Exercices PCSI - Polynômes

Exercices PCSI
É.Bouchet Polynômes
Exercice 1 (★). Calculer 55 dans .
Exercice 2 ( ★ ). Soit ∗ et 𝑛𝑛 . Déterminer son degré et son coecient dominant.
Exercice 3 ( ★★ ). Soit ∗ et  𝑛𝑛𝑛−1 . Déterminer son degré et son
coecient dominant.
Exercice 4 (★). Eectuer les divisions euclidiennes dans  de
1. 32 par 2
2. 52 par 2
3. 542 par 3
4. 542 par 2
Exercice 5 ( ★ ). Soit un polynôme de et . On note 𝛼 le reste de la division euclidienne de par
. Montrer que 𝛼.
Exercice 6 (★★). Soit  un polynôme de .
1. Soit  le reste de la division euclidienne de  par 2. Montrer que   si et seulement si .
2. Déterminer les entiers positifs  tel que 2 divise 𝑛.
Exercice 7 (★★). Déterminer le reste de la division euclidienne de :
1. 𝑛 par  2. 𝑛 par 2
Exercice 8 ( ★ ). Soit 2 deux polynômes qui coïncident sur les entiers (c’est-à-dire tels que ,
 ). Montrer que  .
Exercice 9 (★). Soit 2 tels que  , arctan arctan. Montrer que  .
Exercice 10 ( ★★ ). Soit de degré . Montrer que la fonction polynomiale de dans associée à
 admet au plus  points xes.
Exercice 11 (★★). Démontrer qu’il n’existe pas de polynôme   tel que  ,  .
Exercice 12 (★). Appliquer la formule de Taylor au polynôme 432 en .
Exercice 13 (★). Déterminer les racines de  32, puis sa factorisation dans .
Indication : commencer par tester si  est racine.
Exercice 14 ( ★ ). Déterminer les racines réelles de 432 . En déduire la forme
factorisée de ce polynôme dans .
Exercice 15 (★). Soit  32. Déterminer sa factorisation dans  et .
Exercice 16 (★). Soit  5. Déterminer sa factorisation dans  et .
Exercice 17 (★★). Soit  6. Déterminer sa factorisation dans  et .
Exercice 18 (★★★). Soit  963. Déterminer sa factorisation dans  et .
Exercice 19 ( ★★★ ). Soit , ∗ et  2𝑛 cos𝑛 . Déterminer sa décomposition en
produits de polynômes irréductibles dans  puis dans .

Exercice 20 (★).
1. Déterminer une primitive (intervalles à préciser) de :  
,   2 et   2.
2. En déduire une primitive (intervalles à préciser) pour chacune des fonctions suivantes :
(a)  32
 (b)  32 2 (c)  32 2
Exercice 21 (★★). Résoudre les équations d’inconnue   suivantes :
1. ′2  2. 2″
Exercice 22 ( ★★★ ). Déterminer tous les polynômes à coecients réels vériant .
Exercice 23 (Type DS). Soit  . On se propose d’étudier les polynômes 𝑛 qui vérient :
 cos𝑛cos
1. On xe . Montrer que si un tel polynôme 𝑛 existe, alors il est unique.
2. Déterminer 0, 1 et 2.
3. Soit  et .
(a) Factoriser coscos.
(b) En déduire que si 𝑛−1 et 𝑛 sont bien dénis, on peut dénir 𝑛+1 par la relation
𝑛+1𝑛𝑛−1 .
(c) En déduire par récurrence l’existence de 𝑛 pour tout .
4. Déterminer le degré de 𝑛 et son coecient dominant.
5. Soit . Déterminer les tels que cos . En déduire l’ensemble des racines de 𝑛 puis
sa décomposition en produit de polynômes irréductibles.
6. En évaluant le polynôme 𝑛 en un point bien choisi, en déduire :
𝑛−1
𝑘=0
cos 
  cos𝑛𝜋
2𝑛
𝑛−1
.
2