XMP 2011-2012 ANNEAUX ET ARITHMÉTIQUE 1. Propriétés

XMP 2011-2012 ANNEAUX ET ARITHMÉTIQUE
1. Propriétés diverses dans un anneau
a. Soit I un idéal d'un anneau commutatif A contenant une unité de A (i.e. un élément inversible de A). Prouver
que
A
I
.
b. Montrer qu'un anneau commutatif A ne contenant pas d'autre idéal que 0 et lui-même est un corps.
c. Soit A un anneau. On appelle caractéristique de A le plus petit entier positif non nul n, s'il existe, tel que
AA
n01.  (si un tel entier n'existe pas, on dit que A est de caractéristique nulle).
Quelle est la caractéristique de Q, de R, de C, de Z/nZ ?
Prouver qu'un anneau intègre est soit de caractéristique nulle, soit de caractéristique égale à un nombre
premier.
Prouver qu'un anneau de caractéristique nulle contient un sous-corps isomorphe à Q.
d. Un élément a d'un anneau commutatif A est dit nilpotent s'il existe un entier n tel que A
n
a0.
Quels sont les éléments nilpotents de Z/36Z ?
Montrer que l'ensemble des éléments nilpotents d'un anneau commutatif A est un idéal de A.
Montrer que si a est nilpotent, a
A1 est inversible, et déterminer son inverse (on écrira n AA a11 ).
e. Déterminer, s'il en existe, les corps à 4 éléments.
2. Soit K un corps à 4 éléments, de neutres 0 et 1.
a. Prouver que 011 .
b. Soit a un élément de K autre que 0 et 1. Qui est le dernier élément de K ?
c. Dresser les tables de ),( K et de ).,(K* . Conclure.
3. Pour n entier, déterminer le pgcd de 110
n
et de 34
n
.
4. Quel est le dernier chiffre de
7
7
7
7
7
7
7 ?
5. Résoudre dans Z/37Z :
a. 
076
373
yx
yx
b. 084
2 xx (indication : 162 ).
6. Quels sont les entiers qui sont différence de deux carrés ?
7. On écrit un entier n en base 10. Prouver que n est multiple de 17 si et seulement si le nombre N égal à 5 fois le
dernier chiffre de n moins le nombre égal à n privé de son dernier chiffre est lui-même multiple de 17.
4513 est-il multiple de 17 ?
8. Résoudre, dans Z/91Z, l’équation 023
2 xx .
9. Nombres de Mersenne, nombres de Fermat
On cherche ici des nombres premiers sous une forme particulière :
1
2
n pour les nombres de Mersenne,
1
2
n
pour les nombres de Fermat. Prouver que :
a.
1
2
n premier implique n premier.
b.
1
2
n premier implique n est une puissance de 2.
10. Soient a et b deux entiers premiers entre eux, et c un entier quelconque. On étudie l'équation cbyax  aux
inconnues x et y entières.

a. Montrer que cette équation possède au moins une solution ),( 00 yx , et exprimer toutes les solutions à l'aide de
cette solution particulière.
b. Montrer que pour abc , il existe une solution ),( yx avec x et y tous deux positifs.
c. On dispose de timbres de 5 et de 9 centimes. À partir de quel montant peut-on affranchir toutes les lettres ?
11. On note Z[i] l’ensemble des nombres complexes de la forme ba i où a et b sont dans Z.
a. Prouver que pour tout couple ),( yx d’éléments de Z[i] avec 0
y
, il existe q et r dans Z[i] tels que :
yrrqyx  avec ,
Y-a-t-il unicité d’une telle écriture ?
d. Prouver que tout idéal de Z[i] est principal (c'est-à-dire engendré par un élément).
12. Soit a un entier impair et 3
n
. Prouver que ]2[1
2
2n
n
a
. Trouver les entiers n tels que le groupe des éléments
inversibles de Z/2nZ soit cyclique.
(13). Un polynôme à coefficients dans Z est dit primitif si ses coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble. Par
ailleurs, si P désigne un polynôme à coefficients dans Z, on note P le pgcd de ses coefficients.
a. Prouver que le produit de deux polynômes primitifs est un polynôme primitif.
b. En déduire que pour tous polynômes P et Q à coefficients dans Z, on a .QPPQ  .
c. Prouver qu'un polynôme à coefficients dans Z qui est produit de deux polynômes à coefficients dans Q est
produit de deux polynômes à coefficients dans Z.