Les Polynômes – Fiche de cours Maths Première

MATHÉMATIQUES
Classe de Première
CHAPITRE
LES POLYNÔMES
Fiche de cours : situation d'apprentissage, définitions, propriétés, exemples et exercices
Rubrique
Précisions
Durée indicative
6 à 7 séances de 2 heures
Prérequis
Calcul littéral et identités remarquables, équations et
inéquations du 1er degré, tableaux de signes, racines carrées,
notion de fonction et de courbe représentative
Plan du chapitre
I. Généralités sur les polynômes II. Équations du second
degré III. Factorisation et signe du trinôme IV.
Représentation graphique d'un trinôme V. Équations et
inéquations de degré 3 ou 4

Mathématiques – Première – Les polynômes
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SITUATION D'APPRENTISSAGE
Contexte
M. Ouédraogo est maraîcher à Koudougou. Il veut aménager un jardin rectangulaire adossé au
mur de sa cour, pour y cultiver des légumes destinés au marché. Il dispose de 60 mètres de
grillage pour clôturer les trois côtés libres du jardin : le mur constitue le quatrième côté et n'a
pas besoin de clôture.
Son fils Ibrahim, élève en classe de Première, l'aide à choisir les dimensions du jardin. On note x
(en mètres) la largeur du jardin, c'est-à-dire la longueur de chacun des deux côtés
perpendiculaires au mur.
Consigne
Aide Ibrahim à répondre aux questions de son père :
1. Exprimer en fonction de x la longueur L du côté parallèle au mur. Quelles sont les valeurs
possibles de x ? Exprimer l'aire A(x) du jardin ; montrer que A(x) est un polynôme du second
degré en x.
2. M. Ouédraogo souhaite un jardin de 400 m². Quelles dimensions peut-il choisir ?
3. Peut-il obtenir un jardin de 500 m² ? Justifier.
4. Quelle est l'aire maximale que l'on peut obtenir ? Pour quelles dimensions ?
5. Pour quelles valeurs de x l'aire du jardin est-elle au moins égale à 400 m² ?
6. Rédiger une courte note de conseils pour M. Ouédraogo.
Les élèves reviendront à cette situation à la fin du chapitre pour la résoudre avec les outils sur les
trinômes du second degré. Une correction sommaire figure en fin de document.
COMPÉTENCES VISÉES
• Reconnaître un polynôme, déterminer son degré, effectuer des opérations sur les polynômes.
• Utiliser les racines pour factoriser un polynôme (théorème du reste, division euclidienne,
schéma de Horner).
• Résoudre une équation du second degré : forme canonique, discriminant, somme et produit
des racines.
• Factoriser un trinôme et étudier son signe ; résoudre des inéquations du second degré.
• Associer à un trinôme sa parabole selon le signe de a et de Δ ; en déduire le tableau de
variation.
• Résoudre des équations et inéquations de degré 3 ou 4 en se ramenant au 1er ou au 2nd degré.
• Modéliser et résoudre un problème concret (dimensions, aire, volume, bénéfice) à l'aide d'un
polynôme.

Mathématiques – Première – Les polynômes
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I. GÉNÉRALITÉS SUR LES POLYNÔMES
1. Définitions et vocabulaire
Définition 1 (monôme, polynôme)
Un monôme est une expression de la forme a xⁿ, où a est un réel et n un entier naturel.
Un polynôme (à une indéterminée x, à coefficients réels) est une somme de monômes. On
l'écrit, en ordonnant suivant les puissances décroissantes :
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ avec aₙ ≠ 0.
Dans cette écriture :
• les réels aₙ, aₙ₋₁, …, a₀ sont les coefficients de P ;
• l'entier n est le degré de P, noté deg P ; aₙ est le coefficient dominant ; a₀ est le terme
constant ;
• le polynôme nul est le polynôme dont tous les coefficients sont nuls ; on ne lui attribue pas de
degré ;
• un polynôme de degré 0 est une constante non nulle ; de degré 1, il s'écrit ax + b ; de degré 2,
ax² + bx + c (on parle de trinôme du second degré) ; de degré 3, on parle de polynôme du
troisième degré (ou cubique).
À un polynôme P on associe la fonction polynôme x ↦ P(x), définie sur ℝ.
Exemples
• P(x) = 3x² − 5x + 1 est un polynôme de degré 2 ; son coefficient dominant est 3 et son terme
constant 1.
• Q(x) = −x³ + 4x est de degré 3 ; ses coefficients sont −1, 0, 4, 0.
• R(x) = 7 est un polynôme de degré 0.
• S(x) = (x − 1)(x + 2)² est un polynôme de degré 3 (après développement : x³ + 3x² − 4).
• Ne sont pas des polynômes : 1/x + 2 ; √x ; (x + 1)/(x − 2) (ces expressions ne sont pas des
sommes de monômes à exposants entiers naturels).
2. Égalité de deux polynômes
Propriété 1
Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont le même degré et les mêmes coefficients
pour chaque puissance de x. Ceci permet de déterminer des coefficients inconnus par
identification.
Exemple. Déterminer a, b, c pour que x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(ax² + bx + c) pour tout réel x.
On développe : (x − 1)(ax² + bx + c) = ax³ + (b − a)x² + (c − b)x − c. Par identification : a = 1 ; b − a
= −6 donc b = −5 ; c − b = 11 donc c = 6 ; et −c = −6 est bien vérifié. Donc x³ − 6x² + 11x − 6 = (x
− 1)(x² − 5x + 6).

