Cours d'Algèbre de Base pour Classe Préparatoire

CLASSE PREPARATOIRE
SCIENCE ET TECHNOLOGIE
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Présenté Par Dr Deval BECHE
Enseignant Chercheur à UPMan
ALGEBRE
DE BASE
COURS DE MATHEMATIQUES
PREMIERE ANNEE DES CLASSES PREPARATOIRES
Collection GAMMA ( Γ )
Auteur Dr Deval Béché, Enseignant Chercheur à l’Université
Polytechnique de Man , RCI
Collection GAMMA ( Γ )
À la découverte de l’algèbre
La première année d’études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se
lancer dans une telle expédition ? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un
langage unique pour accéder à une multitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce
qu’il s’agit d’un domaine passionnant ! Nous vous proposons de partir à la découverte
des maths, de leur logique et de leur beauté. Dans vos bagages, des objets que vous
connaissez déjà : les entiers, les fonctions... Ces notions en apparence simples et intuitives
seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en
présentant les preuves. Vous découvrirez ensuite de nouvelles théories (les espaces
vectoriels, les équations différentielles,...).
Ce tome est consacré à l’algèbre et se divise en deux parties. La première partie débute
par la logique et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite
vous étudierez des ensembles particuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les
polynômes. Cette partie se termine par l’étude d’une première structure algébrique, avec
la notion de groupe.
La seconde partie est entièrement consacrée à l’algèbre linéaire. C’est un domaine
totalement nouveau pour vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d’espace
vectoriel. Ces concepts, à la fois profonds et utiles, demandent du temps et du travail
pour être bien compris.
Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d’abord comprendre le cours,
ensuite connaître par cœur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier
de travailler les exemples et les démonstrations, qui permettent de bien assimiler les
notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est
indispensable de résoudre activement par vous-même des exercices, sans regarder les
solutions.
Collection GAMMA ( Γ )
Chapitre
19
Structures algébriques
Pour bien aborder ce chapitre
La notion de groupe est apparue dès la fin du 18e de manière parallèle dans différents domaines des mathématiques.
En 1798, Karl Friedrich Gauss, dans ses « Disquisitiones Arithmeticae », utilise implicitement la notion de groupe abélien.
Plus tard, au milieu du 19e , Ernst Kummer établie des résultats de factorisation sur les groupes dans une tentative de
prouver le grand théorème de Fermat.
Dans la première moitié du 19e siècle, le jeune mathématicien prodige Évariste Galois cherche à prouver que les équations
polynomiales de degré 5 à coefficients complexes ne peuvent être résolues par radicaux, ce qui signifie que leurs racines
ne peuvent être écrites au moyen des opérations usuelles. Pour ce faire, il s’intéresse à un groupe relié aux racines de
l’équation considérée. Son génie consiste alors à comprendre que les difficultés pour résoudre l’équation ne proviennent
pas de son degré mais des propriétés mathématiques de ce groupe.
À la fin du 19e , Félix Klein utilise les groupes pour classifier les nouvelles géométries tout juste découvertes.
Les mathématiciens savent depuis que les groupes interviennent dans de très nombreux domaines. L’ensemble des isométries
de l’espace ou du plan est un groupe appelé groupe orthogonal, voir le chapitre 27. L’ensemble des isométries préservant
un objet donné (un polygone régulier, un solide platonicien, etc...) a une structure de groupe. L’ensemble des permutations Sn d’un ensemble fini est un groupe qui fut étudié par Cauchy et Cayley à la fin du 19e siècle. Le chapitre 26 lui
est consacré. Le groupe découvert par Galois est d’ailleurs un sous-groupe de ce groupe. L’ensemble des transformations
qui, en relativité restreinte, permettent de changer de référentiel galiléen tout en préservant les lois de la physique et la
vitesse de la lumière, forment un groupe appelé groupe de Lorenz. En chimie, les symétries des molécules permettent
de leur associer des groupes qui aident à comprendre mieux leurs propriétés. Plus concrètement encore, l’ensemble des
manipulations qu’on peut effectuer sur un Rubik’s cube a lui aussi une structure de groupe. L’étude de ce groupe permet
de mettre en place des stratégies gagnantes pour le reconstituer.
