Les matrices : Une représentation du monde

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Bibliothèque
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L'caventure nte&t:hé?ne&t:ique
Tangente Hor�s-série n° 44
Les matrices
une représenta1tion du monde
ËDiTiONS
POLE
© Éditions POLE - Paris - Août 2012 -
Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tout procédé, sur
quelque support que ce soit, en tout pays, faites sans autorisation préalable, est illicite et exposerait
le contrevenant à des poursuites judiciaires (loi du 1] mars 1957).
ISBN:
9782848841458 ISSN: 0987-0806
Commission paritaire: 1011K80883
ProchaineJ Dent
dans la Bibliothèq ue Tangente
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~DITIONS.
POLE
les Matrices
Sommaire
Matrix
L'histoire des matrices
DOSSIER
Systèmes linéaires et
transformations géométriques
Les matrices, ce sont ces tableaux de nombres sur lesquels
on peut définir des opérations naturelles. Ces objets algébriques permettent de modéliser naturellement les systèmes d'équations linéaires. Plus surprenant est leur rôle
dans la description des transformations géométriques : les
matrices leur ouvrent des horizons inattendus !
Espaces vectoriels : l'algèbre à l'assaut de la géométrie
Des matrices pour transformer
Le sens du déterminant
Transformations affines et points invariants
Systèmes linéaires et matrices
Comment rentrer dans le rang
Les nombres complexes comme ensemble de matrices
Le théorème de Cayley-Hamilton
Les fonctions homograph iqu es
~·X·ti1i:J,I
Réduction de matrices
-
ne matrice existe généralement sous différentes formes,
ou plusieurs déguisements. Ainsi, pour pouvoir « lire »
directement les propriétés d 'une matrice, il est utile de
chercher la forme« la plus simple » qu'elle peut revêtir. Le
pivot de Gauss en est un bon exemple : la nouvelle forme de
la matrice (triangulaire) permet une résolution immédiate
d'un système linéaire.
Diagonaliser pour calculer les puissances d'une matrice
Le pivot de Gauss
Similitude et diagonalisation
Diagonalisation, géométrie et algèbre
La trigonalisation
Manipuler des matrices avec un tableur
Hors série n°44 Les matrices
l·X·f}1iM;I
Les matrices sont partout !
Que l'on soit ou non mathématicien, les matrices nous environnent. La planète Neptune a d 'abord été découverte sur
le papier, grâce à un proto-calcul matriciel, avant d'être effectivement observée. L'économie, l'actuariat et la finance sont
friandes de matrices. L'électronique, l'informatique et toutes
les sciences ne peuvent s'en passer. Il est temps d'apprendre
à reconnaître ces objets !
Agrandir les images sans perdre en qualité
Partout en physique, des matrices
La trilatération
Les matrices actuarielles
Les tableaux entrées - sorties en économie
Matrices élémentaires en économie
Matrices et codes secrets
Les hommes préfèrent les grosses ... matrices
Calculs matriciels en statistique multivariée
Les matrices d'Hadamard
Problèmes de géo-matrices
l •X•f}1 iM;I
Des matrices et des jeux
Un grand nombre de jeux font intervenir des tableaux de
nombres. Ainsi, derrière chaque jeu de grille logique,
chaque Sudoku, chaque carré magique se cache une
matrice, souvent utile dans sa résolution. Mais les
matrices se nichent parfois là où on ne les attend pas :
dans les jeux littéraires, l'écriture sous contraintes les a
depuis longtemps déjà mises à contribution.
Les carrés magiques : des matrices comme les autres
Divertissements littéraires
Les matrices Sudokus
Les matrices lumineuses du Lights Out
Problèmes
Les carrés magiques
Solutions
En bref
Tangente - Hors série n°44 Les matrices
ar Bertrand Hauchecorne
EN BREF
De l'utérus
à la matrice
Du conducteur
au uecteur
Les Romains possédaient déjà le mot vector. Issu
du verbe vehere signifiant « transporter », il désignait aussi bien le passager que le conducteur d'un
bateau ou d'un chariot. Les mots français « véhicule », « voiture » mais aussi « invective » proviennent
de cette même racine latine.
Au Moyen Âge et jusqu'à la Renaissance , le vecteur est le conducteur d'un bateau ou d'un véhicule,
mais ce mot tombe alors en désuétude. Il est repris
au milieu du XVIIIe siècle par les astronomes sous
forme d'adjectif. Ainsi, le tourbillon vecteur désigne
le mouvement d'une planète et le rayon vecteur
joint le centre du soleil à un point de l'orbite .
En 1844 , William Hamilton reprend ce mot pour
désigner le vecteur (au sens actuel) joignant deux
points . La formalisation des espaces vectoriels
arrive à la fin du XIXe siècle avec Peano. Un vecteur devient un élément de cette structure nouvelle.
Ver 1900, « vecteur » apparaît parallèlement en
médecine. Prenant un sens figuré du mot latin, il
désigne les agents infectieux qui transmettent une
maladie. On a pu entendre
il y a peu que les oiseaux
migrateurs sont le vecteur
de la grippe aviaire .
On doit à James Sylvester l'introduction en mathématique du mot matrice, ou plus exactement, en
anglais, matrix. Ce terme, formé sur la latin mater
signifiant « mère », désigne dès le XIIIe siècle
l'utérus. Cependant, comme on enregistrait les
enfants à la naissance, il désigne bientôt aussi le
registre sur lequel on les inscrit. Ceci explique
aussi les mots matricule, cher à l'armée, et immatriculation, rendu populaire grâce à l'automobile.
Avec les débuts de l'imprimerie, « matrice » désigne
aussi le moule à imprimer sur lequel on place les
caractères. On voit la ressemblance entre un tableau
de nombres et une tablette de caractères. Cependant, en introduisant ce terme , Sylvester joue sur
les mots, puisqu'il use de cette ressemblance tout
en se rattachant à l'étymologie du mot, comme
en témoigne cette phrase écrite en 1851 : "/ have
in a previous paper defined a « Matrix » as a rectangular array of terms, out of which differenl
systems of determinants may be engendered, as
from the womb of a common parent" (« J'ai défini
dans un précédent article une matrice comme un
tableau rectangulaire de termes , duquel peuvent être
engendrés différents systèmes de déterminants
comme sortis du ventre de la même mère »).
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
5
PASSERELLES
par Jean-Jacques Dupas
Dans un monde futur, des machines élèvent des humains afin
de capter leur énergie vitale. Elles soutirent un maximum
d'énergie si les humains sont actifs plutôt que végétatifs. Alors
elles les plongent dans un environnement simulé. Bienvenue
dans la Matrice.
es habitants de la Terre croient
vivre des vies normales. En fait,
ils sont tous con nectés à des
machines. L'histoire du blockbuster
The
Matrix (Andy et Larry
Wachowski, 1999, produit par Warner
Bros. Pi ctures) raconte le combat
d'une poignée d'humains déconnectés
contre ces machines qui ont asserv i les
humains. Mais pourquoi ce nom de
Matrix ? En anglais comme en français, le terme désigne aussi bien ('utérus féminin que l'objet mathématique
(voir en pages précédentes). Dans le
film, les humains vivent leur vie dans
un utérus artificiel. En outre, toute
simulation consiste essentiellement en
des manipulations de matrices. Enfin,
si le film est à la cro isée de plusieurs
thèmes classiques de la sc ience-fiction
(le combat contre les machines, le sau-
L
Discrétisations et équations
dijférentielles se traduisent généralement
par des manipulations de matrices.
6
Tangente Hors-série n° 44. Les matrices
veur), il mêle également plusieurs
thèmes classiques des religions : le
bouddhisme (avec Néo en Éveillé), le
christianisme
(avec
Trinity
et
Anderson, littéralement « le fils de
l' homme »), le judaïsme (avec le
thème messianique), la mythologie
grecque (le personnage de Morpheus
fait référence à Morphée, dieu des
songes, un des mille fils du Sommeil,
Hypnos), etc.
De morphée à Platon
Cette référence expl icite au sommeil
nous renvoie à la question : qu ' est ce
qui différentie un rêve de la réalité ?
Comment notre cerveau s'y prend-il
pour produire nos rêves et déconnecter
nos muscles ?
The Matrix est donc matriciel en diable.
li tisse également plusieurs autres
thèmes philosophiques ou scientifiques.
Par exemp le, celui des grandes
simu lations numériques, ou encore
celui du mythe de la caverne de Platon.
The Matrix (ou tout
simplement Matrix
dans les salles
françaises) est truffé
de références au
monde imaginaire de
Lewis Carroll.
Dans celui-ci, des humains sont
enchaînés dans une caverne, de telle
sorte qu ' ils ne peuvent voir que la
paroi de leur antre. Sur celle-ci, ils
n'aperçoivent que l'ombre du monde,
qu'ils prennent pour le monde réel. On
peut interpréter ce mythe en science
par l' utilisation du modèle. Un modèle,
c'est une vision réduite du monde réel ,
une projection. Il est régi par les lois de
la physique, il permet d'expliquer, et il
do it être prédictif. Les ingénieurs, les
scientifiques contemplent les parois de
leur caverne ! Mais le monde réel est
souvent trop complexe pour être ainsi
appréhendé.
Un
mathématicien
peut
aussi
interpréter ce mythe par ! 'abstraction :
croyant contempler des objets, il ne
contemple que l'ombre d'objets plus
abstraits. Cette montée en abstraction
s'avè re souvent riche . Dans The
Matrix, le mythe de la caverne
s' incarne grâce à une simulation.
L' idée de simulation numérique n' a pu
prendre corps qu 'avec la montée en
puissance des ordinateurs. Avant
l'avènement de ces machines, pour
tester un objet, il fallait le construire et
pratiquer des tests in situ. Mais cette
démarche a un coût ! L'idée alors est
de le reconstituer sur une maquette
numérique. On le discrétise (on le
« découpe en petits morceaux » et on
applique les lois de la physique sur ces
petits morceaux, en résolvant la plupart
du temps des équations différentielles).
Discrétisations et équations différentielles se traduisent généralement par
des manipulations de matrices. Par
exemple, au lieu de crasher un avion, il
est moins dangereux (et surtout moins
coûteux) de réaliser une simulation.
Mais attention : une simulation, ce
n'est pas si facile ! La discrétisation,
déjà, n'est pas toujours simple (un
avion possède des milliers de
pièces ... ). Ensuite, il faut maîtriser les
modèles physiques (mission quasi
impossible en physique nucléaire ou en
physique des plasmas). li faut enfin
maîtriser les mathématiques du calcul
matriciel , du calcul numérique et
disposer de pui ssances de calcul
impressionnantes.
Dans un modèle discrétisé, plus le
découpage est fin, plus la simulation
sera précise. Mais découper les
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
PASSERELLES
Matrix
longueurs par un facteur dix, c'est
multiplier le nombre de mailles
volumiques par mille. Et après tout ce
travail, il faudra quand même disposer
d'expériences physiques pour recaler
les
modèles.
Une
simulation
numérique s'appuie donc sur un
triptyque ( on retrouve Trinity) : des
modèles physiques, des moyens de
calculs (aussi bien matériels que
logiciels) et des expériences physiques
pour recaler les modèles.
De l'autre côté du miroir
Les simulations sont extrêmement
utiles dès qu ' il est impossible de faire
des expenences grandeur nature
(tremblements de terre, tsunamis,
crashs d'avions ... ). Un cas typique est
la cosmologie : comme il est assez
difftci le d'aller sonder ('espace
intersidéral, les cosmologistes font des
simulations
ils font
évoluer
un
univers,
simplifié, de milliards de
particules en jouant avec
• Dictionnaire de la
les lois de la physique pour
111ythologie grecque et
voir
s'ils obtiennent un
ro111aine. Pierre Grima l.
univers « proche » du
Presses Unive rs itaires
nôtre. lis peuvent ainsi
de France, 1999.
• SF : la science 111ène tester la validité de
nouvelles théories.
l 'enquête. Roland
Une des industries qui
Lehoucq, le Pommier,
consomment
également
2007.
beaucoup de temps de
calcul est le cinéma. Et
justement, dans le film, de nombreuses
scènes sont issues de simulations
numériques. li y a donc un jeu de
Références
8
Tangente Hors-série n° 44. Les matrices
miroirs : on nous présente la vie réelle
comme une simulation, mais c'est bien
le film qui est une simulation ! The
Matrix est d'ailleurs truffé de
références à Lewis Carroll : le lapin
blanc tatoué sur l'épaule de Trinity, la
chute interminable dans un tuyau, la
traversée du miroir. .. li est amusant de
se rappeler que, dans son traité sur les
déterminants ( datant de 1867), le
mathématicien Charles Dodgson (alias
Lewis Carroll) récusait ! 'utilisation du
terme « matrice », qui pour lui avait
plutôt la signification d'un moule ; il
lui préférait le terme « bloc ».
Dans tout programme informatique
digne de ce nom, il reste des bugs.
Éditer des programmes sans bug (ou
tout au moins avec le moins de bugs
possible) est le défi de l' industrie
logicielle actuelle. Les mathématiques
se sont emparées de ces sujets bien
avant que les ordinateurs existent (voir
par exemple les travaux de Church,
Godel ou Turing). C'est en partie à
cause des bugs de la Matrice que le
héros se doute que quelque chose
cloche dans son monde.
The Matrix est donc bien une matrice
de nombre ux thèmes classiques. li
possède la vertu de fournir des images
aux idées abstraites, comme la
simulation numé rique (dont l' image
restera sans doute associée à un fond
vert avec un défilement de chiffres). Le
film met en avant la culture
informatique (le héros est informaticien le jour et hacker la nuit). Les
matrices, au sens mathématique, sont
certes moins connues du grand public,
mais omniprésentes : elle mériteraient
d 'être plus connues que le film !
J.J.D.
EN BREF
par B. Hauchecorne et É. Thomas
Hlgebre
li , .
matrices rudimentaires
Le mot « linéaire »
est l'adjectif associé à « ligne », souse n tendu « ligne
droite ». Les lignes
droites sont en effet
les sous-ensembles
privilégiés des
espaces vectoriels.
Le mot « algèbre », quant à lui, provient
du titre d'un ouvrage d 'al-Khwarizmi,
dans lequel le savant arabe du IX0 siècle
résout les équations de degré 2. On lui
doit également un ouvrage, De numero
lndorum , dans lequel il explique le
maniement des chiffres dits arabes
inconnus en Occident à) 'époque et la
numération de position qui permet
d'avoir des algorithmes simples pour
effectuer des opérations. Lors de l'adoption de cette numération en Occident
vers le XYI0 siècle, l'étude et le maniement des nombres entiers s'appelle
toujours arithmétique alors que l' algèbre désigne sa généralisation aux
nombres négatifs , à l'introduction de
paramètres. Les nouveaux ensembles
de nombres , les complexes, les quaternions et les espaces multidimensionnels, entrent de fait dans le domaine
de )'a lgèbre . Aussi parle-t-on aussi
d'algèbre linéaire ...
En tant que tableau de nombres, il est aisé de comprendre
qu ' une matrice M peut posséder un nombre quelconque de
lignes (disons n) et un nombre tout aussi arbitraire de colonnes
(par exemple p). M sera complètement définie dès lors que les
n x p éléments (ou coefficients) si tués à l'intersection de chacune des lignes avec chacune des colonnes seront précisés.
On note généralement (
les coefficients d'une matrice
l s;sp
M quelconque , où chacun des n x p coefficients est un scalaire.
a,.;),.,_••
• Dans le cas où n = p, la forme géométrique que prend la
représentation de M fait que la matrice M est dite carrée ; elle
possède alors n2 coefficients (dans le cas général, on parle de
matrice rectangulaire).
• Dans le cas où n = 1, M est une matrice ligne. Dans le cas
où p = 1 , M est une matrice colonne. Dans le cas très particulier où n = p = l , M peut être assimilée à un scalaire .
Les matrices les plus utilisées en mathématiques sont les
matrices carrées (n p). Les n éléments a;,; situés sur la diagonale principale sont appelés, justement, les éléments diagonaux (les autres étant les éléments extra-diagonaux).
Si tous les éléments extra-diagonaux de M sont nuls, la matrice
est dite diagonale. C'est le cas particulier de la matrice nulle,
dont tous les éléments aij sont égaux à zéro, ou de la matrice
identité, dont les éléments diagonaux sont tous égaux à 1 (et
tous les autres sont nuls).
Enfin, l' utilisation des matrices pour la résolution des systèmes
linéaires fait intervenir des matrices carrées dont tous les éléments situés strictement sous la diagonale principale sont
nuls. Ces matrices sont appelées matrices triangulaires supérieures. Plus précisément, une matrice M est triangulaire
supérieure si ses coefficients vérifient aij = 0 dès que i <j.
=
0 0 0
1 0
0 0 0
0
0 0 0
0 0
La matrice nulle.
La matrice identité.
0
1 0
1
5
Gn
2
0
Une matrice triangulaire
supérieure.
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
9
HISTOIRES
par Bertrand Hauchecorne
'
La genèse de la théorie des matrices est confuse, et passe par
la Grande-Bretagne, par la France, l'Allemagne, et même ... la
Chine ! De simples outils permettant de simplifier les
notations, les matrices deviennent ensuite un outil
incontournable pour l'algèbre linéaire.
L
'
histoire de France commence-t-elle avec les Gaulois, le
baptême de Clovis ou l'accession sur le trône d'Hugues Capet?
Les historiens ne sont pas tous d'accord. Pour les matrices, c'est un peu
pareil : doit-on parler de matrices dès
que certains e urent l'idée d'extraire un
tableau de nombres d ' un système
d'équations linéaires, doit-on attendre
que Cauchy note en tableau des déterminants, ou faut-il que Sylvester leur
donne un nom et Cayley définisse dessus des opérations, les traitant comme
des nombres munis d'une structure?
Historiquement, la résolution de système d'équations linéaires est très ancienne. La donnée des coefficients devant
chaque inconnue suffit à définir ce sys-
Du tableau de nombres à un outil
essentiel de l'algèbre linéaire.
10
tème; c'est en quelque sorte une matrice. Privilégiant l'aspect pragmatique de
la résolution, on a d'abord introduit le
calcul de déterminant, notion nécessaire
à justifier l'existence de solutions. Cet
outil est apparu avec Gottfried Wilhelm
Leibniz dès la fin du xv11° siècle, cent
cinquante ans avant une définition formelle de la notion de matrice par James
Joseph Sylvester et Arthur Cayley.
Des Han à Hanovre
Les Neuf chapitres sur ! 'art mathématique sont un ouvrage compi lant les
principales méthodes mathématiques
connues dans l 'Antiqu ité chinoise. Il
apparaît sous la dynastie des Han, au
tout début de notre ère. Le titre du huitième chapitre, Fang sheng, signifie
« comparaison des dispositions». Il
présente des problèmes résolus par des
systèmes d'équations linéaires à deux
ou trois inconnues. On disposait les
coefficients du système en tableau, en
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
William Hamilton
mettant autant de baguettes que le problème présentait: c ' était, pourrait-on
dire, l'apparition des premières
matrices, tout en baguettes . On résolvait alors le système, en maniant ces
baguettes, par une méthode rappelant
le pivot de Gauss.
S ' intéressant, à la fin du xv11• siècle, à
un système de trois équations linéaires
à trois inconnues, Leibniz, alors au service de la maison de Hanovre, en
extrait les coefficients ; le terme que
nous notons aujourd'hui a, ,2 est pour
lui soit 12 (il y a donc confusion avec
l'entier 12), soit 12 . Tl se rend compte
que le tableau représenté par les coefficients est ('élément essentiel qui
indique s'il y a une solution, plusieurs
solutions ou aucune solution . Tl exprime en outre le déterminant en fonction
des coefficients.
Tout au long du xv111• siècle, l'étude
des systèmes se focalise sur la notion
de déterminant. Plusieurs mathématiciens, comme le Suisse Gabriel Cramer
ou le Français Étienne Bézout,
empruntent la démarche du philosophe
allemand en étudiant les déterminants
de manière utilitaire dans le seul but de
Bien que connu pour ses travaux en mathématiques et en physique, Sir William Rowan
Hamilton (1805-1865) est avant tout un ...
astronome. D'une précocité stupéfiante, on
dit qu'à 5 ans, il lisait déjà le latin, le grec et
l'hébreu. Il quitte son Irlande natale en 1823
pour aller étudier au Trinity College de
Cambridge. Il obtient à 22 ans le poste très
prisé d'astronome royal d'Irlande et passe le
reste de sa vie à Dunsink, à proximité de l'observatoire de Dublin.
Sa rédaction, dans les années 1830, d'une
théorie rigoureuse des nombres complexes
qu'il assimile à des « nombres de
dimension 2 » est un prélude à une base axiomatique des structures algébriques. Ceci le
conduit à chercher vainement des « nombres de
dimension 3 », puis à introduire en 1843 les quaternions. Il pense avoir trouvé un outil essentiel
pour l'étude de la physique, mais le développement de l'analyse vectorielle par Willard Gibbs et
Oliver Heaviside amènera des notations plus
simples.
Souvent inspiré par des problèmes venus de la
physique, comme l'optique ou la dynamique,
Hamilton étudie les équations différentielles. Il
introduit en 1835 les fonctions hamiltoniennes,
qui expriment la variation dans le temps d'un système physique dynamique, le hamiltonien représentant son énergie totale.
résoudre
un
système.
Dans
son
Mémoire sur la résolution des équations, publié en 1771, le mathématicien
français Alexandre-Théophile Vandermonde est le premier à s'intéresser aux
propriétés des déterminants et aux
méthodes pour les calculer en se détachant du système lui-même. Dans ses
travaux sur la mécanique céleste,
Pierre-Simon de Laplace développe un
embryon de calcul matriciel et utilise
la méthode de développement d'un
déterminant par rapport à une colonne.
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
11
HISTOIRES
L'histoire des matrices
De Cauchy à Cayley
Au XIXe siècle, le mathématicien français Augustin Louis Cauchy construit
une théorie des déterminants presque
moderne. Il introduit la notation en
tableau et la double indexation des
composantes. Il définit ce qu ' il appelle
le produit de deux déterminants: c'est
en fait le produit des deux matrices
associées. Lagrange l'avait déjà défini
avant Cauchy pour les matrices carrées
de taille n = 3. Le Britannique James
Sylvester, quant à lui, reprend en 1850
des travaux du mathématicien allemand Julius Plücker publiés en 1828
sur les intersections de coniques. Ce
dernier avait en fait résolu le problème
géométrique, mais grâce à des
méthodes purement analytiques et
assez lourdes. Cette étude se plaçait
dans le cadre de la géométrie algébrique, où une courbe est définie par
une équation de la forme f (x, y) = O.
Ainsi, déterminer des intersections de
coniques revient en fait à annuler
simultanément deux polynômes en x et
y. Cependant, le mathématicien britannique, influencé par son ami Arthur
Cayley, aborde ce problème par les
déterminants. Il est amené à calculer
certains déterminants, qui sont tous
issus d' un tableau de nombres qu'il
nomme matrice, les déterminants ini-
Ta.ngente Hors-série n°44. Les matrices
tiaux étant des mineurs. L' année suivante, Sylvester généralise ses travaux
aux quadriques, c'est à dire aux surfaces d'équation f(x, y, z) = 0, où f
désigne une fonction polynomiale de
degré 2.
Au début des années l 850, Cayley et
Sylvester, tous deux membres du barreau, échangent sur leurs passions
communes. Cayley comprend alors
toute l' importance en algèbre des
tableaux de nombres utilisés par
Sylvester. Dans un article publié en
français en 185 5, il parle des matrices
comme une « notation commode »
pour re présenter
les
systèmes
linéai res. Il explique ! 'i ntérêt de la
notion matricielle pour étudier les
« fonctions linéaires».
Trois ans plus tard, Cayley élabore une
véritable théorie des matrices dans son
nouvel article A Memoir on the Theory
of Matrices. S'inspirant sans doute du
mémoire d' Augustus de Morgan, On
the Foundation of Algebra, publié en
1841, il défi nit sur les matrices des
opérations d'addition et de multiplication, les considérant de ce fait comme
des sortes de nombres (des éléments
mathématiques à part entière, et non de
simp les
commod ités
d 'éc riture).
Cayley en est bien consc ient lorsqu 'i l
les désigne par le terme de « single
quantity » (quantité simp le). li s'émerveille du « remarkable theorem » lorsqu'il énonce le résultat con nu sous le
de
théorème
de
nom
Cayley- Hamilton. Certains voient en
lui l' inspirateur de la notion d'hypernombre et de la théorie des algèbres.
Les matrices franchissent la manche
Introduites par des Britanniques, les
matrices peinent à s'implanter sur le
continent. Georg Frobenius approfondit les différentes notions d'algèbre
linéaire. Il démontre le théorème de
Cayley-Hamilton en 1878 et développe la théorie des formes bilinéaires. À
cette même époque a été perçue l' importance de ces fonctions dans différentes branches des mathématiques
( espaces euclidiens, systèmes différentiels de second ordre, théorie des
nombres . . . ). Pourtant, bien que très
au courant des travaux de Cayley,
Frobenius s'obstine dans ses travaux à
éviter l'emploi des matrices!
Dans les années 1890, ! ' usage des
matrices se développe brusquement.
Le mathématicien pragois Eduard
Weyr étend le champ des matrices en
les utilisant pour étudier les formes
bilinéaires (qui sont des fonctions de
deux vecteurs x et y, linéaire en x lorsqu 'on fixe y et linéaire en y lorsqu ' on
fixe x) . En passant aux coordonnées de
ces vecteurs, l'expression de la forme
bilinéaire se reformule en une somme
de termes de la forme ai,J X; yJ"
Réc iproquement, la donnée de la
matrice des coefficients (a;);J suffit à
déterminer une forme bilinéaire.
Dès lors, ! ' usage des matrices se
répand inexorablement. Elles ne sont
plus vues comme des éléments indépendants, mais à chacune d 'elles est
associé un certain nombre de propriétés, de potentialités. Le mathématicien
allemand Leopold Kronecker comprend par exempl e l'importance de
l'entier r correspondant à la taille
maximale d ' un système linéairement
indépendant que l'on peut en extraire;
il l'appelle rang de la matrice. De nos
jours, les matrices sont utilisées dans
de nombreux domaines, très divers,
bien au-delà du champ mathématique !
B.H.
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
13
EN BREF
par B. Hauchecorne et H. Lehning
Scalaire
La racine indo-euro péenne skand signifi ait « lever
le pied ». On la retrouve dans le grec skandalon , qui
désignait un di spos itif fa isant trébucher, un piège.
Les Pères de l'Ég li se l' utili sent dans le sens d' inc itati on au péché. Devenu scandalum en latin , il
fo urnit à notre lang ue les mots « scanda le » e t
« escl andre ».
Le latin scandere, « monter », est de même orig ine . On le retrou ve dans les mots français « descendre», « ascension » et bien sûr « transcendant ».
Par déri vati on , les Roma in s appe ll ent scala une
marche, pui s par ex tension un escalier. Ce dernier
mot en provient par l' intermédi aire du provençal.
Le mot « échelle » est de même
racine. L'ajout du « é » initial est
un phénomène linguistique coura nt pour fac iliter la prononc iation d' un « s » initial devant une
consonne : penser à « éco le » et
« sco la ire », « étude » et « studieux».
Le mot scalaris ex iste déjà en latin
et signifie « relatif à l'échelle ». Les
naturali stes l' utili sent au xrxe
siècle pour désigner un poi sson.
_ _,.,.,
,,, - .....
Son e mploi en mathématiques
vi ent de l'a nalog ie e ntre les
nombres entiers et les barreaux
d ' une éche lle. Pour mesurer,
en effet, on utili se une gra'""t1-11"--......,,i.1 duati on que l' on rapporte à
des no mbres. L e m o t
dev ient un substantif et se
gé né r a li se à t o u s les
r --.,_-JI no mbres réels .
Le mot scalaris existe en latin
et signifie « relatif à l'échelle » .
14
fldditionner
des matrices
Les tableaux de nombres, com me le tableau à deux
1 4 -2
lignes et tro is colonnes
, sont fréquemment
0 3 5
manipulés dans divers domaines (la co mptabil ité par
exemple), surtout depuis l' util isation des tab leurs. On
peut e n parti c uli e r dé finir des opérati ons dess us.
L' usage es t alors, po ur les mathé mati c iens, de les
représenter entre parenthèses, le tablea u précédent
1 4
2
devenant (
- ).
0 3 5
L'addition de deux matrices de mêmes dimensions, c'està-dire ayant le même nombre de lignes et de colonnes
se fa it élément par élément. Ainsi :
1 4 -2) + ( 2 - 1 3) = ( 3 3 16) .
(0 3 5
-3 5 1
-3 8
Muni de l'additi on, l' ense mbl e des matrices 2 x 3 a
déjà une structure intéressante , c'est un groupe com-
mutatif.
Si on y ajoute la multiplicati on par un scalaire, défini e de même é lément par élé ment :
2.(10 43 -2)5 = (20 86 -4)
10 '
cet e nse mbl e pe ut a lors être considé ré comme un
espace vectoriel.
Sa dimension est égale au produi t du nombre de lignes
par le nombre de colonnes. Pour le prouver, il suffi t
de re marquer qu' une base sera fo rmée , par exemple
dans le cas des matrices 2 x 3 , des six matri ces possibles formées d' un « 1 » et de c inq « 0 ».
Une autre faço n de l'exprimer consiste à compter le
nombre de paramètres nécessaires à définir une matrice !
Merveille de l'abstracti on, cette structure nous autori se à appeler « vecteur » ... un e matrice.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
par~.BusseretG.Cohen
Espaces uectoriels
l'algèbre à l'assaut de la géométrie
La géométrie, longtemps considérée comme une science à
part, a subi deux assauts qui ont eu raison de son autonomie
par rapport aux autres domaines des mathématiques :
l'introduction par Descartes de la géométrie analytique et
l'apparition de l'algèbre linéaire.
eprésenter tous les points du plan
par des couples de réels, et assimiler le plan à IR 2 , voilà le profond chambardement dont Descartes fut
à l'origine (c'est le cas de le dire, puisque
tout revient à choisir un repère : deux
axes gradués passant par une origine).
Après Descartes, faire de la géométrie ne
fut plus la même chose.
Une fois le repère choisi, un calcul peut
représenter n'importe quel résultat géométrique . Pour montrer qu'un point du
plan appartient à une droite, il suffit que
ses coordonnées vérifient l'équation de
cette droite ; pour montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme,
il suffit que les bipoints (couples ordonnés de points) AB et CD soient équipollents , c'est-à-dire que les différences
entre les coordonnées des extrém ités et
celles des origines soient identiques.
R
nla base de l'algèbre linéaire :
l'espace uectoriel
De là à définir les vecteurs, il n'y avait
qu'un pas , et il fut rapidement franchi.
À chaque bipoint, on associe un vecteur,
être abstrait qui se reconnaît dans tous les
bipoints équipollents (associés à des segments parallèles, de mê me sens et de
même longueur).
Mais voilà, ces vecteurs, on peut opérer dessus : les additionner, les multiplier par un réel (on dit un scalaire).
Le mathématicien, c'est connu , est un
générali seur fou. Il a inventé la notion
d'espace vectoriel, structure algébrique
munie de deux opérations, l' une interne
(la somme), l'autre externe (la multiplication par un sca laire), qui vérifient
quelques propriétés directement inspirées de ce lles des vecteurs associés
à un plan.
L'addition est une loi de groupe commutatif, la multiplication par un scalaire
(souvent notée par un point) vérifie
quelques propriétés supplémentaires :
1. û = û
a.(b. ü) =(ab). ü
(a+ b). ü =a. ü + b. û
a. (ü + v) = a . ü + a. v
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
C'est Grass mann (voir encadré) qui, le
premier, a imaginé cette structure , préc isée ensuite plus rigoureusement par
Peano (vo ir encadré en page 18) .
Une combinaison finie de sommes et de
produits par un scalaire s'appelle combinaison lin éa ire. Les combinaisons
linéaires jouent un rôle fondamental dans
la structure d'espace vectoriel.
Cette structure s'applique aux vecteurs
associés au plan ou à l'es pace de la
géométrie classique, dont le modèle est
respectivement IR 2 ou IR 3 , mais se généralise à des espaces beaucoup plus complexes, comme des es paces de suites ,
de fonctions ...
Elle s'étend même à des corps de scalaires
différents de IR.
Uers de nouuelles dimensions
Pour se repé rer facilement dans l'ensemble des vecteurs d ' un espace vectoriel , on cherche ce qu 'o n appelle une
base: c'est une famille libre (on dit aussi
qu 'elle est formée de vecteurs indépendants : aucune combinaison linéaire de
ces vecteurs ne peut s'annuler, hormjs la
combinaison nulle) , et c'est une famille
génératrice : tout vecteurs' écrit de façon
unique comme combinaison linéaire des
vecteurs de cette famille.
On montre alors un résultat très important : si un espace vectoriel E admet
une base finie comportant n éléments,
toute autre base de E compte aussi n
éléments.
On dit que l'espace vectoriel E est de
dimension n.
Dans le cas d ' un plan, une base est un
couple (Ï ,1) de deux vecteurs ni nuls
ni de même direction. Tout vecteur ü
peut alors s'écrire de manière unique
sous la forme ü = xT + YJ
où (x,y), couple de réels , sont les coordonnées du vecteur en question.
Hennann Grassmann, l'incompris
Après des études de théologie à Berlin, Hermann Grassmann (1809-1877) enseigne les mathématiques à l'Université de Berlin puis dans un lycée à Stettin. Il publie en 1844
Ausdehnungslehre, c'est-à-dire enseignement des étendues.
Cet ouvrage contient en germe les notions fondamentales
de l'algèbre linéaire: combinaisons linéaires, indépendance,
bases, dimension et produit extérieur. L'exposé de Grassmann est confus et même opaque et sa théorie ne sera vraiment comprise que bien plus tard, par Peano. Pourtant, il
avait bâti une définition intrinsèque des espaces vectoriels
alors que Cayley n'avait fait que du calcul dans IK!". Devant
l'incompréhension de ses pairs, Grassmann abandonne la
recherche en mathématiques pour se consacrer à l'étude
des textes védiques, en particulier la traduction du RigVeda. Il brille également en linguistique puisque son nom
a été donné à une loi concernant la dissimilation des consonnes
B.H.
aspirées en Sanskrit et en grec.
M
0
~
xi
Le vecteur û =OM et ses coordonnées
dans la base (Ï ,T).
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
17
SAVOIRS
Espaces vectoriels
Ainsi, une fois une base choisie , on peut
assimiler un espace vectoriel de dimension 2 à l'ensemble des couples de réels
(x, y), autrement dit à IR 2 . On dit que
les de ux espaces sont isomorphes . De
même , un espace vectoriel de dimension n sera isomorphe à IR".
La notion d 'espace vectoriel s'applique
à notre espace environnant de dimension 3, el le permet aussi d ' imaginer des
espaces qui échappent à notre perception. L' espace-temps de dimension 4 ,
mai s aussi, pourquoi pas, des univers de
dimensions supérieures ...
Transformer,
mais en conservant les propriétés
Les vecteurs, du pl an, de l'espace ou
d ' un espace Ede dimension supérieure,
on sait les ajouter et les retrancher, les
multiplier par un rée l quelconque . On
vas' intéresser à agir dessus en les transformant , c'est-à-dire assoc ier à chaque
Giuseppe Peano, le théoricien
Giuseppe Peano (1868-1932) est l'un des plus brillants mathématiciens italiens des deux cents dernières années. Homme d'une curiosité et d'une inventivité prodigieuses, il fut pionnier dans de nombreux domaines des mathématiques. Son esprit critique, rigoureux et peut-être aussi son éloignement
des pôles mathématiques les plus en vue à l'époque lui ont permis de considérer avec un regard neuf
l'évolution des mathématiques et d'oser bousculer des idées reçues.
Ses premiers travaux concernent le calcul infinitésimal et en particulier les fonctions de plusieurs
variables et l'étude des courbes. Dans ce domaine, on lui doit plusieurs contre-exemples qui ont permis de contredire des thèses affirmées par des mathématiciens reconnus.
Le fil conducteur de ce savant a toujours été la clarification et la diffusion des mathématiques. Il le fait
de souvent de manière très maladroite. Ainsi il crée le Latine sine fiexione appelé aussi Interlingua,
langue universelle, dans laquelle il publie en 1908 un monumental formulaire expliquant toutes les mathématiques de son temps.
Avec la même motivation, Peano introduit de nombreux symboles dans la toute naissante théorie des
ensembles et se penche vers l'axiomatique ; celle des entiers naturels l'a rendu célèbre. On sait moins
l'importance de son travail pour la vulgarisation de la théorie des espaces vectoriels. Il comprend leur
introduction très confuse par Grassmann dans son ouvrageAusdehnungslehre. Il publie, en 1888, Calcolo geometrico, ouvrage dans lequel il clarifie les notions introduites par le mathématicien allemand.
Il y donne une définition axiomatique des espaces vectoriels, introduit les applications linéaires et montre,
en donnant l'exemple des polynômes, que cette théorie ne se réduit pas à la dimension finie. B. H.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
vecteur ü le vecteurv de l'espace vectori e l F, défini pa r v = f(ü) ; v es t
l'image de ü par une certaine application f de E dans F.
Mai s on ne s' intéresse pas à n' importe
qu e lle app licat io n ! Il fa udra que f
conserve les opérations sur les vecteurs,
c'es t- à-d ire q ue l' image par f d ' une
somme de vecteurs so it la somme des
images et celle du produit d ' un vecteur
par un réel soit le produit par ce nombre
de l' image de ce vecteur.
Plus généralement , l' image d' une combinaison linéaire de vecteurs est la même
combinaison li néa ire des images de ces
vecteurs.
On dit alors que f est une application
(ou un opérateur) linéaire, ce qui s'écrit
encore :
f(ü + v) =f(ü) + f(v)
et, pour tout réel a,
!(a. ü) =af(ü) .
Par exemple, l'application de E dans E
qui à tout vecteur ü fait correspondre
son double 2ü, est linéa ire, a lors que
ce lle qui à ü associe 2ü + V où V est
un vecteur fixe , ne l'est pas.
Ces applications jouissent de propriétés particulières: l' image du vecteurnul
est le vecteur nul , cell e d'un opposé est
l'opposé de l'i mage, et surtout , e lles
co nse rvent le para ll é li sme : s i v es t
multiple de w, l'image de v est aussi
multiple de ce lle de w.
Parmi les applications linéaires, les endomorphismes de E, applications linéaires
de E dans lui -même, jouent un rôle
important. Citons les plus s impl es :
l' identité Id E, qui à un vecteur ü de E
associe le même vecteur ü ; les endomorphismes scalaires k IdE, qui à ü fo nt
correspondre k ü, k étant un réel fixé.
Et les applications linéaires de E dans
F forment elles-mêmes ... un espace
vectorie l.
la relation de Chasles
Dans un espace affine (par exemple de dimension 2), associé
à l'espace vectoriel E, si (el' e~ est une base de E et (0 , ei, e~
un repère de l'espace affine, alors:
-+
,
• un vecteur AB a pour coordonnees, dans la base (ei, e2 ),
(b 1 - al' b2 - a 2), différence des coordonnées (bi, b 2) de B et
(ai, a~ de A dans le repère (0 , e" e2) ;
• additionner deux vecteurs revient à ajouter leurs coordonnées dans la base (el' e~ .
Il s'ensuit que BA= -AB,ainsi qu'une interprétation géométrique
extrêmement pratique de la somme de deux vecteurs associés
à des bipoints dont l'extrémité du premier est l'origine du
second:
Aii +Bê=Aê.
Ce résultat, appelé relation de Chasles , du nom du mathématicien Michel Chasles, qui l'a exprimée le premier, est
extrêmement simple à démontrer à l'aide des coordonnées
des points :
(b 1 -a" b2 - a~ + (c 1 - b 1, c2 -b2) = (c1 -a" c2 -a2).
Cette relation se généralise à un nombre quelconque de
points et à toutes les dimensions. En voici une expression
classique pour quatre points :
--+
;:-;:t
--+
--+
AB + BL + CD+ DA= O.
Mais pas seulement : elles se composeront également entre elles, conférant à leur
e nse mb le , dan s le cas des endomorphjsmes d' un espace vectoriel, une structure d 'anneau (non commutatif) , qui ,
s'ajoutant à celle d 'espace vectoriel, est
affublée du joli nom ... d'algèbre!
Et les matrices dans tout cela ? Elles vont
être omniprésentes dan s les espaces
vectorie ls de dimension finie . Les o pérations qui vont être défi ni es dessus
vont servi r à la plupart des calcul s dont
on aura beso in : ex prime r les com posantes d'un vecteur après un changement
de base, mais surto ut re prése nter les
applications linéaires, dont e lles exprimeront les effets au moyen de calcul s
numériq ues simples et pratiques.
É.B . & G.C.
Hors-série n• 44. Les matrices Ta.n9ente
SAVOIRS
par É. Busser et G. Cohen
•
es ma r1ces
pour transformer
L'algèbre linéaire s'est fixé pour mission de théoriser les
transformations affines du plan et de l'espace. Les matrices
constituent l'indispensable outil qui permet de les mettre en
œuvre de manière pratique.
F
aire tourner un objet, en théorie
ou sur un écran, étirer une image,
la dépl acer, l' incli ner, la retourner comme dans un mi roi r, autant d'actions usuelles en géométrie et aujourd ' hui
en info rmatique graphique, derrière lesquelles il y a ... un endomorphi sme (voir
pages 16 à 19).
Pour représenter ces endomorphi smes, et
do nc les tra nsformati ons assoc iées du
pl an ou de l'espace, on va se servir de
matrices.
Des matrices colonnes
pour représenter des uecteurs
Co mmençons par le co mme ncement.
Dans un espace vectorie l E de dime nsion fi ni e n, o n cho is ir une base B =
(ei, e 2 , . . . , e 11 ). To ut vecteur de E peut
alors s'écrire de faço n unique
v = x 1 e 1 + x2 e2 +... + x e
11
11
•
On le représente par une matrice colonne
V, c'est-à-dire formée d' une seule colonne
(et de n lignes).
20
Supposons maintenant que nous cho isiss ions une autre base de E :
B'
=(e' 1, e' 2 , ... , e ',,) .
Le même vecteur se décompose (toujours
de manière unique) dans la base B' :
v = x' 1 e' 1 + x\ e' 2 +... + x' 11 e' 11 •
On le représente cette fois par une matrice
colonne V':
v· = li ;;\I
.,\ ,,
Il reste une question, et de tai lle, à régler!
Quelle re lation ex iste entre les matrices
colonnes V et V'? C'est une opérati on
matricielle qui va nous donner le rés ul ta t : V = A V ' où A est une matrice carrée n x n a p pe lée la m a tri ce d e
changeme nt de base. Chac une de ses
n co lonnes est fo rmée des coordonnées,
dans la base B , des vecte urs de la base
B' (vo ir encadré).
T4n9ent:e Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
Des matrices pour transformer
Matrices de changement de base
li reste à voir comment les matrices permettent de représenter les transformations du plan ou de l'espace . Dans un
premier temps , on va s'intéresser aux
endomorphismes associés à ces transformations. Ces applications linéaires
transforment un vecteur ü e n un vecteur v =f(ü).
Quand une base B de l'espace vectoriel
E a été choisie, il suffit, pour définir f,
de savoir comment cette base est transformée par f. Dans la mesure où tout
vecteur de E est une combinaison linéaire
des vecteurs de B , et où une application
linéaire co nserve les combinaisons
linéaires, il suffit de connaître les images
des éléments de la base B pour connaître
l' image par f de n'importe quel vecteur
de E.
On représente alors cette app li cation
linéaire! par une matrice A, qui dépend
de la base B choisie dans E . Chaque
colonne de A est la décomposition dans
la base B de l'image des éléments de B.
Ains i, en dimension 2, tout vecteur v
peut s'écrire de manière unique sous la
forme v = xT + YJ où B = (î,T) est la
base choisie et le couple de réels (x, y)
les coordonnées du vecteur v dans la
base B.
La linéarité de l'app li cation f permet
d'écrire:
f(v) =xj(T) + yf(T).
Ce vecteur est connu dès lors que sont
connus par leurs coordonnées dans la base
(î,T) les vecteurs j(T) et.f(T).
Sif(T) =aï+ hT etf(T) = cT + dT,
alors.f(ïï) = x(aT + bT) + y(cT + dT)
= (ax + cy)T + (bx + dy)T.
La matrice de f dans la base B est
Le même vecteur, exprimé dans deux bases différentes
B et B', s'écrit de deux façons:
V= X1 el + X2 e2 + ... + xn en et
v x' 1 e' 1 + x' 2 e' 2 +...+x\ e\.
A= (: ;) , dont les vecteurs colonnes
sont bien les vecteursj(T) etf(T) représentés par leurs coordo nnées dans la
base B.
=
Pour exprimer les coordonnées dans l'une des bases en
fonction des coordonnées dans l'autre base, on va
construire la matrice de changement de base. Voici un
exemple en dimension 3.
On exprime les éléments de la base B' dans la base B:
e' 1 au el + a21 e2 + a31 e3
e' 2 a12 e1 + a22 e2 + a32 e3
e' 3 =a13 e1 + a23 e2 + a33 e3
=
=
La matrice de changement de base associée est :
lli2 a,J \
( ail
A=
la2, a22 a23J.
aJ, a32 a33
Exprimons alors le vecteur
v =x' 1 e' 1 + x'2 e' 2 + x'3 e' 3.
v =x'1 (au el+ a21 e2 + a31 e3)
v
+ x' 2 (a12 el + a22 e2 + a32 e3)
+ x' 3 (a13 el + a23 e2 + a33 e3)
=(aux' 1 + a12 x' 2 + a13 x' 3) el
+ (a21 x' 1 + a22 x' 2 + a23 x'3) e2
+ (a31 x' 1 + a32 x' 2 + a33 x' 3) e3
Cette dernière expression est à comparer à :
v x 1 e 1 + x 2 e2 + x 3 e3.
La décomposition dans la base B étant unique, on peut
identifier les coefficients.
On reconnaît le produit matriciel :
=
( x, \
V=
( ail
a 12
l::J l::: :::
=
a.
3 \ { x; \
::Jl:tJ.
L' usage d'une telle matrice va simplifier
considérablement le calcul des coordonnées de l'i mage du vecteur par f.
Si on représente le vecte ur v
v
sous forme d'une matrice-colonne
C) ,
alors la matrice co lonne représentant le
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
SAVOIRS
Des matrices pour transformer
vecteur n 'est autre que le produ it, au
se ns d es p ro duit s d e m a tri ces ,
(: ;)(:)=(:;:~)·
Une fo is c ho is ie un e base s ur l' e nsemble des vecte urs , la matrice A pe rme t do nc e nt ière ment de déte rmine r
l' applicati o n f.
In verse me nt , une base étant do nnée ,
toute matrice 2 x 2, A = ( :
: )
peut être
considérée comme la matrice d' un endomorphi sme de l' ensemble des vecteurs.
Chaque colonne de A correspond à un
vecteur : k pour la pre mière, T pour la
seconde, et! 'application qui au vecteur
v de coordonnées (x, y) associe le vecteur = xk + y T est linéaire.
Au couple (ï ,T) de la base, e lle assoc ie
le couple (k , Î ). Voil à donc une faço n
simple et de déterminer la matrice associée à un endomorphisme et d ' identifier
une application linéaire grâce à sa matrice.
Ces résultats se généralisent. Non seule ment à d 'autres dimension s d 'endomorphismes, mais aussi à des applications
linéa ires e ntre espaces vectori e ls de
dimensions différentes. Ainsi, une application linéaire l d ' un espace vectoriel
E de dimension n vers un espace vectoriel F de dimension p pourra être représentée, dès lors qu 'on connaît une base
B de E e t une base C de F, par une
matrice à p lignes et n colonnes, dont
les colonnes sont les décomposition s
dans la base C des images des éléments
de la base B. Cette matrice sera notée
Mat 8 ,c(l) .
w
matrices et composition
d'applications linéaires
la matrice associée à la composée gof
sera le produit des matri ces defet de g .
Plus concrètement :
MatB.D(go!)= Matc.o (g) MatB.C (j) .
Dans le cas des endomorphismes , le produit de matrices carrées s' écrit :
MatB(go!)= MatB(g) MatB(j).
Les propriétés de la compos iti on d 'endo morphi smes se transmettent au produit de matri ces carrées d'ordre n , dont
l'ensemble, muni de cette multi plicatio n, for me un anneau. De même que
! 'élé me nt ne utre pour la compos iti on
des endomorph ismes est l' identi té, I ' application « qui ne change rien », c'està-dire qui , à tout vecteur, associe lui-même,
celui de la multiplication des matrices
carrées est la matrice associée, qui est
la matrice identité. Ell e comporte des
« 1 » s ur la di ago na le e t des « 0 »
ailleurs. En dimension 2, c'est 12 = ( ~
~) .
D 'autres endomorphi smes sont extrêmement simples. C itons parmi eux !'endo morphi sme sca laire o u ho mothétie
de rapport k, qui à tout vecteur v d ' un
espace vectoriel de dimension n, associe k v. Sa matri ce assoc iée ne co mporte que la va leur k sur la diagonale et
des « 0 » ailleurs.C'est kl ,,.
Saurez-vous maintenant reconnaître ce
que fait sur les coordonnées des vecteurs
la tra nsfo rmati o n do nt la matri ce est
( ~ ~) ? Elle échange tout simplement
abscisse et ordonnée !
Mais trava iller sur des vecteurs est un
conte, traduire ce qui se passe géométriquement en est un autre.
On peut composer des applications! et
g, qu 'e lles so ie nt linéa ires ou non , à
condition que l'ensemble d 'arri vée de
l'une soit l'ensemble de départ de l' autre.
Lorsqu ' il s'agit d'applications linéaires,
Tc:1.n9ente Hors-série n°44. Les matrices
É. B. & G. C.
EN BREF
par Hervé Lehning
multiplier des matrices
La multiplicati on des matrices est plus dé licate à définir.
Pour cette ra ison, nous com mençons par un exemple très
particulier, la multiplication d' une matrice ligne (formée
d ' un e ligne) par une mat ri ce colo nn e (fo rm ée d ' un e
On définit alors plus généralement la multiplicati on de
deux matrices de cette manière. Elle sera défini e dès lors
que le nombre de colonnes de la première est égal au
nombre de lignes de la seconde. Et le résultat aura le
nombre de lignes de la première et le nombre de colonnes
de la deuxième ! En voici un exemple :
l
(- 1 2 -3 -4 \
colonne) :
- 36)·
(31 -2-1 5)4 . 5 6 0 1 J (44 1160 -28
- 29 -37
( x\
(a c)tJ
b
3 4
=ax +by + cz.
Cette multiplication n'est possible que si le nombre de
lignes de la deuxième est égal au nombre de colonnes de
la première. Cette condition dev ra être vérifiée dans tous
les cas de multiplicati ons de matrices .
