Différenciation Définition Une fonction 𝑓est différentiable (ou dérivable) en un point 𝑎, si sa dérivée 𝑓 ′ 𝑎 existe. Autrement dit, la pente de la tangente à la courbe 𝑦 = 𝑓 𝑥 au point 𝑥 = 𝑎, est bien définie. 𝑓′ 𝑎 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎 = lim 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 Interprétation graphique La dérivée représente la pente de la tangente à la courbe. Si cette pente n’existe pas, la fonction n’est pas différentiable en ce point. Cas où la dérivée n’existe pas Tes notes illustrent trois situations : Discontinuité : la courbe est interrompue (saut ou trou). Point anguleux : la courbe change brusquement de direction (ex. ∣𝑥∣ en 𝑥=0). Tangente verticale : la pente devient infinie. Exemple 𝑔 𝑥 =∣ 𝑥 ∣ • • Pour 𝑥 > 0, 𝑔′ 𝑥 = 1 Pour 𝑥 < 0, 𝑔′ 𝑥 = −1 Les pentes à gauche et à droite de 0 sont différentes, donc non dérivable en 0. Taux liés (applications de la dérivation en chaîne) Principe Les taux liés étudient comment deux ou plusieurs variables qui dépendent du temps 𝑡 varient ensemble. On utilise la règle de la chaîne : 𝑑𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = ⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑡 Étapes de résolution (selon tes notes) 1. Identifier les variables et leurs taux de variation (avec unités). 2. Établir l’équation qui relie les variables. 3. Dériver par rapport au temps 𝑡. 4. Substituer les valeurs connues pour trouver le taux recherché. Exemple de tes notes Une piscine cylindrique de diamètre 7,32 m se remplit à 1,2 m³/h. On cherche la vitesse d’augmentation du niveau d’eau h. Formule du volume : V=πr^2 h Dérivée par rapport au temps : dV/dt=πr^2 dh/dt On isole : dh/dt=1.2/(π(3.66)^2 )≈0.0285 m/h Le niveau monte à 0,0285 m/h (≈ 2,85 cm/h).