L’objet de ce chapitre, peu ambitieux, est d’introduire la notion de groupe ainsi que le vocabulaire attenant. Nous le
terminerons par l’étude de deux autres structures, celles d’anneaux et de corps, qui sont elles aussi omniprésentes en
mathématiques.
19.1
Groupe
19.1.1
Loi de composition interne
D ÉFINITION 19.1 ♥ Loi de composition interne
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de E × E dans E :
ϕ:
E×E
(a, b)
−→
−→
E
ϕ(a, b)
Exemple 19.1
– Si E = N, la multiplication ou l’addition des entiers forme une loi de composition interne.
– Si E est un ensemble, la composition des applications est une loi de composition interne sur l’ensemble des fonctions
de E dans E : F (E,E)
– Si E est un ensemble, l’intersection ou la réunion sont des lois de composition interne sur l’ensemble des parties de
E : P (E)
717
Notation 19.2
– Pour alléger les notations, on écrit plus simplement ϕ(a, b) = a ϕ b ou ϕ(a, b) = a b par exemple, ou encore ϕ(a, b) =
a.b , et pour les moins courageux ϕ(a, b) = ab etc.
– On note alors (E, ) un ensemble E muni d’une loi de composition interne .
Remarque 19.1
– Ce qui est important, bien entendu, c’est que ϕ(a, b) reste dans E.
– Il n’y a aucune raison à priori pour que a b = b a .
– On peut itérer une loi de composition interne : si (a, b, c) ∈ E3 , on notera
(a
b) c = ϕ ϕ(a, b), c
a
(b
c) = ϕ a, ϕ(b, c)
Il n’y a aucune raison à priori pour que ces deux éléments soient égaux.
Notation 19.3 Pour simplifier les notations, on utilisera, suivant le contexte, pour la loi de composition interne
– une notation additive : a + b = a b = ϕ(a, b).
– ou une notation multiplicative : ab = a b = ϕ(a, b).
D ÉFINITION 19.2 ♥ Loi associative, commutative
Soit une loi de composition interne sur un ensemble E. On dit que est :
– commutative si et seulement si ∀(a, b) ∈ E2 , a b = b a,
– associative si et seulement si ∀(a, b, c) ∈ E3 , a (b c) = (a b) c.
On dit que plus que admet e ∈ E comme élément neutre si et seulement si ∀x ∈ E, e
x=x
:
e=x
P LAN 19.1 : Pour montrer que...
...
est commutative :
1. Soit (x, y) ∈ E
2. x y = y
3. Donc
...
2. x (y
2
3. Donc
y)
z
est associative
... e ∈ E est neutre :
x
est commutative
1. Soit x ∈ E
est associative :
1. soit (x, y, z) ∈ E
z) = (x
2. e x = x , x e = x
3
3. Donc e est neutre.
P ROPOSITION 19.1 Unicité de l’élément neutre
Si (E, ) possède un élément neutre, il est unique.
Démonstration
Supposons que e soit un autre élément neutre pour . Alors e = e e = e et donc e = e .
Exemple 19.4
– Pour le couple (N, +), + est commutative et associative, l’élément neutre est 0.
– Pour le couple (N, ×), × est commutative et associative, 1 est l’unique élément neutre .
– Pour le couple (P (G), ∪), la loi est commutative, associative, la partie ∅ est neutre pour cette loi.
– Soit E un ensemble. On considère l’ensemble des applications de E dans E muni de la composition : (F (E,E) , ◦). La
loi de composition interne ◦ est associative mais pas commutative. IdE est l’élément neutre de cette loi.
Remarque 19.2
Si une loi de composition interne est commutative et associative, on définit les notations suivantes
pour (x1 , .. . , xn ) ∈ En :
– Lorsque la loi est notée additivement, on définit
n
i=1
xi = x1 + · ·· + xn ,
– et lorsque la loi est notée multiplicativement,
n
i=1
xi = x1
718
···
xn .
Exemple 19.5 Soit E un ensemble. On considère l’ensemble des applications de E dans E muni de la composition :
(F (E,E) , ◦). La loi de composition interne ◦ est associative mais pas commutative. IdE est l’élément neutre de cette loi.
Dans la suite, on suppose que
est associative et admet un élément neutre.
