Fonctions réelles à plusieurs variables : manuel de cours

? ?
Chapitre Un
? ?
Fonctions réelles à plusieurs
variables réelles
1.1
Généralités sur Rn
Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d’une fonction d’une variable
réelle à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de
plusieurs variables. L’idée fondamentale de cette théorie est d’approcher une application
”quelconque” (de plusieurs variables réelles ici) par une application linéaire au voisinage
d’un point.
1.1.1
Distances dans Rn
Définitions
♣ Soit E un ensemble.
On appelle distance ou métrique sur E, une application de E 2 −→ R+ vérifiant les propriétés suivantes :
a) ∀M1 , M2 ∈ E, d(M1 , M2 ) = 0 ⇔ M1 = M2
b) ∀M1 , M2 ∈ E, d(M1 , M2 ) = d(M2 , M1 )
c) ∀M1 , M2 , M3 ∈ E, d(M1 , M3 ) ≤ d(M1 , M2 ) + d(M2 , M3 ) (inégalité triangulaire).
♣ L’espace (E, d) est appelé espace métrique.
♣ Si E = Rn , M1 = (x1 , x2 , . . . , xn ), M2 = (y1 , y2 , . . . , yn ) deux points de Rn , on définit
les distances suivantes dites distances classiques.
rn
P
(xi − yi )2 (distance euclidienne).
• d1 (M1 , M2 ) =
i=1
• d2 (M1 , M2 ) =
n
P
|xi − yi |.
i=1
• d3 (M1 , M2 ) = sup|xi − yi | i ∈ {1, 2, . . . n}.
♣ Soit M0 ∈ Rn , r > 0.
1
2
1.2. Définitions
• On appelle boule ouverte de centre M0 ; de rayon r, l’ensemble B0 = {M ∈ Rn d(M, M0 ) < r}.
• On appelle boule fermée de centre M0 ; de rayon r, l’ensemble Bf = {M ∈ Rn d(M, M0 ) ≤ r}.
• On appelle voisinage de M0 tout ensemble contenant une boule ouverte de centre
M0 , de rayon r.
• On appelle pavé ouvert de Rn , l’ensemble
P = {M M ∈ Rn
et ∀i = 1, · · · , n ai < xi < bi
(ai , bi ∈ R)}.
• Soit E une partie de Rn , M0 ∈ E.
M0 est un point intérieur à E lorsque E est voisinage de M0 .
M0 est un point de frontière de E lorsque toute boule ouverte de centre M0 contient
au moins un point de E et un point de son complémentaire.
1.2
Définitions
Pour deux points x = (x1 , x2 ) et y = (y1 , y2 ) de R2 , on définit :
– Distance euclidienne (`2 ) :
d2 (x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
– Distance de Manhattan (`1 ) :
d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
– Distance de Chebyshev (`∞ ) :
d∞ (x, y) = max |x1 − y1 |, |x2 − y2 |
Ces trois distances sont des cas particuliers de la norme `p :
kxkp = (|x1 |p + |x2 |p )1/p ,
kxk∞ = lim kxkp = max(|x1 |, |x2 |)
p→∞
avec p = 2 pour l’euclidienne et p = 1 pour Manhattan.
1.3
Comparaison
On a toujours l’encadrement, pour tout x ∈ R2 :
kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 ≤ 2kxk∞
ce qui se traduit géométriquement par l’inclusion des boules unités :
B1 ⊂ B2 ⊂ B∞
(le losange est contenu dans le cercle, lui-même contenu dans le carré).
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
3
1.4. Illustration : les trois boules unité
1.4
Illustration : les trois boules unité
y
d2 (cercle)
1
d1 (losange)
d∞ (carré)
x
−1
1
−1
On observe visuellement l’inclusion B1 ⊂ B2 ⊂ B∞ : le losange (Manhattan) est la plus
petite région, le cercle (euclidienne) intermédiaire, et le carré (Chebyshev) la plus grande,
les trois formes se touchant aux quatre points (±1, 0) et (0, ±1).
1.5
Fonctions de plusieurs variables et domaines de
définition
Dans de nombreux phénomènes scientifiques, une grandeur dépend simultanément de
plusieurs variables. Par exemple, la température d’un point dépend de sa position dans
l’espace, le volume d’un gaz dépend de la pression et de la température, tandis que le coût
de production d’une entreprise dépend de la quantité de travail et de capital employés.
L’étude des fonctions de plusieurs variables constitue une généralisation naturelle des
fonctions d’une variable réelle. Elle joue un rôle fondamental en mathématiques, en physique, en économie, en ingénierie et dans de nombreuses autres disciplines.
Dans cette section, nous introduisons la notion de fonction de plusieurs variables ainsi
que les concepts essentiels d’ensemble de définition et d’ensemble image.
Définition 1.5.1. Soient (D) une partie non vide de (Rn )((n ≥ 2)) et (R) l’ensemble des
nombres réels. Une fonction réelle de n variables réelles est une application [f ⊆ Rn −→
