Cours de Dérivabilité - PCSI par É. Bouchet

Dérivabilité
Cours de É. Bouchet – PCSI
19 janvier 2026
Table des matières
1 Dérivabilité 2
1.1 Dérivabilité en un point .......................................... 2
1.2 Dérivabilité et continuité.......................................... 3
1.3 Dérivabilité sur un intervalle........................................ 4
1.4 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Principaux théorèmes 6
2.1 Caractérisation d’un extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Théorème de Rolle et égalité des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Inégalité des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Caractérisation des fonctions constantes et monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Théorème de la limite de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Dérivées successives 11
3.1 Dénitions et rappels............................................ 11
3.2 Formulaire.................................................. 12
3.3 Opérations sur les dérivées......................................... 12
4 Fonctions convexes 15
4.1 Dénition .................................................. 15
4.2 Convexité et dérivabilité.......................................... 15
5 Fonctions à valeurs complexes 16
1

Dans tout le chapitre, les fonctions considérées sont dénies sur un intervalle non vide et non réduit à un
point. Elle sont toutes supposées à valeurs réelles (sauf dans la dernière section).
1 Dérivabilité
1.1 Dérivabilité en un point
Dénition 1.1 (Fonction dérivable en un point, nombre dérivé, rappel)
Soit . On dit que est dérivable en lorsque lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
existe et est nie. Cette limite est alors
notée ′ et appelée nombre dérivé de  en .
Remarque. Cette dénition équivaut à dire que  est dérivable en  si et seulement si lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ.
Remarque. Dans le cas d’une fonction physique, la dérivée au point  correspond à la vitesse instantanée.
Proposition 1.2 (Dérivabilité et approximation locale)
Soit . La fonction est dérivable en si et seulement si il existe et une fonction tels que
lim
ℎ→0 
et qu’au voisinage de , . Le réel est alors unique et vaut ′ .
Démonstration. On montre les deux implications successivement.
• Supposons qu’il existe et qui vérient ces conditions. Alors, au voisinage de , .
Donc lim
ℎ→0 
, ce qui permet de conclure que  est dérivable en  avec ′.
• Réciproquement, supposons dérivable en . Soit au voisinage de et
′
.
Par construction et dénition du nombre dérivé, on a bien lim
ℎ→0   
. De plus, au voisinage de ,
′, on obtient donc le résultat annoncé en posant ′.
Proposition 1.3 (Tangente à la courbe, rappel)
Soit . Si est dérivable en , alors la courbe 𝑓 admet au point de coordonnées une tangente
d’équation ′.
Démonstration. D’après le résultat précédent, si est dérivable en , alors il existe une fonction telle que pour
au voisinage de , ′ et lim𝑥→𝑎  . Donc la courbe 𝑓 admet
au point de coordonnées  une tangente d’équation ′.
Remarque. Interprétation géométrique :
′
2

Dénition 1.4 (Dérivée à droite ou à gauche en un point)
Soit . On dit que est dérivable à droite (respectivement dérivable à gauche) en lorsque
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎 (resp. lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎 ) existe et est nie. On note alors cette limite ′
𝑑 (resp. ′
𝑔).
Proposition 1.5 (Demi-tangente à la courbe)
Soit . Si est dérivable à gauche en , 𝑓 admet une demi-tangente d’équation ′
𝑔
,
avec .
Si est dérivable à droite en , 𝑓 admet une demi-tangente d’équation ′
𝑑
, avec .
Démonstration. Le raisonnement est le même que pour obtenir l’équation de la tangente à la courbe, mais on se
contente d’étudier les limites à droite ou à gauche.
Exemple. Soit  la fonction dénie sur  par : . Elle est :
• dérivable à droite en , ′
𝑑 lim
𝑥→0+
𝑥−0
𝑥−0 .
• dérivable à gauche en , ′
𝑔 lim
𝑥→0−
−𝑥−0
𝑥−0 .
Proposition 1.6 (Lien entre dérivabilité, dérivabilité à droite et dérivabilité à gauche)
Soit . Si est dérivable à droite et à gauche en et si ′
𝑑′
𝑔
, alors est dérivable en
et ′.
Démonstration. D’après le chapitre sur les limites de fonction, le taux d’accroissement de en admet une limite
 en  si et seulement si il admet des limites à droite et à gauche égales à  en . D’où le résultat.
1.2 Dérivabilité et continuité
Proposition 1.7 (Continuité d’une fonction dérivable)
Toute fonction  dérivable en un point  est continue en .
Démonstration. Soit une fonction dérivable en . Donc il existe une fonction telle que lim
ℎ→0 
et qu’au
voisinage de ,′
ℎ→0 
Or lim
ℎ→0 
, donc une composition de limites donne lim
ℎ→0  lim
𝑥→𝑎 
. On obtient donc lim
𝑥→𝑎 
,
ce qui est la dénition de la continuité en .
Remarque. Attention : La réciproque est FAUSSE, la continuité n’implique pas la dérivabilité.
Exemple. La fonction dénie sur  par , est continue, mais pas dérivable en .
3