D ÉFINITION 19.3 ♥ Symétrique
On suppose que (E, ) possède un élément neutre e . Soit un élément x ∈ E. On dit qu’un élément y ∈ E est un symétrique
(ou un inverse) de l’élément x si et seulement si :
x
y=y
x =e
Si tel est le cas, y est unique et est appelé le symétrique de x .
Démonstration
Supposons que x possède deux symétriques y 1 ∈ E et y 2 ∈ E, alors, par application de la définition et par
associativité de , il vient :
y2 = x
y1
y2 = y1
x
y2 = y1
x
y2 = y1
e = y2 .
P LAN 19.2 : Pour montrer que y ∈ E est le symétrique de x ∈ E
1. On montre que x y = e ;
2. On montre que y
x =e ;
3. Donc y est le symétrique de x .
Remarque 19.3
L’élément neutre est toujours son propre symétrique : e −1 = e .
Notation 19.6 Si un élément x de (E, ) admet un symétrique :
• on l’appelle inverse de x et on le note x −1 lorsque la loi est notée multiplicativement
• on l’appelle opposé de x et on le note de x et on le note −x lorsque la loi est notée additivement.
Exemple 19.7
– Le seul élément de (N, +) qui admet un opposé est 0.
– Tout élément n ∈ Z muni de l’addition admet un opposé.
– Les deux seuls éléments de Z∗ muni de la multiplication qui admettent un inverse sont 1 et −1.
– Tout élément p/q de Q∗ admet un inverse donné par q/p .
– Si f ∈ F (E, E) muni de la loi de composition, f est inversible si et seulement si elle est bijective.
P ROPOSITION 19.2 ♥ Règles de calcul avec les inverses
– Si x est symétrisable alors x −1 est aussi symétrisable et :
– Si x et y sont symétrisables, x
−1
x −1
y est aussi symétrisable et :
x
=x .
y
−1
= y −1
x −1 .
Démonstration
−1
– Soit x un élément symétrisable de E et soit y = x −1 . Comme y x = x y = e , y est symétrisable et x = y −1 = x −1 .
– Supposons que x et y sont symétrisables, alors, par associativité de , on a :
x
y
y −1
On montre de même que y −1 x −1
x
x −1 = x
y
y −1
x −1 = x
y = e , ce qui prouve bien que x
e
x −1 = x
x −1 = e.
y est symétrisable et que x
y
−1
= y −1
−1
x −1 .
Remarque 19.4 La propriété x y
= y −1 x −1 dit simplement que l’on se déshabille dans l’ordre inverse de l’habillage. Si x désigne l’opération « je mets ma chaussette droite » et y l’opération « je mets ma chaussure droite », les
opérations inverses sont x −1 , « j’ôte ma chaussette droite » et y −1 l’opération « j’ôte ma chaussure droite ». L’opération « je mets ma chaussette droite, puis ma chaussure droite » est désignée par x y . Son opération inverse est bien
−1
x y
= y −1 x −1 c’est-à-dire « j’ôte ma chaussure droite, puis ma chaussette droite ».
L’opération z « je mets ma chaussette gauche » commute avec x et y , (donc avec x −1 et y −1 ). De ce fait (x z)−1 =
z −1 x −1 , ce qui peut être facilement vérifié expérimentalement.
19.1.2
Groupe
D ÉFINITION 19.4 ♥♥♥ Groupe
Soit G un ensemble. On dit que (G, ) est un groupe si
est une loi de composition interne sur G vérifiant :
719
la loi
est associative ;
G possède un élément neutre ;
tout élément x de G admet un symétrique.
Si de plus la loi
est commutative, on dit que le groupe est abélien (ou commutatif ).
Exemple 19.8
– Les couples (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes.
– Les couples (Q∗ , ×), (R∗ , ×), (C∗ , ×) sont des groupes.
– Rappelons que U = {z ∈ C | |z| = 1} = {z ∈ C | ∃θ ∈ R : z = e iθ }. On a montré dans la proposition 1.16 page 25 que (U, ×)
est un groupe.
– Les couples (N, +), (Z \ {0}, ×) ne sont pas des groupes. Pourquoi ?
Présentons maintenant un autre exemple essentiel.