R, ] qui, à tout point [X = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ D, ] associe un unique nombre réel noté
[f (X) = f (x1 , x2 , . . . , xn ).]
Les variables (x1 , x2 , . . . , xn ) sont appelées variables indépendantes, tandis que le
nombre réel (f (x1 , . . . , xn )) est appelé variable dépendante.
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
4
1.5. Fonctions de plusieurs variables et domaines de définition
Remarque 1.5.1. Lorsque n=1, on retrouve la définition classique d’une fonction d’une
variable réelle.
1.5.1
Définition
On appelle fonction réelle de n (n > 1) variables réelles, une fonction f de Rn vers R
c’est-à-dire une application d’une partie D de Rn . D est appelé ensemble de définition de
f.
f :D ⊆ Rn −→ R
M (x1 , . . . , xn ) −→ u = f (M ) = f (x1 , . . . , xn )
Exercice 1.5.1. Déterminer le domaine de définition et représenter (au moins schématiquement)
la région dans le plan xy définies par :
p
p
a)f (x, y) = x + 2y, b)g(x, y) = ln 4 − x2 − y 2 , c)h(x, y) = y − x2 ,
1
1
1
, e)i(x, y) = 2
, f )i(x, y) = p
,
d)h(x, y) = 2
2
2
x −y
x +y +1
9 − x2 − 4y 2
Exercice 1.5.2. Déterminer et représenter l’ensemble de définition des fonctions de R2
dans R définies par :
√
x + 2y − 4
1 − x2
p
a)f (x, y) =
,
b)g(x,
y)
=
,
x2 + y 2
1 − y2
p
√
d)k(x, y) = x2 − 4 + 4 − y 2
1.5.2
c)h(x, y) =
p
1 − x2 − y 2 ,
Fonctions partielles
Soit f une fonction de Rn vers R définie dans un voisinage de M0 (a1 , a2 , . . . , an ).
On appelle fonctions partielles associées à f au point M0 , les fonctions fi (i = 1, . . . , n)
de R vers R définies par : fi (xi ) = f (a1 , a2 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , an ) obtenues en fixant
(n − 1) variables et ne se faisant varier que la i-ème variable.
Exercice 1.5.3. Trouver les fonctions partielles associées à f au point M0 (2, −1, 3) où f
est la fonction de R3 vers R définie par :
f (x1 , x2 , x3 ) =
2x21 + 3x2 .x3
x21 + x22 + x23
Résolution 5.2.2
2x21 + 3(−1)(3)
2x21 − 9
=
x21 + (−1)2 + (3)2
x21 + 10
2
2(2) + 3x2 .(3)
9x2 + 8
f (x2 ) =
=
(2)2 + x22 + (3)2
x22 + 13
2
2(2) + 3(−1).x3
−3.x3 + 8
f (x3 ) =
=
2
2
2
(2) + (−1) + x3
x23 + 5
f (x1 ) =
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
5
1.6. Limite et continuité
1.6
Limite et continuité
En analyse d’une variable réelle, la limite d’une fonction f(x) lorsque x tend vers un
nombre a est étudiée selon deux directions (à gauche et à droite). Dans R2 , la situation
est plus complexe. En effet, un point peut être approché suivant une infinité de chemins.
Une limite n’existe que si la fonction tend vers la même valeur quel que soit le chemin
suivi.
1.6.1
Limite
Définition
Soit f une application de Rn vers R définie dans un voisinage de M0 (sauf peut être au
point M0 ).
On dit que f admet pour limite t (t ∈ R) quand M tend vers M0 si :
∀ε > 0, ∃α > 0 ; d(M, M0 ) ≤ α =⇒ |f (M ) − t| ≤ ε.
On note
lim f (M ) = t
M −→M0
Définition
Soit f : D ⊂ R2 −→ R et soit (a, b) un point d’accumulation de D. On dit que
lim
f (x, y) = L
(x,y)−→(a,b)
Si, pour tout > 0, ∃ δ > 0 tel que
q
0 < (x − a)2 + (y − b)2 < δ =⇒ |f (x, y) − L| < δ
Cette définition est l’extension naturelle de la définition des limites d’une variable.
Interprétation géométrique
La limite lim(x,y)−→(a,b) f (x, y) = L signifie que lorsque le point (x, y) se rapproche de
(a, b), la hauteur z = f (x, y) se rapproche du plan horizontal z = L
Propriétés
les théorèmes généraux sur les limites de fonction d’une variable s’étendent aux limites
des fonctions de plusieurs variables.
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
6
1.6. Limite et continuité
Exercice 1.6.1. Calculer les limites suivantes :
1.
2x2 y
y
,
,
2.
lim
(x,y)−→(0,0) x + y
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
x+y
5.
lim
(x,y)−→(+∞,+∞) x2 + y 2
lim
3.
sin(xy)
,
(x,y)−→(0,2)
x
lim
4.
lim
1+
(x,y)−→(+∞,k)
y x
x
Résolution
1.
2x2 y
prend la forme indéterminée 00 .
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
lim
Levons l’indétermination. Pour cela, effectuonsle changement de variables suivant :
p


