Exercices sur les limites et la continuité

WAEL TALBI SÉRIE N°2 : LIMITES ET CONTINUITÉ BAC SC
Exercice 1
Soit la fonction f dénie sur ℝ par :
f(x)=
x2 sin + 1 si x < 0
si x ≥ 0
1/ a- Montrer que pour tout réel x < 0, on a : −x2 + 1 ≤ f(x) ≤ x2 + 1.
b- En déduire lim
x → 0− f(x).
c- Montrer que f est continue en 0.
2/ Calculer lim
x → +∞ f(x) puis lim x → −∞ f(x).
3/ Montrer qu’il existe un réel x0 ∈ ]−2,−1[ tel que f(x0) = 0.
4/ a- Vérier que pour tout x ≥ 0, on a : f(x)=−1 + .
b- En déduire que f est strictement décroissante sur [0,+∞[.
c- Déterminer alors l’image de l’intervalle ]0,+∞[ par la fonction f.
5/ a- Montrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique α ∈ ]0,1[ et donner un
encadrement d’amplitude 10−1 de α.
b- Montrer que : = .
Exercice 2
Soit f la fonction dénie sur [1,+∞[ par :
f(x)=x3 − 2 + √x − 1
1/ Montrer que f est continue sur [1,+∞[.
2/ Étudier la monotonie de la fonction f.
3/ Déterminer l’image de [1,+∞[ par f.
4/ a- Montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution α ∈ ]1,2[.
b- Donner un encadrement de α d’amplitude 0,5.
c- Vérier que : α3 = .
Exercice 3
Soit f une fonction dénie sur ℝ par :
f(x)= √x2 + 4 + x si x ≤ 0
x3 + 2 + x2 cos si x > 0
1/ Calculer lim
x → −∞ f(x) et lim x → −∞ [f(x)+2x]. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2/ a- Montrer que pour x > 0, on a : x3+2−x2 ≤ f(x) ≤ x3+2+x2.
b- Montrer que f est continue en 0.
c- En déduire que f est continue sur ℝ.
{
π
x
2 − √x
2 + √x
4
2 + √x
√α
2
1 − α
1 + α
2 − α
1 + √α − 1
{
1
x
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3/ a- Montrer que l’équation f(x)=3 admet au moins une solution α ∈ ]−1,0[.
b- Montrer que : (α+3)2=α2+4 et en déduire la valeur exacte de α.
Exercice 4
Calculer les limites suivantes :
1
lim
x → 1 lim
x → 4 lim x → 1+
lim
x → 2 lim
x → 3 lim
x → +∞ − √x
lim
x → +∞ √x2 + 7 − x lim x → +∞ √2x2 + 3x + 1 − x lim x → +∞ √2x2 + 3x + 1 − x + 1
lim
x → +∞ − lim
x → 2 lim x → +∞
2
lim
x → 0 lim x → 0 lim
x → 0
lim
x → 0 lim x → +∞ x sin lim x → +∞ cos
Exercice 5
I/ Soit la fonction f dénie par :
f(x)=
Montrer que f est prolongeable par continuité en 3. Donner alors ce prolongement.
II/ Soit la fonction f dénie par :
f(x)=
si x < 2
si x > 2
1/ Déterminer la limite de f en 2, conclure.
2/ La fonction f est-elle prolongeable par continuité en 2 ?
Exercice 6
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est vraie.
Soit g et u deux fonctions données par :
x−∞ −1 2 +∞
g(x) −2 ↗ +∞ −∞ ↗ 3 ↘ −∞
x−∞ −1 3 +∞
u(x) −5 ↗ 2 ↘ −1 ↗ 2
1/ L’équation g(x)=1 admet une seule solution dans :
2x − 2
x2 + 4x − 5 √x − 2
x2 − 5x + 4 √x − 2 x2 − 5x + 4
√x2 + 1 − √x + 3
x − 2 √3x − 3
√x + 1 − √3x − 5
√x2 + 1
x
x
√x + 1
x
√x + 2
x3 − 6x2 − 4x + 24
x − 2 x3 − 6x2 − 4x + 24 3x3 − 2x + 8
1 − cos x
sin x 1 − cos2x x2√1 + cos x − √2
sin2x
1 − cos x
sin2(πx) 1 xπx2 − x + 3 3x2 − 1
x3 − 3x2 − 9x + 27
x − 3
{
x3 − 8
x − 2
√x − 1 − 1
x − 2
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]−∞,−1[ ]−1,+∞[ ]−∞,2[
2/ On a :
g∘u(2)=−1 g∘u(−1)=2 g∘u(−1)=3
3/ On a :
lim
x → +∞ g∘u(x)=2 lim x → +∞ g∘u(x)=3 lim x → +∞ g∘u(x)=−∞
Exercice 7
Q.C.M :
La gure ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f dénie et continue sur ℝ. On
note que Cf admet :
- Au voisinage de −∞, une asymptote horizontale d’équation y=0.
