Fonctions réelles à plusieurs variables : manuel de cours

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Fonctions r´eelles `a plusieurs
variables r´eelles
1.1 G´en´eralit´es sur Rn
Le but de ce cours est de g´en´eraliser la notion de d´eriv´ee d’une fonction d’une variable
r´eelle `a valeurs r´eelles `a partir de la th´eorie du calcul diff´erentiel appliqu´ee aux fonctions de
plusieurs variables. L’id´ee fondamentale de cette th´eorie est d’approcher une application
”quelconque” (de plusieurs variables r´eelles ici) par une application lin´eaire au voisinage
d’un point.
1.1.1 Distances dans Rn
D´efinitions
♣Soit Eun ensemble.
On appelle distance ou m´etrique sur E, une application de E2−→ R+v´erifiant les pro-
pri´et´es suivantes :
a) ∀M1, M2∈E,d(M1, M2)=0⇔M1=M2
b) ∀M1, M2∈E,d(M1, M2) = d(M2, M1)
c) ∀M1, M2, M3∈E,d(M1, M3)≤d(M1, M2) + d(M2, M3) (in´egalit´e triangulaire).
♣L’espace (E, d) est appel´e espace m´etrique.
♣Si E=Rn,M1= (x1, x2, . . . , xn), M2= (y1, y2, . . . , yn) deux points de Rn, on d´efinit
les distances suivantes dites distances classiques.
•d1(M1, M2) = rn
P
i=1
(xi−yi)2(distance euclidienne).
•d2(M1, M2) =
n
P
i=1 |xi−yi|.
•d3(M1, M2) = sup|xi−yi|i∈ {1,2,...n}.
♣Soit M0∈Rn,r > 0.
1

1.2. Définitions 2
•On appelle boule ouverte de centre M0; de rayon r, l’ensemble B0={M∈Rnd(M, M0)< r}.
•On appelle boule ferm´ee de centre M0; de rayon r, l’ensemble Bf={M∈Rnd(M, M0)≤r}.
•On appelle voisinage de M0tout ensemble contenant une boule ouverte de centre
M0, de rayon r.
•On appelle pav´e ouvert de Rn, l’ensemble
P={MM∈Rnet ∀i= 1,··· , n ai< xi< bi(ai, bi∈R)}.
•Soit Eune partie de Rn,M0∈E.
M0est un point int´erieur `a Elorsque Eest voisinage de M0.
M0est un point de fronti`ere de Elorsque toute boule ouverte de centre M0contient
au moins un point de Eet un point de son compl´ementaire.
1.2 D´efinitions
Pour deux points x= (x1, x2) et y= (y1, y2) de R2, on d´efinit :
–Distance euclidienne (`2) :
d2(x, y) = p(x1−y1)2+ (x2−y2)2
–Distance de Manhattan (`1) :
d1(x, y) = |x1−y1|+|x2−y2|
–Distance de Chebyshev (`∞) :
d∞(x, y) = max |x1−y1|,|x2−y2|
Ces trois distances sont des cas particuliers de la norme `p:
kxkp= (|x1|p+|x2|p)1/p ,kxk∞= lim
p→∞ kxkp= max(|x1|,|x2|)
avec p= 2 pour l’euclidienne et p= 1 pour Manhattan.
1.3 Comparaison
On a toujours l’encadrement, pour tout x∈R2:
kxk∞≤ kxk2≤ kxk1≤2kxk∞
ce qui se traduit g´eom´etriquement par l’inclusion des boules unit´es :
B1⊂B2⊂B∞
(le losange est contenu dans le cercle, lui-mˆeme contenu dans le carr´e).
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles

1.4. Illustration : les trois boules unité 3
1.4 Illustration : les trois boules unit´e
x
y
−1 1
−1
1
d2(cercle)
d1(losange)
d∞(carr´e)
On observe visuellement l’inclusion B1⊂B2⊂B∞: le losange (Manhattan) est la plus
petite r´egion, le cercle (euclidienne) interm´ediaire, et le carr´e (Chebyshev) la plus grande,
les trois formes se touchant aux quatre points (±1,0) et (0,±1).
1.5 Fonctions de plusieurs variables et domaines de
d´efinition
Dans de nombreux ph´enom`enes scientifiques, une grandeur d´epend simultan´ement de
plusieurs variables. Par exemple, la temp´erature d’un point d´epend de sa position dans
l’espace, le volume d’un gaz d´epend de la pression et de la temp´erature, tandis que le coˆut
de production d’une entreprise d´epend de la quantit´e de travail et de capital employ´es.
L’´etude des fonctions de plusieurs variables constitue une g´en´eralisation naturelle des
fonctions d’une variable r´eelle. Elle joue un rˆole fondamental en math´ematiques, en phy-
sique, en ´economie, en ing´enierie et dans de nombreuses autres disciplines.
Dans cette section, nous introduisons la notion de fonction de plusieurs variables ainsi
que les concepts essentiels d’ensemble de d´efinition et d’ensemble image.
D´efinition 1.5.1. Soient (D) une partie non vide de (Rn)((n≥2)) et (R)l’ensemble des
nombres r´eels. Une fonction r´eelle de nvariables r´eelles est une application [f⊆Rn−→
R,]qui, `a tout point [X= (x1, x2, . . . , xn)∈D, ]associe un unique nombre r´eel not´e
[f(X) = f(x1, x2, . . . , xn).]
Les variables (x1, x2, . . . , xn) sont appel´ees variables ind´ependantes, tandis que le
nombre r´eel (f(x1, . . . , xn)) est appel´e variable d´ependante.
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles

1.5. Fonctions de plusieurs variables et domaines de définition 4
Remarque 1.5.1. Lorsque n=1, on retrouve la d´efinition classique d’une fonction d’une
variable r´eelle.
1.5.1 D´efinition
On appelle fonction r´eelle de n(n > 1) variables r´eelles, une fonction fde Rnvers R
c’est-`a-dire une application d’une partie Dde Rn.Dest appel´e ensemble de d´efinition de
f.
f:D⊆Rn−→ R
M(x1, . . . , xn)−→ u=f(M) = f(x1, . . . , xn)
Exercice 1.5.1. D´eterminer le domaine de d´efinition et repr´esenter (au moins sch´ematiquement)
la r´egion dans le plan xy d´efinies par :
a)f(x, y) = px+ 2y, b)g(x, y) = ln 4−x2−y2, c)h(x, y) = py−x2,
d)h(x, y) = 1
x2−y2, e)i(x, y) = 1 x2+y2+ 1, f)i(x, y) = 1
p9−x2−4y2,
Exercice 1.5.2. D´eterminer et repr´esenter l’ensemble de d´efinition des fonctions de R2
dans Rd´efinies par :
a)f(x, y) = x+ 2y−4
x2+y2, b)g(x, y) = √1−x2
p1−y2, c)h(x, y) = p1−x2−y2,
d)k(x, y) = √x2−4 + p4−y2
1.5.2 Fonctions partielles
Soit fune fonction de Rnvers Rd´efinie dans un voisinage de M0(a1, a2, . . . , an).
On appelle fonctions partielles associ´ees `a fau point M0, les fonctions fi(i= 1, . . . , n)
de Rvers Rd´efinies par : fi(xi) = f(a1, a2, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an) obtenues en fixant
(n−1) variables et ne se faisant varier que la i-`eme variable.
Exercice 1.5.3. Trouver les fonctions partielles associ´ees `a fau point M0(2,−1,3) o`u f
est la fonction de R3vers Rd´efinie par :
f(x1, x2, x3) = 2x2
1+ 3x2.x3
x2
1+x2 2+x2 3
R´esolution 5.2.2
f(x1) = 2x2
1+ 3(−1)(3)
x2
1+ (−1)2+ (3)2=2x2
1−9
x2
1+ 10
f(x2) = 2(2)2+ 3x2.(3)
(2)2+x2
2+ (3)2=9x2+ 8
x2
2+ 13
f(x3) = 2(2)2+ 3(−1).x3
(2)2+ (−1)2+x2
3
=−3.x3+ 8
x2
3+ 5
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles

1.6. Limite et continuité 5
1.6 Limite et continuit´e
En analyse d’une variable r´eelle, la limite d’une fonction f(x) lorsque x tend vers un
nombre a est ´etudi´ee selon deux directions (`a gauche et `a droite). Dans R2, la situation
est plus complexe. En effet, un point peut ˆetre approch´e suivant une infinit´e de chemins.
Une limite n’existe que si la fonction tend vers la mˆeme valeur quel que soit le chemin
suivi.
1.6.1 Limite
D´efinition
Soit fune application de Rnvers Rd´efinie dans un voisinage de M0(sauf peut ˆetre au
point M0).
On dit que fadmet pour limite t (t∈R) quand Mtend vers M0si :
∀ε > 0, ∃α > 0 ; d(M, M0)≤α=⇒ |f(M)−t| ≤ ε.
On note
lim
M−→M0
f(M) = t
D´efinition
Soit f:D⊂R2−→ Ret soit (a, b) un point d’accumulation de D. On dit que
lim
(x,y)−→(a,b)f(x, y) = L
Si, pour tout  > 0,∃δ > 0 tel que
0<q(x−a)2+ (y−b)2< δ =⇒ |f(x, y)−L|< δ
Cette d´efinition est l’extension naturelle de la d´efinition des limites d’une variable.
Interpr´etation g´eom´etrique
La limite lim(x,y)−→(a,b)f(x, y) = Lsignifie que lorsque le point (x, y) se rapproche de
(a, b), la hauteur z=f(x, y) se rapproche du plan horizontal z=L
Propri´et´es
les th´eor`emes g´en´eraux sur les limites de fonction d’une variable s’´etendent aux limites
des fonctions de plusieurs variables.
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles