Cours de Biostatistique pour étudiants en médecine

i
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ii
AVANT-PROPOS ................................................................................................................................................ i
TABLE DES MATIERES ....................................................................................................................................... ii
CHAPITRE 0 ...................................................................................................................................................... 9
INTRODUCTION GENERALE .............................................................................................................................. 9
0.0. Introduction .......................................................................................................................................... 9
0.1. Définition de la Statistique et des statistiques ..................................................................................... 9
0.2. Les Grandes Parties de La Statistique .................................................................................................. 3
0.3. Organisation des travaux pratiques. .................................................................................................... 3
0.4. Pourquoi le cours de Statistique à la Faculté de Médecine .................................................................. 3
0.5. Définition des termes et concepts importants ..................................................................................... 4
0.6. Méthodes d’observation ...................................................................................................................... 6
0.7. Bref aperçu sur le cours ........................................................................................................................ 7
PREMIERE PARTIE : STATISTIQUE DESCRIPTIVE ................................................................................................ 8
CHAPITRE I ....................................................................................................................................................... 8
ELABORATION ET PRESENTATION DES DONNEES STATISTIQUES ...................................................................... 8
I.1. Méthodes de collecte des données. .......................................................................................................... 8
I.1.1. Concepts de base en échantillonnage ............................................................................................. 8
I.1.2. Méthodes d’échantillonnage. ......................................................................................................... 9
I.1.2.1. Les méthodes d’échantillonnage aléatoires ou probabilistes. .............................................. 9
a. Cas où la population est homogène ........................................................................................... 9
a.1. Méthode d’échantillonnage aléatoire simple ................................................................... 9
a.2. Méthode d’échantillonnage aléatoire systématique ...................................................... 10
b. Cas où la population est hétérogène ........................................................................................ 10
b.1. Méthode de stratification ............................................................................................... 10
I.1.2.2. Les méthodes non aléatoires ou à choix raisonné. .............................................................. 11
a. Méthode des quotas (utilisée surtout dans les sondages) ....................................................... 11
I.1.3. Taille de l’échantillon. ................................................................................................................... 11
I.2. Tableaux statistiques. ............................................................................................................................. 11
I.2.1. Tableau du premier ordre. ............................................................................................................ 11
I.2.2. Tableau du deuxième ordre ou tableau à double entrée. ............................................................ 12
I.2.3. Tableau du troisième ordre ou tableau à triple entrée. ................................................................ 12
I.2.4. Tableau de contingence. ............................................................................................................... 13
I.2.5. Tableau de distribution des fréquences. ....................................................................................... 13
I.2.5.1. Tableau de distribution des fréquences d’une variable discrète. ........................................ 14
I.2.5.2. Tableau de distribution des fréquences d’une variable continue. ...................................... 14
I.3. Représentation graphique des données .................................................................................................. 16
I.3.1. Cas d’une variable discrète ........................................................................................................... 16
I.3.1.1. Diagramme en bâtonnets .................................................................................................... 16
I.3.1.2. Diagramme cumulatif .......................................................................................................... 16
I.3.2. Cas d’une variable continue. ......................................................................................................... 17
I.3.2.1. Histogramme des effectifs ................................................................................................... 17
I.3.2.2. Courbe cumulative ............................................................................................................... 17
I.3.3. Autres représentations graphiques ............................................................................................... 18
I.3.3.1. Graphique circulaire ou à secteurs circulaires ..................................................................... 18

iii
I.3.3.2. Diagramme à colonnes ........................................................................................................ 18
CHAPITRE II .................................................................................................................................................... 20
STATISTIQUE DESCRIPTIVE UNIVARIEE ........................................................................................................... 20
II.1. Objectif ............................................................................................................................................... 20
II.2. Paramètres de tendance centrale (ou de position) ............................................................................ 20
II.2.1. La moyenne arithmétique ou moyenne ..................................................................................... 20
II.2.1.1. Définition ............................................................................................................................. 20
a. Calcul de la moyenne arithmétique d’une distribution discrète .............................................. 20
b. Calcul de la moyenne arithmétique d’une distribution continue ............................................. 21
II.2.2. Mode (Mo) .................................................................................................................................... 22
II.2.2.1. Définition. ............................................................................................................................ 22
II.2.2.2. Remarques ........................................................................................................................... 22
II.2.2.3. Détermination du mode ...................................................................................................... 22
a. Cas d’une distribution discrète ................................................................................................. 22
b. Cas d’une distribution continue ............................................................................................... 22
b.1. Déterminer la classe, celle qui admet la plus grande fréquence absolue. ...................... 22
b.2. Utiliser la formule d’interpolation suivante : .................................................................. 22
II.2.3. Médiane (Me ou ) .................................................................................................................. 23
II.2.3.1. Définition ............................................................................................................................. 23
a. Détermination de la Médiane .................................................................................................. 23
