Exercices de suites mathématiques 3ème Sc Tech

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3ème Sc Tech Chapitre : Les suites www.mathinfo.tn
Exercice 1 :
Un investisseur dépose 5000 € sur un compte rémunéré à 3 % par an. Chaque année suivante, il dépose 300
€ de plus sur ce compte.
On note  la somme épargnée à l'année .
On a alors :    et .
1) Calculer  et .
2) Prouver que la suite  définie pour tout entier  par   est géométrique et donner sa
raison et son premier terme.
3) Exprimer  en fonction de .
4) En déduire  en fonction de . Puis calculer .
Exercice 2 :
Soit  la suite définie par   et pour tout entier naturel ,    .
Dans un repère orthonormé, on considère la fonction définie par
a) Tracer les droites d’équations respectives      et   .
b) Dans ce repère, placer  sur l'axe des abscisses, puis en utilisant les droites précédemment tracées,
construire sur le même axe , et . On laissera apparent les traits de construction.
c) À l’aide du graphique, conjecturer la limite de la suite 
Exercice 3 :
On considère la suite (
n
U
) définie par
Soit u la suite définie par :
0
1
2
11, 0
5
nn
u
u U n
1. Déterminer le réel α tel que α = -0.2α + 1.
2. On considère la suite (
n
V
) définie par
n
V
=
n
U
– α, n ≥ 0.
a. Montrer que (
n
V
) est géométrique.
b. Exprimer
n
V
puis Un en fonction de n.
c. En déduire
n
nulim
.
Exercice 4:
Soit u la suite définie par :
INn ,3u
2
1
u
2u
n1n
0
1) a- Calculer U1 et U2 .
b- Montrer que la suite U est ni arithmétique, ni géométrique.
2) Soit la suite Vn définie sur IN par : Vn = Un – 6.
a- Montrer que Vn est une suite géométrique de raison
2
1
.
b- Exprimer Vn en fonction de n .
c- En déduire l’expression de un en fonction de n.
3) Calculer
 n xlim v
. et
n
xlim u
.
4) Calculer les sommes suivantes :
S = V0 + V1 + V2 +………..+ V5 puis S’ = U0 + U1 + U2 +……….+U5 .

2
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1u 3u
n
n
5) Tracer dans un repère orthonormé les droites d’equations respectives y = x
et
13
2
yx
,puis interpréter graphiquement la convergence de la suite U vers sa limite.
Exercice 5 :
Soit la suite u définie sur IN par :
INn;1u2u
2u
n1n
0
1/a) Calculer : u1 et u2 ; En déduire que la suite u n’est ni arithmétique ni géométrique
b) Montrer par récurrence que, pour tout n de IN :
1
n
u
c) Montrer que u est croissante.
2/ Soit la suite v définie sur IN par
nn
v u 1
a) Montrer que v est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer vn puis un en fonction de n
c) Calculer
n
n
lim u
3/a) Exprimer en fonction de n :
n1
k
k0
Sv
b) Exprimer en fonction de n :
n1
k
k0
S' u
Exercice 6:
Soit la suite
u
définie sur IN par :
0
1
5
25
10
nn
u
uu
1/a) Calculer : u1 et u2 ; En déduire que la suite u n’est ni arithmétique ni géométrique
b) Montrer par récurrence que, pour tout n de IN :
5
n
u
c) Montrer que u est croissante.
2/ Soit la suite v définie sur IN par
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nn
vu
a) Montrer que v est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer vn puis un en fonction de n
c) Calculer
n
n
lim u
Exercice 7:
On considère la suite u définie sur IN par :
0
1
1
53
3
n
nn
u
U
uU
1) Montrer que pour tout n  IN , 0 ≤ un < 3
2) Etudier la monotonie de la suite u.
3) Soit la suite v définie sur IN par : vn =

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a- Montrer que v est une suite géométrique de raison
1
3
.
b- Exprimer vn puis un en fonction de n. Déterminer
n
xlim u
3) a- Montrer que pour tout n  IN,
3u
3
2
3u n1n 
b- Montrer que pour tout n  IN,
n
n3
2
23u 
puis retrouver
 n xlim v
Exercice 8
On considère la suite  définie par 
 et telle que pour tout entier naturel  :
1. a. Calculer  et .
b. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel    .
2. On admet que   pour tout entier naturel .
Montrer que la suite  est croissante.
3. Soit  la suite définie, pour tout entier naturel , par 
.
a. Montrer que la suite  est une suite géométrique de raison 3 .
b. Exprimer, pour tout entier naturel   en fonction de .
c. En déduire que, pour tout entier naturel , 
.
d. Déterminer la limite de la suite .
Correction :
Exercice 1
1)   
2)    
 , car  
Donc  est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme
    .
3) Pour tout , on a :   .
4)     
On a alors :      

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Exercice 2
a) b) - On place le premier terme  sur l’axe des abscisses. On trace l’image de
 par  pour obtenir sur l’axe des ordonnées  .
- On reporte  sur l’axe des abscisses à l’aide de la droite d’équation   .
- On fait de même pour obtenir  puis …
c) En continuant le tracé en escalier, celui-ci se rapprocherait de plus en plus de l’intersection des deux
droites. On conjecture que la limite de la suite  est 12.
Exercice 3
1.
0n,12.0 
6
5
12.1 
2.
6
5
UV nn 
a.
11
5 1 5 1 1 1 5 1
1 ( )
6 5 6 5 6 5 6 5
n n n n n n
V U U U U V
n
V
est suite géométrique de raison
5
1
b.
6
7
6
5
2
6
5
UV 00 

5
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nn
0n )
5
1
(
6
7
)
5
1
(VV 
)5)
5
1
(7(
6
1
6
5
)
5
1
(
6
7
6
5
VU nn
nn 
c.
)5)
5
1
(7(
6
1
Un
n
0)
5
1
(lim n
n
donc
6
5
Ulim n
n
Exercice 4
1) a)
4313)2(
2
1
3u
2
1
u01 
;
5323)4(
2
1
3u
2
1
u12 
b)
 Calculer U2-U1 ; U2-U1=5-4=1
 Calculer U1-U0 ;U1-U0=4-2=2 ,
on a :U2-U1# U1-U0 donc Un n’est pas une suite arithmétique
 Calculer
0
1
U
U
0U1U
=
2
4
=2
 Calculer
1
2
U
U
1U2U
=
4
5
,on a
0U1U
#
1U2U
la suite n’est pas géométrique
2)a)
6UV nn 
nnnn1n1n V
2
1
)6U(
2
1
3U
2
1
63U
2
1
6UV  
Vn est une suite géométrique de raison
2
1
b)  Cherchons V0
4626UV 00 
 Cherchons le terme général
nn
0n )
2
1
(4qVV 
c)
6VU nn 
6)
2
1
(4U n
n