Physique-Chimie 2ème Bac Sciences Mathématiques

Physique-Chimie
2ème année baccalauréat
Option : Sciences mathématiques
Auteur :
Mohamed El Founani
À mes parents
Lahoucine et Khadija.
Table des matières
I
La Physique :
6
L’analyse dimensionnelle :
7
Les ondes mécaniques progressives :
8
Les ondes mécaniques progressives périodiques :
10
Propagation d’onde lumineuse :
14
La décroissance radioactive :
18
Noyaux, masse et énergie :
25
Le dipôle RC :
29
Le dipôle RL :
40
Le dipôle RLC :
48
Les oscillations forcées dans un circuit RLC série :
57
Production d’ondes électromagnétiques et communication :
64
La modulation d’amplitude :
66
Les lois de Newton :
73
La chute verticale :
83
Les mouvements plans :
87
Mouvement des satellites et des planètes :
94
Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe :
99
Mouvements oscillants - Aspects énergétiques :
102
L’atome et mécanique de Newton :
123
II
La Chimie :
127
Rappel sur la chimie :
128
Le suivie temporel d’une transformation chimique :
132
Les transformations chimiques s’effectuant dans les deux sens :
137
État d’équilibre d’un système chimique :
140
Les transformations liées aux réactions acido-basiques :
143
4
Dosage acido-basiques :
150
Les transformations spontanées dans les piles et récupération de l’énergie :
153
Les transformations forcées (électrolyse) :
156
Les réactions d’estérification et d’hydrolyse :
158
Contrôle de l’évolution d’un système chimique :
163
5
Première partie
La Physique :
6
L’analyse dimensionnelle :
L’analyse dimensionnelle, est l’une des techniques indispensables pour un physicien, il nous permet de vérifier l’homogénéité
d’une relation mathématique, qui traduit un phénomène physique, à partir d’une équation appelée équation de
dimension, cette dernière interviennent sept grandeurs physiques (grandeurs fondamentales), pour décomposer la
grandeur étudiée (grandeur dérivée).
La grandeur fondamentale
Symbole de dimension
unité dans SI
La longueur
L
Mètre (m)
La masse
M
Kilogramme (Kg)
Le temps
T
Seconde (s)
L’intensité du courant
I
Ampère (A)
La température
Θ
Kelvin (K)
La quantité de matière
N
Mole (mol)
L’intensité lumineuse
J
Candela (Cd)
L’équation de dimension :
La dimension de toute les grandeurs dérivées sont composée de les sept grandeurs citées précédemment (pour notre
niveau les premiers quatre dimensions), tel que :
[G] = Lα .Mβ .Tγ .Iδ
Où (α, β, γ, δ) ∈ R4 .
Par application de cette équation on peut déduire la dimension composée de toutes les grandeurs physiques. Par
exemple :
Généralement on définit la force par la relation suivante :
F =
m.v
t
Donnons la dimension de F :
M.[v]
T
ML
=
TT
= M.L.T−2
[F ] =
C’est la dimension de la force, on peut par suite déduire l’unité du Newton : N=Kg.m.s−2 .
La vitesse d’une onde de masse m et de longueur l, crée par une force d’intensité F est donnée par :
r
l.F
v=
m
L1/2 .[F ]1/2
M1/2
1/2
= L .M1/2 .L1/2 .T−1 .M−1/2
[v] =
= L.T−1
7
Les ondes mécaniques progressives :
Définition d’une onde mécanique :
Onde mécanique : C’est le phénomène de propagation d’une perturbation dans un milieu matériel sans transport
de la matière, mais avec le transport de l’énergie.
Milieu matériel élastique : (compressible et expansible) S’il est capable de reprendre sa forme initiale après avoir
subit le passage d’une onde.
Les différents types d’ondes :
Onde transversale : Une onde est dite transversale si le vecteur de déplacement ⃗u est perpendiculaire à la direction
de propagation d’onde (le vecteur vitesse ⃗v ) ⃗u ⊥ ⃗v .
Comme l’onde le long d’une corde ou à la surface de l’eau.
⃗v
⃗u
Direction de propagation
⃗u est le vecteur de déplacement et ⃗v est le vecteur vitesse
Onde longitudinale : Une onde est dite longitudinale, si la direction de déplacement est parallèle à celle de
propagation de l’onde c’est à dire ⃗u k ⃗v .
Comme l’onde le long d’un ressort ou l’onde sonore.
⃗v
⃗u
Direction de propagation et déplacement
Propriétés des ondes mécaniques :
Dimension d’onde : Une onde mécanique se propage à partir de la source dans toutes les directions qui lui sont
offertes.
L’onde à une dimension : si elle se propage selon un axe depuis sa source, à titre d’exemple le ressort.
L’onde à deux dimensions : si elle se propage selon deux axes depuis sa source, comme l’onde à la surface de l’eau.
L’onde à trois dimensions : si elle se propage selon trois axes (L’espace (x, y, z)) depuis sa source, par exemple
l’onde sonore.
Superposition d’ondes : Lorsque plusieurs ondes de propagent dans la même région, elles se propagent en conservant
leur intégrité, c-à-d leurs amplitudes s’ajoutent algébriquement, puis elles s’éloignent sans être altérées.
8
a1
a2
a1 + a2
Réflexion : En réalité, le milieu dont l’onde se propage à partir d’une source S n’est jamais limité, quand une onde
arrive à l’extrémité d’une corde on remarque qu’elle se propage en sens inverse.
Célérité : Une onde mécanique se propage à vitesse constante dans un milieu donnée par :
v=
d
∆t
Où v est la vitesse en m.s−1 , d est la distance parcourue en m et ∆t = tf − ti la durée en s.
Les facteurs influençant la vitesse : La célérité d’une onde ne dépend que du milieu (sa densité, température...)
et jamais de l’amplitude ou de la durée.
La vitesse de propagation d’une onde le long d’une corde peut être exprimée comme :
s
F
v=
µ
m
.
l
Le retard temporel : Lorsque l’onde atteint un point M à un instant tM , puis un point M ′ , on dit que M ′ reproduit
MM′
le mouvement de M avec un retard τ = tM − tM ′ , la relation entre le retard τ et la distance M M ′ est τ =
.
v
′
M reproduit le mouvement de M après τ et on dit :
Où F la tension de la corde en N et µ la masse linéaire en g.m−1 , µ =
YM ′ (t) = YM (t − τ ) ; YM (t) = YM ′ (t + τ )
M (t − τ )
•M
•M
•
•
′
M ′ (t)
9
Les ondes mécaniques progressives
périodiques :
L’onde mécanique progressive périodique :
Définition : Une onde progressive est dite périodique si l’évolution temporelle de chaque point du milieu de propagation
est périodique.
• Elle se caractérise par une périodicité temporelle (Période T ) : La durée minimale nécessaire pour qu’un point
du milieu retrouve le même état de vibration.
• Elle se caractérise aussi par une périodicité spatiale (Longueur d’onde λ) : La distance constante séparant deux
motifs identiques consécutifs.
y
T
t(s)
y
λ
x(m)
λ
Onde sinusoïdale :
Une onde mécanique progressive périodique est dite sinusoïdale si l’évolution temporelle de la source peut être associée
à une fonction sinusoïdale.
Caractéristiques de l’onde sinusoïdale :
Longueur d’onde λ :
La distance constante qui sépare deux perturbations.
La distance parcourue pendant un intervalle de temps égale à la période T .
La distance qui sépare deux crêtes consécutifs ou entre deux creux.
La distance entre deux points qui vibrent de la même manière à un instant donné.
La période T :
La durée nécessaire pour parcourir une distance λ.
La durée séparant l’arrivée de deux points successives en un point.
La vitesse de propagation :
10
La vitesse de propagation est donnée par la relation suivante :
v=
d
∆t
v=
λ
T
On ajoute une autre relation :
Or T =
1
alors la relation devient :
f
v =λ×f
Remarque : On sait que :
v=
d
λ
=
∆t
T
Donc :
d
∆t
=
= k Cte
λ
T
Le nombre k est le nombre de répétition de λ dans d, ou bien de T dans ∆t.
Comparaison du mouvement de deux points :
On considère 2 points M1 et M2 d’un milieu à une dimension (corde, ressort...).
On dit que M1 et M2 vibrent en phase :
y
λ
•
M1
•
M2
x
Entre M1 et M2 il s’agit d’une distance, c-à-d M1 M2 = d, cette distance peut être exprimé en fonction de λ : d = k.λ
avec k est le nombre précisé ultérieurement (k ∈ Z∗ ).
Les deux points M1 et M2 vibrent au même instant et de la même manière Y (M1 ) = Y (M2 ).
y
M1
•
λ × 21
x
•
M2
On dit que M1 et M2 vibrent en opposition de phase si :
λ
Ils vibrent en opposition de phase, c-à-d : Y (M1 ) = −Y (M2 ). La distance d égale à : d = (2k + 1)
2
Donc :
Si k est un nombre entier, alors les points vibrent en phase.
Si k est un nombre décimal, alors les points vibrent en opposition de phase.
11
Sur un oscilloscope le retard temporel τ peut être exprimé en fonction de division et le balayage : τ = VH .x, où VH
balayage horizontal et x le nombre de divisions.
Le phénomène de diffraction :
Une plane périodique rencontre un obstacle ou une fente d’épaisseur a :
On distingue deux cas :
Figure 1
Figure 2
λ
λ
La fente a
λ
λ
Dans la figure 1 on a a > λ, on remarque que l’onde traverse la fente sans changer la forme, fréquence, vitesse,
seulement une partie bloquée. L’onde est dite diaphragmée.
Dans la figure 2 on a a ≤ λ, on remarque le changement de la forme de l’onde, elle devient circulaire, mais elle conserve
la fréquence, la période, la longueur λ et la vitesse. L’onde est dite diffractée.
Définition :
Le phénomène, qui subit la partie de l’onde plane qui traverse la fente fine a (Figure 2), est appelé le phénomène de
diffraction.
L’onde se diffracte si et seulement si a ≤ λ. Cette dernière conserve la célérité, la longueur d’onde, la fréquence et par
conséquent la période. Ce phénomène est plus notable lorsque a est plus petite que λ, autrement a <<< λ.
Étude stroboscopique des phénomènes ondulatoires :
Le stroboscope est un appareil qui émet des éclairs brefs de fréquence fe réglable, cet appareil est utilisé afin d’étudier
les phénomènes ondulatoires entretenus, et déterminer leurs fréquences f .
12
Cas 1 : L’immobilité apparente :
e3
1
f=
T
•
e2
e1
Lorsque : f = k.fe où k ∈ {1, 2, 3, ...}, on observe l’onde
entretenue en immobilité apparente.
La fréquence maximale des éclairs est atteinte lorsque k = 1
on aura donc f = fe .
Disons alors que la fréquence de l’onde progressive est égale
à la fréquence maximale des éclairs pour laquelle on observe
l’immobilité apparente du phénomène.
Cas 2 : Mouvement ralenti apparent :
Lorsque la fréquence des éclairs fe diffère peu de la fréquence f du phénomène, on observe un mouvement ralenti
apparent de l’onde progressive entretenue de fréquence apparente fa ,
tel que fa = f − fe :
a) Si f > fe =⇒ fa > 0 alors le mouvement ralenti apparent de l’onde progressive entretenue est dans le sens
direct, c’est-à-dire dans le sens réel de propagation.
b) Si f < fe =⇒ fa < 0 alors le mouvement ralenti apparent de l’onde progressive entretenue est dans le sens
inverse de celui de propagation.
Milieu dispersif :
Un milieu est dit dispersif si la vitesse de propagation de l’onde dépend de sa fréquence.
Exemples :
La surface de l’eau est un milieu dispersif.
l’air est un milieu non-dispersif pour les ondes sonores.
13
Propagation d’onde lumineuse :
Rappel sur la réflexion et réfraction :
Réflexion :
La réflexion : est la déviation d’un rayon lumineux en suivant une direction bien déterminée, lorsque ce rayon arrive
sur une surface réfléchissante.
Cette déviation se fait dans le même milieu d’où provient le rayon incident.
N
Rayon
Rayon
incident
réfléchi
Les lois de Descartes :
Loi 1 : le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale sur
la surface au point d’incidence sont situés sur le même plan.
Loi 2 : L’angle d’incidence et l’angle de réflexion sont
égaux : i = r
r
i
Surface
réfléchissante
I
Réfraction :
La réfraction : est le changement de direction que subit un rayon lumineux lorsqu’il traverse la surface qui sépare
deux milieux différents, transparents et homogènes.
On appelle la surface qui sépare les deux milieux : surface réfringente.
Le rayon incident forme avec la normale au point d’incidence une angle dite angle d’incidence i.
Le rayon réfracté forme avec la normale au point d’incidence une angle dite angle de réfraction r.
Milieu 1
n1
Milieu 2
n2
Rayon
réfracté
N
I
r
i
Les lois de Descartes :
Loi 1 : Le rayon incident, le rayon réfracté et
la normale sur la surface réfringente au point
d’incidence sont situés sur un même plan.
Loi 2 :
n1 sin i = n2 sin r
avec ni l’indice du milieu i.
Rayon
incident
Surface réfringante
14
Phénomène de diffraction de la lumière :
Expérience :
Laser
D
Lorsqu’un rayon lumineux rencontre une fente fine, la lumière ne se propage plus en une ligne droite. Elle est diffractée
par la fente dans un plan perpendiculaire à son axe. On obtient des tâches sur l’écran.
Définition :
La diffraction : est le phénomène au cours duquel une onde qui traverse une petite ouverture ou rencontre un petit
objet change de direction sans modification des propriétés de l’onde (la fréquence, la période et la longueur d’onde).
Ce phénomène est d’autant plus important lorsque la fente a est faible.
De cette expérience on peut déduire que la lumière a un aspect ondulatoire, c’est une onde électromagnétique qui se
propage dans les milieux transparents et le vide.
Propriétés des ondes lumineuses :
Onde lumineuse monochromatique :
. La lumière blanche est une lumière polychromatique.
. La lumière monochromatique est celle qui ne peut pas être décomposée par le prisme, à titre d’exemple le rayonnement
laser.
. Une onde lumineuse monochromatique est une onde progressive sinusoïdale caractérisée par :
. La fréquence ν et la période T imposées par la source de l’onde.
. La vitesse v qui dépend du milieu dans lequel l’onde se propage.
Célérité de la lumière :
. La vitesse de la lumière dans le vide est c ≈ 3 × 108 m/s.
. Dans un milieu matériel, l’onde lumineuse se propage avec une vitesse v tel que v < c.
. On définit l’indice de réfraction n dans un milieu transparent pour une lumière monochromatique par la relation :
n=
c
v
D’où le rapport n est sans dimension.
La fréquence ν et la longueur d’onde λ :
. La couleur de la lumière monochromatique dépend de la fréquence.
. L’onde lumineuse monochromatique est caractérisée par sa fréquence ν qui ne dépend pas du milieu de propagation.
. On exprime la longueur d’onde λ0 de la lumière monochromatique dans le vide par la relation :
λ0 = c × T =
c
ν
15
. Dans un milieu matériel, on exprime la longueur d’onde λ de la lumière par
λ=c×T =
v
ν
. La longueur d’onde λ de la lumière monochromatique de fréquence ν, dépend de la nature du milieu de propagation.
Domaine des ondes lumineuse visibles :
Le domaine de la lumière visible est celui dont la longueur d’onde est compris entre 400nm et 800nm (400nm ≤ λ ≤
800nm).
Diffraction d’une onde monochromatique :
L’écart angulaire θ :
l=
a
θ
L
2
L
D
La direction de la fente est perpendiculaire à la direction des tâches lumineuses :
L
D’après le schéma on a : tan θ =
, or dans ce cas θ est faible alors tan θ ≈ θ, donc :
2D
θ=
L
2D
16
θ
∆θ
a−1
∆a−1
On a θ ∝ a−1 , et d’après l’allure de la courbe ci-dessus, on peut déduire que :
θ = k.
1
a
Où k est la longueur d’onde (On peut la déduire d’après l’homogénéité de la relation)
k=λ=
Par suite :
θ=
∆θ
∆a−1
λ
L
=
a
2D
La condition de diffraction : 10λ ≤ a ≤ 100λ.
Dispersion de la lumière blanche par un prisme :
Le prisme dévie et décompose la lumière blanche, c’est le phénomène de la dispersion de la lumière blanche.
L’ensemble des couleurs obtenus constitue le spectre de la lumière blanche.
Les relations du prisme :
A
i1
r1
r2
i2
A
Lorsqu’un rayon lumineux atteint la face plane d’un prisme, il subit deux réfractions.
À partir les lois de Descartes on en déduit les relations suivantes :
sin i1 = n sin r1
sin i2 = n sin r2
Et en utilisant la géométrie élémentaire, on peut déduire les relations suivantes :
A = r1 + r2
D = i1 + i2 − A
17
La décroissance radioactive :
Stabilité et instabilité des noyaux :
Composition du noyau :
Le noyau d’un atome est constitué de protons et neutrons, l’ensemble de ces deux types de particules sont appelées :
nucléons.
Proton : Découvert en 1910 par Rutherford.
Le nombre de protons d’un noyau est le numéro atomique ou nombre de charge désigné par Z. Cette particule est
chargée positivement dont sa charge égale à celle de la charge élémentaire qp = e = 1, 6 × 10−19 C, et une masse
mp = 1, 67 × 10−27 Kg.
Neutron : Découvert en 1933 par Chadwick.
Le nombre de neutron d’un noyau est noté N. Le neutron est neutre c’est-à-dire sa charge est nulle qn = 0C, avec une
masse sensiblement égale à celle du proton, mn = mp = 1, 67 × 10−27 Kg.
Remarque amusante : Le quotient de la masse du proton et celle d’électron est :
mp
≈ 6π 5
me
Nombre de masse : Les nucléons sont : Protons + Neutrons, donc le nombre de nucléons A = Z+N on l’appelle
aussi nombre de masse.
On peut déduire que : N = A − Z.
Le noyau est noté : AZX, où X est le symbole de l’élément.
Dimensions d’un noyau :
1
Le rayon nucléaire est proportionnel à A 3 :
R = 1, 4 × 10−15 A 3 (SI)
1
Et le volume d’un noyau est :
V=
4 3
πR
3
Donc : V ∝ A
Nucléide : est l’ensemble des entités ayant même numéro atomique Z et même nombre de masse A.
Isotopes :Les nucléides isotopes ont le même nombre de protons mais différent par leur nombre de neutrons, ils n’ont
pas les mêmes nombre de masse A.
63
∗
∗
Par exemple : 29
Cu et 65
29Cu , on a : A = N + Z ⇔ N = A − Z, donc Cu possède 34 neutrons, et Cu 36 neutrons.
Masse du noyau : la masse atomique, de symbole u est par définition le douzième de l’atome de carbone 126C :
1
m 126C .
u=
12
Or :
M (C)
m 126C =
≈ 2 × 10−26 Kg
NA
Alors : u = 1, 66 × 10−27 Kg.
En physique nucléaire il est recommandé d’exprimer les masses en MeV/c2 .
1u = 931, 5 MeV.c−2 .
18
Stabilité d’un noyau :
On explique la cohésion d’un noyau par l’existence des forces attractives entre les nucléons. Cette force est très intense,
on l’appelle : L’interaction forte.
Grâce à cette force on peut trouver deux protons chargés positivement proches l’un de l’autre, alors qu’ils doivent subir
à la répulsion électrostatique. Cependant, on trouve des nucléides instables qui peuvent se désintégrer spontanément,
on les appelle : Les nucléides radioactifs.
Si l’on reporte sur un graphique le nombre de neutrons N en fonction du nombre de protons Z, on obtient le diagramme
suivant, qu’on l’appelle diagramme de Segré ou diagramme (N-Z) :
Le diagramme de Segré nous permet de reconnaitre les noyaux stables, on a au voisinage de la droite N = Z les noyaux
stables, c’est-à-dire ceux dont le nombre de protons Z est inférieur à 20.
La radioactivité :
La radioactivité est une désintégration naturelle d’un noyau instable en un noyau plus stable avec l’émission de
particules qui forment des radiations actives.
Un noyau instable (noyau radioactif) se désintègre spontanément en donnant un noyau différent et en émettant des
particules et souvent un rayonnement.
A
A′
A′′
Z X −→Z′ Y +Z′′ x
′
′′
A
A
Où A
Z X est le noyau père, Z′ Y le noyau fils Z′′ x est la particule émise.
′′
4
. Si A
Z′′ x =2 He le type de désintégration est α.
A′′
. Si Z′′ x =−10 e le type de désintégration est β − .
′′
0
+
. Si A
Z′′ x =1 e le type de désintégration est β .
Lois de conservation de Soddy :
Au cours d’une réaction nucléaire, il y a :
. Conservation de la charge électrique.
. Conservation du nombre de nucléons.
A′′
A
A′
Z X −→Z′ Y +Z′′ x
Donc :
(
A = A′ + A′′
Z = Z′ + Z′′
19
La radioactivité α :
Les noyaux massifs sont instables, cette instabilité est due à un excès de nucléons, ils se désintègrent en émettant un
noyau d’Hélium 42 He.
L’équation représentative de la désintégration est :
∗
A−4
A
4
Z X −→Z−2 Y +2 He
N
A
ZX
N•
α
N − 2•
A−4
Z−2 Y
•
Z−2
•
Z
Z
Remarque : Cette désintégration est valable pour les noyaux lourds dont A ≥ 195.
Le noyau fils Y correspond à l’élément situé deux cases avant celle de l’élément père X dans le tableau de la classification
périodique.
La radioactivité β − :
Les noyaux situés au dessus du domaine de stabilité, possèdent trop de neutrons par rapport au nombre de protons,
donc le neutron se transforme en proton en émettant un électron −10 e.
L’équation représentative de la désintégration est :
∗
0
A
A
Z X −→Z+1 Y +−1 e
N
N•
A
ZX
β−
N − 1•
A
Z+1 Y
•
Z
•
Z+1
Z
Mécanisme : Le neutron du noyau se transforme spontanément en proton et électron selon le mécanisme suivant :
1
1
0
0 n −→1 p +−1 e
La radioactivité β + :
Les noyaux situés au dessous du domaine de stabilité, possèdent trop de protons par rapport au nombre de neutron,
donc le proton se transforme en neutron en émettant un positron (L’antiparticule de l’électron qe+ = 1, 6 × 10−19 C).
20
L’équation représentative de la désintégration est :
∗
A
A
0
Z X −→Z−1 Y +1 e
N
A
Z−1 Y
N+1 •
β+
N•
A
ZX
•
Z−1
•
Z
Z
Mécanisme : Le proton du noyau se transforme spontanément en neutron et positron selon le mécanisme suivant :
1
1
0
1 p −→0 n +1 e
Rayonnement γ :
Après une désintégration le noyau fils est souvent excité il redevient stable en libérant une énergie sous forme d’un
rayonnement électromagnétique γ, selon la transformation suivante :
A ∗
A
Z Y −→Z Y + γ
Cette radiation porte une grande énergie.
Famille radioactive :
Un nucléide radioactif se transforme en un autre nucléide, qui peut être lui même radioactif et ainsi de suite... La
chaîne s’arrête lorsque le nucléide formé est stable.
Exemple :
226
206
0
4
88 Ra −→82 Pb + x−1 e + y2 He
Déterminons le nombre de désintégration α et β − :
D’après la loi de Soddy on a :
(
226 = 206 + 4y
⇐⇒
88 = 82 − x + 2y
(
y = 226−206
4
⇐⇒
x = 2y − 6
(
y
x
=5
=4
Donc : on a 5 désintégration α et 4 désintégration β − .
La loi de décroissance radioactive :
Nombre de noyaux :
La désintégration d’un noyau instable a un caractère aléatoire, un échantillon radioactif (contenant un grand nombre
de noyaux instables) est donc un échantillon de grande taille dans lequel se répète un phénomène aléatoire un certain
nombre de fois.
21
Constante radioactive :
Pour un échantillon contenant un seul type de noyaux radioactifs, la variation du nombre du noyaux ∆N (t) entre des
instants très proches t et t + ∆t est proportionnelle aux nombre de noyaux N (t) présents à t et à la durée ∆t :
∆N = −λN ∆t
(1)
Où λ est la constante radioactive qui dépend de type du noyaux qui se désintègre, exprimé en s−1 .
La durée λ−1 = τ est la constante du temps, exprimé en (s).
Lorsque ∆t → 0 l’équation (1) devient :
dN
= −λN
dt
dN
⇐⇒
+ λN = 0
dt
dN = −λN dt ⇐⇒
dy
= ay sa solution est x 7→ αeax .
C’est une équation différentielle de la forme :
dx
On en déduit que :
N = αe−λt
Identifions α :
On a à t = 0 :
Par suite :
N0 = αe−λ×0 ⇔ N0 = α
N = N0 e−λt
(2)
Où N0 est le nombre de noyaux présents à l’instant t0 .
La relation (2) est la loi de la décroissance radioactive.
Activité radioactive :
On définit l’activité d’un échantillon radioactif par la quantité :
a=−
dN
dt
Elle donne le nombre de désintégration par unité de temps.
Et d’après ce qui précède on a :
dN
dt
d
=−
N0 e−λt
dt
= −N0 × (−λ)e−λt
a=−
= λN0 e−λt
En posant a0 = λN0 , on obtient :
a = a0 e−λt
L’unité de a est Bq (Becquerel) au nommage du physicien Henri Becquerel qui a découvert le phénomène du radioactivité.
On utilise parfois le Ci (Curie) au nommage de Mr et Mme Curie qui sont fameux pour leurs recherches en radioactivité.
1 Bq = 1 désintégration/s
1 Ci = 3, 7 × 1010 Bq
Demi-vie radioactive :
La demi-vie t1/2 est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux présents dans un échantillon soit désintégrée.
Elle ne dépend que de la réaction étudiée.
On peut écrire :
N0
à
t = t1/2
N=
2
22
On aura alors :
N0
= N0 e−λt1/2
2
1
= e−λt1/2
2
1
ln
= ln e−λt1/2
2
ln(1) − ln(2) = −λt1/2
− ln(2) = −λt1/2
ln(2)
λ
= τ. ln(2)
t1/2 =
Par suite : t1/2 = τ. ln(2).
Complément mathématique :
La fonction exponentielle : on a x 7→ ex est définie sur R :
e0 = 1
(ea )b = eab
ea × eb = ea+b
1
= e−a
ea
e1 = e
ea
= ea−b
eb
Et on a :
deax
= a.eax
dx
La fonction logarithme népérien : on a x 7→ ln(x) est définie sur ]0, +∞[ :
ln(1) = 0
1
ln
= − ln(a)
a
Et on a :
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln (xn ) = n ln(x)
a
= ln(a) − ln(b)
b
√ ln(x)
ln n x =
n
ln
1
d ln(x)
=
dx
x
Exploitation graphique :
Détermination de la demi-vie et la constante de temps τ
. L’abscisse correspondante à N20 représente la demi-vie t1/2 de l’échantillon étudié.
. La loi de la décroissance radioactive s’écrit sous la forme :
N = N0 e − τ
t
Si t = τ on aura :
N = N0 .e−1 =
N0
e
Numériquement :
N ≈ 0, 37 × N0
Or, l’abscisse correspondante à cette valeur représente la constante de temps τ .
23
On peut aussi déterminer la constante de temps τ en traçant la tangente à la courbe à l’instant t = 0. Elle coupe
l’axes des dates en un point, dont l’abscisse représente la constante de temps τ .
On peut tous résumer dans ce graphe :
N
N0 •
N0 /2 •
N0 /e •
• •
t1/2 τ
t
24
Noyaux, masse et énergie :
Équivalence masse-énergie :
Relation d’Einstein :
En 1915, lors de ses recherches en mécanique relativiste, Einstein prouve que chaque système en état de repos possède
une énergie E appelée Énergie de masse, exprimée par :
E = mc2
Avec E en Joules (J), m en Kg et c la célérité de la lumière dans le vide c = 3 × 108 m/s.
On peut déduire que : si la masse varie avec ∆m, l’énergie varie aussi ∆E = ∆m.c2
. Si la masse diminue ∆m < 0, alors le système fournie de l’énergie au milieu extérieur.
. Si la masse augmente ∆m > 0, alors le système reçoit de l’énergie du milieu extérieur.
Les unités de masse et d’énergie :
Dans le système international, le joule est utilisé comme l’unité de l’énergie. Mais en physique nucléaire, il est préférable
d’utiliser d’autres unités correspondantes comme l’électron-volt (eV) et ses multiples (MeV).
1eV = 1, 062 × 10−19 J
1MeV = 1, 062 × 10−13 J
Et pour la masse, comme on a traité dans le cours précédent s’exprime en u, tel que 1u = 1, 66 × 10−27 Kg. (Consulter
le cours de la décroissance radioactive afin de comprendre d’où vient cette valeur).
L’énergie correspondante à 1u.
E = mc2
= u.c2
= 1, 66 × 10−27 × 9 × 1016
≈ 14, 93 × 10−11 J
14, 93 × 10−11
MeV
1, 062 × 10−13
≈ 931, 5MeV
=
Donc on conclut que : uc2 = 931, 5MeV par suite : u = 931, 5MeV.c−2
Énergie de liaison :
Décroissance massique :
On appelle décroissance massique ∆m, la différence entre la somme des masses des nucléons et la masse du noyau. On
l’appelle aussi défaut de masse, elle est donnée par :
∆m = [Zmp + (A − Z)mn ] − m
Elle est toujours positive.
25
(A − Z = N)
Énergie de liaison :
On appelle énergie de liaison El du noyau, ou énergie de cohésion, l’énergie qu’on doit fournir au noyau en état de
repos, pour faire séparer ses nucléons en restant au repos. El est toujours positive.
Elle est liée avec le défaut massique, par la relation d’Einstein :
El = ∆m.c2 = [Zmp + (A − Z)mn ] − m .c2
Énergie de liaison par nucléon :
On exprime l’énergie de liaison par nucléon par le rapport :
E =
El
A
Dont El de liaison et A le nombre de nucléons.
On écrit alors :
[Zmp + (A − Z)mn ] − m .c2
E =
A
Le noyau sera plus stable si E est plus grande.
Cette énergie n’est pas identique pour tous les noyaux, elle est faible pour les noyaux légers, elle augmente jusqu’aux
noyaux de masse moyenne se trouvant aux alentours du fer 56, et décroît ensuite.
Fission et fusion nucléaire :
Fission nucléaire :
Fission nucléaire : Sous l’impact d’un neutron, un noyau lourd (A>200) dit fissile, se scinde en deux noyaux plus
légers. Le noyau fissile le plus utilisé est l’Uranium 235.
Exemple :
1
235
94
139
1
0 n + 38 U −→38 Sr + 54 Xe + 30 n + γ
Fusion nucléaire
Fusion nucléaire :Deux noyaux légers s’agglomèrent, pour former un noyau plus lourd et plus stable avec libération
d’énergie.
Exemple :
2
3
4
1
1 H +1 H −→2 He +0 n
La courbe d’Aston :
La courbe d’Aston représente l’opposée de l’énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons :
−E = f (A) .
26
−E (MeV par nucléon)
0
-1
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
A
2
1H
-2
-3
-4
-5
7
3 Li
-6
-7
4
2 He
-8
-9
184
74 W
140
54 Xe
56
26 Fe
235
92 U
-10
La courbe d’Aston nous permet de comparer les stabilités de différents noyaux.
Le noyau est plus stable si −E est plus petite. Ceux qui ont la plus grande valeur de E apparaissent dans la partie la
plus basse de la courbe.
. Pour 20 < A < 190, on constate que −E prend des valeurs minimales qui correspondent aux noyaux plus stable
. Pour A> 20, on constante que −E augmente rapidement. Il correspond aux petits noyaux instables ce qui pousse
ces noyaux à sassocier entre eux pour former dautres noyaux plus lourds plus stables. C’est la fusion nucléaire.
. Pour A< 190, on constate que −E augmente lentement. Les noyaux correspondants sont instables ce qui leur
poussent à ce dissocier pour former dautres noyaux plus légers plus stable. C’est la fission nucléaire.
Bilan massique et énergétique :
Soit la transformation suivante :
A1
A2
A3
A4
Z1 X1 +Z2 X2 −→Z3 X3 +Z4 X4
Pour calculer l’énergie de cette transformation à partir des énergies des noyaux, on applique la formule suivante :
∆E = El (X1 ) + El (X2 ) − El (X3 ) + El (X4 )
Généralement :
∆E =
X
Elreact −
X
Elprod
Ou plus encore :
∆E = m(X3 ) + m(X4 ) − m(X1 ) − m(X2 ) .c2
27
Energie
E•
nucléons séparés
P
Ei •
∆E = ∆m.c2
Elreact
Réactifs
∆E
Ef •
On peut calculer l’énergie ∆E = Ef − Ei libérée par une réaction
nucléaire par deux méthodes :
. Si on connait les masses des noyaux finaux et initiaux, on calcule la
perte de masse du système ∆m et on applique la formule :
−
P
Elprod
. Si on connait les énergies de liaison des différents noyaux, comme
représente le diagramme :
X
X
∆E =
Elreact −
Elprod
L’énergie libérée Elib = |∆E|.
Produits
28
Le dipôle RC :
Le condensateur C :
Un condensateur est un composant électrique, formé par deux conducteurs métalliques
appelés "armatures", et qui sont séparés par un isolant qui peut être l’air ou un diélectrique.
Son symbole dans les circuits est celui ci-contre.
Charge du condensateur :
Dans un condensateur, la charge électrique qA portée par l’armature A est l’opposée de qB celle portée par l’armature
B. On écrit alors :
qA = −qB ⇐⇒ qA + qB = 0
Intensité :
On sait que l’intensité est la variation de charge, donc :
i=
dqA
dqB
=−
dt
dt
Tout simplement :
i=
dq
dt
D’où, on peut dire que i est positif lorsque les charges positifs circulent vers la plaque A.
Convention récepteur : Lorsque la flèche de l’intensité et de la tension sont de sens opposés.
i
Récepteur
u
Convention générateur : Lorsque les deux flèches sont de même sens.
i
générateur
u
Capacité du condensateur :
On définit la capacité C par la relation suivante :
C=
qA
qB
=−
uAB
uAB
L’unité de C est le Farad F.
29
Association des condensateurs :
En série :
C1
Céq
Cn
=⇒
Puisque le montage est en série alors : u = u1 + · · · + un et i = i1 = · · · = in ⇐⇒ q = q1 = · · · = qn .
On a :
uéq =
n
X
ui ⇒
i=1
n
X
q
q
=
Céq
C
i
i=1
n
X
q
1
=q
Céq
Ci
i=1
n
X
1
1
=
Céq
C
i
i=1
Donc, lorsque le montage est en série on a :
n
X
1
1
=
Céq
C
i
i=1
En parallèle :
C1
Céq
=⇒
Cn
Puisque le montage est en parallèle alors : u = u1 = · · · = un et i = i1 + · · · + in =⇒ q = q1 + · · · + qn .
On a :
qéq =
n
X
qi ⇒ Céq u =
i=1
Céq =
n
X
i=1
n
X
Ci u
Ci
i=1
Association des résistances :
Loi d’Ohm : u = R × i
Association en série :
R1
Réq
Rn
=⇒
La résistance équivalente est donnée par la relation suivante :
Réq =
n
X
Ri
i=1
Association en parallèle :
30
R1
Réq
Rn
=⇒
La résistance équivalente est donnée par la relation suivante :
n
X
1
1
=
Réq
R
i
i=1
Les générateurs :
Générateur idéal du courant :
C’est un générateur qui délivre une intensité I0 constante, c’est-à-dire : i = I0 = Cte
On a : I0 =
I0
Q
I0
et Q = C.u, donc u = t
t
C
Le symbole :
I0
Puisque u est variable en fonction du temps, alors on peut considérer
comme coefficient directeur de u(t) :
C
u
I0
∆u
=
C
∆t
∆u
t
∆t
Générateur idéal du tension :
C’est un générateur qui délivre une tension U constante, et i variable, U = u = Cte
On a :
Le symbole :
dq
i=
q = C.uC
U
dt
Donc :
duC
i=C
dt
Le dipôle RC :
La charge d’un condensateur :
Échelon de tension :
C’est le passage instantané d’une tension 0 à une tension de valeur constante E.
31
u
E
t
0
Étude expérimentale :
Soit le circuit suivant :
C
i
uc
uR
E
R
Sur l’oscilloscope on obtient la courbe qui comporte deux régimes :
Régime transitoire : dans lequel la tension aux bornes du condensateur croît depuis la valeur 0.
Régime permanent : dans lequel la tension reste pratiquement constante, lorsque t → ∞ uc tend vers E.
uc
E•
uc = E
Régime transitoire
Régime permanent
t
32
Étude théorique :
Équation différentielle :
D’après la loi d’additivité des tensions on a :
E = uc + uR
= uc + Ri
dq
= uc + R
dt
duc
= uc + RC
dt
Donc on en déduit l’équation suivante :
uc + RC
duc
=E
dt
C’est une équation différentielle d’inconnue uc , dont la solution s’écrit sous la forme suivante :
uc = Ae−λt + B
Détermination de A, B et λ :
Il suffit de remplacer l’expression de uc dans l’expression qu’on a démontré.
C’est-à-dire :
d
Ae−λt + B + RC
Ae−λt + B = E
dt
On rappelle que :
(eu(x) )′ = u′ (x)eu(x)
Donc :
d
d −λt Ae−λt = A
e
dt
dt
= A × −λe−λt
= −Aλe−λt
Par suite, l’équation devient :
d
Ae−λt + B = E
dt
Ae−λt + B − RCAλe−λt − E = 0
Ae−λt + B + RC
Ae−λt (1 − λRC) + (B − E) = 0
D’où on en déduit :
(
1 − λRC
B−E

