Chapitre 1 : Limites et continuité - Exercices de mathématiques

MATH.IVOIRE (TleD) 3
ième
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ième
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CHAPITRE 1 : LIMITES-CONTINUITE
EXERCICE* 1
Déterminer les limites suivantes
1)
(
)
3 2
lim 2 10
x
x x
→+∞
− − ; 2)
3
3 1
lim
3
x
x x
x
→−∞
− +
+ ; 3)
(
)
0
lim 3
x→
−
; 4)
1
2 1
lim
1
x
x
x
→−
+
−
;
5)
2
3
9
lim
3
x
x
x
→
−
−
; 6)
2
3 8
lim
2
x
x
x
→
<
−
−
; 7) ;
3
2
lim
3
x
xx
→
>
−
− +
; 8) ;
( )
2
2
1
3
lim
1
x
x
x
→
<
−
−
EXERCICE 2
Déterminer les limites suivantes
1)
2
lim( ² 3)
x
x x
→−
− + +
; 2)
1
lim ( ² 5)
2
x
x x
→−∞
+ +
; 3)
3
lim (2 2)
x
x x
→+∞
− +
; 4)
lim ²(2 )
x
x x
→−∞
−
;
5)
lim[3 (2 ) 1 4 ²]
x
x x x
→+∞
− + −
; 6) 2
lim ( ² 2 1)
x
x x
x
→−∞
− + −
; 7)
² 2 5
lim
3
x
x x
x
→−∞
− +
−; 8)
² 2
lim
(3 )
x
x x
x x
→+∞
− +
− ;
9)
2
lim
7 ²
x
x
x x
→+∞
− +
+
; 10) ; 21)
²
lim (1 )
1
x
x
x
x
→−∞
+ −
+
; 11)
( )
2
2
1
4
lim
1
x
x
x
→
>
+
− ; 12)
0
>
(1 )
lim
²
x
x x
x
→
+
; 13)
5
0
1 1
lim( )
x
x x
→
<
+
14)
0
>
(1 )
lim
²
x
x x
x
→
+
; 15)
3
1
²
lim( )
² 2
x
x x
x x x
→
−
+ − ; 16)
3
3
2 ² 5 3
lim( )
2 5 6
x
x x
x x x
→−
+ −
− − + + .
EXERCICE*3
Déterminer les limites suivantes
1)
2
lim 2 15
x
x
→+∞
−
; 2)
1
8 3
lim
1
x
x
x
→
+ −
− ; 3)
2
lim 2
x
x x
→−∞
+ +
;
4)
2
lim 3 4
x
x x
→+∞
+ −
; 5)
lim ( 1 1)
x
x x
→+∞
− − +
.
EXERCICE*4
Calculer les limites suivantes :
1)
2
2
lim
sin( 2)
x
xx
→
−
−
; 2)
1
lim sin
x
x
x
→+∞
; 3)
2
cos
lim
2
x
x
x
π
π
→
−
4)
6
2sin 1
lim
6
x
x
x
π
π
→
−
−
; 5)
1
lim
2
x
x
π
→−
; 6)
0
sin(3 )
lim
2
x
x
x
→
.
EXERCICE 5
Calculer les limites suivantes :
1)
0
1 2 1
lim
x
x
x
→
− −
; 2)
2
lim 1
x
x x
→−∞
+ −
; 3)
lim ( ² )
x
x x x
→+∞
− +
; 4)
2
2 3 2
lim( )
2
x
x x
x
→
+ − −
−;
5)
2
2
lim( )
² 2
x
x
x x
→−
+
+ − ; 6)
4
2
lim
4
x
x
x
→
−
−
; 7)
lim ( 1)
x
x x
→+∞
+ +
; 8)
lim (2 1)
x
x x
→+∞
+ −
;
9)
lim ( 2 1 1)
x
x x
→+∞
+ − +
; 10)
3
1 2
lim( )
² 6
x
x
x x
→
+ −
− −