a.1. Cas d’une distribution discrète ....................................................................................... 23
a.2. Cas d’une distribution continue ...................................................................................... 23
II.2.4. Généralisation : notion de fractiles ............................................................................................... 24
II.3. Paramètres de dispersion ................................................................................................................... 25
II.3.1. Etendue(E) : ................................................................................................................................... 25
II.3.2. Variance(s²) ................................................................................................................................... 25
II.3.2.1. Définition ............................................................................................................................. 25
II.3.2.2. Formule ................................................................................................................................ 26
II.3.3. Ecart- type (S)( Standard de déviation) ......................................................................................... 26
II.3.4. Cœfficient de variation (C.V.) ........................................................................................................ 26
II.4. Les paramètres de forme ................................................................................................................... 28
II.4.1. Coefficients d’asymétrie. ............................................................................................................... 28
II.4.1.1. Coefficient d’Asymétrie de SKEWNESS ................................................................................ 28
II.4.1.2. Le coefficient de FISHER ...................................................................................................... 28
II.4.2. Coefficients d’aplatissement ......................................................................................................... 29
CHAPITRE III ................................................................................................................................................... 31
STATISTIQUE DESCRIPTIVE BIVARIEE .............................................................................................................. 31
III. Régression et corrélation ...................................................................................................................... 31
III.1. Introduction. ....................................................................................................................................... 31
III.2. Régression .......................................................................................................................................... 31
III.2.1. Construction de la droite de régression de y par rapport à x. .................................................. 31
III.2.2. Procédés d’ajustement ............................................................................................................. 32
III.2.2.1. Ajustement analytique ........................................................................................................ 32
III.2.2.2. Méthode des moindres carrés ............................................................................................. 32
III.3. Corrélation ......................................................................................................................................... 34
III.3.1. Existence d’une liaison statistique entre deux variables quantitatives .................................... 34
III.3.2. Intensité de la liaison : Coefficient de corrélation .................................................................... 35
III.3.3. Propriétés de r .......................................................................................................................... 35

iv
EXERCICES SUR LA PREMIERE PARTIE : chapitres I, II & III .............................................................................. 37
DEUXIEME PARTIE : ELEMENTS DES PROBABILITES ........................................................................................ 44
CHAPITRE IV ................................................................................................................................................... 44
LE CALCUL DES PROBABILITES ........................................................................................................................ 44
IV.1. Introduction ........................................................................................................................................ 44
IV.2. Expérience aléatoire ( ε ) ...................................................................................................................... 44
IV.2.1. Définition .................................................................................................................................. 44
IV.2.2. Exemples................................................................................................................................... 44
IV.3. Espace des éventualités ou Ensemble fondamental ou Univers......................................................... 44
IV.3.1. Définition .................................................................................................................................. 44
IV.4. Evénement aléatoire .......................................................................................................................... 45
IV.4.1. Définition .................................................................................................................................. 45
IV.4.2. Exemples................................................................................................................................... 45
IV.5. Opérations sur les événements aléatoires ......................................................................................... 46
IV.6. Quelques événements particuliers ..................................................................................................... 46
IV.6.1. Evénements disjoints ................................................................................................................ 46
IV.6.2. Système complet d’événements : ............................................................................................ 46
IV.6.3. Evénements indépendants : ..................................................................................................... 46
IV.7. Notion de symétrie mutuelle .............................................................................................................. 47
IV.8. Notion de probabilité ......................................................................................................................... 47
IV.8.1. Définition de Laplace ................................................................................................................ 47
IV.8.2. Définition de la probabilité de Kolmogorov ............................................................................. 47
IV.8.3. Probabilités conditionnelles ..................................................................................................... 48
IV.8.4. Multiplication des probabilités ................................................................................................. 48
IV.8.5. Formule de Bayes ..................................................................................................................... 48
IV.8.6. Probabilités totales ................................................................................................................... 49
IV.8.7. Probabilités de causes ou théorème de Bayes ......................................................................... 50
CHAPITRE V .................................................................................................................................................... 52
VARIABLE ALEATOIRE ET DISTRIBUTIONS DE PROBABILITES........................................................................... 52
VI.1. Variable aléatoire ............................................................................................................................... 52
Définitions ................................................................................................................................................... 52
VI.2. Distribution de probabilités d’une variable aléatoire ......................................................................... 52
VI.2.1. Cas 1 : X est une variable aléatoire discrète (v.a.d). ................................................................. 52
VI.2.2. Cas 2 : X est une variable aléatoire continue (v.a.c) ................................................................. 54