ρ
=
x2 + y 2


x = ρ.cosθ

Pour (x, y) 6= (0, 0), posons
⇔ cosθ = xρ
y = ρ.sinθ



sinθ = y
ρ
ρ et θ sont appelés coordonnées polaires.
(x, y) −→ (0, 0) ⇔ ρ −→ 0.
2ρ3 cos2 θ.sinθ
2x2 y
lim
=
lim
= lim 2ρ.cos2 θ.sinθ = 0
ρ−→0
ρ−→0
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
ρ2
2.
y
.
(x,y)−→(0,0) x + y
lim
En coordonnées polaires
y
sinθ
y
=
qui dépend de θ, alors
lim
(x,y)−→(0,0) x + y
x+y
cosθ + sinθ
n’existe pas.
sin(xy)
sin(xy)
sinz
=
lim
y.
= lim y. lim
= 2, avec z = xy.
y−→2
z−→0 z
(x,y)−→(0,2)
(x,y)−→(0,2)
x
xy
y x
4.
lim
.
1+
(x,y)−→(+∞,k)
x
y
ln 1 +
y x
y
xy
y
x .
Posons u = 1 +
⇒ lnu = x.ln 1 +
=
.ln 1 +
= y.
y
x
x
y
x
x
z −→ 0.
Posons z = xy ; quand x −→ +∞, y −→ k, y
ln 1 +
ln(1 + z)
ln(1 + z)
x =
lim
lnu =
lim
y.
lim
y
= lim y. lim
=
y
z−→0
y−→k
(x,y)−→(+∞,k)
(x,y)−→(+∞,k)
(y,z)−→(k,0)
z
z
x
k
3.
lim
elnu = k =⇒
lim
u = ek .
(x,y)−→(+∞,k)
y x
Donc
lim
1+
= ek .
(x,y)−→(+∞,k)
x
lim
(x,y)−→(+∞,k)
5.
x+y
cosθ + sinθ
= lim
= 0.
2
2
ρ−→+∞
(x,y)−→(+∞,+∞) x + y
ρ
lim
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
7
1.7. Dérivées partielles
1.6.2
Continuité
Définition
La fonction f de Rn vers R définie dans un voisinage de M0 est dite continue au point
M0 si :
lim f (M ) = f (M0 ).
M −→M0
C’est-à-dire ∀ε > 0, ∃α > 0 ; d(M, M0 ) < α ⇒ |f (M ) − f (M0 )| < ε.
Continuité partielle
On dit que f est continue partiellement par rapport à la i-ème variable au point M0 (a1 , . . . , ai , . . . , an ),
lorsque la fonction partielle fi est continue au point ai .
Propriété
Une fonction continue en un point (0, 0) est partiellement continue par rapport à chaque
variable. La réciproque est fausse.
Exercice 1.6.2. Etudier la continue au point (0, 0) de la fonction définie par :
p