P ROPOSITION 19.3 ♥ Groupes des bijections d’un ensemble
Soit E un ensemble. On note S (E) l’ensemble des bijections de E dans E. Alors (S (E), ◦) est un groupe (en général non
abélien).
Démonstration
– On a déjà prouvé que ◦ est une loi de composition interne : si f , g ∈ (S (E))2 alors f ◦g et g ◦ f sont encore des bijections sur E.
– On a aussi déjà prouvé que ◦ est associative.
– S (E) possède un élément neutre IdE .
– Toute application f de E possède une application symétrique : son application réciproque f −1 .
B IO 16 Évariste Galois né à Bourg-la-Reine le 25 octobre 1811, mort à Paris le 31 mai 1832.
Malgré une scolarité en dents de scie, Galois montre des capacités extraordinaires en mathématiques. Il a un tel goût pour cette matière qu’un de ses professeurs dira « C’est la fureur des mathématiques qui le domine ; aussi je pense
qu’il vaudrait mieux pour lui que ses parents consentent à ce qu’il ne s’occupe
que de cette étude ». En 1826, il obtient un prix en mathématiques au concours
général. En 1828, il essaie d’intégrer l’école Polytechnique alors qu’il n’est pas
élève, comme c’est normalement l’usage, en mathématiques spéciales. Il est recalé. Il entre alors en mathématiques spéciales à Louis-le-Grand dans la classe
de Louis-Paul-Émile Richard. Ce dernier prend vite conscience du génie de son
élève. Il conservera d’ailleurs ses copies. Le père de Galois se suicide pour des
raisons politiques quelques jours avant que Galois ne se présente à nouveau à
Polytechnique. Il est une seconde fois recalé, à la stupéfaction de son maître.
La légende veut qu’il ait jeté le chiffon servant à effacer le tableau à la tête
de son examinateur devant la stupidité des questions posées ... Il intègre cependant l’École préparatoire (appelée maintenant l’École Normale Supérieure, rue
d’Ulm). Il publie cette même année son premier article de mathématiques dans
les Annales de mathématiques pures et appliquées de Gergonne.
Il soumet dans les mois qui suivent plusieurs autres articles sur la résolubilité
des équations algébriques. La légende veut que Cauchy, qui en était le rapporteur, les aurait égarés. Il est plus probable en fait qu’il les ait conservés pour que Galois puisse concourir au grand prix de mathématiques de l’Académie
des sciences en 1830. Galois candidate à ce concours et Fourier qui est chargé de rapporter son manuscrit meurt peu
après ... Le grand prix échoit à Abel et Jacobi.
Suite à la révolution de juillet 1830, Galois s’engage en politique au côté des républicains. Fin décembre 1830, il
est expulsé de l’école préparatoire suite à la rédaction d’un texte critique à l’égard de son directeur. En 1831, lors
d’un banquet, Galois porte maladroitement un toast à Louis-Philippe avec un couteau à la main ... Il est arrêté et
passe un mois en prison. Quelques mois après, il est à nouveau arrêté et passe six mois en prison pour port illégal de
l’uniforme de l’artillerie. Cette même année, il soumet un nouveau manuscrit à l’Académie des sciences, toujours
sur la résolubilité des équations polynomiales. Poisson, qui le rapporte est rebuté par sa difficulté et le refuse. En
prison, Galois poursuit ses recherches mathématiques et s’intéresse aux fonctions elliptiques.
Le 30 mai 1832, Galois se bat en duel au pistolet suite, semble-t-il, à une bête querelle amoureuse. Il décède le lendemain de ses blessures. La nuit précédant le duel, il rédige une lettre a à son ami Auguste Chevalier lui enjoignant de
faire connaître ses travaux à Jacobi et Gauss. Elle se termine par cette phrase très émouvante qui permet de mesurer
l’optimisme de Galois quant à l’issue du duel : « Après cela, il y aura, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à
déchiffrer tout ce gâchis ».
Liouville, dix ans plus tard, re-découvrira les travaux de Galois et qui les popularisera.
a. On peut consulter cette lettre à l’adresse http ://www.imnc.univ-paris7.fr/oliver/galois/LettreGaloisA4.ps
720
T HÉORÈME 19.4 ♥♥♥ Règles de calcul dans un groupe
Soit (G, ) un groupe.
1. L’élément neutre est unique .
2. Tout élément possède un unique symétrique ;
3. Pour tout élément x d’un groupe, on a x −1
−1
= x.
a
x=a
3
4. Règle de simplification : ∀(a, x, y) ∈ G ;
x
a=y
y
a
=⇒ x = y
=⇒ x = y
.
5. Soit (a, b) ∈ G2 . L’équation a x = b possède une unique solution :
x = a −1
6. ∀(x, y) ∈ G2 , (x
y)−1 = y −1
b.
x −1 .
P ROPOSITION 19.5 ♥ Groupe produit
On considère deux groupes (G, ) et (H,•) et sur l’ensemble G × H, on définit la loi
∀((x, y), (x , y )) ∈ (G × H)2 ,
Alors (G × H,
(x, y)
(x , y ) = (x
par :
x ,y •y )
) est un groupe appelé groupe produit.
Démonstration
La preuve est laissée en exercice. Il suffit de vérifier chacun des axiomes définissant un groupe.
D ÉFINITION 19.5 ♥ Sous-groupe
Soit (G, ) un groupe. On dit qu’une partie H ⊂ G est un sous-groupe de G si et seulement si :
1. e ∈ H.
2. la partie H est stable par la loi : ∀(x, y) ∈ H2 , x
3. ∀x ∈ H, x
−1
∈ H.
y ∈ H.
Exemple 19.9
– Z est un sous-groupe de R pour l’addition.
– nZ est un sous-groupe de Z pour l’addition.
– L’ensemble des bijections croissantes est un sous-groupe du groupe des bijections de R dans R.
– L’ensemble des isométries du plan est un sous-groupe du groupe des bijections du plan. (Rappelons qu’une isométrie
est une bijection conservant les distances).
P ROPOSITION 19.6 ♥♥♥ Caractérisation des sous-groupes
Soient (G, ) un groupe et H une partie non vide de G. H est un sous-groupe de G si et seulement si
1. e ∈ H ;
2. ∀(x, y) ∈ H2 , x
y −1 ∈ H .
Démonstration
=⇒ Soit H un sous-groupe non vide de G et soit x, y ∈ H2 . y −1 est élément de H et il en est de même du produit x y −1 .
⇐= Soit H une partie non vide de G vérifiant : ∀ x, y ∈ H2 , x y −1 ∈ H. Soit x ∈ H. On a : e = x x −1 ∈ H donc l’élément
neutre de G est élément de H. Pour tout (e, x) ∈ H2 , e x −1 ∈ H donc x −1 ∈ H. Enfin, pour tout (x, y) ∈ H2 , on a (x, y −1 ) ∈ H2 et
−1
donc x y −1
∈ H, soit x y ∈ H.
P LAN 19.3 : Pour montrer que H ⊂ G est un sous-groupe du groupe (G, )
e ∈H;
Soit (x, y) ∈ H2 ;
Vérifions que x y −1 ∈ H ...
Donc H est un sous-groupe de G.
721
T HÉORÈME 19.7 ♥♥♥ Un sous-groupe a une structure de groupe
Si la partie H est un sous-groupe de (G, ), alors puisque cette partie est stable pour la loi de composition interne, on
peut définir la restriction de la loi à H qui est une loi de composition interne sur H. Muni de cette loi restreinte, (H, )
est un groupe.
Ce théorème est d’une grande utilité pour prouver rapidement que des ensembles sont des groupes.
P LAN 19.4 : Pour montrer qu’un ensemble a une structure de groupe...
...il suffit de montrer que c’est un sous-groupe d’un groupe connu.
Exemple 19.10
Montrons que (U, ×) est un groupe avec : U = {z ∈ C | |z| = 1}. Il suffit de prouver que c’est un sous-groupe de (C∗ , ×).
Comme |1| = 1, il est clair que 1 ∈ U.
Soient x, y ∈ U.
On a x y −1 = |x| y
−1
= 1 donc x y −1 ∈ U.
Donc U est un sous-groupe de (C∗ , ×) et (U, ×) admet par conséquent une structure de groupe.