Autre exe mple, numérique cette fo is : ( 1
2)(;)
= 14.
=
-5
-6
Comment l'avons-nous effectué? Tout simplement en multipli ant chaque ligne de la première matri ce par chaque
colonne de la seconde. L'élément obtenu dans la matri ce
résultat correspond à la ligne de la première et la colonne
de la seconde. Ainsi, l'élément de la première ligne et la
troisième colonne du résultat est le produit de
En effet, 1 x 4 + 2x5 = 14.
Ai nsi, chaque ligne d' une matrice peut être multipliée par
chaque colonne d' une autre, à la condition qu 'elles aient
soit I x (-3) + (-2) x O + 5 x (-5) = -28.
le même nombre d'éléments.
Opérations sur les matrices carrées
Cette multiplication des matrices est rarement utilisée dans toute sa généralité. Le plus courant est de se
limiter à l' espace des matrices carrées de dimension donnée, par exemple à deux lignes et deux colonnes
ou trois lignes et trois colonnes , dans lesquels la multiplication est une opération interne. Ains i, l'espace
vectoriel des matrices carrées d ' ordre deux , par exemple, se trouve muni d ' une structure englobant celle
d 'espace vectoriel et d ' anneau , la structure d'algèbre.
Cela signifie que la multiplication matricielle a quelques-unes des propriétés de la multiplication usuelle
des nombres . .. mais pas toutes . Elle est associative , c 'est-à-dire que A (B C) =(AB) C, et distributive à gauche
et à droite par rapport à l'addition , c ' est-à-dire que A(B + C) =AB +AC et (B + C)A= BA+ CA.
Ces égalités résultent de calculs faciles , mais pénibles à effectuer.
) et (
En revanche , la multiplication n' est pas commutative: il peut arriver que AB*- BA.
0
Un exemple simple de non-commutativité est obtenu en multipliant entre elles les matrices (
01
00
1
) ·.
01
En revanche , la multiplication possède un élément neutre , la matrice identité 1.
Tous les éléments de cette matrice sont nuls sauf ceux de sa diagonale, égaux à 1.
Ainsi, ( :
!){~ ~)
= (~
~) .(:
!)
= (:
!) .
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
23
SAVOIRS
par Hervé Lehning
e sens
Le déterminant est souvent présenté à travers des formules ou
axiomes abstraits, qui semblent sans lien avec aucune réalité.
Pourtant, la question est très concrète : le déterminant mesure
une surface, un volume, ou un objet de dimension supérieure.
vecteurs V et V du pl a n
déterminent un p ara ll é lo gramme . Le déterminant, noté
de t (V, V), de ces deux vecteurs es t
l'aire de ce parallélogramme , affectée
du signe - si le trajet de U à V se fait
dans le sens des aiguilles d ' une montre .
Si V a pour coordonnées (a, b) et V a
pour coordonnées (c, d), on note
J: :J
Comme les parallélogrammes déterminés par (U, V) et (V, V+ À.V) ont même
base U et même hauteur (voir la figure
les parallélogrammes) , pour tout À.,
det (V, V+ À.V)= det (V, V).
De même, si on remplace V par À. V, on
remplace la hauteur h par À.h et donc on
multiplie le déterminant par À.. A priori ,
= det(U ,V).
Les propriétés de l'aire
L'aire d ' un parallélogramme est égale
à sa base multipliée par sa ha ute ur.
V + À.U
u
a
Si le vecteur U a pour coordonnées (a, 0)
et le vecteur V, (c, d),
alors le parallélogramme a pour base a
et pour hauteur d.
Son aire est donc égale à ad.
Le même calcul d 'aire permet
Les parallélogrammes vert et orange ont même aire
car ils ont même base et même hauteur.
24
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
d 'affirmer que
I~ ;J
= ad, que ad
soit positif ou négatif.
SYSTÈMES LINÉAIRES
Détermination du déterminant
La propriété d'alternance du déterminant vient du fait que (U, V) et (V, U) sont de sens opposés. L'additivité de l'aire implique la linéarité par rapport à l'un des vecteurs.
En notant I et J les vecteurs de coordonnées (1, 0) et (0, 1), il vient :
1: :1
= det(al + bJ ,cl+ dJ).
On en déduit alors :
det (al+ bJ, cl+ dJ) det (al+ bJ, cl)
det (U, V+ W) =
+ det (al+ bJ,dJ)
det (U , V) + del (U, W).
et, en utilisant la linéarité par rapport
au second vecteur :
u
det (al+ bJ, cl+ dJ)
c det (al+ bJ, 1) + d det (al+ bJ, J).
On obtient ensuite : det (al+ bJ, cl+ dJ) ac det (1, 1) + be det (J, 1) + ad det (1, J) + bd det (J, J).
De la propriété d'alternance, on déduit det (U, U) =0, d'où:
det (al+ bJ, cl+ dJ) = be det (J, 1) + ad det (1, J). Or, det (J, 1) =- det(I, J) d'après (1)
=
L' additivité de l'aire implique
=
=
et det (1, J)
=1, d'où le résultat: 1: :1 =ad-be.
ce raisonnement n'est valable que si la
constante À. est positive mais on démontre
fac il e me nt que, si e ll e est néga tive ,
l' orientation des vecteurs est modifiée ,
et donc le signe aussi.
V
det(U,V)
D'après la définiti on , det (U , V) = 0 si,
et se ul e me nt s i , l'a ire du para ll é lo gramme construit sur U et V est nulle,
ce qui équi va ut à dire que U et V sont
colinéaires. On en déduit une condition
pour que deux droites soient concourantes, à travers le déterminant de leurs
vecteur directeurs ou de leurs vecteurs
normaux.
Enfi n , le déte rmin a nt j o uit d e no mbreuses propriétés calcul ato ires, parmi
lesque lles les troi s sui vantes :
• alternance: det (V, U) =- det (U , V) ,
• linéarité par rapport au second vecteur
(À et µ sont des constantes) :
det (U,}.. V + µ W ) = À. det ( U , V)
+ µ det (U , W),
Le déterminant de deux vecteurs U et V est l' aire du parallélogramme qu' ils déterminent, affectée du signe - si l' angle
(U, V) est orienté dans le sens des aiguilles d'une montre.
Ainsi, det (V, U) = - det (U, V), puisq ue (U, V) et (V, U)
sont de sens opposés.
On en déduit la fo rmule suivante, utile
1: :1
en pratique :
=ad-be. Elle conduit
à généraliser la notion de déterminant
•
ra e1
aux matnces : det b d = ad - be, et meme
A
aux systè mes linéa ires via la matrice
du systè me. Ain si , le détermin ant du
4
1
système d 'équations { x - Y = est
4
12
2x + 3y =5
_
11 soit 14.
3
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
25
Le sens du déterminant
On retrouve en particulier que le détermin ant de la matri ce ide ntité est bien
égal à l.
En utili sant la propriété d 'alternance,
on montre que la linéarité par ra pport
au second vecteur est valable également
sur le pre mie r vecte ur. Pour résumer
ces deux propriétés, on dit que le déterminant est bilinéaire.
La caractéri sation de la colinéarité est
importante dans l'étude des systè mes
de deux équations du pre mier degré à
deux inconnues. Pre nons un exempl e
pour voir pourquo i.
,
s le syste, me : { 4x - y = 1 .
Cons1'deron
Gabriel Cramer
2x + 3y = 5
Comme nt déte rminer s' il a des so lution s ou non ? La question est liée au
:: : ·:::~:r~r
Chacune des deux équations représente
une droite dans le pl an. Plu s préc isément , l'ensemble des points M de coordonnées (x, y) vérifiant 4x - y = 1 est
une droite.
Une équation du premier degré,
telle que 4x - y =1, représente une
droite. Ici, un vecteur directeur
de cette droite a pour coordonnées
(1, 4), et un vecteur normal a pour
coordonnées (4,-1).
Si un couple (x, y) vérifie le systè me cidessus, le point de coordonnées (x, y)
appartient aux deux droites, et réciproquement. Un système de deux équations
du premier degré à deux inconnues représente donc un problè me géométrique
simple: la détermination de l' intersection de deux droites.
26
Gabriel Cramer (1704--1752).
Le mathématicien suisse Gabriel Cramer était spécialiste des courbes algébriques, c'est-à-dire ayant une
équation polynomiale, comme le
cercle et les coniques.
C'est en étudiant le problème de l'existence de courbes passant par des
points donnés qu'il introduisit la
notion de déterminant (voir le dossier « Mathématiques suisses » dans
Tangente 136).
Nous en dédui sons un résultat qualitatif : un système de deux équati ons du
pre mie r degré à de ux inconnues possède une et une seule solution si et seulement les deux droites assoc iées sont
concourantes. En hommage à Gabriel
Cramer, on dit alors que le système est
de Cramer.
D 'après la condition de co linéarité de
deux vecte urs, la condition pour qu ' un
sys tè me so it de Crame r est que so n
détermin ant so it non nul.
Le système
4x- y= 1
{ 2x + 3y = 5
Cramer, pui sque
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
est donc de
1: ~,, 14,. O.
=
SYSTÈMES LINÉAIRES
les formules de Cramer
10, 'I
111
111
X=2- = 2-
Notons (x, y) la so luti on unique du
4x- y= 1
système
.
{ 2x + 3y=5
Une interprétation vector ie ll e du
vecteur (x,y) peut être donnée , à condition de considérer U le vecteur de coordonnées (4, 2), V le vecteur de
coordonnées (- 1, 3) et B le vecteur de
coordonnées (l, 5). Les deux éga lités
du sys tè me se ré s ument alors à
xU+yV=B.
Appliquons la fonction déterminant.
La linéarité par rapport à la première
colonne donne
det (8, V ) = det (xU + y V, V)
= x det (U, V) + y det (V, V).
Comme det (V, V)= 0 , nous en
'd .
I ,,
I
det(B, V)
.
de u1sons a 1ormu e : x =
det(U, V)
Une formule identique existe pour
y : y=
det(U B)
'
det(U, V )
111-l
m.- 1
lm.1 0'I
ety=2-
m-l
-1
=2-
m-l
·
Dan s le s deux cas restant , il suffit
d 'écrire le système pour voir qu'il est
incompatible.
1
Par exemple, pour m = l : {x +Y= .
x + y=O
Trois vecteurs U, V et W de ! 'espace
déterminent un parallélépipède. Le
déterminant , noté det (U, V, W) , de ces
trois vecteurs est le volume de ce parallé lépipède . Toutefois , il est affecté du
signe - si (U, V, W) n'est pas dans le
sens (majeur, index , pouce) de la main
gauche.
. Ces deux formu les
constituent les formules de Cramer.
Dans notre exemple :
1
I~ 1
1: ~I
-3
4
9
X = - - = - ety=--=-.
14
7
14
u
7
La résolution des systèmes numériques
ne requiert pas vraiment la méthode de
Cramer. En effet, les méthodes consistant à combiner des équations (comme
la méthode de Gauss) sont préférables.
La raison d 'ê tre de la méthode de
Cramer se trouve dans la discussion des
systèmes paramétriques , comme
m.x+y=l
. En fait, le problème est
{ x + my = 0
Le déterminant de trois vecteurs U, V et West le volume
du parallélépipède qu'ils déterminent, affecté du signe si (U, V, W) n'est pas dans le sens (majeur, index, pouce)
de la main gauche. Ainsi, le déterminant est changé
en son opposé si l'on échange deux des vecteurs U, V
et W.ont même base et même hauteur.
pouce
index
réso lu par le calcu l du déterminant :
17 ~11 m
=
2
-
1.
Le système a donc une solution unique
si et seulement si m est différent de I et
de - l.
La solution est alors :
sont dans le sens (majeur, index, pouce)
de la main gauche, alors leur
déterminant est positif.
Hors-série n° 44. Les matrices Ta.ngente
27
Le sens du déterminant
Si U a po ur co ord o nn ées (a, b, c),
V (a', b', c') et W (a", b" , c"), on note
ainsi le déterminant de
a
a'
a"
U , Y etW :b
b'
b " =det(U , Y, W).
c
c'
c"
D 'après la définiti on, det (U, V, W) =0
si, et seulement si, le volume du parallé lépipède construit sur U , V et W est
nul , donc si U , V et W sont coplanaires
(c'est-à-dire dans un même pl an). On en
déduit une condition pour que trois plans
soient concourants, à travers le déterminant de leurs vecteurs directeurs ou
de leurs vecteurs normaux.
De même qu 'en dimension deux, les premières propriétés calculatoires des déterminants peuvent être résumées par les
trois règles sui vantes :
• alternance : le déterminant est changé
en son opposé si l' on échange deux des
vecteurs,
• tri linéarité: le détermjnant est linéaire
par rapport à chacun des vecteurs,
l O O
• 0
1 0 = 1.
0 0
a
a'
b
b'
b"
c'
c''
a
a'
a"
b
b'
b"
28
On en déduit une formule
de calcul des déterminants
d'ordre troi s appelée règle
de Sarrus en hommage à
Pierre Sarrus ( 1798-1861 ).
Règle de Sarrus :
on recopie les deux
premières lignes du déterminant sous celui-ci,
puis on additionne les facteurs verts et soustrait les
facteurs rouges.
Autrement dit, le déterminant est égal à :
ab' c" + be' a" + ca' b" ch' a" + ac' b" + ha' c" .
Les résultats concernant les systèmes se
générali sent de même. Appliquons- les
au cas du système
2x + y- z = 1
l
x - 2y + 3z =0, so n dé ter min a nt se
3x + Sy - z = 2
calcule grâce à la règle de Sarrus, ce qui
donne :4 - 5 + 9 - 6 - 30 + 1 =- 27, qui
est non nul , donc le système a une et une
seule so lution. Elle vaut
1 -1
2 1 -1
1 0 3
-2 3
2 5 - 1 11
3 2 -1 4
=X=
y=
= 27'
-27
-27
27
2 1 1
1 -2 0
3 5 2 -1
et z =
-27
27
1
0
La question se complique un peu avec le
système
x+y +z =I
x - 3y + 2z = 0 car son déterminant est
l
2x - 2y + 3z =2
nul. S ' il a une solution, elle n'est donc
pas uruque. En frut, ce système est incompatible car, si (x, y, z) est une solution,
en ajoutant les deux premjères équations,
on obtient 2x- 2y + 3z = 1, ce qui contredit la troi sième équation !
D1mens1ons superi ures
La noti on de détermin ant se généralise
aux dimension s 4 et sui vantes. Sa définitio n comme mesure de mande cependant de généra li ser les noti ons d 'a ire
et de volume , ce qui est pour le moin s
dé licat. C'est sans doute l' une des raisons pour lesquelles on préfère une définiti o n plus abstra ite, sui vant les tro is
propriétés que no us avons rencontrées
précéde mme nt. Malheure usement , la
règle de Sarru s n'y a pas d 'équi valent
assez simple pour être utili sée dans ces
dimensions !
H.L.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
par Gilles Cohen
an ments d
Des matrices distinctes peuuent représenter la même
application linéaire.
Elles ont alors en commun certaines propriétés
issues de l'application linéaire qu'elles représentent.
matrices carrées semblables
Si le même vecteur v del 'espace vectoriel Ede dimension
11 , exprimé dans deux bases différentes , B = (e I' e 2 , ... , e,,) et
B' = (e' 1, e' 2 •••. , e',,), s'écrit à )' aide des matrices colonnes
l~
( x ,\
V=
2
J pour exprimer que v = x 1e 1 + x2 e2 + ...+ x,, e,, et
x,,
( x, \
Y=
l]'
J pour exprimer que v =x ' 1e' 1 + x '2 e' 2 +... + x ',,e',, ,
, ,.
alors on aura la relation : V = P V' , où P, matrice carrée
d' ordre n , est la matrice de changement de base, dont les
colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B' exprimés
dans la base B.
Si maintenant u est un endomorphi sme de E qui admet la
matrice M dans la base B et la matrice M' dans la base B',
quelle relation ex iste-t-il entre M et M '? Pour un vecteur v
de E, iv = u(v) aura pour matrice colonne W dans la base B
et W' dans la base B' , avec W = PW '. La définition de M
cond uit aux relations W = M V et W ' = M' V'. La première
relation s'écrit aussi : P W' = M P V' , soit , en multipliant à
gauche par p- 1 , l' inverse de P, W ' = p- 1 M PY ' , à comparer
avec la relation W' = M ' V' .
Le fai t que l'égalité soit vraie pour toute colonne V' entraîne
la relation sui vante: M' = P- 1 M P.
Deux matrices carrées M et M ' so nt dites semblables quand
elles représentent le même endomorphisme dans des bases
différentes.
Deux matrices carrées d' ordre II M et M ' sont semblables si
et seu lement s' il ex iste une matrice carrée Pd 'ordre n inversible telle que M' = P- 1 M P.
Pour des matrices carrées d' ordre n, « être semblables » est
une relation d'équivalence.
EN BREF
matrices rectangulaires
équiualentes
On considère cette fo is une app lication linéaire
I d ' un espace vectoriel Ede dimension n dans
un espace vectoriel F de dimens ion p.
Si B est une base de E et C une base de F, la
matrice M représentant l dans les bases B et C
sera un e matrice rectangulaire à p lignes et n
colonnes, chacu ne des n colonnes représentant
l' image des vecteurs successifs de la base B exprimée dans la base C.
Pour un vecteur v de Ede colonne V dans B ,
w = l(v) aura dans la base C la matrice colonne
W=MV .
On co ns idère alors une nouvelle base B' de E et
une nouvelle base C' de F. La matrice M', elle aussi
rectangul aire à p lignes et n colonnes, représentera l dans les bases B' et C'.
Le vecteur v de E de colonne V' dans B' a pour
image w= l(v) qui, dans la base C, sera représenté
par la matrice colonne W' = M' V' .
Si Pest la matrice de passage de B à B' (matrice
carrée invers ible d'ordre n) et Q la matrice de
passage de Cà C' (matrice carrée inversible d'ordre
p ),on aura les relations : V= PV' et W=QW'.
W = MY s' écritdoncQW ' = MPY 'soit ,en multipliant à gauche par Q- 1, W ' = Q- 1 M P V', à comparer avec la relation W ' = M' V'.
Le fait que l'égalité soit vraie pour toute colonne
V' entraîne la relation suivante : M' = Q- 1MP .
Deux matrices rectangulaires de mê mes dimensions Met M ' sont dites équivalentes quand elles
représentent la même application linéaire dans
des bases différentes.
Deux matrices rectangulaires Met M' de mêmes
dimensions sont équivalentes si et seulement s' il
existe deux matrices carrées P et Q inversibles
telle que M ' = Q- 1 M P.
Évidemment, deux matrices semblables sont en
particulier équivalentes. Pour des matrices rectangulaires de mêmes dimensions, « être équivalentes » est une relation d'équivalence.
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
29
SAVOIRS
par Gilles Cohen
Transformations affines
et points inuariants
L'application des théories de l'algèbre linéaire et de leur mise
en pratique via le calcul matriciel apporte à la géométrie un
outil puissant dont quelques applications sont entrevues ici.
a géométrie a pour champ d 'action un ensemble de points, appelé
espace affine, dont les plus usuels
sont le plan ou l'espace. Comme on l'a
vu dans les articles précédents, cet espace
affine A est associé à un espace vectoriel E dont les é léments, appelés vecteurs, sont en correspondance avec les
bipoints de l'espaces affine.
Une transformation géométrique de
l'espace affine A sera appelée transformation affine si deux bipoints équipollents sont toujours tran sformés en deux
bipoints équipollents, ou encore si un
parall é logra mme est transformé e n
parallé logramme. Ce qui est intéressant , c'est qu ' une te lle transformation
défi nit a lors un endomorphi sme de
l'es pace
vectorie l
assoc ié
E.
Réc iproquement, à tout endomorphi sme u de l'espace vectoriel E, on peut
associer des transformations affines f
de l'espace affine. Mais la connaissance de l' image d'un point Ode A par f
suffit à définir entièrement! à l'aide de
la relation( *) f(O)f(M) = u(OM),
ou e ncore OJ(M) = OJ(O) + u(OM).
L
30
les translations
L'endomorphi sme le plus élémentaire
de l'espace vectoriel E est l' identité .
On peut donc s' intéresser aux transformations affines qui lui sont associées.
En remplaçant u par ldE dans la re lation (*), on parvi ent à f(O)f(M) = OM,
qui s'écrit e ncore Mf(M) = Of(O).
Ainsi, on passe d' un point M à son
image fiM ) en opérant une translation
de vecteur constant v = Of(O).
Réc iproqueme nt , toute translation
es t une appli cation affi ne assoc iée à
l' ide ntité, pui sq u 'e ll e transforme
tout bipo int e n un bipoint éq uipo lle nt. Et co mme il y a auta nt de choix
de vecteurs v que d 'é lé me nts de E,
on peut ai ns i mettre e n évidence une
bijection e ntre les translations et les
vecteurs de E.
La correspondance ne s'arrête pas là :
lorsq ue l'on compose une translation
de vecteur v et une tran slation de vecteur w, on trouve toujours une tran slation (son endomorphisme associé est le
Tc:in9ente Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
composé de l' identité de E par ellemême) , et le vecteur x de la translation
est la somme vectorielle x =ïï + w.
La composition de deux translations
est commutative.
Et l'on pourrait même définir la multiplication d'une translation f de vecteur
ïï par un scalaire À, le résultat étant la
translation de vecteur Àïï. Ainsi, l'ensemb le des translations de l'espace
affine A est isomorphe à l'espace vectoriel assoc ié à A : c'est le même é lément algébrique , au nom près des é léments et des opérations.
Les points invariants sont une caractéristique très recherchée des transformations géo métriques, et plus particulièrement des transformations affi nes.
En dehors de l' ide ntité de A, translation de vecteur nul , pour laq ue lle tou s
les points sont invariants, une translation n' admet pas de point invariant.
Le groupe
des homothéties-translations
Après l'identité, les endomorphi smes
les plus é lémentaires sont les endomorphismes scalaires , encore appe lés
homothéties vectorielles, qui à un vecteur ïï font correspondre le vecteur k ïï,
k étant un réel. Il est intéressant de
regarder les transformations affines qui
leur sont associées.
Soit k un réel non nul différent de 1, et
définissons u = k Id 6 l'endomorphisme
scalaire de E correspondant. Soit f une
transformation affine associée à u. Le
nombre k étant différent de l ,f n'est
pas une translation .
Pour en savoir plus sur sa nature , on va
s' intéresser dans un premier temps à la
recherche d ' un point invariant par f.
Soit P un point quelconque, etj(P) son
image par f. Si j(P) = P, on est tombé
sur un point invariant (c'est un cas
miraculeux !) . Dans le cas général, Pet
j(P) définissent une droite (0), sur
laquelle on va mettre en évidence un
point invariant.
Supposons qu ' il existe O tel que
j(O) = O. Alors(*) s'écrit
f(P)f(O) = u(PO), soit f( P )O = kPO.
On applique la relation de Chasles :
f( P )P +PO= kPO, et on en déduit:
1 PO= k _ I f( P )P.
Cette suite de calculs se remonte.
1
Le point O défini par PO= - -J(P)P
k-1
est l' unique point invariant par f. Alors,
pour tout point M de l'espace affine A,
la relation (*) f(O)f(M) = kOM s'écrit
Of(M) = kOM. Ainsif est l' homothétie
de centre O et de rapport k. En conclusion, toute transformation affine associée à un endomorphi sme scalaire est
une homothétie !
En utili sant le fait que l'endomorphi sme assoc ié à la composée de deux
transformations est le composé des
endomorphi smes associés à ces transformatio ns, on obtient de nouveaux
résultats spectacul aires, qui n'ont
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
31
Transformations affines ...
besoin d'aucune autre démonstration.
Ainsi, la composée de l'homothétie h
de centre O et de rapport k ::f. 1 et de la
translation t de vecteur v a pour endomorphisme associé le composé de k IdE
et de ldE , soit k ldE. C'est donc une
homothétie de rapport k. Le seul calcul
consiste à trouver le centre de cette
homothétie , à l'aide de sa caractérisation comme unique point invariant.
Le centre de ! ' homothétie t o h est le
1
point O' défini par OO' = - -~.
1- k
De même, le centre de l'homothétie hot
est le point O " défini par OO" = __!5___ ~1- k
La composée de deux homothéties h et
h ' de rapports k et k' aura pour endomorphisme associé ! 'endomorphisme
scala ire k k' IdE.
• Si le produit kk' est différent de l, ce
sera une homothétie de rapport kk'
dont on trouvera le centre en c herchant le point invariant (sur la droite
des centres d'homothéties de h et h ').
M,
M,
M
O'
O"
0
Le centre 0" de l'homothétie h" = h'o h est à l'intersection de
la droite (MM 2), qui joint M et son image M 2 par h' o h, et de
la droite (00') qui joint 0, centre de l'homothétie h à son
image par h' o h , qui est aussi son image par h', et se trouve
donc sur la droite (00') .
32
•Sile produit kk' est éga l à 1, ce sera
une translation dont on trouvera le
vecteur en cherchant le transformé
de n ' importe quel point. Ainsi, la
composée de deux symétries-points
(une symétrie-point est une homothétie de rapport -1) est une translation, dont nous vous laissons trouver le vecteur en fonction des
centres de symétrie O et O'.
Ainsi, l'ensemble des homothétiestranslations d'un espace affine est
stable par la composition des applications, ce qui lui confère une structure
de groupe.
Plus d'un point inuariant
Si deux points distincts P et Q sont
invariants par une transformation f ,
c'est que le vecteur V= PQ est invariant par l'endomorphisme associé u.
On dit aussi que V est un vecteur
propre pour la valeur propre À= 1, pour
exprimer que u(V) = ÀV. Mais alors,
tout point M de la droite (PQ) vérifie
une relation du type PM= kPQ. On en
déduit:
f(P)f(M) = u(PM) = ku(PQ) = kPQ,
soit :
Pf(M) = kPQ =PM, puisflM) = M.
Et donc tout point de la droite (PQ) est
invariant.
Tout ce qui vient d'être dit sur les
homothéties, les translations et les
points invaria nts est valable dans toute
dimension. Par exemple, en dimension
2, l'espace affine A est un plan.
S'il y a, e n plus des points de la droite
(PQ), un autre point invariant (noté R),
on montre a lors que tout point du plan
est invariant. En effet, les vecte urs PR
et PQ, invariants, forment une base
de l'espace vectoriel E associé au plan
A (i l est de dimension 2). Donc tout
vecteur de E, combi na ison de deux
vecteurs invariants par u, est invariant
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
f
P" u.u est don, r;dent;té, et comme
la transformation f assoc iée admet au
moi ns un po int in vari ant , c'est l' identi té de A.
Dans le cas où les points de la dro ite
(PQ) sont les seul s po ints invari ants de
f , on peut montrer que l'endomorphi sme u admet une deuxiè me va le ur
propre À, associée à un vecteur propre
W. Cela permet de défi nir complètement la tra nsformation/ de A , qui porte
le nom d'affinité.
li suffit de se pl acer dans le repère
(P,V,W).
Pour tout point M , le vecteur PM peut
alors s'écri ra PM= av+ bW, et alors
Pf(M) = f(P)f(M) = u( PM)
= au(V) + blt(W) =av+ bÀW.
L' image.f{M) est parfa itement défini e.
•M
R
, M'
Projecteurs et projections
Un endomorphisme p est appelé projecteur s'il vérifie la
relation p op = p. Pour tout vecteur Ü , p(p(Ü)I = p(Ü).
Ainsi, tout élément de l'image de p est invariant par p.
Si p n'est pas l'endomorphisme nul, il existe donc un vecteur
V non nul tel que p(V) =V.
Sip n'est pas l'endomorphisme identité, il existe un vecteur
W non nul tel quep(W) # W.
Alors, Ü = p(W)- W # 0
etp(Ü) =p(p(W)-W] =p(W)-p(W) = O.
Ainsi, en dimension 2, la matrice P dans la base (Ü, V) d ' un
projecteur p différent de l'identité et de l'endomorphisme
nul est de la forme P = (~
~).
On peut alors se poser la question de savoir quelles sont
les transformations affines/ associées à un projecteur p. Si
p est l'endomorphisme nul, ce n'est pas très intéressant:
f associe un point unique à tout point de l'espace de départ.
Sip est l'endomorphisme identique, on a vu que/est une
translation.
Mais dans le cas général ?
•Si/admet un point invariant 0 , pour tout point M, on peut
poser OM = xÜ + yV. Alors j(O)j(M) = xj(Ü) + yf(V),
soit 0/(M) = yV. Ainsi,/ est la projection parallèlement à
Ü sur la droite (D) passant par O et de direction V.
(D)
p
Q
--
M' est l'image de M par l'affinité d'axe
(PQ), de direction (PR) et de rapport !-î .
Dans le cas où À= 0, la tra nsformation
f est appelée projection sur (PQ) parallèlement à W. Dans le cas où À =- 1, la
transformation f est appelée symétrie
par rapport à (PQ) parallèlement à W.
L'endomorphisme associé à une projection vérifie la re lation u o u = u.
C'est un projecteur (voir encadré).
L'endomorphisme associé à une symétrie vérifie la relation u ou= ldE . C'est
une symétrie vectorielle. Les transformations affines qu i lui sont assoc iées
sont-elles toujours des symétries ?
Non , mais c'est une autre histoire ...
M'
V
0
-u
• Si f n'admet pas de point invariant, on prend l'image
A'= j(A) d' un point A. Pour tout point M, on peut poser
AM = xÜ + yV. Alors /(A)/ (M) = xf (Ü) + yf (V),
soit A'f(M) = yV.Ainsi, toutes les images de/sont situées
sur la droite (D') passant par Met de direction V.
Si on appelle A 1 la projection de A sur (D') parallèlement
à Ü (on a donc AA1 = xÜ), on constate que la composée de
f par la translation de vecteur A'A1 admet p pour endomorphisme associé et laisse A 1 invariant. D'après ce qui a
été vu plus haut, c'est la projection sur (D') parallèlement
à Ü .fest donc la composée de cette projection et de la translation de vecteur A1A'.
G. C.
Hors-série n ° 44. Les matrices Ta.ngente
33
SAVOIRS
par Hervé Lehning
Systèmes linéaires
Les systèmes d'équations linéaires sont liés aux matrices et à
leur inversion ... ce qui ne signifie pas que la résolution d'un
système exige d'inverser une matrice ! Au contraire,
l'inversion d'une matrice passe souvent par la résolution d'un
système d'équations linéaires.
n grand nombre de problèmes
se résolvent au moyen de systèmes d'équations linéaires.
En voici un exemple :
U
z
x- y +2 z = 2,
2x+ y +3z = O.
!
5x-y+6z = 6.
où il s'agit de trouver toutes les valeurs
des triplets (x, y, z) vérifiant simultanément ces trois équations. L'exemple le
plus simple et le plus intuitif de problème menant à la résolution d' un tel système est la détermination de l'intersection de trois plans.
L'ensemble des points de coordonnées (x, y, z) vérifiant l'équation
x - y + 2z = 2 est un plan P. De même,
La résolution d'un système ne passe pas
nécessairement par les formules de
Cramer.
34
Ta.n9ent:e Hors-série n° 44. Les matrices
y
L'ensemble des points de coordonnées
x, y et z vérifiant l'équation
x - y + 2z = 2 définit un plan P.
On vérifie immédiatement que ce plan
P passe par les trois points (2, 0, 0),
(0, - 2, 0) et (0, 0, 1) sur les axes de
coordonnées, ce qui permet de le
représenter facilement.
DOSSIER: SYSTÈMES LINÉAIRES
l'équation 2x + y + 3z = 0 définit un
plan Q, et 5x - y+ 6z = 6 correspond à
un plan R. Résoudre le système proposé ci-dessus équivaut à trouver les
points communs à ces trois plans P, Q
et R. On en déduit qu'en général , un tel
système a une solution unique (voir la
figure ci-après).
ainsi que les deux matrices colonnes
x-Oet B-m
En appliquant les règles de multiplication des matrices vues précédemment
dans ce numéro, nous obtenons :
X- y + 2z)
AxX = 2x+ y +3z .
(
5x - y +6z
Le système de trois équations à trois
inconnues proposé équivaut donc à une
seule équation matricielle : A X = B.
Cette équation a une solution unique, à
la seule condition que la matrice A soit
inversible (voir l'encadré consacré à
l' inversion et à la résolution). La solution est alors X = A- 1 B, en notant A- 1
la matrice inverse de la matrice A.
Deux plans Pet Q se coupent selon
une droite, à la condition qu'ils ne
soient pas parallèles. Si la droite
d'intersection de Pet Q n'est pas
parallèle au plan R, elle le coupe en
un unique point. Ainsi, en général,
trois plans se coupent en un point.
L'article consacré au sens du déterrninant dans ce même dossier fournit une
méthode systématique de résolution
d ' un tel système et donne une condition numérique pour qu'il ait effectivement une (et une seule) solution.
le lien auec les matrices
En utilisant les opérations s ur les
matrices, notre système peut être
interprété différemment. Pour cela,
considérons la matrice carrée A
suivante :
A-(1
-1 2)
1 3
Nous disposons ainsi de deux méthodes
de résolution. Pourquoi alors en
Inversion et résolution
Considérons l'équation A X= B, où A est une matrice carrée donnée, à n lignes et n colonnes ; B est une
matrice colonne à n lignes (connue également) ; et
X est une matrice colonne inconnue à n lignes.
Supposons qu'une solution X existe, donc que
A X = B. En multipliant cette égalité à gauche par
l'inverse de A, nous obtenons : A- 1 (A X) = A- 1 B.
D'après l'associativité de la multiplication des
matrices, nous en déduisons : (A- 1 A) X = A- 1 B. Or
A- 1 A= I Oa matrice identité), donc IX = A- 1 B, soit
encore X = A- 1 B. Ainsi, si l'équation A X = B a une
solution, cette solution est précisément la matrice
colonne X = A- 1 B.
Réciproquement, considérons la matrice X= A- 1 B.
Cette matrice colonne vérifie : A X = A ( A- 1 B) qui,
par associativité, vaut (A A- 1) B, soit I B, donc B.
Ainsi, X est bien solution de l'équation. Nous en
déduisons que l'équation matricielle A X= Ba une
et une seule solution, à savoir X = A- 1 B.
-1 6
Tangente Hors-série n° 44. Les matrices
35
SAVOIRS
Systèmes linéaires ...
chercher une autre ? Eh bien par
exemple parce que ces deux méthodes
sont souvent lourdes, voire impossibles, à mettre en place. Nous revenons donc à la méthode classique de
résolution des équations, qui consiste à
procéder par analyse et synthèse, sans
s'encombrer de théorie. Même si cette
théorie a ! 'avantage de nous apprendre
qu'en général un tel système a une et
une seule solution ; la condition pour
cela est que la matrice de ce système
soit inversible, autrement dit que son déterminant soit non nul.
On reprend donc notre
système de trois équations linéaires, et on
suppose qu'une solution
existe. On note (x, y, z)
cette solution, et on
combine les trois équations données pour en
déduire x, y et z. Par
exemple, en ajoutant les
deux premières éq uations (d'une part) puis
en retranchant la première à la troisième (d'autre part), nous obtenons les
deux équations en x et z suivantes
3x+ 5z = 2,
{ X+ Z = 1.
En retranchant alors trois fois la seconde équation à la première, nous obte-
36
Tangente Hors-série n° 44. Les matrices
nons 2z = - 1, d'où z = - 1 / 2. En portant cette valeur dans la première équation ci-dessus, on en déduit x = 3 / 2.
L'utilisation de la première équation du
système de départ fournit alors la
valeur de la dernière inconnue :
y= - 3 / 2.
Ainsi, si le système admet une solution, il ne peut avoir qu ' une seule solution, à savoir : x = 3 / 2, y= - 3 / 2 et
z = - 1 / 2. Une réciproque est nécessaire pour affirmer que ces valeurs
fournissent bien une solution du système initial. Pour cela, il s'agit simplement de vérifier que les valeurs trouvées vérifient le système (ce qui est
bien le cas dans notre exemple).
Systématisation
La théorie permet de se passer de cette
réciproque. En interprétant notre résultat de manière matricielle, nous avons
~::l::~:é X
qu: ~,'.g:~
1
: , ~(~:
8
f2)
-1 / 2
En d 'autres termes, l'équation matricielle A (X - X 0) = 0 implique que
X = X 0 . Ceci permet de prouver que la
matrice A est inversible, et donc que X 0
est bien la seu le solution. Dans la
pratique, faire une réciproque est tout à
la fois plus rapide et plus prudent, car
elle constitue éga lement une vérification du résultat. Une erreur de calcul
est toujours possible, en particulier
dans ce domaine.
La méthode qui a été exposée peut être
systématisée. Voyons comment procéder sur un exemple générique, dont les
inconnues sont notées x, y , z, t ... Il suffit par exemp le d'échanger les équations de façon à placer en première
ligne une équation comportant la première inconnue, x. S'il n'en existe pas,
DOSSIER: SYSTÈMES LINÉAIRES
l'inconnue peut tout simplement être
supprimée, puisqu 'e lle n'intervient pas
dans le système ! Le coefficient de x
dans la première équation est alors utilisé comme « pivot » pour détruire les
coefficients de x dans les autres équations, au moyen de combinaisons
linéaires. Sur l'exemple précédent,
cela revient à retrancher deux fois la
première équation à la deuxième, et
cinq fois à la troisième, ce qui donne :
x - y + 2z = 2.
l'équation matricielle suivante :
3y-z=-4.
l
4y -4z=-4.
Considérons à présent les équations à
partir de la deuxième. Elles ne contiennent plus de termes en x, puisque les
opérations précédentes étaient destinées à les supprimer. On recommence
sur elles, avec la deuxième inconnue.
Ici , cela donne :
X- y + 2z = 2,
!
3y-z=-4.
-8z = 4.
Ce système linéaire triangulaire se
résout petit à petit en commençant par
la dernière équation, ce qui fournit les
mêmes valeurs que précédemment. On
démontre de plus que le système obtenu est toujours équivalent au système
de départ, ce qui dispense de vérifier la
propriété réciproque (qui reste cependant toujours recommandée, ne seraitce que pour s'assurer qu'aucune erreur
de calcul n' est venue se glisser dans le
processus).
Loin d 'être la méthode idéale de résolution des systèmes, l'inversion des
matrices s'effectue souvent en réso lvant un système. Par exemple,
pour inverser la matrice M =
Cette équation s'écrit sous la forme du
système de deux équations à deux
X+ 2y = X,
inconnues :
{ 3 x +4y =
y
.
En retranchant deux fois la première
équation à la seconde, nous obtenons
x = Y - 2X. Il vient alors, en reportant
dans la première équation, 2y = 3X - Y.
Ce résultat s'écrit, sous forme matricielle, de la manière suivante :
Nous en déduisons facilement que la
matrice M associée au système est
inversible, et que
1
M-
(•
=
2)-l (-2
l)
3/ 2 - l / 2 .
3 4
=
Les calculs précédents permettent de le
prouver rigoureusement. Une façon
plus simple et plus rapide de procéder
est d'effectuer simplement le produit
2)(-2
1 ) , et de constater
_1
31 2
12
l
(3 4
qu 'i l est égal à la matrice identité
G!) .
une idée simple consiste à résoudre
H.L.
Tangente Hors-série n° 44. Les matrices
37
SAVOIRS
par Hervé Lehning
Comment rentrer dans
e ran
La notion de rang est au centre de l'algèbre linéaire. Simple et
complex e à la fois , elle commande les questions de résolution
des systèmes d'équations linéaires comme celles d'inversion
de matrices. À l'origine de toutes ces notions de rang, on
trouve celle d'un système de vecteurs.
o mme nço ns géométriquement
en nous donnant deux vecteurs
du plan . Trois possibilités se présentent. Si nou s les avons choisis au
hasard, il est probable qu'il s forment
une base du plan.
C
exceptionne l o ù les deux vecteurs sont
nul s, le systè me est dit de rang O car,
par combinaisons linéaires, il n 'engendre que le vecteur nul. Cette définition se générali se à l' espace et aux
espaces vectoriels abstraits : le rang
d ' un système de vecteurs est la dimension de l'espace qu ' il s engendrent par
combinaisons linéaires. Dans l'article
consacré au pivot de G auss, nous
voyons une méthode concrète de calcul du rang d ' un système de vecteurs .
Rang d'une application, d'une matrice
Deux vecteurs du plan formant une
base, donc un système de rang 2.
Autrement dit , tout vecteur du plan est
combinaison linéa ire de ce système.
Pour cette raison, il est dit de rang 2,
qui est la dimension du plan. Si les
deux vecteurs sont colinéaires, il s
engendrent seulement une droite. Le
systè me est alors dit de rang 1, la
dimension d'une droite. Dans le cas
38
Si f est une application linéaire , son
rang est la dimens ion de l' es pace
image. En gui se d 'exempl es, examinons le cas des applicati ons géométriques c lass iques dans le pl an. Les
rotations transforment le plan en luimême, e lles sont donc de rang 2, de
mê me que les tran slation s ou les
symétries, mai s les projections sur des
droites sont de rang 1.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
Quand l'application est définie ainsi
de façon concrète, il est facile de
déterminer so n rang. On examine
comment se transforme l'espace , ou
une base de l' espace si l' on préfère.
L' exercice se complique si la définition est abstraite . On peut alors se
ramener au cas du rang d ' un système
de vecteurs : le rang d ' une application
linéaire est le rang du système image
d'une base . Pour préciser la question,
examinon s le cas de l' application
( 1
linéaire de matricel-1
0
0 2\
I
'J dans une
1 3
base de l'espace. L' image de la base
canonique est formée des troi s vecteurs
colonnes , soit des vecteurs de coordonnées ( l , -1, 0), (0, 1, l)et(2 , 1, 3).
Les deux premiers vecteurs engendrent
un plan puisqu ' ils ne sont pas colinéaires. Le troisième est combinaison
linéaire des deux premiers puisque :
(2, 1, 3) = 2 X (1,-1,Ü) + 3 X (Ü, 1, 1).
li s'ensuit que l' image de l'application
linéaire considérée est un plan (engendré par les deux premiers vecteurs
colonnes) , elle est donc de rang 2.
Rentrer dans le ranu...
Lycéens s' entraînant
à rentrer dans le rang
à lrkousk en Sibérie.
Cl Hervé Lehni ng.
Quel est le lien entre l'expression très militaire de
« rang » et la notion mathématique ? Sans doute
celui de classement : chacun son rang ... Un soldat
du rang est celui de plus bas niveau, les officiers sont
de rang supérieur. Il en est de même des systèmes de
vecteurs et des matrices.
Cette remarque conduit à définir le rang
d ' une matrice comme celui de ses vecteurs colonnes. On démontre qu ' il s'agit
aussi du rang de ses vecteurs lignes
(une démonstration est proposée en fin
d 'article). On en déduit que le rang
d ' une application linéaire est le rang
de la matrice associée. De même , on
peut alors définir le rang d ' un système
d ' équations linéaires comme le rang
de la matrice associée.
le théorème du rang
Une symétrie par rapport à un plan,
comme suggérée sur cette photographie
de colverts, transforme l'espace
en lui-même ; elle est donc de rang 3.
En revanche, la photographie
elle-même réalise une projection
de l'espace sur un plan.
Elle est donc de rang 2.
Une notion n'a guère d'intérêt quand
elle n' est pas au centre d ' un théorème
fondamental, aux applications nombreuses. Dans le cas du rang , le théorème
porte tout simplement le nom de ... théorème du rang . Le voici : « Le noyau
d 'une application linéaire est égal à la
dimension de l'espace de départ diminuée de son rang. »
Par définition , le noyau est l'ensemble
des vecteurs que l'application annule.
En particulier, il s'agit d'un sous-espace
vectoriel de l 'es pace de départ .
Examinons la question dans le cas de
Hors-série n° 44. Les matrices Ta.ngent:e
39
SAVOIRS
Comment rentrer dans le rang
l'application Linéaire associée à la matrice
A =(
1 2
3
2 4 6
) . Son espace de départ est
de dimension 3 et celui d 'arri vée de
dimension 2. D 'après la définition cidessus, son noyau est constitué des vecteurs de coordonnées (x, y, z) te ls que
A 1 (x y z) = 0 ce qui conduit à deux foi s
la même équation , soit x + 2y + 3z =0 .
C'est l'équation d' un pl an, qui est donc
de dimen sion 2 . L' image de l' appli cation est l' en semble des vecteurs de la
forme
l
(1)
1 2 3)(x\
(2 4 6 :Jsoit (x+ 2y + 3z) 2 ,
ce qui correspond à la droite de vecteur directeur de coordonnées ( 1, 2),
qui est donc de dimension l , qui est
ain si le rang de l'application . Sur cet
exemple , la relation annoncée est bi en
vé rifi ée pui sque le noy au est de
dimension 2 , égal à la dimension de
l'espace de départ (3) moin s le rang
de l' application (1 ) (voir l'encadré
Démonstration du théorème du rang
pour une démonstration générale).
Con sidéron s un systè me d 'équation s
homogènes, comme
l
x + y + z = O,
x + 2y + 3z =0 ,
3x +4y +5 z = 0.
Son ense mbl e de solution s est le
noyau de l' application linéaire de
lI 2 3J .
(1
matrice
1
1\
3 4
5
Il s' agit donc d ' un
espace vectorie l dont la dimension est
égale à 3 moins le rang de cette matri ce . Pour le calculer, on peut utili ser la
méthode de Gau ss ; on peut auss i opérer directement sur les li gnes ou les
colonnes. Le rang est égal à 3 si les
vecteurs colonnes sont libres , c'est-àdire si le déterminant de la matrice est
40
no n nul. En utili sant la méthode de
Sarru s, on mo ntre qu 'au contra ire ce
déterminant est nul. Les tro is vecteurs
colonnes sont donc liés. Les deux premiers ne sont pas co linéaires , donc
l' espace image est de dimension 2. Le
rang de la matrice est égal à 2 . On en
déduit que l' ensembl e des solutions
est un espace de dime nsion 1, c ' est-àdire une droite.
Ce renseignement permet une vérification après réso luti o n du système. On
peut également l' utili ser pour conclu re
si l'on remarque que le vecteur de coordonnées (1 , - 2, 1) est so lution. En effet,
un te l vecteur constitue alors une base
de la droite des so luti ons. Les autres
solutions sont les vecteurs de la for me
t x ( 1, -2, 1), soit : x = t , y = -2t, z = t
où t est une con stante arbitraire .
De façon générale, si un système homogène à n inconnues est de ra ng r , l' ense mbl e des soluti o ns est un es pace
vectoriel de dimension n - r.
Équiualence des matrices
L'équi valence des matrices concerne des
matrices de mê mes dimensions. Considérons A et B des matrices à deux lignes
et troi s colonnes pour fi xer les idées.
Elles sont dites équivalentes s' il ex iste
une matrice carrée P d ' ordre 3 in versibl e et une matri ce carrée Q d ' ord re
2 inversibl e te lles que A x P = Q x B .
Les formul es de c hangements de base
montrent que deux matrices sont équi vale ntes si e lles représente nt la mê me
applicati on linéa ire.
Éc lairons la défi niti on et sa caractéri sation par un exemple .
Soient A= (
1 2
3
2 4
6
Les matrices P =
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
l
1 0
) et B = ( O
).
0 0 0
( 1
1
l
o
-1 0
0\
3 J et Q = (
-2
~ ~)
SYSTÈMES LINÉAIRES
sont bien inversibles, comme le montre
le calcul de leurs déterm inants. D'autre
part , e ll es vé ri fie nt bi e n la re la ti o n
de mandée . Ces matri ces P et Q pe uvent être trouvées directement, ou en utilisant la caractéri sati on qui précède .
L'équi va le nce des matri ces possède
une caractérisati on très simple: l'égalité du ra ng . Da ns un sens, le rés ultat
est fac ile : deux matri ces équi vale ntes
o nt mê me ra ng . Ma is la réc iproqu e
est dé li cate.
Décri vons le ra isonneme nt général sur
le cas des matrices A et 8 , qui ont bien
le même ra ng 1. Co nsidérons l'applicati on linéa ire! assoc iée à A dans une
base donnée de l'espace de départ. li
s'ag it de trouver une autre base dans
laq ue lle la matrice defest B. Le noyau
de f est de dime nsio n de ux . Nous e n
considérons une base {i , k} . Ces deux
l l~
(2\
(3\
vecteurs peuvent être ~ I J et
J , par
1
exemple, car il s sont indé pend ants et
é léments du noyau, puisqu ' il s vérifient
l'équati o n x + 2y + 3z = O. On choisi t
a lo rs un vec te ur j te l q ue {i , j, k}
so it une base de l'es pace de dé part.
l~J
( 1\
Ce vecteur peut être
par exe mple
pu isque le détermin ant du systè me est
2
1
3
alors -1 0 0 , qui vaut - 1 et est donc
0
0
-1
non nul. Dans cette base {i, j , k}, la
matrice de J est do nnée par les composantes def(i),f(j) et f(k) écrite dans
un e base de l'espace d 'a rri vée qu ' il
nous reste à cho isir. Les vecteurs f(i)
et f(k) sont nul s. Il suffit de c ho is ir
(
1 2 3)( I\ = (1) comme
u=f(j),soit 2 4 6
l~J
2
Démonstration du théorème du rang
Considérons une application linéaire! d'un espace de
dimension 3 dans un espace de dimension 2 , pour fixer
les idées. Le noyau F def est de dimension o, 1, 2 ou 3.
S'il est de dimension 3, cela signifie que f est nulle,
l'image de f est de dimension o. Le théorème est donc
vérifié. Si le noyau Fest de dimension 2 , il s'agit d'un
plan. On considère alors une droite Gnon incluse dans
F et H l'image de f.
X
1
1
1
1
y
F
I
Si Fest un plan de l'espace et G une droite
non incluse dans F, tout vecteur x de l'espace
se décompose en x y + z où y est sa projection
sur F parallèlement à G et z sa projection sur G
parallèlement à F.
=
On définit une application g de G dans H en posant
g (x ) = J(x) pour tout x appartenant à G. Cette application est linéaire car f l'est. Si g (x) = o, alors J(x) = o
donc x appartient à F, le noyau def. Comme x appartient aussi à G, on en déduit que x = o, ce qui prouve
que l'application linéaire! est injective. Elle est d'autre
part naturellement surjective puisque, si h est un vecteur de l'image H, il existe x dans l'espace de départ tel
quef (x ) = h. En décomposant x sous la forme x = y+ z
où y est dans F et z dans G et en appliquant!, on obtient
f(x ) = j(y) + f(z) , donc g (z) = h puisquef(y) = o et
g (z) = f(z). L'application g est donc surjective, ce qui
implique qu'elle est bijective. Ceci prouve que G et Hont
même dimension 1. Le théorème est vérifié.
