Exercices oraux de mathématiques CCINP MP 2025 par Mohamed Habibi

Mohamed Habibi Esprit Prépa Page 1
Esprit Prépa
Mohamed Habibi
Mathématiques – Épreuves Orales
CCINP (CCP) · Filière MP · Session 2025
Filière MP
Concours CCINP (ou CCP)
Année 2025
Matière Mathématiques
Type Exercice
Total exercices 30

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Exercice 1 — Diagonalisabilité – Matrice 4×4
Mots-clés : Diagonalisabilité - Diagonalisation
On considère la matrice A = [[1,a,b,c],[0,1,d,e],[0,0,1,f],[0,0,0,−1]] ∈ M4(K).
1. Donner une CNS sur (a,b,c,d,e,f) pour que A soit diagonalisable.
2. Dans ce cas, diagonaliser A.
(Exercice n°64 de la Banque CCINP)
Exercice 2 — Diagonalisation – Trigonalisation
Mots-clés : Diagonalisation - Trigonalisation
Soit A = [[1,0,0],[2,3,1],[4,−4,−1]].
1. Trouver le polynôme caractéristique et les valeurs propres de A.
2. A est-elle diagonalisable dans Mn(R) ? Dans Mn(C) ?
3. Trouver une matrice triangulaire T semblable à A.
4. Quelle est la limite de An/n! quand n → +∞ ?
Exercice 3 — Probabilités – Loi de Poisson
Mots-clés : Probabilités
Un homme peint un mur sur un échafaudage. Des passants ont chacun une probabilité p ∈ ]0,1[ d'être
touchés par une goutte. X = nb de personnes touchées, Y = nb non touchées. On suppose n passants.
1. Donner les lois de X et Y. X et Y sont-elles indépendantes ?
2. On suppose N ~ Poisson(λ). Donner les lois de X et Y, puis E(X) et Var(X).
3. Montrer que X et Y sont indépendantes.
4. Calculer Cov(X,N). X et N sont-elles indépendantes ?
Exercice 4 — Déterminant – Série entière – Éq. différentielle
Mots-clés : Calcul de déterminant - Équation différentielle linéaire - Rayon de convergence
On pose d0=1, d1=1/2, et pour n≥2, dn est le déterminant d'une matrice tridiagonale d'ordre n (diagonale
n/(n+1) et 1/2 aux coins, sur/sous-diagonale ±√(1/(n+1))).
1. Calculer d2, d3.
2. Montrer que ∀n≥2 : (n+1)dn = n·dn−1 + dn−2.
3. En déduire le rayon de convergence de Σdnxn+1.
4. On pose f(x)=Σdnxn+1. On admet que (1−x)f'(x)−x·f(x)=1. Montrer que f(x)=(1−e−x)/(1−x). En
déduire dn.
Exercice 5 — Endomorphisme u⊗v – Espace euclidien

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Mots-clés : Diagonalisabilité - Espace euclidien
On munit Rn du produit scalaire canonique. Soient u,v ∈ Rn\{0} et u⊗v défini par (u⊗v)(x)=■x,u■v.
1. Déterminer le rang de u⊗v.
2. En déduire les valeurs propres.
3. u⊗v est-il diagonalisable ?
4. Calculer (u⊗v)2.
5. Montrer que u⊗v et g commutent ssi ∃α∈R : g(v)=αv et g*(u)=αu.
Exercice 6 — Suite – Série entière (f'=f²)
Mots-clés : Développement en série entière - Equation différentielle
Soit (un) définie par u0=3 et un+1=Σk=0n C(n,k)·uk·un−k.
1. Montrer que 0 ≤ un ≤ 4n+1n!.
2. Poser f(x)=Σ un/n! · xn. Montrer que f'=f2.
3. Exprimer f avec les fonctions usuelles.
4. Donner un en fonction de n.
Exercice 7 — Convergence uniforme – Transformation d'Abel
Mots-clés : Convergence uniforme - Transformation d'Abel
1. Montrer que Σn≥1(−1)n/n · xn converge uniformément sur [0,1].
2. Soit Σanxn de rayon R≥1, Rn=Σk≥n+1ak, Σan convergente. Montrer :
Σk≥n+1 akxk = Rnxn+1 + Σk≥n+1 Rk(xk+1−xk)
3. En déduire que Σanxn converge uniformément sur [0,1].
Indication : majorer |Rn| et |Rk| par ε.
Exercice 8 — Endomorphisme φ_A – Diagonalisabilité
Mots-clés : Diagonalisabilité
Soit A∈Mn(R). On définit φA∈L(Mn(R)) par φA(M)=AM. On pose Φ: A■φA, morphisme d'algèbre.
1. Déterminer le noyau de Φ.
2. Pour P∈R[X], trouver B tel que P(φA)=φB.
3. À quelle condition sur A, φA est-elle diagonalisable ?
Exercice 9 — Série entière – arcsin/√(1−x²)
Mots-clés : Développement en série entière - Equation différentielle
On pose f(x) = arcsin(x)/√(1−x2).

