Résumé du cours : Nombres complexes – Bac Maths | Mathématiques

Bac Maths
Résumé du cours : Nombres complexes
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Dénitions
Dénition 1
1) Il existe un ensemble , C,appelé ensemble des nombres complexes ? tel que i2=−1.
2) Tout nombre complexe zs’écrit sous la forme algébrique suivante : z=a+ib ou aet bsont
des réels as’appelle la partie réelle de z.On la note a=Re(z) et bs’appelle la partie
imaginaire de z.On la note b=Im(z)
3) L’écriture z=a+ib est applée forme algébrique de z.
Si b= 0 ⇔Im(z) = 0,ona :z=a,z est un réel.
Si a= 0 ⇔Re(z) = 0, ona :z=ib , on dit que zest un imaginaire pur (z∈iIR)
Dénition 2
Le plan Pest rapporté à un repère orthonormé direct (O;−→ u , −→ v).
1) ▶Soit M(a ,b)un point de P.On appelle axe de Mle nombre complexe noté aff(M)
ou zMtel que :aff (M) = zM=a+ib
▶M(a ,b)est le point image du nombre complexe z=a+ib.
x
x
−→
u
−→
v
O0 1 2 3−1
0
−1
1
2M(a+ib)
a
b
2) ▶Le plan est appelé le plan complexe
▶L’axe des abscisses est appelé axe des réels.
▶L’axe des ordonnés est appelé axe des imaginaires purs.
3) Pour tous points A(zA)et B(zB)du plan complexe on a :
▶le vecteur −−→
AB a pour axe aff(−−→ AB ) = Z−−→
AB =zB−zA
▶Le point I, milieu du segment [AB],a pour axe zI=zA+zB
2
Conjugué d’un nombre complexe
Dénition
Soit z=a+ib un nombre complexe , ou aet bsont des réels.
On appelle conjugué de zle nombre complexe z=a+ib =a−ib
1

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Propriétés
Soit zun nombre complexe qui s’écrit sous la forme algébrique z=a+ib alors on a :
1) z+z= 2a= 2Re(z)z−z= 2ib = 2iIm(z)
2) zest réel ⇔Im(z) = 0 ⇔z=z
zest imaginaire pur ⇔Re(z) = 0 ⇔z=−z
3) z.z =a2+b2=Re2(z) + Im2(z)∈IR+
Remarques
Le plan Pest rapporté à un repère orthonormé direct (O;−→ u , −→ v).
1) Le point M′(z)est le symétrique du point M(z)par rapport ł’axe des abscisses .
2) Équation cartésienne de la droite (D):ax +by +c= 0 ,(a,b)̸= (0,0)
3) Une équation cartésienne du cercle (φ)de centre I(a,b)et de rayon Rest :
(x−a)2+ (y−b)2=R2
4) L’ensemble des points M(x,y)vériant l’équation :x2+y2+ax +by +c= 0 est un
cercle de centre I(−a
2,−b 2)et de rayon R=√havec h=a2+b2 4−c > 0
Module d’un nombre complexe
Dénition
1 On appelle module d’un nombre complexe z=a+ib avec (a,b)∈IR2le réel positif
dénie par : |z|=√a2+b2=√z.z
Si Mest l’image de z, alors on a : |z|=OM =√a2+b2
2 Pour tous points Aet Bd’axes respectives zAet zBon a : AB =|zB−zA|
Remarques : L’ensemble de points M(z)tels que :
1) |z−zA|=R,R > 0⇔AM =Rest le cercle de centre Aet de
rayon R.
2) |z−zA|=|z−zB|⇔AM =BM est la médiatrice du seg-
ment [AB].
Argument d’un nombre complexe
2