Dans le cas où F est de dimension 1, on recommence en
considérant G un plan ne contenant pas F. Le cas F de
dimension o est impossible car il signifierait que l'espace d'arrivée a même dimension que celui de départ,
ce qui est faux.
premier vecteur de base, et de compléter
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
41
SAVOIRS
Comment rentrer dans le rang
Rang et zéros d'un déterminant
X
Prenons l'exemple du déterminant D(x) = x
2
par un vecteur v tel que {u, v} so it une
base de l'espace d'arrivée. Le vecteur
X
2
x
On peut facilement le calculer en utilisant la règle de Sarrus, ce qui ne montre pas comment il se factorise. On peut
également remarquer que D(l) est nul car ses trois lignes
sont égales, et il en est de même de D(-1). Comme D(x)
est manifestement un polynôme de degré 4 , on en déduit
qu 'i l est multiple de (x- l)(x + 1) . Un calcul plus préci s
montre que D(x) = (x - 1) 3 (x + 1).
Une question se pose alors : pouvait-on prévoir ces exposants ? Pas totalement , mais la réponse est liée au rang des
matrices sous-jacentes. Prenons le cas de A(l), la matrice
correspondant à D(l ). A(l) est de rang l pui sque toutes
ses lignes sont égales. A( l) est donc équivalente à la matrice
( 1 0
o,
l 0) .
O O
Ceci signifie qu ' il existe deux matrices inver0 0 0
sibles P et Q telles que A(l) = PBQ . Considérons alors
B(x) = p- 1 A(x) Q- 1, soit A(x) = P B(x) Q . En passant aux
déterminants, il vient: D(x) =det(P) det[B(x)] det(Q). Les
règles de calcul des déterminants montrent que les coefficients de B(x) sont des polynômes en x. Comme ils s'annulent tous en 1,
sauf celui en première ligne et première colonne, il s
sont tous multiples
de x - l , ce qui
prou ve que x - 1
peut être mis en facteur des deuxièmes
et troisièmes lignes
de det[B(x)]. Autrement dit , ce déterminant , e t don c
D(x), est multiple
de (x - 1)2 . Ainsi,
un simple calcul de
rang permet de prévoir qu e D (x) est
Rangs de bambous à la
multiple de
(x- 1)2 (x + 1).
bambouseraie d' Anduze.
42
(~)convie nt.Dans la base {i,j, k} de
l'espace de départ et la base {u, v} de
l'espace d'arrivée, la matrice def est donc
(0o 0I o)0 ,ce qui.prouve que A et Bsont
éq ui va lentes. Le raiso nnement appliqué dans ce cas particulier est général ,
ce qui prouve le rés ultat.
Nous e n déduisons que s i une matrice
est de rang 1, e lle est éq ui valente à la
matrice dont la première co lonne est le
vecteur de coordonnées ( 1, 0 ... 0) et les
autres nulles puisque celles-ci est manifestement de rang 1. Si une matrice est
de rang 2, e ll e est équiva le nte à la
matrice dont les deux premières colonnes
sont les vecteurs de coordonnées
( 1, 0, 0, ... , 0) et (0, 1, 0, ... , 0) et les
autres nulles, et a in si de su ite pour les
matr ices de rang 3, 4, etc. Une telle
matrice a la parti c ul a rité d'avoir le
même ra ng que sa transposée.
Cette propriété se transporte ai ns i à
toute matrice. Soit A une matrice, e lle
es t éq ui va le nte à une matrice B du
type précédent : A x P = Q x B . En
transposant cette éga lité, o n obt ient :
1
P x 1A = 18 x 1Q, ce qui prouve que les
transposées de A et B so nt équivalentes. Or B et 1B o nt même rang, donc
A et 1A auss i. Toute matri ce a le même
rang que sa transposée , donc le rang
des vecteurs li g nes est cel ui des vecte urs co lo nnes.
H.L.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
EN BREF
par Jean-Alain Roddier
Petits problèmes liés à l'inuersion
d'une matrice carrée
l'inuersion d'une matrice carrée permet de résoudre
de nombrem1 problèmes, acommencer par les systèmes
« de Cramer » de néquations indépendantesaninconnues.
le calcul de l'inuerse
Permuter les éléments
d'une matrice
A est la matrice (: !) .
Par quelle matrice devons-nous la multiplier
pour obtenir une permutation circulaire de
ses éléments dans le sens des aiguilles d 'une
montre ?
Soit A une matrice carrée d'ordre n. In verser A, c'est trouver
une matriceA· 1 telle que: A"1A = AA-1 = I,,où 111 est la matrice
identité d 'ordre n, qui comporte des « 1 » sur la diagonale et
Le problème consiste à trouver une matrice
X (si elle existe), telle que :
des « 0 » partout ai lleurs. On sait déjà que A-1 ex iste si et seulement si le déterminant de A, noté Det(A), est non nul.
Dans ce cas , cet inve rse est unique , et on peut l'exprimer à
l'aide de ce qu ' on appelle les « déterminants partiels » . Pour
A matrice carrée, o n appell e déterminant partiel de rang
On peut considérer l'égalité précédente comme
une équation, d'inconnue X.
(i,J) , noté Du, le déterminant de la matrice d'ordre (n - 1) obtenue en supprimant de la matrice A la ligne i et la colonne).
Alors , l'inverse de A est la matrice B d'ordre n dont l'élément
bu, itué à l'intersection de la i-ème ligne etde laj-ème colonne
(- Jy+ i D ..
'} .
b =
• Si A est inversible, il suffit de multiplier
chaque membre (à gauche) par A-1, ce qui
donne :
est:
1
'
Det(A)
Dans le cas n = 2 o u 3, o n reconnaît, pour les solutions du
système d'équations AX = B , les formules , dites de Cramer,
Le calcul de l'inverse donne
en posant X =A- 18.
1 (
A"'=---
Trouuer l'inuerse
â e a Cayley-Hami ton
d -b)
a ·
ad-be - c
Tous calculs faits , on trouve :
1
( de - bd
X= ad - be~ ad - c
Le théorème de Cayley- Hamilton établit que si PA(X) est le polynôme caractéristiq ue d'une matrice A d'ordre n, alors
PA(A) = 0 , où PA(A) est la matrice obtenue e n remplaçant X
par la matrice A et la consta nte e par cl,, dans le po lynôme
caractéristiq ue de A.
2
da - b 2 \
ab - ea) ·
Remarque :on peut, de même , trouver une
1
unique matrice Y= (: :) A· (différente de
X) telle que :
Si A est inversible , on montre que cette constante e est non
nulle. Ceci nous permet , à partir de l'éga lité P A(A) = 0, de
l'isoler dans un des membres et d'en déduire l'inverse de A en
fonction de A.
Ainsi, si le polynôme caractéristiq ue d'une matrice carrée
d 'ordre 2 est P(X) = X 2 + SX + 7 , le théorème de Cayley-
• Si A n'est pas inversible, c'est que les deux
lignes sont proportionnelles.
A s'écrit par exemple: ( a
ka kb
avec k O.
'*
b),
Hamilton affirme que A2 +SA+ 712 = O.
On )'écrit : A2 +SA= - 71 2 ou encore A (A + 512) = - 712 .
L' inverse de A est donc la matrice
-1
On montre alors que la matrice X existe si
b =ka . Nou vous laissons poursuivre .. .
7 (A+ 512).
Hors-série n• 44. Les matrices Tcingente
43
SAVOIRS
par Bertrand Hauchecorne
les nombres comple,ces
comme ensemble de matrices
Au début des années 1970, les mathématiques modernes
faisaient rage : dans le programme de terminale C, o n
définissait les nombres complexes à l'aide des matrices. De
nos jours, elles ne sont abordées que dans l'enseignement
supérieur. Comment une telle idée a-t-elle pu venir à des
pédagogues, voici quarante ans ?
i la méthode prônée par les
« mathématiques modernes »
n ' est pas pédagogique , elle est
pourtant très séduisante. Présentonsla avant de réfléchir à sa philosophie .
Considérons les matrices carrées suivantes d ' ordre 2 :
S
M •.b = ( :
-:) , où a et b désignent des
nombres réels. Il est clair que cet ensemble
G de matrices définit un sous-groupe
additif de l'ensemble Mi (!RI) des matrices
carrées à coefficients réels. Le produit
des deux matrices Ma ,b et M c,d de ce
type est la matrice M ac-bd,ad+bc ·
On remarque l'analogie avec les complexes , pu isque le produit
(a+ ib)(c +id)= ac - bd+ i(ad + be).
C'est pourquoi, si l'on définit l'application
f de IC dans G par f(a + ib) = M a,b et si
l'on note z = a + ib et z' = c + id , on
obtientf(z + z') =f(z) + f(z') et
f( zz') = f(z)f(z'). Comme, de plus,f est
bijective (c'est-à-dire qu 'à chaque nombre
44
complexe z correspond un élément et
un seu l de G),f transporte les opérations de IC sur ce lles de G. On appelle
ce phénomène un isomorphisme. Mathématiquement , les deux ensembles ont
exactement les mêmes propriétés. On
peut donc les identifier. Il reste à comprendre pourquoi ceci « marche » bien .
les complexes et les rotations
On doit à Jean-Robert Argand la configuration plane des nombres complexes ,
mais cette vision s'est développée après
1820 (voir en encadré). L' un des intérêts de cette représentation est de voir
quel 'on peut assimi ler le plan euclidien ,
muni d ' un repère orthonormé, à l'ensemble des nombres complexes. Ainsi,
au point M de coordonnées (a, b) dans
ce repère , on associe le nombre complexe z = a+ ib appelé affixe de M. De
nombreu ses propriétés en découlent.
Ainsi, si z et z' sont les affixes de M et
Tcingente Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
M', z + z' est celle du point N tel que
OM + OM ' =ON. Par ailleurs, le module
de z correspond à la norme (c'est-à-dire
à la longueur) de OM . On transforme
ai nsi les opérations vectorielles en opérations dans un ensemble de nombres.
Cependant, l'addition dans les complexes
est la même que celle dans IR 2 , et ce que
nous venons d 'énoncer n'a rien de surprenant. Le plus intéressant concerne la
multiplication par un nombre complexe.
S ' il est de module 1, on sait qu ' il peut
s'écrire u =e;o_ Multiplier un complexe
z, affixe du point M , correspond à appliquer à M une rotation de centre O et
d'a ngle e. Ainsi, la multiplication par
i =é 712 n'est autre qu ' une rotation d'angle
:n:/2 ou, si l'on préfère, de 90° . Prenons
un autre exemple avec
Jï /2 + iJï / 2 = eird4
et M d 'affixe z = 1 + i. Considérons N
d 'affixe z ' =eird4 z = iFz.
C'est bien l' image de M par la rotation
de centre O et d'angle :n:/ 4.
De la même faço n, il est clair que multiplier un nom bre comp lexe z par un
réel positif correspond géométriquement à opérer une homothétie de rapport
r. Plus généralement , la multiplication
de z par un nombre u = re;o induit une
similitude de rapport r et d'angle e, c'està-dire la composée d ' une rotation d 'angle
et d ' une homothétie de rapport r
(ou inversement) .
e
Regardons ce qu'il se passe au niveau
matriciel. Si u = re;o =a+ ib, la rotation
cose -sine) ;
d 'angle ea pour matrice ( .
sine
cose
quant à la similitude de même angle et
de rapport r, sa matrice est
M =(
( ab
rcose
rsine
.
-rsine) , donc de la forme
rcose
-b). Ainsi nous voyons qu 'à chaque
(I
complexe non nul u = re;o =a+ ib correspond une simili tud e de centre 0 ,
la vision plane des complexes :
toute une histoire I
Si, de nos jours, les nombres complexes nous semblent attachés au plan, il fallut deux siècles pour
introduire cette vision géométrique. John Wallis en
avait bien eu l'idée sans toutefois faire le lien entre
les opérations sur les complexes et les transformations géométriques.
Le Danois Caspar Wessel est le premier en 1797 à
écrire un essai sur ce thème. Publié deux ans plus
tard dans son pays, son article passe totalement
inaperçu. Il faut attendre 1897 pour que Sophus Lie
le retrouve et le fasse publier en français.
Entre temps, Jean-Robert Argand publie à compte
d'auteur, sans mentionner son nom, un Essai sur la
manière de représenter les quantités imaginaires
dans des constructions géométriques. Il l'envoie à
Legendre, qui le transmet au mathématicien François Français. Celui-ci meurt peu après. Par chance,
son frère le trouve et le fait publier dans le Journal
de Gergonne, en précisant que l'auteur en est inconnu.
Argand dévoile alors sa paternité.
unique , notée Su, de telle sorte que l 'affixe de l' image d ' un point M par Su so it
le produit de u par l'affixe de M . On
retrouve un phénomène d ' isomorphisme .
On peut donc identifier les deux ensembles
IC et G. Non seulement ils sont en bijection , mais les opérations sur l' un et sur
l'autre se correspondent. On a ai nsi transformé un problème de géométrie en des
opérations élémentaires sur un ensemble
algébrique.
Poursuivant cette idée, William Hamilton a longtemps cherché un ensemb le
de nombres qui puisse de la même façon
représenter les rotations de l'espace par
une multiplication. Il a ai nsi introduit
les quaternions. Cet ensemble n'est pas
commutatif: rien d ' étonnant , le produit
de deux rotations de l'espace ne commute pas en général !
B.H.
Hors-série n° 44. Les matrices Tc:ingent:e
45
par Bertr
h cor
Propriétés affines
et propriétés métriques
En géométrie, les notion s de droites, de plans, de
parall é li sme , d'intersection , peuvent se défi nir
sans faire appel à des longueurs ou à des angles :
on parle de propriétés affines. Lorsqu'on ajoute la
notion de di stance , qui entraîne celle d 'angles, on
traite de propriétés métriques.
Ainsi, la définition d ' un parallélogramme , obtenu
comme intersection de deux couples de parallèles,
relève de l'affine . Celles de rectangle ou de carré
est du ressort de la métrique , pui squ 'on doit introduire la notion d 'angle droit ou d 'égalité des côtés.
La théorie des espaces vectoriels formalise la géométrie affine. Pour introduire les propriétés métriques,
il faut lui ajouter la notion de produit scalaire.
Au lycée, on définit le produit scalaire de deux
vecteurs comme un nombre réel correspondant au
produit de la longueur de l' un d 'entre eux par celle
de la projection orthogonale de l'autre si les deux
sont de même sens, par son opposé sinon. Réciproquement, si on connaît le produit scalaire, on
récupère la notion de longueur en prenant la racine
carrée du produit scalaire par lui-même et le cosinu s d ' un angle en divi sant le produit scalaire des
deux vecteurs par le produit de leur longueur.
Dans le cadre axiomatique de la théorie des espaces
vectoriels introduite par Peano , on appelle produit
scalaire une fonction bilinéa ire f, qui associe à
deux vecteurs ü et v un nombre réel, de telle sorte
que s i le vecteur ü n'est pas nul,f(ü, ü) > O.
On en déduit les notions d 'ang les et de longueur
(on parle de norme d ' un vecteur) comme expliqué
précédemment.
On peut ainsi intégrer la géométrie métrique dans
le cadre des espaces vectoriels , qui , s' il s sont de
dimen sion finie, sont alors bapti sés euclidiens en
l' honneur d 'Euclide qui , le premier, avait défini ,
troi s siècles avant Jésus Chri st , une axiomatique
de la géométrie associant tant les propriétés affines
que métriques.
46
André-Louis Cholesky
Oui était CholeskY ?
Durant de nombreuses années, le monde mathématique ignorait à qui l'on devait le nom de la « décomposition de Cholesky » (voi r dans le dossier sui vant).
Lors d ' un congrès mathématique au Japon , l' un des
participants s'écri a « Mais qui est donc Cholesky? »
Personne ne sut lui répondre ...
Le compte rendu de la séance tomba sous les yeux
d ' un étudiant de l'Université de Bordeaux . Il reconnut le nom des voisins de ses parents à Montguyon ,
en Charente-Maritime. Après une enquête, il découvrit que Pierre-Loui s Cholesky éta it bien en famille
avec ces gens- là.
Fils de restaurateurs , Cholesky est entré à !' Éco le
polytechnique en 1895 . À sa sortie, il intègre l'armée.
Affecté à la section géodés ique du service géographique, ses aptitudes théoriques sont vite remarquées
et ses idées nouvell es très appréc iées. Pour améliorer les méthodes dans cette branche, il est amené à
étudier des systèmes d 'équations linéa ires. Il met au
point un procédé de résolution, qui nécessite la décomposition matricielle qui porte désormais son nom. Il
poursuit ses activités en Crète , en Afrique du Nord
pui s en Roumani e durant la Première Guerre mondiale. Revenu en France, on l' envoie sur le front, où
il tombe deux mois avant l'armistice à l'âge de 43
ans . Ses travaux sont publiés de manière posthume,
en 1924, dans le Bulletin géodésique, sous le titre
de Procédé du commandant Cholesky.
Tangente Hors-serie n°44. Les matrices
EN BREF
par Bertrand Hauchecorne
Transposée
d'une matri,e
Matrices symétriques
et antisymétriques
La transposée 'M d'une matrice M ayantp lignes
et n colonnes s'obtient e n échangea nt ses lignes
et ses colonnes. Ainsi 'M possède n li gnes et p
colonnes et le terme de la /me li gne et la /-me
colonne de M devient celui de la/-me ligne et la
/me colonne de 'M .
On appelle matrice symétrique une matrice
carrée égale à sa transposée . Elle est donc
invariante par sy métrie par rapport à la diago nale , ce qui explique bien sûr son nom .
Les matrices diagonales sont des cas particuliers
de matrices symétriques .
Exemple: si M = ( ~
4 5\
! !) ,
(l
4\
alors 'M = l ~
~ J.
! ~J
est une matrice symétrique .
Si la matrice est carrée, la transposition correspond à intervertir les termes symétriques par
rapport à la diagonale. L'opération qui transforme Men 'M est involutive, c ' est à dire que
la transposée de 'M n'est autre que ... M !
Diverses propriétés se conservent par transposition ;
c'est le cas du rang pour toutes les matrices,
rectangu laires ou carrées : rappelons que le rang
d'une matrice est la dimension de l'espace vectoriel engendré par les colon nes de la matrice,
c ' est-à-dire le nombre maximum de vecteurs
libres que l'on peut trouver parmi ces co lonnes.
Pour les matrices carrées , le déterminant , le
polynôme caractéristique, les valeurs propres,
sont conservés par transposition. De plus une
matrice est semblable à sa transposée; en d' autres
termes , si M est la matrice d'une application
linéaire u dans une base , il existe une autre base
dans laquelle sa matrice est 'M.
Le théorème spectral affirme que toute
matrice symétrique est diagonalisable, et, qui
plus est, à l'aide d ' une matrice de passage
orthogonale.
On peut l'exprimer matriciellement : étant
donné une matrice symétrique S , il existe une
matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que S = P D 'P, où 'P = P- 1.
On appelle matrice antisymétrique une matrice
carrée égale à l'opposée de sa transposée.
Une conséquence est qu'elle ne comporte que
des « 0 » sur la diagonale.
( 0
4
-5\
~J
Ainsi,A=l-4 ~
5
6
est une matrice antisymétrique.
Pour toute matrice carrée M, (M + 'M) / 2 est
une matrice symétrique tandis que (M - 'M) / 2
est antisymétrique. On en déduit que toute
matrice carrée M se décompose de manière
unique en la somme d'une matrice symétrique
et d'une matrice anti symétrique .
Il suffit d'écrire:
M = (M + 'M)/2 + (M-'M)/2.
Hors-série n• 44. Les matrices Ta.n9ent:e
47
SAVOIRS
par Bertrand Hauchecorne
le théorème de
Cayley-Hamilton
Pivot de la réduction des endomorphismes, le théorème de
Cayley-Hamilton porte le nom de l'astronome et mathématicien
William Hamilton et de l'algébriste Arthur Cayley. Pourtant, la
première démonstration générale est due à l'Allemand Georg
Frobenius en 1878.
n endomorphisme est une application linéaire d' un espace vectorie l dans lui-m ê me . Son
expression dan s une base, ou la donnée
de sa matrice, ne permet en général pas
de le « visualiser » simplement , a fortiori de ('étudier.La réduction des endomorphi sme s consiste à déco mpo ser
l'espace en sous-espaces vectoriels en
sommes directes, sur lesquel s l'endomorphi sme est le plus « simple » possible (vo ir la partie suivante de ce hors
série). La matrice de l'endomorphi sme
dans une base respectant ces sous-espaces
vectoriels est alors très « simple » ; au
mie ux e lle est di ago nal e (c'est-à-d ire
aya nt des O en dehors de la diagonale),
sinon e ll e contient beaucoup de O e n
dehors de la diago nale .
U
Une uue géométrique
Prenons l'exemple d' une symétries par
rapport à un plan P de l'espace (noté E).
Si on décompose E en la somme P + D,
48
où P désigne le plan de la sy métrie et D
la droite parallèlement à laquelle on effectue la sy métrie, la restriction de s à P est
l' identité et celle des à D est l'opposé
de l' identité. L'endomorphi sme se paraît
dès lors d ' une expression très si mpl e
dans cette décomposition : en choi sissa nt une base dont les deux premiers
vecteurs sont dans P et le troi sième dans
D, la matrice des est di agonale avec respectivement 1, 1, - 1 sur la diagonale.
On est ainsi amenés à rechercher les vecteurs u colinéaires à leur image, c'est-àdire vérifiant! (u) = Àu où À désigne un
nombre réel. Un te l vecteur s'appelle un
vecteur propre et À une valeur propre. Pour
trouver cette dernière , il suffit de chercher les réels À pour lesq ue ls f- ÀldE
s'annule pour des vecteurs non nul s. On
calcule alors le déterminant de f- ÀldE
en considérant À comme une inconnue.
Le polynôme en À obtenu s'appelle le
polynôme carac1éris1ique de f. Son degré
est éga l à la dimension de l'espace, et
ses racines sont les valeurs propres. Dans
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
la pratique, o n calcule le déterminant en
utilisant une matrice M représentantf. Ce
polynô me s'appe lle do nc aussi le polynôme caractéristique de M . On en déduit
d'autre part que ce polynôme ne dépe nd
pas de la base da ns laque lle o n ex prime
la matrice def. En d'a utres termes, deux
matrices semblables o nt le mê me po lynôme caractéristique !
Donnons un exemple: considé rons !'endomorphisme f de IR 2 défi ni par
f(x,y) = (2x +y; x + 2y) . La matrice de
f da ns la base usue lle de IR 2 est do nc
M = (~ ~). La matricedef-À.l~ , s'écrit
2
(
~ ). 2 ~ ).) , donc son po lynô me carac-
téristique est À. 2 - 4À. +3. Les rac ines e n
sont 3 et 1 ; ce sont les vale urs pro pres.
O n remarque a lors que u = ( 1, 1) vé rifie f(u) =3u et que v =(1, - 1) satisfait
àf(v) = v. Les vecte urs u et v sont de ux
vecteurs propres . Le couple (u , v) fo rme
une base dans laque lle la matrice de f
.
s'écnt N =
(30 0)
1
•
C'est une matrice diago na le.
Po int d 'orgue de cette théorie, le théorè m e d e C ay ley- H a milton a ffirm e
qu 'étant do nnée une matrice carrée M ,
s i l'o n re mpl ace À. pa r M da ns l'express io n de son po lynô me carac té ri stique, o n o btie nt O. Da ns ce calc ul , le
terme consta nt (no té a) du po lynô me
es t re mpl acé pa r al , o ù l dés ig ne la
matrice ide ntité. On dit que le po lynô me caracté ri stique de M est un polynôme annulateur po ur M .
Vé rifi ons ce calc ul sur no tre exemple:
M 2 - 4M + 31 =
(! :)-4(~ ~)+3(~ ~)=o
Le théorè me est vé ri fié !
Georg Frobenius,
un mathématicien II normal II
Georg Frobenius est fils de pasteur. Il étudie dans
les universités de Gêittingen et Berlin où il suit les
cours de Kronecker, Kummer et Weierstrass. Son
doctorat en poche, il enseigne d'abord en lycée puis
à l'Université de Berlin et enfin à l'École polytechnique
de Zurich. Il s'intéresse à la théorie des groupes, considérée en elle-même et non comme un outil. Dans ce
cadre, il démontre en 1874 les théorèmes de Sylow puis,
se tournant vers l'algèbre linéaire, celui de CayleyHamilton en 1878.
Par la suite, il s'intéresse à la théorie des corps et à
celle des algèbres. Il démontre dans ce domaine plusieurs résultats importants, parmi lesquels le théorème qui porte désormais son nom : toute algèbre de
dimension finie sur IR, sans diviseur de zéro, est isomorphe à IR, à C ou au corps non commutatif des
quaternions d'Hamilton.
Hamilton et ses quaternions
A u dé but du XIXe s iècle, Arga nd propose de représenter les nombres complexes
sur un plan muni d ' un repère orthonormé
(0 , u , v) . Ainsi on assoc ie au point M de
coordonnées (x, y) dan s ce repè re le
nombre complexe z = x + iy, que l' on
a ppe lle l'affixe de M . La mu ltip licatio n
pa r le compl exe z = e;;, correspond à
opé re r une rota tion d 'ang le À.. A stronome et mathématicien William Hamil ton cherche à généra li ser cette propriété
pour les rotations de l'espace . Il écho ue
d 'abord e n c he rc ha nt à con struire un
e nsemble de nombres de dimens ion 3,
comme celui des complexes est de dimens io n 2. Souda in il a l' idée d ' introduire
un espace de nombres de dime nsion 4 .
Il re ma rque e n effet qu ' il fa ut qua tre
pa ra mè tres pour dé finir une rota ti o n
d 'axe passant par l' origine: trois po ur
définir un vecte ur de l ' axe, et un dernie r
pour l'angle. Se promenant tranquillement
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
49
SAVOIRS
Cayley-Hamilton
Démonstration du théorème
Pour démontrer le théorème de Cayley-Hamilton, il
suffit de montrer que le polynôme caractéristique
d'une matrice est annulateur pour celle-ci. Plaçonsnous sur le corps des nombres complexes. Nous savons
alors que toute matrice est semblable à une matrice
triangulaire supérieure. Il suffit donc de montrer le
résultat pour une telle matrice (notée M) et d'ordre
n. Supposons d'abord que M possède une valeur
propre unique, notée À.. Alors M - À.In est triangulaire
supérieure avec des zéros sur la diagonale. Elle est
nilpotente d'ordre n, donc (À.I - M)" est la matrice
nulle, ce qui montre le résultat pour cette matrice.
Prenons maintenant M triangulaire quelconque.
Notons\, À. 2 , • •• , À.P les termes diagonaux distincts et
µ 1 , µ 2 , • •• ,µ/leurs nombres d'apparitions respectifs ;
appelons un endomorphisme de matrice M dans
une base. Le polynôme caractéristique de M est clairement P = (\ - X)µ ,(À. 2 - X)µ2 • •• (À.P - XYP. Par le
théorème de décomposition des noyaux, on sait que
le noyau Ker(P(f)) est la somme directe des espaces
F; = Ker (À.; - JYi et que ces espaces sont stables par
f En choisissant une base adaptée aux sous-espaces
F;, la matrice N def dans cette base est composée de
blocs, à cheval sur la diagonale, de matrices N; triangulaires supérieures d'ordre µi avec un même terme
À; sur la diagonale. Par ce qui précède, on déduit que
(À; - NiYi est la matrice nulle. Il est clair alors que
(\ - N)'', (À. 2 - NY 2 ••• (À.P - N)µP est nulle également.
Comme M et N sont semblables, P(M) est nul aussi,
ce qui achève la démonstration. Une matrice réelle pouvant être considérée comme complexe, le théorème
est prouvé pour ces matrices.
avec son épouse ce 16 octobre 1843 , il
court soudain graver sur le Brougham
Bridge la notion de produit qu ' il vient
d ' inventer : les quaternions étaient nés !
Dix ans plus tard, Hamilton fait paraître
un ouvrage, Lectures on Quaternions, dans
lequel il étudie les propri étés de ces
nombres et leur utili sation pour la description des transformations de l'espace.
C'est dans ce cadre, e n recherchant
l'ex press ion de l' inverse d ' un quater-
50
nion , qu ' il dé montre que ces tran sformation s et leurs itérées vérifient une
équation. Cependant, il n'énonce aucun
théorème général.
Cayley et les matrices
Après avoir utili sé les matrices comme
des tableaux de nombres pratiques à
manier pour l'étude des systèmes linéaires,
Arthur Cayley se rend compte que l'on
peut les sortir de le ur contexte et les
appréhender comme des é léments d ' un
ensemb le. On peut alors les manier en
quelque sorte comme des nombres, en défini ssant dessus des opérations de somme
et de produit. En 1858 , il publie cette
nouvelle approche dans un article inti tulé A Memoir on the Theory of Matrices.
Il s'aperçoit que chaq ue matrice « véri-
fie une équation algébrique de son propre
ordre » (c'est bien sûr le polynôme caractéristique) et s'émerveille alors d 'avo ir
trouvé un « remarkable theorem » , qu ' il
considère comme le point central de sa
théorie et qu ' il énonce ainsi:
« The determ inant, having for its matrix a
given matrix less the same matrix considered as a single quantity in volving th e
matrix unity, is equal ta zero. »
Le déterminant dont la matrice est une
matri ce donn ée moins la même matri ce
considérée co mme un e simple quantité
associée à la matri ce unité est égal à zéro .
On sent bien Cayley mal à l'aise pour
énoncer ce résu ltat. En effet , au lieu de
ca lculer le déterminant de M -À. I , pui s
de remplacer À. par M , comme nous le
faisons de nos jours, il pl ace directement M dans la matrice en la considérant comme une « quantité si mple » (« a
single quantity ») c ' est-à-d ire comme
un nombre .
Dans son énoncé , Cayley ne fai t auc une
référence à la taille n de la matrice. Pour
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
SYSTÈMES LINÉAIRES
1
la démo nstration, il se place avec une
matrice M =(:
;) d 'ordre n =2. Il cal-
cule le déterminant de (
0
-
b
M
c
d-M
),
so it M 2 - (a+ d)M + (ad - bc)M 0 . En
posant M 0 = 12 , on vérifie aisément par
le calcul que l'on obtient la matrice nulle .
Cay ley affirme alors avo ir montré ce
résultat pour n = 3 et soutient enfin qu ' iI
n'est pas nécessa ire de le prouver dans
le cas général.
Un exemple explicite
Considérons l'endomorphisme f de défini par
J(x, y , z) =(2X + y + z, x + 2y + z, x + y + 2Z).
Un calcul facile montre que le polynôme caractéristique est P = (1 - X) 2 (4 - X).
Les valeurs propres sont donc 1 et 4.
L'image du vecteur u 1 = (1, 1, 1) est (4, 4, 4) = 4(1, 1, 1),
ce qui montre que u 1 est un vecteur propre associé à la
valeur propre 4.
Par ailleurs, six+ y+ z = o, alorsf (x, y, z) = (x, y, z)
donc l'espace propre associé à la valeur propre 1 est
le plan d'équation x + y + z = o.
En choisissant une base (u 2 , u 3) de ce plan, on obtient
une base (ui> u2 , u3) de l'espace, dans laquelle la matrice
N de f est diagonale avec respectivement 4, 1 et 1 sur
la diagonale.
Il est immédiat de constater que (41 3 - N)(I 3 - N) est
nul. Ainsi le polynôme minimal (1- X)(4 - X) divise
le polynôme caractéristique (1 - X)2(4 - X), comme
l'avait démontré Frobenius.
en 1878 la première démonstration
rigo ureuse du théorème de CayleyHamilton dans le cas général.
Ferdinand Georg Frobenius
(1849-1917).
Georg Frobenius
et la rigueur allemande
Moins conn u que les deux mathématiciens précédents, moins original et
moins excentrique aussi, l 'A llemand
Georg Frobenius est un mathématicien
conscienc ieux qui s'attac he à développer des théories rigoureuses. Il est
amené à reprendre la théorie de Cayley
dans le cadre de l'étude des formes bi linéaires symétriq ues . Il justifie et complète les résultats é noncés par son
prédécesseur. C'est ains i qu'il fournit
En fait, le polynôme caractéristique n'est
pas le seul polynôme an nul ate ur d ' un
endomorphi sme ou d ' une matrice . On
montre qu ' il existe un polynôme unitaire unique annu lateur de degré minimal. Alors les polynômes ann ul ateurs
sont exactement les multiples de ce polynôme, appelé polynôme minimal. Le
théorème de Cayley-Hamilton revient
alors à dire que le polynôme minimal
d ' un endomorphisme (ou d'une matrice)
divise so n polynôme caractéristique.
Frobenius démontre que ces deux polynômes possèdent en fait les mêmes facteurs irréd uctibles, ceux-ci pouvant
apparaître avec un exposant inférie ur
dans le polynôme minimal que dans le
polynôme caractéristique .
B.H.
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
51
SAVOIRS
par François Lavallou
les fonctions
homographiques
Fonction clef de la géométrie projective, la fonction
homographique reste étudiée au lycée sous une forme
cachée, sans jamais en montrer le lien avec les matrices.
Elle suscite pourtant un intérêt nouveau et est au cœur de
recherches mathématiques modernes.
e la désintégration des programmes scola ires, due a u
souc i de ne pas confro nte r
notre progéniture à la traumatisante
expé rie nce d ' un effort inte llectue l, ne
subsiste nt que des notio ns parcella ires
de constructio ns mathé matiques cl assiques. Des ruines de ces monume nts
é merge la fo nction homographique , o u
fo nction de Mobius, qui n 'est rie n
d 'a utre , d ans la m ajorité des cas ,
qu ' une .. . hyperbo le camo uflée .
D
Hyperboles cachées
Rappe lo ns que lques propriétés ana lytiques des équation s de coniques. Une
co nique est une courbe pla ne do nt
l'équatio n générale , dans un repè re
R(O , x , y ), est du second degré:
a x 2 + b x y + c y2 + d x + e y + f = 0 .
Si un po int (x, y) de cette courbe peut
s'élo ig ne r à l' infini , les te rmes du
52
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
second degré ax2 + b.xy + cy2, qui sont
vite pré pondérants dans l' équatio n de
la conique, do ivent être de somme
null e .
Pui sque
ax 2 + bxy + cy2
2
= (a + bp + cp2)x , avec p = y/ x, la
directio n p dans laque lle un po int peut
« partir à l' infini » do it alors être solutio n de l' équati on du second degré
a + bp + cp 2 = O. Son di scrimina nt
~ = b2 - 4ac caracté ri se le type de
conique:
• si~ < 0 , pas de d irection à l' infi ni, la
conique est une e llipse ;
• s i~= 0 une seule d irectio n à l' infi ni,
la conique est une parabole d ' axe
parallè le à cette direction ;
• s i ~ > 0 de ux directi o ns sont poss ibl es à l' in fi ni , qui re prése nte nt
ce ll es des asy mpto tes d ' une hy perbo le .
Cons idérons la plus simple des équati o ns d ' une hy pe rbo le , celle d ' une
hy pe rb o le équil atè re : x y = 1. Ses
SYSTÈMES LINÉAIRES
asymptotes sont les axes du repère.
Ell e est souvent présentée sous la
fo rme fo nctionnelle y= f (x) = 1 / x.
Les mathématiques sont l'art du di scernement et s'attachent au fo nd plutôt
qu'à la forme. Si nous effectuons une
translation de vecteur (a, ~) et une
homothétie de rapport 1 / k sur notre
hyperbole équil atère, sa fo rme ne sera
pas changée, contrairement à son équa.
.d .
R
kz
,
twn, qui ev1ent y = JJ + - - , c estx- a
, d'1re y = Bx + k2 - aB . L e cas gene, ,
ax- a
ra i des courbes d'équation y= ax + b.
cx + d
représente donc des hyperboles équil atères, auxquelles sont ajoutées des
droites (pour c = 0). Depui s Michel
Chasles ( 1793- 1880), ces fo ncti ons
so nt dé nommées homographies, du
grec homos ( « semblable ») et grafein
(« écri re, dessiner »), car l'hyperbole
admet une symétrie centrale et possède
deux branches identiques.
Il est mani fes te que la fo nction homographique
f (x) = ax + b
cx + d
est entière-
Composition de fonctions
homographiques
Calculons la composition des deux fonctions homographiques J( x )= ax+b et g (x )= a 'x +b ' Par définicx +d
c 'x +d '
tion , nous avons (Jog)( x )= ag( x )+b , et le calcul
cg( x )+d
donne :
a' x +b'
(! og )( X )
= a c 'x+d'+b = (aa '+bc')x+(ab'+bd ')
I
ca x+ b ' +d
c' x +d '
( ca '+dc' ) x+ ( cb '+dd' ) '
Le premier constat est que la composition de deux
homographies est une homographie. Cette propriété fut
découverte par Carnot en 1803, en étudiant le problème
de Castillon . L'ensemble des homographies est donc
stable par la composition des fonction s.
Si on associe naturellement la matrice A = (
l' homographie f et la matrice B = ( a'
\ c'
:
!)
à
1
b \) à l' homod'
graphie g , on constate que la matrice associée à la composition f O g des homographies est le produit A X B des
matrices. Voir l'article en pages 132 à 134.
ment déterminée par les coeffi cients a,
b, cet d. La compos ition des homographies, effectuée en encadré, justifie la
notati on matricielle de y = ax + b par
cx +d
( a b \
y=~ c d ) x.Composer deux fo nctions homographiques rev ient alors à
calculer un produit de matrices. Mais si
à chaque matrice correspond une fonction homographique unique, à une
homographie est associée ... une infinité de matrices ! Pui sque une homographie est un rapport de fo nction linéaire,
les coeffic ients sont défi ni s à un fac teur
près. Ainsi, pour tout nombre réel non
nul a, les matrices a A défini ssent la
mê me homographie que la matrice
.
A. L' homographie
ax +b
y = - - peut
cx + d
s'écrire y = !:!. _ ad - be x - - 2
c
C
X+d f C
Elle apparait ainsi cl airement comme
la composition d ' une translation, d ' une
inversion, d ' une homothétie et enfin
d' une dernière translation. Pui sque la
translation x ~ x + a est représentée
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
53
Les fonctions homographiques
no us avo ns la confirmati on que no us
sommes e n présence d ' une invo lutio n,
la fo nctio n f é tant sa propre inverse :
(f oj)(x) = x.
En utili sant la re présentatio n matri cielle, no us po uvons déterminer rapideme nt )'ensemble des homographies
involutives. Pui sque:
=x / y, définie
Utilisons la coordonnée non homogène z
l
' .
., ,
( ax \
dans I art1c 1e, comme assoc1ee a un vecteur
ay ) .
Nous noterons pour simplifier
z= [ ;
]·
Avec cette notation (qui fait intervenir des crochets et
que nous allons retrouver dans l' article), nous avons:
Y
y= [ 1
l(
a
=~ e
2
A 2 = (l a + be
e(a +d)
b \ ( x \ [ ax+b ] ax+b
d Hl)= ex+d =ex+d ·
po ur tr(A) = a + d = 0, no us obte no ns:
A2)
Nous allégeons encore cette écriture en assimilant y et
[~ l
a
[ e
2
l
a +be
O
\
a + be ) '
2
O
qui est bie n une matrice associée à
l' ide ntité! Po ur qu ' une ho mographie
so it son pro pre inverse, il suffit do nc
que la trace de sa re présentation matri-
, de sorte que nous pouvons écrire :
y=
b(a +b) \) ,
d 2 + be
b ] X=
ax+b
-d
ex+d·
2 x -3
. s,. y = c1.e Il e so .it nu Il e. A 'ms,,
,
Sx-2
par la matrice ( l a \
O
)
l
s ion x
et l' inve r-
x = 2Y - 3 ! Si jamais les te rmes dia5y - 2
~ l / x par J = ( O ~ ) .
l'écriture matricielle de cette homographie est alors :
( 1 a/e \
y =~ 0
,r
a r ~a
~~
r·
(l -( ad - be)/ e
2
0 \
)
a
( 0 1 \ ( 1 d ie\
X~ )
=
1
J
1( a b \
e d
~ ~ ) , et l' hyperbole équilatè re
d 'équation y = f (x) = 1 / x est liée à la
.
matnce
54
J
( 0
= ~
1 \ p .
1 0
go naux sont égaux, le calcul pe ut aussi
être s implifié. Par exemple, si
2x-3
. .
y = - - , no us po uvons ecnre
Sx - 2
-2x + 3
.
.
.
( - y ) = - - - , qu, est mvo 1ut, ve ,
Sx + 2
et do nc x = - 2(-y)x + 3 = - 2Y+ 3 _
Sy - 2
5(- y) + 2
Pour a ll éger les calcul s, pre no ns
que lques exemples avec des matrices
L' ide ntité est associée aux matrices a l ,
multipl es de la ma tri ce ide ntité
I= (
no us po uvons directe ment écrire:
2
I
) . UISque 1 = ,
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
de la fo rme
( 0
A= ~
1
-1 \
a ) . Cette
matrice e t ses pui ssances sont de déterminant égal à 1. No us allo ns étudie r les
n - 1 vale urs du para mètre a telles que
A" = 1 po ur diffé re ntes vale urs e ntières
den .
SYSTÈMES LINÉAIRES
, ( _,
Pour n = 2, A- =
la
-a
\
a 2 -1 ) '
a = 0 et y = - 1 / x. Pour 11 = 3,
-a
a 2 -I
venons de le montrer, est d ' ordre 5 ,
c' est-à-dire telle que h 5(x) = x . Si on
note M; = h (M; _ 1) l' image du point
M ; _ 1, nous constatons que M 5 = M 0 ,
quel que so it le point de départ M 0 .
Si on veut établir une bijection , c'est-à-
a 2 = 1 et y = --=..!___ Pour 11 = 4,
X ± J
l- a 2
- a (a 2 - 2) \
2
a(a - 2) a
Œ
2
4
-
2
3a + 1 ) '
- 1=2 et y = x ± .fi.
Nous avons exclu la valeur a = 0 , qui
n' est pas caractéri stique de la pui ssance qu atri è me . Pui sque A2"=(A2 )",
toutes les pui ssances paires acceptero nt év idemment a= 0 comme solution. Enfin , pour n = 5,
- (a 4 - 3a 2 + 1) \
( - a (a 2 - 2)
As=l a - 3a +1 a (a - 1)(a -3) J·
4
2
2
Fraction continue
Utilisons le nombre d ' or pour illustrer le lien entre les
fractions continues et les homographjes (donc les
matrices). Rappelons que la décomposition en fraction
continue du nombre x est la détermination des entiers X ;
tels que
X= X1 +
1 .
X2 + - X3 + ...
On note x = [x 1, x2 ••• x,, .. . ] et x(n) = [x 1, x 2 • • •x,,] la réduite d ' ordre n de x , c' est-à-dire la fraction obtenue en prenant les n premiers termes de la décomposition de x en
fraction
continue.
Si
h/x) = a + 1 / x
est
2
l' homographje de matrice (
et les quatre so luti ons sont a = ± <!> ± 1
où <!> = ( 1 + Js) /2 est le nombre d 'or.
Nous avons représenté, sur le schéma
ci-dessous! la fo ncti on homographique
h( x )=--qui , comme nou s
x +<j>
1
h(x)=---
!
réduite d'ordre n est facilité, avec les notations de l'encadré Notation, en utilisant l' expression matricielle:
l( x1 01 \)
1
x (n) =
<!> = 1 + 1 / <!> ,
Puisque
<!> = {l, 1... 1...}. Une
X •• • X
l( x.1 01 \)
X 1.
on
en
déduit
que
réduite d'ordre n du
x+ </J
1
1
1
~ ~ ) , le calcul de la
nombre d'or est donc <l>(n) = (
!~ r
.1, c'est-à-dire:
1
- · - · - · - · - · - • . • . .l . • . • . •.• . • .
où u11 est le énième terme de la suite de Fibonacci. Nous
venons de démontrer que le rapport de deux termes
consécutifs de la suite de Léonard de Pise converge vers
le nombre d'or.
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
55
SAVOIRS
Les fonctions homographiques
dire une correspondance unique, entre
l'homographie
f (x) = ax + b
et la
cx +d
.
matnce
A(ab\
.
= ~ c
d ) on peut aJouter
la contrainte det(A) = ad - b c = l. On
exclut alors les fonctions constantes
j(x) =a / c = b / d, qui sont associées à
une matrice de déterminant nul.
L'ensemble des homographies de
déterminant égal à 1 constitue donc un
groupe , un groupe projectif.
points de coordonnées (x , 0).
Nou s ap pe ll erons droite projective
P 1(IR) cette droite (L\), complétée par
son point à l' infini. Nous venons d'établir une bijection entre cette droite projective P 1(IR) et les droites vectorielles
du plan , qui dépend bien sûr du repère
choi si. Les coordonnées (x, y) d ' un
point de P 1(IR) sont appelées coordon·
nées homogènes et z = x / y est sa coor·
donnée non homogène , qui appartient à
iR u {oo}.
Une application linéaire du plan fa it
correspondre une droite vectorielle à
une droite vectorielle. Ainsi , l'applica-
Géométrie projectiue
Considérons dan s le plan réel les
droites passant par l' origine. Un vecteur non nul (x, y) détermine une
unique droite vectorielle constituée de
l'ensemble des multiples de ce
vecteur: {(k.x, ky), k E IR} Pour tout
vecteur de cette droite , le rapport abscisse / ordonnée est constant et égal à
z = x / y. Cette droite (l'.\z) coupe donc
la droite (L\) d ' équation y = l en un
point unique d 'abscisse z (voir la figure) . Pour être complet, il faut accepter
la valeur z = oo qui correspond à l'axe
des x, c' est-à-dire à l'ensemble des
tion linéaire f de matrice ( :
transforme le vecteur (x, y ) en le vecteur (a x + b y, c x + d y) . En utilisant
la coordonnée non homogène z =x / y,
l'application correspondante f de
P 1(IR) dans P 1(IR) est telle que :
f (z) = ax + by = az + b
ex + dy
avec
1
z=x/y
Ta.ngente Hors-série n°44. Les matrices
cz + d
J(oo)=a l c
si
c 1:- 0 ,
et
J( oo) = oo sinon. Les homographies ne
sont donc rien d' autres que les applica-
M(x,y)
Droite
projective.
!)
SYSTÈMES LINÉAIRES
tions de P 1(IR) correspondant aux applications linéaires dans IR 2 . Deux applications multiples l' une de l'autre définissent sur P 1(1R) la même application,
puisque la multiplication par une
constante (non nulle) laisse les droites
vectorielles invariantes. On retrouve
ainsi l' idée que les nombres (a , b, c, d)
définissant une homographie sont déterminés à un facteur multiplicatif commun
près. Il y a donc trois degrés de libertés
pour les déterminer, ce qui signifie que
trois points non alignés définjssent entièrement une homographie .
Un vecteur propre d ' une application
linéaire est, par définition , proportionnel à son image. Son point correspondant sur la droite projective est donc
invariant par l' homographie associée.
Rechercher les vecteurs propres d ' une
application linéaire revient à rechercher les points invariants d'une homographie. Pour le vecteur propre (x, y),
de coordonnée non homogène z =x / y,
tel que f(x , y) = (A.x, Ày), nous avons
.
ax+by
Âx = z.
e ffect1vement
f ()
z =-- = -
cx +dy Ây
On montre, en jouant sur les propriétés
des homographies ou par un calcul
courageux , que , dans le cas où une
homographie h admet deux points fixes
a et 13 , il existe une constante C
telle que h( z)-a =C z -a
h( z)-/3
z -{3·
Dans le cas d ' un seul point fixe , cette
relation devient :
1
h( z)-a
= -
1
-+ C' Si nous avons
z -{3
·
à étudier une suite récurrente du type
= h(u 11 ), une méthode « astucieuse» consiste alors à utiliser la suite
u11 + 1
la suite intermédiaire
u,, -a
V=-II
un - /3 '
ou
1
v,, = - - pour un point fixe
u,, -a
unique. On se ramène ainsi à étud ier le
cas classique d'une suite géométrique ,
pour deux points fixes, ou arithmétique, pour un seul point fixe.
Nous venons , très rapidement, de montrer les coulisses du camouflage d' une
hyperbole en fonction homographique
par un changement de repère et de
l'étude des suites récurrentes données
par une fonction homographjque. Nous
n'avons présenté ici qu ' une légère
introduction à la géométrie projective,
dans le cas bien particulier de la droite
projective
réelle.
Derrière
ces
méthodes classiques, enseignées
comme des « recettes » à nombre
d 'étudiants , se cachent de nombreux
prolongements mathématiques.
Poincaré et Klein ont ainsi introduit en
géométrie non-euclidienne, dans un
espace hyperbolique , la notion de fonction s automorphes, utilisées par
Andrew Wiles pour la démonstration
du célèbre théorème de Fermat. Or,
une fonction automorphe f est invariante sous l'action d'un groupe d'automorphismes, comme celui constitué
des fonctions homographiques :
!(az+b) =J( z).
cz +d
On retrouve une relation semblable
avec les formes modulaires qui vérifient l' équation fonctionnelle
f ( az + b) = ( cz + dYf (z),
cz +d
pour des coefficients entiers et la condition ad - b c = 1. Mais là , nous sortons
de notre domaine de compétence !
F.L.
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
par Bertrand Hauchecorne
matrices
orthogonales
En omorphismes
orthogonauK
Les isométries, c'est à dire les transformations de l'espace affine euclidien A qui conservent les distances, sont fondamentales,
puisqu'elles peuvent décrire les transformations d'un solide indéformable. On peut citer
parmi elles les translations, les rotations, les
symétries orthogonales ...
Les endomorphismes associés à ces isométries, qui agissent sur l'espace vectoriel euclidien E associé à A, sont caractérisés par le fait
qu'ils conservent les longueurs (les normes)
des vecteurs.
C'est ce qu'on appelle des endomorphismes
orthogonaux. Ils sont aussi caractérisés par le
fait de conserver les bases orthonormées. On
montre que la matrice dans une base orthonormée d'un endomorphisme orthogonal est
une matrice orthogonale (voir dans cette page).
Réciproquement, toute transformation de l'espace affine A associée à un endomorphisme
orthogonal est une isométrie. Certaines isométries, comme les rotations ou les symétries
orthogonales, possèdent un (ou plusieurs) point
fixes. Toute isométrie peut se décomposer en
une transformation qui laisse un point fixe et
une translation.
Le déterminant d'un endomorphisme orthogonal (ou de sa matrice) vaut 1 s'il conserve
l'orientation ou -1 dans le cas contraire. En
effet, c'est le coefficient multiplicateur de l'aire
orientée d'un parallélogramme (ou du volume
orienté d'un parallélépipède en dimension 3)
lorsqu'on applique cet endomorphisme.
58
On appe ll e orthogonales les matrices in versibles
te lles que le ur transposée est égale à leur in verse.
Elles vé rifie nt donc 'M = M-1 ou , si l' on préfère,
'M M = l o ù 1 dés ig ne la matri ce identité. Les
col onnes de ces matrices form ent une base orthonormée. Ell es sont do nc les matri ces de passage
d ' une base orthonormée à une autre; ma is e ll es
représentent donc auss i les endomorphismes orthogonaux, ce qui ex plique leur importance. Comme
on l'a vu, o n peut affirm er que le ur déterminant
vaut so it 1, so it - 1.
