Exercices corrigés : Nombres complexes

Exercices corrigés : Nombres complexes
Terminale - Prépa | Forme algébrique, Module et argument, Forme exponentielle, Équations, Géométrie complexe
Table des matières
Rappel des formules essentielles
Énoncés
2.1 Application directe
2.2 Approfondissement
2.3 Synthèse
Corrections détaillées
Pour aller plus loin
Par un professeur diplômé de l'École Polytechnique
1. Rappel des formules essentielles
Notion Formule
Forme algébrique z = a + bi avec a, b ∈ ℝ
Conjugué z̅ = a - bi
Module |z| = √(a² + b²) et z · z̅ = |z|²
Argument cos θ = a / |z| et sin θ = b / |z|
Forme trigo / expo z = r(cos θ + i sin θ) = r eiθ
Module d'un produit |z₁ z₂| = |z₁| · |z₂|
Argument d'un produit arg(z₁ z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) [2π]
Formule de Moivre (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
Discriminant négatif z = (-b ± i√|Δ|) / 2a
Formules d'Euler cos θ = (eiθ + e-iθ) / 2 ; sin θ = (eiθ - e-iθ) / 2i
Réflexe : Pour mettre un quotient sous forme algébrique, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué
du dénominateur.
1.
2.
◦
◦
◦
3.
4.

2. Énoncés
2.1. Application directe
Exercice 1 — Somme et produit sous forme algébrique
Soit z₁ = 2 - 3i et z₂ = -1 + 4i.
a) Calculer z₁ + z₂ et z₁ · z₂ sous forme algébrique.
b) Calculer |z₁| et |z₂|.
c) Vérifier que |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|.
Exercice 2 — Quotient sous forme algébrique
Mettre sous forme algébrique : z = (5 + i) / (2 + 3i).
Exercice 3 — Conjugué et module
Soit z = -3 + 4i.
a) Déterminer z̅.
b) Calculer |z|.
c) Vérifier que z · z̅ = |z|².
d) Calculer 1 / z sous forme algébrique.
Exercice 4 — Arguments de nombres complexes
Déterminer le module et un argument principal de chacun des nombres complexes suivants :
z₁ = -1 - i ; z₂ = 2i ; z₃ = √3 + i
Exercice 5 — Forme trigonométrique et exponentielle
Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique puis exponentielle :
z₁ = 1 - i ; z₂ = -2√3 + 2i
Exercice 6 — Passage de la forme exponentielle à la forme algébrique
Écrire sous forme algébrique :
z₁ = 3eiπ/3 ; z₂ = 4e-iπ/4 ; z₃ = 2ei5π/6
Exercice 7 — Résolution d'une équation du premier degré
Résoudre dans ℂ : (2 - i)z + 3 + 4i = 0.
2.2. Approfondissement
Exercice 8 — Puissances et quotient
Mettre sous forme algébrique : z = (1 + i√3)² / (1 - i)³.
Exercice 9 — Équation du second degré dans ℂ
Résoudre dans ℂ : z² + 2z + 5 = 0.
Exercice 10 — Racines carrées d'un nombre complexe
Déterminer les racines carrées du nombre complexe w = 5 - 12i.
Exercice 11 — Ensemble de points — cercle
Déterminer et décrire l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z - 1 + 3i| = 4.

Exercice 12 — Ensemble de points — médiatrice
Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |z - 2i| = |z + 1 - i|.
Exercice 13 — Nature d'un triangle
On considère les points A, B, C d'affixes zA = 2, zB = -1 + i√3, zC = -1 - i√3.
a) Calculer AB, BC et AC.
b) En déduire la nature du triangle ABC.
Exercice 14 — Opérations en forme exponentielle
Soit z₁ = 3eiπ/4 et z₂ = 2e-iπ/6. Calculer le module et l'argument de :
a) z₁ · z₂
b) z₁ / z₂
c) z₁⁴
2.3. Synthèse
Exercice 15 — Nature d'un quadrilatère
On considère les points A(2 + i), B(4 + 2i), C(3 + 4i), D(1 + 3i).
a) Montrer que ABCD est un parallélogramme.
b) Montrer que ABCD est un losange.
c) Est-ce un carré ?
Exercice 16 — Équation du troisième degré
Résoudre dans ℂ : z³ + z² + z + 1 = 0.
Indication : factoriser par (z + 1).
Exercice 17 — Suite de nombres complexes
On pose ω = eiπ/4 et on définit la suite (zn) par z₀ = 2 et zn+1 = ω · zn.
a) Exprimer zn en fonction de n.
b) Montrer que |zn| = 2 pour tout n.
c) Déterminer arg(zn) en fonction de n.
d) Pour quelle plus petite valeur de n ≥ 1 a-t-on zn = z₀ ?
Exercice 18 — Similitude directe
Soit s la transformation du plan définie par z' = (1 - i)z + 2i.
a) Déterminer l'affixe du point invariant Ω.
b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques de s.
c) Calculer l'image du point A(1 + i).
Exercice 19 — Formule de Moivre et linéarisation
a) En utilisant la formule de Moivre avec n = 4, exprimer cos(4θ) en fonction de cos θ uniquement.
b) En déduire que cos(4θ) = 8 cos⁴θ - 8 cos²θ + 1.
Exercice 20 — Factorisation de z⁶ + 1
a) Résoudre dans ℂ l'équation z⁶ = -1.
b) En regroupant les racines conjuguées, factoriser z⁶ + 1 en produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels.