λ
=0
⇐⇒
B
=0
1
RC
=E
=
Pour A, elle se détermine à partir des conditions initiales, c-à-d lorsque t = 0 :
À t = 0 on a :
uc = 0
Ae
0
− RC
+E =0
A+E =0
A = −E
Par suite l’expression de uc est :
uc = E − Ee− RC
t
uc = E 1 − e− RC
t
33
La constante de temps :
Afin d’avoir l’homogénéité dans l’expression de uc , il faut que RC soit temporelle. Vérifions ceci par l’analyse
dimensionnelle.
[RC] = [R][C]
[U ] [Q]
[I] [U ]
1
=
[I][T ]
[I]
= [T ]
=
Donc RC est temporelle. On notera cette constante τ dans la suite du cours.
Afin de déterminer sa valeur, on utilise deux méthodes :
Méthode analytique : On pose t = τ :
uc = E(1 − e−1 )
1
= 1−
E
e
≈ 0, 63E
Et par projection, on trouve la valeur de τ .
Méthode de la tangente : la tangente à la courbe à t = 0 coupe la droite uc = E en un point dont l’abscisse est τ
la constante du temps.
uC
uc = E
E•
0, 63E •
•
τ
t
L’intensité du courant : Dans le dipôle RC on a :
i=
duc
dq
=C
dt
dt
Et on sait que :
t
uc = E 1 − e− τ
34
Alors :
duc
dt
t
d =C
E 1 − e− τ
dt
E −t
=C e τ
τ
E −t
= e τ
R
i=C
Posons I0 =
E
, on aboutit à l’expression de l’intensité du courant :
R
i = I0 e− τ
t
i
I0 •
0, 37I0 •
•
τ
t
Pour déterminer τ la constante du temps, on utilise l’une des méthodes citées précédemment.
Pour la charge du condensateur on a :
q = C.uc
Avec l’expression de uc on obtient :
t
q = CE 1 − e− τ
t
= Q0 1 − e− τ
Décharge d’un condensateur :
Échelon de tension :
u
E
0
t
35
Étude expérimentale :
Soit le circuit suivant :
C
i
uc
uR
R
Sur un oscilloscope on obtient la courbe qui comporte deux régimes :
Régime transitoire : dans lequel la tension uc décroît depuis sa valeur initiale.
Régime permanent : dans lequel la tension uc reste pratiquement nulle, lorsque t → ∞ ⇒ uc → ∞.
uc
E•
t
Étude théorique :
Équation différentielle :
D’après la loi d’additivité des tensions on a :
uc + uR = 0
uc + Ri = 0
duc
uc + RC
=0
dt
On obtient l’équation différentielle suivante :
uc + RC
La solution est donnée par :
duc
=0
dt
uc = Ae−λt
Détermination de A et λ :
On sait que :
uc + RC
et que :
duc
=0
dt
uc = Ae−λt
Donc :
d
Ae−λt = 0
dt
Ae−λt − RCAλe−λt = 0
Ae−λt + RC
Ae−λt (1 − λRC) = 0
36
C’est-à-dire :
1 − λRC = 0 ⇔ λ =
1
1
=
RC
τ
Pour A on recourt aux conditions initiales :
À t = 0 on a uc = E, autrement dit :
Ae− τ = E ⇔ A = E
0
Par suite l’expression de uc est :
uc = Ee− τ
t
La constante de temps :
Afin de déterminer τ on a deux méthodes :
Méthode analytique : On pose t = τ :
uc = Ee−1
≈ 0, 37E
La constante τ est l’abscisse correspondante à l’ordonnée 0, 37E.
Méthode de la tangente : La tangente à la courbe à l’instant t = 0 coupe l’axe des temps en un point dont l’abscisse
est τ .
uc
E•
0, 37E •
•
τ
t
L’intensité du courant : On sait que :
i=C
duc
dt
Et on a :
uc = Ee− τ
t
Par dérivation on obtient :
duc
−E − t
=
e τ
dt
τ
Donc :
duc
dt
−E − t
=C×
e τ
τ
E t
= − e− τ
R
t
= −I0 e− τ
i=C
37
i
τ
•
t
−0, 37I0 •
I0 •
La charge du condensateur : On a :
q = Cuc
= CEe− τ
t
= Q0 e− τ
t
Charge et décharge périodique :
uG
E
La courbe ci-contre représente un échelon de
tension débité par un générateur pendant une
période.
•
T /2
0
•
T
t
uc
E•
uc = E
La courbe ci-contre représente la réponse du
dipôle RC pendant une période.
0
•
T /2
•
T
t
38
i
I0 •
T /2
•
0
T
•
t
La courbe ci-contre représente l’intensité du
courant en fonction du temps pendant en
période.
• −I0
Aspect énergétique :
On sait que :
P =u×i
Donc :
dq
dt
dE
=
dt
dE = Pdt
Z
Z
dE = Pdt
Z
dq
E = u dt
dt
Z
q
=
dq
C
1 q2
=
C 2
P=
Or q = C.uc on obtient :
E =
1
1 2
C.u2c =
q
2
2C
39
Le dipôle RL :
La bobine :
La bobine est un composant électrique constitué par l’enroulement d’un fil conducteur couvert
par un vernis isolant. Son symbole dans les circuits
électriques est celui ci-contre.
L’auto-induction :
L’année dernière dans le cours du magnétisme, nous avons vu que chaque fil conducteur parcouru par un courant
électrique, crée un champ magnétique.
Lorsque la bobine est traversée par un courant électrique d’intensité variable est soumise aux variations de son propre
champ magnétique, et donc on obtient le phénomène d’auto-induction, autrement dit on a l’apparition d’une force
contre électromotrice. La bobine est donc auto-inductive.
L’inductance L d’une bobine :
Puisque la bobine joue le rôle d’un récepteur, alors la tension entre ses bornes s’écrit sous forme :
u = e + ri
Où e est la force contre électromotrice (V), r est sa résistance interne (Ω) et i l’intensité du courant (A).
Suivant un loi que vous verrez dans vos études supérieures on peut exprimer e en fonction de L le coefficient d’autoinduction, appelée l’inductance, et i, la loi est appelée Loi de Lenz-Faraday :
e=L
di
dt
Par suite :
u=L
di
+ ri
dt
L’unité de l’inductance est le Henry, de symbole H.
Pour une bobine idéale, la résistance interne est nulle, c’est-à-dire r = 0, d’où :
u=L
di
dt
Le dipôle RL :
Le dipôle RL est l’association en série d’une bobine idéale L et d’une résistance R.
On se propose à étudier la réponse du dipôle à un échelon de tension E.
L’établissement du courant :
Étude expérimentale :
Soit le circuit suivant :
40
L
i
uL
uR
E
R
Les formes des courbes des tensions uL au bornes de la bobine et uR au bornes de la résistance, obtenues sur un
oscilloscope mettent en évidence deux domaines :
Régime transitoire : Le courant i et uR s’établissent de 0 jusqu’à une valeur constante, alors que uL d’une valeur
maximale jusqu’à 0.
Régime permanent : Lorsque t → ∞ on a uL , uR et i tendent respectivement vers 0, URmax et Imax .
uR
i
UR •
Imax •
Régime
transitoire
Régime
transitoire
Régime
permanent
Régime
permanent
t
t
uL
UL •
Régime
transitoire
Régime
permanent
t
Étude théorique :
La bobine est supposée idéale (r = 0) :
On a d’après la loi d’additivité des tensions :
uL + uR = E
di
L + Ri = E
dt
C’est une équation différentielle de solution :
i = A 1 − e−αt
41
En la remplaçant dans l’expression qu’on a obtenu :
d
L
A 1 − e−αt
+ RA 1 − e−αt = E
dt
LAαe−αt + RA − RAe−αt − E = 0
Ae−αt (Lα − R) + (RA − E) = 0
On en déduit que :


α
(
Lα − R
RA − E
R
=
=0
L
⇐⇒
E

=0
A =
R
Par suite :
i=
où τ =
t
E
1 − e− τ
R
1
L
=
α
R
La constante de temps τ :
Afin d’avoir l’homogénéité dans l’expression de i, il faut que τ soit temporelle. On vérifie ceci en effectuant une analyse
dimensionnelle :
L
[τ ] =
R
[L]
=
[R]
On a :
[L] =
[U ][T ]
[I]
Et :
[R] =
[U ]
[I]
Donc :
[L]
[R]
[U ][T ] [I]
=
.
[I] [U ]
= [T ]
[τ ] =
Par suite τ a une dimension de temps.
L’expression de la tension uL :
On sait que :
uL = L
Donc :
Donc :
di
dt
d E
− τt
1−e
uL = L
dt R
E 1 −t
= L.
e τ
Rτ
t
= Ee− τ
uL = Ee− τ
t
42
L’expression de la tension uR :
On sait d’après la loi d’Ohm que :
uR = R.i
Donc :
uR = R.
t
t
E
1 − e− τ = E 1 − e− τ
R
Les graphes :
i
uR
E
•
R
E•
t
t
uL
E•
t
Rupture du courant :
Étude expérimentale :
Soit le circuit suivant :
L
i
uL
uR
R
Les formes des courbes des tensions uL aux bornes de la bobine et uR aux bornes de la résistances obtenues sur
l’oscilloscope, mettent en évidence deux domaines :
Régime transitoire : le courant i qui est proportionnel à la tension uR s’annule de i = I jusqu’à son annulation à 0.
43
Régime permanent : tous les courbes tend vers 0, lorsque t → ∞.
uR
i
U0 •
I0 •
Régime
transitoire
Régime
transitoire
Régime
permanent
Régime
permanent
t
t
uL
t
permanent
Régime
transitoire
Régime
−U0 •
Étude théorique :
La bobine est supposée idéale, c’est-à-dire la résistance interne est nulle.
D’après la loi d’additivité des tensions, on a :
uL + uR = 0
di
L + Ri = 0
dt
C’est une équation différentielle de solution :
i = Ae−αt + B
En la remplaçant dans l’expression obtenu :
L
d
Ae−αt + B + Ae−αt + B = 0
dt
−LAαe−αt + RAe−αt + RB = 0
Ae−αt (R − Lα) + RB = 0
Or Ae−αt 6= 0 alors :
(
R − Lα
RB


=0
α
⇐⇒
B
=0
R
L
=0
=
44
Pour A, on peut la déterminer à partir des conditions initiales t = 0 :
E
À cet instant i = , c’est-à-dire :
R
E
=A
R
Finalement :
i=
E −t
e τ
R
L
Où τ =
est la constante du temps en (s).
R
La tension uL :
On a :
di
dt d E −t
τ
uL = L
e
dt R
E 1 −t
τ
=L× −
e
Rτ
uL = L
= −Ee− τ
t
Par suite :
uL = −Ee− τ
t
La tension uR :
On a :
uR = Ri
E t
= R e− τ
R
t
= Ee− τ
Par suite :
uR = Ee− τ
t
Les graphes :
i
uR
E
•
R
E•
t
t
45
uL
Remarque : Lorsque la bobine
a une résistance interne r non
négligeable, on suit les mêmes
étapes lors de l’étude théorique du
circuit, mais avec une résistance
totale RT
= R + r. Donc
la constante du temps sera
exprimé par la relation suivante :
L
L
τ=
=
RT
R+r
t
−E •
Charge et décharge périodique :
On considère le circuit suivant :
(1) (2)
E
À chaque période T /2 on met l’interrupteur en une position, tel que en
(1) on parle de l’établissement du courant, alors en (2) de la rupture
de ce dernier.
On peut montrer que la durée de l’établissement ou de l’annulation du
courant dans un circuit RL est environ 5τ .
On obtient sur un oscilloscope les oscillogrammes des tensions uL et
uR :
(L, r)
R
u
E•
uR = Ri
uL = L
0
di
+ ri
dt
uR = Ri
T /2
T•
•
uL = L
t
di
+ ri
dt
−E •
Etablissement du courant
Rupture du courant
46
Détermination de τ :
On peut déterminer la constante de temps, graphiquement, en utilisant l’une des méthodes suivantes :
. La méthode de la tangente.
. La méthode de recherche de l’abscisse correspondante à 0, 63I0 pour l’établissement du courant, et l’ordonnée
0, 37I0 pour l’annulation du courant.
C’est-à-dire on utilise les mêmes méthodes citées dans le cours dipôle RC.
i
i
I0 •
I0 •
0, 63I0 •
0, 37I0 •
•
τ
•
τ
t
t
Aspect énergétique :
Une bobine traversé par un courant acquiert de l’énergie sous forme magnétique, qu’elle restitue dès l’ouverture du
circuit.
L’expression de l’énergie emmagasinée par la bobine :
On sait que la puissance aux bornes de la bobine idéale :
P = u.i
dE
=
dt
Pdt = dE
u.idt = dE
dq
dE = u dt
dt
= udq
di
= L dq
dt
Et on sait que : idt = dq, donc :
di
dE = L.i dt
Z
Z dt
dE = L.idi
E =L
i2
2
Donc, l’énergie emmagasinée par la bobine vaut :
E =
1 2
L.i
2
47
Le dipôle RLC :
On appelle (RLC) l’association série d’un conducteur ohmique pur de résistance R, une bobine pure d’inductance L
et d’un condensateur de capacité C.
Même si la bobine a une résistance interne r la nomination (RLC) reste valable.
R
C
L
Décharge d’un condensateur dans une bobine :
Étude expérimentale :
Un condensateur chargé de capacité C est monté en série avec une bobine idéale d’inductance L et une résistance R,
dont la valeur est variable. On ferme l’interrupteur et on visualise sur un oscilloscope, les courbes correspondants de
la tension aux bornes du condensateur.
uc
i
C
R
L
uR
i
uL
On varie la résistance R du dipôle (RLC).
Lorsqu’elle est faible le régime est dit périodique amorti ou bien pseudopériodique.
uc
t
48
uc
Lorsqu’elle est grande, l’amortissement est trop élevée, le régime est dit
apériodique ou sous-critique.
t
uc
r
L
, on est à la limite de séparation entre les deux
C
régimes, périodique amorti et apériodique. Le régime est dit critique.
Lorsque R = 2
t
Facteur de qualité d’un dipôle (RLC) :
Un paramètre sans dimension soit noté Q, est appelé facteur de qualité du dipôle, il permet de séparer quantitativement
L
et τc = RC des dipôles RL et RC
ces régimes. Celui-ci peut s’exprimer en fonction des constantes de temps τL =
R
déjà étudiés :
τL
τ
vc
u L
u
t
R
=
RC
r
1 L
=
R C
Q=
r
L
, correspond à Q = 0, 5.
C
La valeur de Q détermine les régimes libres d’un dipôle (RLC) :
. Q > 0, 5 le régime est périodique amorti.
. Q = 0, 5 le régime est critique.
. Q < 0, 5 le régime est apériodique.
Remarque :
La grandeur Q représente l’ordre de grandeur du nombre d’oscillations pratiquement observables.
La résistance critique, Rc = 2
Étude théorique :
Équation différentielle :
D’après la loi d’additivité des tensions, on a :
uL + uc + uR = 0
di
q
L + Ri +
=0
dt
C
d2 q
dq
q
L 2 +R
+
=0
dt
dt
C
49
Donc l’équation différentielle vérifiée par la charge q portée par le condensateur est donnée par :
L
d2 q
dq
q
+R
+
=0
2
dt
dt
C
Avec q = Cuc , on aura :
LC
d2 uc
duc
+ RC
+ uc = 0
2
dt
dt
Autrement :
d2 uc
R duc
1
+
+
uc = 0
2
dt
L dt
LC
C’est l’équation différentielle vérifiée par la tension uc entre les bornes du condensateur.
La pseudo-période :
uc
T
La pseudo-période est l’intervalle de temps
qui sépare deux maximas consécutifs des
oscillations pseudo-périodiques amorties.
t
Interprétation énergétique :
Transfert d’énergie entre le condensateur et la bobine - Effet Joule :
L’énergie totale dans le circuit (RLC) est donnée par :
E = Em + Ee =
1 2 1 q2
Li +
2
2C
Dérivons par rapport au temps :
dE
di
q dq
dq
= Li +
=
dt
dt C dt
dt
2
q
d q
L 2 +
dt
C
Et on sait que :
L
d2 q
dq
q
+R
+
=0
dt2
dt
C
Donc :
L
q
dq
d2 q
+
= −R
2
dt
C
dt
Par suite :
dE
= −R
dt
dq
dt
2
Finalement :
dE = −Ri2 dt
50
Effet Joule :
Les oscillations libres dans un circuit (RLC) sont caractérisés par des pertes d’énergie par effet Joule dans la résistance,
ceci se traduit par un amortissement des oscillations :
E
Ee
Em
t
Calculons l’énergie dissipé par effet Joule entre deux instants t1 et t2 , on sait que : E = Em + Ee , l’énergie dissipé par
effet Joule est tout simplement la variations de l’énergie totale entre les deux instants donnés :
EJ = ∆E
= ∆Ee + ∆Em
1
1
= C(u2c2 − u2c1 ) + L(i22 − i21 )
2
2
Étude analytique dans le cas d’un amortissement faible :
Le dipôle LC :
Le dipôle LC correspond au cas limite du dipôle RLC où la résistance est nulle : Les oscillations libres ne sont
plus amorties.
On s’approche au mieux du régime oscillant non amorti en associant en série une bobine d’inductance L grande, de
résistance r très petite et un condensateur de capacité C faible, afin d’avoir un grand facteur de qualité.
Étude expérimentale :
Avec le montage connecté à un oscilloscope, on peut mettre en évidence les oscillations libres d’un dipôle LC en série.
On obtient sur l’écran de l’oscilloscope, la tension uc aux bornes du condensateur.
uc
t
51
Étude théorique :
Équation différentielle :
uc
On sait que : uL + uc = 0, en utilisant les relations nécessaires on
aboutit à l’expression suivante :
i
dq
q
+
=0
dt
C
2
1
d q
+
q=0
2
dt
LC
d2 uc
1
+ uc = 0
dt2
L
C
L
L
i
uL
Les équations horaires :
La solution de la première équation différentielle est :
q = Qm cos
Dans cette équation :