L'ensemble des matrices orthogonales étant stable
par produit et par in verse, il fo rme un groupe pour
la multipli cati on : c'est le groupe orthogonal.
En dime ns ion 2, une matrice o rthogonale est
soit de la form e
cosa
( sma
- sin a)
cos a
auque l cas e lle re présente la rotati on d 'a ngle a,
soit de la forme
c~sa
( sma
sin a )
- cos a
où elle est associée à une symétrie orthogonale par
rapport à une droite.
Dans une base bien choi sie, la matrice d ' une te ll e
symétri e sera (
1 O).
0 -1
En dimension 3, une matrice orthogonale est semblable à l' une des deux matri ces
(l
O
l
o c~sa
O sma
Tangente Hors-serie n°44. Les matrices
O \
-sin a J ou
ca sa
l
(- 1
0
0 \
O
O
cos a
- sin a J .
cos a
sin a
SAVOIRS
par Norbert Verdier
Diagonaliser
pour calculer les puissances d'une matrice
Une matrice peut souvent être « réduite » , c'est-à-dire être
exprimée sous la forme , plus simple, d 'une matrice diagonale
ou d'une matrice triangulaire. Cette propriété permet alors de
réaliser de nombreux calculs, parmi lesquels celui des
puissances successives de la matrice.
A étant donnée, comment calculer la puissance
énième de A , à savoir A"? Dans
certains cas, c'est simple! Par exemple,
si A est diagonale ou triangulaire (voir
en encadré) . Dans le cas général, le problème devient difficile et la méthode
« frontale » (multipl ier par elle-même la
Puissance d'une matrice diagonale
Partons une matrice diagonale A = ( :
:) •
En la multipliant par elle-même, on obtient A2 = ( ~
En re-multipliant par A, il vient Al= ( a l
{ a"
0,
\ 0
d"
\ 0
Cela suggère fortement que A" = 1
;
2
) •
'J.
O
dl
).
De fait, cette formule est correcte et se démontre facilement par r écurrence. É lever à la puissance n une
matrice diagonale revient à élever à la puissance n
chaque élément de la diagonale.
60
matrice et« deviner» la formule générale de A") n'est pas appropriée !
Il faut passer par un changement de base,
et donc revenir intrinsèquement à ce
qu 'est une matrice : la représentation
d'une app lication linéaire. Autrement
d it, A représente une application linéaire
u, et c'est u qu ' il faut étudier.
S 'i l existe une base dans laquelle la
matrice de u est diagonale , c'est gagné !
En effet, si Pest la matrice de passage
dans cette base (elle comporte les vecteurs de la base en colonnes), alors on
peut écrire D = p- 1 A P, où D , matrice
de u dans la« nouvelle» base , est diagonale. Cela revient à chercher une
matrice diagonale D semblable à A.
Par itération immédiate, il en résulte que
A" = PD" P- 1• Or, on sait calculer D".
Ainsi, si nous sommes capables de trouver une base de diagonalisation , alors
de facto nous serons capables de calculer A" . C'est encore le cas si la matrice
semblable est triangulaire, sous forme de
Jordan (voir en encadré).
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
RÉDUCTION DE MATRICES
Ualeurs propres simples
el diagonalisation
Comment diagonali ser ou trigonaliser
une matrice? Pour ce faire, il faut introduire la notion de valeur propre.
Pour diagonaliser la matrice A, il faut
trouver des vecteur X (non nuls) tels
que AX =À.X.Par linéarité, tous les
vecteurs multiples de X vérifient le système : le système a donc une infinité
de solutions, ce qui revient à dire (grâce
à la notion de déterminant) que
det (A-À. I) = O. Cette quantité est appelée polynôme caractéristique de A (c 'est
bien un polynôme en À).
Étudions ce qui se passe pour les matrices
carrées d ' ordre 2. La matrice A s'écrit
(: :).
Alors, det (A- ÀI) = 11.2 - À(a + b)
+ det A. C'est un polynôme du second
degré. Ses racines réelles , si elles existent, sont les valeurs propres de A .
On appelle sous-espace propre associé
à une valeur propre À l'ensemble des
vecteurs X du plan tels que A X = À X.
On note traditionnellement cet espace
EÀ. Si À est une valeur propre simple
(c'est-à-dire une racine simple du polynôme caractéristique), alors EÀ est toujours une droite. Si À est une valeur propre
double, alors E1,. est une droite ou le plan
tout entier. Il en résulte qu'il faut dissocier le cas où il y a deux valeurs propres
distinctes du cas où il n'a qu ' une valeur
propre double.
Quand la matrice admet deux valeurs
propres simples distinctes, notées À etµ,
EÀest une droite, dont on note ü un vecteur directeur. De même, E , est une
1
droite, dont on note v un vecteur directeur. Dans cette nouvelle base (ü, v),
l'application linéaire associée a
.
pour matrice D =
(À 0)
µ .
0
Le tour est joué : nous avons diagonali sé la matrice ! Il est ensuite aisé de
calculer D" (voir en encadré), puis
A"= PD" p- 1 •
Application à la matrice
det(A - Àl) =
Il-
À
-2
= ( 1- À
-
(-21 -12).
2
1
1-À
)2 - 4 = (À+ 1)( À - 3) .
Ce polynôme de degré 2 possède deux
racines, 3 et-1, qui sont les deux valeurs
propres de A. L'espace propre E3 associé à 3 (et qui résulte de A X= 3X) se
réduit à x + y = 0, c'est la deuxième bissectrice du plan. Un vecteur directeur
en est îi = (1,-1). De même,E_1 se réduit
à x - y = 0, soit x = y .C'est la première
bissectrice , dont un vecteur directeur est
ÏÏ=(l,l).
Dans la nouvelle base (îi, v) ,fest représentée par la matrice diagonale
D
= (~
~1).
La matrice de passage P de la base usuelle
(ï ,T) à la nouvelle base (ü, v) est
P= (
1
-1
1
) . On inverse P (qui est néces1
sairement inversible, car les changements de base sont des bijections !) et on
en déduit A".
le cas d'une ualeur propre multiple
Quand la matrice admet une valeur
propre double À, alors EÀest soit une
droite , soit un plan. Si c'est un plan, il
est aisé de démontrer que dans le cas
d ' une matrice carrée d'ordre 2, A= À I.
L'endomorphisme associé est un endomorphisme scalaire. Et ses puissances
se calculent aisément : A"= À.11 I.
Si E1,. est une droite de vecteur directeur
ü, On démontre quel 'on peut toujours
construire une base (ü, v), avec v tel que
f (v) = ü + Àv. Dans cette nouvelle
base , la matrice de f est J = ( ~
~) .
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
61
SAVOIRS
Diagonaliser...
Illustrons l' étude avec la matrice
Le mathématicien
Camille Jordan (1838-1922).
det(A-Àl) = 3-À
1
1
-1
1
1-À
2
=(3-À)( t -À)+ 1=(À-2) •
Puissance d'une matrice de Jordan
Une matrice de Jordan est une matrice triangulaire
simplifiée, dans la mesure où, en dehors des éléments
de la diagonale, elle contient des blocs ayant la même
valeur sur la diagonale, des « 1 » ou des « 0 » sur la « surdiagonale », et des « 0 » partout ailleurs. Ce qui est
intéressant, c'est que toute matrice « trigonalisable »
se réduit à une forme de Jordan.
Pour ce qui est des matrices carrées d'ordre 2,
une matrice de Jordan sera de la forme A= (: :) .
Pour calculer ses puissances, on procède comme dans
le cas précédent :
A2
{a 2
l
= O
2a\
.
{a 3
az) ' pms A = l O
3
3a 2 \
n
{
a" na·-· \
a"
J·
Là encore, la formule se démontre par récurrence sur n.
C'est une matrice triangulaire. On dit (de
manière quelque peu familière) que l'on
a trigonalisé la matrice, sous une forme
particulière appelée forme (ou réduite)
de Jordan. Le calcul de J" ne pose pas
de problèmes (voir en encadré) . Le calcul de A" se déduit ensuite de la formule A" = P J" p- l .
62
A(x)y 1I ) + 2 (x),
soit {3x - Y = 1+ 2x
y
x+y= l+ 2y
= (
et donc x = l +y.On peut choisir y= 0
et x = 1, on obtient alors un vecteur v
qui conv ient. Ainsi,
v =(~).Le couple
(Ü, v) constitue une nouvelle base , dans
laquellef est représentée par la matrice
.
I.
tnangu aire J =
(2 1) .
0
2
La matrice de passage de la base canonique (ï ,T) à la nouvelle base (ü , v) est
P=(: ~)·
a J )"
Cela conduit à proposer la formule
A = 1\ 0
Il y a une seule valeur propre, 2. L' espace propre E 2 associé à 2 (et qui résulte
de A X= 2 X) se réduit à x =y . C'est la
première bissectrice du plan, dont un
vecteu r directeur est ü = ( 1, 1).
À la manière de Jordan, on cherche v
tel que f (v) = ü + 2 v. Cela revient à
résoudre le système
On inverse P, et o n en déduit A".
Et si le polynôme caractéristique n'admet pas de racine réelle ? Il n' y a plus
de diagonalisation ni de trigonalisation
dans IR , mais le passage aux complexes
permet de retrouver des formes plus
simples .
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
N.V.
par François Lavallou
EN BREF
matrices en décomposition :
la factorisation LU
La « décomposition LU » correspond à la décomposition d ' une matrice inversible en produit d'une
matrice triangulaire inférieure 1 (ou L pour « Low »,
« bas» en anglais), et d' une matrice triangulaire supérieure S (o u U pour « Up »,« haut ») . Cherchons
2
31
3 14
34
(1
à décomposer ainsi la matrice
A= l2 8 14).
On soustrait un multiple de la première ligne aux
li gnes suivantes pour faire di sparaître le terme de
la première colonne.
l~ ; J.
( 1 2
11
On obtient la matrice A ' =
31
s
25
Les coefficients multiplicateurs utilisés, 2 et 3 ici,
complètent la première colonne de la matrice L ,
sac hant que la diago nale de cette matrice n 'est
constituée que de chiffres 1 . On continue avec la
deuxième li gne , et un coefficient 2 pour obtenir la
(1 2
matrice Am =
lo
31
u.
8J =
0 0 9
Nous avons effectué la factorisation
4
( 1 0 01( 1 2
31
A=LxU=l! ~ ~Jl~ ~ :J
qui permet de résoudre « économiquement » un
système d 'équations linéaires où le second me mbre
pe ut c hanger.
la factorisation QU
La « décomposition QU » est de la forme
A = QU, où Q est une matrice orthogonale , ses vecteurs colonnes constituent
une base orthonormée et donc 1QQ = 1,
et U est une matrice triangulaire supérieure . On note souvent cette décomposition QR . Il existe des décompositions
RQ, mais aussi QL et LQ, où Lest une
matrice triangulaire inférieure. Ces décompositions sont souvent utilisées pour déterminer l' inverse généralisé d'une matrice
rectangulaire (décomposition SVD , voir
en page 75) .
Soit par exemple à résoudre l'équation matriciel le
AX =LUX= B. Le vecteur Y= UX est solution du
système tri angul a ire infé rie ur LY = B , qui se résout
rapideme nt par récurre nce ascendante (o n calcule
les termes un par un ,« de y 1 à y 3 »). On détermine
alors X comme solution du systè me tri ang ulaire
supérieur UX = Y, qui se résout par récurrence descendante(« de x 3 à x 1 »). La complex ité algorithmique de cette méthode, inqépendante du second
membre B, est inférieure à celle de l' inversion par
le pivot de Gauss.
Hors-série n° 44. Les matrices Tangent:e
63
SAVOIRS
par Hervé Lehning
•
e PIUO
auss
Pour résoudre de petits systèmes d'équations, la méthode de
Gauss a l'avantage d'être simple. Mais gare aux résultats
obtenus si le système contient des paramètres ! En fait, la
méthode du pivot présente surtout un intérêt historique.
~ un système d 'équa-
tions d'inconnues x, y , z... Nous
échangeons les équations de
façon à placer en tête une équation comportant la première inconnue (x). S'il
n'en ex iste pas, l'inconnue peut tout
simplement être supprimée puisqu'elle
n'intervient pas dans le système. Le
coefficient de x dans la première équation est alors utilisé comme « pivot »
pour détruire les coefficients de x dans
les autres éq uations, au moyen de combinaisons linéaires.
Déroulement des calculs
Pour préciser le procédé, considérons le
système su ivant :
l
x+2y +2z = 1,
2x+ y + 2z = 1,
soit 4y + 3z = 2. Ces calculs montrent
que si (x , y, z) est solution du système
{(I), (2), (3)}, alors il est aussi solution
de {(I) , (2 ' ) , (3 ' )}. La réciproque est
vraie car (2) = 2 x ( 1) + (2 ' ) et
(3) =3 x (1) + (3') . En procédant ainsi ,
ce résultat est toujours valable. Nous obtenons donc le système équivalent, c 'està-dire aya nt la (ou les) même solution:
l
x + 2y +2z- 1,
À partir de la deuxième, le équations ne
contiennent pas de termes en x . On
recommence sur elles, avec la deuxième
inconnue, autrement dit on considère
(3") = 3 x (3')- 4 x (2') , soit z = 2.
Nous obtenons un système triangulaire
équiva lent au précédent , donc au premier également :
3x +2 y +3z = 1.
Nous notons les trois équations (1), (2)
et (3) respectivement pour simp lifier
l' écriture. L'équation (2') =2 x (1 )-(2) ,
soit 3y + 2z = 1, ne contient plus de terme
en xet de même pour (3') = 3 x (l)-(3),
64
3y + 2z = 1,
4y +3z = 2.
l
x + 2y + 2z =I ,
3y +2 z =I ,
== 2.
Ce système peut se résoudre en commençant par la dernière équation et en
remontant jusqu'à la première. On peut
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
également reproduire la première série
d'opérations pour obte nir un systè me
d iago nal. Les co mbin aisons linéaires
(2)-2 x (3) et ( l )-2 x (3) donnent :
l
x+ 2y = -3,
3y = -3,
z = 2.
En div isant la deuxième équ ati on par
3 pui s en la combinant à la pre mière,
le rés ultat s'ex prim e so us la fo rme
;:l
=::
qui est donc la so luti on du
Un nolvnôme annulateur
Avec les notations de l'article, la matrice A peut
s 'écrire A = 2U - 1. En élevant U au carré, on
obtient : U2 = 3U. À partir de là, A2 = 4U2 + l - 4U,
donc A2 = SU + l = 4A + 51. Cette égalité peut être
écrite en mettant A en facteur: A(A- 41) = 51, c'està-dire AB= l où B = (1/ 5)(A- 41). On en déduit que
A est inversible et que A- 1 = B, ce qui donne bien
l
( -3
A- 1 = S
I 2
2
2
2\
J
-3 2 .
2 -3
z = 2,
système in itial.
méthodes modernes
Cette méthode n'a plus qu ' un intérêt
histori que. Elle n'est pas la plu s pratiq ue dans un usage « à la mai n » car elle
peut int rod uire des coeffic ie nts plu s
compliqués que la méthode usuelle par
comb inaisons linéa ires, vue dans l'article sur les systèmes linéa ires. D 'autre
part, elle n'est pas adaptée aux systèmes
avec paramètres. Dans ce cas, mie ux
vaut util iser la méthode de Cramer vue
dans l'art icle sur le sens du déterminant , au moi ns pour savoir dans que ls
cas le système a une et une seule so lutio n. En ce qui co ncerne l' utili sati o n
d' un ordinate ur, e lle n'est efficace que
pour des systèmes d'au plus une centaine
d'éq uations à autant d' inconnues . Cec i
peut sembl er énorme, mais les appli cations des mathématiq ues comme la
météorolog ie ou la phys ique nucléaire
conduisent à des systèmes de plusieurs
mi ll iers d'équations. On préfère alors des
méthodes itérati ves co mme ce ll e de
Gauss-Seidel.
Le ca lcu l de l' in verse d'u ne matrice
carrée d'ord re n correspond à la résolution d' un système linéaire avec n paramètres (les coefficients d u second
membre), comme nous l'avons dans
l'article Systèmes linéaires et matrices.
Ce sys tè me pe ut ê tre réso lu pa r la
méthode de Gauss. Il est également possible de résoudre n systèmes do nt les
seco nd s me mb res so nt nul s sauf un
terme qui est égal à 1. Précisons cela avec
une matrice carrée d 'ordre 3.
( 1 2 2\
La matri ce
A= l2 1 2J est in versibl e
2
2
1
pui squ e, d 'a près la règ le de Sar ru s,
son déterminant est égal à
1 + 8 + 8 - 4- 4- 4 = 5 ;t: O.
Considérons le système d 'équatio n
l; l
(x\
( 1\
Ax J ~J. En multipliant à gauche par
=
A- 1, la matrice inverse de A ,
(x\
nous obtenons
(1\
l:J=A- xl~J · ce qui
1
signifie que la soluti on est la pre mière
colonne de la matrice inverse A- 1• Nous
obtenons les autres co lonnes en utili-
lJ lJ.
( 0\
sant les seconds me mbres
~
( 0\
et
~
Les manipul atio ns pour résoud re ces
trois systè mes peuvent être regroupées.
O n les repre nd do nc e n parall è le sur
A et I j usqu 'à ce que A so it re mpl acé
par I. La matrice I sera alors re mpl acée
par A- 1•
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
65
Le pivot de Gauss
On part donc de la matrice (A I) :
(1 2 2
l~
1 0 0\
~ ~ ~J
1 2
2
1
et, comme vu précédemment, on retranche
deux fois la première à la deuxiè me et
à la troi siè me .
(1
On obtient l
~
2
2
=~ =~
1
0 0\
-2
1
-2 0
oJ
1
pui s, à l'étape sui vante,
(1
2
2
o -3
-2
l
0 0 -5/3
1
0
O\
-2
1
o,J·
Portrait de Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) réalisé en 1840
par Christian Albrecht Jensen
(1792-1870).
-2/ 3 -2/ 3
On multiplie alors la dernière ligne par
-3/ 5, d ' où:
(1
2
1
0
0 \
o -3 -2
-2
1
0
0
2/ 5 2/ 5 -3/5
l
2
0
1
J.
On reprend ensuite dans l'autre sens :
on obtient
(1 2 0
-3 0
l~ 0 1
1/ 5 -4/5 6/5 \ ( 1 2 0
-6/5 9/ 5 -6/ 5J·l0 1 0
2/5 2/5 -3/ 5 0 0 1
(1 1 0
et enfin l ~ 1 0
0 1
1/ 5 -4/ 5 6/5 \
2/ 5 -3/ 5 2/ 5 J
2/ 5 2/5 -3/ 5
-3/ 5 2/ 5 2/ 5 \
2/ 5 -3/5 2/ 5 J ,ce qui signifie que
2/ 5 2/5 -3/ 5
(-3
A - 1 =il~
2 2\
-3 2 J.
2 -3
La mê me méthode est utili sable pour
calculer le rang d ' une matrice car les
opérations considérées conservent le
rang.
( 2
Appliquons-le sur la matrice l }
2
5
4\
! -52J.
La suite des transformations donne
(2 5
4\
4\
-18
18
-~8 J '
-~8 J pui s l ~
0
l~ 9
(2
qui est de rang 2 pui sque les deux premières li gnes sont indépendantes.
H.L.
Ce résultat est facile à vérifier en multipliant A par la matrice trouvée. La
forme de la matrice trouvée donne l'idée
d ' une autre méthode en introdui sant la
( 1 1 1\
matrice u=ll 1 'J (voirl 'encadréUn
1 1 1
polynôme annulateur).
66
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
EN BREF
par François Lavallou
Décomposition
de Crout-Cholesky
lanczos
La « décomposition de Crout » complète la décomposition LU (voir en page 63) pour le cas d ' une
matrice symétrique .
Considérons la décomposition LU de la matrice
2
3\
8
14
14J ,
34
et « divisons » la matrice U par sa diagonale
(1 0
NousobtenonsU=l~
o, (
1 2
3\
~ ~Jl~ ~ !)
qui nous donne directement la décomposition de
Crout A= LD 1L.
Comme la matrice A est de plus définie positive
(et admet donc des valeurs propres réelles posi tives) , nous pouvon s extraire une « racine carrée »
de la matrice diagonale D.
( 1 0
En posant B =Lx Jo = l
!:
o,
~J ,
nous obtenons la décomposition dite de Cholesky
Cornélius Lanczos (1893-1974) est un
mathématicien et physicien hongrois
assez méconnu. Il découvrit une solution exacte de la théorie de la relativité
générale, connue maintenant sous le nom
de poussières de Van Stockum, et il établit les bases de la transformée de Fourier rapide (FFT) vingt-trois ans avant
James William Cooley et John Wilder
Tukey. On donna tout de même son nom
à un potentiel tenseur en relativité et à
une approximation de la fonction gamma.
Il développa de nombreuses méthodes
numériques, dont la célèbre méthode du
gradient conjugué (qui permet une résolution itérative des systèmes d'équations
linéaires) , l'approximation o (qui élimine les phénomène de Gibbs, à savoir
les oscillations des méthodes de Fourier) , et un algorithme (dit de Lanczos)
qui permet, itérativement, de déterminer les valeurs propres et vecteurs propres
d ' une matrice carrée ou la décomposition SVD d' une matrice rectangulaire, particulièrement pratique pour les très
grandes matrices .
Hors-série n• 44. Les matrices Tc:a.ngente
SAVOIRS
par Hervé Lehning
La relation de similitude est au centre de la réduction des
matrices, ce qui importe car deux objets similaires ont des
propriétés communes. Au premier abord, cette notion de
similitude semble se confondre avec la notion d'équivalence.
Elle est pourtant bien plus difficile à appréhender, et bien
plus riche.
a similitude des matrices concerne
les matrices carrées de même
dimension . Elle a donc un champ
d'application plus restreint que I'équivalence, qui concerne les matrices de
même dimension en général (rectangulaires ou carrées). Pour fixer les idées,
considérons A et B des matrices carrées
d'ordre trois . Elles sont dites semblables
s'il existe une matrice carrée P d'ordre
trois inversible telle que A P = PB. En
algèbre linéaire, les formu les de changement de base montrent que deux
matrices sont semblables si elles représentent le même endomorphisme. La
relation définissant la similitude peut
également s'écrire A= PB P- 1 , ce qui
implique que la seule matrice semblable
à la matrice identité est elle-même.
L
Similitude et équivalence
La similitude implique l'équivalence ,
mais la réciproque est fausse. Par exemple,
puisqu'elles sont toutes deux de rang 1,
68
les matrices A = (: :) et B = ( ~ ~)
sont équivalentes. Si elles sont semblables, il existe une matrice inversible
P= (:
!) vérifiantAP= PB ,
0
),
a+c b+d
c 0
ce qui implique a= c =O ... et contredit ainsi que P soit inversible. Les matrices
A et B ne sont donc pas semblables.
Les matrices considérées peuvent être
à coefficients rationnels, réels ou complexes. Dans tous les cas, les matrices
inversibles peuvent être considérées à
coefficients dans le même corps. Plus
précisément, si deux matrices A et B à
coefficients rationnels sont semblables,
il existe une matrice inversible à coefficients rationnels P telle que A P =PB.
De même, si elles sont réelles, la matrice
inversible P peut être considérée à coefficients réels (voir l'encadré Permanence de la similitude pour une
démonstration).
c'est-à-dire(a+ c b+d)=(a
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
RÉDUCTION DE MATRICES
Oiagonalisation et similitude
La diagonalisation des matrices peut se
lire en termes de simi litude: une matrice
diagonalisable est une matrice semblable
à une matrice diagonale. On remarque de
suite que cette notion dépend du corps
dans lequel on se place . Une matrice
réelle peut être diagonalisable dans le
corps des complexes sans l'être dans
celui des réels . Pour s'en convaincre, il
suffit de considérer la matrice ( O
-1
1
),
0
dont le polynôme caractéristique
-x
-1
1
1
1
-X
=x2 + 1 n'a pas de racines réelles.
Elle n'est donc pas diagonalisable en tant
que matrice réelle . En revanche, le même
polynôme a deux racines complexes distinctes (± i), la matrice est donc diagonalisable en tant que matrice complexe.
Combiné au résultat précédent, cette
remarque a un résultat inattendu.
Considérons les deux matrices ( O
-1
1
)
0
La notion de similitude dépasse le monde des matrices
et correspond plus généralement à un ensemble
de car actéristiques partagées, comme chez ce couple
de martins-pêcheurs.
Permanence de la similitude
Pour simplifier, considérons deux matrices carrées
(a b\
(a' b'\
d'ordre deux, A= 1
) et B = 1
) , à coefficients
\C d
\C' d'
rationnels. On les suppose semblables en tant que
matrices réelles, c'est-à-dire qu'il existe une matrice
P = (; ;) inversible (soit xt - yz
* o ), à coefficients
réels, telle que AP = PB.
Un calcul matriciel fastidieux mais simple montre que
l'existence de la matrice réelle P correspond à l'existence d'une solution vérifiant xt - yz o à un système homogène de quatre équations à quatre inconnues
(x, y , z, t). Par hypothèse, ce système a des solutions
non nulles, il est donc de rang au plus 3.
Les solutions s'expriment ainsi rationnellement en
fonction des données, elles sont donc rationnelles, ce
qui prouve le résultat.
*
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
69
SAVOIRS
Similitude et diagonalisation
et (
1
2
-1
-1
) . Elles ont le même polynôme
caractéristique, qui possède deux racines
complexes distinctes (± i) ; ces matrices
sont donc diagonalisables en tant que
matrices complexes. Elles sont semblables à la même matrice diagonale
0
.) , elles sont donc semblables entre
(i
0
-1
elles en tant que matrices complexes. La
permanence de la similitude implique
qu 'e lles sont semblables en tant que
matrices réelles.
Nous avons ainsi démontré que les deux
matrices ( O
-1
1
1
) et (
-1
0
2
-1
) sont sem-
blables comme matrices réelles, et même
comme matrices rationnelles en vertu
du même théorème.
Un certain nombre de notions sont invariantes si l'on passe d'une matrice à
une matrice qui lui est semblable. Les
plus simples sont le rang, la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique.
Malheureusement , dans tous ces cas,
la réciproque est fausse. Ces quatre
notions sont donc seulement utiles pour
montrer que deux matrices ne sont pas
semblables. Par exemple, les deux matrices
(~
:) et ( ~ ~) ont même rang (2), même
trace (2), même déterminant (1), même
polynôme caractéristique (x2 - 2x + 1)
mais ne sont pas semblables. En effet, la
seule matrice semblable à la matrice
identité est elle-même.
simples. Considérons donc une matrice
carrée complexe d'ordre deux A= (:
!) ,
le discriminant de son polynôme caractéristique est alors
ô =(a+ d) 2 - 4(ad - be).
Si cette quantité est non nulle, la matrice
A est diagonalisable en tant que matrice
complexe. Si elle est nulle , il suffit de
modifier l' un des paramètres a, b, cou
d de manière infinitésimale pour obtenir une quantité non nulle. Ainsi, en
modifiant la matrice A de manière infinitésimale, on obtient une matrice diagonalisable. On résume ce résultat en
disant que 1'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans l'ensemble
des matrices . De mê me , on démontre
que, si l'on choisit une matrice aléatoirement , elle est presque sûrement diagonalisable ... ce qui signifie que la
probabilité qu 'elle soi t diagonalisab le
est égale à 1. Ces résultats permettent de
généraliser des résultats vrais pour les
matrices diagonales à toutes les matrices,
par exemple, le théorème de CayleyHamilton selon lequel toute matrice
annule son polynôme caractéristique.
Pour simplifier l'écriture , nou s considérons des matrices carrées d'ordre trois
et une matrice diagonale D dont nou s
notons a, b etc les éléments de la diagonale. Son polynôme caractéristique
est donc P(x) = (a - x)(b - x) (c - x).
Un calcul simple montre alors que P(D)
est la matrice diagonale dont les éléments de la diagonale sont P(a), P(b) et
P(c), qui sont tous nul s, donc P(D) est
la matrice nulle .
Densité des matrices diagonalisables
Comme il est établi dans l'artic le Diagonaliser pour calculer les puissances
d'une matrice, le cas le plus simple où
l'on peut affirmer qu'une matrice est
diagonalisable est celui où son polynôme caractéristique n'a que des racines
70
Nous opérons a lors deux généra li sations. La première générali sation est de
nature algébrique, elle permet d'établir
le théorème pour les matrices diagonali sables. Si A est diagonalisable, il existe
une matrice inversib le Q et une matrice
diagonale D telles que A= Q D Q- 1•
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
RÉDUCTION DE MATRICES
Invariance de la trace
La trace d'une matrice carrée est la
somme des éléments de sa diagonale.
La trace de A = (:
!)
est donc égale à tr(A) = a + d.
Considérons alors une autre matrice
P- ( a fJ\
-lr o)·
La trace de A Pest aa + by + c/3 + do.
En échangeant les lettres latines et les
lettres grecques, on remarque que
tr(A P) = tr(P A) . Cette égalité étant
vraie pour toute matrice A, on peut
l' appliquer à P- 1 A si Pest supposée
inversible . Cela donne :
tr[(P- 1 A) P] =tr[P (P- 1 A)],
qui implique qu ' une matrice a la
même trace que toute matrice qui lui
est semblable.
Une matrice diagonalisable
est une matrice semblable
à une matrice diagonale.
Les matrices A et D ont mê me pol ynôme caractéri stique P et
P(A) =Q P(D) Q- 1 = O.
La seconde générali sation est de nature
analytiqu e, e t utili se la de ns ité des
matrices di agonali sables . Si A est une
matrice non di ago nali sabl e, il ex iste
une suite (A),, de matrices di agonali sabl es de limite A. On démontre que la
suite de po lynômes caracté ri stiqu es
(P,,) 11 de A,, converge vers le polynôme
caractéri stique P de A , pui s que P,,(A,,),
qui est nul , converge vers P(A) ... qui
est donc nul égale ment.
Trace du passage de l'eau sur un rocher
à Capitol Reef (États-Unis).
H.L.
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
71
SAVOIRS
par Hervé Lehning
Diagonalisation,
géométrie et algèbre
Les matrices carrées peuvent être diagonalisables ou ne pas
l'être. La question est liée à la dimension des espaces propres,
une question de nature géométrique. Elle est également liée à
l'annulation de polynômes, une question de nature algébrique.
r
A une matrice carrée
d ' ordre troi s, pour simplifi e r.
Dan s une base del 'espace , il lui
correspond un endomorphisme f. Si A
est diagonalisable , c'est-à-dire semblable
à une matrice diagonale D , alorsf a pour
matrice D dans une base (i,j, k). Soit, si
a, b et c sont les éléments de la diagonale de D :f(i) =ai,f(;) =bj etf(k) =ck.
Cela donne une caractérisation géométrique de l'endomorphi sme f.
C
Image d'un vecteur par un endomorphisme diagonalisable.
72
Tout vecteur V de l'espace se décompose en V= xi+ yj + zk sur la base donc,
par linéarité:
f( V) =xf(i) + yf(;) + zf(k)
=axi + byj + czk ,
ce qui a une signification géométrique
(voir la fi gure ci-contre).
Dimensions des espaces propres
Selon que les valeurs propres a, b et c sont
di stinctes ou pas , les espaces propres
sont de dimension 1, 2 ou 3. Dans tous
les cas, la somme de leurs dimensions est
éga le à 3, la dimension de l'espace. La
réciproque est vraie : si la somme des
dimensions des espaces propres d'une
matrice carrée est égale à sa dimension,
e lle est diagonali sable . On peut simpli fier cette caractéri sation géométrique en
introdui sa nt la noti o n de multiplicité
d ' une valeur propre, comme multiplicité en tant que zéro du po lynôme carac-
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
RÉDUCTION DE MATRICES
téristique. On dé montre alors qu ' une
matrice est diagonalisable sur le corps des
complexes si les espaces propres associés aux valeurs pro pres multiples sont
de dimensions éga les à cette mul tipli cité . Pour qu 'elle soit di agonalisable sur
le corps des réels, il suffit de plus que tous
les zéros du polynôme caractéri stique
so ient réels.
Pre nons l'exemple de la matrice
(- 1 2
A=l~
- 1
2
2\
2
J.
- 1
Il est possible de calculer son polynôme
caracté ri stique pour la di ago na li ser,
mais on peut éga le ment s'en passer. En
effet, il suffit de changer les élé ments
de la di agonale (égaux à - 1) en 2 pour
obtenir une matrice de rang 1. Autrement
dit , A + 31 est une matrice de ra ng l . Le
théorè me du ran g nous pe rme t alors
d'affirmer que son noyau est de dimension 2, ce qu i signifi e que -3 est une
valeur propre de A et que l'espace propre
associé est un plan . La trace de A est égale
à-3, on en conclut que 3 est également
valeur propre, ce qu ' il est fac ile de vérifie r en calcul ant le ra ng de A - 31, qui
est égal à 2. La matrice A est donc di agonalisable, semblable à la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont
respecti veme nt -3, -3, 3.
Restons sur cet exemple. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, A est annulée par so n polynôme caracté ri stique
(3 + x)2(3-x).
Autrement dit : (A + 31)2(A- 31) = O.
En fa it , il est aisé de vérifier la relation
plus forte (A + 3l)(A-31) =Ü. De manière
générale, si A est di agonalisable, elle est
annulée par un polynôme n'ayant que
des racines simples: les valeurs propres
comptées chacune une seule fois (voir l'en-
Calcul d'un nolvnôme
d'une mauice diagonale
Soit D une matrice diagonale dont les
éléments de la diagonale sont respectivement a , b ... Un calcul simple
montre que D2 est encore diagonale et
que les éléments de sa diagonale sont
respectivement a 2, b2 .• . Le raisonnement peut être itéré, et on obtient de
façon générale (p est un entier) : IY' est
diagonale et les éléments de sa diagonale sont respectivement aP, bP ...
Un polynôme Pest une combinaison
linaire de puissances x.P, donc P(D)
est la même combinaison linéaire de
puissances IY'. La matrice P(D) est
donc diagonale et les éléments de sa
diagonale sont P(a), P(b) .. .
On en déduit que si P est un polynôme
annulant chacun des éléments de la
diagonale de D, alors P(D) est la matrice
nulle. Si A est une matrice diagonalisable, il existe une matrice inversible
Q et une matrice diagonale D telles
que A= Q DQ- 1. Le même type de raisonnement que précédemment permet de prouver successivement :
A2 = QD2Q-1, A3 = QD3Q- 1...
P(A) = QP(D)Q- 1,
où P est un polynôme. Le résultat précédent se généralise donc aux matrices
diagonalisables.
cadré Calcul d'un polynôme d'une mntrice
d iagonale). De façon plus étonnante, la
réciproque est vraie : si une matrice est
annulée par un polynôme n'ayant que
des racines simples, alors elle est diagonalisable. Ses vale urs propres fo nt
alors partie des racines du polynôme.
On peut en proposer une dé monstration
relati vement simple si le polynôme est
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
73
SAVOIRS
Diagonalisation, géométrie ...
Polvnôme annulateur
et diagonalisation
Supposons que la matrice carrée A d' ordre 3 vérifie l'équation (A - al)(A - bl) = 0 , où a"# b. D ' après cette relation ,
l' image de A - bl est incluse dans le noyau de A - al.
Or, le théorème du rang permet d ' affirmer que la dimension de l' image de A - bl est égale à 3 moins la dimension
du noyau de A - bl.
L' inclusion annoncée plus haut implique donc l' inégalité :
3 - dim [Ker(A- hl)] ~ dim [Ker(A- al)],
que l' on peut écrire :
dim [Ker(A- al)]+ dim [Ker(A- hl)] i!:: 3.
Si a et b sont valeurs propres de A , les deux noyaux cidessus sont les espaces propres associés.
La caractérisation géométrique vue plus haut implique alors
que A est diagonalisable .
Si a n' est pas valeur propre , alors dim [Ker(A - al)]= 0 et
donc dim [Ker(A - bl)] ~ 3, ce qui implique A= bl. A est
donc diagonalisable, et de même si b n'est pas valeur propre.
de degré 2 ( voi r l'encadré Polynôme
annulateur et diagonalisation). Dans le
cas de la matrice A précédente, le simple
constat (A+ 31) (A - 31) = 0 suffit donc
pour affirmer qu 'elle est diagonali sable.
Considérons la matrice
A=
l
(a-b-c
2a
2b
2c
b-a - c
2c
no us aj o uto ns la somme a + b + c à
chaque terme de la diagonale, nous obtenons une matrice dont les é léments de
la première ligne sont tous égaux à 2a ,
ceux de la seconde, à 2b et ceux de la
troi sième , à 2c . Autrement d it , chaque
ligne est colinéaire au vecteur colonne
( 1 , 1, 1). L e ra ng d e la m a t rice
A+ (a + b + c) 1 est donc égal à 1, sauf
si a = b = c = 0 , auque l cas il est nul.
Excluons donc ce dernier cas . Le nombre
-(a + b + c) est valeur propre, et l'espace
propre qui lui est associé est un pl an. La
trace de A est égale à -(a + b + c), donc
a + b + c est auss i valeur propre .
Pour conclure, il suffi t de calculer le produit [A+ (a + b + c) I] [A-(a + b + c) I],
c'est-à-dire A 2 .
Nous tro uvons: A 2 =(a + b + c)2 l ,
ce qui montre que le produit ci-dessus est
nul. La matrice annule donc le polynôme
x2-(a + b + c) 2 , qui n'a que des raci nes
simples à la cond ition que a + b + c so it
diffé rent de O. Dans ce cas, A est d iagonalisable. Si a + b + c = 0, la seule valeur
propre de A est 0, A n'est donc diagona li sabl e qu 'au cas où e ll e est null e,
c'est-à-d ire si a= b = c = O.
En résumé, la matri ce donnée est diagonalisable si et seulement si a + b + c "# 0
ou a = b = c =O.
H.L.
o ù les coeffic ie nts a , b e t c sont des
nombres réels. Est-elle di agonalisable?
Nous di sposons de deux méthodes pour
attaquer la question : géométrique ou
algébrique. La présence des trois paramètres rend le calcul du polynôme caractéristique délicat, il vaut mieux essayer
de jouer sur les particul arités de cette
matrice. Nous re marquons alors que, si
74
Ta.ngente Hors-série n°44. Les matrices
par François Lavallou
EN BREF
La décomposition d'une matrice en valeurs singulières (ou SVD pour singular value
decomposition) est un outil de factorisation de matrices rectangulaires très utilisé en
théorie du signal.
Pour une matrice rectangulaire A possédant m lignes et n colonnes, la décomposition
en valeurs singulières correspond à la factorisation A= M X I X tN, où M est une
matrice carré de taille m, N est une matrice carrée de taille n, M et N sont unitaires
(M tM = l m et N tN = In) et I est une matrice rectangulaire (de même taille que A)
dont les seuls éléments non nuls sont « diagonaux » (à savoir les termes I; i pour
i = 1.. . min(m, n)) et positifs. Les valeurs « diagonales » de I sont appelées les
valeurs singulières.
Un problème récurent du traitement du signal est de déterminer n paramètres d'un
système linéaire, de matrice A, dont on effectue m mesures (avec m > n), dans l'espoir,
justifié, d'obtenir une meilleure précision. Nous avons alors à résoudre l'équation
Y = AX, avec Y carrée de taille m, X carrée de taille n, et A rectangulaire ayant m lignes
et n colonnes. Si la matrice A était carrée, tout « tournerait rond » et il suffirait d'en
calculer la matrice inverse. Alors rendons-la carrée en la multipliant par sa transposée ! Nous avons tA Y = (tA A)X, et par suite X = (tA A)- 1 tA Y, si la matrice B = tA A est
inversible. Dans ce cas, la matrice A* = (tA A)- 1 tA est l'inverse généralisé, ou pseudoinverse, de la matrice A.
Dans la pratique, les mesures sont bruitées : Y = AX + b. En cherchant un ensemble de
paramètres X qui minimise l'écart aux données, c'est-à-dire tel que IIY -AXII soit minimum,
on trouve la même solution ! La solution des moindres carrés est l'inverse généralisé.
En utilisant la décomposition SVD de la matrice A, on obtient une expression simple,
et surtout pratique, de cet inverse généralisé : A* = N x I,+ x tM, où I,+ correspond à
la transposée de I dans laquelle tous les coefficients non nuls sont remplacés par leur
inverse. Nous avons ainsi l'expression d'un inverse généralisé (non unique) dans le cas
où la matrice B = tA A est non inversible.
Il arrive souvent qu'un problème soit mal posé, c'est-à-dire que l'inverse, ou l'inverse
généralisé, même s'ils existent, amplifient le bruit. Ceci est dû à une valeur singulière
proche de zéro dont l'inverse devient très (trop) grand. Il suffit alors, dans I +, de
rendre nulle la valeur correspondante, ce qui revient à annuler cette valeur singulière
dans I. On pourrait aussi translater cette valeur d'une quantité qui rende son inverse
« acceptable » . Il s'agit là d'un filtrage , ce qui nous conduit à la théorie spectrale,
domaine bien trop vaste pour être abordé ici.
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
SAVOIRS
par Hervé Lehning
la trigonalisation
Quand une matrice n'est pas diagonalisable, c'est-à-dire
semblable à une matrice diagonale, peut-on encore la réduire
à une matrice « simple » ? La réponse tient dans l'utilisation
du corps des complexes et dans la trigonalisation.
o ns idé ro ns une matrice complexe. Si son polynôme caractéri stiqu e n 'a que d es rac in es
simples, alors elle est diagonalisable. Si
ce n'est pas le cas, il se peut qu 'elle le
soit quand même ... si l'espace propre
correspondant à chaque valeur propre
multiple est de dimensio n égale à son
ordre de multipl icité. Dans la suite, nous
considérons donc les cas, relati vement
rares, où cette propriété est fa usse.
C
2
- 1-x
racine double, 1. La seule valeur propre
de A (et de f) est donc 1. S i A était diagonalisable, elle serait semblable, donc
égale, à l'identité, puisque p 1p- 1 = 1.
Bien entendu, ce n'est pas le cas. L'espace propre associé à I est de dimens io n 1, ce que l'on peut vérifier e n
cons1derant le rang de A - I =
=~) etf
l'endomorphisme associé dans une base
Fleurs trigonales dans le
désert du Namib.
I
.,
Cas de non- diagonalisation
Considérons la matrice A= ( ~
du plan, association qui sera systématiquement fa ite dans la suite. Son polynô me caractéristique est égal à
2
J- x
- 1 = x 2 - 2x + 1 , qui a une
(22 -2)
,
-2
qui est bien égal à 1. Cette matrice permet de trou ver un vecteur propre de/:
le vecteur i de coordonnées ( 1, 1). Autrement dit,f(i) = i.
Considérons alors un vecteur j non colinéaire à i, celu i de coordonnées ( 1, 0)
po ur fi xer les idées. Le système (i, j)
définit une base du plan. Pour déterminer la matrice defdans cette base, il suffit de calculer f(J) dans la base (i ,J). Dans
la base initiale, les coordonnées de f(J)
sont fournies par le produit A ( ~) = ( ~ ) .
Pour déterminer celles dans la base (i,j) ,
76
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
Vecteur propre et plan stable
il suffit de résoudre l'équation
( ~) = x(:) + y(~) .. . ce qui est facile. On
trouve: x = 2 et y= l. La matrice def
dans la base (i, j) est donc B = ( ~ ~) .
La matrice B est trigonale, supérieure
en l' occurrence. Si on change l'ordre
des vecteurs, c'est-à-dire si on écrit la
matrice de f dans la base U, i) , on obtient
la matrice B' = ( ~ ~) , qui est trigonale
inférieure . Dans la suite de cet article,
on opte pour les matrices trigonales
supérieures.
On peut penser que ces résultats tiennent à un choix heureux du vecteur j. Il
n ' en est rien : tout autre vecteur k non
colinéaire à i aurait donné une matrice
trigonale . En effet,f(k) s 'écrit sur la
base (i, k), soitf(k) =ai+ bk . La matrice
de f dans cette base est C = ( ~ :) .
En calculant le polynôme caractéristique de f , on trouve ( 1 - x)(b - x), soit
x 2 - 2x + 1, d'où l'on déduit que b est
égal à 1. Le coefficient a est non nul, sinon
f serait diagonalisable . En remplaçant k
par k / a, on obtient une matrice plus
« simple » : D = (
~
:) , qui est également
la matrice def dans la base (i,j/2).
Ce résultat se traduit de manière matricielle par: A= PD P- 1, où Pest la matrice
de passage de la base initiale à (i,j/2),
. :p=
soit
(0 1) . La matnce
. .inverse est
2 -2
0
1
P- 1 = (
) , ce qui permet de vérifier
2 -2
l'égalité précédente.
Ce cas est général. Autrement dit, toute
matrice carrée d ' ordre deux non diagonalisable, de valeur propre À. , est semblable
à la matrice ( ~ ~) . Cette forme est dite
de Jordan (voir l' encadré Trigonalisation de Jordan).
Considérons une matrice A carrée d'ordre 3 et/ son endomorphisme associé dans une base de l'espace. la matrice transposée tA a au moins une valeur propre A, et donc un vecteur
l:
(a\
propre associé V= J :f:. o pour lequel tAV = AV soit,
en transposant, tyA= Atv. Soit M un point de coordonnées
(x, y, z) appartenant au plan Q d'équation ax + by + cz = o,
ce que l'on peut écrire sous forme matricielle:
l!
(x\
tvx = o où X =
J. Le point/(M) correspond à la matrice
colonne AX, et : tv(AX) = (tvA)X = (A tv)X = A(tvx) = o.
Ainsi, l'image parf de tout point de Q appartient à Q, ce qui
prouve l'existence d'un plan stable parf.
De même que la diagonalisation, la trigonalisation permet de calculer des puissances de matrices. Pour le montrer,
prenons d'abord l' exemple de la matrice
A . Puisque A= PD p- l, il vient
A 2 = pop- l PDP- 1 = PD 2 p- 'car
p - l P = I. En itérant, on montre que
A 3 = PD 3 P- 1 ••• et, de façon générale,
ponp- 1 pour tout entier n. Un calcul simple fournit :
An=
0 2=(~ ~),03=(~ ~), ... IY'=(~ ~)·
On en déduit que
An=('1 1/02)(10 n)(O
1) uis q ueAn=(2n+I
-2n)
1 2 -2 'p
2n
1- 2n ·
Considérons maintenant une matrice
A carrée complexe d ' ordre 3 et f son
endomorphisme associé dans une base
de l' espace . En utilisant la notion de
valeur propre sur la matrice transposée,
on montre qu ' il existe un plan Q stable
par f, c'est-à-dire tel quef (Q) soit inclus
dans Q (voir l'encadré Vecteur propre
et plan stable) . Grâce à ce résultat, on passe
de la dimension 2 à la dimension 3 et
au-delà . On considère une base (i ,j) de
Q dans laquelle la matrice def(ou plus
Hors-série n• 44. Les matrices Ta.ngent:e
SAVOIRS
La trigonalisation
Trigonalisation de Jordan
On appelle bloc de Jordan une matrice dont tous les éléments
sont nuls saufla diagonale principale, sur laquelle tous les
nombres sont égaux, et la diagonale immédiatement supérieure, sur laquelle tous les nombres sont égaux à 1.
On démontre que toute matrice complexe peut être trigonalisée sous la forme d'une matrice diagonale par blocs dont
les blocs sont de Jordan. En dimension 2, cela donne une
seule forme. En dimension 3, cela en donne deux :
o\
l~ ~ :J
()...
1
().. 1 o\
(où À etµ peuvent être égaux) et
l~ ~ :J.
précisément de la restriction de f à Q)
est trigonale supérieure, soit de la forme
( ~ :) . En complétant cette base par un
exemp le. La valeur propre -2 et un vecteur propre associé i de coordonnées
(0, 0, 1) sont en évidence. L'autre valeur
propre est double , et égale à 1. L'espace
propre associé est de dimension 1, engendré par j de coordonnées (3, -6, 20).
Il suffit de compléter par un vecteur k
quelconque (mais indépendant dei et))
pour trigonaliser la matrice donnée. On
peut cependant s'inspirer de la forme de
Jordan (voir l'encadré) en cherchant k
tel que f(k) = k + j , ce qui revient à
On trouve le vecteur de coordonnées
(], 1, -8) . La matrice trigonale cherchée
(-2 0 0\
est
vecteur k n'appartenant pas à P, on obtient
une base (i,j, k) dans laquelle la matrice
l
Camille Jordan
(1838-1922)
est à l'origine des
matrices portant
son nom ..... mais
pas de la méthode
de Gauss-Jordan
qui est due
à un homonyme,
Wilhelm Jordan.
p\
l
O
0
1
0
1J.
1
O µ
aJ . En calculant son
Le second cas est plus délicat.
Prenons l'exemple de la matrice
Ü
V
( 2
0
1\
1
2
0
(À
de f est
2x+ y= 3
.
{ 4x-8y-3z =20
résoudre le système
E
Ü
l-1 1-IJ .
polynôme caractéristique, on montre que
les éléments de la diagonale sont les
valeurs propres de A comptées avec leurs
ordres de multiplicité. Toute matrice carrée d'ordre 3 est donc trigonalisable.
1, d 'espace propre associé de dimension
1, de vecteur propre de coordonnées
(1,-1,-1). En s'inspirant de la forme
Pratique en dimension trois
de Jordan
La seule va leur propre est
( 1 1 0\
lo
0
La pratique de la trigonalisation en dimension 3 est plus compl iquée qu'en dimens ion 2 car plusieurs cas peuvent se
présenter, a priori :
• La matrice A peut avoir une valeur
propre simple et une double, mais d 'espace propre associé de dimension 1 ;
• La matrice A peut avoir une valeur
propre triple, d'espace propre associé de
dimension 1 ou 2.
Le premier cas est similaire à celui des
matrices d'ordre 2.
( 3
La matrice
l-4
4
1
-1
-8
en est un
1
0
J , on cherche troi s
1
1
vecteurs i,jet k tels quef(i) = i,f(j) = i + j
etf(k) =k + j. En lisant cette liste « à l'envers », on obtient) et i en fonction de k:
j = (f - id)(k) et i = (f - id)()), ce qui
donne i = (f- id)2(k).
La conditionf(i) =i devient if- id)3(k) =O.
Or, un calcul simple montre que
(f- id) 3 = O. Le choix de k est donc libre
de cette contrainte. En prenant k de coordonnées ( 1, 0 , 0) , on trouve j de coordonnées ( 1, - 1, 1) et i de coordonnées
(2, -2, -2). La matrice donnée est donc
bien semblable à la matrice de Jordan
ci-dessus.
H . L.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
par Bertrand Hauchecorne
EN BREF
e et produit de matrices diagonalisables
La somme de deux matrices diagonales est une matrice diagonale. Il en est de même du
produit. Cependant, ces propriétés deviennent fausses pour des matrices diagonalisables,
comme le montre les exemples suivants.
