Notes de cours - Jerome BASTIEN

NOTESDECOURSDEl’UEOMI3
Mécanique 4A
OUTILS MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR 3
2016-2017, Automne
Jérôme Bastien
Document compilé le 5 septembre 2016

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Table des matières
Avant-propos v
Introduction vii
Ouvrages utilisés ix
partie 1. Analye complexe 1
Chapitre 1. Fonctions holomorphes 3
1.1. Rappels sur les complexes 3
1.2. Introduction 3
1.3. Dérivation au sens des complexes : fonctions holomorphes 3
Chapitre 2. Séries entières et fonctions usuelles sur C11
2.1. Rappels sur les séries et les développement limités 11
2.2. Introduction 11
2.3. Définitions 11
2.4. Fonctions analytiques 14
2.5. Fonctions usuelles sur C14
Chapitre 3. Intégration des fonctions complexes, Théorème de Cauchy et Formules des Résidus 25
3.1. Introduction 25
3.2. Intégration des fonctions complexes 25
3.3. Primitive des fonctions complexes et Théorie de Cauchy 28
3.4. Formule des résidus et applications aux calculs d’intégrales 33
3.5. Applications aux calculs d’intégrales 41
3.6. Hommages à Cauchy et à la formule de Cauchy 41
Chapitre 4. Transformations conformes 43
Chapitre 5. Applications de l’analyse complexe 47
5.1. Calculs d’intégrales et de séries 47
5.2. Fonctions holomorphes et transformations conformes 56
partie 2. Distributions 69
Chapitre 6. Introduction aux distributions 71
6.1. Introduction 71
6.2. Pourquoi les distributions ? 71
6.3. Définition des distributions 77
6.4. Limite d’une suite de distributions 84
6.5. Dérivation des distributions 85
i

ii TABLE DES MATIÈRES
6.6. Retour sur les paradoxes de la RDM et leur levée par les distributions 88
6.7. Produit de des distributions (produit par une fonction indéfiniment dérivable) 89
6.8. Série de distributions 90
6.9. Remarque générale sur le passage fonctions →distributions 91
Chapitre 7. Produit de convolution pour les distributions 93
7.1. Rappels sur la convolution de fonctions 93
7.2. Définition de la convolution de fonctions 93
7.3. Propriété de la convolution de fonctions 93
7.4. Produit de convolution pour les distributions 95
7.5. Exemples d’applications 99
Chapitre 8. Applications des distributions 105
8.1. Considération de choc en mécanique 105
8.2. Un petit lemme technique 107
8.3. Fonctions de Green : résolution d’équations différentielles par la convolution 108
8.4. Transformation de Laplace des distributions et applications 108
8.5. Formulations faibles ou énergétiques 108
partie 3. Annexes 121
Annexe A. Nombres complexes 123
A.1. Quelques rappels théoriques 123
A.2. Quelques exercices 128
A.3. Plusieurs problèmes de géométrie 130
Annexe B. Une formule de trigonométrie amusante 135
Annexe C. Calcul de l’intégrale de Dirichlet (sous la forme d’un exercice corrigé) 141
Énoncé 141
Corrigé 142
Annexe D. Calcul de l’intégrale de Fresnel (sous la forme d’un exercice corrigé) 147
Énoncé 147
Corrigé 147
Annexe E. Rappels sur une poutre droite en flexion 149
E.1. Équation d’équilibre local 149
E.2. Équations donnant la déformée 150
E.3. Poutre encastrée libre 150
E.4. Retour sur les équations au sens des distributions 151
Annexe F. Rappels sur les différents modes de convergence de fonctions 153
Annexe G. Rappels sur l’intégration et les espaces de fonctions 155
G.1. Intégration de Riemann et de Lebesgue 155
G.2. Espaces de fonctions 155
G.3. Espaces de Sobolev 156
Annexe H. Formulation variationnelle abstraite 157
Annexe I. Quelques calculs explicites de sommes de Séries 161
UCBL/Polytech 2016-2017 Automne Mécanique 4A Cours de OMI3 Jérôme Bastien

TABLE DES MATIÈRES iii
I.1. Introduction 161
I.2. Calcul par les séries entières 161
I.3. Calcul par les nombres et les polynômes de Bernoulli 163
I.4. Calcul par les distributions périodiques 173
I.5. Calcul par l’utilisation du théorème des résidus 178
I.6. Calculs avec des logiciels de calcul formel 183
Annexe J. Rappels sur les distributions périodiques 185
Bibliographie 187