1
−
cos
x2 + y 2

f (x, y) =
x2 + y 2

f (0, 0) = 1
2
Résolution
pour
(x, y) 6= (0, 0)
En posant en coordonnées polaires, on a :
1 − cosρ
1
lim
f (x, y) = lim
=
= f (0, 0)
ρ−→0
(x,y)−→(0,0)
2ρ2
2
Alors f est continue au point (0, 0).
1.7
Dérivées partielles
1.7.1
Définition
Soit
f :D −→ R
x −→ f (x)
On dit que f est dérivable en x et de dérivée f 0 (x) lorsque la limite suivante est finie
c’est-à-dire la limite existe et ce n’est pas +∞ ou −∞.
f (x + h) − f (x)
h−→0
h
f 0 (x) = lim
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
8
1.7. Dérivées partielles
df
f (x + h) − f (x)
est la suivante f 0 (x) =
.
h−→0
h
dx
Cette notation rappelle que f 0 (x) est le quotient d’une ”petite différence” sur f et d’une
Une autre façon d’écrire f 0 (x) = lim
”petite différence” sur x, car h = (x + h) − x. On obtient alors : df = f 0 (x)dx.
1.7.2
Définition
Soit
f :D −→ R
(x, y) −→ f (x, y)
0
On appelle dérivée partielle de f par rapport à x au point (a, b) la dérivée fy=b
(a).
∂f
Cette dérivée partielle se note :
(a, b) ou bien ∂x f (a, b).
∂x
0
(b).
On appelle dérivée partielle de f par rapport à y au point (a, b) la dérivée fx=a
∂f
Cette dérivée partielle se note :
(a, b) ou bien ∂y f (a, b).
∂y
Attention !
0
(a) signifie que y est constant et vaut b, nous dérivons donc par rapport à la variable
fy=b
restante qui est x. Cette notation met en évidence le fait que y reste constant.
∂f
La notation
(a, b) met en évidence le fait que nous avons dérivé par rapport à x.
∂x
1.7.3
Définition
∂f
∂f
la fonction qui a un couple (x, y) associe le nombre
(a, b).
∂x
∂x
∂f
∂f
De même, on note
la fonction qui a un couple (x, y) associe le nombre
(a, b).
∂y
∂y
On note
A l’aide de la notion de dérivée partielle nous pouvons parler de dérivée pour les fonctions de deux variables. (Pour les fonctions de trois variables ou plus le mécanisme est
exactement le même).
Pour les fonctions d’une variable nous pouvons facilement calculer une dérivée seconde :
Il suffit de dériver la fonction f 0 . Que se passe-t-il avec les fonctions de deux variables ?
1.7.4
Définition
∂f
Si f (x, y) admet des dérivées partielles en tout point (x, y) d’un domaine, alors
et
∂x
∂f
∂f
∂f
sont elles mêmes des fonctions de x et de y.
et
peuvent donc aussi avoir des
∂y
∂x
∂y
dérivées partielles.
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
9
1.8. Gradient, dérivées directionnelles et plan tangent
Ces dérivées secondes se notent :
∂ ∂f
∂ 2f
=
∂x ∂x
∂x2
∂ 2f
∂ ∂f
=
∂y ∂x
∂y∂x
∂ ∂f
∂ 2f
=
∂x ∂y
∂x∂y
∂ ∂f
∂ 2f
=
∂y ∂y
∂y 2
Exercice 1.7.1. Soit
f :R2 −→ R
(x, y) −→ f (x, y) = x2 + y 5 + xy + π
Calculer les dérivées partielles suivantes
∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f
∂ 2f
,
,
et
.
,
,
∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y
∂y∂x
Théorème 1.
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
et
sont continues alors
=
. Autrement dit dans ce cas l’ordre
∂x∂y
∂y∂x
∂x∂y
∂y∂x
de dérivation est sans importance.
Si
Exercice 1.7.2. Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 des fonctions suivantes :
1.f (x, y) = x2 + 2xy 2 ,
2.g(x, y) =
5x2 y
,
x2 + y 2
3.h(x, y, z) = x3 y + 2yz 2
Exercice 1.7.3. Calculer les dérivées partielles secondes de la fonction définie par :
f (x, y) = x2 + 2xy − y 2
1.8
Gradient, dérivées directionnelles et plan tangent
Soit une fonction f : R2 −→ R définit par z = f (x, y) . La surface représentative est :
S = (x, y, z) ∈ R3 /z = f (x, y)
Les dérivées partielles fx =
∂f
∂f
; fy =
décrivent les variations de f selon les directions
∂x
∂y
des axes x et y.
1.8.1