Posons A=(
1 1
)et B= (-l O). Le polynôme caractéristique de A est PA(X) = (X - 1)(X - 2).
0 2
0 -2
Il possède deux racines distinctes, donc A est diagonalisable; B l'est aussi puisqu'elle est diagonale!
C=A+B = (~ ~) n'admet que o pour valeur propre. Si elle était diagonalisable, elle serait
semblable à la matrice nulle, ce qui est clairement faux.
Posons maintenant A=(~
~)et B= (~
~).Le polynôme caractéristique de A est PA=X(X-1).
Il possède deux racines distinctes donc A est diagonalisable. B l'est aussi, puisqu'elle est
diagonale! Leur produit C = (~ ~) n'est, lui, pas diagonalisable.
Le théorème spectral affirme que toute matrice réelle symétrique est diagonalisable dans
une base orthonormée. Cette propriété est spécifique au corps des réels. Sur deux
exemples, nous allons voir que ceci devient faux si le corps de base est l'ensemble des
rationnels ou des complexes.
Le polynôme caractéristique de la matrice complexe A =
est (X - 1)2. L'unique
G~)
valeur propre étant 1, si A était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice unité et
représenterait donc l'identité. Ce n'est clairement pas le cas ...
Posons enfin B= (
1
1
) considérée comme matrice à coefficients rationnels. Son polynô1 -1
me caractéristique, X2 - 2, ne possède aucune racine rationnelle. En effet, .Jiest un nombre
irrationnel, et donc B ne possède aucune valeur propre rationnelle.
contre-exemple à méditer
A et B étant deux matrices carrées de même taille, les produits AB et BA ont le même polynôme caractéristique. Donc ces deux matrices ont les mêmes valeurs propres. Cependant,
leurs polynômes minimaux peuvent être distincts !
Posons A=(~ ~) et B= (~ ~) . Un calcul facile montre que AB est la matrice nulle et que
BA= B. Comme B2 est aussi la matrice nulle et que B n'est pas nulle, le polynôme minimal de
AB est X alors que celui de BA est X2 • Ainsi AB est diagonalisable, tandis que BA ne l'est pas.
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
ACTIONS
par Philippe Langenaken
manipuler des matrices
auec un tableur
Les tableurs peuvent traiter rapidement des calculs
matriciels. Cet article présente quelques procédures simples
qui vous éviteront bien des calculs ! Microsoft Excel ( version
2010) est utilisé ici, mais Open Office Cale, par exemple, ferait
tout aussi bien l'affaire.
n tableur est simplement un programme informatique capable
de gérer les feuilles de calculs
(c'est-à-dire des tables contenant des
informations que l'on peut mathématiquement modéli ser à l'aide de matrices) .
Les pères fondateurs du tableur sont les
Américains Robert Frankston et Daniel
Bricklin , dans les années 1970 (voir par
exemple les Algorithmes, page 53, Bibliothèque Tangente 37, 2009). On utili se
généralement un tableur pour des calculs locaux , des simulations ou des projections, pour des fonctionnalités absentes
des logiciels de gestion et beaucoup plus
difficilement réalisables en recourant à
de la programmation .
Abordons )' utilisation d' un tableur par
quelques exemples simples. L'un des
exercices les plus courants, proposés aux
élèves du secondaire, est le calcul du
détemùnant d'une matrice carrée. Voyons
comment on peut y arriver rapidement en
utilisant un tableur (une liste des principales fo nctions disponibles est proposée
en encadré). Soit une matrice carrée de
U
taille 3 encodée dans les cellules (B 1:D3)
(voir la figure ci-dessous). Localisons par
exemple le calcul de son détemùnant en
cellule B5 . Il suffit d' utiliser la fonction
prédéfinie Determat. Dans 85 , écrivons
=DETERMAT(BI :D3). Appuyer sur
Entrée permet de voir immédiatement le
résultat s'afficher.
1
2
A
(
1
1
4
-5
7
1
1
-3,2
6
)
l
C
D
0
E
)
4
Le calcul d'un déterminant d ' une
matrice de taille 3.
Pour obtenir l'i nverse de cette matrice ,
par exemple en (H 1:13), il suffit d'utili ser la fonction In versemat : sélectionnons les cellules (H 1:13), qui contiendront la matrice résultat, tapons
=INVERSEMAT(BI :D3) et validons
avec les touches Ctrl-Maj-Entrée. De
fait, les formu les qui renvoient des
TC1.ngente Hors-série n°44. Les matrices
RÉDUCTION DE MATRICES
'
matrices doivent être tapées sous
forme matric ie lle, en validant avec
Ctrl- Maj-Entrée. Une fo is saisie, la
formule matricielle apparaît égale ment
dans la barre de formule, encadrée par
des accolades.
. ( i •.
)
:i i
l . ~ .;!
~
'
',.,
~·- i1
Pour plus de clarté, il est souve nt utile
de nommer les cellules et les plages.
Le calcul matriciel ne fait pas exception à cette règle . Attribuons le nom A
à la plage (B 1:D3), en cherchant dans
l' onglet Formules la fo nction Définir
un nom .
. ,vtll\l.\UT,ll
l-1
Al
Nom :
,@
o--.s-----__B-.-..
..,..,
Zont :
L'inverse de la même matrice.
C&!rrmentaire :
Multiplions à présent la matrice carrée
(H l:1 3) par la matrice colonne
(M 1:M3). Le résultat sera bien entendu
une matrice colonne, que nous faisons
calculer en (Q 1:Q3) . Il suffit d ' utiliser
la fonction Produitmat, en procédant
comme suit : sélectionner la plage de
cellules résultats (Q 1:Q3), tape r
=PRODUITMAT(H 1:J3 ;M 1:M3), puis
valider.
•
f
0
"
1
•
r;.."ll tlC'n41.M'•
C:,C:l-C:.U"C ••t,
_. 1 , c;11; -e..- c:te._
l
C
La multiplication de la matrice par
un vecteur.
On peut évidemment additionner deux
matrices, pour autant qu 'elles soient de
tailles identiques. Sur l'exemple c idessous, on sélectionne la plage résultat (L6: M8), on saisit la formule (ic i
tout simplement =B6:C8+G6: H8), puis
on valide .
'.
' . l [. ... l [[G ]
l .
• •
c~
•
•
•
~
'
z.
•
L'addition de deux matrices
rectangulaires.
Il est possible de multiplier une matrice par une constante, ou par la valeur
d' une cellule, en utilisant respectivement dans la cellule résultat =3*B6:C8
ou =A 10*B6:C8.
F• n!f6rence à :
Nommer un
ensemble de
cellules.
-Feull 1$8$1 :$0$3
()1(
1 [ Arruer
Si l' on nomme successivement InvA la
plage (HI:J3), B la plage (Ml:M3), M
la plage (B6:C8), N la plage (G6:H8)
et k la cellule A 10, les formules ci-dessus deviennent respecti vement
=DETERMAT(A),
=INVERSEMAT(A),
=PRODUITMAT(InvA ;B),
=M+N , =3*M et =k*M.
Les possibilités d 'application des
tableurs sont nombreuses ! Outre les
calculs de déterminants ou d ' inverses
de matrices, on peut effectuer des
simulations ou des calculs à la chaîne .
Voici deux idées d ' applications relativement simples et utilisables dans un
cadre scolaire.
La résolution d ' un système de n équations linéaires à n inconnues se résout
aisément, pour autant que ce dernier soit
de Cramer (c'est-à-dire que le déterminant de la matrice des coefficients est
non nul). Regardons le système
3x, - 2x2 + x 4 + l ,4x5 = 3
6x, + 2x2 + 0 ,5x3 + 3x4 + 2x5 = 2
Sx, + 2x3 - x 4 - x 5 = 1
x, + 2x2 + 6x3 + 2x4 + 3x5 = - 4
- 3x2 + l,5x3 - x 4 + l,2x5 = 5
Hors-série n" 44. Les matrices Tangente
81
ACTIONS
Manipuler des matrices...
1
Ce système pe ut s'exprimer sous la
forme du produit matriciel sui vant :
(3 -2
6
2
0
0 ,5
1
3
1,4\(x,\
2
X2
5
0
2
- 1 -1
1
1
2
6
2
-4
2
3
A
De nombreuses fonctions matricielles
existent dans Openüffice Cale comme
dans Excel.
• Le produit de deux matrices Mt
et M2 correspond à la commande
Produitmat(M1;M2),
( 3\
0 -3 1,5 -1 J,2 X 5
~---~--~______..
5
X
ou encore AX = B . On introduit les
valeurs des différents coeffic ients dans
le tableur, et on vérifie que le déterminant de A est non nul :
A
4
5
7
c
B
(
1
1
1
0
·2
0
1,4
2
0,5
2
·l
l
-3
1,5
-1
·l
3
1,2
G
H
)
1
1
1
(
1
1
1
J
l
K
M
N
xl
3
x2
2
x3
x4
l
-4
x5
5
)
1
1
1
J
IAI = 311,4
Le déterminant de A vaut 311,4 ; il est non nul.
La cellule B7 contient la form ule
= DETERMAT(A). La matrice A est
donc inversible, le système proposé est
bien de Cramer.
SiAX=B,alorsX=A- 1 B.
La solution s' obtient ai nsi :
8
9
10
11
12
13
-0,l 0,155 0,091 -0,07 0,123
3
)
l
)
·O, 76 0,448 -0,05 -0,12 0,396
2
1
1
1
1
-2
1
-5
1
1
5
J
0,385 -0,35
0,14 0,232 -0,33
1,445 -0,81 0,025 0, 372 -1,25
"---
"-• J
-4
-1,19 0,883 -0,29 -0,28 1,198
5
=INVERSEMAT(A)
J
=PRODUITMAT(B9 Fl3.19 113)
La solution apparaît :
x. =1,
Xz =1,
x3 =-2,
x 4 =-5
et x 5 =S.
82
les commandes prédéfinies
• L'inverse d'une matrice
inversible M s'obtient à l'aide de
lnversemat(M),
• L'opération de transposition de
la matrice M s'effectue grâce à
Transpose(M).
• Le calcul du déterminant de M
s'obtient via Determat(M).
Les commandes en version anglosaxonne sont respectivement
Mmult(M1;M2), Minverse(M),
Transpose(M) et Mdeterm(M)
En outre, il est possible d'extraire les
colonnes ou les lignes de la matrice M,
en utilisant les fonctions Colonnes(M) et
Lignes(M) (ou Colurnns(M) et Rows(M)
dans la version anglo-saxonne).
Enfin, il faut faire attention aux séparateurs d'arguments requis par les options
régionales pour votre tableur préféré (en
général, point-virgule en version française et virgule en version anglaise) !
Calculs à la chaîne... de markou
Les procédures de simulation utilisent
souvent des matrices stochastiques.
L'exemple suivant va permettre d ' illustrer une suite de compositions de transformations (constituant des chaînes de
Markov conve rgentes) ainsi que la
notion de distribution stationnaire.
Au pays imag inaire du Mathe ndesh , on
observe des mouve ments de population e ntre zones urbaines (U) et zones
péri urbaines (P) : tous les ans, 12% des
habitants de la ville migre nt vers la
banlie ue et 8% des banlie usards vont
Tcingente Hors-série n°44. Les matrices
RÉDUCTION DE MATRICES
habiter en vi lle . Cette situation peut se
décrire par la transformation linéaire
suivante:
U;. 1 : 0,88U; + 0,08P;
{ P;. 1 - 0,l 2U; + 0,92P;
ou, sous forme matricielle :
U;.,) = (0,88 0,08) (U ;)
( P;.,
0,12 0,92 P;
U; et P; désignent respectivement les
population s urbaine et rurale pour l'année i. Imaginons une population urbaine initiale de un mill ion d' habitants,
avec 500 000 habitants dans les zones
périurbaines. Introdu isons to utes ces
valeurs dans une feui lle de calcu l :
L'évolution de la démogra phie au
Mathendesh.
Plaçons en B5 et B6 les populations
initiales. Nous avons pris soin de nommer T la matrice de transformation en
(B 1:C2). Dans la colonne C , on calcule les effectifs des populations après un
an sur la base des taux de transfert
observés. Le résultat matriciel s 'obtient grâce à la formule =PRODUITMAT(T;B5:B6). Il suffit alors de tirer
la poignée de recopie vers la droite
pour obtenir les populations respectives dans chaque milieu pour toutes
les années suivantes.
.
S U
'
o.aa
o.oa
0,12
0.92
!120000 &)6000 804800 763840 731071 7t14151 68
S10000 644000 595200 736160 761921 79'14:Z Il
Évolution des bassins de population au
cours des années à venir.
On observe la convergence de ces
popu lations vers des valeurs correspondant aux taux (théor iques) de
Recherche de valeurs propres
L'outil Valeur cible d'Excel permet de rechercher des
valeurs propres approchées d'une matrice. Considérons par
exemple une matrice de taille 5 entrée dans une feuille de
calcul en (C1:G5). Appelons cette matrice A.
Un vecteur propre associé à A est une matrice colonne X
non nulle telle que AX = ÀX, où À est une valeur propre de
A. Pour une telle valeur propre À, le déterminant de la
matrice A - ÀI sera nul. En (L1:P5), encodons la matrice identité 15. En C1, réservons une place pour la valeur propre À.
Nommons cette cellule Lambda. Le but est de faire rechercher par le programme les racines À du déterminant de
A - ÀI. Calculons ce déterminant en A10 :
On reste posi• I[ C OI 1~ '., Gl
o,
tionné sur A10,
et on fait appel
,
à l'outil Valeur
'~"-"""
~- '-""-"-' ~~~~~~~~ ~~~~~ c1.bl e ( avec
Excel2010, cliquer dans l'onglet Données, sur le bouton
Analyse scénarios, puis sélectionner Valeur cible). Dans
la boîte de dialogue Valeur cible, on entre les données
utiles (Cellule à définir : A10, Valeur à atteindre : o, Cellule à modifier: Lambda; en effet, la cellule à définir, A10,
contient le calcul du déterminant de A - ÀI, la valeur à
atteindre est zéro, et la cellule à modifier pour atteindre
cette valeur cible est Lambda). Si une solution existe, Excel
la trouve :
L MO'\ OO\
M
l
~
1
12
0
1
O
11
J
1
11
1-,1
•
1
Q
l
1
[
0 ,08 /(0 ,08 + 0 ,12) = 40% et
0,12/(0,08 + 0 ,12) = 60 % des
1 500 000 habitants initiaux , lesquels
vont progressivement se di sperser vers
600 000 en ville et 900 000 en banlieue. Cette répartition constitue alors
une distribution stationnaire. Certes ,
ces calculs success ifs ne constituent en
rien des démonstration s des propriétés
sous-jacentes. Mais e lles permettent
d ' illustrer efficacement plusieurs propriétés . Bons calculs à tous !
0
0
0
l
O
l
O
O
O
l
La valeur
>.. = -4,42562
fournit le résultat
5 x 10-S pour le
déterminant de
A-Â.I.
P. L.
Hors-série n° 44. Les matrices TC1.n9ent:e
83
EN BREF
par Bertrand Hauchecorne
l'exponenti lie d'une matrice
La fonction exponentielle est la réciproque du logarithme népérien. Par ailleurs, exp(x) est
aussi la limite, quand l'entier n tend vers l'infini, defn(x) = 1 + x + x:2/2! + ... + x'/n!. En utilisant cette formule, on peut définir l'exponentielle d'un nombre complexe quelconque.
Pourquoi ne pas aller plus loin ? La somme et le produit de matrices existent, peut-on donner
un sens à l'exponentielle d'une matrice? Soit A une matrice carrée d'ordre p ; notons IP la
matrice unité et Sn la matrice IP +A+ A2 /2! + ... + An/n!. Le problème est de donner un sens
à la limite de la suite (Sn\· Pour le faire, il faut définir une norme sur l'ensemble des matrices
carrées. On dit alors que la suite (Sn\ tend vers la matrice B si la norme de Sil - B tend vers
o. En l'occurrence, on montre que (Sil\ converge, quelle que soit la matrice A choisie. Sa limite s'appelle l'exponentielle de A et se note exp(A). Mais comment la calculer? C'est là que l'on
voit l'intérêt de la diagonalisation ou de la trigonalisation !
Prenons une matrice diagonale D, avec A.1' A. 2 ...
ÀP
sur la diagonale. Notons
Qn = In + D + D2 /2! + ... + on/n!. Un calcul facile montre que le produit de deux matrices
diagonales l'est aussi, et qu'on l'obtient en multipliant les termes correspondants. On en
déduit que les termes diagonaux de Qn sont 1 + Ài + A.N2! + ... + A.tfn!, suite qui converge vers exp(A.J La matrice exp(D) est donc la matrice diagonale ayant, sur sa diagonale,
l'exponentielle des termes correspondants de D.
Si A est diagonalisable, il existe une matrice diagonale D et une matrice inversible P
telles que A= PD p- 1• Par distributivité du produit, on a encore Sn= P Qn p- 1 • Il est tentant d'affirmer qu'à la limite on a encore exp(A) = P exp(D) p- 1 • Encore faut-il le justifier. On utilise alors la notion de continuité, la norme jouant le rôle de la valeur absolue
dans la définition. On montre alors que la fonction tf, qui, à la matrice M, associe la
matrice PM p- 1, est continue (attention, la variable est une matrice, de même que son
image). On utilise une propriété classique des fonctions continues Oa limite de l'image
est l'image de la limite). Comme exp(D) est la limite de la suite (Qn)n, on en déduit que
tf,(Qn) = Sn tend vers tf,(exp(D)) = P exp(D) p- 1 •
Dans le cas où A est seulement trigonalisable, on opère de même. Le seul inconvénient provient de la difficulté de calculer la puissance d'une matrice triangulaire.
Les exponentielles de matrices sont d'une grande utilité. Considérons par exemple le système différentiel x = 2X + y, y' = x + 2y. Les solutions sont les fonctions de IR dans IR 2 de la
forme t H
exp( tM) U où M =
G~)
désigne la matrice du système et U est un vecteur
de 1R2 • Ceci se généralise à tout système différentiel linéaire à coefficients constants en
dimension p.
Tangente Hors-série n °44. Les matrices
Hors-série n° 44. Les matrices Tcingente
85
ACTIONS
par Élisabeth Busser
Hgrandir les images
sans perdre en qualité
Matrices et vecteurs sont certes avant tout les éléments d 'une
théorie algébrique. Mais ils sont devenus aujourd'hui des
outils mathématiques et informatiques incontournables pour
tout ce qui concerne le traitement numérique des images,
qu'elles soient matricielles ou vectorielles.
i la base de la représentation des
images numé riques est la géométrie ana lytique, celle où les
points aussi bien que les courbes sont
représentés par des données ou des formules algébriques, il ex iste néanmoins
plusieurs formats pour les images que
nous voyons sur nos écrans. Sous chac un d e ces formats se cac he nt des
concepts de calcul matric ie l : matrices
de grandes dimensions, opérations algébriques sur les matrices, transformations géométriques, expression matricielle
d ' une forme algébrique ... En ce qui
concerne la représentation des données
informatiques, là aussi, nombreux sont
les emprunts au vocabulaire des matrices
et des vecteurs : vecteur-ligne ou vecteur-colonne pour représenter une suite
de données, matrice pour représenter
les pixels de l'écran, matrices encore pour
représenter un volum e . L' un des
logiciels les plus connus de calcul scientifique ne s'appe lle-t-il pas« Matlab »,
comme « Matrix Laboratory » ?
S
Georges Seurat
(1859-1891), La Seine à Courbevoie.
L'imagerie matricielle peut être traitée
par un calcul algébrique simple,
mais elle résiste mal au grossissement.
86
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
Ev idemment , il ne fa it appe l qu 'à des
matrices ! C'est cette om niprése nce de
ces noti o ns algé bri q ues importa ntes
do nt no us do nn ero ns ic i qu e lqu es
exemples.
Un exemple de nuancier RVB, ici, les composantes
sont exprimées en pourcentage.
Non,.
Modèle .
~-~---==m
-~·
Images matricielles
À l' instar de certains procédés de broderie (co mme le point de cro ix), des
tec hniques de la mosaïque (q ui fo nt
d' une image une j uxtaposition de« tesselles ») ou du pointilli sme (tel celui de
la peinture de Seurat), l' image numériq ue dite « bitm ap » est, comme son
nom l' indique, une « carte de points » .
Une tell e image n'est donc rien d'autre
qu' un ta bleau de va leurs dont les cases
son t les pixe ls (picture elements, ou
élément d ' image). De là à re présenter
cette im age so us fo rme d ' un tabl eau
den li gnes et p co lonnes, c'est-à-dire
une matrice n x p, il n'y a qu ' un pas,
que les in fo rm ati c ie ns ont très v ite
fra nchi . Il s ont ain si défi ni les images
matricielles. Chaque é lé me nt de cette
matr ice, à savo ir c haque pi xe l déj à
repé ré par ses coo rd onn ées géométriques, va e n plu s être caracté ri sé par
une pondération représentant son intensité ou sa coule ur.
Po ur une im age e n noir et bl anc, cette
pondération va de O à 255, la valeur O
étant pour le no ir, la va le ur 255 corres pondant au bl anc, les vale urs intermédi a ires éta nt attribu ées a ux 256
d iffére nts ni veaux de gri s, all ant du
plus sombre (noir) au plus clair (blanc).
Les entiers étant stockés dans l'ordi nate ur en écritu re binaire, tout nombre
entre O et 255 ne nécess itera pas plu s
de huit caractères O ou 1, c'est-à-dire
huit bits, fo rm ant un octet.
Pour une image e n coul eurs, selon le
code RVB (rouge, vert, bleu), on réserve
un octet par coule ur, ce qui correspond
V•
.,.,.---- ~
• n.;;.--
~
Les formats d'image matricielle
Les form ats d'images matricielles les plus répandus ont
pour nom JPEG (Joint Photographie Exp erts Group),
qui est le format de photo
« classique », GIF (Graphical Interchange) et son remplaçant PNG (Portable Network Graphie).
Les formats TIFF (Tagged Image File) ou PSD
(Photoshop Document), pour la retouche d 'image, sont
également très répandus.
à 256 intensités de rouge, autant de vert
et autant de bleu. Ainsi, un pi xel de bleu
pur sera codé (R, V, B) =(0, 0 , 255). Dans
la pratique, on utili se dans la matrice
tro is octets (un par composante) pour
code r la couleur de chaque pi xel.
La notation matri cie ll e joue donc un
grand rôle dans le stockage des images
numériques ; e lle va éga le ment jouer
un rô le primordi al dans la modifi cati on de ces im ages, autre me nt dit le
traitement d'images. Comme on peut
modi fie r les images coule ur e n appliqu ant à chaque coul e ur (R , V, B) la
même méthode qu 'aux ni veaux de gri s,
il nous suffi ra de traiter les modifi cati ons d ' im ages en ni veaux de gri s. Et
là encore, les opérations sur les matrices
vont jouer un rô le important.
L' une des modifications les plus courantes pour améliorer la qualité d ' une
image est la création de filtres de trai-
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
87
ACTIONS
Agrandir les images ...
tement. Les opérations sur les matrices
vont prendre place lors de l'opération
« convolution ». L'opération consiste à
transformer les éléments de la matrice
d ' image A , généralement de très grand
format , par une matrice F dite de convolution, plus petite, appelée encore noyau.
On modifiera par exemple chaque pixel
de A grâce à ses huit voisins , par l' intermédiaire de la matrice F, qui sera
donc une matrice 3 x 3. Si vous voulez
par exemple renforcer la brillance d ' un
point sur un fond uniforme, comme celui
que décrit la matrice A, vous utiliserez
le noyau F ci-dessous :
50
50
50
50
50
50 50 50 50
50 50 50 50
50 100 50 50
50 50 50 50
50 50 50 50
On calcule alors la valeur de chaque
pixel de la matrice transformée A' en
multipliant sa valeur par celle du pixel
central du noyau et en additionnant la
valeur des produits des pixels environnants point par point. Le coefficient
« 1OO » central devient ainsi
5 x IOO - 1 x 50 - 1 x 50 - 1 x 50
- 1 x 50 =300, et la matrice image sera:
(.. .
. . ·\
A' =
50
50
50
50
50
50 50 50 50
50 0 50 50
0 300 0 50
50 0 50 50
50 50 50 50
Il restera à multiplier tous les é léme nts
par un facteur convenable pour reste r
entre Oet 255 , et le pixel central appa-
88
Images uectorielles
Image
bitmap
Image
vectoriel le
rt Jt
Différence entre une image bitmap
et une image vectorielle.
...\
(. ..
A=
raîtra avec un contraste accentué. Le
calcul matriciel aura , là encore, prouvé
sa capacité d'économie opératoire lors
du traitement d' image.
L' imagerie matric ielle a certes l'avantage de pouvoir être traitée par un calcul algébrique simple, mais e lle résiste
mal au grossissement , donnant très vite
un effet d 'escalier.
li ex iste une autre catégorie d ' images
numériques, plus « résistantes» au grossissement, moins lourdes en taille, mais
pour la quelle le vocabulaire de
l'algèbre linéaire intervient encore: le
images vectorielles. Ce sont des représentations d'objets géométriques simples,
lignes, points , polygones , courbes définis, selon des tableaux d' octets appelés
vecteurs, par leur forme, leur position , leur
couleur. Un cercle sera par exemple défini
par son centre et son rayon, un carré par
deux sommets opposés, une courbe par
plusieurs points et son équation.
Décrites avec peu d'informations , les
do nnées, représentées par des entités
mathématiques, seront aussi moins sensibles aux transformation , et le images
resteront nettes après grossissement.
Le mot « vecteur» intervient à double
titre dans ces images : dans la qualification « vectorielle », mais en plus dans
le rôle important des tangentes aux points
d 'ancrage des courbes, autre ment dit
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
des vecteurs ta ngents , comme les uti li se l'outil « plume » du logic ie l de création graphique Ulustrator (Adobe Systems).
On veut par exemple, étant donnés quatre
po in ts A , B, C, D , trace r une co urbe
allant de A à D , la plus « li sse » possible, tout en restant contenue dans le plus
grand ensemble convexe contenant ces
q uatre po ints , que l'o n appe ll e en veloppe convexe de ces po ints , et dont les
vecteurs tangents en A et D sont AB et
CD. S i on part de A à l' instant 1 = 0
pour arri ver en D à l' instant 1, comment
décrire l'end ro it où se tro uve, à chaque
in stant I compri s entre O et 1, la po inte
de la plume?
C'es t Pi e rre Béz ie r, in gé ni e ur c hez
Renaul t, qui , en 1962, a parfa ite ment
transcrit la situation dans l' idée de concevoir des pièces auto mobiles sur ordinate ur. Po ur décrire un seg me nt [AB ],
pensa-t-il , on fa it occuper à la plume à
l' in stant Ile baryce ntre de A et B , avec
pour coefficients I et 1 - 1, dont la somme
est égale à 1. Pour tracer entre A et B une
co urbe li sse resta nt à l' intérie ur d ' un
certain tri angle ABC, on fa it de mê me:
c'est ici le barycentre de tro is po ints qui
intervient. De même aussi avec les quatre
points A, B , C, O. li s' ag it alors de déterminer les coeffic ients de somme 1, dont
ces quatre po ints seront affectés. L'astuce est d'élever au cube 1 = 1 + ( 1 - 1)
po ur tro uve r ces qu atre no mbres de
somme 1 :
1 = t3 + 31( 1 - 1)2 + 312( 1 - 1) + ( 1 - 1) 3 .
Vo il à quatre rée ls, t3, 31( 1 - 12 ),
312( 1 - 1) et ( 1 - 1) 3 , de somme 1, qui
permettront de sui vre le chemin de l' outil « plume » dans son tracé de courbe.
C'est une courbe de Bézier cubique qu ' il
parcou1Ta, allant A à D, avec B et C pour
« po ints de contrô le » et surto ut AB
co mm e vecte ur ta nge nt e n A et CD
comme vecteur tangent en D. L'équation
d' une telle courbe prend ra alors la fo rme
sui va nte :
Pierre Bézier (1910-1999).
les formats d'image vectorielle
Les formats d'image vectorielle les plus populaires se
nomment PICT (Apple Picture), qui est un peu ancien,
PDF (Portable Document Format), pour un affichage
efficace des documents, Postscript, intéressant pour
l'impression, SWF (Flash), pour des animations sur le
Web, SVG (Scalable Vector Graphie), permettant animations et transparence.
B
C
... D-···--·------···q....
.. ·········· ....
_____
Courbe de Bézier
de A à D, avec B et C
comme points de contrôle .
.·
A
D
O P(t ) = ( 1 - t 3 )0 A + 31(1 - 1)2 08 + 312 ( 1 - t )OC + t 30 D,
que l'on écrit pour simplifier:
P(t ) = (1- t 3 )A + 31( 1 - 1)2 8 + 312( 1 - t )C + t 3 D.
Ici , en plu s des vecteurs, les matrices
seront encore une fo is mises à contribution puisque l'écriture matric ielle servira à mettre cette équ ation sou s une
fo rme plu s condensée :
( 1 0 0
( ,
, ,
')l-3 3
0
-1
-3
P(I)= ( l-1 ), 31( 1- rf, 31 · (1-1) , 1
_
3
6
3
3
Les vecteurs et le calcul matric ie l sont
donc encore présents dans les fa meuses
cou rbes de Bézier , outil de base des
images vectori e lles, qui permettent de
dess iner des courbes li sses et suppo rtant le gross issement sans dégradatio n
pui sque défini es exclusivement à l'aide
d 'é lé me nts mathé matiqu es indé pe ndants des pi xe ls.
E.B.
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
89
SAVOIRS
par François Lavallou
Partout en physique,
des matrices
L'étude dynamique d 'un système physique consiste à
transcrire des relations entre forces en un système
d'équations. La résolution numérique amène à réécrire les
équations sous forme matricielle. De fait, plus de la moitié du
temps de calcul de tous les ordinateurs se passe à manipuler
des matrices !
es matrices sont partout ! Pe u
de calcul s, di scréti sés pour être
traités par la pui ssance informatique, le urs échappent. E lles pe uvent
intervenir dans la formul atio n mê me
du problè me, si celui -ci pe ut être vectori sé, ou dans la représentation d 'opérate urs. Nous allons illu stre r que lques
cas classiques d ' utili satio n des
matrices, sans vo ulo ir pré tendre à l'exhausti vité pui sque la mise e n fo rme
ma tric ie ll e est fréque nte da ns to ut
do maine mathé matisé .
L
matrices en physique
Un calcu l n 'est qu ' une manipulatio n
de règles préétablies . Et qu ' importe le
sens réel des mé thodes mi ses en jeu.
C' est a in s i que l' on a inve nté les
nombres négatifs, les nombres complexes et bie n d 'autres outils « pra-
90
tiques », do nt... les matrices. Ces
tablea ux de no mbres re présenta ie nt
initi a le me nt des applicatio ns linéaires .
On les uti lise do nc nature lle ment pour
to ut systè me phys ique décrit par des
équatio ns linéaires. C'est a insi le cas
e n é lectric ité o ù un coura nt é lectrique i
c rée aux bo rnes d ' un c irc uit passif de
résistance r une tension propo rtio nne lle u =ri (lo i d ' Ohm). Po ur un réseau
é lectrique constitué de n mailles , on
attribue à c haque ma ille un courant de
maille (Ik)k = 1. .. 11 et une fo rce é lectromo trice (FEM ) (Ek\= 1. .. n· Les re latio ns e ntre les FEM et les courants de
ma illes sont sy nthéti sées par la lo i
d ' Ohm matric ie lle E = R 1 (voi r e n
e ncadré) . La matrice R , de dime nsio n
n, est symétr ique. L'élé me nt R;, ; de la
di ago na le princ ipa le est égal à la
somme des résistances de la maille i,
a lors que la quantité - R i.j correspond
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
à la somme des résistances communes
aux mailles i et j. Connaissant les
Des mailles aux maths
fo rces électromotrices d ' un tel réseau ,
nous obtenons les intensités de chaque
maille en inversant la matrice R : en
effet, I = R- 1 E. Dans le cas d ' un quadripôle, la linéarité du réseau permet
d 'établir une relation matric ielle entre
courant et tension d 'entrée et de sortie:
Si toutes les résistances sont identiques dans le schéma
ci-dessous, le système à résoudre s'écrit matriciellement
( ~: )=(Q,)x( ~.
l
Une mi se en série de n quadripô les de
matrice (Q); = 1.. . 11 est alors équi valente à un seul quad ripôle de matrice
(Q) = (Q 11 ) X (Q 11 _ 1) X ... X (Q 1), et
nous avons toujours :
( ~: )=(Q{ ~·
l
Une méthode similaire est utili sée pour
une success ion de systèmes optiques
centrés. Dans le cas de fa ibles ang les
avec l'axe optique, l' approx imation de
Gauss linéari se la lo i de Descartes
n 1 sin (a 1) = n2 sin (a 2) , qu i re lie la
variation de direction d ' un rayon à la
variation de l' ind ice, pour la transformer en une lo i de conservation de
l' angle optique na: n 1a 1 = n2a 2 . Au
passage d ' un pl an perpendicul aire à
l' axe optique, un rayo n est donc entièrement caractéri sé par sa di stance à
l'axer et son angle optique , donc par le
[
E
0
0
l[
=r
2 -1
-1 ][ 11,
-1
3 -1
2
-1 -1 3
13
l
.
Dans la « matrice résistance » , les éléments diagonaux
correspondent à la somme des résistances des mailles et
les autres éléments à l'opposé des résistances communes à deux mailles. L'inversion de l'équation
(E) = (R) (1) nous donne :
On constate en particulier que 12 = 13 , et donc que
i = 13 - 12 = O. Ce résultat pouvait être établi par des
arguments de symétrie, en remarquant par exemple que
le schéma proposé est topologiquement équivalent à un
tétraèdre.
E
Problèmes équivalents.
Équations différentielles
vecteur
( nra
J·
C haque
mili e u
homogène ou dioptre est représenté par
une matrice, et le calcul de la propagation, entièrement algébri sé, se ra mène
à un produit de matrices.
Mais si les matrices sont incontournab les en phys ique, c ' est que tout problème se tradui t en équations diffé rentielles, qui nécess itent ! ' utilisation des
matrices pour leur résoluti on .
En dynamique classique, le mouvement d ' un po int matérie l est caractérisé par une relation entre sa pos ition
x(t), sa vitesse (ou déri vée temporelle)
i 1\t) = dx(t) / dt, et son accélération
x<2\t) = dx<1>(t) /dt= d 2x(t) / dt2, que
l'on sait proportionnelle à la somme
des fo rces depuis Newton. La trajectoire de ce po int , la courbe (t, x(t)), s'obtient en intégrant une équ ation différe ntie lle linéa ire à coeffi c ie nts
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
91
SAVOIRS
Partout en physique
con stants d ' ordre 2 de la form e
m x< 2l(t) + f x(l >(t) + k x(t) = O. Pui sque
l'exponentielle est invariante par déri vation, nous avons (eA1)<11> = A"eA 1• La
fonction x(t) = x(O)eAr est alors solution
de cette équation , à la condition que A
soit solution du pol ynô me du second
degré mA 2 + JA + k = O.
Dans le cas généra l d ' une équation di fférentie lle linéaire d ' ordre n,
Puissances des matrices
Les vecteurs propres d'une application linéaire
a sont proportionnels à leur image: a( x ) = ,li ,
avec X. pour valeur propre.
,i - 1
)"l + I, ak)kl
k=O
= y(") + a
11- I
y(,,- 1) +
•••
+ a y (i) + a0 y= 0 '
1
le po lynôme à résoudre est de degré n.
Ma is nous pouvons réduire l' ordre de
cette équation au pri x d ' une augmentation de dimension, en passa nt d' une
équati on différentie lle d ' ordre 11 sur un
espace de dimension 1 (les réels) à une
équation di ffé rentielle d'ord re I sur un
Cette écriture facilite le calcul algébrique avec
les matrices. Puisque p- 1 A P = D , nous avons
A= PD P- 1, et donc :
A 2 =(PD P- 1) (PD P- 1) = P 0 2 P- 1• Par récurrence, nous obtenons A"= PD" p- 1 avec
Pour l'application a de ~ 2 dans ~ 2 représentée
par la matrice A = ( :
~ ) , cette relation devient
(A - AI)X = O. La condition nécessaire pour
qu'il existe d'autres solutions que le vecteur nul
est det(A - AI)= O. Les solutions de cette équation polynomiale caractéristique sont les valeurs
propres. Pour norre exemple :
det ( A - ÀI) =
I - À I = À 2 - À- 1 = 0.
1 -À 1
Ses solutions sont A1 = <1> et A2 = -1 / <J>, où
</) =
l
En notant Ll 11 = </>" - ( - cp- 1)" , cette expression
.
devient
A ,' = - J [ Ll,,+1 il,,
Lli
li,, ll,,_1
et est encore
valable pour des valeurs négatives de l'exposant.
En appliquant l'écriture A"= P 0 11 P- 1 dans
-
1
l'expression exp(A)= I,-A" , nous pouvons
k=O n!
Js + 1 est le nombre d'or. On en déduit les
2
vecteurs propres X 1 = (<j>,I) et X 2 = ( - 1,<j> ), et
la matrice de passage P =
r
</)
~I
l·
On véri-
fie que , dans la base de vecteurs propres , la
matrice de l' application a est diagonale:
P'AP= dei(e)[ ~!
~
]( :
=(: _;, )=D
92
~ l[ ~
~!
l
avec exp(D)=[ e q,
O
0
e - q,
_,
l·
On vérifie au passage que les coefficients du
polynôme caractéristique d'une matrice sont
indépendants de la base. En particulier,
det(D) = - 1 = det(A) et tr(D) = <p - 1 / <p
= 1 = tr(A). On en déduit la très belle relation
det(exp(A)) = ir(A), valable pour toute matrice
carrée.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
espace de dimension n. Le vecteur
y (" - 1)
de dimension n admet
Y=
l'équation matricielle admet pour solution Y(t) = exp(At).Y(O) avec :
t"
exp(At)=I,A"- (voirenencadré)
n~O
n!
et Y(O) le vecteur des conditions initiales déterminé par n données.
pour dérivée
y (i) =
, et est
Prenons
le
cas de l'équation
avec y(O) = 0
et
y<' l(O) = 1. Elle s'écrit y ( I ) = AY, en
y< 2l = y< 1l + y ,
donc solution de l'équation du premier
ordre y ( I l = AY, où la matrice A est la
matrice compagnon de l'équation initiale:
A= [
T -f J
O
posaet
Y=[ y:I } Y(O)=( ~) et
A=( : ~}
-a,
Par analogie avec l'équation scalaire
/'l = ay, de so lution y (t) = y(O) e'",
Sa résolution nécessite le calcul de
l'exponentiel le de A. Considérons
maintenant la célèbre suite de
Fibonacci , définie par la relation de
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
93
SAVOIRS
Partout en physique
Maths·Tavlor is maths-riches
Toute fonction « bien gentille » (sans irrégularités,
comme on en rencontre souvent en physique) admet un
développement de Taylor. Ce développement en un point
x est une série contenant les dérivées en x de tous les
ordres de la fonction, à savoir :
f (x + h) = f (x) + h/ 1l(x) + h2 / 2l(x) / 2 + . . . En notant
!; = f (x;) , nous avons h+i = !; + hJ;(l ) + h2 J;<2l / 2 + .. .
Ces expressions peuvent nous fournir, par différentes
combinaisons linéaires, une estimation de n'importe
quelle dérivée. Ainsi, de la partie paire de ce développement, soit:
if;+ 1 + J;_1) I 2=!;+h2 1;<2l / 2! + h4 1;<4l I 4! + ... , nous
pouvons obtenir une estimation d'ordre 2 de la dérivée
seconde , avec l'expression :
Ces exemples illustrent le fait que les
suites récurrentes linéaires sont structurellement liées aux équations différentielles linéaires , et peuvent donc
être résolues avec les mêmes outils.
Ainsi, la recherche d'une solution
exponentielle eAr de l'équation différentielle ou d'une solution de la forme
A" de la suite récurrente nous conduit à
résoudre
la
même
équation
X. 2 - X. - 1 = O, dont les solutions sont
les valeurs propres de la matrice A
commune aux deux problèmes. Si vous
savez résoudre une équation différentielle linéaire , vous savez résoudre la
suite récurrente associée , et réciproquement!
Discrète dériue
La généralisation à deux dimensions est le laplacien
N(x,y)= [ -il2 +a-2 ] J(x,y). En notantJ;J=f(x;,Y),
âx ây
2
. 1++:
. 1++:1
J+:i.JJi .J+
Ji -.). ++:1
J ;+ ,}.
nous avons '-'A..f.. -__
2
I .J
h4[
4
t].
l ,J
Le laplacien mesure donc l'écart de la valeur en un point
à la moyenne des points environnants , ce qui justifie
qu'il soit l' opérateur fondamental des processus de diffusion , qui tendent à uniformiser les densités des corps
en présence ...
récurrence u,, = u,,_1 + u11 _ 2 avec u0 = 0
et u 1 = 1. En posant U,, =( u,, ],
avec
u1
=( ~ }
u,,_1
cette
équation
s'écrit U ' 1 = AU IJ- 1 = A"- 1 U 1 • En utilisant la formulation de A" calculée en
encadré, nous déduisons l'expression
du terme général de la suite de
Fibonacci : u,, = 6.,, / 6. 1 avec :
6.,, = <!>" - ( - <f,- 1t et </> = .Js + l .
2
94
Tous les opérateurs intégro-différentiels linéaires sont représentés , après
discrétisation, par une matrice.
Prenons l' exemple de la dérivée .
Comment exprimer la dérivée d ' une
fonction f dont on connaît les valeurs
if;); =, ...11 en n points, régulièrement
espacés, d' abscisses X;= h X i , pour i
variant de l à n ? Nous noterons [!] le
vecteur colonne constitué des valeurs
if;);= 1. .. 11 • En prenant le cas particulier
d' une fonction nulle à l' origine , une
approximation de la dérivée est donnée
par df; = if; - J;_1) / h pour i > 1 et
df1 = f, / h. L'écriture matricielle de ce
système est ( df) = D 1[!] = _!_ D[f]
h
0
-1
avec D =
0
0
0
0 0
0 0
0
-1
-1
0
0
matrice de dimension n . Remarquons
que nou s pouvon s écrire D = I - N, où
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
(1 - N)(I + N + ... + N"- 1) =1 - N" = 1.
Nous venons d'établir, sans trop de calculs, que S = 1 + N + N2 + N3 , soit
0
0
0
est une matrice nilpotente, que nous
avons prise d'ordre 4 pour l'exemple .
Dire que la matrice N est nilpotente
d'ordre 4 signifie simplement, par définition, que la matrice N4 est la matrice
nulle. La dérivée seconde étant la dérivée de la dérivée, la matrice associée à
cet opérateur doit
1 0 2, avec
etre D2 = 0 2
1 = 2
h
A
.
S=
0
L'équation différentielle F'(x) = f(x),
avec la condition initiale F(O) = 0 ,
s'écrit matriciellement [!] = .!. D [F] .
h
Son inversion [F] = hD- 1[!] = hS[f]
donne, en utilisant l'expression de la
0 2 = l-2N+N 2
;
matrice S , F; = h Lfk, pour toute
1 0 0 0 0
-2 1 0 0 0
1 -2
0
0
-2
0 0
k= I
valeur i variant de I à n. Nous récupérons bien l'estimation des intégrales
F (X;) =
En notant (d,j) = 0 2[!] , nous avons
J/
(d2f ); = ~2(J;- 2.f -i + k 2) =
2
) -h.{;(J)
pour i > 1 (des développements sont
proposés en encadré). Pour h suffisamment petit, nous obtenons bien une
approx imation de la dérivée seconde .
Bien sûr, les schémas numériques utilisés dans les codes sont plus raffinés
que ces exemples é lémenta ires !
D' une façon générale, en notant F et G
les matrices associées respectivement
aux opérateurs f et g, la matrice F X G
correspond à la composition f O g.
Ainsi , si f et g sont des opérateurs
inver es l'un de l'autre, nous avons
f a g = id et les matrices associées sont
inverses l' une de l' autre : F=G- 1•
Vérifions
que
la
matrice
S = 0 - 1 = (l - N) _ , correspond à
! ' opérateur d ' intégratio n. Pour une
matrice N nilpotente d'ordre n (c'est-àdire telle que N" = 0) , nous avons
J:' f (t ')dt par les sommes de
Riemann aux points (xk)k = 1. . .11 , espacés
d ' un pas constant h.
On retrouve abondamment la représentation matricielle de toutes sortes
d ' opérateurs intégro-différentiels en
traitement d ' images ou de photos et
dans vos jeux vidéo. Alors , cher lecteur, apprécie les matrices que les
maths risquent et sache que celui qui
dit faire des maths tristement avec les
matrices te ment !
F.L.
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
95
ACTIONS
par François Lavallou
La trilatération
La trilatération, technique courante pour les systèmes GPS,
en cinématique, cristallographie et robotique, donne la
localisation d'un point de l'espace en fonction de ses distances
à trois points fixes. Elle permet de s'affranchir de l'arbitraire
d'un repère.
de la tril atérati on
con s iste à locali ser un po int q
dans l'espace en fo nction de ses
di stancesx 1,x2 et x 3 à troi s points fi xes
p 1, p 2 et p 3 . Les pre mi ers traiteme nts,
dans les années 1980 , simplifi aie nt les
calcul s e n utili sant des repères pri vilég iés, ce qui rompait la sy métrie nature lle du problè me. On développa alors,
à partir de techniques d'algèbre linéaire,
des fo rmul ations « sans coordonnées »
de ces systèmes vers la fin du siècle derni er. Une technique récente utili se des
coordonnées barycentriques e t fo urnit
une fo rmule composée de déterminants
de Cay ley-Me nger, qui o nt tou s une
in te rprétati o n géo mé trique, e n terme
de lo ng ue urs, surfaces o u vo lum es .
Cette fo rmul ati o n a de plu s le mérite
de permettre, pour ce pro blè me d ' ori gine phys ique, une plus simple ex pressio n de l'erreur.
p 2 ,p 3 et de rayons Xi, x 2 ,x 3 . La fig ure ci-
après présente une construction géométrique de la projection p du point q cherché
dans le pl an du tri angle tlp 1piP 3 •
,,
,,
,
,
,,
,,
Trace de l' axe radical
de trois sphères.
Analytiqueme nt , le pro blème consiste
à résoudre un système de trois équa-
Les déterminants de Cayleq-menger
Le problè me peut être présenté comme
la détermination de l' intersection de trois
sphères, respecti vement de centres p 1 ,
96
ti ons quadratiques. Par si mples combinaisons de ces équations, on se
ra mè ne à l'étude de l'i ntersecti on
d' une sphè re et d ' une d ro ite, qui n' est
autre que l' axe rad ica l des trois
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
sphères, perpendiculaire au point p au
plan de référence . Il exi ste alors de ux
solutions, sy métriques par rapport à
ce pl an. Néanmoins des singularités
appara issent quand le point à locali ser
est « proche » du pl an de référe nce .
Nous allons donc utili ser les déterminants de Cayley-Menger, qui présentent l' intérêt de ne pas rompre la
symétrie du probl ème (voir des préc isions en encadré).
Une application directe du déterminant de Cay ley-Menger concerne les
polytopes . Un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion
de polygone (2 0 ) et de polyèdre (30 ).
Le « plus simple » polytope convexe
est nommé simplexe, terme in venté
par Pieter Schoute en 1902. li est
constitué de n sommets (p) = (p 1• • ·Pn)
dans un espace de dimension n - 1, et
~ D,. (p )
son volume Y,. (p ) = - - (n - I)!
s'ex prime en fon ction d ' un déterminant de Cay ley- Menger ! Le simplexe
est donc la générali sation du tri angle
(2 0 ) et du tétraèdre (3 0 ) . Cette générali sati on s'étend à la notion de tri angul ati on. Tout pol ytope con vexe dans
un espace de dimension n pe ut être
décomposé en somme de n-s impl exes
dont les inte rsections de ux à deux
sont l'e nsemble vide ou un s-s implexe
(avec s < n). Le vo lume de tout polytope convexe peut donc s'exprimer en
fo nction de la longueur de ses arêtes
et de ses di agonales !
le déterminant de cavlev-Menger
Considérons deux groupes de n points, les n-uplets
(p) = (p 1 •• •pn) et (q) = (q 1 ••• qn), de l'espace euclidien !Rm, et
notons d; ,J la distance entre le point P; et le point qi"
On définit le déterminant de Cayley-Menger de la façon
suivante :
0 1
1
1
1 d~, d~.,
) - (-!)" 1 d;_ , dJ.2
n p ,Q - 2•-I
Voyons ce que donnent les fo rmules
vectorielles et matricielles données en
encadré pour les dimensions « coura ntes » . En dimension un , le simplexe
est un segment.
dJ.• .
d;., d;_,
d;_.
Pour deux groupes de points identiques, notons D"(p) le
nombre D)p , p). Ce déterminant d'une matrice symétrique et de trace nulle est très largement utilisé dans les
problèmes géométriques traitant de distances dans les
espaces euclidiens. Ils possèdent, pour les ordres les plus
usuels, les interprétations vectorielles suivantes :
D, (p ,q ) = P,P2 ·q,q,,
r
l,
r
D3(p ,q ) = P,P, /\ P1P31 · q,q, /\ q,q3
D.(p,q) = det(P,Pi ,P,P3, p 1p 4)ctet( q,q2,q,q3,q,q4).
où ü · ii et ü A ii représentent respectivement le produit
scalaire et le produit vectoriel des vecteurs ü et ii. Le vecteur ü A ii a pour norme la surface du parallélogramme
établi sur les vecteurs ü et ii, et la valeur absolue du déterminant det{ ü,ii,w ) correspond au volume du parallélépipède construit à partir des vecteurs ü, ii et w (comme le
précise l'article le Sens du déterminant).
En notant SP (respectivement St) la surface et iip (respectivement n.) une normale du triangle généré par les points
(p) (respectivement (q)), nous avons en particulier
D3 (p ,q) =4Sps. (n. ii.). Nous pouvons aussi écrire
D 3 (p,q) = 4S_a. , où a . = s.(n. ·n.) est la projection de la
surface Sq sur la surface SP.
- --
-
U ÂV
-- ,,,'
~:----.,!.-------------.,--,,
,,
W
Héron et tridngle
d~.
D (
---- I
__ .,,,.-;
,
,
,
,
V,
,,
-+- ,'
,
,'
,
,'
,'
-------------;'----::~'
..;;;.________________
-'!'"~--,' ----
u
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
97
ACTIONS
La trilatération
Nous avons D2 (p) = IIP,P,112 = d~2 , et par
suite V2 (p) = ~D 2 (p) = d1.2 , ce qui correspond bien à la distance entre les points
P1 et P2·
Pour un triangle, n = 3
et D3(p) = IIP,P 2 "p,p31!2. La surface du
triangle S a donc pour expression
S = V3(p) = ~IIP,P2 "P,P311, qui est bien la
moitié de la surface du parallélogramme généré par les vecteurs P,Pi et p,p 3 •
Pour un tétraèdre,
La trilatération.
r
0 4 (p ) = det(P,/J 2 ,/J,/J3,/J1/J• )f,
et la formule du simplexe nous donne
le volume v. (p) = ildet(p,p2 ,P,PJ> P,P. )I ·
Le volume d'un tétraèdre est le sixième du vo lume du parallélépipède
engendré par trois côtés concourants
en un même sommet.