Qm
T0


φ0
2π
t + φ0
T0
La charge maximale
La période propre des oscillations non amorties
La phase à l’origine des dates
En divisant la charge q par la capacité du condensateur C, on obtient l’expression de uc :
2π
uc = Um cos
t + φ0
T0
Et en dérivant la charge par rapport au temps t, on obtient l’expression de i :
d
2π
dq
=
t + φ0
Qm cos
dt
dt
T0
2π
2π
= −Qm
sin
t + φ0
T0
T0
2π
t + φ0
i = −Im sin
T0
La période propre et la fréquence propre :
Dérivons pour la seconde fois l’expression de q :
d2 q
= −Qm
dt2
C’est-à-dire :
d2 q
=−
dt2
2π
T0
2π
T0
2
2
q ⇐⇒
cos
2π
t + φ0
T0
d2 q
+
dt2
2π
T0
2
q=0
Et on sait d’après l’équation différentielle que :
d2 q
1
+
q=0
dt2
LC
Par suite la période propre est :
2π
T0
2
=
√
1
⇐⇒ T0 = 2π LC
LC
La fréquence propre est donc donnée par :
f0 =
1
1
√
=
T0
2π LC
52
Énergie électrique totale d’un circuit (LC) :
L’énergie totale, à un instant t, dans un circuit (LC) est donnée par :
E = Em + Ee =
1 2 1 q2
Li +
2
2C
Au cours des oscillations, dans le circuit (LC), l’une des deux formes d’énergie se transforme périodiquement en l’autre
forme, la somme E restante constante.
1 2
1
1 Q2m
2
E = LIm
= CUm
=
2
2
2 C
Disons alors que l’énergie totale d’un circuit comportant un condensateur et une bobine non résistive est constante.
Les courbes représentent l’évolution de chaque forme d’énergie en fonction de temps.
La période énergétique vaut la moitié de la période propre du circuit (LC) :
T =
T0
2
On démontrera ce résultat en utilisant Em :
On utilisera pour cette démonstration l’identité trigonométrique suivante :
cos2 (x) =
1 + cos(2x)
2
1 2
Li
2
1 2
2π
= LIm
cos2
t+φ
2
T0


2π
t
+
φ
+1
cos
2
T0
1 2 

= LIm
2
2
1
2π
1 2
+ cos 2 t + 2φ
= LIm
4
4
T0
!
1 2
1
2π
′
= LIm + cos T0 + φ
4
4
2
Em =
Donc on en déduit que Em est périodique de période T =
E
Ee
T0
.
2
Em
t
Détermination de φ :
Afin de déterminer la phase à l’origine des dates, on utilise les conditions initiales, soit la fonction suivante :
2π
i(t) = Im cos
t+φ
T0
On a trois cas possibles, selon la représentation graphique de i(t) :
53
Cas 1 :
Si la représentation graphique est :
i
Im •
t
−Im •
À t = 0 on a i = Im , c’est-à-dire :
Im = Im cos
2π
×0+φ
T0
= Im cos (φ)
1 = cos(φ)
La solution est φ = 0.
Cas 2 :
Si la représentation graphique est :
i
Im •
t
−Im •
À t = 0 on a i = 0, c’est-à-dire :
0 = Im cos
2π
×0+φ
T0
= Im cos (φ)
0 = cos(φ)
π
La solution est φ = ± . Dérivons i(t) et trouvons la réponse correcte :
2
d
2π
di
=
Im cos
t+φ
dt
dt
T0
2π
2π
= −Im
sin
t+φ
T0
T0
À t = 0 on a :
di
dt
2π
sin(φ)
T0
t=0
π
Or cette expression doit être négative alors : sin(φ) > 0 =⇒ φ =
2
= −Im
54
Cas 3 :
Si la représentation graphique est :
i
Im •
t
−Im •
À t = 0 on a i = 0, c’est-à-dire :
0 = Im cos
2π
×0+φ
T0
= Im cos (φ)
0 = cos(φ)
π
La solution est φ = ± . Dérivons i(t) et trouvons la réponse correcte :
2
2π
Im cos
t+φ
T0
2π
2π
= −Im
sin
t+φ
T0
T0
di
d
=
dt
dt
À t = 0 on a :
di
dt
= −Im
t=0
2π
sin(φ)
T0
Or cette expression doit être positive alors : sin(φ) < 0 =⇒ φ = −
π
2
Entretien des oscillations :
Soit le circuit suivant :
A
i
L
ug = ki
ug
C
i
Aux bornes (A, M ) d’un circuit (rLC) plaçons un générateur
fournissant à ses bornes une tension proportionnelle au courant qu’il
délivre :
ug = ki
où k > 0 de valeur ajustable
On branche un oscilloscope aux bornes d’un condensateur et on varie
k.
Dès que k = r où r la résistance interne de la bobine on observe des
oscillations sur l’écran.
M
55
Interprétation :
On a d’après la loi d’additivité des tensions :
ug = uL + uc
q
di
= ki
L + ri +
dt
C
d2 q
dq
q
L 2 + (r − k)
+
=0
dt
dt
C
d2 q
q
L 2 +
=0
k=r
dt
C
Or q = Cuc on aura :
LC
d2 uc
+ uc = 0
dt2
Étude énergétique :
L’énergie diminue selon la loi suivante :
dE
= −ri2
dt
Qui exprime la puissance instantanée dissipée par effet Joule.
Le générateur introduit celle ci :
P = −ug i = −ki2
Lorsque k = r on aura :
P = −ri2
Ceci signifie que le générateur compense exactement l’énergie dissipée par effet Joule dans la bobine.
Le système entretenu se comporte énergiquement comme un circuit (LC) idéal.
E
Ee
Em
Ed
Ef
t
Ee signifie l’énergie du condensateur (électrique), Em l’énergie de la bobine (magnétique),
Ed l’énergie dissipée dans la bobine et Ef l’énergie fournie par le dispositif d’entretien.
56
Les oscillations forcées dans un circuit
RLC série :
Le courant alternatif sinusoïdal :
Un dipôle (RLC) série constitué d’un conducteur ohmique de résistance R ; une bobine d’inductance L et de résistance
interne r, et d’un condensateur de capacité C, est branché à un générateur qui lui applique une tension sinusoïdal.
i
u
(L, r)
C
R
Courant électrique alternatif sinusoïdal :
La tension du courant électrique alternatif sinusoïdal :
La tension sinusoïdale appliquée s’écrit mathématiquement :
u(t) = Um cos(2πf t + φ)
Où :


Um
2πf = ω


φ
Tension maximale en (V)
Pulsation en (rad/s)
Phase à l’origine des dates en (rad)
La tension efficace U à la tension maximale par la relation :
Um
U= √
2
L’intensité du courant électrique alternatif sinusoïdal :
L’intensité sinusoïdale s’écrit mathématiquement :
i(t) = Im cos cos(2πf t + φ)
Où :


I m
2πf = ω


φ
Tension maximale en (V)
Pulsation en (rad/s)
Phase à l’origine des dates en (rad)
La tension efficace I à la tension maximale par la relation :
Im
I=√
2
57
Déphasage :
On considère les fonctions suivantes :
i(t) = Im cos(ωt + φi )
u(t) = Um cos(ωt + φu )
On appelle le déphasage de u par rapport à i, la différence ∆φ des deux signaux :
∆φ = φu|i = φu − φi
On distingue les cas suivants :
Si ∆φ > 0, alors on dit que u est en avance par rapport à i.
Si ∆φ < 0, alors on dit que u est en retard par rapport à u.
Si ∆φ = 0, alors on dit que u et i sont en phase.
Si ∆φ = π, alors on dit que u et i sont en opposition de phase.
Si ∆φ = π/2, alors on dit que u et i en quadrature de phase.
On considère les deux courbes suivantes :
u(t)
i(t)
τ
Supposons qu’à t = 0 on a i = Im , donc : Im cos(φi ) = Im ⇐⇒ φi = 0.
Par suite :
∆φ = φu
On donne :
|∆φ| = 2π
Où τ =
τ
T0
φu
ou graphiquement comme l’indique la figure τ = x.Sh .
ω
Étude d’un dipôle (RLC) série en régime sinusoïdal forcé :
Étude expérimentale :
On réalise le montage suivant :
i
u
C
Y2
(L, r)
R
Y1
On visualise sur l’oscilloscope connecté au circuit les courbes l’une du conducteur ohmique et la deuxième du circuit
(RLC).
Ses oscillations observés sont appelés les oscillations forcées, car ici c’est le générateur qui impose sur le circuit sa
fréquence, donc le circuit est obligé d’osciller, le générateur est appelé excitateur alors le circuit RLC est appelé
résonateur.
58
Impédance électrique :
Généralement l’impédance est la résistance d’un circuit au passage d’un courant électrique alternatif sinusoïdale :
Z=
U
Um
=
I
Im
Son unité est l’Ohm (Ω).
Les impédances de quelques composantes électriques :
Pour un conducteur ohmique, on a :
uR
RI
=
=R
I
I
Z=
Pour un condensateur, on a :
i=C
duc
dt
Z
1
idt
C
Z
1
=
Im cos(ωt)dt
C
Im
=
sin(ωt)
Cω
Im
π
=
cos ωt −
Cω
2
uc =
On aura :
Um =
Im
1
⇐⇒ Z =
Cω
Cω
Pour une bobine, on a :
di
dt
d
= L (Im cos(ωt))
dt
= −LIm ω sin(ωt)
π
= LIm ω cos ωt +
2
uL = L
On aura :
Um = LIm ω ⇐⇒ Z = Lω
Phénomène de résonance :
Lorsque le système est sensible à la fréquence on observe que certaines grandeurs varient en fonction de cette fréquence :
I
f0 =
I0
f0
1
√
2π LC
f
59
Étude théorique :
Aux bornes du circuit (RLC) on a une tension u appliquée.
u = Um cos(ωt + φ)
√
= U 2 cos(ωt + φ)
Le dipôle est traversé par une intensité :
√
i = I 2 cos(ωt)
Aux bornes du conducteur ohmique on a :
uR = Ri
√
= RI 2 cos(ωt)
Aux bornes du condensateur on a :
Z
1
idt
C
√
I 2
sin(ωt)
=
Cω
uc =
Aux bornes de la bobine :
di
+ ri
dt
√
√
= rI 2 cos(ωt) − LIω 2 sin(ωt)
uL = L
En appliquant la loi d’additivité sur les expressions obtenus, on obtient :
u = uR + uL + uc
√
√
1
− Lω
U 2 cos(ωt + φ) = (R + r)I 2 cos(ωt) + I 2 sin(ωt)
Cω
1
U cos(ωt + φ) = Rt I cos(ωt) + I sin(ωt)
− Lω
Cω
√
Si ωt = 0 on aura :
U cos(φ) = Rt I
(1)
Si ωt = π/2 on aura :
1
U cos
+φ =I
− Lω
2
Cω
π
En utilisant le fait que : cos
π
2
+ x = − sin(x), on obtient :
−U sin(φ) = I
1
− Lω
Cω
1
⇐⇒ U sin(φ) = I Lω −
Cω
(2)
En divisant (2) par rapport à (1) on obtient :
U sin φ
sin φ
=
U cos φ
cos φ
1
Lω − Cω
tan φ =
Rt
1 Lω − Cω
φ = arctan
Rt
60
En ajoutant (1)2 à (2)2 , on obtient :
2
1
U 2 sin2 (φ) + U 2 cos2 (φ) = I 2 Lω −
+ Rt2 I 2
Cω
s
2
1
2
U = Rt + Lω −
I
Cω
s
2
1
Z = Rt2 + Lω −
Cω
Donc la tracé de la courbe de l’impédance en fonction de la fréquence, on rappelle que ω ∝ f :
Vous pouvez d’ailleurs déduire la relation suivante :
I=q
U
1
Rt2 + Lω − Cω
2
Z
Z0 = Rt
f0
f
À retenir :
À la résonance, les conditions suivantes sont vérifiés :
. Les impédances du condensateur et la bobine sont égaux :
Lω −
1
=0
Cω
. À partir de cette relation on peut déduire que :
1
Cω
1
ω2 =
LC
1
4π 2 f 2 =
LC
Lω =
f=
1
√
2π LC
Donc la fréquence à la résonance est celle du circuit (RLC) lorsque les oscillations sont libres.
.On peut déduire aussi que :
1 Lω − Cω
=0
φ = arctan
Rt
61
C’est-à-dire i et u sont en phase à la résonance.
. I est maximale sa valeur est :
I0 =
U
Rt
. Z est minimale sa valeur est :
Z0 = Rt
La bande passante, le facteur de qualité :
I0
La bande passante du circuit (RLC) est l’intervalle [f1 ; f2 ] vérifiant : I(f ) ≥ √ .
2
I
I0
I0
f1
f0
f2
f
La largeur de la bande passante, dite à trois décibels (-3dB) est : ∆f = f2 − f1 .
Le facteur de qualité d’un circuit (RLC) est donné par la relation :
r
f0
L
1
Q=
=
∆f
Rt C
C’est un facteur sans dimension caractérisant l’acuité de la résonance.
La puissance dans le régime sinusoïdal :
Puissance instantanée :
On sait que :
P = ui
Avec :
(
√
u = U 2 cos(ωt + φ)
√
i = I 2 cos(ωt)
Respectivement, la tension instantanée appliquée par le générateur, et l’intensité instantanée qui parcourt le circuit.
On rappelle que :
1
cos q cos p = [cos(q + p) + cos(q − p)]
2
P = ui
1
= 2U I (cos(2ωt + φ) + cos φ)
2
= U I (cos(2ωt + φ) + cos φ)
Cette puissance ne permet pas d’évaluer le bilan énergétique du circuit, donc on définit la puissance moyenne, appelée
aussi active.
62
La puissance moyenne :
Au cours d’une période T on a :
Z T
E =
Pdt
0
Z T
Z T
= UI
cos(2ωt + φ)dt +
0
cos φdt
0
= U IT cos φ
D’où :
P = U I cos φ
Complément mathématique : Soit f une fonction T -périodique, et F sa primitive :
Z a+T
f (x)dx = 0
a
Géométriquement on peut la démontrer comme suit :
y
Cf
x
Sinon :
Z a+T
Z 0
f (t)dt =
a
Z a+T
f (t)dt +
a
f (t)dt
0
Z a+T
Z a
f (t)dt −
=
0
f (t)dt
0
= F (a + T ) − F (0) − F (a) + F (0)
=0
F est T -périodique aussi.
Dans notre exemple l’intégrale :
Z T
cos(2ωt + φ)dt = 0
0
En tout cas, on sait maintenant que :
P = U I cos φ
Avec cos φ est le facteur de puissance.
On peut déduire à partir : P = Rt I 2 que :
cos φ =
Rt
Z
63
Production d’ondes électromagnétiques
et communication :
Ondes électromagnétiques :
Les ondes électromagnétiques correspondent aux oscillations couplées d’un champ électrique et d’un champ magnétique,
dont les amplitudes varient de façon sinusoïdale au cours du temps.Elles se propagent dans l’air et dans le vide ainsi
que dans certains milieux matériels.
La vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide et l’air est c = 3 × 108 m/s.
y
⃗
E
x
⃗
B
z
c
On rencontre différents types des ondes électromagnétiques, ayant des propriétés très différentes Elles comprennent
un vaste domaine de longueur d’onde, elles sont classées en fonction de leurs fréquences dans ce qu’on appelle le
spectre électromagnétique, par leurs longueur d’onde croissantes, nous avons les rayons gamma, les rayons X, les
ultraviolets, la lumière visible, les infrarouges, les micro-ondes et les ondes radio.
La lumière visible est une onde électromagnétique ainsi que ondes hertziennes qui sont utilisées dans le domaine de la
radio ,la télévision et la télécommunication.
Les ondes électromagnétiques pendant leur propagation ne transportent pas la matière mais elles transportent l’énergie,
et elles sont capables de transporter les informations.
64
Nécessité d’une modulation :
La transmission des informations :
Les ondes hertziennes ne se propagent dans l’air sur de grandes distances que si leurs fréquences sont élevées (de l’ordre
de Mégahertz), et puisque l’information dont on veut envoyer correspond à un signal dont la fréquences est faible, par
suite, c’est impossible à transmettre ces informations par des ondes hertziennes ayant ces fréquences.
Supposons que ces informations ont été transmises par l’onde, le récepteur rencontrera une difficulté pour distinguer
cette émission, il y aurait un chevauchement de l’information.
La dimension de l’antenne réceptrice doit être au moins égale au 1/4 de la longueur d’onde.
Pour un signal de fréquence 20 kHz, alors par un simple calcul :
c=λ×f
c
λ=
f
c
λ
=
4
4.f
3 × 108
=
= 3750m
80 × 103
Autrement dit, l’antenne est de dimension irréalisable techniquement.
La modulation :
Pour les raisons citées, la transmission des informations de basse fréquence par voie hertzienne nécessite l’utilisation
d’une onde de haute fréquence appelée onde porteuse.
Les informations à transmettre sont converties en signaux électriques qui modifient (modulent) l’une des grandeurs
caractéristiques de l’onde porteuse, par exemple l’amplitude ou la fréquence. Il s’agit alors :
De modulation d’amplitude (AM) ;
De modulation de fréquence (FM) ;
À chaque émetteur est attribuée une valeur particulière de la fréquence de la porteuse. Ainsi, un récepteur pourra
distinguer les différentes émissions.
On se limite dans la suite du cours à l’étude des signaux sinusoïdaux. Le signal réel peut toujours être ramené à un
somme des signaux sinusoïdaux.
L’expression mathématique d’une tension sinusoïdale est :
u(t) = U cos(2πf t + φ)
Où U est l’amplitude, f la fréquence et φ la phase.
U est utilisée pour moduler la porteuse, modulation d’amplitude.
f est utilisée pour moduler la porteuse, modulation de fréquence.
u
U•
La tension u(t)
t
−U •
65
La modulation d’amplitude :
La modulation d’amplitude :
Principe :
La modulation est obtenue par combinaison de deux ondes.
La première onde est liée à l’information à transmettre. Elle est supposée sinusoïdale, d’amplitude Usm et de fréquence
fs , la tension correspondante s’écrit alors :
us = Usm cos (2πfs t)
u
La tension us (t)
U•
t
−U •
Dans le cas de la modulation d’amplitude, on ajoute à cette tension us une tension continue U0 appelée tension de
décalage (ou offset).
us + U0 = Usm cos (2πfs t) + U0
u
La tension us (t) + U0
t
La seconde est la porteuse, onde sinusoïdale de haute fréquence et d’amplitude constante. Elle est produite par
l’oscillateur de l’émetteur qui délivre une tension de la forme :
up = Upm cos(2πfp t)
66
u
La tension up (t)
U•
t
−U •
Un circuit électronique, appelé multiplieur, donne en sortie
une tensin modulée s(t) proportionnelle au produit des u (t) + U
s
0
tensions us (t)+U0 et up (t) avec un coefficient multiplicateur
k exprimé généralement en V−1 .
s(t)
up (t)
Le multiplieur donne en sortie la tension :
s(t) = k.up (t). (us (t) + U0 )
u
La tension modulée s(t)
t
En remplaçant les fonctions par leurs expressions, on trouve :
s(t) = k.Upm cos(2πfp t) (Usm cos(2πfs t) + U0 )
Usm
= k.Upm U0 cos(2πfp t)
cos(2πfs t) + 1
U0
Usm
.
U0
A est l’amplitude de la tension modulée, et m le taux de modulation.
D’où :
On pose A = kUpm U0 et m =
s(t) = A cos(2πfp t) (m cos(2πfs t) + 1)
Théoriquement :
On sait que l’expression mathématique d’une tension s’écrit sous la forme suivante :
u(t) = Um cos(2πf t)
67
Pour que le signal modulant aura une expression mathématique, on pose Um = A (m cos(2πfs t) + 1)
−1 ≤
cos(2πfs t)
≤1
−m ≤
m cos(2πfs t)
≤m
1−m≤
m cos(2πfs t) + 1
≤1+m
A(1 − m) ≤ A m cos(2πfs t) + 1 ≤ A(1 + m)
On posons : Ummax = A(m + 1) et Ummin = A(m − 1), donc l’amplitude Um varie entre une valeur maximale et une
autre minimale :
Ummin ≤ Um ≤ Ummax
Manipulons le rapport
Ummax
:
Ummin
Ummax
A(m + 1)
=
Ummin
A(−m + 1)
Ummin (1 + m) = Ummax (1 − m)
Ummin + mUmmin = Ummax − mUmmax
m(Ummax + Ummin ) = Ummax − Ummin
Ummax − Ummin
m=
Ummax + Ummin
Notion de surmodulation :
Lorsque la valeur de U0 varie on obtient les courbes suivantes :
u
u
U0 > Us
U0 = Us
t
t
Figure 1
Figure 2
u
U0 < U s
t
Figure 3
La modulation est de bonne qualité sur la figure 1 et mauvaise sur les figures 2 et 3.
On constate alors que pour avoir une modulation de bonne qualité, la tension de décalage doit être supérieure à
l’amplitude de l’onde transmise. Autrement dit :
U0 > Us =⇒ m =
Us
<1
U0
68
On parle de la surmodulation dans les deux autres figures.
Lorsque la valeur de fp la fréquence de l’onde porteuse varie on obtient les courbes suivantes :
fp = 8fs
fp = 5fs
u
u
t
t
Figure 4
Figure 5
u
fp = 2fs
t
Figure 6
La modulation est de bonne qualité sur la figure 4 et mauvaise sur les figures 5 et 6.
On constate alors que pour avoir une modulation de bonne qualité, la fréquence de l’onde porteuse doit être très
supérieure à la fréquence de l’onde transmise :
fp >> fs
Analyse fréquentielle :
On sait que :
s(t) = A cos(2πfp t) (m cos(2πfs t) + 1)
En développant cette expression on obtient :
s(t) = Am cos(2πfp t) cos(2πfs t) + A cos(2πfp t)
Am
=
(cos (2π(fp + fs )t) + cos (2π(fp − fs )t)) + A cos(2πfp t)
2
Am
Am
=
cos (2π(fp − fs )t) + A cos(2πfp t) +
cos (2π(fp + fs )t)
2
2
Utiliser l’identité :
cos q cos p =
1
[cos(q + p) + cos(q − p)]
2
Cela correspond à la somme de trois tensions sinusoïdales des fréquences respectives :
fp − fs , fp , fp + fs , leurs valeurs se situent dans le domaine des fréquences qui correspondent aux ondes hertziennes à
grande portée.
69
A
A•
Une condition est toutefois nécessaire pour cela : il faut
que la bande passante du circuit oscillant de l’émetteur
est celle du récepteur englobent l’intervalle de fréquences
[fp − fs ; fp + fs ]
Am
•
2
•
fp − fs
•
fp
•
fp + fs
f
Conclusion :
La modulation d’amplitude consiste à modifier l’amplitude d’une onde porteuse de fréquence très élevée par l’onde à
transmettre, auquelle on ajoute une tension continue.
La démodulation :
Principe :
La démodulation consiste à détecter l’envoloppe de l’onde modulée et la séparer de la tension de décalage, pour
retrouver à la réception l’onde transmise.
Les étapes de la démodulation :
Détection de l’enveloppe :
On utilise un montage détecteur d’enveloppe appelé encore (filtre passe-bas).
Ce montage nous permet de trouver l’onde émise, il comporte une diode associée à un dipôle RC.
s(t)
C
R
À l’entrée du montage on applique directement la tension
s(t) représentant l’onde modulée délivrée par le multiplieur,
et on observe à la sortie une tension s′ (t) semblable à l’onde
modulante.
s′ (t)
Une condition est toutefois nécessaire pour obtenir une bonne démodulation est la vérification du : Tp << τ = RC < Ts ,
car le condensateur ne doit pas être déchargé au cours de cette période, la condition peut être énoncée autrement :
1
fs < << fp .
τ
La diode bloque les alternances négatives et donne la tension suivante :
u
u
t
t
70
Et le dipôle RC élimine les hautes fréquences, et on obtient l’enveloppe s′ (t) :
u
u
t
t
Élimination de la tension de décalage :
On utilise un filtre R′ C ′ passe-haut.
L’onde s′ (t) est appliquée à l’entrée de ce montage, et à la sortie on observe la tension us (t) émise.
On élimine la tension constante U0 par le condensateur C ′ , et on obtient le signal original us (t).
u
C′
t
′
s (t)
R
′
us (t)
Le récepteur radio :
Le montage du récepteur radio :
R6
R2
◃∞
C2
−
AO1
+
L
C0
R1
R5
◃∞
−
AO2
+
C1
R3
R4
Les éléments du récepteur radio :
Un récepteur radio AM se compose les éléments suivants :
. Une antenne qui capte les ondes radio.
. Un circuit (LC0 ) qui nous permet de sélectionner la fréquence de l’onde porteuse qu’on veut capter.
Cette sélection se réalise en variant l’inductance de la bobine ou la capacité du condensateur jusqu’à que la fréquence
1
√
.
propre du circuit (LC0 ) soit égale à la fréquence de l’onde porteuse f0 = fp , où f0 =
2π LC0
. On utilise un amplificateur avant et après la réception du signal modulé s(t) :
Préamplification : (Avant la réception) Afin d’obtenir une tension supérieure à la tension seuil de la diode, il
faut amplifier la tension délivrée par le dipôle (LC0 ).
71
Amplification : (Après la réception) On amplifie l’onde de manière à obtenir une tension suffisante aux bornes
du haut parleur, ce circuit est constituée d’un potentiomètre, qui nous permet de régler l’intensité du courant dans
l’haut parleur.
. Un circuit de démodulation d’amplitude qui comporte un circuit de détection d’enveloppe et un autre d’élimination
de la tension continue.
72
Les lois de Newton :
Complément mathématique :
Vecteur vitesse :
Définition : Le vecteur vitesse instantanée d’un mobile ponctuel en un point M est la dérivée par rapport au temps
−−→
du vecteur position OM .
−−→
dOM
⃗v =
dt
Le vecteur vitesse instantanée en un point M a les caractéristiques suivantes :