Le gradient d’une fonction
Soit f (x, y) une fonction différentiable. Le gradient de f au point (x, y) est le vecteur :
∂f ∂f
∇f (x, y) =
,
ou encore ∇f = (fx , fy )
∂x ∂y
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
1.8. Gradient, dérivées directionnelles et plan tangent
10
Cas de trois variables
Si f (x, y, z) alors
∇f (x, y, z) =
1.8.2
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z
ou encore ∇f = (fx , fy , fz )
Dérivée directionnelle
Les dérivées partielles donnent la variation selon les axes x et y. Mais on peut vouloir
connaı̂tre la variation dans une direction quelconque.
Soit un vecteur unitaire : u (a, b) avec a2 + b2 = 1.
Définition
La dérivée directionnelle de f au point A dans la direction u est :
f (A + tu) − f (A)
t−→0
t
Du f (A) = lim
si cette limite existe.
Formule de la dérivée directionnelle
Si f est différentiable alors :
Du f = ∇f · u c’est à dire Du f = fx a + fy b
où ∇f est le gradient et uun vecteur unitaire.
Exemple
2
2
Soit f (x, y)
= x + y . Calculer la dérivée directionnelle au point A (1, 2) dans la
3 4
direction u =
,
5 5
1.8.3
Propriété du gradient
La dérivée directionnelle maximale est obtenue dans la direction du gradient. On a :
max Du f = |∇f |
et elle est atteinte pour :
u=
∇f
|∇f |
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
11
1.9. Matrice jacobienne et matrice hessienne
1.8.4
Plan tangent à une surface
Soit z = f (x, y) . On cherche le plan tangent au point A (x0 , y0 , z0 ) où z0 = f (x0 , y0 ).
Ainsi on a :
z − z0 = fx (x0 , y0 ) (x − x0 ) − fy (x0 , y0 ) (y − y0 )
1.9
Matrice jacobienne et matrice hessienne
Dans la section précédente, nous avons introduit le gradient, qui est le vecteur des
dérivées partielles premières d’une fonction scalaire. Pour une application vectorielle comportant plusieurs composantes, le gradient ne suffit plus. On introduit alors la matrice
jacobienne, qui regroupe toutes les dérivées partielles premières.
De même, pour étudier la courbure d’une fonction scalaire et déterminer la nature
de ses points critiques, on utilise la matrice hessienne, constituée des dérivées partielles
secondes
1.9.1
La matrice jacobienne
1.10
Différentielles
Dans la section précédente de ce chapitre nous avons vu la notation différentielle. Pour
une fonction d’une variable f (x) on a : df = f 0 (x)dx.
Ici une fois de plus nous allons généraliser ce qui a été fait à une variable.
1.10.1
Définition
Soit f une fonction de deux variables (x, y). On note alors la différentielle de f de la
manière suivante :
df =
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
Évidemment si f est une fonction de trois variables (x, y, z) alors on a :
df =
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Exercice 1.10.1. Calculer la différentielle de f (x, y, z) = x2 y 3 z 7 + x + sin(z) +
√
2
Résolution
df = (2xy 3 z 7 + 1)dx + (3x2 y 2 z 7 )dy + (7x2 y 3 z 6 + cos(z))dz
Exercice 1.10.2. Calculer la différentielle de f (x, y) = x2 y + 3xy 3
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
12
1.10. Différentielles
1.10.2
Utilisation des différentielles, différentielle d’une fonction
composée
Afin de ne pas donner d’énoncé trop difficile ou pas assez général nous allons voir sur un
exemple comment calculer la différentielle d’une fonction composée. La démarche est très
simple, il suffit de substituer...
Exercice 1.10.3.
1. Soit f (u, v) = sin(u.v). Calculer df .
2. u et v désignent à présent des fonctions.
On pose : u(x, y) = x − 7y, v(x, y) = x + y.
Calculer du et dv.
3. On considère, à présent la fonction : F (x, y) = sin((x − 7y).(x + y))
