polynomes

POLYNOMES
Dans ce qui suit les ensembles de nombres consid´er´es seront soit l’ensemble Rdes nombres r´eels, soit
l’ensemble Cdes nombres complexes. Sauf lorsque la situation l’exige, on ne pr´ecisera pas la nature des
nombres utilis´es.
On ne donne pas ici une d´efinition math´ematiquement correcte d’un polynˆome. (Ceci sera fait en deuxi`eme
ann´ee). On s’appuie simplement sur ce que vous avez vu dans le secondaire.
On appelle monˆome `a une ind´etermin´ee `a coefficient r´eel (respectivement complexe) un terme de la forme
akXk, et polynˆome `a une ind´etermin´ee `a coefficients r´eels (respectivement complexes) une somme de
monˆomes
P(X) = a0+a1X+···+apXp,
o`u les nombres a0,a1, . . . ansont r´eels (respectivement complexes).
On posera ak= 0 si le terme en Xkne figure pas dans la somme.
Un polynˆome est donc caract´eris´e par la suite a0, a1,...,ak,... de ses coefficients et tous les coefficients
sont nuls `a partir d’un certain rang.
Il y a deux cas possibles :
– il existe au moins un coefficient aknon nul. On appellera degr´e de Pet on notera deg P, le plus grand
entier ktel que aksoit non nul.
– tous les coefficients sont nuls. Le polynˆome Pest le polynˆome nul, ou polynˆome 0 on dira par convention
que deg P=−∞.
Deux polynˆomes seront ´egaux s’ils ont les mˆemes suites de coefficients.
Remarque. Lorsque l’on ´ecrit P= 0, cela signifie que le polynˆome Pest nul, c’est-`a-dire que tous ses
coefficients sont nuls.
Les polynˆomes de degr´e 0 sont des polynˆomes ayant comme terme non nul le coefficient a0uniquement.
On dit que ce sont des polynˆomes constants.
Notations :
– nous noterons indiff´eremment Pou P(X) un polynˆome de l’ind´etermin´ee X.
– L’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans R(resp. dans C) sera not´e R[X] (resp. C[X]).
– L’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, `a coefficients dans R(resp. dans C) sera not´e
Rn[X] (resp. Cn[X]).
Nous n’insistons pas sur la signification de la lettre X. Elle d´esigne simplement un polynˆome particulier,
celui dont la suite des coefficients est (0,1,0,0,...). A priori, un polynˆome n’est pas d´efini comme une
fonction. Nous verrons plus loin comment associer une fonction `a un polynˆome.
Dans ce qui suit nous allons consid´erer les polynˆomes d’un point de vue formel purement alg´ebrique, et
d´efinir des op´erations sur les polynˆomes, ces op´erations ne font intervenir que leurs coefficients.
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I. Op´erations sur les polynˆomes
1) Somme de deux polynˆomes.
Si P(X) = a0+a1X+···+apXpet Q(X) = b0+b1X+···+bqXq, (avec deg P=pet deg Q=q), le
polynˆome P+Qest obtenu en additionnant terme `a terme les coefficients des monˆomes de mˆeme degr´e.
Si p≤qpar exemple
(P+Q)(X) = (a0+b0) + (a1+b1)X+···+ (ap+bp)Xp+bp+1Xp+1 +···+bqXq.
On remarque que si p6=q, alors deg(P+Q) est le plus grand des deux nombres pet q. Par contre si
p=q, le degr´e de P+Qva diminuer si aq+bq= 0. Donc
deg(P+Q)≤max(deg P, deg Q).
On a ´egalit´e si et seulement si, une des deux situations suivantes a lieu
– deg P6= deg Q,
– deg P= deg Q=pet ap+bp6= 0.
Remarque : ce qui pr´ec`ede est vrai ´egalement si Pou Qest le polynˆome 0.
2) Multiplication d’un polynˆome par un nombre.
Si P(X) = a0+a1X+··· +apXp(avec deg P=p), et λest un nombre non nul, on d´efinit λP en
multipliant chaque coefficient de Ppar λ.
λP (X) = λa0+λa1X+···+λapXp.
On ne change donc pas le degr´e :
deg(λP ) = deg P .
Par contre si λ= 0, le polynˆome λP est le polynˆome 0.
3) Produit de deux polynˆomes.
Si P(X) = a0+a1X+···+apXpet Q(X) = b0+b1X+···+bqXq, (avec deg P=pet deg Q=q), le
polynˆome P Q est obtenu en d´eveloppant le produit
(a0+a1X+···+apXp)(b0+b1X+···+bqXq).