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EXERCICE 6
1)
0
2 sin
lim
2sin
x
x x
x x
→
−
+; 2) 3
0
sin ( )
lim
²
x
x
x
→; 3) 0
sin( ) tan( )
lim
x
x x
x
→
+
; 4)
(
)
3
2sin 3
lim
3
x
x
x
π
π
→
−
−
;
5)
(
)
2
sin 1
lim 2
x
x
x
π
π
→
−
−
; 6)
(
)
3
2cos 1
lim 3
x
x
x
π
π
→
−
−
; 7) 0
tan( )
lim
x
x
x
→ ; 8)
4
tan( ) 1
lim
4
x
x
x
π
π
→
−
− .
EXERCICE* 7
On considère la fonction f définie sur IR par :
2 2
( )
1
x
f x
x
+
=
−
.
On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, J).
1°) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2°) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3°) En déduire les équations des asymptotes à la courbe (C).
4°) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation
5°) Construire (Cf) et ses asymptotes dans le même repère.
EXERCICE 8
On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) =
2
2
2 3 1
( 2)
x x
x x
+ −
+ −
de représentation graphique
(Cf) dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, J).
1°) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2°) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3°) En déduire les équations des asymptotes à la courbe (C).
EXERCICE* 9
Soit f la fonction définie sur IR par :
( )
f x
=
x
+2
4 1
x
−
. de représentation graphique
(Cf) dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, J).
1) Démontrer que la droite (D) d’équation
3
y x
=
est asymptote oblique à (Cf.) en
−∞
.
2) Déterminer
lim ( ( ) )
x
f x x
→−∞
+
et donner une interprétation graphique du résultat.
EXERCICE 10
Soit f la fonction définie sur IR par :
( )
f x
= 2
1
x
x
−
de représentation graphique
(Cf) dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
1°) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2°) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3°) En déduire les équations des asymptotes verticales à (Cf).
4°) Démontrer que la droite (D) d’équation
y x
=
est asymptote oblique à (Cf) en
+∞
et en
−∞
.
5°) Déterminer la position relative de (Cf) par rapport à (D).
EXERCICE 11
On considère la fonction f définie sur IR par :
3 2
( ) 3 2 5
f x x x
=− + −
.
On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, I, J).
1°) Calculer les limites de f en
−∞
et en
+∞
.
2°) Calculer :
( )
lim
x
f x
x
→−∞
et
( )
lim
x
f x
x
→+∞
. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

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EXERCICE 12
Soit
f
la fonction numérique définie par
( ) 3
f x x
= −
de représentation graphique
(
)
f
C
dans un repère
orthogonal (O, I, J).
Démontrer que
(
)
f
C
admet une branche parabolique de direction (OI) en
+∞
.
EXERCICE* 13
Dans les cas suivants, f est une fonction numérique de représentation graphique
(
)
f
C
dans un
repère orthogonal (O, I, J).
Démontrer que
(
)
f
C
admet une branche parabolique dont on déterminera la direction.
1)
4 2
2
5 7
( )
3 8
x x
f x
x x
+ +
=
+ +
; 2)
1
( )
2
x
f x x
x
−
= +
+
EXERCICE 14
Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction numérique
f
au point
a
.
1)
2
( ) 3 5 7
f x x x
= − −
2
a
=
; 2) 2
4
( )
2
x
f x
x
−
=
+
2
a
= −
.
3)
2
( ) +1 si 1
( ) 3 si 1
f x x x
f x x x
= <
= + ≥
1
a
=
; 4)
2
( )
x x
f x
x
+
=
0
a
=
.
5)
( )
f x
=
1-cos
si 0
(0) 0
xx
x
f
≠
=
EXERCICE* 15
Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction numérique
f
au point
a
.
1)
2
4
( ) 2
2
(2) 0
x
f x si x
x
f
−
= ≠
−
=
2
a
=
; 2)
(
)
sin 2
( ) 0
(0) 2
x
f x si x
x
f
= ≠
=
0
a
=
3)
1
( ) x f x
x
+
=
0
a
=
; 4)
( ) 1
f x x
= −
1
a
=
EXERCICE 16
On donne la fonction f définie par :
2
2
( )
1
x x
f x
x
+ −
=−
Justifier que f admet un prolongement par continuité en 1 et préciser ce prolongement.
EXERCICE 17
Soit
f
la fonction numérique définie par
2
2
2
( )
4
x x
f x
x
−
=
−
f
est-elle prolongeable par continuité en 2 ; en -2 ? Si oui préciser ce prolongement.
EXERCICE* 18
a) La fonction numérique
:
f x
→
2
4
2
x
x
−
−
est –t-elle prolongeable par continuité en 2 ?
b) Soit la fonction
f
de ] -
;
2 2
π π
[ vers
ℝ
définie par :
( )
f x
=
tan
x
x
; montrer que f est prolongeable
par continuité en 0, et préciser la fonction
g
, prolongement par continuité en 0 de
f
.