- Au voisinage de +∞, une branche parabolique de direction l’axe (O, j).
Pour chaque question indiquer la ou les réponses exactes.
1/ Soit h une fonction dénie sur ℝ, de même signe que f et telle que pour tout réel x, on a : f(x)
≤ h(x). On a alors :
lim
x → −∞ h(x)=−∞ lim x → −∞ h(x)=0 lim x → +∞ h(x)=+∞
2/ Soit g= .
g est dénie sur ℝ* g est dénie sur ℝ\{2}
lim
x → −∞ g(x)=−∞ lim x → +∞ g(x)=−∞
Cg admet une asymptote verticale.
3/ Soit k la fonction dénie sur ℝ* par k(x)= , on a alors :
lim
x → +∞ f∘k(x)=−3 lim x → +∞ k∘f(x)=1
lim
x → −∞ f∘k(x)=−3 lim x → 0+ f∘k(x)=+∞
lim
x → 0− f∘k(x)=−∞
Exercice 8
Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, i, j) sont tracées les courbes Cf et Cg.
1
f
1 + √x2 + 1
x
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L’axe des ordonnées est une asymptote à Cf.
Déterminer en justiant :
1/ g∘f([1,2]) et f∘g(]−∞,−2]).
2/ lim
x → +∞ g∘f(x), lim x → 0+ g∘f(x) et lim x → 0− f∘g(x).
Exercice 9
Déterminer Df∘g, Dg∘f, f∘g(x) et g∘f(x).
1/ f(x)= et g(x)=√x − 1.
2/ f(x)=x2+2x+1 et g(x)=∛(1−x)−1.
Exercice 10
Soit la fonction g dénie sur [2,+∞[ par :
g(x)=
1/ a- Montrer que g est continue sur [2,+∞[.
b- Montrer que g est décroissante sur [2,+∞[.
c- En déduire que g est majorée sur [2,+∞[.
2/ a- Montrer que l’équation g(x)=1/2 admet au moins une solution α dans [2,3].
b- En déduire que α est une solution de l’équation : (x−1)√x−2 = 3−x.
3/ Soit f la fonction dénie par : f(x)= .
a- Déterminer le domaine de dénition Df de f.
b- Montrer que f est prolongeable par continuité en 3 et dénir ce prolongement.
4/ Soit la fonction h dénie sur ]−∞,3[ par :
h(x)=
si x ∈ [2,3[
si x ∈ ]−∞,2[
a- Étudier la continuité de h en 2.
b- Déterminer le domaine de continuité de h.
1
x − 2
1
(x−1)(√x−2+1)
√x−2−1
x2−4x+3
{
√x−2−1
x2−4x+3
x2−3x+2
x−2
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Exercice 11
Soit la fonction f dénie sur ℝ* par :
f(x)=
x(2−sin ) si x < 0
si x > 0
1/ a- Vérier que pour tout x > 0 : f(x)= .
b- Calculer alors lim
x → 0+ f(x).
2/ a- Montrer que : ∀x<0, 3x ≤ f(x) ≤ x.
b- Calculer alors lim
x → 0− f(x).
3/ Justier que f est prolongeable par continuité en 0 et donner son prolongement g.
4/ Calculer lim
x → +∞ f(x). Interpréter graphiquement le résultat trouvé.
Exercice 12
Dans le graphique ci-dessous, on tracera la courbe Cf d’une fonction f dénie sur ℝ\{1} et
admettant :
- la droite x=1 comme asymptote verticale ;
- la droite (AB) comme asymptote oblique au voisinage de +∞ ;
- une branche parabolique de direction (AB) au voisinage de −∞.
1/ Par une lecture graphique déterminer : f(]−∞,−1]) ; f(]1,3]) et f([−5,−1]).
2/ Soit g la fonction dénie sur ℝ\{1} par g(x)= .
a- Déterminer le domaine de dénition de g∘f.
b- Déterminer lim
x → +∞ g∘f(x) ; lim x → −∞ g∘f(x) et lim x → −2 g∘f(x).
c- g∘f est-elle prolongeable par continuité en 1 ? Si oui dénir ce prolongement.
Exercice 13
Soit f la fonction dénie sur ℝ par :
{
1
x
√x2+1−1
x
x
√x2+1+1
1
(x−1)2
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