T HÉORÈME 19.8 L’intersection de sous-groupes est un sous-groupe
Si H1 et H2 sont deux sous-groupes d’un groupe G, alors H1 ∩ H2 est un sous-groupe de G
Démonstration Notons H = H1 ∩ H2 et montrons que H est un sous-groupe de G. Utilisons la caractérisation précédente. Soit
(x, y) ∈ H2 . On a alors (x, y) ∈ H21 ce qui amène que x y −1 ∈ H1 car H1 est un sous-groupe de G et (x, y) ∈ H22 ce qui amène aussi
que x y −1 ∈ H2 . Donc x y −1 ∈ H1 ∩ H2 = H et H est bien un sous-groupe de G.
Attention 19.11 H1 ∪ H2 n’est pas un sous-groupe de G, sauf si G1 ⊂ G2 ou G2 ⊂ G1 .Voir exercice 19.35 p. 735.
19.1.3
Morphisme de groupes
D ÉFINITION 19.6 ♥♥♥ Morphisme
Soient deux groupes (G1 , ) et (G2 , •). Une application f : G1 −→ G2 est un morphisme de groupes ou homomorphisme
si et seulement si :
∀(x, y) ∈ G21 ,
f (x
y) = f (x) • f (y)
On dit de plus que ϕ est un :
– endomorphisme lorsque G1 = G2
– isomorphisme lorsque f est bijective
– automorphisme lorsque f est un endomorphisme et un isomorphisme.
P LAN 19.5 : Pour montrer que f : G1 −→ G2 est un morphisme
Soit (x, y) ∈ G21 ;
On a bien f (x y) = f (x) • f (y).
Remarque 19.5
– Un morphisme entre un groupe (G1 , 1 ) et un groupe (G2 , 2 ) permet de transformer des produits pour la loi 1 dans
le groupe de départ en des produits pour la loi 2 dans le groupe d’arrivée.
– La notion d’isomorphisme est fondamentale en mathématiques. Le mot isomorphisme provient du grec et peut se
traduire en « même forme ». Deux groupes isomorphes ont non seulement le même nombre d’éléments mais aussi des
tables de multiplication identiques. Du coup toute propriété algébrique vraie pour un des deux groupes est vraie pour
l’autre. Si un de ces deux groupes est plus simple à étudier que l’autre, on préférera travailler avec celui-ci et on en
tirera les propriétés de l’autre. Cette idée est à la base de la théorie des représentations. Par ailleurs, il est intéressant
pour un groupe donné, de chercher s’il est isomorphe à un groupe connu. C’est ce qu’on appelle un problème de
classification. La classification des groupes finis, terminée au 20e siècle pour ceux qu’on dit simples, occupe à l’heure
actuelle encore de nombreux mathématiciens.
P ROPOSITION 19.9 Propriétés des morphismes de groupes
Si (G1 , ) est un groupe d’élément neutre e 1 , si (G2 , •) est un groupe d’élément neutre e 2 et si f : G1 −→ G2 est un
morphisme de groupes, alors
722
1. f (e 1 ) = e 2 ;
2. ∀x ∈ G1 , [ f (x)]−1 = f (x −1 ) .
Démonstration
1. Remarquons que f (e 1 ) = f (e 1 e 1 ) = f (e 1 ) • f (e 1 ) = f (e 1 ) 2 . On a par ailleurs l’égalité f (e 1 ) • e 2 = f (e 1 ) 2 . En multipliant cette égalité des deux côtés à gauche par f (e 1 ) −1 , on obtient e 2 = f (e 1 ).
2. Soit x ∈ G. Comme f est un morphisme de groupes, f x x −1 = f (x) • f x −1 . D’autre part, f x x −1 = f (e 1 ) = e 2 .
Donc f (x) • f x −1 = e 2 . On montrerait de même que f x −1 • f (x) = e 2 . Ce qui prouve que f x −1 = f (x) −1 .
T HÉORÈME 19.10 ♥ Image directe et réciproque de sous-groupes par un morphisme
Soient (G1 , ) et (G2 , •) deux groupes et soit f : G1 → G2 un morphisme de groupes.