On obtient un polynˆome de la forme
(P Q)(X) = c0+c1X+···+cp+qXp+q,
o`u
ck=a0bk+a1bk−1+···+asbk−s+···+akb0.
Si Pet Qne sont pas le polynˆome 0, le coefficient de Xp+qvaut en particulier apbq, et il est non nul. Il
en r´esulte que
deg(P Q) = deg P+ deg Q ,
ce qui reste vrai si Pou Qest le polynˆome 0.
On constate en particulier que si Pet Qne sont pas le polynˆome nul, P Q ne l’est pas non plus, et donc
on en d´eduit que P Q = 0 si et seulement si P= 0 ou Q= 0.
D’autre part si An’est pas le polynˆome 0 et si l’on a l’´egalit´e AP =AQ alors A(P−Q) = 0 et donc
d’apr`es ce qui pr´ec`ede P−Q= 0 c’est-`a-dire P=Q. On peut donc simplifier par un polynˆome non nul.
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Remarques. 1) Il revient au mˆeme de multiplier un polynˆome Ppar le nombre λou par le polynˆome
constant λ.
2) Les op´erations ci-dessus v´erifient les mˆemes propri´et´es que les op´erations somme et produit dans l’en-
semble des nombres r´eels ou complexes que nous ne rappelerons pas ici.
4) Composition de deux polynˆomes.
Si P(X) = a0+a1X+···+apXpet Q(X) = b0+b1X+···+bqXq, (avec deg P=pet deg Q=q), le
polynˆome P◦Qnot´e encore P(Q) est le polynˆome que l’on obtient en rempla¸cant dans P(X), la lettre
Xpar Q(X).
Donc
P◦Q(X) = a0+a1Q(X) + ···+apQ(X)p.
Si Q6= 0 le terme de plus haut degr´e de P◦Qest obtenu en d´eveloppant apQ(X)p, c’est donc apbp
qXpq,
et l’on a alors
deg(P◦Q) = deg Pdeg Q .
Par contre si Q= 0, on a P◦Q=a0.
Par exemple si P(X) = X3−X+ 1, et Q(X) = X2, on a P(Q)(X2) = X6−X2+ 1.
5) D´erivation d’un polynˆome.
Si P(X) = a0+a1X+···+apXp, (avec deg P=p), on appelle polynˆome d´eriv´e, et on note P′(X) le
polynˆome qui est d´efini par
P′(X) = a1+ 2a2X+···+papXp−1si p > 0
0 si p≤0.
On constate donc que
deg P′=(deg P)−1 si deg P≥1
−∞ si deg P≤0.
Cette d´erivation poss`ede les propri´et´es usuelle de la d´erivation, `a savoir
(P+Q)′=P′+Q′,(λP )′=λP ′,(P Q)′=P Q′+QP ′,(P◦Q)′= (P′◦Q)Q′,
(Toutes ses formules peuvent se d´emontrer en utilisant la d´efinition ci-dessus sans utiliser la notion de
limite).
On peut g´en´eraliser en calculant les d´eriv´ees successives, et en d´efinissant par r´ecurrence P(k)= (P(k−1))′.
(On notera ´egalement P(0) =P). On obtient facilement
deg P(k)=(deg P)−ksi deg P≥k
−∞ si deg P≤k−1.
Remarquons en particulier que si P(X) = Xnet si 1 ≤k≤n, alors P(k)(X) = n(n−1) ···(n−k+1)Xn−k.
6) Conjugu´e d’un polynˆome.
Si P(X) = a0+a1X+···+apXp, (avec deg P=p) est un polynˆome `a coefficients complexes, on note
P(X) le polynˆome conjugu´e obtenu en prenant le conjugu´e de tous les coefficients de P. Soit
P(X) = a0+a1X+···+apXp.
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C’est donc un polynˆome de mˆeme degr´e que P. La conjugaison poss`ede les mˆemes propri´et´es que dans
l’ensemble des nombres complexes. Par exemple
P+Q=P+Q , P Q =P Q , P =P .
On remarque aussi que Pest `a coefficients r´eels si et seulement si P=P.
On a ´egalement (P)′= (P′).
II Fonction polynomiale.
Si Pest le polynˆome P(X) = a0+a1X+···+apXp`a coefficients dans K=Rou C, on peut lui associer
une fonction de Kdans Knot´ee e P, en posant, pour tout xdans K,
e
P(x) = a0+a1x+···+apxp.
Le polynˆome Pet la fonction polynomiale e Psont deux objets diff´erents. On le voit par exemple si l’on
examine ce que signifie P= 0 et e P= 0 :
dire que P= 0 signifie que tous les coefficients du polynˆome Psont nuls.
dire que e P= 0 signifie que, pour tout xdans K, on a e P(x) = 0
Bien sˆur `a toute op´eration sur les polynˆomes, on fait correspondre la mˆeme op´eration sur les fonctions.