Origine :
Le point M



Direction : La tangente à la trajectoire au point M à la date t

sens :
Celui de mouvement à cet instant



norme :
La valeur positivek⃗v k = v
Dans le système international d’unités, la vitesse instantanée s’exprime en m/s.
Vecteur vitesse et cordonnées cartésiennes :
Dans le repère cartésien R(O,⃗i, ⃗j, ⃗k), le vecteur position
−−→
OM est donné par :
z
−−→
OM = x⃗i + y⃗j + z⃗k
M
Sa norme est :
p
−−→
kOM k = x2 + y 2 + z 2
⃗k
⃗i
⃗j
Le vecteur vitesse est donc :
y
⃗v =
x
Soit autrement :
−−→
dy
dz
dOM
dx
= ⃗i + ⃗j + ⃗k
dt
dt
dt
dt
= ẋ⃗i + ẏ⃗j + ż⃗k
⃗v =
En posant ẋ = vx , ẏ = vy et ż = vz , les composantes du vecteur ⃗v , on obtient :
⃗v = vx⃗i + vy⃗j + vz⃗k
La norme de ⃗v est :
k⃗v k =
q
vx2 + vy2 + vz2
73
−−→
dOM
dt
Vecteur accélération :
Définition : Le vecteur accélération instantanée ⃗a, d’un mobile ponctuel, en un point M , est la dérivée du vecteur
−−→
vitesse ⃗v par rapport au temps, ou la dérivée seconde du vecteur OM par rapport au temps.
⃗a =
−−→
d⃗v
d2 OM
=
dt
dt2
Vecteur accélération et cordonnées cartésiennes :
Dans le repère cartésien R(O,⃗i, ⃗j, ⃗k), et avec les expressions qui précèdent on obtient :
⃗a =
dvx⃗ dvy ⃗ dvz ⃗
k
i+
j+
dt
dt
dt
⃗a =
d2 x⃗ d2 y ⃗ d2 z ⃗
i+ 2j+ 2k
dt2
dt
dt
Donc, on peut écrire autrement :
C’est-à-dire :
⃗a = ẍ⃗i + ÿ⃗j + z̈⃗k
En posant ẍ = ax , ÿ = ay et z̈ = az , les composantes du vecteur ⃗a, on obtient :
⃗a = ax⃗i + ay⃗j + az⃗k
Dans le repère d’espace cartésien le vecteur ⃗a est toujours dirigé vers la concavité du trajectoire rectiligne, sa mesure
s’exprime en m/s2 .
La norme du vecteur accélération peut être calculée par :
q
k⃗ak = a2x + a2y + a2z
Vecteur accélération et base de Frenet :
Le mobile ponctuel M décrit une trajectoire que nous supposerons plane.
. Le vecteur vitesse, à la date t, est tangente à cette trajectoire et a le sens du mouvement, et le vecteur accélération
est dirigé vers la concavité du trajectoire.
Soit ⃗u le vecteur unitaire tangent en M à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement et ⃗n le vecteur unitaire
orthogonal au vecteur ⃗u et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.
M
⃗u
La base (⃗u, ⃗n) associée au point M , à la date t, constitue le
repère de projection de Frenet. Le vecteur ⃗a se décompose
⃗n
en deux vecteurs, vecteur accélération tangentielle et
⃗v
normale.
⃗a
Le vecteur accélération tangentielle :
⃗at = at ⃗u
avec
at =
dv
dt
L’accélération tangentielle caractérise la variation de la mesure algébrique de la vitesse.
Le vecteur accélération normale :
⃗an = an ⃗u
avec
an =
v2
ρ
ρ est le rayon de courbure de la trajectoire en M , c’est-à-dire si on parle d’un cercle ρ est le rayon du cercle, si on
parle d’une ellipse ρ est son rayon...
On écrit alors dans le repère de Frenet :
⃗a = ⃗at + ⃗an
=
v2
dv
⃗u + ⃗n
dt
ρ
74
Le mouvement :
Mouvement rectiligne :
Les mouvements rectilignes sont des mouvements dont les trajectoires sont droites.
⃗i
O
⃗v
⃗a
M
Le vecteur position s’écrit dans ce cas :
x
−−→
OM = x⃗i
Le vecteur vitesse est :
dx
⃗v = vx⃗i = ⃗i
dt
Le vecteur accélération est :
⃗a = ax⃗i =
d2 x⃗
i
dt2
Mouvement rectiligne uniforme :
Définition : Le point M est dit en mouvement rectiligne uniforme si sa trajectoire est une droite et si son vecteur
vitesse est constant par rapport au temps :
−→
⃗v = ⃗v0 = Cte
Donc sa dérivée par rapport au temps, qui est l’accélération est nulle :
⃗a = ⃗0
L’équation horaire du mouvement :
Dans le cas d’un mouvement rectiligne uniforme :
dx
= v0
dt
dx = v0 dt
Z
Z
dx = v0 dt
x = v0 t + c
On pose c = x0 l’abscisse à l’instant t0 , d’où l’équation horaire suivante :
x = v0 t + x 0
Mouvement rectiligne uniformément varié :
Définition : Le point M est dit en mouvement rectiligne uniformément varié si sa trajectoire est une droite et si son
vecteur d’accélération est constant :
−→
⃗a = Cte
Les équations horaires du mouvement :
Dans le cas d’un mouvement rectiligne uniformément varié :
dv
dt
a dt = dv
Z
Z
a dt = dv
a=
at + c = v
dx
at + v0 =
dt
at + v0 dt = dx
Z
Z
at + v0 = dx
1 2
at + v0 t + c′ = x
2
75
En posant c′ = x0 , on obtient :
x=
1 2
at + v0 t + x0
2
Les équations horaires sont :
1 2
at + v0 t + x0
2
v = at + v0
x=
Mouvement accéléré et retardé :
Un mouvement est dit accéléré si la norme de son vecteur vitesse croît au cours du temps :
⃗v .⃗a > 0
Un mouvement est retardé si la norme de son vecteur vitesse décroît au cours du temps :
⃗v .⃗a < 0
Mouvement circulaire :
Mouvement circulaire uniforme :
Définition : Un mouvement circulaire est dit uniforme si la valeur algébrique de la vitesse du point mobile est
constante : v = v0
La vitesse angulaire d’un mouvement circulaire uniforme est :
ω0 =
v0
R
Elle est exprimée en rad/s. R est le rayon de la trajectoire circulaire.
y
Dans un mouvement circulaire uniforme :
⃗v
L’accélération tangentielle est nulle :
M
dv
⃗an
at =
=0
dt
θ
R
Le vecteur accélération normale est exprimé par :
ω
O
x
an =
v2
R
Période et fréquence :
. La période d’un mouvement circulaire uniforme est la durée d’un tour.
T0 =
2π
ω0
Elle est exprimée en (s).
. La fréquence d’un mouvement circulaire uniforme est le nombre de tours par seconde.
f0 =
1
ω0
=
T0
2π
Elle est exprimée en (Hz).
76
Les équations horaires :
Équation horaire angulaire : On va utiliser l’expression de ω pour aboutir à cette équation :
dθ
dt
ωdt = dθ
Z
Z
ωdt = dθ
ω=
ωt + c = θ
En posant c = θ0 l’angle à t = 0, on trouve :
θ = ωt + θ0
Équation horaire curviligne : On rappelle que : s = Rθ, on multiplie les membres de l’équation précédente par R
et on la trouve :
s = v0 t + s0
s signifie l’arc parcouru à l’instant t, il s’exprime en (m).
Les lois de Newton :
La première loi de Newton :
Énoncée : Dans un référentiel galiléen, tout corps isolé (aucune force n’est appliquée) ou pseudo-isolé (la somme des
−−→
forces est nulle) est soumis d’un mouvement rectiligne uniforme ⃗v = Cte ou il est immobile ⃗v = ⃗0.
On rappelle qu’un référentiel est dit galiléen ou inertiel, si le principe d’inertie reste applicable.
Pour déterminer le mouvement d’un mobile, il est nécessaire de choisir un corps référentiel indéformable. On associe
au corps référentiel un repère d’espace (R) déterminé par son origine O sa base orthonormée (⃗i, ⃗j, ⃗k).
La deuxième loi de Newton :
Énoncée : Dans un repère galiléen, la somme des forces qui s’exercent sur un corps est égale au produit de la masse
du corps et de son vecteur d’accélération.
Mathématiquement :
X
F⃗i = m⃗a
i
Cette loi est appelée Le principe fondamentale de la dynamique. Le principe d’inertie n’est qu’une conséquence de
−−→
cette loi, car lorsque ⃗v = Cte l’accélération devient nulle, d’où la somme des forces est nulle. On dit que le système
est en équilibre.
X
F⃗i = ⃗0
i
La troisième loi de Newton :
Énoncée : Lorsqu’il y a une interaction entre deux corps A et B, le corps A exerce une force sur le corps B, on la
note F⃗A/B , et le corps B exerce une force de même intensité F⃗B/A ces deux vecteurs sont liés vectoriellement par la
relation suivante :
F⃗A/B = −F⃗B/A
Leur intensité est :
mA mB
d2
G est la constante de gravitation universelle elle vaut 6, 67 × 10−11 N.m2 .kg−2 , et d la distance qui les sépare.
FA/B = FB/A = G
Applications :
Cas du mouvement sur un plan horizontal sans frottement :
On considère un corps solide (S) en mouvement sur un plan horizontal sans frottement sous l’action d’une force
constante F⃗ comme l’indique la figure suivante :
77
y
⃗
R
•G
F⃗
x
P⃗
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :

⃗

P
⃗
R

⃗
F
: Le poids du corps
: La réaction du plan
: La force appliquée au (S)
X
⃗ = m⃗a.
D’après la deuxième loi de Newton :
F⃗ = m⃗a ⇐⇒ P⃗ + F⃗ + R
On considère le référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère (G, x, y). Trouvons l’expression de
k⃗ak :
On projette les forces et on trouve :
(
Donc : a =
F + 0 + 0 = max
⇔
R − P + 0 = may
(
F
R−P
= ma
=0
F
m
Cas du mouvement sur un plan horizontal avec frottement :
On considère un corps solide (S) en mouvement sur un plan horizontal avec frottement sous l’action d’une force
constante F⃗ comme l’indique la figure suivante :
y
⃗
R
φ
•G
F⃗
x
P⃗
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :

⃗

P
⃗
R

⃗
F
: Le poids du corps
: La réaction du plan
: La force appliquée au (S)
X
⃗ = m⃗a.
D’après la deuxième loi de Newton :
F⃗ = m⃗a ⇐⇒ P⃗ + F⃗ + R
On considère le référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère (G, x, y).
78
y
⃗
R
φ
f
RN
F⃗
•G
x
P⃗
(
F −f
RN − P
⃗ est donnée par : kRk
⃗ =
La norme du vecteur R
Le coefficient de frottement est donné par :
= max
⇔
= may
p
(
f
RN
= F − ma
=P
2 .
f 2 + RN
κ = tan φ =
f
⇐⇒ φ = arctan κ
RN
Cas du mouvement sur un plan incliné sans frottement :
On libère un corps solide (S) de masse m sur un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale et il glisse sans
frottement vers le bas.
y
⃗
R
•G
x
α
α
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :
D’après la deuxième loi de Newton :
P⃗
(
P⃗
⃗
R
X
: Le poids du corps
: La réaction du plan
⃗ = m⃗a
F⃗ = m⃗a ⇐⇒ P⃗ + R
On considère le référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère (G, x, y). Trouvons l’expression de
k⃗ak :
(
P sin α
= ma
⇔ a = g sin α
R − P cos α = 0
Cas du mouvement sur un plan incliné avec frottement :
On tire un corps solide (S) de masse m sur un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale en utilisant une
corde, il glisse avec frottement vers le haut.
79
y
⃗
R
φ
⃗N
R
F⃗
•G
x
f⃗
α
α
P⃗
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :

⃗

P
⃗
R

⃗
T
D’après la deuxième loi de Newton :
X
: Le poids du corps
: La réaction du plan
: La tension du corde
⃗ + T⃗ = m⃗a
F⃗ = m⃗a ⇐⇒ P⃗ + R
On considère le référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère (G, x, y).
(
f + P sin α − F
RN − P cos α
Donc : R =
p
= ma
⇐⇒
=0
(
f
RN
= F + m(a − g sin α)
= P cos α
2
f 2 + RN
Cas du mouvement curviligne :
Une bille (S) de masse m se déplace sur un un rail ABCD, contenant trois portions, comme l’indique la figure suivante :
A
α
B
C
M
θ
r
D
. La portion AB est inclinée d’une angle α où le mouvement se fait sans frottement.
. La portion BC horizontale où le mouvement se fait avec frottement.
. La portion CD est circulaire de rayon r, le mouvement se fait sans frottement.
Déterminons k⃗ak :
Le bilan des forces :
Le système étudié : {(S)}
(
P⃗
⃗
R
: Le poids du corps
: La réaction du plan
80
y
A
⃗
R
h
P⃗
α
x
B
D’après la deuxième loi de Newton :
X
⃗ = m⃗a
F⃗ = m⃗a ⇐⇒ P⃗ + R
On considère le référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère (G, x, y). Trouvons l’expression de
k⃗ak :
(
P sin α
= ma
⇔ a = g sin α
R − P cos α = 0
Supposant que vA = 0m/s, déterminons la vitesse au point B vB , en utilisant le théorème d’énergie cinétique :
Rappel :
Théorème de l’énergie cinétique :
X ∆Ec =
W F⃗
L’énergie cinétique :
Ec =
1
mv 2
2
d
W F⃗ = F⃗ .⃗l = F.l. cos F⃗ ; ⃗l
Le travail d’une force :
W P⃗ = ±mgh
Réponse : On a d’après le théorème de l’énergie cinétique :
X
⃗
∆Ec =
W ⇐⇒ EcB − EcA = W P⃗ + W R
|{z}
| {z }
0
0
1
2
⇐⇒ mvB
= mgh
2
p
⇐⇒ vB = 2gAB sin α
Sur la portion BC la bille glisse en frottement jusqu’à son arrêt au point C, déterminons k⃗ak :
y
⃗
R
φ
x
B
C
P⃗
D’après la deuxième loi de Newton on a :
X
⃗ + P⃗ = m⃗a
F⃗ = m⃗a ⇐⇒ R
81
Par projection sur l’axe des abscisses on trouve :
−f = ma ⇐⇒ a = −
f
m
Sur la portion CD les frottements sont négligeables, la balle (S) est animé par un point M :
⃗
R
C
h
On utilise le repère de Frenet, d’après la deuxième loi de
Newton on a :
X
⃗ = m⃗a
F⃗ = m⃗a ⇐⇒ P⃗ + R
M
⃗u
⃗n
θ
Sur l’axe (M, ⃗u) on a P sin θ = mat , et l’axe (M, ⃗n) on a
+P cos θ − R = man , par suite :

dv

P sin θ
=m
dt2

P cos θ − R = m v
r
P⃗
r
D
On a :
v2
r
v ici signifie la vitesse en point M , trouvons son expression, d’après le théorème de l’énergie cinétique on a :
X
⃗
∆Ec =
W ⇐⇒ EcM − EcC = W P⃗ + W R
|{z}
| {z }
R = P cos θ − m
0
0
1
2
⇐⇒ mvM
= mgh
2
1 2
= gr(1 − cos θ)
⇐⇒ vM
2
p
⇐⇒ vM = 2gr(1 − cos θ)
Par suite :
v2
R = P cos θ − m M
r
= mg cos θ − 2mg(1 − cos θ)
= 3mg cos θ − 2mg
= mg(3 cos θ − 2)
D’où R = mg(3 cos θ − 2)
82
La chute verticale :
Les forces agissantes sur un solide en chute verticale :
Le vecteur P⃗ :
O
f⃗
⃗k
Dans le champ de pesanteur terrestre, tous les solides sont soumis à une force
exercée par la terre, c’est le poids du corps.
⃗
Le vecteur poids est le produit de la masse m du solide et le vecteur champ de Fa
pesanteur terrestre ⃗g :
P⃗ = m⃗g
P⃗
z
Force de frottement fluide :
On modélise l’ensemble de forces de frottement entre le solide et le fluide par une seule force f⃗, c’est la force de
frottement fluide.
Il existe plusieurs types de forces de frottement fluide :
. Si le solide est petit et sa vitesse est faible, le vecteur s’écrit :
f⃗ = −h.v.⃗k
. Si le solide est grand et sa vitesse est grande, le vecteur s’écrit :
f⃗ = −h.v 2 .⃗k
Généralement la force de frottement fluide est de sens opposé à celui du vecteur vitesse et d’intensité :
f⃗ = −h.v n .⃗k
h est le coefficient de frottement fluide en kg.s−1 , il dépend de la forme et le volume du solide, ainsi la nature du fluide
et sa viscosité.
La poussée d’Archimède :
Tout solide immergé dans un fluide est soumis à l’action d’une force exercée par ce fluide.
Cette force est appelée poussée d’Archimède, notée F⃗a .
La poussée d’Archimède est égale à l’opposée du vecteur poids du volume du fluide déplacé :
F⃗a = −P⃗f = −mf ⃗g
Avec mf = ρf .V , la masse du fluide déplacé, ρf la masse volumique du fluide et V son volume déplacé.
D’où les caractéristiques suivantes :

La direction : Verticale

Le sens :
Vers le haut


La norme :
Fa = ρf .V.g
83
Chute verticale d’un corps dans un fluide par frottement :
L’équation différentielle vérifiée par la vitesse :
On considère une bille de masse m complètement immergée dans un fluide :
O
f⃗
⃗k
F⃗a
P⃗
z
Le système étudié : {La bille}
Bilan des forces :

⃗

P : Le poids de la bille
F⃗a : La poussée d’Archimède

⃗
f:
La force de frottement
Dans le référentiel terrestre supposée galiléen on associe le repère (O, z), En appliquent la deuxième loi de Newton :
X
F⃗ = m⃗a
P⃗ + F⃗a + f⃗ = m⃗a
P − Fa − f = ma
mg − ρV g − hv n = ma
ρV
h n
dv
g 1−
−
v =
m
m
dt
|
{z
} |{z}
A
B
Donc l’équation différentielle est donnée par :
A − Bv n =
dv
dt
Les régimes d’une chute verticale :
Au cours d’une chute verticale on distingue deux régimes, qui sont :
Le régime initial (transitoire) : Dans lequel la vitesse croit au cours du temps.
Le régime permanent : Dans lequel la vitesse reste constante au voisinage d’une vitesse appelée vitesse limite vl .
84
v
v = vl
vl •
Régime transitoire
Régime permanent
•
τ
t
Régime transitoire :
La vitesse de la bille augmente, la valeur de f augmente et l’accélération diminue.
Régime permanent :
La vitesse de la bille et la valeur de f deviennent constantes et l’accélération est nulle.
L’accélération à t = 0 est donnée par :
dv
vl
a0 =
=
dt t=0
τ
Ou bien à partir l’équation différentielle :
ρV
v=0
n
A − Bv = a −−→ a0 = A = g 1 −
m
La vitesse limite peut être calculé graphiquement, ou bien à partir l’équation différentielle :
A − Bv n =
dv v=vl
−−−→ A − Bvln = 0
dt
r
vl =
n
A
B
Remarque :
. La durée du mouvement initial, c’est-à-dire la durée dans du régime transitoire est environ 5τ .
. Si n = 1 alors le coefficient h est en Kg/s, si n = 2 alors h en Kg/m.
La méthode d’Euler pour la résolution approchée d’une équation différentielle :
Supposons que nous ayons une équation différentielle de la forme :
a=
dv
= A − Bv n
dt
La méthode d’Euler est une méthode qui nécessite la répétition du même calcul, elle permet de savoir la vitesse à un
instant donnée. Elle comporte deux étapes :
La première étape : Si on connait la vitesse initiale v0 , on détermine la valeur de a0 à partir la relation suivante :
a0 = A − Bv0n .
∆v
La deuxième étape : À un instant t1 = t0 + ∆t, avec ∆t est très petite, on a : ∆v = v1 − v0 et a =
,en supposant
∆t
n
que v0 = 0, on déduit que : v1 = a0 ∆t = A∆t, d’où : a1 = A − Bv1 .
À l’instant t2 = t1 + ∆t, on a : ∆v = v2 − v1 = a1 ∆t c’est-à-dire v2 = a1 ∆t + v1 et a2 = A − Bv2n .
En suivant les mêmes étapes on peut calculer jusqu’au vn et an , car la méthode d’Euler est itérative.
85
Généralisation de la méthode d’Euler :
À un instant ti , on écrit :
ai =
dv
= A − Bvin
dt t=ti
À l’instant t − i + 1 = ti + ∆t, où ∆t est infinitésimal (très petite), on peut adopter l’approximation suivante :
vi+1 − vi
dv
≈
= ai
∆t
dt t=ti
Ceci conduit à la relation suivante :
vi+1 = vi + ai ∆t
La combinaison de ces relations nous permet de connaître v et a à chaque pas ∆t, en suivant un enchainement de
calcul :
t0 = 0
v0 = 0
a0 = A − Bv0
t1 = t0 + ∆t
v1 = v0 + a0 ∆t
a1 = A − Bv1n
t2 = t1 + ∆t
v2 = v1 + a1 ∆t
a2 = A − Bv2n
......
......
......
ti = ti−1 + ∆t
vi = vi−1 + ai−1 ∆t
ai = A − Bvin
La chute libre verticale :
La chute libre :
Un solide est en chute libre lorsqu’il est soumis qu’à l’action de son poids, cette chute n’est réalisable que si le solide
se trouve dans le vide.
Les équations horaires du mouvement :
O
⃗k
On applique la deuxième loi de Newton :
X
F⃗ = m⃗a
⃗g
P⃗ = m⃗a
m⃗g = m⃗a
⃗g = ⃗a
Par projection sur l’axe (Oz) on trouve :
P⃗
a = g ⇐⇒
dv
=g
dt
ou
d2 z
=g
dt2
z
Par intégration on peut déduire que :
v = gt + v0
1
z = gt2 + v0 t + z0
2
86
Les mouvements plans :
Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme :
On lance un projectile de masse m d’un point O à l’instant t = 0 avec une vitesse initiale ⃗v0 qui fait une angle α avec
l’horizontale. On considère le repère (O,⃗i, ⃗j) confondu avec le plan où le projectile est en mouvement, il est supposé
galiléen.
Les conditions initiales : à t = 0 on a : x0 = 0 et y0 = 0.
y
⃗g
•
⃗v0
⃗j
•
P⃗
θ
x
⃗i
Les équations horaires du mouvement et vitesse :
Les composantes de ⃗v0 sont :
(
v0x
⃗v0
v0y
= v0 cos θ
= v0 sin θ
Le système étudié est {Le projectile}.
Le bilan des forces : Le projectile est soumis à son poids uniquement P⃗ .
D’après la deuxième loi de Newton on a :
X
F⃗ = m⃗a
P⃗ = m⃗a
m⃗g = m⃗a
⃗g = ⃗a
Projetons cette relation sur les axes :
(
ax
ay


 dvx = 0
=0
dt
⇐⇒ dv

= −g
 y = −g
( dt
vx = v0x
⇐⇒
vy = −gt + v0y
(
x = v0 cos(θ).t + x0
⇐⇒
y = − 21 gt2 + v0 sin(θ).t + y0
(
x = v0 t cos θ
⇐⇒
y = − 12 gt2 + v0 t sin θ
87
Donc les équations horaires de vitesse sont données par :
(
vx = v0 cos θ
vy = −gt + v0 sin θ
Et ceux du mouvement sont :

x = v0 t cos θ
1
y = − gt2 + v0 t sin θ
2
Étude de la trajectoire :
L’équation de la trajectoire est donné par :
y=−
Elle est obtenue en posant t =
g
x2 + x tan θ
2v02 cos2 θ
x
. C’est-à-dire en éliminant t entre x et y.
v0 cos θ
Les caractéristiques du mouvement :
La flèche :
C’est l’altitude maximale hmax atteinte par le projectile.
Soit S le point correspondant sur la trajectoire et situé dans le sommet de la trajectoire.
On a vyS = 0, c’est-à-dire :
v0 sin θ
−gt + v0 sin θ = 0 ⇐⇒ t =
g
En remplaçant dans les expressions de x et y, on trouve :
xS = v0 cos θ
On utilise
Et on a :
v0 sin θ
v 2 sin(2θ)
= 0
g
2g
sin(2θ)
= sin θ cos θ.
2
g v 2 sin2 θ
v0 sin θ
yS = − × 0 2
+ v0 sin θ
2
g
g
v02 sin2 θ v02 sin2 θ
=−
+
2g
g
v02 sin2 θ
=
2g
= hmax
La portée horizontale :
C’est l’abscisse xP du point P de la trajectoire d’ordonnée nulle, c’est-à-dire situé sur l’axe (Ox), autrement dit yS = 0,
on obtient :
g
− 2
x2 + xP tan θ = 0
2v0 cos2 θ P
C’est une équation qui donne deux solutions, dans notre cas, la première solution est x0 qui correspond au point du
lancement O.
Remarque : Si x1 et x2 sont les racines d’un polynôme ax + bx + c, alors :
x1 + x2 = −
b
a
et
x1 x2 =
c
a
88
Utilisons cette remarque et trouvons xP :
2v02 cos2 θ tan θ
g
2
2v cos θ sin θ
xP = 0
g
2
v sin(2θ)
= 0
g
xP + x0 =
La distance d la portée horizontale est :
d=
v02 sin(2θ)
g
La vitesse du centre d’inertie du projectile :
La vitesse du centre d’inertie à un instant t, s’écrit :
⃗v = vx⃗i + vy⃗j
q
La norme est :
v=
vx r + vy2
Avec :
vx = v0 cos θ
vy = −gt + v0 sin θ
et
Au point S le sommet on a vy = 0 donc :
vS =
p
vx2 = v0 cos θ
⃗ :
Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique B
Complément mathématique :
Le produit vectoriel :
Le produit vectoriel w
⃗ des deux vecteurs ⃗v et ⃗u, s’écrit sous forme w
⃗ = ⃗v ∧ ⃗u.
Sa direction est perpendiculaire au plan formé par ⃗u et ⃗v .
Son sens est déterminé à partir d’un trièdre direct ou par l’utilisation des trois doigts de la main droite.
Sa norme est déterminé en appliquant :
w = v.u. sin α
Où α = ⃗v ; ⃗u
w
⃗ = ⃗v ∧ ⃗u
⃗v
α
⃗u
Force de Lorentz :
⃗ :
Le champ magnétique B
⃗ est une grandeur vectoriel, vu l’année dernière, B
⃗ est caractérisée par, sa direction, son sens
Le champ magnétique B
et sa norme mesurée en Tesla (T).
Cette année en verra que la présence du champ magnétique traduit l’existence d’une force agissante sur sur les particules
chargées, de charge q et se déplaçant avec une vitesse ⃗v dans un référentiel donnée.
89
La relation de Lorentz :
À partir de la relation de Laplace (vue l’année dernière) qui s’applique aux conducteurs (une barre de fer par exemple),
on peut démontrer la force qui s’applique aux électrons qui traversent ce conducteur :
La force de Laplace est donnée par :
⃗
F⃗ = I⃗l ∧ B
Et on a : q = It et ⃗l = ⃗v t.
D’où :
q⃗v = I⃗l
Par suite :
⃗
F⃗ = I⃗l ∧ B
⃗
= q⃗v ∧ B
Cette relation est celle de Lorentz, qui décrit la force appliquée sur les particules chargés dans un champ magnétique,
animées en une vitesse ⃗v .
Remarque :
⃗ la particule ne subit pas de force car (⃗vd
⃗ = 0 c’est-à-dire sin 0 = 0.
. Si la vitesse ⃗v a la même direction de B,
; B)
⃗ car (⃗vd
⃗ = π/2.
. La force est maximale lorsque ⃗v est perpendiculaire à B,
; B)
. Les caractéristiques de la force :
⃗
Direction : F⃗ est orthogonale à la fois à ⃗v et à B.
⃗ F⃗ ) est direct.
Sens : Le trièdre (q⃗v ; B;
Intensité : F = |q sin α|vB.
q>0
F⃗
q<0
q⃗v
⃗
B
⃗
B
α
α
⃗v
F⃗
q⃗v
⃗v
Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique :
Dans tous ce qui suit, on considéreras que le poids de la particule est négligeable devant la force magnétique.
y
⃗j
⃗i
⃗k
x
⃗v0
⃗
B
F⃗
⃗ est uniforme et circulaire, qui se fait dans un plan.
Le mouvement de la particule dans le champ B
Démonstration :
Le système étudié : { La particule}
90
Les forces appliquées sur le systèmes : F⃗ La force magnétique.
Dans un repère terrestre considérée galiléen, on applique la deuxième loi de Newton :
q
⃗
F⃗ = m⃗a ⇔ ⃗a = ⃗v ∧ B
m
Multiplions les membres de cette équation scalairement par ⃗k :
q
⃗ .⃗k
⃗a.⃗k =
⃗v ∧ B
m
⃗ est colinéaire à ⃗k, donc :
Or, B
⃗a.⃗k = 0
Par suite, on déduit les équations suivantes :


