prolongeables par continuité à droite
et à gauche en les points a1 , · · · , aN .
4
On note f (ai + 0) et f (ai − 0) les limites à droite et à gauche en ai .
Exemples:
• fonction en escalier C 1 par morceaux sur R.
• x 7→ |x| est C 1 par morceaux sur R.
p
• x 7→ |x| n’est pas C 1 par morceaux.
Théorème 5.3. (Formule des sauts)
Soit f une fonction de classe C 1 par morceaux dans ]a, b[. Comme f ∈ L1 (]a, b[), f définit une distribution
sur ]a, b[. Soit (ci )i∈I l’ensemble des points de discontinuité de f dans ]a, b[ (en fait, cet ensemble
S est au
′
plus dénombrable avec des points d’accumulation en a et b). Soit freg
la fonction définie sur ]a, b[\ i∈I {ci }
comme la dérivée de f , et soit f ′ la dérivée de f au sens des distributions. Alors
X
′
f ′ = freg
+
(f (ci + 0) − f (ci − 0))δci .
(1)
i∈I
Preuve: Remarque préliminaire: Une fonction g continue par morceaux sur un intervalle ]a, b[ est
bien une fonction L1loc (]a, b[). Montrons d’abord qu’elle est mesurable. En effet, il suffit de prendre deux
suites (αn ) et (βn ) de points de ]a, b[ tels que αn → a et βn → b lorsque n tend vers l’infini. On a alors
g = supn∈N 1[αn ,βn ] g. On voit facilement que les fonctions gn = 1[αn ,βn ] sont mesurables donc g est également
mesurable. Par ailleurs, g est bornée sur tout compact K ⊂]a, b[ donc g ∈ L1 (K) et finalement g ∈ L1loc (]a, b[).
Par ailleurs, on remarque que si f est une fonction C 1 par morceaux sur ]a, b[, elle est en particulier
′
continue par morceaux, et sa dérivée au sens des fonctions freg
(qui est définie presque partout) est également
′
continue par morceaux. On a donc bien que f et freg sont dans L1loc (]a, b[). Donc l’équation (1) a bien un
sens dans D ′ (]a, b[). Maintenant prouvons qu’elle est vraie.
Soit φ ∈ D(]a, b[). En particulier, il existe α, β ∈]a, b[ tels que Supp(φ) ⊂ [α, β]. Alors, soit N ∈ N et
c0 = α < c1 < · · · < cN = β tels que f soient continue sur ]ci , ci+1 [ pour tout 0 ≤ i ≤ N − 1. On note alors
fei la fonction définie sur [ci , ci+1 ] par

si x = ci ,
 f (ci + 0)
fei (x) =
f (x)
si x ∈]ci , ci+1 [,

f (ci+1 − 0)
si x = ci+1 .
La fonction fei est alors continue sur [ci , ci+1 ] et dérivable sur ]ci , ci+1 [, et sa dérivée est presque partout égale
′ .
à freg
5
Par définition de la dérivée au sens des distributions, on a
hf ′ , φi = −hf, φ′ i,
Z b
f φ′ ,
= −
a
Z β
f φ′ ,
= −
= −
= −
α
N
−1 Z ci+1
X
i=0 ci
N
−1 Z ci+1
X
ci
= −
=
=
i=0
N
−1 X
=
i=0 ci
N
−1 Z ci+1
X
Z
β
α
=
Z
a
b
fei (x)φ′ (x) dx,
c
[fei (x)φ(x)]cii+1 −
i=0
N
−1 Z ci+1
X
i=0
f (x)φ′ (x) dx,
ci
Z
fei′ (x)φ(x) dx +
ci+1
ci
N
−1
X
fei′ (x)φ(x) dx ,
f (ci + 0)φ(ci ) − f (ci+1 − 0)φ(ci+1 ),
i=0
N
X
′
freg
(x)φ(x) dx +
φ(ci )(f (ci + 0) − f (ci − 0)),
i=0
′
freg
(x)φ(x) dx +
N
X
φ(ci )(f (ci + 0) − f (ci − 0)),
X
φ(ci )(f (ci + 0) − f (ci − 0)),
i=0
′
freg
(x)φ(x) dx +
′
= hfreg
+
i∈I
X
(f (ci + 0) − f (ci − 0))δci , φi,
i∈I
ce qui montre bien la formule (1).
Attention!
• f est une fonction à laquelle on associe une distribution encore notée f ;
′ ;
′
est une fonction à laquelle on associe une distribution, encore notée freg
• freg
• f ′ est une distribution, il n’y a pas de fonction associée.
Remarque: On retrouve le fait que H ′ = δ0 .
6
Convergence de distributions
Définition 6.1. (Convergence)
Soit (Tn ) une suite de distributions dans D ′ (Ω) et T une distribution. On dit que Tn converge vers T si
∀φ ∈ D(Ω), hTn , φi → hT, φi.
Théorème 6.1. Soit fn ∈ Lploc (Ω) qui tend dans Lploc (Ω) vers f (1 ≤ p ≤ +∞). Alors fn converge vers f
au sens des distributions.
Preuve: A faire en exercice.
Théorème 6.2. Si (Tn ) converge dans D ′ (Ω) vers T , alors
∀α ∈ Nd , ∂ α Tn → ∂ α T.
6
Preuve: A faire en exo.
Remarque: Contrairement aux objets que nous avions l’habitude de manipuler avant (fonctions, séries
de fonctions), au sens des distributions, on peut passer à la limite sans aucun problème.
Théorème 6.3. Soit (Tn ) une suite de distributions de D ′ (Ω) telles que ∀φ ∈ D(Ω), la suite hTn , φi a une
limite, notée lφ . Alors l’application
D(Ω) → R
T :
φ
7→ lφ
est une distribution.
Attention!
fonctions L1loc !!
7
La convergence au sens des distributions avec la convergence presque partout pour les
Multiplication par une fonction C ∞
Proposition-Définition 7.1. Soit T ∈ D ′ (Ω) et g ∈ C ∞ (Ω). On définit la distribution gT par
∀φ ∈ D(Ω), hgT, φi = hT, gφi.
p
Attention! On ne peut pas multiplier deux distributions entre elles! Par exemple, f (x) = 1/ |x| est
dans L1loc (R), donc définit une distribution. Mais f 2 = 1/|x| n’est pas dans L1loc (R) et on ne sait pas lui
associer une distribution.
Exemple: Soit T = δ0 . On a xT = 0.
8
Equations différentielles dans D′ (]a, b[)
Soit I =]a, b[.
Théorème 8.1.
• Soit T ∈ D ′ (I) telle que T ′ = 0. Alors T est une fonction constante.
• Pour toute distribution S de D ′ (I), il existe T ∈ D ′ (I) telle que T ′ = S.
Preuve (de la première partie): On a
0 = hT ′ , φi = −hT, φ′ i.
R
Est-ce que l’ensemble des φ′ parcourt tout D(I)? Non car φ′ ∈ D(I) et
Soit φ ∈ D(I) et ρ ∈ D(I) d’intégrale 1. On pose
Z
ψ ′ (x) = φ(x) − ρ(x) φ.
I
φ′ = 0.
I
On voit que ψ ∈ D(I).
′
hT, φi = hT, ψ i + hT, ρi
Z
φ =0+C
I
Z
φ.
I
Donc T = C, ie la distribution T est égale à la distribution engendrée par la fonction constante C.
7