Exercice 21 — Z réel ou imaginaire pur
Soit z = x + iy (x, y ∈ ℝ, z ≠ 1). On pose Z = (z + 1) / (z - 1).
a) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que Z soit un réel.
b) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que Z soit un imaginaire pur.
3. Corrections détaillées
Correction — Exercice 1
a) z₁ + z₂ = (2 - 3i) + (-1 + 4i) = 1 + i.
z₁ · z₂ = (2 - 3i)(-1 + 4i) = -2 + 8i + 3i - 12i² = -2 + 11i + 12 = 10 + 11i.
b) |z₁| = √(4 + 9) = √13 ; |z₂| = √(1 + 16) = √17.
c) |z₁ · z₂| = |10 + 11i| = √(100 + 121) = √221.
|z₁| · |z₂| = √13 × √17 = √221. L'égalité est bien vérifiée.
Correction — Exercice 2
On multiplie par le conjugué du dénominateur :
z = [(5 + i)(2 - 3i)] / [(2 + 3i)(2 - 3i)] = (10 - 15i + 2i - 3i²) / (4 + 9) = (10 - 13i + 3) / 13 = (13 - 13i) / 13 = 1 - i.
Correction — Exercice 3
a) z̅ = -3 - 4i.
b) |z| = √(9 + 16) = √25 = 5.
c) z · z̅ = (-3 + 4i)(-3 - 4i) = 9 + 12i - 12i - 16i² = 9 + 16 = 25 = 5² = |z|².
d) 1 / z = z̅ / |z|² = (-3 - 4i) / 25 = -3/25 - (4/25)i.
Correction — Exercice 4
Pour z₁ = -1 - i : |z₁| = √(1 + 1) = √2. On a cos θ = -1/√2 et sin θ = -1/√2 (3ᵉ quadrant), d'où arg(z₁) = -3π/4.
Pour z₂ = 2i : |z₂| = 2. On a cos θ = 0 et sin θ = 1, d'où arg(z₂) = π/2.
Pour z₃ = √3 + i : |z₃| = √(3 + 1) = 2. On a cos θ = √3/2 et sin θ = 1/2, d'où arg(z₃) = π/6.
Correction — Exercice 5
Pour z₁ = 1 - i : |z₁| = √2. On a cos θ = 1/√2, sin θ = -1/√2, donc θ = -π/4.
Forme trigonométrique : z₁ = √2(cos(-π/4) + i sin(-π/4)).
Forme exponentielle : z₁ = √2 e-iπ/4.
Pour z₂ = -2√3 + 2i : |z₂| = √(12 + 4) = 4. On a cos θ = -2√3 / 4 = -√3/2, sin θ = 2/4 = 1/2, donc θ = 5π/6.
Forme trigonométrique : z₂ = 4(cos(5π/6) + i sin(5π/6)).
Forme exponentielle : z₂ = 4 ei5π/6.
Correction — Exercice 6
z₁ = 3eiπ/3 = 3(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 3(1/2 + i√3/2) = 3/2 + (3√3/2)i.
z₂ = 4e-iπ/4 = 4(cos(π/4) - i sin(π/4)) = 4(√2/2 - i√2/2) = 2√2 - 2√2i.
z₃ = 2ei5π/6 = 2(cos(5π/6) + i sin(5π/6)) = 2(-√3/2 + i 1/2) = -√3 + i.
Correction — Exercice 7
(2 - i)z = -3 - 4i, donc z = (-3 - 4i) / (2 - i).
On multiplie par le conjugué :
z = [(-3 - 4i)(2 + i)] / [(2 - i)(2 + i)] = (-6 - 3i - 8i - 4i²) / (4 + 1) = (-6 - 11i + 4) / 5 = (-2 - 11i) / 5 = -2/5 - (11/5)i.
Correction — Exercice 8