Par exemple
^
P+Q=e P+e Q , g P Q =e Pe Qetc ...
Si αest un nombre de K, on peut alors calculer e P(α) qui est ´egalement dans K. Nous noterons, avec un
abus de notation, P(α) au lieu de e P(α).
On dira que αest une racine ou un z´ero de P, si P(α) = 0. En particulier si P(X) = X−αon a P(α) = 0.
III La division euclidienne.
Th´eor`eme : Soit Aet Bdeux polynˆomes non nuls. Il existe un couple unique de polynˆomes Qet R,
avec deg R < deg Btel que
A=BQ +R .
(De plus si deg A≥deg B, alors deg Q= deg A−deg B).
Lorsque l’on ´ecrit A=BQ +Ravec les conditions ci-dessus, on dit que l’on a effectu´e la division eu-
clidienne de Apar B. On appelle aussi cette division “division suivant les puissances d´ecroissantes” car
dans cette division on ´ecrit les polynˆomes Aet Bsuivant les puissances d´ecroissantes. (Il existe un autre
type de division suivant les puissances croissantes qui ne sera pas abord´e ici). On appelle Qle quotient
et Rle reste dans la division euclidienne de Apar B.
Si deg A < deg B, le couple Q= 0, R=Aest le seul possible.
Si deg A≥deg Bnous ne donnerons pas la d´emonstration g´en´erale. Elle suit la m´ethode de d´etermination
de Qet de Rpar l’algorithme de division pr´esent´e sur l’exemple num´erique suivant :
on veut diviser A(X) = 2X3−X2+ 4 par B(X) = X2+ 2X+ 2. Le proc´ed´e consiste `a multiplier B(X)
par un monˆome pour faire disparaˆıtre le terme de plus haut degr´e de A(X), puis `a r´eit´erer le proc´ed´e.
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1`ere ´etape Le terme de plus haut degr´e de B(X) est X2, pour obtenir celui de A(X), qui est 2X3, il
faut le multiplier par 2Xque l’on place dans la partie droite du tableau ci-dessous. On effectue alors
A(X)−2XB(X) = −5X2−4X+ 4 .
Dans le tableau la deuxi`eme ligne de la partie gauche est −2B(X) puis la troisi`eme est A(X)−2XB(X).
2`eme ´etape Le terme de plus haut degr´e de B(X) est X2, pour obtenir celui de A(X)−2B(X), qui est
−5X2, il faut le multiplier par −5 que l’on place dans la partie droite du tableau ci-dessous. On effectue
alors
(A(X)−2XB(X)) + 5B(X) = 6X+ 14 .
Dans le tableau la quatri`eme ligne donne +5B(X) et la cinqui`eme est (A(X)−2XB(X))+5B(X) = R(X)
A droite on a obtenu 2X−5 = Q(X).
(On arrˆete le calcul lorsque la derni`ere diff´erence calcul´ee est de degr´e inf´erieur strictement `a celui de B)
On peut poser la division (en n’oubliant pas de laisser de la place pour les termes nuls.
1 2X3−X2+0X+4 X2+2X+2
2−2X3−4X2−4X2X−5
3−5X2−4X+4
4 5X2+10X+10
5 6X+14
Lorsque le reste Rest nul, on obtient A=BQ. On dit dans ce cas que Bdivise A.
Cas particulier : si l’on suppose que B=X−α. Le reste de la division euclidienne est alors un polynˆome
constant R. On a
A(X) = (X−α)Q(X) + R .
Mais alors,
A(α) = R ,
et donc
A(X) = (X−α)Q(X) + A(α).
Cette remarque donne un moyen de calculer la valeur A(α) sans remplacer Xpar αdans A(X). Il suffit
d’effectuer la division euclidienne de Apar X−α.
On d´eduit du th´eor`eme pr´ec´edent plusieurs r´esultats importants.
(1) Un nombre αest racine de Asi et seulement si X−αdivise A.
D´emonstration. En effet si X−αdivise A, on a donc A(X) = (X−α)B(X), d’o`u A(α) = 0.
Inversement, si A(α) = 0, il r´esulte de la formule de division euclidienne que
A(X) = (X−α)Q(X) + A(α) = (X−α)Q(X),
donc X−αdivise A.
(2) Plus g´en´eralement, α1,...,αksont des racines distinctes de A, si et seulement si Aest divisible par
le produit (X−α1)···(X−αk).
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