Calcul matriciel

Chapitre II
Calcul matriciel
1
Notion de matrice
Pour modéliser certains phénomènes (problèmes de transports, de trajets, marche aléatoire)
on a recours à la notion de matrice.
Définition 1 Soient m et n deux entiers naturels. Une matrice d’ordre (m, n) est un tableau
de nombres réels de m lignes et n colonnes. On note en général aij le coefficient de la i-ème


a11 a12 . . . a1j . . . a1n
 a21 a22 . . . a2j . . . a2n 


 .



 .



 .



ligne et de la j-ème colonne. M = 

a
a
.
.
.
a
.
.
.
a
i1
i2
ij
1n


 .



 .



 .

am1 am2 . . . amj . . . amn
On note aussi : M = (aij )1≤i≤m;1≤j≤n
Remarque 1 Deux matrices A = (aij ) et B = (bij ) sont égales si et seulement si elles ont
même ordre (m, n) et si aij = bij pour tout (i, j) tel que 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n.
Vocabulaire :
– Lorsque m = n, on parle de matrice
carrée.
−1 23
est une matrice carrée d’ordre 2.
Par exemple : A =
3, 2 −5
– Dans ce dernier cas, lorsque tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale, on
parle de matrice diagonale.


1 0 0
Par exemple : D = 0 2 0 est une matrice diagonale.
0 0 3
– Lorsque n = 1 on parle
 de
 matrice colonne (ou de vecteur colonne)
0
−1

Par exemple : C = 
 4  est une matrice colonne
5
– Lorsque m = 1 on parle de matrice
ligne (ou de vecteur ligne)
Par exemple : B = −8 7 5 3 est une matrice ligne.
1
Définition 2 :
– La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.
– Soit n ∈ N. On appelle matrice identité d’ordre n, notée In la matrice diagonale dont
tous les termes diagonaux
valent
 1.

1 0 0
Par exemple : I3 = 0 1 0
0 0 1
2
2.1
Opérations sur les matrices carrées
Somme
Définition 3 Si A = (aij ) et B = (bij ) alors A + B = (aij + bij )
(on ajoute les coefficients de même place)
Propriété 1 L’addition est commutative (A + B = B + A) et associative ((A + B) + C =
A + (B + C))
2.2
Produit par un réel
Définition 4 Si k ∈ R et A = (aij ) alors kA = (kaij )
(on multiplie tous les coefficients par k)
Propriété 2 Distributivité : (k + k′ )A = kA + k′ A et k(A + B) = kA + kB
2.3
Différence
Définition 5 Si A = (aij ) et B = (bij ) alors A − B = A + (−1 × B) = (aij − bij )
(on soustrait les coefficients de même place)
2.4
Produit matriciel
Définition 6 Le produit de la matrice ligne L = a1 a2 ... ap par la matrice colonne
 
b1
b2 
 
p
X
.


C =   est le nombre LC = a1 b1 + a2 b2 + ... + ap bp =
a k bk
.
k=1
.
bp
2
Définition 7 Le produit de la matrice A = (aij ) d’ordre (n; p) par une matrice B = (bij )
d’ordre (p; r) est la matrice, notée AB, d’ordre (n; r) dont le coefficient (cij ) est le produit de
la matrice ligne i de A par la matrice colonne j de B :
cij =
p
X
aik bkj
k=1
Exemple
A d’ordre (2; 3) B d’ordre (3; 2), alors C = AB de d’ordre (2; 2)

1 3 5
2 4 6

1 −1
3
2
−3 4 −5 25
−4 30
Remarque 2
– Pour effectuer le produit AB il faut que le nombre de colonnes de A soit
égal au nombre de lignes de B. Ceci est toujours vrai lorsque A et B sont carrées de
même ordre ce qui sera le cas en TS.
– Le produit matriciel n’est pas commutatif : si les matrices AB et BA sont définies,
en général AB 6= BA .
Propriété 3 A, B et C sont des matrices dont les ordres permettent les calculs indiqués, k est
un réel
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B + C) = AB + AC
3. (A + B)C = AC + BC
4. (kA)B = A(kB) = k(AB)
exercices 14, 15, 16 p 96
2.5
Puissance de matrices
Définition 8 A est une matrice carrée et n ∈ N∗ . La puissance n-ième de la matrice A,
notée An , est la matrice définie par : An = AA....A
| {z }
n fois
Par convention, A0 = In
exercices 24, 25 p 97
3
3
Application : marche aléatoire
Étudions le cas d’une marche aléatoire entre deux états
On considère un système qui n’a que deux états possibles A et B et qui évolue par
étapes successives.
On note p la probabilité qu’il passe de A à B.
On note q la probabilité qu’il passe de B à A.
Le graphe probabiliste ci-contre donne l’évolution du système d’une étape à la suivante.
p
1-p
1-q
A
B
q
On définit la matrice de transition par : T =
1−p
q
p
1−q
Définition 9 La matrice de transition d’une marche aléatoire est la matrice carrée T = (tij )
dont le coefficient tij est la probabilité de transition du sommet j vers le sommet i.
Remarque
Tous les coefficients appartiennent à [0; 1]
Pour chaque colonne, la somme des coefficients est 1.
Pour n ∈ N , on note :
An l’événement : "à l’étape n le système est dans l’état A".
Bn l’événement : "à l’étape n le système est dans l’état B".
an = p(An ), bn = p(Bn ). On a : an + bn = 1
Définition 10 La matrice colonne Pn =
an
bn
est appelée état de la marche aléatoire
après n pas.
Propriété 4 Pour n ∈ N, Pn+1 = T Pn
Démonstration 1 − p
An
An+1
b
b
an
p
b
Bn+1
b
bn
Bn
q
b
An+1
p(An+1 ) =
=
—————–
p(Bn+1 ) =
=
p(An ∩ An+1 ) + p(Bn ∩ An+1 )
(1 − p)an + qbn
—————————————–
p(An ∩ Bn+1 ) + p(Bn ∩ Bn+1 )
pan + (1 − q)bn
b
1−q
b
Bn+1
Propriété 5 Pour tout n ∈ N : Pn = T n P0
Démonstration Par récurrence. exercices 29, 31, 32, 48 pages 97 à 100
4