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1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Trouver l'équation différentielle vérifiée par f avec f(0)=0.
3. Déterminer le DSE de f.
Exercice 10 — Série entière – Suite de Catalan
Mots-clés : Somme de série entière
c0=0, c1=1 et ∀n≥2, cn=Σk=1n−1 ck·cn−k. On pose f(x)=Σckxk, R son rayon de convergence.
1. Montrer que f2(x)=f(x)−x sur ]−R,R[. Calculer f(0).
2. Montrer que f(x)=(1−√(1−4x))/2. Préciser R.
3. Développer √(1+x) en 0 et en déduire cn=(2n−2)!/((n−1)!·n!).

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Exercice 11 — Application linéaire – Produit scalaire – Polynômes
Mots-clés : Application linéaire - Base orthogonale - Calcul d'une intégrale - Endomorphisme de polynômes - Produit
scalaire
Exercice 1 : Exercice n°110 de la Banque CCINP.
Exercice 2 : Soit E=Rn[X] muni du produit scalaire ■P,Q■=∫01P(t)Q(t)dt.
Soit Q tel que ∀x∈R, Q(x)=∫01(x+t)nP(t)dt. On note u l'application u(P)=Q.
1. Montrer que Q∈E et que u∈L(E), puis que u est bijective.
2. Pour i≠j, calculer ■Xi, u(Xj)■. Que peut-on en déduire sur u ?
3. Montrer qu'il existe une base orthonormée (P0,...,Pn) de E dans laquelle on peut exprimer u(Pk).
4. Exprimer la trace de u en utilisant les Pk.
5. En déduire la trace de u.
Indication (Q6) : considérer Qt(x)=(x+t)n.
Exercice 12 — Intégrale – Série entière (intégrale de sin(t)/t)
Mots-clés : Intégration sur un intervalle quelconque - Séries entières
On considère l'intégrale I = ∫0π sin(t)/t dt.
1. Montrer que I est bien définie.
2. Estimer I à 10−2 près (on pourra développer I sous forme de série entière).
Exercice 13 — Continuité – Dérivées partielles – Endomorphisme normal
Mots-clés : Adjoint - Autoadjoint - Continuité - Dérivées partielles - Fonction de plusieurs variables
Exercice 1 : ∀(x,y)∈R2\{(0,0)}, f(x,y)=xy/√(x2+y2), f(0,0)=0.
1. Démontrer que f est continue sur R2.
2. Démontrer que f admet des dérivées partielles en tout point de R2.
3. f est-elle de classe C1 sur R2 ? Justifier.
(Exercice 33 de la banque.)
Exercice 2 : Soit E un espace euclidien et u∈L(E) tel que u■u*=u*■u.
1a. Montrer que pour λ∈R valeur propre de u et x∈Eλ(u), ■u*(x)■2=λ2■x■2.
1b. Montrer que u et u* ont les mêmes valeurs propres et sous-espaces propres.
2. Montrer que les sous-espaces propres de u sont orthogonaux entre eux.
3. On suppose u diagonalisable. Montrer que u est symétrique.
Exercice 14 — Algèbre – Matrices orthogonales – Isométrie
Mots-clés : Algèbre - Base orthogonale - Groupe orthogonal - Isométrie - Matrices orthogonales
Exercice 1 : Exercice 26 de la banque 2025.
Exercice 2 : Soient u, v, w trois réels non nuls. Soit :