z̈
ż


z
=0
=0
=0
⃗
La coordonnée z étant toujours nulle, le mouvement de la particule a lieu dans le plan (xOy) orthogonal à B.
La particule a une trajectoire curviligne, utilisons le repère de Frenet pour exprimer l’accélération :
⃗a = ⃗at + ⃗an =
Et on sait que :
⃗a =
q
⃗
⃗v ∧ B
m
Autrement :
⃗a = 0.⃗u +
D’où, on peut déduire le système suivant :

dv


dt
v2


ρ
v2
dv
⃗u + ⃗n
dt
ρ
|q|
vB.⃗n
m

 v = v0
mv0
⇐⇒
|q|
ρ =
=
vB
|q|B
m
=0
= Cte
= Cte
Ce qui montre que le mouvement est uniforme, et circulaire de rayon :
R=
mv0
|q|B
Remarque : La période T :
On sait que :
T =
2π
ω
2π
= v0
R
2πR
=
v0
2πm
T =
|q|B
La période ne dépend pas de v0 .
Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme
⃗ :
E
⃗ :
Le champ électrique E
⃗ est
Un champ électrique, est un champ crée par des particules chargées, souvent fixes dans le référentiel d’étude, E
caractérisé par : Sa direction, son sens et sa norme mesurée en V/m ou N/C.
91
On distingue deux cas : Si la charge est positive le champ est centrifuge, si elle négative alors le champ est centripète.
Cette année on s’intéressera au champs crées par les plaques appliquées entre eux une tension U et séparés par une
distance d.
A
⃗
E
d
UAB
B
⃗ :
Les caractéristiques de E
Direction : Perpendiculaire aux plaques.
Sens : De la plaque ayant le grand potentiel vers celle ayant le potentiel petit.
U
Intensité : E =
d
La force électrique :
⃗ est soumise à une force électrique :
Toute charge q placée dans une région de l’espace dominée par un champ électrique E
⃗
⃗
F = q E et d’intensité : F = |q|E.
⃗
Si q > 0, alors F⃗ a le même sens de E.
⃗
⃗
Si q < 0, alors F a le sens inverse de E.
Déviation d’une charge :
En suivant les mêmes étapes de l’étude précédente, on va déterminer le vecteur position, vitesse et accélération.
⃗ la force F⃗e est appliquée.
Lorsque un électron pénètre dans un champ électrique E,
y
P
A
De
F⃗
d
⃗vS
⃗
E
⃗v0
O
S
α
x
M
α
x
D
B
l
Le système étudié : { L’électron }
Les forces appliquées sur le système : F⃗ La force électrique.
Dans un repère considérée galiléen, on applique la 2ème loi de Newton :
q ⃗
F⃗ = m⃗a ⇔ ⃗a = E
m
Par projection on trouve :

ax
⃗a
ay

∫
 vx
=0
dt
⇒
⃗
v
|q|
 vy
=
E
m

∫
x
= v0
dt −−→
⇒
OM
|q|
y
Et
=
m
= v0 t
|q| 2
=
Et
2m
92
Le mouvement de la particule est rectiligne uniforme selon l’axe (Ox), alors qu’il est rectiligne uniformément varié
selon l’axe (Oy).
L’équation du trajectoire : Par élimination du temps entre x et y on trouve :
y=
|q|E 2
x
2mv02
La trajectoire est donc une parabole
Les caractéristiques du mouvement :
La sortie :
⃗
C’est le point S indiquée sur la figure. Il correspond au point où l’électron quitte le champ E.
2
|q|El
On xS = l, en la remplaçant dans l’équation du trajectoire on obtient : yS =
.
2mv02

xS = l
S
|q|El2
yS =
2mv02
La vitesse à la sortie :
On sait qu’à S on a tS = l/v0 , c’est la période nécessaire pour que la particule atteint S. D’où :

vxS = v0
⃗vS
|q|El
vyS =
mv0
⃗vS
α
vxS
vyS
On a :
tan α =
vyS
|q|El
=
vxS
mv02
La déviation électrique :
Après sa sortie, la particule n’est plus soumise à la force électrique, elle continue donc son mouvement jusqu’à son
arrivée à un point P , on remarque une distance importante De , c’est la distance qui sépare P du point d’impact M ,
⃗ était absent.
si E
On a :
De
yS
yS D
tan α =
=
⇐⇒ De =
D
x
x
Calculons x :
|q|El
yS
On sait que : tan α =
, d’où :
et on sait que x =
mv02
tan α
mv02
|q|l2 E
×
2
2mv0
|q|El
l
=
2
x=
Par suite :
|q|El 2
D
2mv02 l
|q|U
D
=
dmv02
De =
D’où :
De =
|q|D
U
dmv02
93
Mouvement des satellites et des planètes :
Référentiel héliocentrique et géocentrique :
Le repère héliocentrique : Un repère dont l’origine est confondue avec le centre d’inertie du système solaire, c’està-dire le centre du soleil, ses trois axes sont dirigés vers 3 étoiles fixes. Le repère géocentrique : Un repère dont
l’origine est confondue avec le centre d’inertie de la terre, ses trois axes dont deux sont dans le plan de l’équateur
dirigés vers 2 étoiles fixes, et le troisième est dirigé vers l’étoile polaire.
F
Réferentiel
héliocentrique
Soleil
Terre
F
F
Référentiel
géocentrique
Le repère héliocentrique constitue avec le repère du temps le référentiel héliocentrique, il est utilisé pour décrire le
mouvement des planètes du système solaire et sondes interplanétaires.
Le repère géocentrique constitue avec le repère temporel le référentiel géocentrique, il est utilisé pour décrire le
mouvement des satellites autour de la terre, il est en mouvement autour de l’origine du repère héliocentrique, sa
période est 365,25 jours.
Mouvements des planètes et des stallites :
L’ellipse mathématiquement :
Une ellipse de foyers F et F ′ , et le lieu de l’ensemble des points P , tel que :
P F + P F ′ = 2a
2a
P
A
B
F′
F
B′
94
A′
2b
Le segment [AA′ ] représente le grand axe de l’ellipse il mesure 2a, et le segment [BB ′ ] représente le petit axe il mesure
2b.
Le cercle est une ellipse dont les deux foyers sont confondus en un point appelé le centre, d’où :
a=r
et
AA′ = BB ′ = 2r
Les lois de Kepler :
Loi des orbites :
Planète
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire d’une
planète est une ellipse dont le soleil est l’un de ses foyers.
Soleil
Loi des aires :
Planète
Le segment de la droite reliant le soleil à une planète balaie
des aires égales pendant des durées égales.
Les planètes se déplacent plus rapidement lorsqu’elles sont
proches du soleil et plus lentement lorsqu’elles sont plus
éloignés.
Soleil
Loi des périodes :
Pour toute planète du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi grand
axe est constant :
T2
= Cte
a3
Cette valeur dépend que du soleil, on remplace r par a lorsque la trajectoire est circulaire.
Étude du mouvement d’une planète et d’un satellite :
Rappel sur la loi d’attraction universelle :
−
→
⃗u−
AB
F⃗B/A
F⃗A/B
B
A
Lorsqu’il y a une interaction entre deux corps A et B, le corps A exerce
une force sur le corps B, on la note F⃗A/B , et le corps B exerce une force
de même intensité F⃗B/A ces deux vecteurs sont liés vectoriellement par
la relation suivante :
mA mB
−
→
⃗u−
F⃗A/B = −F⃗B/A = −G
AB
d2
G est la constante de gravitation universelle elle vaut 6, 67 ×
10−11 N.m2 .kg−2 , et d = AB la distance qui les sépare.
95
L’étude du mouvement d’une planète autour du soleil :
La planète de masse mp , est soumise qu’à la force d’attraction appliquée par le soleil.
D’après la 2ème loi de Newton :
X
Ms m p
F⃗ = m⃗a ⇐⇒ −G
⃗uOG = mp⃗a
r2
Ms m p
⇐⇒ G
⃗n = mp⃗a
r2
Donc :
⃗a = G
Ms
⃗n
r2
Planète
G
⃗u
⃗n
⃗v
Puisque le trajectoire est curviligne, alors d’après la relation de Frenet
on aura :
dv
v2
Ms
⃗u + ⃗n
⃗a = at ⃗u + an⃗n ⇐⇒ G 2 ⃗n =
dt
r
r
dv


=0
⇐⇒ dt2
GMs

v
=
r
r2
⃗a
⃗
uOG
O
Le soleil
Puisque la dérivée par rapport au temps de la vitesse est nulle, alors v est constante.
On a :
GMs
v2
=
2
r
rr
GMs
v=
r
Par suite le mouvement est circulaire uniforme, sa période est :
2π
ω
2πr
=
v
2πr
=q
T =
GMs
r
T2 =
4π 2 r2
GMs
r
2
4π
T2
=
r3
GMs
D’où la constance du rapport T 2 /r3 d’après la loi de Kepler.
96
Mouvement d’un satellite en orbite :
La seule force appliquée sur le satellite de masse mS et d’altitude h,
est celle d’attraction :
X
F⃗ = m⃗a
⃗u
⃗n
mS MT
F⃗T /S = G
⃗n
(RT + h)2
mS MT
⃗n
mS⃗a = G
(RT + h)2
⃗a
⃗v
h
RT
D’où :
GMT
⃗n
(RT + h)2
On sait d’après la relation de Frenet que :
⃗a =
La terre
dv
v2
⃗u + ⃗n
dt
r
GMT
⇐⇒ ⃗a = 0.⃗u +
⃗n
(RT + h)2
⃗a = at ⃗u + an⃗n ⇐⇒ ⃗a =
Par suite :
r
v=C
te
et
v=
GMT
RT + h
Force d’attraction et le poids du satellite :
On considère que la force d’attraction appliquée sur le satellite égale aux poids de ce dernier :
P⃗ = F⃗ ⇐⇒ ⃗g = ⃗a
⇐⇒ ⃗g =
GMT
⃗n
(RT + h)2
Donc l’intensité est :
g=
GMT
(RT + h)2
Lorsque h = 0 on aura :
g0 =
GMT
RT2
En divisant les deux relations on obtient :
g = g0
RT2
(RT + h)2
g=
v2
RT + h
Or a = g alors :
D’où :
r
v = RT
s
g0
RT + h
et
2π(RT + h)
T =
= 2π
v
(RT + h)3
GMT
Les satellites géostationnaires :
Un satellite géostationnaire est un satellite qui doit être fixe par rapport à la terre.
Afin d’obéir ceci, il faut vérifier les conditions suivantes :
Le plan d’orbite est dans le plan équatorial.
La période de révolution du satellite égale à la période propre de la terre T = 86164 s.
97
La trajectoire est un cercle décrit dans le même sens de rotation de la terre.
Pour vérifier la deuxième condition on peut utiliser :
s
(RT + h)3
T = 2π
GMT
T2
(RT + h)3
=
2
4π
GMT
T 2 GMT
= (RT + h)3
2
4π
r
2
3 T GMT
− RT = h
4π 2
On obtient après l’application numérique h ≈ 36000 Km.
Donc, un satellite pour qu’il soit immobile pour l’observateur (géostationnaire), doit évoluer sur une orbite circulaire,
dans le plan équatorial, à l’altitude h = 36000 Km.
98
Mouvement de rotation d’un solide
autour d’un axe fixe :
Rappel :
Définition du mouvement de rotation :
Un solide indéformable est en rotation autour d’un axe fixe si tous ses points décrivent des trajectoires circulaires
centrés sur cet axe, ils ont la même vitesse angulaire, sauf les points situés sur l’axe.
Moment d’une force :
Le moment d’une force F⃗ par rapport à un axe fixe (∆), est le produit de l’intensité de cette force par la distance qui
sépare la droite d’action de la force et l’axe de rotation.
M∆ (F⃗ ) = ±F.d
Le signe dépend du sens de rotation, si la force tourne le solide dans le sens positif alors le signe est positif, sinon le
signe du M∆ est négatif.
Son unité est N.m
Sens positif
Sens positif
M
M
F⃗
F⃗
(∆)
(∆)
M∆ = +F.d
M∆ = −F.d
Physiquement, c’est la grandeur qui traduit l’aptitude de cette force de faire tourner un système mécanique autour
d’un axe.
Moment d’inertie :
Le moment d’inertie d’un corps est l’analogue de la masse m, c’est une quantité physique caractérisant chaque corps,
elle dépend de la masse, la longueur, la forme...
Son unité est Kg/m2
On donne les moments d’inertie des corps suivants :
99
Tige
Tige
Sphère
(∆)
R
L
(∆)
L
(∆)
J∆ =
1
mL2
3
J∆ =
1
mL2
12
Cylindre
Anneau
2 2
mr
5
Disque
J∆ =
(∆)
R
R
R
(∆)
(∆)
J∆ =
J∆ = mr2
1 2
mr
2
J∆ =
1 2
mr
2
De l’abscisse angulaire à l’accélération angulaire :
L’abscisse angulaire :
On peut repérer la position du point appartenant à un solide par l’angle
−−−→
θ formé d’un vecteur M0 M avec un axe
référentielle, le plus
une direction
−→
−→
−−→
\
souvent l’axe Ox, l’angle est donc θ = Ox; OM , son unité est (rad).
Sa relation avec l’abscisse curviligne s est :
y
s = OM = R.θ
⃗v
La vitesse angulaire :
M
On définit la vitesse angulaire comme la dérivée de l’abscisse angulaire par
rapport au temps :
dθ
ω = θ̇ =
dt
Son unité rad.s−1 . La relation entre la vitesse angulaire et la vitesse linéaire
est :
v
θ̇ =
R
Car :
R
θ
O
M0
x
d
ds
=
(R.θ)
dt
dt
dθ
⇐⇒ v = R
dt
⇐⇒ v = Rω
S = Rθ ⇐⇒
L’accélération angulaire :
On définit l’accélération angulaire comme la dérivée de la vitesse par rapport au temps :
θ̈ =
dθ̇
d2 θ
= 2
dt
dt
100
Son unité est rad/s2 . D’après la relation de Frenet on a :
⃗a = at ⃗u + an⃗n
On a :
v2
R
R2 θ̇2
=
R
= Rθ̇2
dv
dt
dRθ̇
=
dt
= Rθ̈
at =
an =
Donc :
an = Rθ̇2
et
at = Rθ̈
Mouvement de rotation :
Mouvement de rotation uniforme :
Le mouvement de rotation uniforme est un mouvement dans lequel l’accélération angulaire est nulle, et la vitesse est
constante, son équation horaire :
θ = ωt + θ0
Où θ0 est l’abscisse angulaire à l’origine des dates.
Mouvement de rotation uniformément varié :
Le mouvement de rotation varié est un mouvement dans lequel l’accélération est constante, son équation horaire est :
θ=
1 2
θ̈t + θ̇0 t + θ0
2
θ̇0 est la vitesse angulaire à l’origine des dates. L’équation de la vitesse angulaire est :
θ̇ = θ̈t + θ̇0
De cette équation on peut déduire que : t =
En remplaçant dans l’équation horaire :
θ̇ − θ̇0
θ̈
1
θ = θ̈
2
θ̇ − θ̇0
θ̈
1
θ − θ0 = θ̈
2
θ̇ − θ̇0
θ̈
!2
+ θ̇0
!2
+
θ̇ − θ̇0
θ̈
!
+ θ0
2θ̇0 θ̇ − θ̇0
2
θ̈
2θ̈(θ − θ0 ) = (θ̇ − θ̇0 )2 + 2θ̇0 (θ̇ − θ̇0 )
= θ̇2 − 2θ̇0 θ̇ + θ̇2 + 2θ̇0 θ̇ − 2θ̇02
2θ̈(θ − θ0 ) = θ̇2 − θ̇02
C’est la relation caractéristique du mouvement de rotation uniformément varié.
Le principe fondamental de la dynamique :
La somme des moments des forces extérieures qui s’exercent sur un solide en rotation autour d’un axe fixe (∆) est
égale au produit du moment d’inertie du solide et son accélération angulaire :
X
M∆ (F⃗ ) = J∆ θ̈
Remarques :
Si θ̈ = 0, alors le mouvement de rotation est uniforme autour de l’axe fixe (∆), est le système étudié est en équilibre.
Si θ̈ = Cte , alors le mouvement de rotation est uniformément varié autour de l’axe fixe (∆).
101
Mouvements oscillants - Aspects
énergétiques :
Un système oscillant, est tout simplement un corps ou plusieurs corps, effectuent un mouvement d’aller-retour autour
de son position d’équilibre.
Lors de cette étude, on remarquera une analogie entre les systèmes oscillants (le pendule élastique, de torsion, pesant...)
et les circuits (LC, RLC...). On parle des oscillateurs harmoniques.
Pendule élastique :
Pendule élastique horizontal :
Étude dynamique :
Sur un plan lisse on attache à l’extrémité d’un ressort de spires non jointives et de masse négligeable, un corps (S) de
masse m, on l’écarte de sa position d’équilibre, et on le lâche sans vitesse initiale, le solide effectue donc un mouvement
rectiligne oscillatoire.
y
G
⃗i
−xm
xm
O
y
∆l = x
⃗
R
T⃗
G
P⃗
Étudions ce système dynamiquement :
Le système étudié : {(S)}
Bilan des forces :

⃗

P : Le poids du corps
⃗ : La réaction du plan
R

⃗
T : La tension du ressort
102
x
Dans le référentiel terrestre supposée galiléen on associe le repère (Ox), On applique la deuxième loi de Newton :
X
F⃗ = m⃗a
⃗ + T⃗ = m⃗a
P⃗ + R
−kx = mẍ
k
x + ẍ = 0
m
C’est une équation différentielle linéaire du seconde ordre, sa solution s’écrit sous forme :
x = xm cos
Où :


x m
T0


φ
2π
t+φ
T0
Amplitude maximale en (m)
La période propre des oscillations (s)
Phase à l’origine des dates en (rad)
x
xm
T0
t
−xm
En dérivant x on trouve l’expression du ẋ = v :
2π
xm cos
t+φ
T0
2π
2π
ẋ = −xm
sin
t+φ
T0
T0
d
dx
=
dt
dt
On pose xm
2π
= ẋm , on obtient :
T0
ẋ = −ẋm sin
2π
t+φ
T0
Et en dérivant cette dernière on trouve l’équation de l’accélération :
dẋ
d
2π
=
−ẋm sin
t+φ
dt
dt
T0
2π
2π
ẍ = − ẋm cos
t+φ
T0
T0
On pose :
2π
ẋm = ẍm , on obtient donc :
T0
ẍ = −ẍm cos
2π
t+φ
T0
103
La période T0 et la fréquence f0 :
On a :
2π
t+φ
T0
2
2π
2π
ẍ = −
xm cos
t+φ
T0
T0
2
2π
ẍ = −
x
T0
ẍ = −ẍm cos
C’est l’équation caractéristique du mouvement rectiligne oscillatoire.
On sait d’après l’équation différentielle que :
k
ẍ = − x
m
Par suite :
2
2π
k
=
m
T0
m
T02 = (2π)2
r k
m
T0 = 2π
k
C’est la période propre du pendule élastique en oscillations libres non amorties. La fréquence est donc :
r
k
1
1
f0 =
=
T0
2π m
Remarque : Si n est le nombre des oscillations effectuées par l’oscillateur (le pendule) pendant la durée ∆t, alors :
T0 =
∆t
n
Détermination de φ :
Afin de déterminer la phase à l’origine des dates, on utilise les conditions initiales, soit la fonction suivante :
2π
x = xm cos
t+φ
T0
On a trois cas possibles, selon la représentation graphique de x en fonction du temps :
Cas 1 :
Si la représentation graphique est :
x
xm •
t
−xm •
À t = 0 on a x = xm , c’est-à-dire :
xm = xm cos
2π
×0+φ
T0
= xm cos (φ)
1 = cos(φ)
La solution est φ = 0.
Cas 2 :
Si la représentation graphique est :
104
x
xm •
t
−xm •
À t = 0 on a x = 0, c’est-à-dire :
0 = xm cos
2π
×0+φ
T0
= xm cos (φ)
0 = cos(φ)
π
La solution est φ = ± . Dérivons x et trouvons la réponse correcte :
2
dx
d
2π
=
xm cos
t+φ
dt
dt
T0
2π
2π
= −xm
sin
t+φ
T0
T0
À t = 0 on a :
dx
dt
2π
sin(φ)
T0
t=0
π
Or cette expression doit être négative alors : sin(φ) > 0 =⇒ φ = .
2
Cas 3 :
Si la représentation graphique est :
= −xm
x
xm •
t
−xm •
À t = 0 on a x = 0, c’est-à-dire :
0 = xm cos
2π
×0+φ
T0
= xm cos (φ)
0 = cos(φ)
π
La solution est φ = ± . Dérivons x et trouvons la réponse correcte :
2
d
2π
dx
=
xm cos
t+φ
dt
dt
T0
2π
2π
= −xm
sin
t+φ
T0
T0
105
À t = 0 on a :
dx
dt
= −xm
t=0
2π
sin(φ)
T0
Or cette expression doit être positive alors : sin(φ) < 0 =⇒ φ = −
π
2
Étude énergétique :
G
Epp = 0
L’énergie cinétique : C’est l’énergie qu’un corps possède du fait de son mouvement, son unité est Joules (J), elle
est donné par la relation suivante :
1
1
Ec = mv 2 = mẋ2
2
2
L’énergie potentielle : C’est l’énergie que possède le corps potentiellement, et capable d’être transformé en autre
forme d’énergie, son unité est Joules (J), dans notre cas c’est la somme de l’énergie potentielle du pesanteur, et
potentielle élastique, en choisissant l’axe passant par le centre d’inertie G comme l’origine de l’énergie, on obtient :
Epp = mg(z0 − z0 ) = 0. Pour l’énergie élastique, son expression est :
Epe =
1 2
kx + C
2
On prend Epe = 0 lorsque x = 0, donc C = 0 et :
Epe =
1 2
kx
2
Et l’énergie potentielle :
Ep = Epp + Epe
L’énergie mécanique : C’est l’énergie totale du système mécanique, emmagasinée comme énergie potentielle et
cinétique, son unité est Joules (J) :
Em = Ec + Ep
On rappelle que lorsque les frottements sont absents, l’énergie mécanique se conserve. Alors qu’elle est perdue lorsque
les frottements sont présents.
(
0,
Absence des frottements
∆Em =
−Q, Présence des frottements
Où Q est la chaleur en Joules (J).
Em = Ep + Ec
1
1
= kx2 + mẋ2
2 2
dEm
d 1 2 1
2
=
kx + mẋ
dt
dt 2
2
dx
dẋ
0 = kx
+ mẋ
dt
dt
= kxẋ + mẋẍ
kx + mẍ = 0
k
x + ẍ = 0
m
C’est la même équation différentielle obtenue à partir l’étude dynamique.
On sait que : Em = Epe + Ec = Cte .
106
E
Epe
Ec
t
On constate un échange d’énergie potentielle et cinétique dans le système.
On admet que la période énergétique T vaut la moitié de la période propre des oscillations :
1 2
kx
2
1
2π
= kx2m cos2
t+φ
2
T0


2π
cos
2
t
+
φ
+
1
T0
1

= kx2m 
2
2
1 2
1
2π
= kxm + cos 2 t + 2φ
4
4
T0
!
1 2
1
2π
′
= kxm + cos T0 + φ
4
4
2
1
2π
1
+ φ′
= kx2m + cos
4
4
T
Epe =
Donc :
T0
et
φ′ = 2φ
2
Autrement dit, les échanges sont faites 2 fois pendant T0 .
Le travail de la tension du ressort :
Généralement le travail d’une force est calculé à partir la relation suivante :
Z B
F⃗ .d⃗l
W F⃗ =
T =
A
A→B
Le déplacement du ressort se fait selon l’axe (Ox), donc le vecteur du déplacement élémentaire peut être remplacé par
dx :
Z B
W T⃗ =
T⃗ .d⃗l
A
A→B
Z B
−kxdx
=
A
= −k
x2
2
xB
xA
1
= − k(x2B − x2A )
2
D’où le travail de la force du rappel, lorsque le point d’application se déplace d’un point A à B, est :
1
W T⃗ = k(x2A − x2B )
2
A→B
107
Remarque : Vu l’année précédente, on sait que la variation de l’énergie potentielle du pesanteur est donnée par la
relation :
∆Epp = −W P⃗
On peut démontrer que :
∆Epe = −W T⃗
∆Epe = Epef − Epei
1
= k(x2f − x2i )
2 = −W T⃗
Diagramme d’énergie :
E
Em
Ep
Ec
Em
2
−xm
xm
x
Les frottements sont négligeables, donc l’énergie mécanique se conserve.
1
Lorsque x = ±xm alors ẋ = 0, d’où : Em = kx2m .
2
1
Et lorsque x = 0 alors ẋ = ±ẋm , d’où : Em = mẋ2 .
2
On déduit donc que :
1 2
1
kxm = mẋ2m ⇐⇒ ẋm =
2
2
r
k
xm
m
Par suite la vitesse est maximale lorsque le corps parcourt la distance maximale xm .
Pendule élastique vertical :
Étude dynamique :
À l’extrémité libre d’un ressort de spires non jointives et de masse négligeable, on attache un corps (S) de masse m.
Dans ce cas il faut faire attention en ce qui concerne l’élongation du ressort, car lors du suspension du corps, le ressort
s’allonge d’une distance ∆l0 . Pour la déterminer on étudie le système en équilibre :
108
Système étudié : {(S)}
Bilan des forces :
(
P⃗ : Le poids du corps
T⃗ : La tension du ressort
T⃗
Dans le référentiel terrestre supposée galiléen on associe le repère (Ox),
On applique la première loi de Newton :
∆l0
P⃗ + T⃗ = ⃗0
G
P −T =0
O
mg = k∆l0
mg
∆l0 =
k
x
P⃗
En allongeant le corps (S) vers le bas, il effectue un mouvement oscillatoire, on suppose que l’air n’a aucun effet sur
le mouvement de (S) :
T⃗
∆l0
G
O
∆l
x
T⃗
P⃗
G
P⃗
x
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :
(
P⃗ : Le poids du corps
T⃗ : La tension du ressort
Dans le repère (Ox) associé au
référentiel terrestre galiléen, on
109
applique la deuxième loi de Newton :
X
F⃗ = m⃗a
P⃗ + T⃗ = m⃗a
mg − k∆l = mẍ
mg
mg − k
+ x = mẍ
k
mg − mg − kx = mẍ
mẍ + kx = 0
k
ẍ + x = 0
m
C’est la même équation différentielle obtenue dans la section précédente, sa solution est toujours de la forme :
2π
t+φ
x = xm cos
T0
r
Sa période propre des oscillations est : T0 = 2π
m
k
Étude énergétique :
Epp = Epe = 0
G
O
x
Énergie potentielle : On considère que lorsque le système est en équilibre Epe = 0, ainsi que le plan passant par G
à l’équilibre, constitue l’état référentiel de l’énergie potentielle de pesanteur Epp = 0 :
On sait que l’énergie potentielle de pesanteur est :
Epp = −mgx + C
Déterminons C :
Lorsque x = xG = 0 on a :
Epp = 0
−mgxG + C = 0
C=0
Par suite :
Epp = −mgx
Et l’énergie potentielle élastique est :
Epe =
1
k∆l2 + C
2
110
Avec ∆l = ∆l0 + x, déterminons C :
Lorsque le système est en équilibre on a :
Epe = 0
1 2
∆l + C = 0
2 0
1
C = − ∆l02
2
D’où :
1
1
k∆l2 − k∆l0
2
2
1 2
= k (∆l0 + x) − ∆l02
2
1
= k(∆l02 + 2∆l0 x + x2 − ∆l02 )
2
1
= kx2 + k∆l0 x
2
Epe =
Par suite l’énergie potentielle du système est :
1
Ep = −mgx + kx2 + k∆l0 x
2