1. Si H1 est un sous-groupe de G1 , alors f (H1 ) est un sous-groupe de G2 ;
2. Si H2 est un sous-groupe de G2 , alors f −1 (H2 ) est un sous-groupe de G1 .
Démonstration
1. Comme e 2 = f (e 1 ) et que e 1 ∈ H1 alors e 2 ∈ f (H1 ). Soient y, y ∈ f (H1 ). Montrons que y • y −1 ∈ f (H1 ). Il existe x, x ∈ H1
tels que f (x) = y et f x = y . Comme f x −1 = f x −1 = y −1 , il vient y • y −1 = f (x) • f x −1 = f x x −1 . Mais
H1 est un sous-groupe de G1 donc x x −1 ∈ H1 . On prouve ainsi que y • y −1 est l’image d’un élément de H1 par f et donc
que y • y −1 ∈ f (H1 ).
2. Comme e 2 = f (e 1 ) et que e 2 ∈ H2 , e 1 ∈ f −1 (H2 ). Soient x, x ∈ f −1 (H2 ). Montrons que x x −1 ∈ f −1 (H2 ). Pour ce faire,
il suffit de montrer que f x x −1 ∈ H2 . Mais f x x −1 = f (x) • f x −1 ∈ H2 car H2 est un sous-groupe de G2 . On
montre ainsi que f −1 (H2 ) est un sous-groupe de G1 .
D ÉFINITION 19.7 ♥♥♥ Noyau, image d’un morphisme de groupes
On considère un morphisme de groupes f : G1 → G2 . On note e 1 l’élément neutre du groupe G1 et e 2 l’élément neutre
du groupe G2 . On définit
– le noyau du morphisme f :
Ker f = {x ∈ G1 | f (x) = e 2 } = f −1 {e 2 }
– l’image du morphisme f :
Im f = f (G1 ) = {y ∈ G2 | ∃x ∈ G1 f (x) = y}
P ROPOSITION 19.11 ♥♥♥ Le noyau et l’image d’un morphisme de groupes sont des sous-groupes
On considère un morphisme de groupes f : G1 → G2 . Alors
– Ker f est un sous-groupe de G1
– Im f est un sous-groupe de G2 .
Démonstration
– Comme f (e 1 ) = e 2 , Ker f est un sous-ensemble non vide de G1 . De plus, {e 2 } est un sous-groupe de G2 et Ker f = f −1 ({e 2 })
donc Ker f est un sous-groupe de G1 d’après la proposition précédente.
– Comme Im f = f (G1 ), on sait que Im f est un sous-groupe de G2 d’après la proposition précédente.
T HÉORÈME 19.12 ♥♥♥ Caractérisation des morphismes injectifs
Un morphisme f de (G1 , ) dans (G2 , •) est injectif si et seulement si Ker f = {e 1 } .
Démonstration
=⇒ Supposons que f est injectif. Comme f est un morphisme, on a e 1 ∈ Ker f . Comme f est injectif, e 1 est le seul élément de
f −1 (e 2 ) dans G1 , ce qui prouve que Ker f = {e 1 }.
⇐= Réciproquement, supposons que Ker f = {e 1 }. Soient x, y ∈ (G1 )2 tel que f (x) = f (y). Montrons que x = y . On multiplie à
droite l’égalité f (x) = f (y) par f (y) −1 . On obtient f (x)• f (y) −1 = f (y)• f (y) −1 = e 2 . D’après les propriétés des morphismes
de groupe f x y −1 = e 2 . Donc x y −1 ∈ Ker f et nécéssairement x y −1 = e 1 . On multiplie à droite par y les deux membres
de cette égalité et on obtient x = y , ce qui prouve que f est injectif.
P LAN 19.6 : Pour montrer qu’un morphisme f : (G1 , ) → (G2 , •) est injectif
Soit x ∈ G1 tel que f (x) = e 2
Alors x = e 1 ;
Donc Ker f = {e 1 }, et puisque f est un morphisme, f est injectif.
723
T HÉORÈME 19.13 ♥♥♥ Caractérisation des morphismes surjectifs
Un morphisme f de (G1 , ) dans (G2 , •) est surjectif si et seulement si Im f = G2 .
Démonstration
Par définition de la surjectivité !
Ajoutons, à titre indicatif, les deux propositions suivantes. Leur preuves forment un exercice instructif laissé au lecteur.
P ROPOSITION 19.14 Composition de morphismes de groupes
– La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes.
– La bijection réciproque d’un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes.