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Dénition
Soit z=a+ib un nombre complexe non nul et Mson image dans
le plan complexe muni du repère orthonormé direct (O;−→ u , −→ v)
. On appelle argument de zet on le note arg(z),toute mesure ,
en radian de l’angle orienté (−→ u,−−→ OM).On a donc :
arg(z) =
\
(−→
u,−−→ OM)+ 2kπ =θ+ 2kπ ;k∈ZZ
ou bien \
(−→
u,−−−→ OM)≡θ[2π]
b
b
−→
u
−→
v
O
M(z)
|z|=OM
θ=arg(z)
a
b
Cas particuliers
1) Si zest un réel strictement positif alors arg(z) = 2kπ ,k∈ZZ ⇔arg(z)≡0[2π]
2) Si zest un réel strictement négatif alors arg(z) = π+ 2kπ ,k∈ZZ ⇔arg(z)≡π[2π]
3) Si z=ib avec b > 0alors arg(z) = π
2+ 2kπ ,k∈ZZ ⇔arg(z)≡π 2[2π]
4) Si z=ib avec b < 0alors arg(z) = −π
2+ 2kπ ,k∈ZZ ⇔arg(z)≡ −π 2[2π]
Propriétés
Soit zet z′deux nombres complexes non nuls , kun réel non
nul et n∈IN∗.
1) arg(z)≡ −arg(z)[2π],arg(−z)≡π+arg(z)[2π]
2) Si k > 0alors arg(kz)≡arg(z)[2π]
3) Si k < 0alors arg(kz)≡π+arg(z)[2π]
4) arg(zz′)≡arg(z) + arg(z′)[2π]arg(1
z)≡ −arg(z)[2π]
arg(z
z′)≡arg(z)−arg(z′)[2π]arg(zn)≡narg(z)[2π]
b
b
bb
−→
u
−→
v
O
M(z)
arg(z)
M′(z)
arg(z)
arg(−z)
M”(-z)
a
b
−b
−a
Forme exponentielle d’un nombre complexe
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Soitzun nombre complexe non nul, z=a+ib ,(a,b)∈IR2.En notant
rle module de zet θun argument de z, on a :
cos(θ) = a
r,sin(θ) = b ret z=a+ib =r(cos(θ)+isin(θ)). L’écri-
ture : z=r(cos(θ) + isin(θ)) = [r,θ]avec r > 0et θ∈IR est
appelée forme trigonométrique de z.ret θsont les coordonnées
polaires du point Md’axe z
b
b
−→
u
−→
v
O
M(z)
|z|=OM=r
θ=arg(z)
a
b
3

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Dénition ( Forme exponentielle d’un nombre complexe)
Pour tout θ∈IR , on pose cos(θ) + isin(θ) = eiθ
Soit z=r(cos(θ) + isin(θ)) = [r,θ]un nombre complexe non nul , l’écriture z=reiθ avec r
un réel strictement positif est la forme exponentielle de z
Propriétés
eiθ.eiθ′=ei(θ+θ′)(eiθ)n=einθ eiθ.eiθ′=ei(θ+θ′)
eiθ
eiθ′=ei(θ−θ′)1 eiθ =e−iθ e−iθ =cos(θ)−isin(θ)
Remarques
Si z=reiθ alors :
1) z=re−iθ −z=rei(θ+π)iz =rei(θ+π
2)−iz =rei(θ+π 2)zn=rneinθ
2) eiθ = [1,θ] 1 = ei0−1 = eiπ i=eiπ
2−i=e−iπ 2ei(θ+2kπ)=eiθ
Formule de Moivre
Pour tout réel θet n∈IN on a : (cos(θ) + isin(θ))n=cos(nθ) + isin(nθ)
Formule d’Euler
Pour tout réel θon a : cos(θ) = eiθ +e−iθ
2sin(θ) = eiθ −e−iθ 2i
Remarques
∀α∈IR et ∀β∈IR
eiα +eiβ =eiα+β
2(eiα−β 2+e−iα−β 2) = 2cos(α−β
2)eiα+β
2
eiα −eiβ =eiα+β
2(eiα−β 2−e−iα−β 2) = 2isin(α−β
2)eiα+β
2
4