1
= x k∆l0 − mg + kx
| {z } 2
0
1
= kx2
2
Énergie cinétique :
Ec =
1
mẋ2
2
Énergie mécanique :
Em = Ep + Ec
1
1
= kx2 + mẋ2
2
2
1
= (kx2 + mẋ2 )
2
On dérive Em sachant qu’elle est constante :
dEm
=0
dt
1
(2kxẋ + 2mẋẍ) = 0
2
ẋ(kx + mẍ) = 0
k
x + ẍ = 0
m
Et encore une fois on obtient l’équation différentielle, de solution :
2π
x = xm cos
t+φ
T0
Pendule élastique incliné :
Étude dynamique :
Dans un plan lisse incliné d’un angle α, on attache à l’extrémité d’un ressort de spires non jointives et de masse
négligeables, un corps (S) de masse m, le ressort s’allonge donc d’une distance ∆l0 , on la détermine en étudiant le
système à l’équilibre :
111
y
y
T⃗
⃗
R
G
x
α
P⃗
x
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :

⃗

P : Le poids du corps
⃗
T : La tension du ressort

⃗
R : La réaction du plan
Dans le repère (Gx) associé au référentiel terrestre galiléen, on applique la première loi de
Newton :
X
F⃗ = ⃗0
⃗ + T⃗ = ⃗0
P⃗ + R
P sin α − T = 0
P sin α = T
k∆l0 = P sin α
mg sin α
∆l0 =
k
Maintenant on écarte le corps, et on le lâche sans vitesse initiale, il effectue un mouvement oscillatoire :
y
y
T⃗
⃗
R
G
x
P⃗
α
x
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :

⃗

P : Le poids du corps
T⃗ : La tension du ressort

⃗
R : La réaction du plan
112
Dans le repère (Gx) associé au référentiel terrestre galiléen, on applique la deuxième loi de
Newton :
X
F⃗ = m⃗a
⃗ + T⃗ = m⃗a
P⃗ + R
P sin α − T = mẍ
mg sin α − k∆l = mẍ
mg sin α − k(∆l0 + x) = mẍ
mg sin α − k∆l0 −kx = mẍ
|
{z
}
0
mẍ + kx = 0
k
ẍ + x = 0
m
C’est l’équation différentielle obtenue dans les deux premiers sections, sa solution est toujours :
2π
x = xm cos
t+φ
T0
r
m
Sa période d’oscillations est : T0 = 2π
.
k
Étude énergétique :
y
G
O
Epe = Epp = 0
x
α
z
x
Énergie potentielle : On considère que l’énergie potentielle élastique est nulle Epe = 0 lorsque le système est en
équilibre, ainsi que le plan passant par G constitue à l’équilibre l’état référentiel de l’énergie potentielle de pesanteur
Epp = 0 : On sait que :
Epp = −mgz + C
On détermine C :
Epp = 0
−mgz0 + C = 0
C=0
Donc :
Epp = −mgz
Or z = x sin α, alors :
Epp = −mgx sin α
Et on a :
Epe =
1
k∆l2 + C
2
113
On détermine C :
Epe = 0
1
k∆l02 + C = 0
2
1
C = − k∆l02
2
Par suite :
1
1
k∆l2 − k∆l02
2
2
1 2
= k (∆l0 + x) − ∆l02
2
1
= k ∆l02 + 2∆l0 x + x2 − ∆l02
2
1
= k∆l0 x + kx2
2
Epe =
Par suite l’énergie potentielle est :
1
Ep = −mgx sin α + k∆l0 x + kx2
2 

1
= x k∆l0 − mg sin α + kx
|
{z
} 2
0
1
= kx2
2
L’énergie cinétique :
Ec =
1
mẋ2
2
Énergie mécanique :
Em = Ep + Ec
1
1
= kx2 + mẋ2
2
2
1
= (kx2 + mẋ2 )
2
On dérive Em sachant qu’elle est constante :
dEm
=0
dt
1
(2kxẋ + 2mẋẍ) = 0
2
ẋ(kx + mẍ) = 0
k
x + ẍ = 0
m
On obtient toujours l’équation différentielle de solution :
x = xm cos
2π
t+φ
T0
L’amortissement des oscillations :
En réalité, les frottements ne sont pas négligeables, ceci constitue un obstacle devant le mouvement oscillatoire du
corps. Le corps n’atteint plus ±xm , sa vitesse et son accélération décroient, et sur l’enregistrement on observe :
114
x
t
Dans ce cas le mouvement oscillatoire est pseudo-périodique de pseudo-période T .
Et puisque les frottements sont présents alors l’énergie mécanique ne se conserve plus, et diminue progressivement au
cours du temps :
E
Epe
Ec
t
L’énergie mécanique se transforme progressivement en chaleur, et le mouvement continue jusqu’à que le système revient
à sa position d’équilibre. Sa dérivée est donc négative vaut le travail des forces de frottements.
La résonance mécanique :
Parfois les systèmes mécaniques, sont obligés à osciller d’une fréquence imposée par un moteur mécanique par exemple,
on dit que les oscillations sont forcées.
Dans ce cas le moteur est dit excitateur, il impose la fréquence à un système oscillant dit résonateur, la période du
résonateur est donc identique à celle du excitateur,
ainsi qu’elle est proportionnelle à l’amplitude du résonateur, cette
r
m
autrement dit f = f0 , c’est-à-dire l’excitateur impose la fréquence
dernière est maximale lorsque T = T0 = 2π
k
des oscillations libres.
115
x
1
f0 =
2π
xm
f0
r
k
m
f
Pendule de torsion :
Le pendule de torsion est un système constitué d’une barre (S), attaché à l’extrémité d’un fil par un point G appartenant
à l’axe (∆) qui passe par le centre d’inertie de cette barre.
(∆)
G
Étude dynamique :
On écarte la barre de sa position initiale d’équilibre, et on la lâche sans vitesse initiale. Elle effectue donc un mouvement
oscillatoire de rotation. On étudie ces oscillations à un instant t où la barre se trouve en une position repérée par
l’angle θ.
(∆)
T⃗
G
θ
P⃗
116
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :

⃗

P : Le poids de la barre
⃗
T : La tension du fil


C : Le couple de torsion
On rappelle que le moment du rappel M = −Cθ, qui permet à la barre de retrouver sa position initiale. C est la
constante de torsion qui dépend du fil son unité est N.m.rad−1 .
D’après la relation fondamentale de la dynamique on a :
X
M∆ F⃗ = J∆ θ̈
M∆ P⃗ + M∆ T⃗ + M = J∆ θ̈
Puisque P⃗ et T⃗ sont confondues avec (∆) alors :
M∆ P⃗ = M∆ T⃗ = 0
Par suite :
M = J∆ θ̈
−Cθ = J∆ θ̈
J∆ θ̈ + Cθ = 0
C
θ̈ +
θ=0
J∆
C’est une équation différentielle linéaire du seconde ordre, sa solution est :
2π
θ = θm cos
t+φ
T0


θ m
T0


φ
Où :
Amplitudeangulaire maximale en (rad)
La période propre des oscillations (s)
Phase à l’origine des dates en (rad)
Afin d’obtenir l’expression de ω = θ̇, on dérive par rapport au temps θ :
dθ
d
2π
=
θm cos
t+φ
dt
dt
T0
2π
2π
sin
t+φ
θ̇ = −θm
T0
T0
On pose θm
2π
= θ̇m , on obtient :
T0
θ̇ = −θ̇m sin
2π
t+φ
T0
Et en dérivant cette dernière par rapport au temps, et on trouve l’équation de l’accélération angulaire :
d
2π
dθ̇
=
−θ̇m sin
t+φ
dt
dt
T0
2π
2π
θ̈ = − θ̇m cos
t+φ
T0
T0
On pose :
2π
θ̇m = θ̈m , on obtient donc :
T0
θ̈ = −θ̈m cos
2π
t+φ
T0
117
La période T0 et la fréquence f0 :
On a :
2π
θ̈ = −θ̈m cos
t+φ
T0
2
2π
2π
θ̈ = −
θm cos
t+φ
T0
T0
2
2π
θ̈ = −
θ
T0
C’est l’équation caractéristique du mouvement de rotation oscillatoire.
On sait d’après l’équation différentielle que :
C
θ̈ = −
θ
J∆
Par suite :
2
2π
C
=
J∆
T0
J∆
T02 = (2π)2
r C
J∆
T0 = 2π
C
C’est la période propre du pendule élastique en oscillations libres non amorties, la fréquence est donc :
r
1
C
1
f0 =
=
T0
2π J∆
Étude énergétique :
(∆)
G
Epp = Ept = 0
Énergie potentielle :
Dans ce cas :
Ep = Epp + Ept
On suppose que le plan horizontal passant par G à l’équilibre, constitue l’état référentiel de l’énergie potentielle de
pesanteur Epp = 0. Ceci résulte que l’énergie potentielle reste toujours nulle au cours des oscillations. Pour l’énergie
potentielle de torsion, l’énergie mise en évidence après la rotation de la barre. Son expression est :
Ept =
1 2
Cθ + C ′
2
On prend Ept = 0 lorsque θ = 0, donc C ′ = 0, par suite :
Ep = Ept =
1 2
Cθ
2
Énergie cinétique :
Ec =
1
J∆ θ̇
2
118
Énergie mécanique :
Em = Ep + Ec
1
1
= Cθ2 + J∆ θ̇2
2
2
Les oscillations sont non-amorties, donc on a un échange entre l’énergie potentielle et cinétique, alors que celle
mécanique reste constante.
On dérive par rapport au temps Em :
d
dt
dEm
=0
dt
1 2 1
Cθ + J∆ θ̇2
2
2
=0
Cθθ̇ + J∆ θ̇θ̈ = 0
C
θ̈ +
θ=0
J∆
C’est l’équation différentielle obtenue à partir de l’étude dynamique, sa solution est :
θ = θm cos
2π
t+φ
T0
Diagramme d’énergie :
Les frottements sont négligeables donc on a une conservation d’énergie mécanique :
Lorsque θ = 0 on a : θ̇ = ±θ̇m , et lorsque θ = θm on a θ̇ = 0, par suite :
Em =
1
1 2
2
J∆ θ̇m
= Cθm
2
2
On peut déduire que :
r
θ̇m =
C
θm
J∆
E
Em
Ep
Ec
Ec
Em
2
Ep
−θm
θm
θ
Pendule pesant :
Le pendule pesant, est tout solide mobile autour un axe (∆), horizontal et fixe ne passant pas par son centre d’inertie.
119
z
Sens positif
⃗
R
M
O
(∆)
θ
d
θ
G
P⃗
Étude dynamique :
Écartons le solide (S) de sa position d’équilibre et lâchons le sans vitesse initiale. Il effectue donc un mouvement
oscillatoire. On étudie ces oscillations à un instant t où le solide se trouve en une position repérée par l’angle θ.
Le système étudié : {(S)}
Le bilan des forces :
(
P⃗ : Le poids de la barre
⃗ : La réaction de l’axe
R
On applique le principe fondamental de la dynamique :
M∆ F⃗ = J∆ θ̈
⃗ = J∆ θ̈
M∆ P⃗ + M∆ R
X
−P.OM = J∆ θ̈
−mgd sin θ = J∆ θ̈
D’où :
J∆ θ̈ + mgd sin θ = 0 ⇐⇒ θ̈ +
mgd
θ=0
J∆
Car pour les petit angles on prend toujours comme approximation : sin θ ≈ θ.
L’équation différentielle obtenue est :
mgd
θ=0
θ̈ +
J∆
De solution :
θ = θm cos
2π
t+φ
T0
120
En la dérivant deux fois successivement par rapport au temps on trouve :
dθ
2π
2π
= −θm
sin
t+φ
dt
T0
T0
2
d2 θ
2π
2π
=
−
θ
cos
t
+
φ
m
dt2
T0
T0
2
2π
θ̈ = −
θ
T0
Or :
θ̈ = −
Alors :
2π
T0
2
mgd
θ
J∆
s
mgd
=
⇐⇒ T0 = 2π
J∆
J∆
mgd
Étude énergétique :
z
Sens positif
⃗
R
M
O
(∆)
θ
d
θ
G
G0 = O z
P⃗
Énergie potentielle :
Dans ce cas on a :
Ep = Epp = mgz + C
On suppose que le plan horizontal passant par O = G0 à l’équilibre, comme état de référence de l’énergie potentielle
de pesanteur, Epp = 0 ⇐⇒ mgz0 + C = 0 ⇐⇒ C = 0, par suite :
Ep = mgz
À un instant t, le solde se trouve en une position repéré par θ.
z = d − OG0
= d − d cos θ
= d(1 − cos θ)
121
D’où :
Ep = mgd(1 − cos θ)
Énergie cinétique :
Ec =
1
J∆ θ̇
2
Énergie mécanique :
Em = Ep + Ec
1
= mgd(1 − cos θ) + J∆ θ̇2
2
Les frottements sont négligeables donc, Em est conservée. On la dérive par rapport au temps :
d
dt
dEm
=0
dt
1
mgd(1 − cos θ) + J∆ θ̇2
2
=0
mgd sin (θ) θ̇ + J∆ θ̇θ̈ = 0
J∆ θ̈ + mgd sin θ = 0
mgd
θ̈ +
θ=0
J∆
C’est la même équation différentielle obtenue précédemment.
Diagramme d’énergie : On sait que :
Ep = mgd(1 − cos θ)
Lorsque cos θ = −1, alors Epm = Em = 2mgd, ainsi que l’énergie cinétique s’annule en ±θ.
E
Em = 2mgd
Ep = mgd(1 − cos θ)
Ec
Ec
Ep
−θm
θm
θ
Pendule simple :
Le pendule simple est tout point matériel de masse m, qui
peut osciller autour d’un axe horizontal fixe (∆).
Les mêmes étapes à suivre, pour étudier ces oscillations, il
faut mentionner que :
s
J∆
T0 = 2π
mgl
Or J∆ = ml2 , alors :
l
T⃗
G
s
T0 = 2π
θ
l
g
P⃗
122
L’atome et mécanique de Newton :
Les limites de la mécanique newtonienne :
L’analogie entre l’interaction gravitationnelle et électrostatique :
La loi d’interaction gravitationnelle :
Deux corps (A) et (B), de masses respectives mA et mB , séparés par une distance d, exercent l’un sur l’autre une
force d’attraction, donnée par :
mA mB
F⃗A/B = −F⃗B/A = −G
⃗uAB
d2
La loi d’interaction électrostatique :
Deux corps (A) et (B) ponctuelles, de charges respectives qA et qB , séparés par une distance d, exercent l’un sur
l’autre une force d’attraction, donnée par :
qA qB
F⃗A/B = −F⃗B/A = −k 2 ⃗uAB
d
Le modèle planétaire de l’atome :
Après l’expérience fameuse de Rutherford (expérience de la feuille d’or), il prouve que l’atome est constituée du
vide, donc Rutherford utilise l’analogie entre l’interaction gravitationnelle macroscopique, et celle électrostatique
microscopique, et propose un modèle planétaire de l’atome, basée sur la mécanique classique :
L’atome est constituée d’un noyau autour du quelle les électrons tournent.
Exemple l’atome d’hydrogène : Un noyau correspond à la terre, autour de laquelle un satellite (l’électron) tourne.
e−
Noyau
Terre
Satellite
Les limites de la mécanique classique :
Ce modèle porte plusieurs contradictions, et incompris phénomènes :
Les rayons orbitaux possibles : L’orbite de l’électron peut être loin du noyau à n’importe quel rayon, ce
qui résulte plusieurs volumes possible d’une atome. L’effet photoélectrique L’émission d’électrons par un métal,
lorsqu’il est soumis à une onde électromagnétique. La discontinuité du spectre d’émission...
Ceci prouve que la mécanique de Newton est inutile au niveau microscopique.
Quantification des échanges d’énergie :
Les photons :
Lorsque l’atome est en collision avec une particule, ou lorsqu’elle est en interaction avec un rayonnement lumineux,
on a un échange d’énergie.
123
Max Planck a proposé que les ondes électromagnétiques ne peuvent être émis que par des quantités discrètes et
discontinues, appelées quanta, ainsi que l’énergie échangée entre la matière et l’onde électromagnétique, prend des
valeurs discrètes bien définie, on parle d’une énergie quantifiée.
Albert Einstein propose après que les quanta sont portés par des particules caractérisées par une masse nulle, charge
neutre et vitesse égale à celle de la lumière c, appelées Photons γ.
On en déduit donc que chaque onde électromagnétique caractérisée par une fréquence ν et une longueur d’onde λ, est
constituée des photons.
La relation de Planck-Einstein :
On peut calculer l’énergie portée par un photon associé à une onde électromagnétique de fréquence ν :
E = hν
Où h est la constante de Planck h = 6, 63 × 10−34 J.s
On sait que ν = λc alors :
hc
λ
Remarque : D’après ce résultat, on déduit que la lumière est constituée des particules (les photons), donc en plus
d’avoir un aspect ondulatoire (diffraction, interférence,...) la lumière a un aspect corpusculaire, on parle donc de la
dualité onde-corpusculaire de la lumière.
E =
1, 24meV
1, 5eV
Infra rouge
λ
1mm
3, 1eV
Domaine visible
0, 8µm
0, 4µm
Rayons X
Ultra violet
E
1, 24MeV
124eV
10nm
Rayons γ
1pm
Les postulats de Bohr :
Le spectre d’émission :
Spectre d’émission continu : Chaque source lumineuse complexe est constituée d’une infinité des raies spectrales
dont les longueurs d’ondes sont voisines, son spectre d’émission est continu.
Spectres de raies d’émission :
L’analyse du spectre d’une lampe d’hydrogène nous donne les raies comme suit :
Rouge
Blue Indigo
Violet
La lumière d’hydrogène produit un spectre de raies, cet spectre contient 4 raies de longueur d’onde différente. L’énergie
d’hydrogène ne peut donc prendre que des valeurs discrètes proportionnelle à la longueur d’onde des raies produits.
L’étude approfondie des spectres d’émission par Niels Bohr, lui permet d’annoncer les postulats qui prennent son nom.
Les postulats de Bohr :
. Les variations d’énergie d’une atome sont quantifiées.
. L’atome ne peut exister que dans certains états d’énergies bien définis, caractérisés par un niveau d’énergie.
. Un photon de fréquence ν est émis lorsque l’atome effectue une transition entre deux niveaux d’énergies En et Ep ,
tel que : Ep − En = hν.
124
E
hν
p
Ep
n
∆E = hν
En
Quantification d’énergie des atomes :
Niveau d’énergie des atomes :
D’après le deuxième postulat de Bohr, l’énergie des atomes est quantifiée, elle ne prend que des valeurs précise selon
le niveau d’énergie, chaque niveau est caractérisé par le nombre n, le nombre quantique, tel que n ∈ N∗ = {1, 2, 3, . . .}.
Si n = 1, c’est le niveau d’énergie minimal, autrement c’est le niveau stable et fondamental de l’atome.
Si n > 1, l’atome est dans un état excité, l’énergie devient supérieur en fonction de n, c-à-d : E2 < E3 .
n → ∞, alors E → 0, l’atome est dans un état dit ionisé, (pas d’électron).
L’énergie En est donnés par :
Ei
E =− 2
n
Où Ei = E1 est l’énergie d’ionisation.
Diagramme énergétique des atomes :
Un atome excité peut revenir à son état fondamental, par des transitions accompagnées par une émission des photons.
Une transition du niveau p vers n tel que p > n, émet un photon d’énergie :
∆E = Ep − En = hν = Ei
1
1
− 2
2
p
n
Cette valeur représente aussi l’énergie qu’on doit fournit à l’atome afin d’être excité, passer de la couche n à p.
E
E
Ep
Ep
hν
En
hν
En
Désexcitation
Excitation
Application au spectre d’hydrogène :
On considère un atome d’hydrogène qui se trouve dans son état fondamental, son énergie d’ionisation est Ei = −13, 6
eV.
125
Séries des raies d’émission :
L’ensemble des raies qui constituent le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène peut être classé en séries, chaque
série correspond aux transitions qui mènent au même niveau d’énergie. À titre d’exemple la série de Balmer.
La série de Balmer comporte les transitions qui aboutissent au niveau d’énergie E2 :
1
1
hν = −13, 6
−
n>2
p2
4
Elle comporte les raies visibles, lorsque n ∈ {3, 4, 5, 6}.
Il existe également d’autres séries : série de Lyman (retour à E1 ), série de Paschen (retour à E3 ), série de Brackett
(retour à E4 ) et la série de Pfund (retour à E5 ).
Ryderberg a montré que la longueur d’onde émise obéit à la relation :
1
1
1
= RH
− 2
λ
n2
p
Où RH est la constante de Ryderberg tel que : RH = 1, 097 × 107 m−1 .
La relation de Ryderberg donne donc les longueurs d’onde discrètes qui compose le spectre lumineux d’hydrogène.
126
Deuxième partie
La Chimie :
127
Rappel sur la chimie :
La quantité de matière :
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la quantité de matière, la plus célèbre est celle d’où la définition du mole
vient :
N
n=
NA
Où N est le nombre des particules, et NA ≈ 6, 023 × 1023 mol−1 la constante d’Avogadro, pour la définition du mole,
c’est la quantité de matière contenant exactement un nombre des particules (atomes, molécules, ions...) identique au
nombre d’Avogadro.
On peut calculer la quantité de matière en utilisant la relation suivante :
n=
m
M
où m est la masse de l’échantillon en g, et M est la masse molaire de l’espèce chimique g.mol−1 .
En utilisant la définition de la masse m = ρ × V , où ρ est la masse volumique en g/L et V le volume en L, par suite
on peut utiliser cette formule :
ρV
n=
M
En outre, on peut utiliser la définition de la densité qui est le quotient de la masse volumique de l’échantillon sur la
masse volumique de l’eau :
ρ
d=
ρeau
La densité est une grandeur sans dimension, et la masse volumique de l’eau est ρeau = 1000g/mol. Finalement la
relation devient :
dV ρeau
n=
M
Pour un gaz on peut utiliser son volume afin de déterminer sa quantité de matière :
n=
V
Vm
Où Vm est le volume molaire, ce dernier varie selon la pression et la température, dans les conditions normales de
température et pression c-à-d P = 101325 Pa et T = 0◦ C = 273, 15 K le volume molaire vaut Vm ≈ 22, 41L/mol.
Les gaz parfaits :
L’équation des gaz parfaits est donnée par la relation suivante :
P.V = n.R.T
Où P la pression en Pa, V le volume du gaz en m3 , n est la quantité de matière en mol, T la température absolue en
K et R est la constante universelle des gaz parfaits elle vaut R = 8, 31J.mol−1 .K−1 .
En chimie, on considère les gaz étudiés comme parfaits, donc on peut utiliser cette équation et calculer la quantité de
matière du gaz :
PV
n=
RT
128
La concentration molaire :
La solution aqueuse :
Une solution est un mélange homogène obtenue par la dissolution d’un soluté (solide, liquide ou gaz) dans un solvant
(eau ou un autre liquide). Lorsque le solvant est l’eau, la solution est dite aqueuse.
La concentration molaire :
La concentration molaire d’une espèce chimique est sa quantité de matière n rapportée au volume total du mélange
qui contient cette espèce V .
n
C=
V
Où C est la concentration molaire en mol.L−1 .
On peut donc déduire que :
n = C.V
Lorsque l’espèce chimique est ionique par exemple Cl− alors sa concentration se note [Cl− ]
La concentration massique :
La concentration massique d’un soluté en solution, est le rapport de la masse de ce soluté m au volume total de
solution contenant cette espèce V .
m
Cm =
V
−1
Avec Cm la concentration massique g.mol .
nM
Cm =
⇔ Cm = C.M
V
Évolution des quantités de matière au cours d’une transformation chimique :
Les équations chimiques :
L’équation de dissolution :
Pour les solides ioniques leurs équation de dissolution s’écrit en respectant la neutralité de la solution :
H O
Aα Bβ(s) −−2−→ αAn+
+ βBm−
(aq)
(aq)
L’équation est vraie si et seulement si xn = ym.
Exemple :
H O
NaCl(s) −−2−→ Na+
+ Cl−
(aq)
(aq)
Réaction d’oxydo-réduction :
Une réaction d’oxydo-réduction est une réaction caractérisée par un transfert d’électrons entre deux réactifs : Oxydant
et Réducteur.
L’oxydant et celui qui gagne les électrons, et le réducteur est celui qui cède les électrons. Un tel couple est nommé
couple Ox/Red et leur demi équation est :
Ox + ne−
Red
Et pour une équation complète on considère deux couples, leurs demi-équations chimiques sont respectivement :
Ox1 + n1 e−
Red1
et
Ox2 + n2 e−
Red2
L’équation de la réaction d’oxydo-réduction s’écrit alors comme suit :
n2 Ox1 + n1 Red2 −→ n2 Red1 + n1 Ox2
2+
Exemples : Écrivons les demis équations de Fe3+ /Fe2+ et celle de MnO−
:
4 /Mn
3+
2+
−
On a : Fe + e
Fe
Pour la deuxième demi-équation il faut suivre des étapes, premièrement on équilibre les réactifs avec les produit, puis
on équilibre l’oxygène en ajoutant H2 O, et on équilibre l’hydrogène en ajoutant H+ , et finalement les charges e− , la
+
−
demi-équation qui modélise ce couple est la suivante : MnO+
Mn2+ + 4H2 O, par suite l’équation est :
4 + 8H + 5e
+
2+
MnO+
−→ Mn2+ + 4H2 O + 5Fe3+
4 + 8H + 5Fe
129
Réaction Acido-basiques :
Une réaction acido-basique est une réaction caractérisée par un transfert du proton H+ entre deux réactifs : Acide et
Base.
L’acide est une entité chimique capable de libérer un proton H+ , alors qu’une base capte ce dernier. Un tel couple est
nommé Acidobasique AH/A− et leur demi équation est :
AH
A− + H+
Et pour une équation complète on considère deux couples, leurs demi-équation chimiques sont respectivement :
A1 H
+
A−
1 +H
et
A2 H
+
A−
2 +H
L’équation de la réaction acidobasique s’écrit alors comme suit :
−
A1 H + A−
2 −→ A1 + A2 H
Exemples : Écrivons les demis équations de CH3 COOH/CH3 COO− et celle de H2 O/OH− :
On a :
CH3 COOH
CH3 COO− + H+
Et :
H2 O
OH− + H+
Par suite l’équation modélisant cette réaction est :
CH3 COOH + OH− −→ CH3 COO− + H2 O
Tableau d’avancement :
Équation chimique
État
Avancement
État initial
0
État en cours
x
État final
xmax
αA
ni (A)
ni (A) − αx
ni (A) − αxmax
+
βB
−→
Quantité de matière
ni (B)
ni (B) − βx
ni (B) − βxmax
γC
+
0
γx
γxmax
δD
0
δx
δxmax
Le réactif limitant et l’avancement maximal :
Les réactions généralement s’arrêtent lorsque au moins un des réactifs est totalement consommé. Ce réactif est appelé
le réactif limitant, et les autres réactifs sont en excès. Ce réactif limitant est celui qui possède l’avancement maximal
xmax .
On détermine xmax en posant des hypothèses, pour notre réaction ici on pose 2 hypothèses :