En prenant les expressions matricielles,
nous avons bien
(0
1
1\
D2 (p )=~ll
O
d~J=d,\ .
2
0
Avec les notations de la figure donnée
en encadré,
I
d; 2
(0
'l'
Son développement donne
( ai - b2 - c2 \ i
D i (P) = b2c2 -
l
2
) .
Puisque 4S2 = Dlp) nous obtenons ,
avec un peu de calcul élémentaire , la
célèbre formu le de Héron d'Alexandrie:
S2 = s (s - a) (s - b) (s - c) ,
où s =(a+ b + c) / 2 est le demj-périmètre du triangle.
La formule du simplexe nous donne
pour le volume d ' un tétraèdre
~
. que nous
v. (p) = '·\10
(p) , express ton
Un tétraèdre est un cas particulier de
cône, ensemble de droites passant par
un point et s'appuyant sur une surface . Son volume sera donc éga l au
tiers du produit de sa surface de base
par sa hauteur. Si S est la surface du
triangle b.p 1p,p 3 , nous avon s alors
V4 (p') =.!. Sx h . En utili sant la formule
3
du volume pour les simplexes p et p' ,
3V ( ')
D ( ')
nous obtenons h = _ . _P_ = ~
.
S
Dl p)
Le vecteur ;:;; = p1p2 "p ,p3 est perpendiculaire au plan de référence , est indépendant de l' origine choisie , et a pour
norme 11;:;;II = ~0 3 ( ~_).
4
allons exploiter pour la géolocalisation.
98
Nous pouvons maintenant déterminer
la position d'un point q en fonction de
ses distances à trois points de référence
p = (pl' p 2 , p 3 ) (voir la figure).
Nous noterons classiquement a ; le côté
du triangle b.p 1p,p 3 opposé au sommet
P;- Considérons le tétraèdre défini par
le quadruplet p' = (p 1, p 2 , p 3 , q). La
position du point q est entièrement
déterminée par sa projection p dan s le
plan de référence, et par son altitude h ,
hauteur du tétraèdre.
1\
0 c2
Dl p)=b'2J .
4 1 c2 0 a
1 b2 ai 0
6
le GPS
-
w
En notant n = E ll;:;;II un vecteur normal
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
au plan de référence, avec E. 2 = 1 (sui vant l'ori entati on choi sie du pl an),
-
-
~ D, (p') -
nous avo ns pq = hn = f - - - w.
0 3(p)
Avec ]'ex pression vectorielle du projeté p donnée en encadré, nous obtenons
fin alement
-[±
1
q= -D3(p)
0 3(p ,p )J;; + c~D, (p') ·w ].
,-1
10
La détermination du point q ne nécessite que le calcul de quatre déterminants de type Cay ley-Menger (pui sque
3
}: D 3(p ,p 1'>) = Dl p)), et est indépendante
,_,
du repère choisi. Les expressions des
coordonnées barycentriques et de la
hauteur du simplexe se générali sent à n
d imensions !
Coordonnées barvcentriuues
Dans le plan défini par le triangle 11p 1piP3, le point p a
pour coordonnées barycentriques normalisées les rapports s; =S/ S, pour i valant l , 2 ou 3, avec s 1 + s2 + s3 = l,
puisque S =S 1 + S2 + S3 • Cela signifie que pout tout point w
du plan du triangle, nous avons la relation vectorielle
co p = s,co p , + s2 cop2 + s3 coPJ ,que l'on peut écrire
p= s, p,+ s2 --;i;_ + s3 A. Dans la suite, notons p<i) le triplet dans
lequel le point P; est remplacé par le point q. Il correspond
à la face du tétraèdre ayant pour sommet le point q et le
segment a ; pour côté. D'après les résultats présentés dans
l'autre encadré, nous avons Dl p , p<O) = 4S;S.
Nous en déduisons les coefficients barycentriques s; du
projetép:
4SS, 0 3 (p ,pm)
s. = - -=
.
' 4S 2
0 3 (p )
Nous obtenons ainsi une expression du projeté p du point
Bien sûr, avec n points fi xes au lieu de
trois, si poss ible dans des plans différents, nou s avo ns n (n - 1) (n - 2) / 6
tri angles de références, ce qui permet
d ' amé liorer la préc ision de la mesure .
Ce problème de loca li sation d ' un po int
en fo nctio n des di stances à un
ensemble de po ints fi xes est similaire à
des problèmes d ' ho lonomie et de calcul de stabilité de systèmes articulés,
comme un échafa udage ou une tribune
de stade.
q sur le plan de référence en conservant la symétrie des
données:
-
,{, 1 ,{,
(1) p= L, s, p, = ~
( ) L,D 3 (p ,p )P;,
i•I
3 p i• I
Soufflet sans jouer
Au XIXe s ièc le, les mathé mati c ie ns
Adrien-Marie Legendre et Joseph-Louis
Lagrange suggérèrent à Augustin Loui s
Cauchy d 'étudier la fl ex ibilité de po lyèdres à faces ri g ides . Il fut le pre mi er
à établir un théorè me sur le sujet : tout
polyèdre convexe est rigide. Si vo us
construi sez un po lyèdre convexe avec
des faces métalliques re li ées avec des
charni ères , la structure de l'ensemble
e mpêc he ra to ute défo rm ati o n . Ma is
ex iste-t-il des po lyèdres no n convexes
flex ibles ? Rao ul Bri card trou va bie n
Un flexaèdre de Connelly.
des octaèdres articulés en 1897 , mai s
des faces s' interpé nètre nt , ce qui en
empêche une réalisation matérielle. Il fallut attendre 1977 pour que le Can adien
Robert Connell y con strui se un poly èdre fle xible, ma is non con vexe bi en
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
99
ACTIONS
La trilatération
s Gr. li exi ste un polyèdre flexibl e de
Kl aus Ste ffe n à neuf somme ts, e t on
sait qu ' un polyèdre ayant au plus sept
somme ts est ri g ide. Trouve r un po lyèdre flexible à huit sommets reste une
question ouverte !
Robe rt Conne ll y dé mo ntra que le
volume de son pol yèdre resta it
constant au cours de la déform ation et
supputa, sous le nom de conjecture du
soufflet , qu ' il e n était de mê me po ur
tout polyèdre fl ex ible. Idjad Sabitov
prou va e n 1996 une générali satio n de
la formu le de Héron . Il dé mo ntra que
le volume d ' un polyèdre à troi s dimens ions est solutio n d ' une équation po lynomia le dont les coefficie nts sont e uxmê mes des po lynômes des carrés des
longue urs des arêtes. Ce volume ne
pe ut do nc pre ndre qu ' un no mbre fi ni
de va le urs. Lo rs de la déform atio n
d ' un fl exaèdre, son volume ne pe ut
alors varie r continGme nt , car il pre ndra it nécessaire me nt une infinité de
vale urs . Le volume garde une va le ur
con sta nte, et la conjecture du soufflet
dev ie nt un théorè me !
F. L.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
orn
t
oatt1
a découuerte de neptune
Hrthur Cayley
(1821-1895)
Urbain Le Verrier
(portrait par Henri
Giacomotti ; Versailles,
musée national des châteaux
de Versailles et de Trianon).
Bie n qu e na ti f de Ri c hmond en Angleterre, Arthur
Cayley passe les hui t premiè res années de sa vie à
Saint-Pétersbo urg où ses
Quelques années avant sa
.2
"'
découverte de Neptune (en
1846), J'astronome et mathématicien français Urbain
o
Jean Joseph Le Verrier ( 1811-1877) publie en 1840, dans
le Journal de mathématiques pures et appliquées (ou
j
parents font du commerce.
Il étudie les mathématiques
et le droit au Trinity College d e Ca mbrid ge . Il
Journal de Liouville), des travaux mathématiques précurseurs de ce qui deviendra la théorie des matrices. Posant
les équations différentielles des mouvements des sept
planètes connues à cette époque, il introduit l'équivalent des valeurs propres et de la diagonalisation d ' une
matrice. Il relie ces notions à l'analyse astronomique
du problème, distinguant les trois « grosses » planètes,
plus perturbatrices (Jupiter, Saturne, Uranus), et les
fa ntastique, sans o ublie r des do ns intellectuels et
quatre « petites » planètes (Mercure, Vénus, la Terre
artistiques hors du commun . Il pe int des aquarelles ;
et Mars).
passionné de romans, il en écrit quelques-uns et e n
Ce faisant, il simplifie son système matriciel 7 x 7 en le
lit en anglais mais aussi en français, e n allemand et
en italien . Sportif, féru d ' escalade, il venait séjourdécomposant en deux blocs de 4 et 3. Bref, il transforme
un problème d'astronomie en un problème d ' algèbre!
ner régulière me nt dans les Alpes pour s'adonner à
C'est d'ailleurs cette dextérité et cette persévérance dans
son sport favo ri.
le maniement des systèmes différentiels et de leur résoLes travaux d ' Arthur Cay ley concerne nt to us les
Iution matricielle (avant la lettre) qui mèneront Le
domaines, ma is surtout l' algèbre linéaire et les foncVerrier à la découverte de la huitième planète, Neptune.
tions elliptiques . On lui doit de nombreux résultats
Elle était désignée comme planète « troublante » , au
sur les groupes, les matrices, les formes quadratiques.
sens mathématique, car elle modifiait la trajectoire de
li développe la théorie des inva ri ants ; ce te rme,
sa voisine Uranus : les observations des positions de
inventé par Sylvester, recouvrait les propriétés des applicelle-ci
ne correspondaient pas aux solutions approchées
cations linéaires ou multilinéaires (comme le déterdes systèmes différentiels.
minant) invariantes par changement de base .
C' est bien la trace des mathématiques qu'a suivie Le
,.-5,50!) e&.) ... . .s,o o8611' ........ !)08 •• ••••88,411·1
Verrier pour découvrir Neptune, bien plus que celle
+ •,1,87r 1 N••+ e.Nlgo8lf + 0 oooe4SN°' :.-: n,
o,~7865N +(r - u ,8 u ~ )N"' .. 5,71 , ,._~·+tt,o.S8 7, ,
de l'observation astronomique (voir le texte d' Alain
+•,1s8o&l~·· +.•,018;8tfl\ + 0,,.,o'l'l4N., '
Juhel sur le site www.bibnurn.education.fr). Le fameux
•,..9099N + 4,:lo8o33N'+ (1 + •• ,97ofo8,) !<" + •,•'9 J:00• 1
+ ,Gtls,o87tc'"+ o,°"'J:$8oN"'+ o,... S9,4N•• =r o,
bon mot d ' Arago le confirmera : « Monsieur Le Ver•,eo6,351f + • .-.6g85,ll'+ ,,>p, 36sll"=( ,-,,.5g&..,)ll·i
+ S,Jo.4 e38 !C"'+e,1d&46~+ .... ,,s,N•• = • , ,4)
rier vit le nouvel astre au bout de sa plume. »
devient avocat en 1849, mais se livre à sa passion pour
les maths à ses temps libres. En 1863, il pe ut totale ment s'y ado nner puisqu ' il obtie nt une chaire de
mathématiques pures à Cambridge.
Cayley semble avoir obte nu toutes les vertus possibles : une gentillesse reconnue par tous, une mémoire
0
1
0
·1- •
1
·1
-i
·1
•,OMo'l'ISt N+ •,0007.,,srr+ o,oo~ 1h 117W+ •,001 1S46-t
+ (1 - 7,4'9•4•)11~ + 4,8, 54541" + o,ol$J,9-'I" = •,
o,... 001,45l'C + o,"""°e.45ntt'+o,uoe 13688 •+o,ooo oG56S
+ t1 ,893 M9N'''+ (1 - 1S,S8S 4,o) t{'+ tt,d s.,41 "
1:
o,HO oooo6Pf + o,000 0019-ir<'+o,tl09 oo519N"'4· • ,.,..eo, 73
+ o,)o) ~,gN" + o,83548,l<'+(K - ,,3,59'5) "
"' •,
0
en
•
Le système 7x7 de Le Verrier, brut,
avant simplification. On remarquera la petitesse
des quatre premiers coefficients
dans les trois dernières lignes.
n 44. L
m
ne
a.n9 nt
101
ACTIONS
par Daniel Justens
les matrices
actuarielles
Les contrats d'assurance-vie peuvent garantir le paiement
d'un capital déterminé en cas de survie d'un assuré à un âge
donné (capital différé), ou le paiement de ce capital aux ayantdroit au moment du décès de l'assuré (assurance décès).
L'actuariat, tant «vie» que « accident », a aussi recours au
calcul matriciel.
L
'
actuariat recouvre l'ensemble des méthodes mathématiques utilisées dans le
monde des assurances. On parle d'actuariat de premier type lorsque l'on
traite d'assurances couvrant le risque
de décès ou de survie d'un assuré,
d'actuariat de deuxième type pour qualifier tous les contrats couvrant des
risques accidentels, et, depuis quatre
décennies, d'actuariat de troisième
type pour tous les modèles financiers ,
lesquels aujourd'hui se taillent la part
du lion étant donné l'importance et le
nombre de produits « étranges » (on dit
exotiques) qui inondent les marchés.
On imagine mal une compagnie
d'assurances exigeant la restitution
d'un capital invalidité
en cas de guérison miraculeuse ...
l'actuariat uiager
Les contrats d'assurances-vie sont de
deux types : certains garantissent le
paiement d'un capital déterminé en cas
de survie d'un assuré à un âge donné
(le capital est différé) , d' autres garantissent le paiement de ce capital aux
ayant-droit au moment du décès de
l'assuré (assurance décès). Le contexte de ces types de contrat est donc celui
d'un système à deux états : vie ou
mort. L' assuré vivant peut rester vivant
ou passer à l'état« décédé» (n ' insistons pas sur la seule possibilité laissée
à l'assuré mort ... ). On peut convenir
d'observer un assuré lors de ses anniversaires successifs et de noter systématiquement son état. Admettons que
l'on puisse déterminer la probabilité de
survie d' un assuré pendant un an, notée
p (0 < p < 1), que nou supposons dans
un premier temps indépendante de son
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
âge. On peut noter les probabilités de
transition d'états vie- mort au moyen
de la matrice suivante :
M=( ~ l~p J
=[ ~ (1-,p)'
=( ~· (1-i")" }
On constate hélas que la limite pour n
tendant vers l' infini de cette matrice
prend la forme suivante :
La première ligne décrit les probabilités de transition vers les deux états vie
et mort d ' un individu vivant. La seconde ligne correspond aux probabilités de
transition à partir de l'état décédé. Cet
état est qualifié d'absorbant pour des
raisons évidente dans notre contexte
(voir l'encadré consacré aux chaînes
de Markov). On peut à présent s'intéresser à l'état de l'assuré après deux
ans. En supposant les transitions successives indépendantes, on sait que la
probabilité de survie après deux ans
doit valoir p2. La probabilité de décès,
complémentaire, doit être égale à
1 - p 2. En effet, ce décès a pu survenir
pendant la première année (probabilité
1 - p), ou durant la seconde, auquel cas
l' assuré a du survivre un an puis décéder l' année suivante. Ces événements
étant indépendants par hypothèse, leur
probabilité de réalisation simultanée
est égale au produit des probabilités
soit p X (! - p). Les deux événements
(décès la première ou la seconde
année) étant disjoints, la probabilité de
réalisation de l'un ou l'autre des événements est la somme des probabilités,
soit [1 - p] + [p (1 - p)] = l - p 2 . On a
vérifié ainsi que la matrice de transition d 'états en deux ans correspondait
exactement à la matrice M 2, et également que la procédure de calcul mise
en place était celle du produit matriciel:
M'
M"
l
On généralise sans peine ce résultat
pour obtenir la matrice de transition
d'états après n années :
M-
=( ~ ~ J
qui exprime que le seul état final atteignable, quel que soit l'état initial, est
celui de décédé. Apparaît ici la notion
très claire d'état transitoire (être
vivant) et d'état persistant (être mort).
Toutes ces notions sont formalisées
dans le cadre de la théorie des chaînes
de Markov.
La réalité est un peu différente : les
probabilités de transitions dépendent
de l'état du système (la probabilité de
survie varie avec l'âge). Les matrices
décrivant les probabilités de transition
deviennent :
M
x=[~ 1-t-' }
où x désigne l'âge de l'assuré. Après
deux ans, on retrouve la multiplication
matricielle classique :
MM
x
x+ I
=(
P.,
Û
1-p,
i
J(
p_.. ,
Û
1-p_.. , )
i
avec les mêmes conclusions sinistres à
long terme ...
maladie et inualidité
Tournons-nous vers les contrats couvrant les cas de maladie ou d ' invalidité. Dans ce contexte, le système étudié
() 'assuré) peut connaître quatre états :
être vivant et actif, être vivant et invalide, être mort en tant qu 'actif ou être
Hors-série n°44. Les matrices Ta.ngent:e
103
ACTIONS
Les matrices actuarielles
les chaines de Markov
Considérons un système en évolution pouvant
prendre un nombre fini ou dénombrable
d'états notés Ei, E2 . .. et travaillons à temps
discret en considérant des indices de temps
naturels 0, l, 2 ... Toutes les unités de temps,
on postule que le système passe de l'état E; à
l'état Ej avec une probabilité Pij· Ce processus
n'a pas de mémoire: les probabilités de transition dépendent uniquement de l'état du système avant sa transformation (E; ou plus simplement i) et de son état après (Ej ou j). Elles ne
dépendent pas des états antérieurs. Un processus markovien est un système évoluant de
manière aléatoire dans le temps tel que sa distribution de probabilité conditionnelle des
états futurs, étant donné la connaissance de ses
états passés et son état présent, ne dépend que
de ce dernier. Pour de tels processus , la
meilleure prévision que l'on puisse faire du
futur, à partir de son passé et de son présent,
est identique à la meilleure prévision élaborée
sur base de la seule connaissance de son état
actuel.
Dans le cas d'un nombre finis d'états , ces
probabilités de transition peuvent se ranger
dans une matrice P dite stochastique (ou
matrice de Markov), à savoir une matrice carrée s X s dont chaque élément est un réel positif et pour laquelle la somme des éléments de
chaque ligne vaut 1 (et constitue donc une distribution de probabilité discrète) . Ce type de
matrices permet d 'obtenir une classification
des états du système. Par exemple, si pour l' un
des états du système on a P;; = 1 (et donc
Pij =0 pour j '# i) , cet état i sera qualifié d 'absorbant pour des raisons évidentes. Mais il y a
plus subtil ! Notons p/11l la probabilité de pas-
ser de l'état i à l'état} en exactement n transitions. Eh bien, cette probabilité est fournie par
la puissance énième de la matrice P.
Un état} est accessible à partir d'un état i s'il
existe un n tel que pJ" )> O. Les états i etj
communiquent s'ils sont accessibles l'un à
partir de l'autre. Si tous les états d'une chaîne communiquent, on dit que la chaîne est
irréductible.
Un état i est récurrent ou encore persistant si
la probabilité du système d'y retourner (en un
nombre quelconque de pas) est égale à 1. Dans
le cas contraire, l'état est transitoire. On distingue encore les états persistants nuls ou non
nuls elon que le temp moyen de retour est
infini ou fini.
Supposons à présent que l'on observe un
ensemble de systèmes évoluant selon la même
dynamique, et que les fréquences de présence
dans les différents états Ei de ces systèmes
soient décrites par le vecteur a= (a 1, a 2, a3 ....
a.,) dont toutes les composantes sont positives
et de somme nulle. Après une transformation,
on s'attend à retrouver un ensemble caractérisé par le vecteur aP. De même, après n pas, le
vecteur d'états de l'ensemble des systèmes
sera aP'. Sous certaines conditions, cette procédure génère une « stabilité» : à long terme,
pour les chaines non périodiques constituées
d'états persistants , le vecteur d'états tend vers
une distribution dite stationnaire (c'est-à-dire
globalement identique après chaque transformation individuelle des différents systèmes de
l'ensemble). Des exemples d'ensembles de ce
type se retrouvent en actuariat accident,
lorsque l'on considère un portefeuille d'assurés constitués de conducteurs tarifés individuellement en fonction du nombre d'accidents
dont ils sont responsables.
mort en tant qu ' invalide. Les deux derniers états sont considérés comme différents, les prestations de ('assureur
étant le plus souvent significativement
supérieures dans le second cas de figu-
~ 04
re (qui survient après deux changements d' état et se traduit donc généralement par deux débours de la part de
l'organisme assureur). Reprenons une
description des probabilités de transi-
Tangente Hors-série n"44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
tion d'état indépendante de l'âge
comme plus haut :
p "j
q(l,(l
q"·i
p "'
p jj
q i.a
q jj
0
0
0
0
1
0
0
1
[ p"'
l
Les exposants a et i font référence à
l'état initial (premier indice) et final
(second indice) de l'assuré, a signifiant
« actif» et i, « invalide». Les notations p se réfèrent au maintient dans
! ' état de vivant, les notations q quantifient les probabilités de passage à l'état
de décédé. Les sommes des éléments
de chaque ligne doivent évidemment
être égales à 1.
Pour simplifier un peu cette matrice,
les assureurs font généralement ('hypothèse de non-retour à l' état d'activité en partant de l' état d'invalide. Cette
hypothèse est réaliste : le passage à
l' état d'invalide se traduit généralement par le versement d ' un capital. On
imagine mal une compagnie d ' assurances exigeant la restitution de ce
capital
en
cas
de
guenson
miraculeuse ! Voici la matrice simplifiée avec suppression des doubles
indices inutiles :
p "j
q l/JI
/
0
qi
0
0
1
0
0
q"j
l
Pour traduire cette hypothèse selon la
terminologie des chaînes de Markov,
on dit que l' ensemble des états d'invalidité est un ensemble f ermé.
Il faut alors particulariser toutes ces
probabilités de transition en fonction
de l' âge des assurés. Par matrice, donc
par catégorie d'âge, on doit calibrer six
paramètres. Ces paramètres sont liés :
les transitions d ' états sont des distribu-
tions de probabilité pour lesquelles les
sommes de probabilités doivent être
égales à 1. Restent quatre degrés de
liberté par matrice. En considérant des
catégories d ' âge de Oà 104 ans, ce sont
420 paramètres que les assureurs sont
censés estimer ! On constate ici à quel
point le processus de tarification de ce
type de contrat est délicat. ..
Hctuariat accident
Nous sommes presque tous confrontés
à l' obligation de souscrire une assurance responsabilité civile. Celle-ci est
tarifée à partir d ' échelles de primes
calculées selon deux modes complémentaires : le mode a priori, en fonctions de critères plus ou moins arbitraires, et le mode a posteriori, en
fonction du comportement de chaque
conducteur. Parmi les critères a priori
figurent le type de véhicule et sa puissance, l'âge du conducteur, son lieu de
résidence, sa profession , la date
d ' émission de son permis de conduire . .. Le critère a posteriori paraît plus
objectif puisqu'il consiste à comptabiliser chaque année le nombre d'accidents en tort à mettre au crédit (ou plutôt au débit !) de chaque assuré. Le
nombre d'accidents en droit pourrait
également être pris en compte, ce ren-
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
105
ACTIONS
Les matrices actuarielles
seignement apportant des informations
sur le comportement du conducteur. . .
Sur la base des critères a priori, l'organisme assureur détermine une première prime, qui pourra éventuellement soit augmenter l'année suivante
si l'assuré est responsable d ' accidents,
soit diminuer s ' il n ' est responsable
d'aucun. L' assureur doit établir une
échelle de tarification définissant différents niveaux de primes, notés de O à
s. Le niveau d'entrée q dans le système
(0 < q < s) doit aussi être détenniné.
Ces niveaux représentent les états du
système. Des règles de passage d'un
niveau de tarification à ! 'autre doivent
être définies par l'organisme assureur.
Les probabilités de passage d'un état à
! 'autre sont présentées dans une matrice, que l'on construit à partir des
règles de passage et des probabilités pk
d'observer k accidents dans l' année
qui vient.
Supposons pour simplifier que le système compte cinq états correspondant
à cinq niveaux de prime croissants,
numérotés de O à 4, et que chaque
accident en tort provoque le passage
dans le niveau de tarification supérieur
alors que l'absence d'accident permet
de redescendre d'un cran. Sous ces
conditions simples (en fait, les systèmes réels comportent plus d'états et
des règles de transition plus complexes), la matrice de probabilités de
transition prend la forme suivante (la
dernière colonne est construite pour
obtenir une distribution de probabilité
à chaque ligne) :
P, P, P, 1- Po - P, - P, - P,
1- po- P, - p,
Po 0 P, P,
0 Po 0 P,
1- po- P ,
0 0 Po 0
1- po
0 0 0 Po
1- po
Po
P=
d'une distribution de Poisson de paramètre À qui quantifie le nombre moyen
d'accidents dont l'assuré est responsable chaque année. Le problème
consiste à affecter à chaque assuré le
« bon » À. Pour arriver à une tarification sur base d'observations issues
d'un portefeuille hétérogène, les
actuaires considèrent généralement ce
paramètre comme une deuxième
variable aléatoire. Ceci donne naissance aux distributions Poisson-mélange.
Regardons comment évolue un portefeuille de clients pour lequel les fréquences d'assurés présents dans les
cinq états ou niveaux de prime sont
représentées par le vecteur a = (a 0 , al>
a 2 , a 3 , a4 ), dont les composantes sont
positives et de somme 1. Après un an,
la compagnie d ' assurance se trouvera
en présence d ' un portefeuille caractérisé par un vecteur de fréquences aP.
Après deux ans, ce vecteur sera aP2 et,
après n années, aP''. Chaque compagnie peut ainsi déterminer le niveau
total de ses encaissements, étant donné
les primes initiales et la grille de taux
de primes choisie. Ceci est fondamental pour une gestion réaliste. L'idéal est
évidemment la constitution d'un portefeuille rentable et stable ...
Pour obtenir un tel portefeuille stable,
de composante b = (b 0 , bJ> b2, b3, b4 ) , ne
changeant pas au niveau des perceptions de primes, année après année, on
doit avoir 8 = BP. Un tel portefeuille de
composante 8 est appelé distribution
stationnaire. Sous certaines conditions,
on peut démontrer que tout portefeuille
tend naturellement vers cette distribution
stationnaire,
ou
encore
que lim AP" = B. Malheureusement,
cela nëgarantit aucunement la rentabilité de ce secteur d ' activité d' assurances !
La modélisation des probabilités d ' accident se fait théoriquement au moyen
ri 06
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
D.J.
par B. Hauchecorne et N. Verdier
EN BREF
Un peu d'histoire
u
~
go
:,:
Q
L' IUT de Cachan fo rme des techniciens et ingénieurs
électroniciens qui contribuent à concevoir le monde
de demai n, un monde qui se nourrit de matrices ...
électronique consomme ...
des matrices !
S' il est un secteur grand consommateur de matri ces, c'est
bien l' électroniqu e . Les é lectro nic ie ns aiment à ex traire
de leurs montages de fi ls des opé rateurs leur perm ettant
d'a nalyser un circuit é lectrique. Il s servent à modéliser
les relations uni ssant des grande urs de so rtie en fo nction
de gra nde urs d ' e ntrée (co urants, te nsions, intensités . .. ).
,,
1
-~
::;:
v,
+--
Sur ce quadripôle,
les entrées et les sor ties
sont des intensités.
-::;:
v,
-=
-=
Souvent, les grandeurs d'entrée, notées (x, y), et les gran deurs de sorti e, notées (x', y'), sont liées par une relation
du type x' = a x + b y et y' = c x + d y, où a, b , c et d sont
des constantes. Le système pe ut alors être modélisé par
S = A x E, où S désigne le vecteur des sorties , E le vecteur
des entrées et A représente la matrice (:
!) .
L'électroni cie n aime à ité rer. Si l'on acco le un deuxiè me
quadripôle au pre mier, pui s un tro isiè me qu adripôle, et
plus, comment ex primer les « no uve lles» sorties en fo nctio ns des entrées initi ales ? La modélisati o n matri cielle
saute aux ye ux ! En appelant E0 les e ntrées initiales et E,,
les e ntrées rés ultant de l'adj oncti o n de n qu adripô les,
nous auro ns simple ment E,, = A" E0 . Il suffit de savoir
éleve r une mat ri ce à la pui ssance n pour avo ir immédi ateme nt les paramètres de so rti e e n fo ncti o n des paramètres d'entrées . L' itérati on des qu adripôles se réduit à
un calcul matri cie l ! Mais comme no us ! 'avons vu dans
l' arti cle précédent , élever une matri ce , c'est du trava il ...
En cherchant à résoudre les mouvements d' une corde
vibrante, d'Alembert se ramène à une équation
différentielle aux dérivées partielles . Pour la
résoudre, Lagrange aboutit à un système avec des
coefficients « en miroir » ; c'est en fait une matrice
symétrique. Par une méthode fort habile il parvient alors à un polynôme , en fait, le polynôme
caractéristique ; il sait résoudre l'équation de
départ si ses racines sont distinctes . Lagrange
généralise cette méthode pour étudier les perturbations des trajectoires des planètes et la stabilité
du système solaire.
Dans les années 1820, en étudiant les quadriques,
surfaces d 'équationflx,y,z) = 0 oùf est une fonction polynomiale de degré 2, Cauchy annule les
dérivées partielles secondes de f et se retrouve
devant le même problème que Lagrange. En termes
modernes, il montre que les axes correspondent
aux vecteurs propres de la matrice de la quadrique
et que les valeurs propres sont les racines de ce
qu'il appelle l'équation caractéristique. Il fait
alors le lien avec la recherche des axes d'inertie
d'un solide en rotation .
Pierre de Fermat avait au xvn• siècle posé le problème de la décomposition d'un entier en somme
de deux carrés, par exemple 13 = 32 + 22 . Ceci correspond à chercher les valeurs entières de x2 + y2.
Legendre généralise ce problème en l'étendant à la
recherche des valeurs entières prises par une forme
quadratique. Gauss se retrouve devant le même
problème, en introduisant la méthode des moindres
carrés pour trouver l'orbite de l'astéroïde Cérès. La
solution revient à classifier les formes quadratiques, c'est-à-dire les exprimer comme combinaison linéaire de carrés des coordonnées après
avoir fait subir à celles-ci une transformation
linéaire. Gustav Jacobi démontre en 1841 qu ' une
telle forme peut se mettre comme somme et différences de carrés. Ce résultat est connu sous le nom
de théorème d' inertie de Sylvester, le savant anglais
l'ayant démontré indépendamment peu après. En
1858, Weierstrass aboutit au résultat en restant dans
le cadre des bases orthonormées. Les matrices des
formes quadratiques étant symétriques, il démontrait en fait le théorème spectral.
Hors-série n° 44. Les matrices Tc:ingeni:e
107
ACTIONS
par J. Bair et A. Coolen
les tableaux entrées-sorties
I
•
en econom1e
Wassily Leontief est un célèbre économiste américain, d'origine
russe. Il a reçu le prix Nobel d'économie en 1973. Il est
principalement connu pour des travaux qui portent sur des
tableaux d'échanges interindustriels, encore appelés tableaux
d'entrées-sorties (ou input-output).
Wassily Leontief (1905-1999) .
ne économie aujourd'hui comporte de nombreux secteurs S 1,
S2 . .. S11 , par exemple l'industrie,
l'agriculture , les services . . . Chacun de
ces secteurs produit un seul type de bien
ou de service, mais interagit avec les
autres secteurs . La livraison intermédiaire représente la production (I 'output, en anglais) du secteur S; à destination
du secteur SP et donc aussi l'entrée (I ' input, en anglais) du secteur 1 en provenance du secteur S;. Cette quantité sera
désignée x;J·
U
s
108
Les biens produits par les différents secteurs ne sont pas nécessairement homogènes, de sorte que leurs quantités
physiques peuvent parfois ne pas être
comparab les. Comment , par exemple ,
additionner le nombre de tonnes de fruits
récoltés avec le nombre d ' heures réclamées par un service à la personne ? En
conséquence , en vue de calculer la production globale et l'entrée globale d ' un
secteur, il faut être capable d ' exprimer
les X; J en valeurs monétaires , de manière
à pouvoir notamment les ajouter les uns
aux autres . Par exemple , si le secteur S 1
désigne l'agriculture et le secteur S2 celui
des services , alors x 1,2 est la valeur, en
euros , de la production agricole nécessaire au fonctionnement du secteur des
services. Mais les faits sont rarement
aussi simples dans la vie : un tel choix
peut poser des problèmes pour la comparaison de tableaux relatifs à des dates
différentes , puisque les systèmes des prix
varient au cours du temps ! Le modèle
que nous allons développer est donc
valable uniquement dans le court terme .
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
Trauail et capital
Les secte urs effectue nt généraleme nt
des li vrai sons de produits fini s dans le
but de sati sfaire une de mande fin ale
(comme la consommation des ménages ,
les investissements des pouvoirs publics,
les exportations de biens et services à destination de ('étranger. .. ) . Appelon s d;
la valeur (en unités monétaires) de la
demande final e adressée au secteur S;.
Les X;J et les d; peuvent être repri s sous
la forme d ' un tableau :
Secteurs
consomm ateurs
,,,...
s,
:::,
Demandes
fi nales
s,
s2
.. .
s,,
x1.1
x,.2
.. .
x 1.11
d,
X2.I
x 2.2
.. .
X 2,,
c/2
:
:
:
:
x n.2
...
<)
ü:::,
"Cl
s2
ea. :
,,,...
:::,
:
<)
ü<)
[/'J
s,,
X n.l
X
"·"
d,,
Synthèse des livraisons intermédiaires
et des demandes finales, le tout étant
exprimé en unités monétaires.
La somme des éléments dans chacune
des li gnes donne la production globale
de chaque secteur (exprimée en unités
monétaires) . Celle du secteur S; est dès
lors donnée par la somme
x ;, 1 + x;.2 + . ;, . + X ; 1, + d;, ce qui s'écrit
égaleme nt
2:X;.j + d; et que l'on note
J-1
plus simple ment x,
La somme des éléments de chacune des
co lonnes fo urnit l'entrée g lobale de
chaque secteur (également exprimée en
unités monétaires). Celle du secteur S; est
donc donnée par x 1.,. + x2 .l. + .. . +" xll ,l·,
soit , en notation plus condensée , 2 xj.;.
j-1
Enfi n, chaque secteur S; consomn~.e des
biens intermédiaires à raison de
2x
j- 1
Comment la production doit-elle varier lorsque la demande
change ? À l'origine, on a X = (I - A)- 1 D. Si les demandes
D deviennent D +L:. D alors les productions X deviennent
X +L:.Xavec
X +l':.X = (I-Ar(D +L:. D)
= E(D +L:. D) = E X D +E X l':. D.
On en déduit que l':. X = E x l':. D
En considérant le cas où la demande finale du secteur} augmente de 1 tandis que les autres demandes ne sont pas modifiées, on constate quel':. X correspond précisément à la/'me
colonne de E.
Autrement dit, les éléments de la/'me colonne de
E = (I - A)- 1 représentent les quantités supplémentaires que
les différents secteurs auront à produire pour répondre à un
accroissement d'une unité de la demande finale du secteur}.
Plus précisément, (L':. X); = e;J représente la quantité supplémentaire que doit produire le secteur S;lorsque la demande
finale du secteur s1 augmente d'une unité.
(somme des éléments de la colonne i du
tableau des échanges), et augmente la
valeur des biens achetés par l' intermédiaire des facteurs « travail » et « capi tal » de manière à produire un bien de
valeur X; (somme des éléments de la ligne
i du tableau). La différence entre la valeur
de la production globale et la valeur de
l'entrée globale du secteur S; est appelée sa valeur ajoutée, notée v;. La valeur
ajoutée V; vaut
n
1 .,.
v, = x, - 2 xjJ'
J-1
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
109
ACTIONS
Les tableaux entrées-sorties ...
À court terme, il est permi s de supposer
que chaque secteur do it utili ser une proportion constante d 'entrée pour sa production finale. En d 'autres termes,xij' qui
est la quantité produite par S; pour Sj ,
est proportionnelle à la production globale xj du « secteur receveur » Sr E n
termes plus mathématiques, cette relation
s'écrit X;J = aiJ x xj , avec aiJ = x;/ xj le
coeffic ient de proportionnalité .
En conséquence, a;J représente la valeur
de la production du secteur S; que Sj doit
acquérir pour produire (l a quantité correspondant à) une unité monéta ire de
son propre bien. Les nombres aiJ sont
appelés coefficients techniques, car il s
dépendent de la techno logie empl oyée.
l'arriuée des matrices
Commençons avec l'exemple d ' une écono mie à deux secteurs .
Secteurs
consommateurs
"O s i
0
....
o..
(/)
s2
Demandes
fin ales
s1
s2
x1. 1
x1.2
d l
X 2. I
x 2,2
d2
Une économie à deux secteurs.
ou encore X = A X + D. Dans cette derni ère écriture , o n a noté X le vecteur
des producti ons g lobales, A la matrice
des coeffic ients techn iques (A est appelée la matrice technologique), et D est
le vecteur des demandes fi nales. Le raisonnement c i-dessus peut aisément être
généralisé au cas d ' une économ ie à plus
de deux secteurs.
La re lation matricielle X = A X + D peut
aussi s 'écrire sous la fo rme (1 - A)X =
D , où I désigne la matrice identité . La
matrice 1 - A joue dès lors un rôle cap ital ; elle est connue sous le nom de matrice
de Leontief, e n l' honneur de l'économi ste améri ca in Wass il y Wassil yov itch
Leonti ef. Lorsque la matri ce de Leontief est in versible, le ni veau de prod uction de chaque secteur s' obtient simplement
par la relati on X= (I - At 1 D .
Lorsque les conditi ons techno log iques
restent inchangées et que les dema ndes
fi na les adressées aux d iffére nts secteurs se modi fie nt , D deve nant alors
D ' , il s'ensui t que les no uvell es produc ti o ns g lo ba les X ' sero nt don nées
par (1 - At 1 D'. Ain si, un seul calcul
d ' in vers io n matric ie ll e est à réaliser,
celui de la matri ce de Leontief.
Voyo ns un exe mple co ncret, toujo urs
da ns le ca s d' un e éco no m ie à de ux
secteurs.
La production de Si, à savoir x 1 = x1.1 +
x 1.2 + di, peut également s' écrire sous
la fo rme
Secte urs
consommateurs
X 1 = a1 ,1X1 + a1 ,2X2 + d 1.
De même, la production de S2 va ut
X2 = a 2,1X1 + a 2.2X2 + d2.
Ces deux relations peuvent nature llement s'écrire sous la fo rme matric ie lle
sui vante:
s,
s2
Demandes
fina les
-ci
s,
12
3
5
Cil
s2
4
6
5
eo.
Un exemple concret dans le cas
d ' une économie à deux secteurs.
Dans cette situati on initi ale , la production du secteur I vaut 12 + 3 + 5 = 20 ,
110
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
et la production du secteur 2 est égal à
4+6+5=15.
Les relations a;J = X;) xj permettent
d'obtenir la matrice technologique associée à cet exemple :
À court terme, chaque secteur
doit utiliser une proportion constante
d'entrée pour sa production finale.
a 1_1 = 12 / 20 = 0,6,
a 1,2 =3 / 15=0,2,
G1,3 = 4 / 20 = 0,2 et
a 1,4 = 6 I 15 = 0 ,4.
A .InSI. ,
0,2) .
A= (0,6
0,2 0,4
Imaginons à présent que les demandes
finales deviennent 6 unités monétaires
(au lieu de 5) pour les deux secteurs.
5
Lor sque le vecteur D = ( ) devient
D'=(!),
5
X=(~~) devient
X'={I-Af'D'=(~ ~)(!) =(~:).
le vecteur
La part de la valeur ajoutée de l'agriculture ne cesse de décroître
dans l'économie française.
la uariation des demandes
On peut montrer (voir l'encadré consacré à l'évolution de la production) que
les éléments e;J de la matrice
E = (l-Af I permettent de prévoir comment doit varier la production lorsque
la demande évolue, « toutes choses égales
par ailleurs » (cette expression, couramment utili sée par les économistes,
signifie que les conditions de production , et donc ici le éléments de la matrice
technologique , restent inchangées).
Lorsque la demande finale du secteur I
augmente d ' une unité , la production du
secteur I doit augmenter de troi s unités et la production du secteur 2 doit
augmenter d ' une unité (valeurs lues
dans la première colonne de
E =(l-Af 1). Lorsque la demande finale
du secteur 2 augmente d ' une unité , la
production du secteur I doit augmenter
d ' une unité également et la production
du secteur 2 doit augmenter de deux
unités (valeurs lues dans la deuxième
colonne de E = (I-Af 1). Donc , lorsque
les demandes finales des deux secteurs
augmentent chacune de I unité , la production du secteur I doit augmenter de
quatre unités et la production du secteur 2 doit augmenter de trois unités.
En d ' autres termes ,
x 1 = 20 devient x 1 + = 20 + 4 = 24,
etx2 = 15 devientx 2 + = 15 + 3 =18 .
On voit ainsi qu ' il y a de nombreuses
façons d 'obtenir les résultats demandés
pour satisfaire une évolution de la
demande. L' avantage de la méthode
matricielle est de pouvoir se généraliser
aisément à un nombre quelconque de
secteurs d'activités, et de ne nécessiter
qu'une seule inversion de matrice.
J.B.&A.C.
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
111
ACTIONS
par Jacques Bair
Exemples élémentaires de
matrices en économie
Les économistes sont souvent amenés à manipuler des
tableaux de nombres qui sont les résultats d'observations
empiriques ou qui sont construits à partir de règles précises .
Illustrons les opérations matricielles de base par des exemples
variés et très simples rencontrés dans l'univers économique.
orsque des clients ont la poss ibilité d'acheter plus ieurs produits, leurs commandes peuvent
être rassemblées dans un tableau dont
les lignes se réfèrent aux acheteurs et
les colonnes aux biens .
(5
L
Pour fixer les idées, considérons le cas
de trois clients, a, b etc, qui peuvent
acheter quatre produits A , B , Cet D . Par
exemple, le premier c lient , a, commande cinq unités de A , deux unités
de B, quatre unités de Cet une unité de
D. Le d e uxiè me c lient , b, porte son
choix sur trois unités de A, de ux unités de C et trois unités de D , mais ne
désire pas acquérir de produit B . Enfin ,
la troisième personne, c, souhaite obtenir deux unités de A et cinq unités de
C , et n 'est inté ressée par aucun des
deux produits B et D .
Ces données, écrites sous forme d ' un
tableau comprenant trois lignes et quatre
colonnes, forment une matrice M de
format 3 x 4, à savoir :
112
2 4
1\
M=l~ ~ ! ~J·
matrices de commandes,
matrices de fabrication
Admettons que cette matrice M rassemble les commandes effectuées par
nos clients au cours de de ux jours successifs. Au total sur ces deux journées,
les troi s personnes achèteront évide mment les quatre produits conformément
à ces calculs simples :
Ainsi, on a « ajouté» la matrice M à ellemê me, ce qui revient au même que de
l'avoir « multipliée» par le nombre 2.
Plus généralement , si E = (e;) est une
matrice quelconque et a un scalaire, le
produit aE est, par définition , la matrice
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
de même taille que E et dont l'élément
situé sur la ième ligne et la /me colonne
vaut ae;J· Quant à la so mme de deux
matrices E = (e;) et F =(!;)de même
tai lle , e lle n 'est autre que la matrice
obtenue en additionnant les éléments
correspondants.
Nous allons considérer la fabrication
de différents produits en admettant que :
• la production de k unités d ' un produit réc lame k fois les quantités de
facteurs utili sées pour une seule unité
de ce produit ;
• la production simultanée d ' une unité
d'un produit A et d ' une unité d ' un
produit B nécessite des quantités de
facteurs égales à la somme des quantités nécessa ires pour fabriquer une
unité de A et une unité de B.
Ces deux hypothèses, somme toute
assez naturelles, confèrent un caractère « linéaire » à la production et permettent d ' illustrer aisément le produit
matriciel . En effet, en guise d'exemple
élémentaire , intéressons-nous à la fabrication de deux produits semi-finis S I et
S 2 au moyen de trois facteurs primaires
de production , F 1 , F2 et F 3 (qui pourraient être, pour fixer les idées , le travail, le capital et ('énergie) . La quantité
du facteur Fj nécessaire pour une unité
de produit S; est donnée par ('élément
a1,1.. de la matrice M = (a,.J). Les éléments de M seront supposés fixes, aussi
lon gtemp s que la technique de production reste inchangée .
Comme exemple numérique , considérons la matrice de fabrication suivante:
M = ( JO
15
3 6).
5 4
Ainsi, la production d ' une unité de S 1
réclame dix unités de F 1, trois unités de
F2 et six unités de F 3 , tandis que la production d ' une unité de S 2 fait appel à
quinze unités de Fi, cinq unités de F 2
et quatre unités de F 3 .
Par ailleurs, les deux produits semifini s S I et S 2 servent à leur tour pour
fabriquer deux produits finis P 1 et P 2 •
Plu s préci sé ment , pour obtenir une
unité du produit fini P;, il faut employer
la quantité b ;J de SF Les nombres b;J
forment une nouvelle matrice N = (b;).
Par exemple, on di s pose des informations suivantes: il faut cinq unités de
S I et s ix unités de S 2 pour produire
une unité de P 1 et, de même , il faut
deux unités de S 1 et trois unités de S 2
pour produire une unité de P 2 , ce qui
fournit la matrice
N = (~
~) .
Les quantités de chaque facteur primaire intervenant dans la fabrication
de chaque produit fini peuvent être
aisément calculées en utilisant nos
hypothèses initiales. Elles peuvent
être rassemblées dans une matrice P,
de format 2 x 3, dont les lignes se rapportent aux produits finis et les
colonnes aux facteurs primaires. De
fait, on obtient sans peine :
P=(5x10+6x15 5x3+6x5
2 X JÜ + 3 X J 5 2 X 3 + 3 X 5
5x6+6x4)=(140
2 X6+3X4
65
En réalité, la matrice Pest obtenue en
« multipliant » N par M, ce produit
s'effectuant « 1igne par colonne » et
s'écrivant P = N M
Plus généralement, le produit E F de
deux matrices E et F ne peut être exécuté que lorsque le nombre de colonnes
de E est égal au nombre de lignes de F ,
comme le suggère l'exe mple ci-dessus. Si donc E = (e;) est de format
mxn et F =(!;)est de format nxp,
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
45
2J
54)
24
ACTIONS
Matrices en économie
le produit E Fest, par définition , la
matrice Q = (q 1.J ), de format mxp,
telle que
La balance des comptes s'effectue en
comparant les sommes des crédits et
des débits. Or, le total des débits de
tous les comptes vaut
( l\
qt.J
. . = e., . ,!,, .J. + e./ , ,f , ,}. + ... + e'·" f.fi.}. = ,.L.,,
f e,.,J,, .J..
td,-(d d, ... d·tJ-('UM)U
k-l
le double classement en comptabilité
En comptabilité, on a quelquefois
recours à une méthode dite en partie
double, car elle consiste à enregistrer
deux fois chaque opération : une première fois au crédit d ' un compte , et
une deuxième fois au débit. Pour éviter toute erreur éventuelle, il convient
de toujours vérifier l'égalité entre la
somme des crédits et celle des débits.
Ce double clas se ment peut avantageusement être réalisé sous forme matricielle: dans ce cas, nous allons constater
que les contrôles sont automatiques.
Construisons une matrice carrée d'ordre
n, notée M = (a;), dont les indices des
lignes indiquent les numéros des comptes
crédités, tandis que ceux des colonnes
se réfèrent aux comptes débités. Ainsi,
le nombre a;J désigne la somme débitée au compte d'indice jet créditée au
compte d'indice i.
Considérons à présent le vecteur colonne
(c'est-à-dire une matrice comportant
une seule colonne) U composé den
éléments égaux à 1. Le produit matriciel MU définit un vecteur colonne
dont tous les éléments c 1, c 2 , ••• , c11 sont
les sommes de s crédits relatifs aux
comptes qui correspondent aux indices
"
des lignes, puisque c, = ~ a,.r
De même , le total des crédits de tous
les comptes est égal à
( c, \
i ,, -(1 1 ...
L' égalité entre le total des débits et
celui des crédits résulte de l' associativité du produit matriciel, puisque
CUM)U = 1U(MU) = 1UMU
ce qui équivaut à
Plu s généralement , l'assoc iativité du
produit matriciel se traduit comme suit :
pour des matrices Ede format m x n , F
de format n xp et G de format px q , on
peut écrire
E(FG) = (EF)G = EFG ,
le résultat final étant de format m x q.
J- 1
Par ailleurs, le produit tu M, où tu
désigne le vecteur transposé de U, donne
un vecteur ligne dont le s é léme nts
d 1, d 2 , .•• , d 11 représentent les sommes
des débits qui correspondent aux indices
"
des colonnes , car d j = ~ a,.r
i- 1
:114
t :J-'U (MU)
Tcingente Hors-série n°44. Les matrices
J. B.
ACTIONS
par Hervé Lehning
•
a r1ces
et codes secrets
Tout ce qui se prête à des calculs compliqués peut être utilisé
pour coder, les matrices ne font pas exception. Ces codes,
nommés chiffres de Hill du nom de leur inventeur, ne sont
guère utilisés de nos jours. Pourquoi ? Tout simplement parce
qu'ils ont un talon d'Achille ... Dans cet article, nous montrons
lequel, et comment y remédier.
o mmençons en restant dans le
Chiffrement par multiplication
C
classicisme cryptographique. Les
messages sont co nstitués des
lettres de l' alphabet (de A à Z) , sans
espace ni accent ou signe de ponctuation. Ainsi, le message « Tangente est
mon magazine préféré » devient TANGE
NTEES TMONM AGAZI NEPRE FERE
où nous avons groupé les lettres par cinq
pour que cela reste lisib le. Ces vingt-six
lettres peuvent être codées numériquement de Oà 25, par exemple en utilisant
le tableau suivant :
ABCDEFGH
I
J
0
8
9101112
2
3
4
NO
P
ST
UV
W
X
Y
Z
15
Q
16
R
13 14
17
18
20
22
23
24
25
Codage des lettres de
l'alphabetpardes
nombres de0à25.
116
5
6
19
7
KLM
21
Notre message devient alors une suite
de chiffres: 19,0, 13,6,4, 13, 19,4,4,
18, 19, 12, 14, 13, 12,0,6,0,25,8, 13,
4, 15, 17,4,5,4, 17,4.