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EXERCICE 19
Soit la fonction numérique
f
définie par
2
3 1 2
( ) .
1
x
f x
x
+ −
=−
1. Déterminer D
f
l’ensemble de définition de la fonction
f
.
2.
f
admet –elle un prolongement par continuité en 1 ? Si oui, déterminer ce prolongement.
EXERCICE* 20
Soit
f
la fonction définie par :
3
( ) ² 1
f x x x
= − +
.
1. Démontrer que l’équation
( ) 0
f x
=
admet une solution unique
α
dans
ℝ
.
2. Vérifier que :
1 0
α
− < <
.
3. Déterminer un encadrement de
α
par deux décimaux consécutifs d’ordre 1.
EXERCICE 21
Dans chacun des cas suivants, f étant une fonction polynome :
1. Démontrer que l’équation
( ) 0
f x
=
admet une solution unique
α
dans
] ;0[
−∞
.
2. Déterminer le signe de
( )
f x
suivant les valeurs de
x
.
a)
3
( ) 2 2
f x x x
= + +
b)
3
( ) 2 7 4
f x x x
=− − +
.
EXERCICE 22
Soit la fonction
f
de
ℝ
vers
ℝ
définie par f(x) =
3 2
3 1
x x
− −
.
1) Démontrer que l’équation
( )
f x
= 0 admet une unique solution dans
ℝ
qu’on notera
α
.
2) Encadrer le réel
α
par deux entiers consécutifs, puis déterminer une valeur approchée de
α
à 10
-1
près.
3) Déterminer le signe de
( )
f x
suivant les valeurs de
x
.
EXERCICE 23
Soit la fonction
f
de
ℝ
vers
ℝ
définie par f(x) =
3 2
3 9 5
x x x
+ − −
.
1) Démontrer que l’équation
( )
f x
= 0 admet trois et seulement trois solutions dans
ℝ
qu’on notera
,  et 
avec.
<  < 
3) Déterminer le signe de
( )
f x
suivant les valeurs de
x
.
EXERCICE* 24
On considère la fonction numérique
:
f x
1
2 3
x
x
−
→
+
.
1) Etudier le sens de variation et établir le tableau de variation de f.
2) Déterminer l’image par f de chacun des intervalles survants :
3
] ;1]
2
−
et ] -
∞
; -
3
2
[.
EXERCICE 25
Soit
f
la fonction numérique définie par
2
( ) 2 3
f x x x
=− + −
1. Calculer les limites de f en
−∞
et en
+∞
.
2. Calculer
( )
lim
x
f x
x
→−∞
et
( )
lim
x
f x
x
→+∞
. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
3. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation
4. Démontrer que
f
réalise une bijection
g
de
]
[
1;
+∞
sur un intervalle J que l’on précisera.
5. Donner le tableau de variation de
1
g
−
la bijection réciproque de
g
.

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6. On note (Cf) et (
Γ
) les représentations graphiques respectives de f et
1
g
−
.
Construire (Cf) et (
Γ
) dans un repère orthonormé (O,I,J). Unité :1cm.
EXERCICE 26
Soit f la fonction définie sur IR par :
( )
f x
=
2
3 5
2
x x
x
− +
−. de représentation graphique
(Cf) dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
1°) Déterminer l’ensemble de définition de f.
2°) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3°) En déduire l’ équation de l’asymptote verticale à (Cf).
4°) Démontrer que la droite (D) d’équation
1
y x
= −
est asymptote oblique à (Cf) en
+∞
et en
−∞
.
5°) Déterminer la position relative de (Cf) par rapport à (D).
6°) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation
7°) Démontrer que
f
réalise une bijection h de
]
[
4;
+∞
sur un intervalle J que l’on précisera.
8°) Construire (Cf) et ses asymptotes et (
Γ
) , la courbe de h
-1
dans le même repère.
EXERCICE 27
Soit
f
la fonction numérique définie par
3
( ) 12 15
f x x x
= − −
.
1) Etudier les variation de
f
.
2) En déduire que l’équation
( ) 0
f x
=
admet une solution unique
α
dans l’intervalle
]
[
2; 1
− −
3) Déterminer un encadrement de
α
par deux décimaux consécutifs d’ordre 1.
4) Démontrer que l’équation
( ) 30
f x
= −
admet une solution unique
β
dans
]
[
1;2
(On pourra étudier la fonction g définie par : g(x) = f(x)+30).
5) Déterminer l’encadrement de
β
par deux décimaux consécutifs d’ordre 1.
EXERCICE* 28
f
est une fonction continue en tout point de son ensemble de définition
Df
, et admettant le
tableau de variation ci-dessous :
x -
∞
-2 0 1 3 +
∞
f(x)
+
∞
+
∞
1
-3
-
∞
-
∞
1
-
∞
1) Préciser l’ensemble de définition
Df
de la fonction f.
2) Déterminer l’image par f de chacun des intervalles suivants :] -
∞
; -2] , ]0 ; 1[ et ]3 ;+
∞
[.
3) Justifier que f réalise une bijection de
]
]
2;0
−
sur un intervalle K à préciser.
4) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique  dans ]3 ;+
∞
[.
5) En déduire le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
EXERCICE 29
1) Démontrer que l’équation :
3 2
, 3 9 3 10
x x x x
∈ + − + =
ℝ
admet exactement trois solutions
,  et  ( <  <)
que l’on encadrera par des entiers consécutifs.
2) En déduire le signe de la fonction
f
définie par
3 2
( ) 3 9 7
f x x x x
= + − −
, suivant les valeurs
de x sur
ℝ
.