1.3 Dérivabilité sur un intervalle
Dénition 1.8 (Dérivée sur un intervalle, fonction dérivée)
On dit que la fonction est dérivable sur lorsque est dérivable en tout point de (sauf pour les bornes
de , pour lesquelles on se restreint à la dérivabilité à droite ou à gauche).
On dénit alors la fonction dérivée de  notée ′, dénie sur  par ′′.
Remarque. ATTENTION : Une fonction peut être dérivable sur et sur sans être dérivable sur .
L’étude locale de la dérivabilité en  est indispensable pour armer qu’elle est dérivable sur .
Exercice 1. Soit  la fonction dénie sur  par , 2 et , .
Étudier sa dérivabilité sur .
Solution : Il est immédiat que est dérivable sur ∗
+
et sur ∗
−
, car elle coïncide sur ces intervalles avec des fonctions
polynômes. Mais il faut étudier le raccord en  avant de conclure à la dérivabilité sur .
 2
Donc est dérivable à droite et à gauche en , et ′
𝑑    ′
𝑔
. Donc est dérivable en et est bien
dérivable sur  tout entier.
1.4 Opérations sur les fonctions dérivables
Proposition 1.9 (Linéarité)
Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle et un réel. Alors est dérivable sur et
′′′.
Démonstration. Soit . Au voisinage de ,
𝑥→𝑎 ′′
car  et  sont dérivables en . Donc  est dérivable en  et ′′′.
Proposition 1.10 (Dérivée d’un produit et d’un quotient)
Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle . Alors est dérivable sur et ′′′ .
Si de plus, la fonction  ne s’annule sur , alors 𝑢
𝑣 est dérivable sur  et 𝑢 𝑣′𝑢′𝑣−𝑢𝑣′
𝑣2.
Démonstration. Soit . Au voisinage de ,
𝑥→𝑎 ′′
car et sont dérivables en et est continue (car dérivable) en . Donc est dérivable en et on obtient
′′′.
De plus, au voisinage de ,
1
𝑣1 𝑣
𝑥→𝑎 
2′
car  est dérivable et continue en . Donc 1
𝑣 est dérivable en  et 1 𝑣′ 1
𝑣(𝑎)2′.
Le résultat sur le quotient découle ensuite directement de ceux sur le produit et l’inverse.
4

Proposition 1.11 (Dérivée d’une composée)
Soient une fonction dérivable sur un intervalle et une fonction dérivable sur . Alors est
dérivable sur , et ′′′.
Démonstration. Soit . Au voisinage de , on aimerait écrire :
pour faire apparaître les taux d’accroissement de et . Mais rien ne garantit la non-annulation de .
On utilise une fonction auxiliaire pour contourner ce problème. Soit la fonction dénie au voisinage de par :
 si  et ′
Par dénition de ′ , est continue au point . Et , .
Comme est dérivable en , est continue en et est continue en , le membre de droite admet bien une
limite en . Donc  est dérivable en  et par passage à la limite :
′ lim
𝑥→𝑎 
 ′′′
Proposition 1.12 (Dérivée de la fonction réciproque)
Soit une fonction dérivable et strictement monotone sur un intervalle et à valeurs dans . Soit
. La fonction réciproque −1 est dérivable en si et seulement si ′ et lorsqu’elle est
dérivable, −1′ 1
𝑓′(𝑓−1(𝑏)) 1
𝑓′(𝑎) .
Démonstration. La fonction est continue sur (car dérivable) et strictement monotone sur cet intervalle. D’après
le théorème de la bijection, elle réalise donc bien une bijection de  sur   et −1 existe et est continue (et
strictement monotone) sur .
Soit  et  son unique antécédent par . On a , donc −1. Pour tout ,
−1−1
 −1 −1
Or −1 est continue sur , donc en . Donc lim𝑦↦𝑏 −1−1 . Par continuité de sur , composition de
limites et dérivabilité de  en , on trouve alors :
lim
𝑦↦𝑏 −1
−1 lim
𝑥→𝑎 
 ′
Si ′ , par passage à l’inverse 𝑓−1(𝑦)−𝑓−1(𝑏)
𝑦−𝑏
n’admet pas de limite nie en , donc −1 n’est pas dérivable en .
Si par contre ′, la limite de l’inverse est nie donc −1 est dérivable en  et on trouve :
−1′lim
𝑦↦𝑏 −1−1
′
5