Pour coder un tel message, il suffit de
savoir coder chaque nombre entre O et
25. Une idée pour ce faire est d'utiliser
la multiplication dans "1l../ 26"1l.. (l ' ensemble des nombres entre O et 25, voir
l'encadré Calculs dans "1l.. /26"1l.. ), qui
consiste en la multiplication ordinaire
dont on ne garde que le reste dans la
division par 26. Ainsi , 12 fois 7 vaut 84
normalement , donc 6 dans "1l.. / 26"1l..
puisque 84 = 3 x 26 + 6.
Un tel multiplicande constitue la clef
du chiffrement. Si nous utilisons 7
comme clef, notre message commence
par 19 fois 7, soit 3 puisque 19 fois 7
vaut 133 qui a pour reste 3 dans la division par 26. Nous continuons ainsi
pour obtenir: 3, 0, 13 , 16 , 2, 13 , 3, 2,
2,22,3,6,20, 13 , 6,0, 16,0, 19 , 4, 13 ,
2, 1, 15,2,9, 2, 15,2.Cettesuitepeut
alors être convertie en lettres en utilisant le tableau précédent à l'envers , ce
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
qui donne:
DANQC NDBBW DGUNG AQATE
NCBPC JCPC .
Déchiffrement, décryptement
Pour déchi ffrer, nous de vons déte rminer l'opération inverse du chiffrement.
Po ur ce la, no us c he rc ho ns s i 7 a un
inverse dans Z/26"1!... C'est bi en le cas
et nous trouvons qu ' iI est égal à l 5 ( voir
l'encadré Calculs dans "l!../26"1!..) . Il est
diffic ile de trouver ce nombre ( 15) mais
fac il e de vé rifi e r a p osterio ri qu ' il
convient pui sque 7 fo is 15 vaut 105 ,
dont le reste dans la divi sion par 26 est
1... Il suffit donc de multipli er par 15
pour déchiffrer. Remarquons à ce ni veau
qu e to ute clef ne do nne pas un code
déchiffrable. Pour cela, il est nécessaire
d' utili se r un é lé me nt in ve rs ibl e de
"l!../26"1!..,c'est-à-dire un nombre premier
avec 26 ( voir l'encadré).
Si on ne connaît pas la clef, nous disposons
de deux méthodes pour casser le code.
Premiè reme nt , nous pouvons essayer
les onze clefs possibles. Deuxièmement,
nous pouvons utili ser la méthode des
fréquences pui sque notre méthode correspond à une simple substitution alphabétique. Nous ne rev iendrons pas sur la
question : e ll e est dévelo ppée dans le
hors-série 26 de Tangente, Cryptographie et codes secrets. L'art de cacher ,
comme dans notre li vre sur l 'Uni vers
des codes secrets.
lnteruention des matrices
En 1929, I'A méri ca in Lester Hill e ut
l' idée de généraliser cette méthode en rempl açant les éléments de "l!../26"1!.. par des
matrices carrées d 'ordre 2 sur ce même
ensembl e. Bien entendu , comme précéde mment , les matrices do ivent être
in versibl es dans "l!../26"1!.., c'est-à-dire
qu e le ur d é te rmin a nt d o it l 'ê tre .
Calculs dans z / 2&z
Traditionnellement, nous notons "l!../26"1!.. (ou "l!.. /26) l'ensemble des nombres de O à 25. Les résultats des trois opérations (addition , soustraction et multiplication) sont
ramenés à Z/26"1!.. en prenant leur reste dans la division
par 26. Ainsi , dans ce contexte, 13 + 14 = 1 puisque le
reste de 27 dans la division par 26 est 1. De même,
2 x 13 = 0 et 7 x 11 = 25. Le premier résultat montre que
2 et 13 ne sont pas inversibles. De façon générale , un
nombre non nul de Z/26"1!.. n'est pas forcément inversible.
Claude Gaspard Bachet de
Méziriac (1581-1638) est l'auteur de la traduction latine de
l'Arithmétique de Diophante
dans les marges de laquelle
Fermat nota l'énoncé de son
fameux théorème. On doit de
plus à Bachet la première preuve connue du théorème qui
porte aujourd'hui son nom.
Le calcul des inverses dans un anneau modulaire comme
Z/26"1!.. est une application du théorème de Bachet selon
lequel l'équation au + bv = pgcd (a, b) où a et b sont
connus a toujours une solution en u, v. De plus, on peut
en trouver une en utilisant l'algorithme d'Euclide .
À titre d ' exemple, appliquons-le aux nombres 26 et 7 en
commençant par diviser 26 par 7. Le quotient est 3 et le
reste 5. Celui-ci peut donc être écrit sous la forme
26 u + 7 v, en l'occurrence : 5 = 26 - 3 x 7. Nous recommençons avec 7 et 5, le reste (2) peut encore être écrit
sous la forme 26 u + 7 v puisque 2 = 7 - 5 , soit :
2 = -26 + 4 x 7. Nous divisons alors 5 par 2 et il en est
de même du reste (1) : 1 = 5 - 2 x 2, soit
l = 3 x 26 - 11 x 7 . Nous avons donc trouvé une solution à l'équation de Bachet . .. et il en est toujours ainsi.
En remarquant que 11 + 15 = 26 , nous en déduisons :
15 x 7 = 1 + 4 x 26. Donc, 7 est inversible dans "l!.. /26"1!..
et son inverse est égal à 15. Il en est de même de tous les
nombres dont le pgcd avec 26 est égal à 1, c'est-à-dire des
nombres impairs non divisibles par 13.
Les codes de Hill sont attaquables
par la méthode du mot probable.
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
117
ACTIONS
Matrices et codes secrets
lester Hill
En 1929, Lester Hill a publié un article sur l'utilisation des matrices pour chiffrer un message dans un
journal éducatif. Il s'agit donc plus d'un exemple
d'utilisation des matrices que d'un chiffre destiné
réellement à cacher. De fait, il demande des améliorations pour offrir une bonne sécurité.
est bien la matrice ide ntité dans
"ll.. /26"ll.. . Nous codons alors le message
en groupant les chiffres deux par deux.
Ainsi , le premier groupe est 19, O.
Nous calcul ons le produit matric iel
sui. vant : A x ( 19) ce qui. donne ( 38)
19
O
soit 12, 19. Le second groupe est 13 , 6,
1
ce qui donne A x ( :) , so it 4, 2 1.
Autrement dit, nous utilisons une matrice
de 35 est égal à 3 pui sque 3 fo is 35
vaut 105 , dont le reste dans la di vision
par 26 est 1. L' inverse de la matrice A
20 5
60
15
est donc 3 x (
- ) = (
- ),
-1 2
-3 6
On continue a insi, mais comme le
nombre de chiffres est impair, on ajoute un O à la fi n . On obtient : 12, 19, 4 ,
21, 21, 4, 6, 7, 20, 2, 20, 9, 15 , 14, 24 ,
12, 12, 6, 12, 1 , 20, 1, 11 , 3, 7, 2, 15,
18, 8, 4. En lettres, cela donne:
MTEVV EGHUC UJPOY MMGMB
UBLDH CPS IE .
Pour déchiffrer, il suffit de multipl ier
par la matrice in verse. Comme le chiffre ment se fa it par groupe de deux
lettres, la méthode des fréquences ne
suffit plus pour décrypter, c'est-à-dire
déchiffrer sans connaître la clef. En
effet, le nombre de digrammes est de
26 x 26, soit 676. De ce point de vue ,
la méthode peut être rapprochée de
celle de Pl ayfair, rendue célèbre par
son utili sati on par John Fitzgerald
Kennedy pendant la Seconde Guerre
mo ndi ale . Co mme dans ce cas, la
méthode du mot probable reste adaptée. Pour montrer comment elle fo nctionne, imag inons un autre message
codé par la même méthode, mais en
changeant la clef.
Supposons que nous interceptions un
message chi ffré de cette manière, donc
avec une matrice 2 X 2 : NCPDN
IFMGD YWDKJ GZYGF TSGM , et
que nous soupçonnions qu ' il commence par le mot « ordre » . Dans ce cas ,
. A- ' = ( 8
soit
notons A = (:
(: !) où le nombre ad - be est impair
et non multiple de 13. Cette matrice sera
la clef de chiffrement. Un calcul fasticlieux
mais simple montre que le nombre de
clefs possibles est égal à 157 248, ce qui
n'est guère important pour une attaque
par fo rce brute, c'est-à-dire en essayant
toutes les possibilités. Cependant , il est
fac ile de généraliser la méthode à des
matrices d'ordre 3, 4 ou 5. Le nombre de
clefs y est autrement plus important , ce
qui la prémunit d ' une attaque par fo rce
brute. Cependant , même s' il vaut mieux
l' appliquer avec des matrices d 'ordre 5 ,
no us la décriron s compl ète ment uniquement dans le cas d 'ordre 2 pour ne
pas compliquer inutilement les calcul s.
Prenons par exemple la matrice
A=( ~ } ), dont le déterminant vaut
0
35 , qui est bien inversible. Son inverse
dans ~ se calcule fac ilement, il s'agit
20 5
de
- ). Dans "ll../26"ll.., l' inverse
I._(
35 - 1 2
11) . 0 n peut ven
, .f.1er ce
6
résultat en effectuant la multiplication
de A par A- 1 ; on trou ve 131 52) qui.
( 468 13 1
23
ri 18
!) la matrice de chif-
frement. Dans celui -ci, OR dev ient NC
1
donc A X ( )~) = ( :) et de même :
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
1
A x ( ~) = ( ;) (DR devient PD) . Cela
1
équi vaut à deux systèmes de deux
équations à deux inconnues :
14a+ l7b= l3
{14c+ l7d=2
et
.
{ 3a + 17b = 15
3c + 17 d = 3
Ces systèmes se résolvent comme dans
le corps des réels, mais en prenant garde
que les calculs se font dans "ll./26"11., où
le calcul d' un inverse peut être délicat (voir
! 'encadré Résolution d'un système dans
un anneau) . Nous trouvons : a= 2, b =3,
c = 7 et d = 2, et obtenons donc la clef
1
de chiffrement : A= ( ; ~).
Pour décrypter le message, il reste à
déterminer l' inverse de A.
4 7
On trouve : A_, = (
).
25 2
En appliquant cette matrice à la suite
13,2, 15,3, 13,8,5, 12,6,3,24,22,3,
10,9,6,25,24,6,5, 19, 18,6, 12,on
obtient : 14, 17,3, 17,4,3,0, 19, 19, 0 ,
16,20,4, 17,0,3,8,23,7,4,20 , 17 ,4,
18 soit : ORDRE D ATTAQ UER A
DIX HEURES. Le fait que le message
ait un sens confirme que notre décryptement est le bon. Le chiffre de Hill est
donc fac ile me nt attaquable par la
méthode du mot probable, même si
nous augmentons la taille de la matrice. Autrement dit, sa sécurité repose
sur le secret, ce qui est toujours imprudent. Comme l'a éno ncé Claude
Shannon : dans un code secret, on do it
supposer que l'ennemi connaît le système . .. la sécurité étant assurée par
une clef (ici la matrice) que l'on change régul ièrement (voir le Principe de
Kerckhoffs dans l'Univers des codes
suffi t pas d ' util iser des matrices
d 'ordres plus importants, même si cela
est utile, il faut égale ment rendre difficile la reconnaissance de mots probables. Ceux-ci sont souvent légions,
comme l'ont montré les erreurs allemandes de la Seconde Guerre mondiale dans l'emplo i de la machine
Enigma. Une idée simple est de commencer par coder en ASCII, ce qui
revient à travailler dans "ll./256"11., et
d'appliquer une compression du texte
par la méthode de Huffman , par
exemple . Celle-ci va en effet traduire le
mot probable d ' une façon non « facilement prévisible ». Le chiffre obtenu en
sera fortement amélioré.
H.L.
Résolution d'un svstème dans un anneau
,
{14a+l7b=l3
Pour resoudre
, on retranche la seconde
3a+l7b-15
équation à la première, on obtient 11 a= 24. Comme l' inverse de 11 est 19, puisque 11 multiplié par 19 vaut 209
dont le reste dans la division par 26 est 1, a est égal à 24
fois 19, soit 14. En remplaçant dans la seconde équation
et en utilisant l'inverse de 17, qui est 23, on trouve b 3.
'
{14c +l7d=2
,
d
se resout e meme, on
L e second systeme
3c +l7d=3:
trouve c = 7 et d = 2.
=
A
Bibliographie
• Cryptographie et codes secrets, l'art de
cacher. Bibliothèque Tangente 26, 2006.
• L'univers des codes secrets de l'Antiquité
à Internet. Hervé Lehning, Ixelles, 20 12.
• The code Breakers . David Kahn , Scribner,
1996.
secrets de ['Antiquité à Internet).
Renforcement du chiffre
Il est donc nécessaire de rendre le
chiffre de Hill résistant aux attaques
par mots probables. Pour ce faire, il ne
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
~ 19
HISTOIRES
par Jean-Jacques Dupas
les mathématiciens préfèrent les grosses...
matrices
Matrix computations: contrairement à ce que ce nom laisse
entendre, nous ne sommes pas en présence d'un nouvel opus
de la série Matrix. Il s'agit d'un ouvrage, d'ailleurs plus connu
pour les numériciens que le film ! L'histoire de l'analyse
numérique est indissociable de celle de l'un des auteurs de cet
ouvrage, Gene Golub.
i vous cherchez à inverser ou diagonaliser une matrice , vous avez
forcément une solution efficace
dans un livre, véritable bréviaire du calcu l numérique : Matrix computations,
qui est le vade-mecum du calcul matri-
S
Blason de de la prestigieuse université
de Standford (Californie, États-Unis)
où Gene Golub exerca à partir des
années soixante.
ciel pratique. Car il ne fa ut pas s'y tromper (et vo us l' ig noriez pe ut-être) : la
plupa rt des ordinateurs de la planète
passe nt le ur temp s à m a nipul er des
matrices. C'est bien pour cette raison que
Matrix computations est un best-seller
(nou s en sommes à la troisième éd ition ,
plus de cinquante mille exemplaires ont
été vendus, et plu s de dix mill e références dans des artic les pointe nt sur cet
ouvrage). Ses auteurs sont Gene Howard
Golub ( 1932-2007) e t Charles Francis
Van Loan (né e n 1947). Comment ce
livre est-il né ?
L' Américain Roger Alan Horn (né en
1942) ava it fondé le département de
ma thé mat iqu es à l' univers ité JohnsHopkin s. Avec les John s H opkins
Press, il publiait des monographies
courtes re pre nant des cours. Il ava it
inv ité Gene Golub à dispenser un de
ses cours. Charlie Van Loan éta it présent et pensait que le cours de Go lu b
ferait un livre excelle nt. Il s décidèrent
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
d'essayer d 'écrire cette monographie.
Selon Golub , toujour s mode s te ,
Charlie Van Loan es t le principal
auteur du livre, et son âme. L' hi stoire
de Gen e Golub pe rmet e n fait de
retracer une grande partie de l' histoire
de l'analyse numérique.
Gene Howard
Golub
(1932-2007).
les débuts
Gene Howard Golub est né le 29
février 1932 de Bernice e t Nathan
Golub . Sa mère é tait originaire de
Lettonie et son père d 'Ukraine . Tous
les deux étaient arrivés indépendamment aux États-Unis en 1923 et
s'étaient installés à Chicago , ayant
des pare nts déjà dan s la ville. Gene
naît au cœur de la grande dépress ion ,
trois ans après son frère ainée Alvin.
À 12 ans, il commence à travailler
dan s la pharmacie de so n cousin
Sidney. Alors qu ' il est au lycée, ses
parents divorcent et son père meurt
l'année suivante , en décembre 1948 .
Au départ, Gene voulait devenir chimiste. Pui s il découvrit la géométrie
analytique et le calcu l, et sa passion
débuta. li suivit des cours de mathématiques à l'univers ité de Chicago ,
puis décida d'aller à l ' université
d ' Illinoi s à Urbana-Champaign pour
sa licence . Une déc ision qui changera
sa vie, car parmi les cours qu'il sui vra figure un cours sur les matrices
de Franz Edward Hohn . Licencié,
Golub suit les cours du fameux stati sticien Calyampudi Radhakri shna Rao .
Pendant ce cours, il apprend plus sur
les matrices que sur les stati stiques ;
il devient vite familier de la manipu lation des matrices.
Gene Golub avait un travail à temps
partiel chez un phy sicien travaillant
sur un accélérateur. Il apprend à programmer l' ILLIAC , l' un des premiers
ordinateurs de l'époque. John Nash
lui offre alors un poste d'assistant
dan s le laboratoire d ' informatique ;
nous so mmes en 1953. De la sorte,
Golub se familiarise avec les problèmes pratiques que les informaticiens rencontrent.
À l' université d'Illinois, Gene Golub
croise le Britannique David John
Wheeler (l 927-2004), qui développe
les routines de base. Golub ne suivra
jamais de cours d'analyse numérique ,
mais apprendra en essayant de comprendre les élégants programmes de
Wheeler.11 rencontrera également l' informaticien britannique Stanley Gill
( 1926-1975).
Bien plus tard, Golub travaillera pour
l'accélération de l'algorithme PageRank
de Google : sans le savoir, vous utilisez tous le s jours les travaux de
Golub ! Il recevra en échange un certain nombre d 'actions Google , qu'il
donnera pour la plupart afin de fonder
la chaire Paul-et-Cindy-Saylor à l' université d ' Illinois . Il di sa it que ce
cadeau en disait long sur l' importance
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
121
HISTOIRES
Les mathématiciens...
méthode de réduction cyclique pour la
résolution de certains systèmes
linéaires, permettant la construction
de solveurs de Poisson rapides. Mais
quand on demandait à Gene ce qui
définissait sa carrière, il ne mentionnait pas telle contribution ou tel
artic le scientifique : il parlait des
gens. li louait ses étudiants et aimait à
répéter qu ' il avait eu de la chance de
les rencontrer.
Publications de SIAM.
www.siam.org
qu'avait eue l'université d'Illinois
dans sa vie ...
Abraham « Abe » Haskel Taub ( 1911 1999) prend Golub comme étudiant.
C'était un proche de John von
Neumann et un spécialiste de mathématiques appliquées. Taub donne justement à Golub un papier de von
Neumann, sur l'utilisation des polynômes de Tchebychev dans la résolution des systèmes linéaires. Ce papier
sera décisif dans la direction que prendront les recherches de Golub . Il
obtient ensuite une bourse et part à
Cambridge pour quinze mois, jusqu'à
l'été 1960. Après quelques mois passés dans l'industrie, Golub accepte en
août 1962 un poste d 'ass istant au
département de mathématiques de
Stanford , qu ' il ne quittera plus.
Une carrière bien remplie
Golub a écrit ou co-écrit autour de
deux cents articles dans les meilleurs
journaux. Sa contribution la plus
conn ue est la décomposition en
valeurs singulières (ou SVD, pour singular value decomposition). On peut
éga lement citer l'invention de la
~ 22
Par ailleurs, Golub a rendu d 'énormes
services à la communauté de l'informatique scientifique. Il fut président
de la Society for Industrial and
Applied Mathematics (SIAM) et joua
un rôle central en fondant le Conseil
international pour l' industrie et les
mathématiques app liquées. Il est le
fondateur de deux journaux importants du SIAM, le SIAM Journal on
Scientific Computing (le Journal du
SIAM de l' informatique scientifique)
et le SIAM Journal on Matrix
Analysis and Applications (le journal
du SIAM de ! 'analyse matricielle et
de ses applications). Il a enfin fondé
NA-NET et NA-Digest, des outils de
travail et de réseaux indispensables
pour la communauté de l 'a lgè bre
linéaire numérique.
J.-J.D.
Références
• Matrix computations. Jean-Jacques
Dupas, Tangente 120, 2008.
• Gene H. Golub Biography. Chen
Greif, Oxford University Press,
2007, en anglais, disponible en ligne
à l'adresse suivante:
http://fds .oup.com/www.oup.co .uk/
pdf/0-19-92068 1-3 .pdf
• Matrix Computations. Gene Golub
et Charles van Loan, Johns Hopkins
University Press, 1996 pour
la troisième édition.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
ACTIONS
par Daniel Justens
Calculs matriciels
en statistique multiuariée
Les bases de données statistiques sont comme de grands
tableaux de nombres. L'usage des notations matricielles
simplifie alors le formalisme. La collecte des données se fait
progressivement, relativement à chaque unité statistique
interrogée, et en notant les observations ligne par ligne.
L
'obs:rvati~n quan~ifiée de p~énomenes econom1ques , soc10log iques ou autres vise
essentiellement à la construction de
modèles uti lisables soit par leurs aspects
prédictifs , soit en vertu de leur puissance explicative. Deux optiques peuvent être développées .
On peut s'intéresser à une variable particul ière, notée Y, que l'o n suppose
dépendante de k variables X 1, ~ , ••• , Xk
indépendantes entre elles et qualifiées
d'explicatives . La relation s'écrit formellement Y= f(X 1 , X 2 , ... , Xk), et on
se place dans le cadre de la régression ,
qu i tend à paramétrer « au mieux »
(dans un sens à définir) la fonction f
en tenant compte des observations.
On peut aussi étudier directement les
k variables X" X 2 , ... , Xk en tentant
de mesurer et d'utiliser « optimalement » leur niveau de dépendance . Le
but de la démarche consiste à donner
du système observé une représentation
conviviale et interprétable en réduisant
sa dimension à une ou deux : des obser-
ri 24
vations dans l'espace à k dimensions
(k > 3) sont en effet difficiles à visuali ser par notre cerveau formaté pour un
espace à deux ou trois dimensions. Le
cadre est ce lui de la construction de
composantes.
Collecte de l'information, régression
La collecte d'observations statistiques
multivariées se fait à partir d'individus, encore appelés unités statistiques
et désignant toute entité abstraite ou
concrète à laquelle ! 'observateur est
susceptible d 'assoc ier une valeur à Y et
un vecteur de valeurs à (X 1, X2 , •.. , Xk).
Supposons que nous disposions de n
unités statistiques. Afin de particulariser chaque observation du vecteur, on
utilise une notation doublement indicée.
Le premier indice va être relatif à la
variable, le second au numéro de l' unité
statistique. Comme les observations
sont notées ligne par ligne (chaque ligne
correspondant aux valeurs associées
pour chaque variable à un individu) ,
Tangente Hors-série n °44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
l'ord re des indi ces se ra « co lo nneligne » : X;Jest do nc située à la li g~ej
de la co lo nne i e t re prése nte la /me
observatio n de la variab le X;. On se
tro uve do nc à l'opposé de la notati on
usuelle « ligne-colonne ». Dans la suite,
nous noto ns Y le vecte ur co lonne des
observati o ns de la variab le Y et X la
matrice des observat ions X;J·
Le cas le plu s s impl e est ce lui de la
régress ion li néa ire. O n suppose q ue la
variable dépendante Y pe ut s'ex primer
comme combinaison linéai re des valeurs
des k variab les ex pl icat ives X;. Formellement, si B est le vecteur co lo nne
des coeffic ients de cette combin a ison
linéa ire, notre modè le se no te par le
vecteur co lonne X B. O n note Y le vecteur colo nne des observatio ns, et l'on
peut introd uire alors le vecteur colonne
E des écarts (erre urs) e ntre o bservations et va leurs prévues par le modè le :
E = Y - X B . La somme des carrée des
erreurs corres po nd à la fo rme 'Ex E,
da ns laque ll e 'E représe nte le vecteur
ligne tra nsposé de E. La méthode cl ass iqu e LSS (least sum of squares, o u
mo indre so mme des carrés) v isant à
min imi ser 'Ex E va li vrer un systè me
de n équati ons à n inconnues qui permet généra le ment de calibre r B. No us
passons ic i sur les problè mes de co li néarité appara issant lo rsqu e deux ou
plu s ieurs va ri abl es ex pli cati ves so nt
dépenda ntes en partie (corré lation significat ivement d iffé re nte de 0) et que le
ca librage est fo rte ment affecté par les
observations. Cec i se comprend intui tive me nt : e n cas de dé pe nda nce, le
système à résoudre est proche d ' un systè me indé terminé . ..
O n peut auss i adjoi ndre une constante
add iti ve au modè le e n y introdui sant
une variable X0 prenant systématiqueme nt la va le ur I e t e n aj o uta nt un e
colonne de « 1 » à X.
Karl Pearson
(1857-1936).
Composantes principales
Considérons à prése nt la seule matrice
X. Ces observations constituent un nuage
de po ints da ns un es pace à k dime nsio ns. L' idée est de se représenter ce
nuage dans un pl an de façon à v isuali ser les proximités et les différences des
unités stati stiques.
Pour y arri ver, on propose
de re mpl acer les vecte urs
,,!
observés (qui constituent les
li gnes de la matri ce) par
une ou deux valeurs (représentation dans le plan) qui
en sont des co mbina isons
linéa ires, tout en conservant un max imum d ' infor mation .
Ce qui fa it le conte nu de
l'information,c'est la variabilité des observations. En
Exemple type d ' une analyse
économie ou en sociologie,
la co nsta nce d ' un para en composante principale (ACP).
mètre ne s ignifi e j ama is
Le nuage de points est représenté
que la no n-conn a issance
dans un plan.
d e sa va ri a b i lit é ! Il
conv ient do nc de construire des co rnbinaisons linéa ires des observatio ns de
variance max imale. Les ac tivités de ce
Hors-série n• 44. Les matrices Tangente
j
125
ACTIONS
Statistique multivariée
En considérant le produit matric ie l
_!_, X, X, , on vérifie que ce dernier corn
res pond , e n variables réd uites, à la
matrice variances-covariances (ou
matrice variances-corrélations), notée
R , qui comprend des I sur la di agonale
(variance d'une variable réduite) et les
corré lations entre X;,,. et Xj,,. aux emplacements (i,j) et U, i).
Notons enfin A= 1(a 1, ... , ak) la matrice
(o u le vecteur) co lonn e de l' une des
transformations lin éa ires c he rchées.
Cette dernière donne comme valeur le
vecteur colonne XrA, de variance:
_!_, A ' X X A=' ARA
' '
.
n
On sait que la matrice carrée R est symétrique (car la corrélation entre X; et Xj
est identique à la corré lation entre \
et XJ Cette propriété permet d'étendre
certa ines formules courantes de déri vation au calcul matriciel.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).
type portent le nom d 'anal yse en compo sa nte s principa les (AC P) e t so nt
issues des travaux du stati sticien controversé Karl Pearson (1857-1936), tri stement célèbre par ai lleurs pour ses
positions e ugéni stes.
Avant de co mmencer toute manipul ation , il fa ut pre ndre consc ie nce du fa it
que la variance d' une variable statistique
est dépe ndante du système d ' unités de
mesure choi si. Une unité di x fois plu s
petite li vre des observations dix fois
plus grandes, de variance cent fois plus
é levée. Il convient de se débarrasser
avant tout de cette influence en ne considérant que les variab les réduites :
Va leur observée - Moyenne
Écart type
inscrites dans la matrice (i ndicée par r)
Xr.
126
Il faut déjà se convaincre qu'il est imposs ible de max imi se r la variance sa ns
imposer de conditions aux éléments de
A. En effet, si ses va le urs a 1 ... ak ne
so nt pas bridées, alors e n les faisant
croître indéfiniment on peut faire tendre
la variance de la combinaison linéaire
Xr A vers l'i nfini . Cette constatation se
voit confirmée par calcu l direct: le seul
extremum libre de 1A RA est un minimum constitué du vecteur ide ntiquement nul (0, 0, ... , 0), leq ue l correspond
à une variance également nulle, toutes
les observat ions étant « résumées » par
l'ori g ine. Le ca lcul des dérivées partielles relativement aux composantes
de A peut être noté comme suit :
a' ARA= 2RA
aA
'
générali sant formellement la dérivation
d' un carré . Le système obtenu par annulation des dérivées partielles est donc
Tangente Hors-série n °44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
homogène. S'il n 'est pas indéterminé ,
ce qui est infiniment peu probable , il
n ' admet que la solution triviale A= 0
(abu s de notation).
Il faut donc se tourner vers la recherche
d'un maximum sous contra inte en uti li sant les multiplicateurs de Lagrange .
En choisissant d ' imposer la contrainte
I
A A = 1 aux éléments de A, on garantit la conservation des di stances, refusa nt toute homothétie et donc tout
gonflement des écarts.
Siège de l'lnsee.
Considérons à présent la fonction
et calculons ses dérivées partielles. L'annulation des k premières conduit au système de k équation s
2RA-2À.A=0,
équivalent à (R - À l)A = 0
(où I désigne la matrice identité).
L' annulation de la dernière dérivée ,
relativement à À, redonne la contrainte.
Pour sortir de la so lution triviale du
premier système , il faut imposer à celuic i d'être indéterminé. Son déterminant
doit être nul. Ceci revient à donner à À
une valeur vérifiant det[R - À I] = O.
Notre problème se résume finalement
à la recherche des valeurs propres de
la matrice R. Cette équation de degré
k admet généra lement k so lutions .
Sous notre contrainte (1 A A = 1), on
montre par s imple calcul direct que
chaq ue valeur propre À mes ure très
exacte me nt la variance de la combinaison linéa ire obtenue par résolution
du système compl et obtenu pour cette
valeur (k équations linéairement dé pendantes, donc k - 1 degrés de liberté,
plus la contrainte imposée) . Il s uffit
donc de retenir les solution s associées
aux deux plus grandes valeurs de À pour
être à même de transformer le nuage
de points en nuage planaire tout en
conservant un maximum d ' information.
On peut même quantifier l'information
disponible dans la réduction planaire
du nuage . En effet, les variances des k
variables de départ sont toutes égales
à 1. Si ces variables sont indépendantes
(ce qui est le cas si on en fait une représentation dans un espace à k dimensions) , alors la variance associée à leur
so mme sera égale à la somme de s
variances, soit k. En retenant pour notre
pl an les valeurs propres les plu s élevées, À. 1 et À. 2 , on conserve la fraction
(À 1 + À. 2) / k de l' information initiale .
Cette façon de faire permet donc une
représe ntation efficace d ' une partie
connue de l' information disponible
dan s la base de données initiale . On
peut aussi donner une interprétation
géo métrique de la démarche. Le p lan
retenu est le plan contenu d ans l'espace initi al à k dimen sion s tel que la
projection orthogonale des observations sur ce plan présente un max imum
de dispersion.
D.J.
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
127i
SAVOIRS
par François Lavallou
les matrices de
La qualité des communications modernes repose sur la capacité
à s'affranchir du bruit et des interférences dans un signal.
Parmi les nombreuses structures mathématiques utilisées en
théorie des codes correcteurs d'erreurs apparaissent les
matrices de Hadamard.
es matrice~ de Hadamard possèdent une structure des plus
simples : e lles sont carrées et
leurs vecteurs colonnes, constitués uniquement de + l ou de - l , sont orthogonaux. Elles po1tent le nom de Jacques
Hadamard , mais James Joseph Sylvester, inventeur du terme « matrice »
et pionnier de la théorie des déterminants ,
fut sans doute le premier à les avoir
étudi ées systématiq uement. Il mit au
point, en 1867, une méthode de construction de telles matrices d 'ordre 2", pour
toute valeur den. Objet d 'étude depuis
plus de cent quarante ans, les structures de ces matrices , aux multiples
applications, renferment encore de nombreux secrets.
L
Inégalité de Hadamard
Considérons une matrice A de rang n
et de terme général ( a ;.j ) 1.;_.,, • Hadamard
l,s;j:Sfl
Cette inégalité est connue sous le nom
d'inégalité de Hadamard. Le déterminant est la somme de tous les produits
den termes , un par li gne et un par
colonne, affectés par un coefficient
- 1 ou+ 1. Ces produits sont au nombre
den! . Si les termes de la matrice sont
majorés en valeur absolue par le nombre
positif M (c'est-à-dire si la;) :SM ),
alors chaque produit de n termes est
majoré par M" et donc Idet(A) 1 :S n!M".
L'inégalité d'Hadamard fournit la majoration Idet (A) 1 :S n"12 M" , qui est bien
plus préci se. Cette relation a été conjecturée par Lord Kelvin (1824-1907) et
démontrée en 1885 par Thomas Muir
(1844-1934) pour des nombres réels.
L' inégalité de Hadamard a une interprétation géométrique simple. En notant
uj = (a 1J ... a 11 ) les vecteurs co lonnes
de la matrice A, elle s ' écrit
a établi en l 893 la majoration su ivante de
la valeur absolue du détermjnant de A :
128
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
ldet(A)I :S
ùllu,IJ.
LES MATRICES SONT PARTOUT
1
Hadamard note que l'on a l'éga lité si,
et seul ement si, les termes Ia;) sont
constants et les vecteurs colonnes (u)i s_;,;,,
orthogonaux. Cette inéga lité signifi e
donc que le volume I det (A) 1 du parallélép ipède co nstruit sur les vecteurs
(u)i sjs" est max im al qu and ces vecteurs so nt orthogonaux .
Le déterminant des matrices H11 d'ordre
n, constituées de coefficients réels égaux
à± 1 avec ses vecteurs co lonnes orthogonaux, est donc extrémal. En effet,
nous avons H11 'H11 = n 111 , où 111 est la
matri ce unité , et la borne supéri eure de
l' inégalité de Hadamard est bien atteinte
puisque (det (H))2 = n" . Ces matrices
réelles, quand elles ex istent , sont nommées matrices de Hadamard o u Hmatrices. Hadamard a dé montré qu e
les ordres poss ibles d ' une telle matrice
sont n = 1, n = 2 ou les multipl es de 4
(vo ir en encadré). Par un e méthode
récursive, Sylvester a construit de telles
matrices d'ordre n =2m. Dans ce qui suit,
nous notero ns les va leurs + l ou - 1
simplement par leur signe. Les matrices
de Hada mard sont g lobalement invariantes par permutation ou changement
de signe des vecteurs, lignes ou colonnes
les constitu ant. Nou s pouvons donc ne
considérer que les matri ces possédant
des va leurs pos iti ves sur leur première
li gne et leur première co lonne.
La H-matrice d 'ordre deux est alors
H2 = ( :
:) .
À partir de cette matrice , on construit
des matrices de Sylvester-Hadamard
d' ordre n = 2111 en utili sant la rel ation
Jacques Hadamard
Mathématicien universel, Jacques Hadamard (18651963) s'est intéressé principalement à la théorie des
nombres, à l'analyse mathématique et à la mécanique,
mais aussi aux langues, à la musique et surtout à la botanique. Son résultat le plus célèbre est certainement la
démonstration en 1896, conjointement avec Charles-Jean
de La Vallée Poussin, du théorème des nombres premiers.
Il a laissé son nom aux matrices éponymes utilisées en
traitement du signal, pour la compression des données et
dans des algorithmes quantiques. Il existe aussi une pseudo-transformation de Hadamard en cryptographie. Très
impliqué dans la vie politique et sociale, il écrira sur
l'éducation et la psychologie de l'invention.
Georges Colomb (1856-1945), directeur du laboratoire
de botanique de la Sorbonne, était un ami de la famille
Hadamard. Il se considérait comme l'inventeur de la
bande dessinée. Il créa, sous le nom de Christophe, le
personnage du savant Cosinus, dont on peut imaginer
qu'il fut inspiré par la grande distraction et l'excentricité
du « petit père Hadamard », comme le nommait ses
contemporains.
Jacques Hadamard, un mathématicien universel.
Vladimir Maz'ja et Tatyana Shaposhnikova , EDP sciences, 2005.
On multiplie chaque terme de la matrice
H 2 par la matri ce H 2., pour obtenir la
matri ce H 2 • . Par exe mpl e, on obtient
de la sorte
H4
=
l(: : : :\!
+
+
+
-
-
.
+
Hors-série n° 44. Les matrices Ta.ngente
129
SAVOIRS
Les matrices de Hadamard
Hadamard a réussi à construire des
matrices d'ordre 12 et d'ordre 20, mais
on ne sait toujours pas s'il en existe
pour tous les multiples de 4. La conjecture d'Hadamard avance que c'est bien
le cas.
La construction de ces matrices de Sylvester-Hadamard s'effectue de façon itérative , mais nous pouvons néanmoins
accéder directement à la valeur d ' un
de ces termes. Associons à chaque
nombre entier O ~ i ~ 2 111 - l , dont la
la transformation
de Walsh-Hadamard
~I\Jl(:\J=(l::::::~\J,
c
1
-1
1
1
-1
-1
c
a+b-c-d
d
l
-1
-1
l
d
a-b-c+d
douze additions et soustractions sont nécessaires.
Dans le cas général d'une matrice d'ordre n, le nombre
d'opérations est n(n - 1).
Mais en calculant les variables intermédiaires
r::\J r l : : : \ J lr;::;:\J
l
c'
d'
=
c+d
c-d
k·O
le vecteur (i 0 , i 1 , ••• , i,,,_1), possédant m
composantes. Alors, le terme général de
la matrice Hz. est
( H,. ).. = (-1
-
1.;
r ··· ,>.u, . .. . ,> '
.i• .
i•.
m-1
où (io, ... , im _,).<Jo, ... ,jm_ ,)= 2>, j, est
k-0
le produit sca laire des deux vecteurs
(i 0 , ... , i,,,_1) et U0 , ... ,J,,,_1). Ces propriétés permettent de définir la transformation de Wal sh- Hadamard (vo ir
en encadré), utili sée en traitement des
signaux , qui est l'équivalent d'une transformée de Fourier discrète.
Imageries codées
Les fonctions de Walsh sont définies sur l'intervalle [0,
1]. Les fonctions d ' ordre 2n prennent les valeurs + 1 ou
- 1 sur des segments de longueur 2-n, et l'ensemble de
ces valeurs constituent les lignes de la matrice de Hadamard Hz· · Elles forment donc une base orthogonale de
l'intervalle [0, 1), semblable à la base de Haar utilisée
pour les ondelettes. Elles jouent le rôle dans la transformée de Hadamard des fonctions sinusoïdales dans la
transformation de Fourier. La transformée de Hadamard
permet des algorithmes de calcul économiques.
Pour calculer directement l' image
w=H4l(:\J=l(~
m- 1
décomposition binaire est i = } : i, x 2',
, on obtient notre résultat w' =
a' - c'
b' -d'
en huit opérations seulement !
On montre qu 'en général n logz n opérations suffisent.
Le facteur de réduction est environ (l / n) logz n , soit 1 %
pour n = 2 10 = 1024.
Les matrices de Hadamard trouvent par
exemple des applications en théorie du
codage, en morphologie mathématique ,
en communications, en théorie des
réseaux et en statistique . La transformation de Hadamard est un outil de
traitement en imagerie , dans le cas particulier de masques à ouvertures codées.
Le principe général d'une imagerie
s'inspire des chambres noires. On perce
un trou dans un écran opaque au rayonnement et on récupère le signal sur un
détecteur en face arrière. La netteté de
l'image est d'autant plus grande que le
trou est petit, ce qui induit un signal
faible. On accroît alors la sensibilité
des di spositifs d'imagerie faible flux,
comme l 'i mager ie gamma en astrophysique, sans perdre en finesse en
perçant la face avant de nombreux
trous . Ces trous constituent un masque
codé dont la structure s'i nsp ire des
matrices de Hadamard . On obtient alors
une image complexe constituée de la
superposition de plusieurs images de
la source , et un algorithme d 'i nversion, lié à la structure de l'ouverture
codée, est néces sai re pour extraire
l'i mage de l'objet observé.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
LES MATRICES SONT PARTOUT
la coniecture d'Hadamard
Les matrices d ' Hadamard con sidérées dans l' article sont normalisées ,
c'est-à-dire que le ur pre mière li gne
et première colonne ne contie nne nt
que des + 1. En notant les valeurs
par leur signe, pour n = 2, la seule
H-matrice est H2 = ( :
: ) .
Pour n supérieur à 3, prenon s le premi er vecteur co lonne et deux autres
que lconques . Nou s n'avons que les
qu atre co mbina iso ns sui vantes de
signes poss ibles par li gne :
a li gnes + + +
Matrices à diagonale dominante
l
( 13
A=
5
-1
7
- 11
0
3\
A est une matrice
à diagonale dominate car :
~J
1131?;;171+131,
l-111?;;151+121,
111?;;1-11+101.
On assoc ie parfo is le nom d ' Hadamard à
la c lasse des matrices qui ont la diagonale
princ ipa le stricte ment do minante, c'està-dire te lles que la vale ur abso lue d ' un
terme de la diagonale est strictement supérieure à la somme des valeurs absolues des
aut res te rmes de sa li g ne :
la; I> I laJ
Hadamard a effecti vement montré qu ' une
telle matrice a un déterminant non nul , et
est donc inversible .
So it A une matri ce te lle que chac un de
ses éléments diagon aux so it stricte me nt
b lignes + + c lignes + - +
d li gnes + - où nous avons noté a, b, c, d le nombre
de lignes de chaque combina ison .
Le nombre total de lignes nous donne
la re lation a + b + c + d = n, et l' o rthogonalité des vecteurs se traduit
par les re lati ons complé me ntaires :
a + b - c + d = 0,
a - b + c - d = 0,
a - b - c + d = O.
1• 1
pour tout indice i. So it X un vecteur solution du systè me linéa ire A X = 0 et so it
X; sa plu s grande composante en vale ur
absolue : lx; 1~ lx) que l que so it l' indice
j . Pui sque AX = 0 , nous avon s
"
~ a/,).x . = 0 et do nc - a .. x . = ~
.. x .
LJ
LJ a1.J
j
1,1
~ I
L'additi o n de ces quatre éga lités
donne 4a = n . L' ordre d ' une matr ice
de Hadamard est donc nécessa irement un multiple de 4 . La réciproque
est-elle vraie ?
De no mbre use s rec he rc hes s ur le s
matri ces de Hadamard o nt été fa ites,
comme la constructi on de Paley et de
Williamson. La conjecture d ' Hadamard
est po urtant to uj o urs d 'actu a lité . Le
plus petit ordre multiple de quatre pour
lequel on n'a pas su construire de matrice
de Hadamard est. depui s 2004 , l'ordre
668. Av is aux amateurs !
laJ > 4la;.J
do min ant dans sa lig ne :
j
1
~J .. I
No us en ti ro ns
laull x;Is L ja;. l xIslx;I 2 la;J
1
que no us pouvon s éc rire
1
laul- .l la;. 111x;IsO.
1
IS)'J.n
j .. 1
Puisque la matrice A est à diagonale stricte ment do minante , no us avon s
LJ ,.,·I> 0,
la.·1-~1a.
1.1
J- 1
et la seule poss ibilité est X; = 0 ,
donc X= O.
L'équation A X = 0 admet donc pour unique
solution le vecteur nul X= 0 , ce qui signifi e que la matrice A est inversible .
F.L.
Hors-série n° 44. Les matrices Tangente
ACTIONS
par François Lavallou
'
emes
eo ma r1ces
I
•
De nombreux problèmes de géométrie font appel à des
transformations admettant une représentation matricielle.
Nous allons donner pour illustration deux problèmes de
géométrie classique dont la résolution est simplifiée par
l'utilisation de matrices associées à des homographies.
a représentation matricielle des
fonctions homographiques
(décrite dans l'article les Fonctions homographiq ues dans le dossier précédent) peut être exploitée
pour résoudre une généralisation du
problème de Pappus, puis, e n conséquence directe , un problème ... de
bi ll ard e lliptique .
L
Problème de Castillon
Le problème de Cramer-Castillon
s'énonce ainsi : « Étant donnés un cercle et trois points A, B et C, construire
à la règle et au compas un triangle
inscrit dans le cercle dont les côtés
passent respectivement par les points
A, B et C. » Au quatrième siècle de
notre ère, Pappus d'Alexandrie avait
déjà résolu le prob lème dans le cas
particulier où les trois points A , B et C
sont alignés. En 1742, Gabriel Cramer
(1704--1752) propose de généraliser la
construction en supposant les points
132
A , B, C choisis quelconques dans le
plan : « Dans ma jeunesse, un vieux
géomètre, pour essayer mes forces en
ce genre, me proposa le problème que
je vous proposai ; tente z de le
résoudre et vous verrez combien il est
difficile. » Tous les mathématiciens de
l 'époque, dont Leonhard Euler, s'y
intéressent. C'est ]'Italien Giovanni
Francesco Salvemini da Castiglione
(1704--1791), dont le nom est francisé
en Casti llon, qui résout le problème en
1776. Il raconte que, le lendemain de
la lecture de sa solution à l'Académie
des sciences, il reçut une solution analytique de Lagrange !
Pierre-Simon de Laplace ( 17491827) s'intéresse au problème dans sa
généralité, avec n points et un ngone. Et Lazare Carnot (17 5 3-1823)
trouve en 1803 la solution particulièrement élégante que nous allons présenter. Elle s'effectue à l' aide des
transformations homographiques, ou
transformations de Mi:ibius.
Tcingente Hors-série n°44. Les matrices
En considérant un cercle de rayon
unité , les coordonnées d ' un point M du
cercle sont (cosa, sina) . En utilisant
pour paramètre la tangente de la moitié
de l'angle polaire, z = tan(a /2), nous
obtenons une nouvelle expression pour
les coordonnées de M :
2
( 1- z
2z \ C
.
.
Mi - - , , - e point se construit
2 ).
\ l+ z l+ z
comme étant le second point d ' intersection du cercle et de la droite passant
par les points D(-l , 0) et P(O , z). C ' est
la projection de pô le D du cercle sur
l' axe des ordonnées. Le point M parcourt le cercle dans le sens trigonométrique quand le paramètre z varie de
- OO à + OO,
Notre problème général est de déterminer un polygone à n côtés, ou ngo ne, B 1 , B 2 .. . Bn in sc rit dan s le
cercle unité dont les côtés passent respectivement par les points Ai, A 2 ...
A,,. En partant d ' un point (quelconque) B 1 du cercle, on construit le
point B 2 comme sa projection sur le
cercle par le point A 1 •
notations des transformations de Mobius ,
1
z2 ] = M, [z, ] avec M, = ( Y,
x, - ) .
[1
1
x, + 1 - y,
On constate que la trace de cette
matrice est nulle , car cette transformation est involutive , et que son déterminant det(M 1) = 1 - (~+y~) s'annule
s i le point A 1(x 1, y 1) appartient au
cercle. En itérant le calcul sur le périmètre du n-gone, le paramètre du point
B 1(z 1) vérifie la relation
az, + f3
z•• , = z, = y z, + ô '
avec(;
!)=M.x...xM,.
Cette équation quadratique possède en
général deux solutions . Nous en présentons un exemple dans le cas d ' une
configuration de Pappus .
Double solution du problème
de Pappus.
0
0
Billard elliptique
Paramétrage du cercle.
On construit de la même façon tous les
points B ;, avec la contrainte finale
B,,+ 1 = B 1• La procéd ure étant itérative, il importe donc de savoir déterminer le point B2 de paramètre z2 à partir
des points A 1(xi, y 1) et B 1(z 1). La colinéarité de ces troi s points se traduit ,
après quelques calculs , par la relation :
z, =
yz + x -1
' '
'
(1 + x,)z, - y,
ou, pour reprendre les
Considérons maintenant une table de
billard elliptique . Il est connu que la
trajectoire d'une bille passant par un
foyer passera, après réflexion élastique
sur le bord , par l'autre foyer. De même
que nou s avons cherché la relation
entre les paramètres z 1 et z2 dan s le
problème de Castillon , établissons une
relation entre les angles el et e2de la
figure ci-dessous.
Hors-série n° 44. Les matrices Ta.ngente
133
ACTIONS
Problèmes de géo-matrices
les cosinus des angles devient
T=-'-( .
1
cosa -sina
-sina) et nou s avons
I
cose, - sin a
cos e = - ~ - - 2
1- sinacose,
Nous pouvons maintenant établir une
démonstration d'un théorème dû au
mathématicien austra li en Malcolm
Livingstone Urquhart (1902-1966),
qui stipule que si les points A, B , P, Q,
R, S sont disposés comme sur la figure
suivante, alors
Q
AP+ PB =AQ +QB =>AS+ SB =AR+ RB.
Billard elliptique.
Rappelons qu'une ellipse de demi
grand axe a et demi petit axe b a pour
excentricité e = c/a,
où c =axe= '10 2 - b 2 , et pour équation
b2
polaire r =
. En prenant les
a - ccose
axes de l'ellipse pour repère et en
notant x l'abscisse du point P sur le
grand axe, nous avons :
lj=
b2
a - ccose,
x+c
=--.
cose,
Un théorème d'Urquhart.
x+c
•
x- c
'd .
N ous en de u1sons: cos 8, = - - . Oe meme, cose2 = - - .
a+ex
a-ex
Il s'agit de deux transformations de
Mobius, ce qui nous permet d'éliminer
fac ilement la variab le x entre ces deux
expressions.
Pour une telle disposition de points, si
les points P et Q appartiennent à une
ellipse de foyers A et B, alors il en est
de même des points R et S. Une bille
doit donc pouvoir suivre la trajectoire
APBRA ou la trajectoire ASBQA avec
les mêmes ang les . En notant T(a) et
T(/3) les matrices assoc iées à chaque
1
ellipse, T(a)T(/3) = ( + P
-S
-2e / (1 + e2 )\
)"
Nous constatons fort heureusement
que la solution ne dépend que de la
nature de l'ellipse , à savoir son excentricité e. Poson s e = tan(a /2). Pour
une ellipse, nous avons O :S e < 1,
c'est-à-dire aE [O, .n/2[. La matrice de
la transformation de Mobius qui relie
134
-S )
1+ P
avec S = sin a+ si n/3 et P = sin a si nf3.
Ces deux matrices commutent donc, et
la matrice de la transformation reliant
les angles 8 1 et 8 3 est bien la même
pour les deux trajectoires !
F.L.
Tc:ingent:e Hors-série n°44. Les matrices
SAVOIRS
par Michel Criton
Les carrés magiques:
des matrices comme les autres
Une matrice est un tableau de nombres. Un carré magique est
également un tableau de nombres, qui satisfait à certaines
propriétés. Même si on ne s 'intéresse généralement pas aux
applications linéaires aux quels ils sont liés , les carrés
magiques sont des matrices comme les autres.
ue ll es o pérati ons peut-o n
effectue r avec des carrés
mag iques ? Avant de tenter de
p
à cette question, il fa ut donner une définiti on de ce que l'on appelle un « carré mag ique ».
Déj à, un carré semi-magique est une
matrice carrée de dimension n telle que
la somme des termes d ' une ligne et la
somme des termes d' une co lonne soit
toujours la même (on appe lle généralement cette somme la somme magique).
Si , de plus, les sommes des termes de
chacune des deux grandes diagonales
sont aussi égales à la somme magique,
le carré est dit magique. Ensuite, si la
somme des termes de n' importe quelle
di agonale bri sée (le tabl eau étant
considéré comme un tore) vaut également la somme magique, on dit que le
carré est pandiagonal. Dans la littérature anglo-saxonne, les carrés
mag iques pandi ago naux sont parfois
dés ig nés sous l'appe ll ati on nasiksquares. Ce nom leur a été donné par le
Q
136
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
DES MATRICES ET DES JEUX
1
la multiplication
des carrés magiques
Le produit matriciel appliqué aux carrés magiques ne
conserve évidemment pas la magie arithmétique (le produit tensoriel la conserve, mais il ne conserve pas le
caractère normal). Des mathématiciens ont néanmoins
essayé de définir une « multiplication » des carrés
magiques.
