CPES 2
1
FICHE D’EXERCICES N°1 – LES SERIES NUMERIQUES
Exercice 1
1) Soit 𝑥 ∈ ℝ\ℕ. Montrer la convergence de la série ∑()
.
2) Soit ∑𝑢 une série à termes positifs convergente.
Montrer que la série ∑𝑢
est convergente.
3) Justifier la convergence de la série ∑
()
et calculer sa somme.
Exercice 2
Soit 𝑞 ∈ ℝ avec |𝑞|< 1. Calculer la somme de la série double 𝑆 = ∑ ∑ 𝑞
.
Exercice 3
On considère un nombre réel 𝜆 strictement positif.
Montrer que la série de terme général 𝑒 est convergente et verifier que :
∑𝑒 =
()().
Exercice 4
Justifier la convergence des séries dont on donne le terme général et calculer leur somme.
𝑢
=
(
)
𝑣
=
(
)
𝑤
=
!
𝑥
=
!
Exercice 5
On pose 𝑢=∑
()!!
.
Justifier la convergence de la série de terme général 𝑢 et calculer sa somme.
Exercice 6
Étudier la convergence de la série de terme général 𝑢 dans les cas suivants :
a) 𝑢=
b) 𝑢=
c) 𝑢=
()
d) 𝑢=
e) 𝑢=
f) 𝑢= 𝑛ln𝑛
Exercice 7
On considère la série numérique ∑
.
On note 𝑆 la 𝑁 somme partielle de cette série.
1) Déterminer la monotonie de la suite (𝑆).
2) Justifier que ∀𝑛 ≥ 0, on a
≤ 𝑒.
3) En déduire que ∀𝑁 ≥ 0, on a 𝑆≤()
.
4) Montrer que la série ∑
converge et que ∑
≤
.
CPES 2
2
Exercice 8
Soit (𝑢) la suite définie par 𝑢=
et pour tout 𝑛 ∈ ℕ par la relation de récurrence :
𝑢 = 𝑢− 𝑢.
1. a. Montrer que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on a 𝑢∈]0;1].
b. Montrer que la suite (𝑢) est décroissante.
c. Montrer que la suite (𝑢) converge vers 0.
2. Montrer que la série ∑𝑢
est convergente.
Exercice 9
Partie A
1. Montrer que pour tout réel 𝑥 ∈ ]0;1[, 𝑒≤
.
On admet que pour tout réel 𝑥, 𝑒≥ 1 + 𝑥.
2. Déduire des deux inégalités précédentes que pour tout réel 𝑦 > 1,
ln
≤
≤ ln
.
3. Déterminer la limite de la suite (𝑢) définie pour 𝑛 ∈ ℕ∗ par : 𝑢=∑
.
4. Que peut-on en déduire pour la série ∑
?
Partie B
Pour tout entier naturel 𝑛 non nul, on pose 𝑎=
().
1. Justifier que : ∀𝑛 ∈ ℕ∗, ∑
=∑
−∑
.
2. Déterminer deux réels α et β tels que : ∀𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑎=
+
.
3. En déduire que : ∀𝑛 ∈ ℕ∗, ∑𝑎
= 2∑
.
4. En déduire que la série de terme général 𝑎 converge et calculer alors ∑𝑎
.
Exercice 10
Pour tout entier 𝑛 supérieur ou égal à 1, on définit la fonction 𝑓 par :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥)= 𝑥+ 9𝑥− 4.
1) a) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥)= 0 n’a qu’une seule solution 𝑢> 0.
b) Calculer 𝑢 et 𝑢.
c) Vérifier que ∀𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑢∈0;
.
2) a) Montrer que, pour tout 𝑥 ∈ ]0;1[, on a 𝑓(𝑥)< 𝑓(𝑥).
b) En déduire le signe de 𝑓(𝑢), puis les variations de la suite (𝑢).
c) Montrer que la suite (𝑢) est convergente. On note ℓ sa limite.
3) a) Déterminer la limite de (𝑢
) lorsque 𝑛 tend vers +∞.
b) Donner enfin la valeur de ℓ.
4) a) Montrer que la série de terme général
− 𝑢 est convergente.
CPES 2
3
Exercise 11
The series ∑
()
is called series of Mengoli.
Prove that this series converges, using two different methods.
Exercise 12
Prove that the series ∑
converges and find its sum.
Exercise 13
Prove that the series ∑
diverges.
Exercise 14
Show that the series whose general term is 𝑢=√𝑛 + 1 − √𝑛, diverges although
lim
→ 𝑢= 0.
1
/
2
100%