(
n (A)

xmax = i
ni (A) − αxmax = 0
ni (A) ni (B)
α
⇐⇒
;
n (B) ⇐⇒ xmax = min

α
β
ni (B) − βxmax = 0
xmax = i
β
L’avancement maximal est utilisé pour calculer les quantités de matières finales, c’est-à-dire, déterminer le bilan des
quantités de matières finales.
Revenons maintenant à l’équation de la dissolution et dressons son tableau d’avancement :
Équation chimique
État initial
État en cours
État final
H O
−−2−→
Aα Bβ(s)
ni (Aα Bβ )
ni (Aα Bβ ) − x
ni (Aα Bβ ) − xmax
αAn+
(aq)
0
αx
αxmax
+
βBm−
(aq)
0
βx
βxmax
On a xmax = ni (Aα Bβ ).
Et on a :
n
V
αxmax
=
V
α.C.V
=
V
= αC
[An+ ] =
130
Le même pour la concentration de [B m− ] = β.C
La conductivité et la conduction :
Montage expérimentale :
V
GBF
A
S
S
L
La conductance notée G d’une portion d’une solution comprise entre deux électrodes, est l’inverse de sa résistance
R, c’est-à-dire :
1
I
G=
=
R
U
Où, G en Siemens S, R en Ohm Ω, I l’intensité en Ampère A et U la tension en Volt V.
On peut aussi utiliser la relation suivante :
S
G = σ.
L
Avec, σ la conductivité en S.m−1 , S L’aire d’un face des électrodes en m2 , et L la distance entre les deux électrodes
en m.
La conductivité s’exprime aussi par la relation suivante :
σ=
n
X
λi .[Xi ]
i=0
Cette solution contient n ions, pour chaque ions Xi il existe λi sa conductivité molaire en S.m2 .mol−1 . Ici [Xi ]
correspond à la concentration de l’ion Xi .
−1
Exemple : On dispose d’une solution d’acide nitrique H+
+ NO−
, calculons la
3aq de conductivité σ = 0.21S.m
aq
2
−1
−3
concentration de cette solution, sachant que λH+ = 34, 97.10 S.m .mol et
λNO3 − = 7, 142.10−3 S.m2 .mol−1 .
On a :
+
σ = λNO3 − [NO−
3 ] + λH+ [H ]
Dans la solution, on a [H+ ] = [NO−
3]=C
Elle devient alors :
σ = λNO3 − + λH+ .C
Par suite :
C=
σ
λNO3 − + λH+
Application numérique :
C=
0.21
= 5mol.m−3 = 5.10−3 mol.L−1
(34, 97 + 7, 142) .10−3
131
Le suivie temporel d’une transformation
chimique :
Un système chimique est en évolution lorsque les quantités de matière des réactifs diminuent et les quantités de matière
des produits augmentent au cours du temps.
Méthodes de suivi :
Pour effectuer le suivi temporel d’une transformation se déroulant à volume constant, on mesure à différents instants
successifs la concentration d’un réactif ou d’un produit dans le milieu réactionnel, en pratiquant une des méthodes
chimiques et physiques suivants :
Méthode chimique :
Dosage : C’est une opération chimique nécessite à déterminer sa concentration, en mesurant sa quantité de matière
dans un volume connu.
Montage expérimentale
Burette
solution dosante
support
Bécher
solution dosée
agitateur magnétique
Schéma du dispositif expérimental pour un titrage
Le réactif limitant définit l’équivalence du titrage, le volume de la solution titrante (dosante) versé à l’équivalence est
appelé volume équivalent Véq
Méthodes physiques :
Mesure de pression ou de volume : Dans les cas des transformations où une espèce gazeuse est produite ou
consommée, on peut déterminer la quantité de matière n de cette espèce en mesurant son volume V , à une pression
132
P et un température T , sinon on mesure P à V et T , en utilisant l’équation des gaz parfaits :
P.V = n.R.T
Où P en pascal, V en m3 , n en mol et T en K. Pour R c’est une constante de valeur R = 8, 314 SI
pH-métrie : La mesure du pH d’une solution acide ou basique à l’aide d’un pH-mètre permet de calculer sa
concentration en ion Oxonium [H3 O+ ].
Conductimétrie : La conductivité σ d’une solution éléctrolytique en fonction des concentrations des espèces ioniques
en solution.
Pour une solution contenant n ions Xi et de concentration [Xi ] et de conductivité λi :
n
X
σ=
λi .[Xi ]
i=1
Vitesse d’une réaction chimique :
Afin de décrire l’évolution d’un système chimique, il est préférable d’utiliser une grandeur qui n’est pa liée à une des
espèces chimiques mais qui caractérise la réaction chimique globalement.
L’avancement x à un instant t peut être exprimé et calculé à partir des quantités de matière de n’importe quelle espèce
de la transformation réactif ou produit. On définit la vitesse volumique par :
v=
Où V est le volume du milieu réactionnel,
1 dx
V dt
dx
la dérivée d’avancement par rapport au temps.
dt
La dérivée en physique :
Cette année on utilisera la dérivation dans presque tous les chapitres, comme en maths la dérivée est une opération
appliquée sur les fonctions, la fonction f de variable x sa dérivée est notée f ′ (x), mais en physique et chimie on arrive
à avoir plusieurs variables, la pression P , la température T , le temps t, etc. Donc si on veut dériver une fonction on
choisit notre variable, dans la formule citée auparavant on a comme variable le temps, et la fonction et x l’avancement,
dx
donc au lieu d’écrire x′ on écrit tout simplement
.
dt
Détermination graphique de la vitesse de réaction :
La vitesse de réaction peut être déterminée graphiquement à partir de la courbe x(t) , la valeur de v à un instant t
égale à celle du coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction x(t) au point d’abscisse t.
Donc on trace la tangente à x(t) à la date t, puis on calcule le coefficient directeur de cette tangente en choisissant
deux points quelconques A et B de la droite tangente et on applique la méthode suivante (introduite en analyse) :
k=
xB − xA
tB − tA
Et par la suite on divise par le volume de la solution, la vitesse est donc :
v=
1 xB − xA
V tB − tA
On montre que le coefficient directeur de la tangente à la courbe diminue au cours du temps, sa valeur est maximale
à t = 0 et tend vers 0 lorsque t → ∞.
Temps de demi-réaction :
Le temps de demi-réaction, noté t1/2 , correspond à la durée nécessaire, pour que l’avancement soit parvenu à la moitié
de sa valeur finale. Si le mélange est stchiométrique, t1/2 est le temps nécessaire pour que la moitié de xmax disparait,
xmax
à t = t1/2 .
dans ce cas : x =
2
133
x (mol)
xf
xB
xt
xA
v
B
A
t (ms)
tA
t tB
Applications :
Détermination de v par [Produit] :
3+
Soit le couple suivant Cr2 O2−
et Br2 /Br− :
7 /Cr
+
6e− Cr2 O2−
7 + 14H
Br2 + 2e−
2Cr3+ + 7H2 O
2Br−
+
−
3+
Donc l’équation bilan est la suivante : Cr2 O2−
+ 7H2 O + 3Br2
7 + 14H + 6Br 7−→ 2Cr
L’équation
État initial
État en cours
État final
Cr2 O2−
7
C1 V1
C1 V1 − x
C1 V1 − xmax
+
14H+
Excès
Excès
Excès
+
6Br−
7−→
C2 V2
C2 V2 − 6x
C2 V2 − 6xmax
2Cr3+
+
0
2x
2xmax
7H2 O
Excès
Excès
Excès
+
3Br2
0
3x
3xmax
Déterminons la vitesse à t = 5min, on a :
v=
1 dx
V dt
dx
On cherche x en fonction de [Cr3+ ], puis
et on la remplace :
dt
n
2x
V
On a [Cr3+ ] =
=
Donc : x = [Cr3+ ] Et sa dérivée est :
V
V
2
d
dx
3+ V
=
[Cr ]
dt
dt
2
=
V d[Cr3+ ]
2
dt
Par suite :
v=
1 d[Cr3+ ]
2 dt
Et pour bien connaitre la valeur de la dérivée il suffit d’appliquer ce qu’on a déjà dit, à propos de la détermination
graphique de v.
xmax
2xmax
=
à t1/2 on a x = xmax , d’où [Cr3+ ]1/2 =
2V
V
134
Détermination de v par [Réactif] :
Pour la même réaction :
On a :
[Br− ] =
n
C2 V2 − 6x
C2 V2 − V [Br− ]
=
⇐⇒ x =
V
V
6
Et sa dérivée est la suivante :
dx
d
=
dt
dt
=−
C2 V2 − V [Br− ]
6
V d[Br− ]
6 dt
Donc :
1 d[Br− ]
6 dt
Généralement pour une réaction chimique dont l’équation chimique est la suivante
v=−
αA + βB −→ γC + δD
Et du tableau d’avancement comme le suivant :
Équation chimique
État
Avancement
État initial
0
État en cours
x
État final
xmax
αA
+
ni (A)
ni (A) − αx
ni (A) − αxmax
On a :
v=−
βB
−→
Quantité de matière
ni (B)
ni (B) − βx
ni (B) − βxmax
γC
+
δD
0
γx
γxmax
0
δx
δxmax
1 d[B]
1 d[C]
1 d[D]
1 d[A]
=−
=
=
α dt
β dt
γ dt
δ dt
Détermination par pression P :
On utilise l’équation des gaz parfaits : P V = nRT , on considère les couples suivants : H+ /H2 et Fe2+ /Fe, leurs
demi-équations sont respectivement :
2e− + 2H+
−
2+
2e + Fe
H2
Fe
Et l’équation bilan est : 2H+ + Fe 7−→ H2 + Fe2+
L’équation
État initial
État en cours
État final
2H+
n i1
ni1 − 2x
ni1 − 2xmax
−→
+
Fe
n i2
n i2 − x
ni2 − xmax
H2
+
0
x
xmax
Fe2+
0
x
xmax
Supposons que H2 est un gaz noble :
On a : P V = nRT , ATTENTION ici V est en m3 = 103 L. Puisque n = x, alors :
x=P
D’où sa dérivée est :
V
RT
dx
d
V
=
P
dt
dt
RT
V
dP
=
RT dt
Donc :
v=
1 V dP
Vs RT dt
135
Mesure par conductivité σ :
On a :
Zn + 2H3 O+ −→ Zn2+ + H2 + 2H2 O
Zn
Le bilan des ions :
H3 O+ , Cl− , Zn2+
Les concentrations :
(
)
H3 O+ , Cl−
L’équation
État initial
État en cours
État final
n
CV
=
=C
V
V
CV − 2x
[H3 O+ ] =
V
x
[Zn2+ ] =
V
[Cl− ] =
Zn
ni1
ni1 − x
ni1 − xmax
−→
2H3 O+
+
Zn2+
0
x
xmax
ni2
ni2 − 2x
ni2 − 2xmax
σ=
p
X
+
H2
+
0
x
xmax
2H2 O
Excès
Excès
Excès
λi .[Xi ]
i=1
= λH3 O+ [H3 O+ ] + λZn2+ [Zn2+ ] + λCl− [Cl− ]
CV − 2x
x
= λH3 O+
+ λZn2+ + λCl− C
V
V
2x
x
= λH3 O+ C −
+ λZn2+ + λCl− C
V
V
λZn2+ − 2λH3 O+
= C λH3 O+ + λCl− +x
V
|
{z
}
{z
}
|
A
B
= A + Bx
Donc x peut être exprimée de la façon suivante :
x=
La dérivée est :
σ−A
B
dx
d σ−A
=
dt
dt
B
1 dσ
=
B dt
Par suite :
v=
1 dσ
V × B dt
136
Les transformations chimiques
s’effectuant dans les deux sens :
Les réactions acido-basiques :
Définitions :
Acide : Selon Bronsted, l’acide est toute espèce chimique capable de libérer un proton H+ pendant une transformation
chimique.
Base : Selon Bronsted, la base est toute espèce chimique capable de capter un proton H+ pendant une transformation
chimique.
. Quand un acide AH a libéré un proton, il donne naissance à une base A− .
. Quand une base B a capté un proton, elle donne naissance à un acide BH+ .
L’acide AH et la base A− forment un couple acide/base noté AH/A− , on dit que A− est la base conjuguée de l’acide
AH.
De même la base B et l’acide BH+ forment le couple acide/base noté BH+ /B, on dit que BH+ est l’acide conjugué de
la base B.
Le passage possible d’un acide à sa base conjuguée et vice versa est formalisée par une demi équation acido-basique :
AH
A− + H+
ou
BH+
B + H+
La réaction acido-basique :
La réaction acido-basique fait intervenir un acide AH et une base B, appartenant aux deux couples acide/base différents
AH/A− et BH+ /B.
Elle est caractérisée par un transfert de proton entre l’acide AH et la base B.
Pour écrire l’équation de la réaction, on utilise les demi-équations pour schématiser les transformations dans les sens
où elles se produisent, puis on combine les deux demi-équations :
AH
A− + H+
BH+
B + H+
Donc l’équation bilan est :
AH + B
A− + BH+
Remarque : Certaines espèces chimiques jouent le rôle d’une base et d’un acide à la fois, par exemple H2 O et NH3 ,
on les appelle des ampholytes.
Le pH et sa mesure :
Définition :
Le pH (potentiel Hydrogène) est la mesure de l’activité chimique des protons H+ , qui sont présents souvent dans les
solutions aqueuses sous forme des ions oxonium H3 O+ .
En effet, on peut calculer cette activité en utilisant la relation suivante :
pH = − log[H3 O+ ]
le pH est un nombre sans dimension et [H3 O+ ] est la concentration des ions oxonium en mol.L−1 . Afin de calculer la
concentration des ions oxonium à partir le pH, on utilise la relation suivante :
[H3 O+ ] = 10−pH
137
Complément mathématique :
La fonction x 7→ log(x) est définie sur ]0, +∞[ :
log(10) = 1
log(1) = 0
a
log
= log(a) − log(b)
b
log(a × b) = log(a) + log(b)
log(xn ) = n log(x)
1
log
= − log(a)
a
La fonction logarithme admet une fonction réciproque définie par x 7→ 10x par conséquence :
log (10x ) = x
10log(x) = x
La mesure du pH :
Pour mesure le pH d’une solution aqueuse expérimentalement on utilise :
. Un papier indicateur de pH.
. Un pH-mètre étalonné.
L’avancement d’une transformation limitée :
Avancement final et maximal :
. Avancement maximal xmax est l’avancement qui correspond à la disparition du réactif limitant.
. Avancement final est la valeur d’avancement qui correspond à l’état final d’une réaction limitée.
. Une transformation limitée est caractérisée par : xf < xmax .
Le taux d’avancement final :
Le taux d’avancement final τ d’une réaction chimique est le quotient de l’avancement final par l’avancement maximal :
xf
τ=
xmax
. τ est toujours inférieure ou égale à 1.
. Si τ = 1 alors la transformation est totale (xf = xmax ).
. Si τ < 1 alors la transformation est limitée ( xf < xmax ).
τ en fonction pH :
Soit la transformation chimique suivante :
−
H3 O +
(aq) + A(aq)
AH(aq) + H2 O(l)
Équation chimique
État
Avancement
État initial
0
État en cours
x
État final
xf
AH(aq)
+
H3 O +
(aq)
H2 O(l)
+
A−
(aq)
Quantité de matière
CV
CV − x
CV − xf
Excès
Excès
Excès
0
x
xf
0
x
xf
Calculons le taux d’avancement final :
xf
On sait que τ =
,
xmax
. Supposons que la transformation est totale, c’est-à-dire xf = xmax
Donc CV − xf = 0 ⇐⇒ CV − xmax = 0 ⇐⇒ xmax = CV .
D’où finalement, xmax = CV .
On a d’après le tableau
xf
[H3 O+ ] =
⇐⇒ xf = [H3 O+ ].V
V
xf = 10−pH .V
Par suite : xmax = CV et xf = 10−pH .V
Finalement :
τ=
10−pH
.
C
138
τ en fonction σ :
On pose λA− = λ1 et λH3 O+ = λ2 .
On a :
σf =
X
λi [Xi ]
= λ1 [A− ] + λ2 [H3 O+ ]
= [H3 O+ ] (λ1 + λ2 )
xf
(λ1 + λ2 )
=
V
Donc :
xf =
Par suite :
τ=
σf .V
λ1 + λ2
σf
C(λ1 + λ2 )
Remarque : Attention pour les unités, ici la concentration doit être exprimé en mol.m−3 , 103 mol/m3 = 1 mol/L
139
État d’équilibre d’un système chimique :
Quotient de la réaction :
On considère le système chimique suivant susceptible d’être modélisée par l’équation chimique suivante :
αA(aq) + βB(aq)
γC(aq) + δD(aq)
Les réactifs et les produits sont en solution aqueuse.
Dans un état donné de l’évolution du système, le quotient de réaction Qr est donné par :
Qr =
[C]γ · [D]δ
[A]α · [B]β
Qr est une grandeur sans dimension. Et [A], [B], [C] et [D] les concentrations molaires des espèces chimiques exprimées
en mol.L−1
Généralement pour une équation chimique :
α1 R1 + α2 R2 + · · · + αN RN
β1 P 1 + β 2 P 2 + · · · + βN ′ P N ′
Le quotient de réaction est donnée par :
′
N
Y
[Pi ]βi
Qr = i=1
N
Y
[Rj ]αj
j=1
Remarque : Par convention, dans l’expression de Qr il ne figure que les concentrations molaires des espèces chimiques
aqueuses, l’eau et les solides sont représentés par 1 dans l’expression de Qr .
Exemples :
Cas du solvant : Réaction entre un acide et l’eau :
H3 O+
+ A−
(aq)
(aq)
AH(aq) + H2 O(l)
Le quotient de cette réaction est :
Qr =
[H3 O+ ].[A− ]
[AH]
Cas des systèmes hétérogènes : Réaction de dissolution d’un composé ionique :
H O
Aα Bβ(s) −−2−→ αAn+
+ βBm−
(aq)
(aq)
Le quotient de cette réaction est :
[An+ ]α .[Bm− ]β
= [An+ ]α .[Bm− ]β
1
Propriété : Le quotient de la réaction est associée à l’équation d’une réaction dans un sens do
Qr =
αA(aq) + βB(aq)
γC(aq) + δD(aq)
Qr
γC(aq) + δD(aq)
αA(aq) + βB(aq)
Q′r =
140
1
Qr
Constante d’équilibre associée à une équation :
On envisage une réaction et l’équation chimique associée, à cette réaction on associe une grandeur, la constante
d’équilibre notée K.
K est une grandeur sans dimension, caractéristique de la réaction, elle ne dépend que de la réaction considérée et la
température.
À l’équilibre on a :
Qr,éq = K
En dehors de l’équilibre on a :
Qr,éq 6= K
Remarque : On considère qu’une transformation est totale lorsque la constante d’équilibre associée à l’équation a
une valeur élevée.
Les chimistes considèrent les transformations totales ceux dont K est supérieure à 1.104 .
Détermination de K :
Soit la transformation suivante :
AH(aq) + H2 O(l)
AH(aq)
État initial
État en cours
État final
+
H3 O+
+ A−
(aq)
(aq)
H3 O +
(aq)
0
x
xf
H2 O(l)
Excès
Excès
Excès
CV
CV − x
CV − xf
On a :
K=
+
A−
(aq)
0
x
xf
[A− ].[H3 O+ ]
[AH]
K en fonction de pH et C :
On a :
[A− ] = [H3 O+ ] =
Et :
[AH] =
xf
= 10−pH
V
CV − xf
= C − 10−pH
V
Donc :
K=
[A− ].[H3 O+ ]
[AH]
[H3 O+ ]2
[AH]
2
10−pH
=
C − 10−pH
10−2pH
=
C − 10−pH
=
Par suite :
K=
10−2pH
C − 10−pH
K en fonction de τ et C :
On sait que :
τ=
xf
xm
Donc :
τ=
et
xm = CV
xf
⇐⇒ xf = τ CV
CV
141
On a :
[A− ] = [H3 O+ ] =
Et :
[AH] =
xf
V
CV − xf
= C − τ.C = C(1 − τ )
V
D’où :
[A− ].[H3 O+ ]
[AH]
(τ.C)2
=
C(1 − τ )
Cτ 2
=
1−τ
K=
Par suite :
K=
Cτ 2
1−τ
La dilution :
Supposons qu’on a dilué une solution n fois, presque tous les caractéristiques de la solution changent (C, pH, τ ), sauf
K car comme on avait cité elle dépend que de la température.
On sait que :
Vf
Ci
n= ′ = ′
C
V
Donc la concentration devient :
Ci
C′ =
n
On a d’après les relations qui précède :
C ′ τ ′2
K=
1 − τ′
Donc :
K(1 − τ ′ ) = C ′ τ ′2 ⇐⇒ C ′ τ ′2 + Kτ ′ − K = 0
On obtient une équation de second degré dont l’inconnu est τ ′ :
√
−K ± K 2 + 4C ′ K
τ′ =
2C ′
On prend la valeur cohérente, de telle façon qu’elle soit supérieure à 0 et inférieure à 1.
Pour le pH on a :
pH′ = − log[H3 O]
= − log(τ ′ C ′ )
D’où :
pH′ = − log(τ ) − log(C ′ )
142
Les transformations liées aux réactions
acido-basiques :
Autoprolyse de l’eau :
Dans l’eau pure se produit une transformation chimique limitée, on la modélise par ce qu’on appelle l’autoprolyse de
l’eau, dont l’équation est :
2H2 O(l)
H3 O+
+ OH−
(aq)
(aq)
Cette réaction n’a pas lieu uniquement dans l’eau pure, mais dans toute solution aqueuse.
Produit ionique de l’eau :
La constante d’équilibre de la réaction d’autoprolyse est appelée produit ionique de l’eau et on la note Ke , elle est
sans dimension.
La valeur de Ke ne dépend que de la température. À θ = 25◦ C la valeur de Ke vaut 10−14 .
On définit aussi le pKe qui est lié au produit ionique par la relation suivante :
Ke = 10−pKe
pKe = − log Ke
On sait que à 25◦ C on a Ke = 10−14 donc pKe = 14.
Relation entre [H3 O+ ] et [OH− ] :
On sait que Ke est Qr,éq de l’équation d’autoprolyse, d’où :
Qr,éq = Ke = [H3 O+ ].[OH− ]
Dans toute solution aqueuse, les concentrations en ion oxonium et en ion hydroxyde à l’équilibre sont reliées par la
relation :
Ke = [H3 O+ ].[OH− ]
Donc à 25◦ C, [H3 O+ ].[OH− ] = 10−14
pH d’une solution de base :
Si la concentration en ion hydroxyde [OH− ] d’une solution à l’équilibre est connue, alors on peut déduire le pH en
utilisant le produit ionique de l’eau :
pH = − log[H3 O+ ]
Ke
= − log
[OH− ]
= − log Ke + log[OH− ]
Donc
pH = pKe + log[OH− ]
pH de l’eau pure :
La seule réaction acido-basique ayant lieu dans l’eau pure est l’autoprolyse de l’eau. À l’équilibre on a : [H3 O+ ] = [OH− ]
D’après ce qui précède, on peut écrire à 25◦ C :
[H3 O+ ].[OH− ] = 10−14
143
[H3 O+ ].[OH− ] = 10−14
[H3 O+ ]2 = 10−14
√
[H3 O+ ] = 10−14
= 10−7 mol.L−1
Par suite le pH de l’eau pure est :
pH = − log[H3 O+ ] = − log 10−7 = 7
Donc à 25◦ C, le pH de l’eau pure est égal à 7, sa valeur dépend de la température.
Échelle de pH :
Pour une solution neutre, on a :
[H3 O+ ] = [OH− ]
On peut poser alors :
Ke = [H3 O+ ]2
pKe = − log[H3 O+ ]2
= −2 log[H3 O+ ]
1
pH = pKe
2
Ou bien, on peut utiliser la formule démontré précédemment :
pH = pKe + log[OH− ]
= pKe + log[H3 O+ ]
= pKe − pH
2pH = pKe
1
pH = pKe
2
Pour bien comprendre ces démonstrations, consultez le complément mathématique cité dans le cours Les transformations
s’effectuant en deux sens.
•
0
1
pKe
2
[H3 O+ ] > [OH− ]
1
pKe
2
•
[H3 O+ ] = [OH− ]
Solution acide
Solution neutre
pH <
pH >
1
pKe
2
[H3 O+ ] < [OH− ]
pH
Solution basique
On définit le caractère acide, basique ou neutre d’une solution par comparaison de son pH avec celui de l’eau pure.
Une solution est acide si elle contient plus des ions oxonium [H3 O+ ] que l’eau pure.
À 25◦ C :
[H3 O+ ] > 10−7 mol.L−1 soit pH< 7.
Une solution est basique si elle contient moins des ions oxonium [H3 O+ ] que l’eau pure.
À 25◦ C :
[H3 O+ ] < 10−7 mol.L−1 soit pH> 7.
Une solution est neutre si elle contient autant des ions oxonium [H3 O+ ] que l’eau pure.
À 25◦ C :
[H3 O+ ] = 10−7 mol.L−1 soit pH= 7.
En solution aqueuse, l’échelle de pH varie de 0 à 14.
Constante d’acidité :
La constante d’équilibre de la réaction d’un acide AH avec l’eau est noté KA .
On l’appelle constante d’acidité du couple acido-basique AH(aq) /A−
:
(aq)
AH(aq) + H2 O(l)
A−
+ H3 O+
(aq)
(aq)
KA
144
La valeur de KA ne dépend que de la température.
On peut également définir une grandeur noté pKA pour le couple cité précédemment :
KA = 10−pKA
pKA = − log KA
En chimie, pour une grandeur X, on définit la grandeur pX par la relation mathématique suivante : pX = − log X.
À l’équilibre et seulement à l’équilibre, la constante d’équilibre et le quotient de réaction sont égaux. On écrit donc :
KA =
[A− ]éq .[H3 O+ ]éq
[AH]éq
Acide + Eau :
L’équation de la réaction est :
AH(aq) + H2 O(l)
AH(aq)
État initial
État en cours
État final
+
−
H3 O +
(aq) + A(aq)
H3 O +
(aq)
0
x
xf
H2 O(l)
Excès
Excès
Excès
CV
CV − x
CV − xf
+
A−
(aq)
0
x
xf
On a :
xf
xm
[H3 O+
(aq) ]
τ=
=
C
10−pH
=
C
σ
=
C(λ1 + λ2 )
On choisit la formule correspondante selon les données.
On a :
[A− ].[H3 O+ ]
K=
[AH]
Et :
KA =
[A− ].[H3 O+ ]
[AH]
Donc KA = K. Et cette dernière comme on a vu dans le cours précédent s’exprime généralement comme :
K=
Cτ 2
10−2pH
=
1−τ
C − 10−pH
Base + Eau :
L’équation de la réaction est :
A−
(aq) + H2 O(l)
A−
(aq)
État initial
État en cours
État final
+
CV
CV − x
CV − xf
τ=
τ=
HO−
(aq)
0
x
xf
H2 O(l)
Excès
Excès
Excès
On a :
Avec : xm = CV et xf = [HO− ].V , donc :
HO−
(aq) + AH(aq)
+
AH(aq)
0
x
xf
xf
xm
[HO− ].V
[HO− ]
=
CV
C
145
On sait que :
Ke = [HO− ].[H3 O+ ] ⇐⇒ [HO− ] =
Ke
[H3 O+ ]
Or : [H3 O+ ] = 10−pH , donc :
[HO− ] =
Ke
= Ke × 10pH
10−pH
Par suite :
τ=
Ke × 10pH
C
K=
[HO− ].[AH]
[A− ]
KA =
[A− ].[H3 O+ ]
[AH]
Et on a :
Et la constante d’acidité :
Montrons une relation entre KA et K, on multiplie alors par
[H3 O+ ]
:
[H3 O+ ]
[HO− ].[AH] [H3 O+ ]
×
[A− ]
[H3 O+ ]
[AH]
= [HO− ].[H3 O+ ] × −
[A ].[H3 O+ ]
{z
}
|
K=
1/KA
1
= Ke ×
KA
Par suite :
KA =
Ke
K
Domaine de prédominance :
Relation entre les concentrations et pH :
Soit la réaction suivante :
AH(aq) + H2 O(l)
On a :
KA =
−
H3 O +
(aq) + A(aq)
[A− ].[H3 O+ ]
[AH]
Faisons de la magie :
[A− ].[H3 O+ ]
[AH]
−
[A ].[H3 O+ ]
log KA = log
[AH]
− [A ]
−pKA = −pH + log
[AH]
− [A ]
pH = pKA + log
[AH]
KA =
Construction du diagramme :
[A− ]
[A− ]
= 0, c’est à dire :
= 1.
. Si pH = pKA , alors log
[AH]
[AH]
[A− ]
[A− ]
. Si pH > pKA , alors log
> 0, c’est à dire :
> 1.
[AH]
[AH]
146
[A− ]
[A− ]
< 0, c’est à dire :
< 1.
[AH]
[AH]
Dans un système chimique on dit que : l’espèce chimique A est prédominante par rapport à une espèce chimique B si
[A] > [B].
. Si pH < pKA , alors log
. Si pH = pKA , alors l’acide AH et sa base conjuguée A− ont la même concentration :
[AH] = [A− ]
. Si pH > pKA ,alors la base A− est prédominante :
[AH] < [A− ]
. Si pH < pKA , alors l’acide AH est prédominant :