Numérateur : (1 + i√3)² = 1 + 2i√3 + 3i² = 1 + 2i√3 - 3 = -2 + 2i√3.
Dénominateur : (1 - i)² = 1 - 2i + i² = -2i, puis (1 - i)³ = (1 - i)(-2i) = -2i + 2i² = -2 - 2i.
Quotient :
z = (-2 + 2i√3) / (-2 - 2i) = [(-2 + 2i√3)(-2 + 2i)] / [(-2 - 2i)(-2 + 2i)] = (4 - 4i - 4i√3 + 4i²√3) / (4 + 4) = [4 - 4√3 + i(-4 - 4√3)]
/ 8 = (1 - √3)/2 - [(1 + √3)/2]i.
Correction — Exercice 9
On calcule le discriminant : Δ = 4 - 20 = -16, qui est strictement négatif.
On pose Δ = -16 = (4i)², d'où √|Δ| = 4.
Les solutions sont : z = (-2 ± 4i) / 2, soit z₁ = -1 + 2i et z₂ = -1 - 2i.
Vérification : les solutions sont conjuguées (coefficients réels). De plus : z₁ + z₂ = -2 et z₁ · z₂ = (-1)² + 4 = 5, conforme au
polynôme.
Correction — Exercice 10
On cherche z = a + bi (a, b ∈ ℝ) tel que z² = 5 - 12i.
Identification : a² - b² = 5 (partie réelle) et 2ab = -12 (partie imaginaire).
Module : a² + b² = |w| = √(25 + 144) = √169 = 13.
En additionnant a² - b² = 5 et a² + b² = 13 : 2a² = 18, soit a² = 9, donc a = ±3.
Avec 2ab = -12 : si a = 3 alors b = -2 ; si a = -3 alors b = 2.
Les deux racines carrées de 5 - 12i sont 3 - 2i et -3 + 2i.
Vérification : (3 - 2i)² = 9 - 12i + 4i² = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i.
Correction — Exercice 11
On réécrit : |z - (1 - 3i)| = 4.
La quantité |z - zΩ| représente la distance entre M(z) et le point Ω d'affixe zΩ = 1 - 3i.
L'ensemble est le cercle de centre Ω(1 ; -3) et de rayon 4.
Correction — Exercice 12
On pose A d'affixe zA = 2i et B d'affixe zB = -1 + i. La condition |z - zA| = |z - zB| signifie MA = MB.
L'ensemble est la médiatrice du segment [AB].
Pour l'équation cartésienne, on pose z = x + iy et on élève au carré :
x² + (y - 2)² = (x + 1)² + (y - 1)²
x² + y² - 4y + 4 = x² + 2x + 1 + y² - 2y + 1
-4y + 4 = 2x - 2y + 2 ⇒ 2x + 2y - 2 = 0 ⇒ x + y - 1 = 0.
Correction — Exercice 13
a) AB = |zB - zA| = |-1 + i√3 - 2| = |-3 + i√3| = √(9 + 3) = √12 = 2√3.
BC = |zC - zB| = |(-1 - i√3) - (-1 + i√3)| = |-2i√3| = 2√3.
AC = |zC - zA| = |-1 - i√3 - 2| = |-3 - i√3| = √(9 + 3) = 2√3.
b) On a AB = BC = AC = 2√3. Le triangle ABC est équilatéral.
Correction — Exercice 14
a) Produit : |z₁ z₂| = 3 × 2 = 6. arg(z₁ z₂) = π/4 - π/6 = (3π - 2π) / 12 = π/12.
b) Quotient : |z₁ / z₂| = 3/2. arg(z₁ / z₂) = π/4 + π/6 = (3π + 2π) / 12 = 5π/12.
c) Puissance : |z₁⁴| = 3⁴ = 81. arg(z₁⁴) = 4 × (π/4) = π.
Donc z₁⁴ = 81eiπ = -81.
Correction — Exercice 15