Calcul matriciel

Chapitre II
Calcul matriciel
1 Notion de matrice
Pour modéliser certains phénomènes (problèmes de transports, de trajets, marche aléatoire)
on a recours à la notion de matrice.
Définition 1 Soient met ndeux entiers naturels. Une matrice d’ordre (m, n)est un tableau
de nombres réels de mlignes et ncolonnes. On note en général aij le coefficient de la i-ème
ligne et de la j-ème colonne. M=
a11 a12 . . . a1j. . . a1n
a21 a22 . . . a2j. . . a2n
.
.
.
ai1ai2. . . aij . . . a1n
.
.
.
am1am2. . . amj . . . amn
On note aussi : M= (aij )1≤i≤m;1≤j≤n
Remarque 1 Deux matrices A= (aij )et B= (bij )sont égales si et seulement si elles ont
même ordre (m, n)et si aij =bij pour tout (i, j)tel que 1≤i≤met 1≤j≤n.
Vocabulaire :
– Lorsque m=n, on parle de matrice carrée.
Par exemple : A=−12
3
3,2−5est une matrice carrée d’ordre 2.
– Dans ce dernier cas, lorsque tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale, on
parle de matrice diagonale.
Par exemple : D=
1 0 0
0 2 0
0 0 3
est une matrice diagonale.
– Lorsque n= 1 on parle de matrice colonne (ou de vecteur colonne)
Par exemple : C=
0
−1
4
5
est une matrice colonne
– Lorsque m= 1 on parle de matrice ligne (ou de vecteur ligne)
Par exemple : B=−8 7 5 3est une matrice ligne.
1

Définition 2 :
– La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.
– Soit n∈N. On appelle matrice identité d’ordre n, notée Inla matrice diagonale dont
tous les termes diagonaux valent 1.
Par exemple : I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 Opérations sur les matrices carrées
2.1 Somme
Définition 3 Si A= (aij )et B= (bij )alors A+B= (aij +bij )
(on ajoute les coefficients de même place)
Propriété 1 L’addition est commutative (A+B=B+A) et associative ((A+B) + C=
A+ (B+C))
2.2 Produit par un réel
Définition 4 Si k∈Ret A= (aij )alors kA = (kaij )
(on multiplie tous les coefficients par k)
Propriété 2 Distributivité : (k+k′)A=kA +k′Aet k(A+B) = kA +kB
2.3 Différence
Définition 5 Si A= (aij )et B= (bij )alors A−B=A+ (−1×B) = (aij −bij )
(on soustrait les coefficients de même place)
2.4 Produit matriciel
Définition 6 Le produit de la matrice ligne L=a1a2... appar la matrice colonne
C=
b1
b2
.
.
.
bp
est le nombre LC =a1b1+a2b2+... +apbp=
p
X
k=1
akbk
2

Définition 7 Le produit de la matrice A= (aij )d’ordre (n;p)par une matrice B= (bij )
d’ordre (p;r)est la matrice, notée AB, d’ordre (n;r)dont le coefficient (cij )est le produit de
la matrice ligne ide Apar la matrice colonne jde B:
cij =
p
X
k=1
aikbkj
Exemple
Ad’ordre (2; 3)Bd’ordre (3; 2), alors C=AB de d’ordre (2; 2)
1−1
3 2
−3 4
1 3 5
2 4 6 −5 25
−4 30
Remarque 2 – Pour effectuer le produit AB il faut que le nombre de colonnes de Asoit
égal au nombre de lignes de B. Ceci est toujours vrai lorsque Aet Bsont carrées de
même ordre ce qui sera le cas en TS.
– Le produit matriciel n’est pas commutatif : si les matrices AB et BA sont définies,
en général AB 6=BA .
Propriété 3 A, B et Csont des matrices dont les ordres permettent les calculs indiqués, kest
un réel
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB +AC
3. (A+B)C=AC +BC
4. (kA)B=A(kB) = k(AB)
exercices 14, 15, 16 p 96
2.5 Puissance de matrices
Définition 8 Aest une matrice carrée et n∈N∗. La puissance n-ième de la matrice A,
notée An, est la matrice définie par : An=AA....A
|{z }
n fois
Par convention, A0=In
exercices 24, 25 p 97
3

3 Application : marche aléatoire
Étudions le cas d’une marche aléatoire entre deux états
On considère un système qui n’a que deux états possibles A et B et qui évolue par
étapes successives.
On note pla probabilité qu’il passe de A à B.
On note qla probabilité qu’il passe de B à A.
Le graphe probabiliste ci-contre donne l’évolution du système d’une étape à la suivante.
A B
1-p p
q
1-q
On définit la matrice de transition par : T=1−p q
p1−q
Définition 9 La matrice de transition d’une marche aléatoire est la matrice carrée T= (tij )
dont le coefficient tij est la probabilité de transition du sommet jvers le sommet i.
Remarque
Tous les coefficients appartiennent à [0; 1]
Pour chaque colonne, la somme des coefficients est 1.
Pour n∈N, on note :
Anl’événement : "à l’étape nle système est dans l’état A".
Bnl’événement : "à l’étape nle système est dans l’état B".
an=p(An), bn=p(Bn). On a : an+bn= 1
Définition 10 La matrice colonne Pn=an
bnest appelée état de la marche aléatoire
après npas.
Propriété 4 Pour n∈N, Pn+1 =T Pn
Démonstration
An
an
An+1
1−p
Bn+1
p
Bn
bn
An+1
q
Bn+1
1−q
p(An+1) = p(An∩An+1) + p(Bn∩An+1)
=(1 −p)an+qbn
—————– —————————————–
p(Bn+1) = p(An∩Bn+1) + p(Bn∩Bn+1)
=pan+ (1 −q)bn
Propriété 5 Pour tout n∈N:Pn=TnP0
Démonstration Par récurrence. exercices 29, 31, 32, 48 pages 97 à 100
4