∂F
Calculer dF puis en déduire
.
∂x
Résolution
1. df = v.cos(u.v)du + u.cos(u.v)dv.
2. du = dx − 7dy et dv = dx + dy.
3. On remarque que : F (x, y) = f (x − 7y, x + y) = f (u(x, y), v(x, y)).
C’est-à-dire, u et v ont été remplacés (substitués) par x−7y et x+y dans l’expression de f .
Autrement dit F est la composée de f avec les fonctions u(x, y) = x − 7y, v(x, y) = x + y.
Pour obtenir F nous avons remplacé u et v par leur expression en x et y dans f .
Donc pour obtenir dF nous allons remplacer u, v, du et dv par leur expression en x, y,
dx, et dy dans df .
D’où :
dF = (x + y)cos((x − 7y).(x + y)) × (dx − 7dy) + (x − 7y)cos((x − 7y).(x + y)) × (dx + dy)
On développe cette expression, et on obtient :
dF = (2x − 6y)cos((x − 7y).(x + y))dx + (−6x − 14y)cos((x − 7y).(x + y))dy
Par définition nous avons
dF =
∂F
∂x
dx +
∂F
∂y
dy
En identifiant le coefficient de dx du résultat obtenu et de la définition on obtient :
∂F
= (2x − 6y)cos((x − 7y).(x + y))
∂x
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
13
1.11. Fonctions homogènes
Conclusion : F était la composée de la fonction f avec les fonctions u et v. Nous avons
donc calculer la différentielle dF à l’aide des différentielles df , du, et dv en utilisant le
principe de substitution.
Ici, cette méthode nous a permis :
a. de réutiliser des calculs simples déjà effectués,
b. d’obtenir sans effectuer de nouveaux calculs de dérivées la valeur de
1.11
Fonctions homogènes
1.11.1
Définition
∂F
.
∂x
Soit f une fonction de Rn vers R. On dit que f est homogène de degré k (k ∈ R) si :
∀t > 0, f (tx1 , tx2 ; . . . , txn ) = tk f (x1 , x2 , . . . , xn ).
Exercice 1.11.1. Montrer que les fonctions suivantes sont homogènes
5x2 y 3
x2 + y 2
2xy 2
g(x, y) =
x+y
f (x, y) =
Résolution
∀t > 0,
∀t > 0,
2 3
5t5 x2 y 3
5(tx)2 (ty)3
3 5x y
=
=
t
= t3 f (x, y)
2
2
2
2
2
2
2
(tx) + (ty)
t x +y
x +y
2
3
2
2(tx)(ty)
2t xy
2xy 2
g(tx, ty) =
=
= t2
= t2 g(x, y)
tx + ty
t(x + y)
x+y
f (tx, ty) =
Conclusion les fonctions f et g sont homogènes et ont pour degrés respectifs 3 et 2.
1.12
Extremum local d’une fonction de plusieurs variables
Nous souhaitons étudier les extrema d’une fonction de plusieurs variables. Nous nous
contenterons dans cette section d’étudier les fonctions de deux variables.
Afin d’alléger les définitions de maximum et de minimum dans le cadre des fonctions de
deux variables nous introduisons la notion suivante de voisinage.
1.12.1
Définition
On appelle voisinage d’un point (x0 , y0 ) ∈ R2 toute partie du plan contenant un disque
de centre (x0 , y0 ) et de rayon strictement positif.
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
14
1.12. Extremum local d’une fonction de plusieurs variables
1.12.2
Proposition
Soit f une fonction de deux variables x, y définie sur une partie D ⊂ R2 et (x0 , y0 ) ∈ D
∂f
∂f
vérifiant
(x0 , y0 ) = 0 et
(x0 , y0 ) = 0.
∂x
∂y
2
2
∂ 2f
∂ 2f
∂ f
On pose d =
(x0 , y0 )
(x0 , y0 ). 2 (x0 , y0 ) −
∂x2
∂y
∂x∂y
∂ 2f
1. Si d > 0 et
(x0 , y0 ) > 0 alors f (x0 , y0 ) est un minimum local.
∂x2
∂ 2f
2. Si d > 0 et
(x0 , y0 ) < 0 alors f (x0 , y0 ) est un maximum local.
∂x2
3. Si d < 0 et (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) est un point selle, donc f (x0 , y0 ) n’est pas un extremum.
Exercice 1.12.1. Trouver les extrema et les points selles de la fonction suivante
1
1
f (x, y) = xy − x4 − y 4
4
4
Résolution
Tout d’abord recherchons les points critiques de f .
∂f
∂f
Nous avons
(x, y) = y − x3 et
(x, y) = x − y 3 .
∂x
∂y
Ces deux fonctions sont définies dans R2 . Nous cherchons alors à résoudre :