Mathématiques – Première – Les polynômes
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3. Opérations sur les polynômes
La somme, la différence et le produit de deux polynômes sont des polynômes.
Propriété 2 (degré)
• deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q) (le degré peut baisser si les termes dominants s'annulent)
;
• deg(P × Q) = deg P + deg Q (si P et Q sont non nuls).
Exemple. Soit P(x) = 2x² − x + 3 et Q(x) = x − 4.
• P + Q = 2x² + 2 (degré 2).
• P − Q = 2x² − 2x + 7 (degré 2).
• P × Q = 2x³ − 8x² − x² + 4x + 3x − 12 = 2x³ − 9x² + 7x − 12 (degré 3 = 2 + 1).
4. Racine d'un polynôme
Définition 2 (racine)
Un réel a est une racine (ou un zéro) du polynôme P si P(a) = 0. Résoudre l'équation P(x) = 0,
c'est chercher les racines de P.
Exemple. P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6. On calcule P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0, P(−2) = −8 − 8 + 10 + 6 = 0
et P(3) = 27 − 18 − 15 + 6 = 0. Donc 1, −2 et 3 sont des racines de P.
Théorème 1 (théorème du reste et factorisation)
Soit P un polynôme et a un réel. Le reste de la division euclidienne de P(x) par (x − a) est le réel
P(a).
En particulier : a est racine de P ⇔ P(x) est divisible par (x − a), c'est-à-dire P(x) = (x − a)
Q(x), où Q est un polynôme de degré deg P − 1.
Conséquence. Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines réelles.
5. Division euclidienne
Théorème 2 (division euclidienne)
Soient A et B deux polynômes, B non nul. Il existe un unique couple de polynômes (Q ; R) tel
que :
A = B × Q + R avec deg R < deg B (ou R = 0).
Q est le quotient et R le reste. Si R = 0, on dit que A est divisible par B.
Technique de la « potence »
Pour diviser A(x) = 2x³ − x² + 3x − 1 par B(x) = x² + 1, on procède étape par étape :
• On divise le terme dominant de A par celui de B : 2x³ ÷ x² = 2x. On calcule 2x × (x² + 1) = 2x³
+ 2x, puis on soustrait de A : (2x³ − x² + 3x − 1) − (2x³ + 2x) = −x² + x − 1.

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• On recommence avec −x² + x − 1 : −x² ÷ x² = −1. On calcule −1 × (x² + 1) = −x² − 1, puis on
soustrait : (−x² + x − 1) − (−x² − 1) = x.
• Le degré de x est 1, inférieur à celui de B (2) : on s'arrête.
Résultat : quotient Q(x) = 2x − 1 et reste R(x) = x. Vérification : (2x − 1)(x² + 1) + x = 2x³ + 2x − x²
− 1 + x = 2x³ − x² + 3x − 1. ✓
6. Division par (x − a) : schéma de Horner
Pour diviser P(x) = aₙxⁿ + … + a₀ par (x − a), le schéma de Horner donne rapidement les coefficients
du quotient et le reste : on abaisse le premier coefficient ; ensuite, à chaque étape, on multiplie le
dernier résultat par a et on ajoute au coefficient suivant.
Exemple. Diviser P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 par (x − 1) (ici a = 1).
1
−6
11
−6
× a (a = 1)
1
−5
6
Résultat
1
−5
6
0
Le dernier nombre, 0, est le reste : P(1) = 0. Les autres nombres sont les coefficients du quotient :
P(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6).