Le premier à tenter une telle opération a été le mathématicien belge Maurice Kraitchik (1882-1957) dans son
livre la Mathématique des jeux (1930). Cette multiplica-
le révérend
Andrew Hollingsworth Frost.
révérend Andrew Hollingsworth Frost
( 18 19- 1907) , pass ionné de mag ie
arithmétique, qui fut missionnaire dans
la ville indienne de Nasik. Enfin , si les
2
11
te rmes d ' un carré mag ique de
dimension n sont tous les entiers de I à
n 2 , on dit que le carré est normal.
Des espaces uectoriels
tion permet de former un carré magique normal de
dimension m X n à partir de deux carrés magiques normaux, le premier de dimension met le second de dimension n.
Le produit de deux carrés magiques selon Maurice
Kraitchik. Les n 2 termes du second carré sont remplacés par n 2 blocs images du premier carré. À chaque
bloc image, on a ajouté (k - 1) m2 , où k est la valeur
correspondant au bloc dans le second carré.
Imaginons que l'on n' impose pas que
les carrés magiques soient normaux.
Les carrés magiques d 'ordre n composés de nombres réels, munis de l'addition vectorielle et de la multiplication
par un réel, forment un espace vectoriel
sur IR. Cet espace vectoriel est en fait
un sous-espace vectoriel de l'espace
des matrices carrées à coefficients réels
d 'ordre n. En effet, l' addition de deux
matrices carrées magiques d'ordre n est
encore une matrice carrée magique
d'ordre n , et le produit par un réel d' une
matrice carrée magique d ' ordre n est
également une matrice carrée magique
d'ordre n (ce n'est évidemment pas vrai
pour les carrés magiques normaux !).
Dans ce qui précède , on pourrait re mpl acer « magique » par « semimagique » ou par « pandiagonal » sans
altérer la propriété.
8 1 6 107 100 105 625560 125 118 123
3 5 7 102 104 10657596 1120 122 124
4 9 2 !03 108 101 58 63 56 121126 119
1 12 7 14)
8 13 2 11
( 10 3 16 5
15 6 9 4
7 1 6469 116109114 17 10 15 98 9 1 96
66 68 70 11 1113 115 12 14 16 93 95 97
677265 112 117 110 1318 11 949992
89 82 87 26 19 24 1431361414437 42
848688 2 1 2325 138 140 142 3941 43
85 90 83 22 27 20 139 144137 40 45 38
134 127 132 53465 1 807378 352833
129 1311 33 48 50 52 75 77 79 30 32 34
130 135 128 495447 768174 3 1 3629
On vérifie que cette multiplication est bien associative.
En revanche, elle n' est évidemment pas commutative.
Il a été démontré que l'espace vectoriel
des carrés magiques d ' ordre 3 est un
espace vectoriel de dimension 3 . Les
trois carrés sui vants constituent une
base de cet espace vectoriel :
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
137
SAVOIRS
Les carrés magiques ...
Par exemple, le carré magique :
[!H]
(qui en outre est normal) peut écrire
51 + 3J - K.
On montre plus généralement que l'espace des carrés magiques d 'ordre n est
un espace vectoriel de dimension
n(n - 2). Des auteurs se sont également
intéressés aux déterminants des carrés
magiques normaux. Dans ce qui suit ,
les carrés magiques seront tous supposés normaux.
Le déterminant de l' unique carré
magique d'ordre 3 (aux rotations et
symétries près) est égal à 360 (ou
- 360). Pour les carrés mag iques
d 'ordre 4, il a d 'a bord fallu les
dénombrer ! Dès le xv11 e s iècle ,
Bernard Frénicle de Bessy (vers
1605- 1675) a répondu à cette question, en prouvant que les carrés
magiques d'ordre 4 sont au nombre de
880 (hors rotations et sy métries). Plus
tard , le ludologue britannique Henry
Ernest Dudeney classa ces carrés en
douze types, selon leur configuration
par paires complémentaires de somme
17 (la moitié de la somme magique,
égale à 34) .
Dans un article de 1948 , le mathémati-
Les douze types de carrés magiques répertoriés 1>ar Dudeney :
deux cases reliées portent des nombres dont la somme vaut 17.
138
Type I
Type II
Type Ill
Type IV
Type V
Type VI
Type VII
Type VIII
Type IX
Type X
Type XI
Type XII
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
DES MATRICES ET DES JEUX
Type
Propriétés
Déterminant
Pandi agonal
0
II
Semi -nas ik
0
Ill
Semi -nas ik
0
IV
Sem i- nas ik
0
V
Semi -nas ik
0
VI
Semi -nas ik o u simpl e
0
VII
S imple
- 136 (A - 1) (B - J) (C - F)
VIII
S imple
- 136 (A - E) (B - F) (C - N)
IX
S imple
- 136 (A - l ) (B - J) (C - N)
X
S imple
136 (A - E) (B - F) (C - J)
XI
S imple
136 (A - 1) (B - D) (C - A)
XII
S imple
136 (A - E) (B - A) (C - D)
c ien amé rica in Charles Wilderm an
Trigg ( 1898- 1989) étudie les déterminants de ces douze types de carrés
mag iques. Si les nombres d ' un carré
sont dés ignés par les lettre A , B ... Q,
correspondant au schéma c i-contre,
A B C D
E F G H
J K L
M N P Q
alors on obtient les déterminants du
tableau (voir c i-dessus).
Dans ce tableau, un carré est dit seminasik s' il est magique et si les sommes
E + B + L + P et 1 + N + C + H sont
auss i égales à la somme mag ique . Les
valeurs de ce tableau s'appliqueraie nt
de même à des carrés mag iques qui ne
seraient pas normaux mai s constitués
de nombre en progress ion arithmétique
(il fa udrait alors remplacer le facteur
136 par 4S , où S serait égal à la somme
magique).
Po ur les carrés magiques normaux
d 'ordre 4 , on obtient dou ze valeurs
absolues différentes pour ces déterminants: 0 , 2 176 , 3 264 , 4 352, 5 440 ,
6 528, 7 616 , 8 704 , 9 792, 10 880 ,
13 056 et 17 408.
M.C.
R ÉFÉ R ENCES
• A11111se111e11ts i11 Mathematics. Henri Ernest Dudcncy, 1917.
• Detem1i11m1ts of Fourth Order Magic Squares. Charles W. Trigg, The
American Mathcmatical Monthly, novembre 1948.
• Les carrés magiques. l3crnar<l Belouzc, Maurice Glaymann. Paul-Jean
Haug et Jean-Claude Herz, APMEP, 1975.
• L 'a/gèhre des rnrrés magique. Jean-Michel Groizard. APMEP, 1984.
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
139
PASSERELLES
par B. Hauchecorne, D. Nordon et A. Zalmanski
Diuertissements
littéraires
Les matrices se trouvent tout naturellement en littérature,
dans l'écriture sous contraintes. Les diagonnets , par
exemple, sont des poèmes oulipiens de n vers ( chacun de n
syllabes) phonétiquement symétriques en suivant une
diagonale.
es adeptes de l'écriture sous
contrainte (et notamment les
assidus del 'Ouvroir de littérature potentielle, ou Oulipo) connaissent
les diagonnets, qui sont des poèmes qui
se lisent, syllabe par syllabe, aussi bien
horizontalement que verticalement. Par
exemple, si on lit verticalement la première syl labe de chaque vers, on
retrouve exactement le premier vers. Si
on lit verticalement la deuxième syllabe de chaque vers, on retrouve exactement le deuxième vers . Et ainsi de suite
jusqu ' au dernier vers .. . Voici déjà un
premier diagonnet de taille 6 (six vers
de six syllabes).
L
Ha letant sur les .flots,
Le tronc du pin sourit,
Tendu d'un sombre sang ...
Sûrs pinçons rhapsodiques,
l es soubresauts haineux
Florissant d'ichneumons.
140
Si l' on dispose les syllabes de ce
poème sous la forme d'une matrice, on
trouve une matrice symétrique de
taille 6. Cette structure rappelle celle
que l'on trouve sur la figure ci-dessus
(on la retrouve dans plusieurs inscriptions, la plus ancienne étant datée de
l'an 79 à Pompéi). Les lettres de cette
phrase en latin (sémantiquement difficile à interpréter) peuvent être lues de
haut en bas, de bas en haut, de gauche
à droite et de droite à gauche. En fait,
cette propriété est possible car chacun
TC1.n9ente Hors-série n°44. Les matrices
DES MATRICES ET DES JEUX
des mots de la phrase est lui-même est
lui-même un acrostiche et un palindrome vertical et horizontal. Une traduction possible est « le laboureur Arepo
utilise une charrue comme force de
travail ». Mai s ce carré de taille 5
nous éloigne du diagonnet.
Le poète Robert Rapilly, compagnon
de route de l'Oulipo, a lui aussi composé des diagonnets, comme Qui
s'étonne?.
Quis 'étonne ? Ouverts s'ennuient
Sept paravents qui volaient.
Ô rage, ô dent ! L'eau bout froide.
Nous vendangeons mes tricots.
Vert kilomètre et pot vide,
Sans vos bourricots on part.
Nuit ... L 'effroi d 'Ovide arrive!
Un autre ami de l' Oulipo, l'astrophysicien Gilles Esposito-Farèse, a rédigé le
diagonnet suivant, intitulé Hommage à
Borgès (bien évidemment, la complexité de ! 'exercice croît avec le
nombre de vers) :
Lentement la couleur pâlit
Te plongeant dans la cécité
Mangeant tout ce palais floral
La danse des ombres d 'effroi
Coule à pas ondulant d'oubli
Leur célèbre langueur sans art
Passif lot des doux sanglots d'or
Littéral froid blizzard dormant.
Il a également écrit le sonnet sui vant,
qui n 'est pas exactement un diagonnet
(quatorze vers de douze syll abes 1' interdisent !), mai s presque :
Lorsque la netteté fr êle quimpe,
excédée,
Que cryptent dans le tas mille
opportuns rameaux,
Lattes-tu leur hublot, soûl de harpe
accordée,
N'a idant le rainé gris d'indices
lacrymaux ?
Te leurre une aigre faune, et l 'eau
les vaut, codée,
Tes tableaux griffonnés : korê par
animaux!
Frémit soudain Écho, parallèle,
entraidée,
Le lot de dits laurés, ramollis, tout
primaux.
Qu 'importe, harcelé par les lyriques
mandchoues,
Et qu 'un pâle avocat hante ou que
tu échoues
Ces
raccords,
cris
honnis,
réprimandés, guindés,
Démodés : Maud aime ode et mots
chouchous des bardes.
L 'or scripturaire n'est pas mort !
Ris-tu, guimbarde,
Des rapaces locaux, colosses
paradés?
Le lecteur pourra avec intérêt placer
chaque syllabe dans une matrice pour
vérifier la qualité de la composition.
Enfin, Robert Rapilly a composé un
texte sur-contraint, dans une matrice à
vingt et une lignes et seize colonnes,
contenant donc trois cent trente-six
lettres. Se lisant indifféremment dans
les deux sens, le « poème matriciel »
révèle deux poèmes, Ô banalité (lecture horizontale) et Orage désiré (lecture
verticale). Ce dernier poème alterne en
outre de manière systématique
voyelles et consonnes. Un travail
monstrueux !
Hors-série n°44. Les matrices Tc::a.ngente
141
PASSERELLES
Divertissements littéraires
O B A N A L I T E D E P A L E G
R A V U R E ~ A N A L A L O C E
ANENO D 1E CANE .MONO R
G A N E M U R I R A S A T Y P E
EMILECUSENOS.AVEC
DARI DITE LEC O L OM U
E T E X O D E .L A M I R E L A P
S U N I R A ~ A R A D O X A L A
I R E R I L A S U .L E C A L E R
REPAGAYERAMEMORU
E GAG AL A F A ' Y OTE PEN
·s IVE~ EDE LA LU NI PO
ETE.DA Z URE LED IN ER
LADOS A.NA LAVE LER I
EN ORIN ADAM AS .ALI G
NERÀLEDEMIGALET.A
E D E H E L I C E L I B I T UM
LECUMERABATETANI
E .LEM UV ET U FUT AL AB
R E G E .T E T I R E M A S O .D E
U X I R J S O R I T E F I N A L
HORIZONTALEMENT
VERTICALEMENT
-"
Q banalité de pâle g ra vure
I
Fa11al à l 'océan en ode cané
Mon organe mûrira sa typ ée
Mil écus en os
Avec d 'aridité / 'écolo muet exode
L 'ami relaps unira
Paradoxal - airer il a su L e cal erre, pagaye, ram e morue
Gaga la fàyote pensive
O
rage désiré sélè11e le ru ban
A mâture g itane de / 'ex-avenir
En épave doré ce g in un élixir
Âge d 'Or à humer arôme d'o rigan
Asile mutilé du Cid à / 'a /e:an
Élève si fër u te paya du nadir
Et ôta , cisela, se f era décatir
En are la rurale lame Buridan
Né de / 'aluni poète
D 'azuré le dîn er la dosa
N'a la vé le rien orin à damas
Alig nera le demi galet
Âne ma!ay alam il a fêté le soc
Idem olé vagi tu me pâmas ô roc !
Études â bêta .falot ô l 'examen
Aède hélice libitum
L'écume rab à tétanie
Le mû vêtu Jutai abrège
T 'étire maso deux iris
Il alita si l '0 11 y vola / 'opine/
Étalon écopé mâle re-périt un
Adage reçu par un origami hel
Ô rite final I
Ta.ngente Hors-série n°44. Les matrices
EN BREF
par Michel Criton
3 5
2 4
5
4
5
2
7
3
4
8
5
9
4
7
1
5
8 1 2
5 6 4
7 8
1
2 3
7
9
8
1 2 3 5 6 4
6
8
9
3
Rentrer dans le rang
Une autre question de nature matricielle se pose concernant les Sudokus. Quel est le leur rang?
On rappelle que le rang d'un matrice carrée est la plus grande taille d'une sous-matrice extraite
de cette matrice dont le déterminant est non nul.
La grille de Sudoku 4 X 4 ci-dessus a un rang égal à 3, la grille 6 X 6 a un rang égal à 4 et la grille
9 X 9 un rang égal à 7. Pour chacune de ces tailles de grilles, peut-on trouver un rang strictement
inférieur?
Références :
• A Sudoku Matrix Study, Merciadri Luca,
http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/ 2268 / 19649/ 1/sudoku. pdf
• http://www.mathkb.com/Uwe/Forum.aspx/recreational/3261/Rank-of-Sudoku-matrices
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
143
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! ·. · ·
j
! )11 I iH _
rJ
les matrices lumineuses
•
1
De nombreuxjeux se présentent sous forme de matrices, mais
faut-il utiliser des matrices pour les résoudre? Nous allons
analyser le cas du jeu Lights Out, ce qui permettra par ailleurs
d'illustrer certaines notions abstraites utilisées en algèbre
linéaire et rencontrées dans ce hors série.
e Li ghts Out (que l'on pourrait
traduire « Éteindre les lumières »)
est un jeu électronique produit
par la société Tiger Toys en 1995 . Il se
présente sous la forme d ' une matrice
d 'ordre 5 de boutons poussoirs:
L
repérer les bouton s par leurs numéros ,
comme sur la fi gure ci-dessous, plutôt
que par un repérage matriciel .
lîJ lw wl lw wl
1
w w[w w w
~ wwww
rw w w w w
w wIW w w
Numérotation des cases de la matrice
(cas où les vingt-cinq boutons
sont tous éteints).
Présentation du Lights Out.
Chaqu e bouton possède deux é tats,
allumé ou éteint , que l'on peut modéli se r pa r O (éte int) et 1 (a llumé) . Au
début du jeu , un motif de boutons allumés est choi si par la machine. On peut
144
Une configuration de jeu devient alors
une matrice co lo nn e : 1(a 1 , a 2 , a 3 ...
a24 , a 25 ), où le symbo le I désigne la
transposition. Par convent ion, dans le
Lights Out, les touches enfoncées sont
dessinées en ro uge , et les touche s
-
~
..,.
T
•
DES MATRICES ET DES· JEUX
allumées sont en jaune. Par exemple,
la configuration de la figure suivante
(à gauche) est :
c 1 = 1( 1, 1,0,0,0, ],0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
alors que la configuration de la figure
de droite est :
c 13 =1(0,0,0,0,0,0,0, 1,0,0,0, 1, l ,
1,0,0,0, l ,0,0,0,0,0,0,0).
En appuyant sur l' un quelconque des
boutons, on modifie l'état de ce bouton et celui de ses voisins, suivant une
règ le du jeu fixe. Ici, cet effet est de
basculer l'état du bouton choisi et des
ses voisins hori zontaux et verticaux
immédiats, si ceux-ci existent.
Le but du jeu est d 'éteindre tous les
boutons (lights out) en un minimum
de coups. Face à un tel problème, plusieurs questions sont naturelles : Estce toujours possible ? Si oui, y-a-t-il
une seule solution ? Si oui, comment
l'obtenir ?
Déjà, point beso in de s'acharner sur
chaque bouton, il suffit d'appuyer zéro
ou une fois au plus sur chaque bouton.
Car deux appuis correspondent à pas
d'appui du tout , un appui annulant
l'effet du précédent. Cette remarque
va nous permettre de raisonner sur
l 'e nse mble {O, l} pour chacun des
vingt-cinq boutons. Ensuite, l 'éta t
d'un bouton ne résultant que du
nombre d'appuis sur ce bouton ou sur
ses voisins horizontaux et verticaux
immédiats, il ne dépend pas de l'ordre
d 'ac tivation de ces boutons. On en
déduit que l'on peut modéliser une
séquence d 'appuis par une matrice
colonne. Par définition, on appellera
stratégie cette suite finie. Par exemple ,
les stratégies impliquant uniquement
un bouton s'expriment par les vingtcinq matrices colonnes suivantes :
bi = 1(1 , 0 , 0 , 0,0,0 , 0,0 , 0 , 0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0),
1
b2 = (0, 1, 0 , 0, 0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 , 0 ,
0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0,0 , 0 , 0 , 0,0,0),
b25
= (0, 0 , 0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 , 0, 0 , 0 ,
1
0, 0, 0 , 0 , 0, 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0, 1).
Un peu d'algèbre linéaire
En haut, l'effet de l'appui
sur le bouton 1 depuis la configuration
« tous boutons éteints ».
En bas, l'effet de l'appui
sur le bouton 13 en repartant de la
configuration « tous boutons éteints ».
Nous pouvons décrire le comportement du jeu grâce aux matrices .
Dé s ignons par J la matrice carrée
d'ordre 25 synthétisant le jeu . Cette
matrice vérifie, par définition :
J b1= Ci, J b2= C2··· J b 25 = C25"
On peut donc la construire de proche
en proche : la i-ème ligne et la i-ème
n
4.
1ce
a 9 n
145
colonne sont les configurations
induites par l'appui sur le bouton i, ce
qui fournit donc J. La matrice J peut
s'exprimer de façon condensée à l'aide de matrices blocs :
(1
( K5 15 0 5 0 5 0 5'
1, K5 15 0 5 0 5
l= 0 5
o, o,
K5 15
1, K,
05
1,
05 05
o,
K5
(1 0
1, =
15
l5
o,
0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0
1
avec K 5 = 0
0
0
(0
0
et 1, = 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
o,
0 0
0 0
1
0
0 1
0 0
o,
0
0
0
0
La matrice carrée symétrique J est la
matrice caractéristique du jeu Lights
Out.
Dire qu'une stratégie donne la configuration c, c'est dire que J b = c.
Voyons maintenant le problème
inverse : dire qu'une configuration
donnée c est réalisée par une stratégie
b , c'est toujours écrire J b = c. Si la
matrice J était invers ible , il suffirait
de multiplier à gauche par r' : nous
aurions b = r' c et l 'affa ire serai t
entendue (en outre, pui sque nou s
aurions une méthode explicite pour
calculer b , nou s pourrion s même
affirmer que la solution serait unique ,
e t un bon logiciel de calcul formel
nou s la trouverait).
Mais.. . La m a trice J est-elle
invers ible ? Nous savo n s qu ' une
matrice est inversible si, et seulement
s i, so n déterminant est non nul .
Calculons le déterminant de J (à la
main pour les courageux, avec un logiciel de calcul formel pour les autres).
Le résultat est sans appel : det(J) = O.
Quelle est la signification profonde de
la nullité d'un déterminant? La matrice J est constituée de v in gt-cinq
146
a.ngen e Hor · ene n 44 L
matr c
matrices colonnes, qui sont les vingtcinq configurations C; ré s ultats des
vingt-cinq s tratég ies n ' impliquant
qu ' un bouton (à savoi r le bouton
numéro i). Dire que le déterminant est
nul , c'est dire qu ' il existe au moin s
une colonne qui est une combinaison
linéaire de s autres colonnes ; en
d'autres termes, toutes les colonnes ne
sont pas linéairement indépendantes. Il
se trouve que la colonne numéro 24
est la somme des co lonnes numéros 2,
3, 4, 6, 8, 10 , 11 , 12 , 14, 15 , 16 , 18 ,
20, 22, 23 modulo 2, alors que la
colonne 25 est la somme des colonnes
1 , 3, 5, 6, 8, 10 , 16 18 , 20, 21, 23
modulo 2.
Par définition , le rang d ' une matrice
carrée est le nombre de colonnes
indépendante s. Dan s notre cas, le
rang de la matrice caractéristique du
Lights Out est 23 (merci aux logiciel s
de calcul formel ... ). L'es pace de s
configurations que l'on peut obtenir
est donc une combinaison linéaire de
vingt-trois éléments, so it un espace
qui contient 2 23 co nfi g uration s. Ce
jeu fourni donc 2 23 probl è mes qu e
! 'o n peut réso udre , c'est-à-dire
8 388 608 problèmes. Mê me si c'est
quatre fois moin s (2 25 ) que l 'e nsemble des configurations poss ibles,
cela devrait occuper quelques-unes de
vos long ues soirées d ' hiver ... En passant , nous venons de calculer que, si
l 'o n affiche une configuration au
hasard , il y a une chance sur quatre
qu'elle soit résoluble.
Le noyau, ou l'ensemble
des stratégies silencieuses
Nous venons de découvrir la notion
d'image de A: lm(A) est l'espace vectoriel des configurat ions que l'on peut
obtenir. Un autre espace est souvent
rencontré en a lgèbre linéaire : le
noyau. Par définition , le noyau Ker(A)
est l'es pace de s stratégies qui ne
modifient pas la configuration du jeu :
sis est une telle stratégie, alors J s = 0 5 ,
où 0 5 dé signe une matrice colonne
contenant cinq zéros. Ces stratégies
qui ne modifient pas la configuration
du jeu sont parfois appelées stratégies
silencieuses.
Un théorème d'algèbre linéaire nous
dit que la dimension du noyau plus la
dimension de l'image égale la dimension de la matrice J, soit 25. Nous en
déduisons que la dimension de l'espace des stratégies silencieuses est 2 ; cet
espace est engendré par les stratégies
s I et s2 • Cet espace contient donc o (la
stratégie nulle) , s 1, s 2 , et s 1 + s2 .
<r i ~
~
~ ,<, j)
x
I
Quelle est la signification pratique des
stratégies silencieuses (en dehors de
la stratégie nulle) ? Si nou s avons
identifié une stratégie gagnante s,
alors la stratégie gagnante « la plus
courte » (celle qui contient le moins
d 'appuis, donc de 1) sera l' une des
stratégies s, s + s 1, s + s 2 , s + s 1 + s 2 •
Ce théorème est dû à Marlow
Anderson et Todd Feil.
Comment savoir facilement si notre
configuration de départ appartient à
Im(A), c'est-à-dire est soluble ?
L'espace vectoriel Im(A) est engendrée par vingt-trois configurations. Le
noyau Ker(A) est engendré par deux
configurations, s I et s 2 . Comme la
matrice A est symétrique, on montre
[<i)J (<i)
x [î
<i) <i)
<r <r
(,> <r ~ <r <i)
(,>-
~ ~ <i)
<i)]
Les quatre stratégies silencieuses (de haut en bas) :
la stratégie nulle, s 1, s2 , s 1 + s2•
or
cri
n 44. Les matrice
Tangent
147
(par un résultat d'algèbre linéaire) que
toute configuration de ! ' image de A,
donc soluble, doit être orthogona le à
s I et à s2 ( ce théorème est également
dû à Marlow Anderson et Todd Feil).
Pour mémoire , avec nos notations :
s 1 = 1(1,0 , 1,0, 1, l,O , 1,0, 1,0,0,0,
0,0, l,O, 1,0, l, 1,0, l,O, 1),
s 2 = 1(0, J, l, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, l, 1, 0 ,
1, 1, 1, 0 , 1, 0, 1,0, 1, l , 1,0).
Et comment sait-on que deux configurations sont orthogonales ? Tous simplement si leur produit scalaire est
nul ! Voyons un exemple pratique.
Nous savons que c I est résoluble .
c1
= (11 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
s1
= (1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 l O 11 0 1 0 1)
CI .SI
C1
s2
C 1.s2
= 1+O+O+O+O+ 1+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O =0
= (110 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0)
= (0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0)
= O+ 1+O+O+O+ 1+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O+O =0
Pour effectuer ce calcul , il faut évidement app liquer les tables d'addition et
de multiplication binaires :
+
0
1
0
0
1
1
0
X
0
1
0
0
0
1
0
Maintenant que nous savo ns si une
configuration est sol uble, il ne nous
reste plus qu 'à trouver une méthode
pour trouver une solution. Là encore,
l'algèbre linéaire peut nous offrir de
puissants moyens, mais qui dépassent
le cadre de cet article. Nous pouvons
par contre toujours recourir à un logiciel de calcul formel (résoudre un
système avec une matrice d ' ordre 25
est un peu fastidieux ... ). Une méthode moins calculatoire est l'algorithme
du repoussage de la lumière.
148
q n
n
4
l'algorithme du repoussage
de la lumière
Avec cette méthode , on se débrouille
pour éteindre la ligne du haut , pui s on
éteint la deuxième ligne sans rallumer
un seul bouton de la ligne du haut, et
ainsi de suite. On « repousse » ainsi la
lumière vers le bas. Arriver là , so it la
dernière ligne est éteinte et on a
gagné, soit la ligne du bas exhibe
l'une de s sept configurations du
tableau ci-contre.
On enfonce a lors les bouton s de la
ligne du haut correspondant à la ligne
du bas obtenue, et on recommence
! 'a lgorithme du repoussage de la
lumière. Normalement, tout s'éteint !
Nous avons ainsi obtenu une solution,
mais pas forcement la plus courte.
Nous savons maintenant déterminer
si une configuration est soluble, nous
avons trouvé plusieurs méthodes
pour trouver une so lution , et enfin
nous avons vu , à partir de cette solution, comment trouver la so luti on la
plus courte. Nous avons également
constaté que ! 'assistance d'un logiciel de calcu l formel pouvait nous
éviter nombre de calculs pénibles.
Par ai ll eurs, la co nn aissance de
quelques résultats d'algèbre linéaire
trouve avec le Lights Out des applications pratiques . Forts de cette
expérience, nous pouvons modifier à
l' infini le jeu , changer la taille de la
matrice (avec une matrice d 'ordre 3,
d'ordre 6, d 'o rdre 7 , d 'o rdre 8 ou
d 'ordre 10, il y a toujours une solution unique), modifier les règles (la
matrice pourrait représenter un tore ,
un app ui pourrait basculer toute la
ligne et toute la co lonne du bouton ... ), ajouter des états (couleurs)
aux boutons . . . Les lecteurs les plus
Configuration de la dernière ligne
Boutons à enfoncer
sur la ligne du haut
~~~~Il~~
~~. . . . . . . .11~~
~---...a.li~~~~Il~
~~~ll~w~
~:w>~II~_
~~1!~
~-~
~
courageux pourront implémenter ces
variations en programmant un microcontrôleur et ainsi vérifier que l'algèbre linéaire est source de nombreuses applications ludiques !
J.-J. D.
Références
• Turning Lights Out with Linear Algebra .
Marlow Anderson et Todd Feil, Mathematics Magazine 71
(4), 1998.
• Pour une analyse beaucoup plus rigoureuse
et théorique du jeu :
Jeux d'ampoules ou comment év iter la crise de nerfs
à un é lectric ien dépressif à coup d'algèbre linéaire sur F2 .
Grégory Berhuy, Quadrature 79, 2011.
149
JEUX & PROBLÈMES
..
Niveau de difficullé
i)
Il
IIV
111111
t.1111111
Problèmes
HS4401 - Les dominos
•·1
....···
Placez les dominos de façon à former
un carré magique, c'est-à-dire un
carré ayant le même nombre de
points dans chaque ligne, dans
chaque colonne et dans chacune
des deux grandes diagonales .
Trois dominos sont déjà en place.
HS4402 - Séance de photos II
Neuf amis qui se retrouvent décident
de faire des photos en respectant les
conditions suivantes :
• sur chaque photo figurent exactement
trois personnes du groupe,
• chacun devra choisir exclusivement
des photos où il ne figure pas, mais de
façon à pouvoir néanmoins retrouver
les visages de ses huit amis.
Quel est le
nombre
minimum de
prises de vues
nécessaires ?
Note: une
prise de vue
peut donner
lieu à plusieurs
tirages.
~ 50
très facile
facile
pas facile
difficile
très difficile
HS4403 - Les parquets
anallagmatiques de Lucas 1111
Un carré anallagmatique est un carré
formé de cases colorées et de cases
blanches, en nombre égal ou inégal , de
telle sorte que, pour deux lignes ou
deux colonnes quelconques, le nombre
des variations de couleurs soit toujours
égal au nombre des permanences.
Quatre exemples vous sont proposés
ci-dessus.
Existe-t-il des carrés anallagmatiques de 4 cases sur 4 présentant un
nombre impair de cases colorées ?
HS4404 - Les demoiselles
de llirkman vvv
Le révérend Thomas Penyngton
Kirkman ( 1806- 1895) proposa ce problème en 1850 dans le Ladys and
Gentlemans Diary.
Quinze écolières sortent chaque jour
en promenade, réparties en cinq
groupes de trois.
Comment constituer ces groupes
chaque jour de la semaine pour que
chaque jeune fille ne marche qu ' une
seule fois en compagne de chacune
des autres?
On pourra représenter les quinze écolières par les nombres de 1 à 15.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
JEUX & PROBLÈMES
HS4405 - Un carré bien naturel vv
Pour 11 entier naturel non nul , que vaut
le déterminant d(n) suivant ?
c!(n)=
2
3
11+1
2n+I
11+ 2
211+ 2
n+3
2n+3
(n - 1)11+1
(11 - 1)11+2
HS4408 - Le mathématicien
et le bouffon vvvv
HS4406 - Une suite bien naturelle vv
On considère la suite de matrices carrées suivante :
M(l)=[I] , M(2)=[
! ~ l M(3)·[ I~ ::
HS4407 - Sens uniques
généralisés vvv
La ville de Strategy-City possède six
places, reliées par des boulevards
comme l'indique le plan ci-contre.
Afin de faciliter une circulation devenue apoplectique, le conseil municipal
décide de mettre toutes les rues en sens
unique, de telle sorte que l'on puisse
arriver à chaque place par deux boulevards, et en repartir par deux autres. Le
schéma indique l' un des projets.
Le maire souhaite faire réaliser tous les
schémas possibles .
Mais ... combien en existe-t-il ?
On pourra représenter chaque plan réalisable par une matrice antisymétrique
6 X 6.
Pl . des Dames
Le mathématicien officiel de la cour
reçut son salaire de l'année en une
seule fois, en pièces d'argent. Il devait
placer les pièces en neuf piles inégales
formant un carré magique. Le roi examina l'arrangement et déplora qu'aucun des nombres de pièces du carré ne
soit un nombre premier.
« Si j'avais neuf pièces de plus, dit le
mathématicien, je pourrais ajouter une
pièce à chaque pile et faire en sorte que
chaque pile contienne un nombre de
pièces qui soit un nombre premier. » Ils
vérifièrent et constatèrent que c'était
exact. Le roi s'apprêtait à donner les
neuf pièces, lorsque son bouffon remarqua : « Attendez, si au lieu d 'ajouter
une pièce, on en enlève une de chaque
pile, alors on obtient aussi des nombres
de pièces qui sont tous des nombres
premiers. » Alors le bouffon ôta une
pièce de chaque pile, empocha les neuf
pièces, et ils vérifièrent que les
nombres étaient tous premiers.
Quel était le salaire annuel du
mathématicien ?
Hors-série n°44. Les matrices Ta.ngente
151
JEUX & PROBLÈMES
HS4409 - Triplets de nombres
triangulaires vvv
HS4412 - Déterminant d'un carré
pandiagonal (1 J v v v
On appell e trip let triang ulaire un triplet d'entiers (a , b, c) tels que les
nombres triangulaires T 0 , T6 et T c vérifi ent T 0 + T 6 = T c (on rappelle que
T11 = n (n + 1) / 2).
Étant donné un entier k, montrez qu ' il
existe une infinité de triplets triangulaires distincts (a;, b;, c;) pour i = 1, 2, 3,
Montrez que le déterminant d ' un
carré magique normal pandiagonal
d ' ordre 4 est nul.
On rappelle qu ' un carré magique normal d 'ordre n est un carré magique
constitué des enti ers de 1 à n2, et qu ' il
est pandiagonal si les sommes des éléments de chaque ligne, de chaque
colonne et de chaque di agonale, principale ou bri sée, sont toutes égales.
tels que
a,
b,
c,
a2
h2
C2
aJ
b3
C3
=k .
HS441 O- Une matrice aléatoire vvv
Quelle est la probabilité pour qu ' une
matrice 3 X 3, dont les termes sont des
entiers choisis au hasard, ait un déterminant qui soit divisible par 7 ?
HS4413 - Déterminant d'un carré
pandiagonal (2) vv
Tous les carrés magiques normaux
pandiagonaux d ' ordre 5 ont-ils un
déterminant nul ? Si oui, le démontrer. Si non, trouver un contreexemple.
S4411 - Un déterminant multiple
de la somme v v
Soit S la somme des nombres consti tuant un carré magique d' entiers quelconques d ' ordre 3 (un carré magique
quelconque est un carré magique dont
les termes ne sont pas fo rcément des
entiers consécutifs) et soit D le déterminant de ce carré considéré comme
une matrice.
Montrez que D / S est un nombre
entier.
• Revue Spécial Logique (HS4401)
• Championnat des jeux mathématiques et logiques (HS4402, HS4407)
• Récréations mathématiques. Édouard Lucas, réédition Blanchard,
1992 (HS4403)
• D'après la revue Lady 's and Gentleman 's Diary (HS4404)
• D'après la revue The Pentagon (HS4405)
• D ' après la revue Math Magazine (HS4406, HS4409, HS4410)
• D ' après la revue American Mathematical Monthly (HS4408)
• D ' après la revue American Mathematica/ Monthly (HS4411 , HS4412,
HS4413)
152
Ta.ngente Hors-série n°44. Les matrices
par P. Boulanger et M. Criton
EN BREF
1
Ci-dessous figure le plus petit des carrés magiques, le carré magique de taille 3 : la somme
des trois chiffres de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales est égale à
une constante, 15.
Imaginons que des équipes d'échecs à trois joueurs s'opposent
et que l'on évalue la force des joueurs par le nombre inscrit dans
une case. La première équipe est celle de la première colonne,
avec des joueurs de forces respectives 6, 1, 8. La deuxième équipe a des joueurs de forces 7, 5 et 3, et la troisième les forces 2, 9
et 4. La « force moyenne » des trois équipes est la même : 5.
Et pourtant, la première équipe est battue par la deuxième par
deux matchs à 1, la deuxième par la troisième (deux victoires à
une), mais la troisième est battue par la première deux victoires
à une. La non transitivité est toujours étonnante ...
Il a par ailleurs été démontré que ce type de scores intransitifs par deux victoires à une est un maximum.
6
1
8
7
5
3
2
9
4
Tangente a déjà évoqué le site Internet http://www.multimagie.com/fr.htm tenu par
Christian Boyer et dédié aux carrés magiques. Il propose plusieurs problèmes non résolus à ce jour. Chacun de ces défis est doté d'un prix (voir Tangente 134, page 9). Voici
quelques-unes des énigmes proposées et toujours sans solution.
• Un carré semi-magique est un carré dans lequel il n'y a pas de condition sur les diagonales (seules les lignes et les colonnes doivent présenter des sommes égales) . On connaît
un carré semi-magique de taille 4 constitué de nombres élevés au cube (voir ci-dessous).
Ce carré a été trouvé en 2006 par Lee Morgenstern.
Construire un carré semi-magique de taille 3 consti163 20 3 18 3 192 3 tué de nombres entiers positifs distincts élevés au
cube, ou prouver qu'il n'en existe pas. Mise à prix :
3
3
3
3 1 ooo euros et une bouteille de champagne.
180
81
90
15
• Ce défi porte sur les carrés magiques additifsmultiplicatifs, qui présentent à la fois des sommes
égales et des produits égaux (sur les lignes, les
23
160 3 144 3 24 3 colonnes et les diagonales). Le plus petit exemple
connu d'un tel carré est de taille 8. Il a été trouvé
en 1955 par Walter Homer. Le défi consiste à construire un carré magique additif-multiplicatif de taille 5 utilisant des entiers distincts, ou à prouver que c'est impossible. Mise à
prix : 1000 euros et une bouteille de champagne.
Construire un carré magique additif-multiplicatif de taille 6 utilisant des entiers distincts, ou
prouver que c'est impossible. Mise à prix: 500 euros et une bouteille de champagne.
Construire un carré magique additif-multiplicatif de taille 7 utilisant des entiers distincts, ou
prouver que c'est impossible. Mise à prix: 200 euros et une bouteille de champagne.
108 3 135 3 150 3
93
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
par Michel Criton
••• • • ·t·••
• •••
••• • • 1
· ••
• • • •••
• •• • • • • •
• • •• •• •
• ·t··· . • •
• ••••• •
I ~ 1-
HS4402 • Si n amis réalisent p prises de vue de
trois personnes chacune, de telle façon que
tout participant puisse avoir chacun de ses
amis en photo mais jamais lui-même, alors
chacun de ces n amis doit apparaître au moins
sur deux photos, accompagné d 'amis différents, afin que ceux-ci puissent avoir sa photo
sans figurer eux-mêmes sur cette même photo.
Le nombre d'individus photographiés est égal
à 3p (ce nombre comprenant les répétitions
correspondant à un même individu photographié plusieurs fois). On doit alors avoir l' inégalité 3p ;3 2n, donc, dans le cas du problème, 3p ;3 18, d'oùp ;3 6.
Or, on peut affirmer que p = 6 est réalisable. Il
suffit en effet de ranger les neuf amis en matrice 3 X 3, et de prendre comme triplets les
lignes et les colonnes de cette matrice. Cette
solution est optimale, tout participant apparaissant exactement deux fois , et elle est
unique, à l' ordre du numérotage près.
Chacun des neuf amis devra donc prendre
quatre photos, qui sont celles sur lesquelles il
ne figure pas. Le nombre minimum de prises
de vue nécessaires est donc égal à 6.
HS4403 · Pour répondre à cette question, adoptons le codage suivant : un carré coloré est
codé par le nombre relatif - 1, et un carré blanc
est codé par + 1. Les matrices obtenues sont
analogues aux matrices d' Hadamard. Nous
pouvons calculer le produit des nombres contenus dans chaque ligne et dans chaque colonne;
ce produit est égal à - 1 si la ligne ou la colonne contient un nombre impair de cases colorées, et à + 1 si elle en contient un nombre pair.
Lorsque nous passons d'une ligne (ou d' une
colonne) à une autre, nous changeons exactement le contenu de deux cases ce qui revient
~ 54
à multiplier ce contenu deux fois par - 1. Or,
multiplier deux fois par - 1 laisse le produit de
tous les nombres de la ligne inchangé. Toutes
les lignes doivent donc avoir le même produit,
et il en est de même de toutes les colonnes
(mais il est possible que les deux diffèrent,
comme le montre l' uQ des carrés ci-dessous).
s· toutes les !jgnes résentent le même produit, comme le carré co pte un nombre pair
de lignes, le produit de tous les nombres du
carré est égal à+ 1, ce qui entraîne que le carré
doit nécessairement contenir un nombre pair
de cases colorées.
-]
- 1
-l
- 1
HS4404 · Voici une solution du problème.
Lundi
1, 6, 11
2, 7, 12
3, 8, 13
4, 9, 14
5, 10, 15
Mardi
Mercredi
1, 2, 5
2, 3, 6
3, 4, 7
4,5, 8
9, 10, 13
8, 9, 12
10, 11 , 14 11 , 12, 15
13 , 15, 6
14, 1, 7
Vendredi
3, 5, 11
4, 6, 12
7, 9, 15
8, 10, 1
13, 14, 2
Samedi
5, 7, 13
6, 8, 14
9, 11 , 2
LO, 12, 3
15, 1, 4
Jeudi
5,6,9
7, 8, 11
12, 13 , 1
14, 15, 3
2, 4, 10
Dimanche
11 , 13 , 4
12, 14, 5
15, 2, 8
1, 3, 9
6, 7, 10
HS4405 · On a d(I) = 1 et d(2) = - 2.
Pour tout n 2'.: 3, on aura d(n) = O.
En effet, on vérifie que la troisième ligne de la
matrice est combinaison linéai re des deux premières (elle est toujours égale à deux fois la
deuxième ligne moins une fois la première).
On en déduit que, pour n 2'.: 3, le déterminant
est nul.
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
SOLUTIONS
HS4406 • l1:e premier terme de la matrice M(n)
est égal à la somme des n - 1 premiers carrés
des entiers non nuls augmentée de 1, à savoir
l + 11(11 - 1)(211 - 1) / 6. Les termes de la diagonale principale de M(n) forment une progression arithmétique de raison 11 + 1. La
somme demandée est donc :
n (n + 1)(2n 2 - 2n + 3) / 6.
HS4407 · Désignons les places par A, B, C, a, b,
et c, deux lettres associées (majuscule et
i:ninuscule) correspondant à deux places qui ne
sont pas directement reliées.
Dans cette matrice, aiJ = 0 s'il n'existe pas de
route reliant i àj (c ' est notamment le cas si i = j),
aiJ = l si la route reliant i àj est orientée dei vers
j , et aiJ = - 1 si la route reliant i àj est orientée
de) vers i. D'après les conditions imposées par
l'énoncé, chaque ligne et chaque colonne de
cette matrice doit compter exactement deux fois
le nombre l et deux fois le nombre - 1.
Pour remplir cette matrice, on peut distinguer
trois cas:
Premier cas : ligne a = ligne A.
A B c a b c
Ce cas est celui de la
A o -a -~ O -'Y -li
matrice correspondant
B a O -a a O -a
au dessin de l'énoncé.
c ~ -~ o ~ -~ O Remplissons
les
a o -a -~ o -y -li
colonnes A et a avec
b y o -y y o -y
les nombres a, p, y, ô,
c li -li o li -li o
puis complétons les
lignes en fonction de ces nombres. L'examen
des colonnes et l'antisymétrie imposent alors
a = - p= y = - ô. On n'obtient donc que deux
matrices de ce type, avec a = l, p = - 1, y = 1,
ô = - 1, ou bien a = - l, p = 1, y = - 1, ô = 1.
Deux ièmc cas : ligne a = opposé de la ligne A .
A B C a b c
En
respectant
les
A 0 -a -~ 0 -y -ô conditions de l'énoncé
B a 0 - E -a 0 E (antisymétrie,
deux
C ~ E 0 -~ - E 0 nombres 1 et deux
a 0 a ~ 0 y ô nombres - 1 par ligne
b y 0 E - y 0 -E et par colonne , la
ô - E 0 - ô E 0 matrice se remplit
comme ci-contre. Des valeurs peuvent être
attribuées à a , [3, 'Y, ô, de six façons différentes, et dans chaque cas, les deux valeurs
possibles pour e donnent deux matrices. On
obtient ainsi 6 X 2 = 12 autres matrices.
Troisième cas : les lignes a et A ne sont ni
égales, ni opposées.
On peut remplir la ligne a de six façons, et la
ligne A de quatre façons (puisque l'on a exclu
les deux cas précédents). On obtient ainsi
vingt-quatre combinaisons, et chacune conduit
à une solution unique. Le nombre total de
plans
réalisables
est donc
égal
à
2 + 12 + 24 = 38 plans différents.
HS4408 • On cherche un carré de la forme
tel que a, b, c, d, e,f, g, h, i, a + 2, b + 2, c + 2,
d + 2, e + 2, f + 2, g + 2, h + 2 et i + 2 soient
tous des nombres premiers. Ceci implique que
les chiffres des unités des nombres a, b, c, d, e,
f, g, h eti appartiennent à l'ensemble {1 ; 7 ; 9}.
Soit ces chiffres des unités sont tous identiques,
soit ils sont dans la configuration suivante,
à une rotation ou à une réflexion près :
[; ~ !]
l[
l
La plus petite solution est la suivante :
191
197
[
59
17
149
281
239
101
107
,
193
199
61
19
151
283
241
103
109
Hors-série n°44. Les matrices Tangente
.
155
SOLUTIONS
par Michel Criton
HS4409 • T 3"' + z + T4111 + 2 = T 5m + 3 pour tout m
entier naturel . T 3n + 1J4n + 1 = T 511 + 1 pour tout n
entier naturel non nul.
.. 1 •
On a
2
3m+1
3n
'
'\
,
•
2
2
4m+1 5m+1 =m
4n+ 1 5n+l
.
• ·~ ...
•
,lo
•
1{ l· ~
L•~' ...:. ..
t1• lt >::f,
1
,
\.
2
5
3m+2
2
6
4m+2
a
c
f
c
d
b
e
f
3e
3e
3
'
•
• 4
·t
·,~·~•t
1·
our tout m et pour tout n, strictement positifs.
On a aussi
a b
D= d e
g h
•
1
3
8
=0
5m+3
pour tout m supérieur ou égal à 2.
HS4410 • On suppose que les entiers sont choisis de façon que leurs résidus modulo 7 soient
équirépartis.
On remplace alors les entiers choisis par leurs
résidus modulo 7. Le déterminant de la matrice obtenue est divisible par 7 si, et seulement
si, cette matrice n'est pas inversible. Le
nombre de matrices non 3 X 3 inversibles sur
le corps des entiers modulo 7 est égal à
(7 3 - 1) (7 3 - 7) (7 3 - 7 2) , sur un total de 79
matrices . La probabilité demandée est donc
égale à:
a
a b e
e e
b 3e
e '3e
3e 9e
d
3e
xs.
d
La conclusion en découle directement.
HS4412 • Selon la notation
de Maurice Kraitchik, on
peut noter un tel carré de
la façon suivante :
A
E
I
M
B
F
J
N
c
D
G
H
K
0
p
L
Désignons par S la somme magique. On a :
~+B+C+D=E+F+G+H=I+J+K+
L = M + N + O + P =A+E+ I + M = B + F
+ J +N=C+ G + K + O = D + H +L+ P =
M + B + G + L = I + N +C+ H =E+ J + O +
D = A + F + K + P = A + N + K + H =E+ B
+ 0 + L = 1 + + C + P = M + J + G + D = S.
Ces égalités entraînent que l'on peut écrire ce
carré sous la forme suivan e :
A
E
S / 2-C
S/2-A+C-E
c
B
S-A-B-E
A-C+E
A+ B+C -S / 2 S/2-A
S/2-B-C+E S/2-E
S - A-B-C
B+ C-E
S / 2-B
A+B+E - S / 2
En soustrayant la première colonne de la
troisième et la deuxième de la quatri èQ1e,
on obtient deux colonnes linéairemen
dépendantes .
On en déduit que le déterminant est nul.
HS4411 · Soit
[
dag b: 1c. J un carré magique
1
quelconque. On a alors S = 9e et la somme
magique est égale à S / 3, soit à 3e.
En additionnant lignes et colonnes, on
obtient:
HS4413 · Contre-exemple :
10
4
23
18
12
6
5
24
25
19
13
7
14
8
2
21
20
22
16
,~
=-4680000.
,;/
·r ••
156
Tangente Hors-série n°44. Les matrices
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Ta.ngente Hors-série n° 44
Les matrices
Ta.ngent e
Publié par les Éditions POLE
SHS au capital de 42 000 euros
Siège social
80 bd Saint-michel - 75006 Paris
Commission paritaire : 1011 K 80883
Dépôt légal à parution
Directeur de Publication et de la Rédaction
Gilles COHEn
Rédacteur en chef adjoint
Herué LEHnmG
Secrétaire de rédaction
Édouard THOmHS
Ont collaboré à ce numéro
Jacques BHIR, Philippe BOULHnGER, Élisabeth BUSSER,
michel CRITOn, Jean-Jacques DUPHS,
Bertrand HHUCHECORnE, Daniel JUSTEns,
Philippe LHnGEnHKEn, François LHUHLLOU,
Herué LEHnmG, Hlexandre moHTTI, Jean-Hlain RODDIER,
norbert UERDIER, Hlain ZHLmHnSKI
maquette
Thibaud Dl DOmEmco, Guillaume GHIDOT,
natacha LHUGIER, Claude lUCCHlnl
Photos : droits réserués
Photo couverture : Édouard Thomas
[exposition mathématiques, un dépaysement soudain
à la fondation Cartier pour l'art contemporain)
Publicité, abonnements
marie DURHnD [email protected]
01 47 07 51 15 - fax : 01 47 07 88 13
Achevé d'imprimer
pour le compte des Éditions POLE
sur les presses de l'imprimerie SPEI à Pulnoy
Imprimé en France
Dépôt légal - Août 2012
Ta.ngent:e Hors-série n°44. Les matrices
r1ces
ation du monde
Les matrices sont, à la base, de
simples tableaux de nombres. Il
y a moins de deux siècles, on a
défini des opérations pour
manipuler ces tableaux, ce qui a
bouleversé l'approche de
plusieurs objets ou notions
mathématiques.
Les transformations
géométriques, notamment,
s'étudient plus aisément avec les
outils matriciels. Plus
généralement, tout ce qui est de
dimension finie dans le monde
qui nous entoure, et tout ce qui
peut être modélisé, tombe sous
leur influence.
Cette caractéristique a trouvé
sa pleine expression avec
l'avènement de l'informatique.
L'économie, l'actuariat et
la finance en sont friandes.
L'électronique et toutes les
sciences de l'ingénieur ne
peuvent plus s'en passer.
Même le grand public est
directement concerné : derrière
chaque Sudoku, chaque grille
logique, chaque carré magique
se cache une matrice, souvent
utile dans sa résolution.
!;OITIONS ~
Prix: 19,80 €
POLE ~