y − x3 = 0
x − y 3 = 0
Cela donne

y − x 3 = 0
x − y 3 = 0
⇒

y = x 3
x = (x3 )3 = x9
=⇒

y = x 3
x9 − x = x(x8 − 1) = 0
La dernière équation nous donne comme valeur possible pour x, x = 0 et les racines
huitièmes de l’unité. Or nous ne cherchons que des racines réelles donc les valeurs possibles
de x sont x = 0, x = 1 et x = −1. Cela donne comme solutions réelles du système (0; 0),
(1; 1) et (−1; −1).
D’autre part, nous avons :
2
∂ 2f
∂ 2f
2 ∂ f
2
(x,
y)
=
−3x
,
(x,
y)
=
−3y
et
(x, y) = 1.
∂x2
∂y 2
∂x∂y
On obtient alors :
• En (−1; −1), nous avons d = (−3).(−3) − 1 = 8 > 0 et
f (−1; −1) est un maximum local.
∂ 2f
(−1, −1) = −3 < 0 donc
∂x2
• En (0; 0), nous avons d = 0 − 1 = −1 < 0, donc (0; 0; f (0; 0)) est un point selle.
∂ 2f
(1, 1) = −3 < 0 donc f (1; 1)
• En (1; 1), nous avons d = (−3).(−3) − 1 = 8 > 0 et
∂x2
est un maximum local.
Exercice 1.12.2. Trouver les extrema et les points selles de la fonction suivante
f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
15
1.13. Exercices d’entrainement
1.13
Exercices d’entrainement
Exercice 1.13.1. Déterminer les ensembles de définition et représenter les graphes des
fonctions suivantes :
x+y
x2 − y
1.f (x, y) = ln(1 + x + y),
2.f (x, y) = exp
p
4.f (x, y) = 2x − y 2 + 1,
p
−y + x2
5.f (x, y) =
,
√
y
,
1
3.f (x, y) = p
,
2
2
x + y + z2 − 2
ln(y)
6.f (x, y) = √
x−y
Exercice 1.13.2. Calculer les limites des fonctions suivantes :
x3
y
xy
(2x + 3y)3
1.
lim
, 2.
lim
, 3.
lim
, 4.
lim
,
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
(x,y)−→(0,0) x2 + y 3
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
(2x + 3y)2
2x + 3y
x2 − y 2
x3 + y 3
5.
lim
,
6.
lim
,
7.
lim
,
8.
lim
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
(x,y)−→(0,0) x2 + y 2
3x2 + xy
1 + x2 + y 2
p
9.
lim
, 10.
lim
sin(y)
(x,y)−→(0,0)
(x,y)−→(0,0)
y
x2 + y 2
Exercice 1.13.3. Etudier la continue au point (0, 0) de la fonction définie par :