[AH] > [A− ]
Le diagramme de prédominance représente les zones de pH ou les espèces d’un couple acide/base prédominent.
•
0
[AH]
Acide prédominant
pKA
•
[AH] = [A− ]
[A− ]
Base prédominant
pH
Diagramme de distribution :
Considérons une solution contenant l’acide et la base du couple AH/A− .
On appelle fraction d’acide en solution la grandeur α (AH), telle que :
α (AH) =
[AH]
[AH] + [A− ]
De même, la fraction de base en solution la grandeur α A− est définie par :
α A− =
[A− ]
[AH] + [A− ]
Le diagramme de distribution des espèces du couple AH/A− représente l’évolution des fractions de l’acide AH et de
la base A− en fonction du pH. Il est donné à une température T .
Par lecture du diagramme de distribution, on peut obtenir la distribution précise des espèces AH et A− , ce qui n’est
pas le cas avec le diagramme de prédominance.
Au point d’intersection des courbes, on a :
α A− = α (AH)
[A− ] = [AH]
pH = pKA
C’est-à-dire le pKA du couple est égal au pH correspondant au point d’intersection des courbes.
147
α(%)
α(A− )
α(AH)
100% •
50%
pH = pKA
pH
Indicateur coloré acido-basique :
Un indicateur coloré acido-basique est une espèce chimique dont les formes acides et basiques conjuguées, notées
respectivement IndH et Ind− présentent des couleurs différentes en solution aqueuse.
Comme pour tous les couples acide/base, l’équilibre de deux formes conjuguées en solution aqueuse peut être modélisée
par l’équation :
+
IndH(aq) + H2 O(l)
Ind−
(aq) + H3 O(aq)
Quand la valeur de pH est proche de celle du pKA , les deux formes conjuguées de l’indicateur coexistent à des
concentrations voisines. La couleur observée correspond à l’addition de IndH et Ind− , et porte le nom de teinte
sensible.
La zone de virage d’un indicateur coloré se situe dans une zone de pH encadrant son pKA .
•
0
IndH
pKA
•
Teinte sensible
Ind−
pH
Prédominance des teintes dans le cas des indicateurs colorés :
Un indicateur coloré est un couple noté IndH/Ind− dont la teinte IndH est différente de la teinte Ind− .
Sa constante d’acidité est exprimé par :
[Ind− ].[H3 O+ ]
KA =
[IndH]
Et on peut écrire :
[Ind− ]
KA
=
[IndH]
[H3 O+ ]
. Si [IndH] ≥ 10[Ind− ], c’est la teinte de la molécule HInd qui prédomine.
On écrit l’inégalité autrement :
[Ind− ]
1
KA
1
≤
⇔
+ ≤
[IndH]
10
10
[H3 O ]
D’où :
[H3 O+ ] ≥ 10 × KA
Elle sera suivie par :
log[H3 O+ ] ≤ − log (10.KA ) = pKA − 1
pH ≤ pKA − 1
148
. Si [Ind− ] ≥ 10[IndH], c’est a teinte de Ind− qui prédomine.
En suivant le même procédé on obtient :
pH ≥ pKA + 1
En utilisant ces résultats on obtient l’échelle de prédominance suivante :
pKA − 1
•
pKA
•
Zone de virage
Teinte de IndH
Teinte sensible
pKA + 1
•
pH
Teinte de Ind−
149
Dosage acido-basique :
Le dosage : (titrage) c’est une opération chimique, qui consiste à déterminer la concentration d’une espèce chimique,
appelée dosée (titrée), en utilisant une autre espèce chimique appelée titrante.
Montage expérimentale :
Burette
solution dosante
support
pH-mètre
Bécher
pH
solution dosée
agitateur magnétique
Schéma du dispositif expérimental pour un titrage
Dosage acido-basique :
Équation de réaction :
On considère que la solution dosée est une base AH, et la solution dosante est (Na+ , OH− ), l’équation de réaction
entre l’acide et la base est :
−
AHaq + OH−
aq −→ Aaq + H2 Ol
On remarque qu’on utilise une seule flèche, car la réaction du dosage est totale.
Les caractéristiques du dosage :
C’est une réaction chimique : Totale, rapide et sélective.
Avant l’équivalence, l’espèce chimique dosante est le limitant, après l’équivalence, c’est l’espèce chimique dosée et à
l’équivalence les deux sont limitants.
150
La courbe du titrage :
Lors du titrage pH-métrique, on mesure le pH à l’équilibre après chaque ajout du réactif titrant.
Ensuite on trace la courbe représentant les variations du pH en fonction du volume versé VB de la solution titrante,
cette courbe est appelée : courbe du titrage.
12
10
pH
8
6
4
2
0
0
5
10
15
VB ml
20
25
30
Le point appartenant à la courbe correspondant à l’équivalence est appelé : point d’équivalence, il est caractérisé
par ses coordonnées (VBE ; pHE ), l’abscisse du point d’équivalence, c’est-à-dire VBeq , est l’abscisse de l’extremum de
dpH
la courbe
en fonction de VB .
dVB
pH
pH = f (VB )
pHE
E
dpH
= g(VB )
dVB
VBE
VB (mL)
Détermination du point d’équivalence :
Le point d’équivalence peut être repéré par une méthode graphique, c’est la méthode des tangentes : On trace
deux tangentes à la courbe du titrage, parallèles et situées de part et d’autre du saut du pH, puis on trace la droite
parallèle aux deux tangentes et située à égale distance, le point d’intersection de la courbe de titrage avec cette droite
est le point E d’équivalence.
Une autre méthode est utilisée pour repérer le point d’équivalence, c’est la méthode de la courbe dérivée : On
dpH
, le volume d’équivalence est l’abscisse du maximum de cette courbe.
trace la fonction g(VB ) =
dVB
Relation d’équivalence :
On trace tableau d’avancement de la réaction modélisée par l’équation citée précédemment :
151
État initial
État en cours
État final
AH(aq)
CA VA
CA VA − x
CA VA − xf
+
À l’équivalence on a : CB VBE = CA VA ⇐⇒ CA =
HO−
(aq)
CB VB
CB VB − x
C B V B − xf
−→
A−
(aq)
0
x
xf
+
H2 O(l)
Excès
Excès
Excès
CB VBE
VA
Choix de l’indicateur coloré :
L’indicateur coloré correspondant est celui dont sa zone de virage contient pHE .
Si par exemple pHE = 7, 8, alors l’indicateur qu’il faut choisir est celui de rouge de crésol, car sa zone de virage est
[7, 2 ; 8, 8].
Cette technique nous permet de connaître le volume VBE du titrage acido-basique.
Taux d’avancement final des réactions du titrage :
On étudie la même réaction citée dans le paragraphe précédent :
−
AH(aq) + HO−
(aq) −→ A(aq) + H2 O(l)
Soit VB le volume de la solution (Na+ , OH− ) ajouté, tel que VB < VBE , le réactif limitant est donc OH− , c’est-à-dire
xm = CB VB , le pH du mélange nous permet de déterminer la concentration les ions [OH− ] et on déduit nf OH− .
On rappelle que : pH=log[H3 O+ ] et Ke = [H3 O+ ][OH− ].
Donc :
nf OH− = [OH− ]VT
Ke
VT
=
[H3 O+ ]
= 10pH-pKe VT
Et d’après le tableau d’avancement : nf OH− = CB VB − xf ⇐⇒ xf = CB VB − 10pH-pKe VT .
Donc le taux d’avancement est :
xf
xm
CB VB − 10pH-pKe VT
=
CB VB
pH-pKe
10
VT
=1−
CB VB
≈1
τ=
Donc pour les différentes volumes VB < VBE on obtient τ ≈ 1, c’est-à-dire les transformations associées à cette réaction
du dosage sont totales.
152
Les transformations spontanées dans les
piles et récupération de l’énergie :
Évolution spontanée d’un système chimique :
Expression du quotient du réaction :
Vu en premier semestre, le quotient de réaction Qr de l’équation chimique :
αA(aq) + βB(aq)
γC(aq) + δD(aq)
Est donné par :
Qr =
[C]γ · [D]δ
[A]α · [B]β
Elle peut être calculer dans tous les états de la réaction (initial Qr,i , équilibre Qr,éq ...).
La constante d’équilibre K :
À chaque équation chimique on associe une constante K, qu’on appelle constante d’équilibre, sa valeur est celle de
Qr,éq à l’équilibre, ainsi qu’elle ne dépend qu’à la température.
K = Qr,éq =
[C]γéq · [D]δéq
β
[A]α
éq · [B]éq
Critère d’évolution spontanée :
On considère l’équation de réaction, de constante d’équilibre associée K :
αA(aq) + βB(aq)
γC(aq) + δD(aq)
Dans l’état initial, l’équation est caractérisée par Qr,i .
On peut prévoir le sens d’évolution spontanée du système chimique en comparant les deux grandeurs Qr,i et K.
Si Qr,i = K le système est à l’équilibre à l’état initial et il n’évolue pas.
Qr,i = K
•
Le système n’évolue pas
Si Qr,i < K le système évolue dans le sens direct de l’équation. Il y a alors consommation des réactifs A et B et
formation des produits C et D.
Qr,i
K
•
•
Evolution dans le sens direct
Si Qr,i > K le système évolue dans le sens inverse. Il y a alors consommation de C et D et formation de A et B.
Qr,i
K
•
•
Evolution dans le sens inverse
153
Transformations spontanées dans les piles :
Transfert des électrons :
Transfert spontané direct : Lorsque les espèces chimiques participants à une réaction d’oxydoréduction en solution
aqueuse mélangées, il se produit un transfert spontané et direct d’électrons du réducteur vers l’oxydant.
Transfert spontané indirect : Lorsque les espèces chimiques participants à une réaction d’oxydoréduction sont
séparées, on peut réaliser un transfert d’électrons spontané et indirect du réducteur vers l’oxydant, par l’intermédiaire
d’un conducteur métallique.
Les piles fonctionnent sur ce principe.
Constitution d’une pile :
A
e−
Pont sallin
Anode
oxydation
Cathode
réduction
M1 (s)−−→ M1n+ (aq)
M2m+ (aq) −−→ M2 (s)
Une pile est constituée de deux compartiments séparés (demi-piles), qui comporte chacun un électrode, et d’un pont
salin.
Une demi pile est généralement formée d’une solution électrolytique contenant un cation Mn +, appelée électrode,
constitué du métal M qui plonge dans la solution. Le cation et le métal appartiennent au couple Ox/Red Mn+
(aq) /M(s) .
Le pont salin est un tube en U, qui permet la liaison électrique entre les deux demi-piles, en évitant le mélange de
leurs solutions, il contient une solution électrolytique gélifiée, dans laquelle les ions migrent.
Réactions d’électrode :
Dans chaque demi-pile, un processus d’oxydation ou de réduction a lieu sur l’électrode. Il est nommé réaction
d’électrode.
L’électrode qui est le siège d’une réduction est appelée cathode.
L’électrode qui est le siège d’une oxydation est appelée anode.
On dit qu’il y a réduction cathodique et oxydation anodique.
Schéma conventionnel :
On peut symboliser une pile par la chaîne conductrice qui la constitue.
Un Slash symbolise l’interface entre l’électrode solide conductrice et la solution électrolytique dans une demi-pile.
Deux Slash symbolisent le pont salin entre les deux piles.
Le pôle (+) de la pile est placé à droite, et le pôle (-) à gauche.
m+
(−) M1(s) /Mn+
1(aq) //M2(aq) /M2(s) (+)
Généralisation :
m+
On Considère une pile mettant en jeu le couple Mn+
1 /M1 et M2 /M2 , son schéma conventionnel est celui dans
l’exemple précédent.
154
La réduction cathodique :
−
Mm+
2(aq) + me
L’oxydation anodique :
M2(s)
−
Mn+
1(aq) + ne
M1(s)
L’équation globale :
n+
mM1(s) + nMm+
2(aq) −→ nM2(s) + mM1(aq)
Pour toutes les piles étudiées, la transformation associée à la réaction sera considérée totale.
Quantité d’électricité débitée :
Le Faraday F :
Le Faraday (F ) est la charge d’une mole de charges élémentaires :
1F = NA .e
Numériquement :
1F = 6, 023 × 1023 × 1, 602 × 10−19 ≈ 9, 65 × 104 C.mol−1
Le Faraday est une quantité de charge adaptée à l’électrochimie.
Quantité d’électricité débitée pendant ∆t :
On appelle quantité d’électricité Q débitée pendant une durée ∆t, la valeur absolue de la charge totale d’électrons
échangés pendant cette durée.
Si l’intensité I du courant débité par la pile est constante, on peut écrire la relation suivante :
Q = I.∆t
Et cette quantité d’électricité correspond à un déplacement de N électrons dans le circuit :
Q = N.e
Est la quantité d’électrons est exprimée par :
n(e− ) =
Par conséquent :
N
NA
Q = n(e− ).NA .e =⇒ Q = n(e− ).F
Il est préférable d’ajouter une case spécifique pour n(e− ) dans le tableau d’avancement, afin que l’étude énergétique
soit facile.
État initial
État en cours
État final
mM1(s)
+
n1
n1 − mx
n1 − mxf
nMm+
2(aq)
n2
n2 − nx
n2 − nxf
−→
nM2(s)
n3
n3 + nx
n3 + nxf
+
mMn+
1(aq)
n4
n4 + mx
n4 + mxf
n(e− )
0
κx
κxf
On pose κ = mn.
À partir ce tableau on peut déterminer la variation du concentration en ions des solutions, ou bien la variation des
masses des métaux .
Calculons ∆m (M1 ) : On a :
∆n (M1 ) = n1 − m.xf − n1
∆m (M1 )
= −m.xf
M
κ.xf
=−
n
n(e− )
∆m (M1 ) = −M.
n
Q
= −M.
nF
I.∆t.M
=−
n.F
155
Les transformations forcées (électrolyse) :
Une transformation est dite forcée, si elle se déroule dans le sens opposée de la transformation spontanée.
L’électrolyse est un exemple de cette transformation.
L’électrolyse :
Lors de l’électrolyse, le générateur électrique, introduit dans le circuit, impose un transfert d’électrons entre le réducteur
d’un couple, et l’oxydant d’un autre couple.
Pour réaliser une électrolyse, on utilise le montage électrique schématisé par la figure suivante :
-
+
A
G
V
Solution électrolytique
Anode
Cathode
Avant le début de l’électrolyse, le système chimique est souvent en équilibre, alors il impose au système un état de
non-équilibre.
L’électrode reliée au pôle négatif du générateur est le siège d’une réduction, il s’agit donc d’une cathode.
L’électrode reliée au pôle positive du générateur est le siège d’une oxydation, il s’agit donc d’une anode.
Dans la plupart des exercices l’anode est souvent inattaquable, c’est-à-dire ne réagit pas, par exemple le graphite ou
platine...
−
Prenons par exemple la solution électrolytique suivante (Ag+
(aq) + NO3 (aq) ), et une plaque de cuivre, qui plonge dans
cette solution Cu(s) , et dans l’autre une plaque de graphite. On veut couvrir la plaque de cuivre en argent, c’est-à-dire
on veut réduire les ions d’argent en Ag(s) , suivant la réaction suivante :
−
Ag+
(aq) + e
Ag(s)
Au voisinage de l’autre électrode, on remarque un dégagement gazeux d’O2(g) , il est dû à l’oxydation de H2 O(l) selon
la réaction suivante :
−
2H2 O(l)
2O2(g) + 4H+
(aq) + 4e
L’équation bilan :
+
4Ag+
(aq) + 2H2 O(l) −→ 4Ag(s) + 2O2(g) + 4H(aq)
156
Tableau d’avancement :
4Ag+
(aq)
État initial
État en cours
État final
CV
CV − 4x
CV − 4xf
−→
+ 2H2 O(l)
Excès
Excès
Excès
On rappelle que :
4Ag(s)
0
4x
4xf
+
2O2(g)
0
2x
2xf
+
4H+
(aq)
0
4x
4xf
n(e− )
0
4x
4xf
(
Q = I.∆t
Q = n(e− ).F
Calculons m (Ag) :
On a :
m (Ag)
M (Ag)
m (Ag)
4xf =
M (Ag)
m (Ag)
n(e− ) =
M (Ag)
I.∆t.M (Ag)
m (Ag) =
F
n (Ag) =
Ou bien on peut utiliser, la masse volumique :
ρ = m.V
= m.S.ϵ
Avec S la surface de la plaque, et ϵ l’épaisseur de la couche déposée sur la plaque.
(
2πr2
disque
S=
2L × l Rectangle
Calculons V (O2 ) :
On a d’après tableau d’avancement :
n(e− ) = 4xf
n (O2 )
2
Q
V (O2 )
=
F
2Vm
2I.∆t.Vm
V (O2 ) =
F
=
157
L’estérification et l’hydrolyse :
Rappel sur la chimie organique :
La chimie organique, est la chimie des composés carboniques, c’est-à-dire les molécules contenant essentiellement les
atomes de carbone et hydrogène.
6
4
La configuration électronique du carbone est : C : (K) (L) . Afin de vérifier la condition d’octet, il faut 4e− , c’est-àdire l’atome de carbone met 4 liaisons :
Représentation de Lewis :
C
C
Représentation de Cram :
Pour l’oxygène :
C
C
C
O
O
Pour l’azote :
N
N
N
On peut représenter la molécule organique en utilisant plusieurs façons :
La formule développée fait apparaître tous les atomes et les liaisons qui les relient.
La formule semi-développée ne représente pas les liaisons qui relient les atomes d’hydrogène.
L’écriture topologique se limite à représenter le squelette carboné sous forme d’une ligne brisée.
H
H
C
H
H H
H
C
H
C
CH3
C
C
C
H
H
H
H
Formule développée
H
CH
CH3
CH3
C
CH2
C
Formule semi-développée
C
C
Squelette carbonique
Les alcanes :
Les alcanes non-cyclyques ont pur formule générale Cn H2n+2 , où n ∈ N∗ .
Alcane linéaire : Le nom d’un alcane linéaire est constitué d’un préfixe qui dépend du n
n=1
CH4
méthane
n=2
n=3
C 2 H6
C 3 H8
éthane
propane
n=4
n=5
C4 H10
C5 H12
butane
pentane
n=6
n=7
C6 H14
C7 H16
hexane
heptane
n=8
n=9
n = 10
C8 H18
C9 H20
C10 H22
octane
nonane
décane
158
Écriture topologique
Alcane ramifié : La chaîne carbonée la plus longue est appelée chaîne principale. Elle donnera son nom à l’alcane.
Par exemple :
CH2
CH3
CH2
CH
CH3
CH2
R
Si R=CH3 on parle d’méthyl, si R=C2 H5 on parle d’éthyl.
Pour cette molécule on a 6 carbones, donc il s’agit du préfixe hex, R se trouve dans l’emplacement 3, alors le nom de
cette espèce est : 3-méthyl-hexane.
Les alcools :
Les alcools sont caractérisés par le groupe OH d’hydroxyde. Il existe 3 classes d’alcools :
Alcool primaire : le carbone est lié à deux atomes d’hydrogène.
Alcool secondaire : le carbone est lié à un atome d’hydrogène.
Alcool tertiaire : le carbone n’est lié à aucun atome d’hydrogène.
R′
H
R
C
OH
H
Formule développée
R
C
R′
OH
R
C
OH
R′′
Alcool tertiaire
H
Alcool secondaire
n=1
CH3 OH
méthanol
n=2
n=3
C2 H5 OH
C3 H7 OH
éthanol
propanol
n=4
n=5
C4 H9 OH
C5 H11 OH
butanol
pentanol
n=6
n=7
C6 H13 OH
C7 H15 OH
hexanol
heptanol
n=8
n=9
n = 10
C8 H17 OH
C9 H19 OH
C10 H21 OH
octanol
nonanol
décanol
Pour les alcools ramifiés il suffit de repérer l’emplacement du groupe OH, par exemple :
CH3
CH
CH3
OH
CH3
CH
CH3
3,3-diméthyl-but-2-ol
Les acides carboxyliques :
O
Les acides carboxyliques sont caractérisés par le groupe COOH carboxyle :
.
C
O
H
159
n=1
HCOOH
Acide méthanoïque
n=2
CH3 COOH
Acide éthanoïque
n=3
C2 H5 COOH
Acide propanoïque
n=4
C3 H7 COOH
Acide butanoïque
n=5
C4 H9 COOH
Acide pentanoïque
n=6
C5 H11 COOH
Acide hexanoïque
n=7
C6 H13 COOH
Acide heptanoïque
n=8
C7 H15 COOH
Acide octanoïque
n=9
C8 H17 COOH
Acide nonanoïque
n = 10
C9 H19 COOH
Acide décanoïque
Pour les acides ramifiés, on commence la numérotation à partir le carbone fonctionnel du groupe COOH.
CH3
CH3
C
COOH
CH3
Acide 2,2-diméthyl-propanoïque
Les réactions d’estérification et hydrolyse d’un ester :
Les esters :
Les esters sont des composés odorants, que l’on trouve en abondance dans les fruits mûrs, ainsi ils entrent dans la
composition, des huiles, des parfums.
Les esters possèdent un groupe caractéristique appelé ester : -CO2 R′ , noté aussi -COOR′ .
Leur formule générale est :
O
R
C
R′
O
La nomenclature :
Le nom des esters se compose de deux parties :
La première est obtenue à partir l’acide correspondant en remplaçant "oïque" par "oate".
La deuxième est le nom d’alkyle R′ lié à l’oxygène.
Par exemple :
O
CH3
C
O
CH2
CH2
CH2
CH3
L’acide correspondant est CH3 COOH l’acide éthanoïque, donc la première partie est Ethanoate, le radical alkyl lié
à l’oxygène est O CH2 CH2 CH2 CH3 constitué de 4 carbones, donc c’est le butyel. Par suite le nom de cet
ester est : Ethanoate de butyle.
CH3
CH3
CH2
C
CH3
O
C
O
CH
CH2
CH3
CH3
160
CH3
L’acide correspondant est CH3
CH2
C
COOH l’acide 2,2-diméthyl-butanoïque, donc la première partie est 2,2
CH3
diméthyl-butanoate.
Le radical alkyl lié à l’oxygène est : O CH
CH2
CH3 1-méthyl-propyle. Par suite le nom de cet ester est :
CH3
2,2-diméthyl-butanoate de 1-méthyl-propyle.
Réaction d’estérification :
Une réaction d’estérification modélise la transformation spontanée conduisant à la formation d’un ester : R
et l’eau, à partir d’un acide carboxylique R COOH et d’un alcool R′ OH.
O
R
C
COOR′
O
+ R
′
OH
R
C
OH
+ H2 O
O
Acide
carboxylique
Alcool
R
′
Ester
Eau
Les transformations modélisées par une réaction d’estérification sont lentes et limitées.
Réaction d’hydrolyse :
Une réaction d’hydrolyse d’un ester modélise la transformation spontanée qui conduit à un alcool et à un acide
carboxylique à partir d’un ester et d’eau. C’est l’inverse de l’estérification.
O
R
O
C
+ H2 O
O
R
R
′
Ester
+ R′
C
OH
OH
Eau
Acide
carboxylique
Alcool
Cette transformation est lente et limitée.
État d’équilibre :
Les transformations modélisées par une réaction d’estérification ou hydrolyse d’un ester, conduisent à un état d’équilibre.
Les deux réaction, à l’équilibre, ont lieu simultanément et à la même vitesse.
La composition de systèmes peut être déterminée à partir le quotient de réaction Q, et puisque la transformations
n’ayant pas lieu en solution aqueuse, on admet que Q est en fonction des réactifs et produits sans oublier l’eau.
Q=
[ester][eau]
n(ester)n(eau)
=
[acide][eau]
n(acide)n(eau)
Contrôle de la vitesse de réaction :
On sait que ces deux transformations sont lentes, on peut contrôler leur vitesse en influençant la température ou bien
utiliser un catalyseur.
Le rendement :
Le rendement d’une transformation chimique est égal au taux d’avancement final en % de la réaction associée.
r = 100.τ = 100
xf
xm
Afin d’augmenter le rendement on recourt à :
. L’utilisation l’un des réactifs en excès dans l’état initial.
161
. L’ajout de l’un des réactifs lorsque l’état d’équilibre est atteinte.
. L’élimination de l’un des produits au cours de la transformation.
Mais lorsqu’on utilise l’une de ces techniques on se trouve donc devant un Q inférieur à Qr,éq = K.
162
Contrôle de l’évolution d’un système
chimique :
Synthèse d’un ester à partir d’un anhydride d’acide :
Anhydride d’acide :
Les anhydrides d’acide constituent une famille organique, de formule générale :
′
R
CO
O
CO
R
O
O
C
C
′
ou
R
O
R
R et R′ sont des chaînes carbonées.
Ils sont obtenus par élimination d’une molécule d’eau des acides carboxyliques correspondants R
On appelle cette réaction déshydratation :
O
O
R
+ R′
C
O
O
C
C
R′
C
O
H
O
O
COOH et R′
COOH.
R + H2 O
H
La synthèse d’ester :
L’anhydride d’acide réagit avec un alcool pour donner un ester et un acide carboxylique. La réaction est :
R′
O
O
C
C
O
O
O
R + R′
OH
R
+ R′
C
O
C
R′
O
H
C’est une transformation rapide et totale, elle peut être accélérée par un chauffage ou par l’utilisation d’un catalyseur.
La transformation se déroule même que l’eau est absente, on n’a pas d’estérification des esters, et par suite rendement
plus élevé.
Estérification basique d’un ester :
L’estérification basique d’un ester est une transformation lente et totale (mais rapide par rapport à celle d’eau)
O
R
O
+ OH−
C
O
R
R′
+ R′
C
O−
163
OH
Saponification des esters :
La saponification est l’estérification d’un ester dans un milieu de haute température basique (présence de OH− .
La saponification des corps gras (huiles, graisses...), a une grande importance dans le secteur industriel car il nous
permet d’obtenir des esters naturels, les alcools correspondants à la fabrication du savon.
On mentionne que les corps gras sont constitués de tri-esters naturels contenants plus que 10 atomes de carbones, et
son estérification mène à la production du glycerol et la base conjuguée de l’acide carboxylique correspondant.
Les propriétés du savon :
Les molécules du savon sont constitués essentiellement de deux parties : Partie hydrophyle (qui réagit avec l’eau) et
lipophobe (ne réagit pas avec les lipides) ce qui constitue la tête COO− .
Partie hydrophobe et lipophyle qui constitue la chaîne alkylique.
CH2
CH3
CH2
CH2
CH2
CH2
CH2
CH2
Partie hydrophobe
COO−
CH2
CH2
CH2
COO−
164