Fonctions Trigonométriques - Cours de Mathématiques

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1!
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Rappels du cours de 1ère en vidéo : https://youtu.be/wJjb3CSS3cg
Partie 1 : Cosinus, sinus et cercle trigonométrique
1) Définitions et propriétés
Exemple :
A l’aide du cercle trigonométrique, il est
possible de lire le cosinus et le sinus d’un
nombre.
Le cosinus se lit sur l’axe des abscisses et
le sinus sur l’axe des ordonnées.
Définitions : Soit M le point du cercle trigonométrique associé au nombre
!
(qui est un angle
orienté).
- Le cosinus de
!
est l’abscisse de M et on note
"#$%!&
.
- Le sinus de
!
est l’ordonnée de M et on note
$'()%!&
.

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2!
Propriétés :
1)
*+,-./%!&,+
et
*+,01-%!&,+
2)
01-!%!&2-./!%!&3+
3) Valeurs remarquables des fonctions cosinus et sinus :
Vidéo : https://youtu.be/ECNX9hnhG9U
x
0
4
5
4
6
4
7
4
8
4
01-%!&
1
97
8
98
8
+
8
0
-1
-./%!&
0
+
8
98
8
97
8
1
0
Méthode : Résoudre une équation et une inéquation trigonométrique
Vidéo https://youtu.be/p6U55YsS440
Vidéo https://youtu.be/PcgvyxU5FCc
Vidéo https://youtu.be/raU77Qb_-Iw
1) Résoudre dans
:
l'équation :
01-!%!&3
!
"
.
2) Résoudre dans ;
*4)<)4
=, l’inéquation :
-./%!&,
"
3
2
.

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3!
Correction
1)
01-!%!&3
!
"
01-!%!&*
!
"
3>
01-!%!&*
?@
+
8
A
!3>
01-!%!&*
B9
8
8
C
!3>
En effet : !
!
"3!
√
"3!×
√
"
√
"×
√
"3
√
"
"
Soit :
B
01-%!&*
9
8
8
CB
01-%!&2
9
8
8
C
3>
01-%!&3
9
8
8)1D)01-%!&3*
9
8
8
Soit :
E
!34
628F#4G))))F#HI)))))
!3*4
628F!4G))))F!HI))))))1D)))))
E
!374
628F$4G))))F$HI)))))
!3*74
628F%4G))))F%HI
J3
K
4
62F4 8GFHI
L
2)
-./%!&,
"
3
2
- On commence par résoudre l’équation
-./%!&3
"
3
2
dans ;
*4)<)4
=
M
Soit :
!3𝜋
3
ou
!32𝜋
3
.
- On veut des valeurs de sinus inférieures à √
(
"
.
Elles correspondent à la partie du cercle
trigonométrique située en dessous des points
associés à
)
(
et
")
(
.
Ainsi :
J3
N
*4)<)4
7
O
P
Q
84
7)<)4
R

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4!
Partie 2 : Propriétés des fonctions cosinus et sinus
1) Définitions
Définitions :
- La fonction cosinus est la fonction définie sur
:
qui, à tout réel
!
, associe
01-)%!&
.
- La fonction sinus, est la fonction définie sur
:
qui, à tout réel
!
, associe
-./)%!&
.
Fonction cosinus
Fonction sinus
2) Périodicité
Propriétés : 1)
01-%!&301-
%
!28F4
& où
F
entier relatif.
2)
-./%!&3-./)
%
!28F4
& où
F
entier relatif.

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5!
Démonstration : Aux points de la droite orientée d'abscisses
!
et
!28F4
, on fait
correspondre le même point du cercle trigonométrique.
Remarque :
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période
ST
.
Cela signifie qu’on retrouve le même morceau de courbe sur chaque intervalle de longueur
2
4
.
3) Parité
Définitions : - Une fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
est une fonction paire.
- Une fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère est une
fonction impaire.
Remarques :
- Pour une fonction paire, on a :
U
%
*!
&
3U
%
!
&.
- Pour une fonction impaire, on a :
U
%
*!
&
3*U
%
!
&.
Ce sont ces résultats qu’il faudra vérifier pour prouver qu’une fonction est paire ou impaire.
Propriétés :
- La fonction cosinus est paire et on a :
01-
%
*!
&
301-%!&
- La fonction sinus est impaire et on a :
-./
%
*!
&
3*-./%!&