2 2

f (x, y) = x y
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2

0 si (x, y) = (0, 0)
Exercice 1.13.4. Pour chacune des fonctions suivantes :
∂f
∂f
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
Calculer
(x, y),
(x, y),
(x, y),
(x, y),
(x, y) et
(x, y)
∂x
∂y
∂x2
∂y 2
∂x∂y
∂y∂x
1. f (x, y) = x2 − 6xy − 6y 2 + 2x + 24y
x3
2. f (x, y) = x2 + 2y 2 −
y
2
2
3. f (x, y) = e2x +xy+7x+y
4. f (x, y) = sin(xy)
5. f (x, y) = ln(x + y)
6. f (x, y) = x2 + x + y 3
7. f (x, y) = sin(x + y) + y
Exercice 1.13.5. On considère la fonction suivante
√
f (x, y) = x + 5y
∂f
∂f
1. Calculer
(x, y) et
(x, y).
∂x
∂y
2. Donner le plus grand domaine de définition possible pour f ,
∂f
∂f
(x, y) et
(x, y).
∂x
∂y
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles
16
1.13. Exercices d’entrainement
Exercice 1.13.6. Soit la fonction définie par : f (x, y) = 16 − x2 − y 2
Calculer
∂f
∂f
(1, 2) et
(1, 2).
∂x
∂y
Exercice 1.13.7. On considère la fonction f (x, y) = y − x2
1. Calculer f (2, 5)
2. Calculer le gradient
de f
∂f
∂f
∇f (x, y) =
(x, y),
(x, y)
∂x
∂y
3. Calculer le gradient de f au point de coordonnées (2, 5).
Exercice 1.13.8. Ecrire les différentielles df des fonctions f définies par les expressions
suivantes :
x3 y
x
ln(x2 + y 2 )
1.f (x, y) = x + xy , 2.f (x, y) =
; 3.f (x, y) = x exp 1 +
, 4.f (x, y) =
x−y+1
y
x−1
2
p
p
x − xy
5.f (x, y) = x2 y − 2xy + 3, 6.f (x, y) =
, 7.f (x, y) = ln(x + x + y 2 )
xy 2
2
2
Exercice 1.13.9. Calculer les dérivées partielles secondes des fonctions suivantes :
1. f (x, y, z) = 3xy 2 − x3 z 2 + xyz − 1
y
2. g(x, y, z) = (x + y) exp
x+z
x
3. h(x, y, z) = ln(y 2 )
z
Exercice 1.13.10. Soit f une fonction de R3 dans R définie par
2
x + y2
f (x, y, z) = x .ln
z2
3
1. Donner l’ensemble de définition de f et l’ensemble sur lequel f admet des dérivées
partielles d’ordre 1.
2. Montrer que f est homogène et préciser son degré d’homogénéité.
3. Calculer les dérivées partielles de f d’ordre 1.
Exercice 1.13.11. Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes ainsi que les
points selles :
1. f (x, y) = 2x2 + 2xy + y 2 + 2x − 3,
2. f (x, y) = −5x2 + 4xy − y 2 + 16x + 10,
3. f (x, y) = x2 − y 2 + 4x − 4y − 8,
4. f (x, y) = x2 + y 4 .
Chapitre 1. Fonctions réelles à plusieurs variables réelles