Fiche d'exercices N°1 – Séries Numériques CPES 2

CPES 2
FICHE D’EXERCICES N°1 – LES SERIES NUMERIQUES
Exercice 1
( )
1) Soit 𝑥 ∈ ℝ\ℕ. Montrer la convergence de la série ∑
.
2) Soit ∑ 𝑢 une série à termes positifs convergente.
Montrer que la série ∑ 𝑢 est convergente.
3) Justifier la convergence de la série ∑
et calculer sa somme.
(
Exercice 9
Partie A
1. Montrer que pour tout réel 𝑥 ∈ ]0; 1[, 𝑒 ≤
.
On admet que pour tout réel 𝑥, 𝑒 ≥ 1 + 𝑥.
2. Déduire des deux inégalités précédentes que pour tout réel 𝑦 > 1,
ln
≤ ≤ ln
.
)
Exercice 2
Soit 𝑞 ∈ ℝ avec |𝑞 | < 1. Calculer la somme de la série double 𝑆 = ∑
𝑞 .
∑
3. Déterminer la limite de la suite (𝑢 ) définie pour 𝑛 ∈ ℕ∗ par : 𝑢 = ∑
Exercice 3
On considère un nombre réel 𝜆 strictement positif.
Montrer que la série de terme général 𝑒
est convergente et verifier que :
𝑒
=(
.
∑
)(
)
4. Que peut-on en déduire pour la série ∑
1. Justifier que : ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , ∑
=∑
(
−∑
∗
)
.
.
2. Déterminer deux réels α et β tels que : ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑎 = +
!
.
?
Partie B
Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, on pose 𝑎 =
Exercice 4
Justifier la convergence des séries dont on donne le terme général et calculer leur somme.
(
)
(
)
𝑢 =
𝑣 =
𝑤 =
𝑥 =
!
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Exercice 8
Soit (𝑢 ) la suite définie par 𝑢 = et pour tout 𝑛 ∈ ℕ par la relation de récurrence :
𝑢
=𝑢 −𝑢 .
1. a. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on a 𝑢 ∈ ]0; 1].
b. Montrer que la suite (𝑢 ) est décroissante.
c. Montrer que la suite (𝑢 ) converge vers 0.
2. Montrer que la série ∑ 𝑢 est convergente.
.
∗
Exercice 5
On pose 𝑢 = ∑
(
)! !
3. En déduire que : ∀𝑛 ∈ ℕ , ∑
𝑎 = 2∑
.
4. En déduire que la série de terme général 𝑎 converge et calculer alors ∑
.
Exercice 10
Pour tout entier 𝑛 supérieur ou égal à 1, on définit la fonction 𝑓 par :
∀𝑥 ∈ ℝ , 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 9𝑥 − 4.
1) a) Montrer que l’équation 𝑓 (𝑥) = 0 n’a qu’une seule solution 𝑢 > 0.
b) Calculer 𝑢 et 𝑢 .
c) Vérifier que ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑢 ∈ 0; .
2) a) Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ]0; 1[, on a 𝑓 (𝑥 ) < 𝑓 (𝑥).
b) En déduire le signe de 𝑓 (𝑢 ), puis les variations de la suite (𝑢 ).
c) Montrer que la suite (𝑢 ) est convergente. On note ℓ sa limite.
3) a) Déterminer la limite de (𝑢 ) lorsque 𝑛 tend vers +∞.
b) Donner enfin la valeur de ℓ.
4) a) Montrer que la série de terme général − 𝑢 est convergente.
Justifier la convergence de la série de terme général 𝑢 et calculer sa somme.
Exercice 6
Étudier la convergence de la série de terme général 𝑢 dans les cas suivants :
a) 𝑢 =
c) 𝑢 =
e) 𝑢 =
(
b) 𝑢 =
)
d) 𝑢 =
f) 𝑢 = 𝑛 ln 𝑛
Exercice 7
On considère la série numérique ∑
.
On note 𝑆 la 𝑁 somme partielle de cette série.
1) Déterminer la monotonie de la suite (𝑆 )
2) Justifier que ∀𝑛 ≥ 0, on a
≤𝑒 .
3) En déduire que ∀𝑁 ≥ 0, on a 𝑆 ≤
4) Montrer que la série ∑
(
.
)
𝑎 .
.
converge et que ∑
≤
.
1
2
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Exercise 11
The series ∑
(
)
is called series of Mengoli.
Prove that this series converges, using two different methods.
Exercise 12
Prove that the series ∑
converges and find its sum.
Exercise 13
Prove that the series ∑
diverges.
Exercise 14
Show that the series whose general term is 𝑢 = √𝑛 + 1 − √𝑛, diverges although
lim 𝑢 = 0.
→
3