Électromagnétisme - Chapitre 1 : Électrostatique

MPI Électromagnétisme - Ch. 1 Lycée Champollion
Électromagnétisme
Chapitre 1 - Électrostatique
Contexte
— Charges ponctuelles :
—Force de Coulomb (introduite expérimentalement en 1784 ) : la force exercée
par la charge ponctuelle qoplacée en Osur la charge qplacée en Ms’écrit :
ω
F=qoq
4εϑor2ωur
ϑo=8,85.10→12 F.m→1:permittivité du vide
Dans le cadre de l’électrostatique, les charges sont fixes.
I. Loi de Coulomb
Idée : on peut considérer qu’un point matériel de masse mest soumis à son poids
ω
Pou bien qu’il évolue dans le champ de gravitation ωgcréé par la Terre.
1. Champ électrostatique ω E
On appelle distribution de charges Dun ensemble de charges ponctuelles situées dans
une zone de l’espace. On définit le champ électrostatique ω E(M)créé par Den un
point Mde l’espace par son action sur une charge ponctuelle qplacée en M:
ω
F=qω E(M)
Exemple : soit une charge ponctuelle qoplacée en O, la force subie par une charge
qen M
ω
F=qoq
4εϑor2ωur
Le champ électrostatique créé par la charge ponctuelle qoplacée au point Os’écrit
donc :
ω
E=qo
4εϑor2ωur
Commentaires :
— En 1ère année, vous avez introduit la force de Lorentz subie par une parti-
cule de charge qet de vitesse ωv:
ω
F=q(ω E+ωv→ω B)
Dans le cas ωv=ω 0(charge fixe), on retrouve bien ω F=qω E.
— Ordre de grandeur du champ atomique :
—ω E(M)est un champ de vecteurs : on peut associer un vecteur ω E(M)en tout
point Mde l’espace (sauf cas particuliers : présence d’une charge ponctuelle
par exemple).
On peut représenter un champ de vecteurs en traçant des lignes de champ :
ce sont des courbes orientées telles que ω E(M)est tangent à la ligne de champ
en M.
Les lignes de champs divergent à partir des charges positives et convergent
vers les charges négatives.
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Théorème de superposition (linéarité des équations en électromagnétisme)
ω
E(M)=!
i
ω
Ei(M)
2. Potentiel électrostatique 1
Point de vue électrostatique :
On définit le potentiel électrostatique V(M)en un point Mde l’espace par la rela-
tion :
ω
E=↑↑↑↓ grad(V)
Cette relation fait intervenir l’opérateur linéaire gradient qui transforme le champ
scalaire V(M)en un champ de vecteurs ↑↑↓ grad(V).Attention ! Elle n’est plus valable
dans le cas où les charges sont en mouvement.
Par définition du gradient :
dV =↑↑↓ grad(V).dω ϖ↔ω E.dω ϖ=↑dV
On a ainsi :
"B
A
ω
E.dω ϖ=VA↑VB
On associe au potentiel électrostatique V(M)des surfaces appelées surfaces équi-
potentielles. Les lignes de champ du champ électrostatique ω Esont perpendiculaires
aux surfaces équipotentielles et dirigées dans le sens des potentiels décroissants.
1. Voir les encadrés sur la définition d’une force conservative à l’aide du gradient.
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Point de vue mécanique
Une particule Mde charge qdans le champ ω Ecréé par la charge qoen Osubit la
force :
ω
F=qoq
4εϑor2ωur
On remarque que :
ω
F=↑d
dr #qoq 4εϑor$ωur
On introduit le potentiel électrostatique V(M)tel que l’énergie potentielle asso-
ciée à la force électrostatique ω F=qω Es’écrit Ep=qV (M).
Le potentiel électrostatique créé par une charge qoplacée en Os’écrit alors :
V(M)= qo
4εϑor
II. Propriétés du champ électrostatique
Formulé à la fin du XIXe siècle par Pierre Curie, le principe de Curie postule que
« lorsque certaines causes produisent certains e!ets, les éléments de symétrie des
causes doivent se retrouver dans les e!ets produits ». Lorsqu’on cherche le champ
électrostatique créé en un point Mpar une distribution de charges, on commence
toujours par analyser les symétries et invariances de la distribution.
1. Propriétés d’invariance et de symétrie
Plans de symétrie : on considère tout d’abord le cas de deux charges ponctuelles
identiques +q,+q
Soit Pun plan de symétrie de la distribution de charges :
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Plans d’antisymétrie : on considère tout d’abord le cas de deux charges ponctuelles
opposées +q,-q
Soit !un plan d’antisymétrie de la distribution de charges :
Invariances :
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2. Circulation du champ électrostatique ω E
Soit Cun contour fermé orienté :
"B
A
ω
E.dω ϖ=VA↑VB
↔"C
ω
E.dω ϖ=
Le champ électrostatique ω Eest à circulation conservative.
Théorème de Stokes :
↑↓
rot(ω E)=ω 0
3. Flux du champ électrostatique ω E
Soit Sune surface fermée :
Théorème de Green-Ostrogradski
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