VI.3. Paramètres caractéristiques d’une distribution de probabilité. ......................................................... 55
VI.3.1. Moyenne théorique ou Espérance mathématique d’une variable aléatoire X. ....................... 55
VI.3.1.1. Cas 1. X est une variable aléatoire discrète. ........................................................................ 55
VI.3.1.2. Cas 2. X est une variable aléatoire continue. ....................................................................... 55
VI.3.2. Variance et écart-type d’une variable aléatoire. ...................................................................... 56
VI.3.2.1. Cas 1. X est une variable aléatoire discrète. ........................................................................ 56
VI.3.2.2. Cas 2. X est une variable aléatoire continue. ....................................................................... 56
VI.4. Variables aléatoires indépendantes ................................................................................................... 56
CHAPITRE VI ................................................................................................................................................... 58
QUELQUES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITES USUELLES ............................................................................... 58

v
VI.1. Distributions de probabilité discrètes. ................................................................................................ 58
VI.1.1. Distribution de Bernoulli .......................................................................................................... 58
VI.1.1.1. Variable de Bernoulli ou variable indicatrice ....................................................................... 58
VI.1.1.2. Paramètres caractéristiques ................................................................................................ 58
a. Moyenne ou Espérance mathématique : ................................................................................. 58
b. Variance : .................................................................................................................................. 58
VI.1.2. Distribution binomiale. ............................................................................................................. 59
VI.1.2.1. Situation concrète................................................................................................................ 59
VI.1.2.2. Définition ............................................................................................................................. 59
VI.1.2.3. Paramètres caractéristiques. ............................................................................................... 60
a. Moyenne : .................................................................................................................... 60
b.
Variance :................................................................................................................. 60
c.
Ecart-type : ................................................................................................................ 60
VI.1.2.4. Convergence ou approximation .......................................................................................... 60
VI.1.3. Distribution de Poisson. ............................................................................................................ 60
VI.1.3.1. Situation concrète................................................................................................................ 60
VI.1.3.2. Définition. ............................................................................................................................ 61
VI.1.3.3. Domaines d’application de la loi de Poisson : ..................................................................... 62
VI.1.3.4. Paramètres caractéristiques ................................................................................................ 62
a. Moyenne :E(X) = λ .................................................................................................................... 62
b. Variance : Var(X) = λ ................................................................................................................. 62
c. Ecart-type :σ(X) =  ................................................................................................................... 62
VI.1.3.5. Convergence ou approximation .......................................................................................... 62
VI.1.4. Distribution géométrique ......................................................................................................... 63
VI.1.4.1. Situation concrète................................................................................................................ 63
VI.1.4.2. Définition ............................................................................................................................. 63
VI.1.4.3. Paramètres caractéristiques ................................................................................................ 64
a. Moyenne : E(X) =  ................................................................................................................. 64
b. Variance : Var(X) =  ........................................................................................ 64
c. Ecart-type : σ(X) =  ........................................................................................................ 64
VI.1.4.4. Propriété remarquable ........................................................................................................ 64
VI.1.5. Distribution hypergéométrique ................................................................................................ 64
VI.1.5.1. Définition ............................................................................................................................. 64
VI.1.5.2. Paramètres caractéristiques ................................................................................................ 65
a. Moyenne :  .................................................................................................... 65
b. Variance : .......................................................... 65
c. Ecart-type : ............................................................ 65
VI.1.5.3. Convergence de la distribution hypergéométrique vers une distribution binomiale ......... 65
VI.1.5.4. Importance pratique de la loi hypergéométrique ............................................................... 65
VI.2. Distributions de probabilité continues. .............................................................................................. 66
VI.2.1. Distribution exponentielle ........................................................................................................ 66
VI.2.1.1. Situation concrète................................................................................................................ 66
VI.2.1.2. Définition ............................................................................................................................. 67
VI.2.1.3. Paramètres caractéristiques ................................................................................................ 67
a. Moyenne : .......................................................................................................... 67
b. Variance :  ..................................................................................................... 67
c. Ecart-type : ......................................................................................................... 67
VI.2.2. Distribution normale (ou Laplace – Gauss) .............................................................................. 67
VI.2.2.1. Situation concrète................................................................................................................ 67
VI.2.2.2. Définition ............................................................................................................................. 68
VI.2.2.3. Paramètres caractéristiques ................................................................................................ 68
a. Moyenne : .................................................................................................................... 68
b. Variance : ................................................................................................................... 68
c. Ecart-type : ................................................................................................................... 68
VI.2.2.4. Comment utiliser la table de la loi centrée réduite ? .......................................................... 69
VI.2.3. Distribution de Chi-carré (χ²) ................................................................................................... 71