P ROPOSITION 19.15 L’ensemble des automorphismes d’un groupe est un groupe pour la composition
Si (G, ) est un groupe, on note Aut (G) l’ensemble des automorphismes de G. (Aut (G) , ◦) est un groupe.
19.2
Anneau, corps
19.2.1
Structure d’anneau
D ÉFINITION 19.8 ♥♥♥ Anneau
Soit A un ensemble muni de deux loi de composition interne notées + et ×. On dit que (A, +, ×) est un anneau si et
seulement si :
1. Le couple (A,+) est un groupe commutatif ;
2. la loi × est associative ;
3. la loi × est distributive par rapport à la loi + :
∀(x, y, z) ∈ A3 ,
x × (y + z) = x × y + x × z
(x + y) × z = x × z + y × z;
4. il existe un élément neutre pour ×, noté 1.
Si en plus la loi × est commutative, on dit que (A,+, ×) est un anneau commutatif.
Exemple 19.12
– Les triplets (Z, +, ×), (Q, +, ×),(R, +, ×),(C, +, ×) sont des anneaux commutatifs. Ce n’est pas le cas de (N, +, ×).
– Si E est un ensemble, l’ensemble F (E, R) des applications définies sur E et à valeurs dans R muni de l’addition et du
produit des fonctions est un anneau commutatif.
– L’ensemble des fonctions polynômes de R dans R muni de l’addition et du produit des fonctions est un anneau commutatif.
– L’ensemble des suites réelles (ou complexes) S (R) (ou S (C)) muni de l’addition et de la multiplication des suites
est un anneau commutatif.
– On verra au chapitre 25 que l’ensemble des matrices carrées à coefficients réels (ou complexes) muni de l’addition et
du produit des matrices est un anneau en général non commutatif.
Notation 19.13 Dans un anneau (A,+, ×), on note −x le symétrique de l’élément x pour la loi + et 0 l’élément neutre
de la loi +. Attention, un élément x ∈ A n’a pas forcément de symétrique pour la loi ×, la notation x −1 n’a pas de sens en
général.
T HÉORÈME 19.16 ♥ Règles de calcul dans un anneau
On considère un anneau (A,+, ×). On a les règles de calcul suivantes :
∀a ∈ A, a × 0 = 0 × a = 0 ;
∀a ∈ A, (−1) × a = −a ;
∀(a, b) ∈ A2 , (−a) × b = −(a × b).
Démonstration
Soit (a,b) ∈ A2
La distributivité de la loi × par rapport à la loi + permet d’écrire : 0 × a + 0 × a = (0 + 0) a = 0 × a . Par soustraction de 0 × a
des deux côtés de cette égalité, on obtient : 0 × a = 0. On prouve de même que a × 0 = 0.
Toujours par distributivité de la la loi × par rapport à la loi +, on a : a + (−1) × a = 1 × a + (−1) × a = (1 − 1) × a = 0 × a = 0.
De même, on montrerait que (−1) × a + a = 0. Donc (−1) × a est l’opposé de a et (−1) × a = −a .
724
La dernière relation se prouve de la même façon.
Remarque 19.6
Si (A,+, ×) est un anneau, (A,×) n’est pas un groupe. Sauf dans le cas où 1 = 0 et A = {0}.
Attention 19.14 En général,
a × b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0 .
On dit que de tels éléments a et b sont des diviseurs de zéro. Par exemple, dans l’anneau F (R, R), considérer les fonctions
0 si x = a
δa : R → R, x →
pour a ∈ R. Il est clair que δ2 ◦ δ0 = 0 et pourtant δ2 et δ0 ne sont pas identiquement nulles.
1 si x = a
D ÉFINITION 19.9 Anneau intègre
Soit un anneau (A,+, ×). On dit que cet anneau est intègre si et seulement si :
1. A = {0} ;
2. la loi × est commutative ;
3. ∀(x, y) ∈ A2 , x × y = 0 =⇒ x = 0 ou y = 0.
Remarque 19.7 Dans un anneau intègre, on peut « simplifier » à gauche et à droite : Si (a, y, z) ∈ A3 , avec ax = a y , et
si a = 0, alors x = y , que a soit inversible ou non. Cette propriété est fausse dans un anneau général.
D ÉFINITION 19.10 Notations
On considère
un anneau (A,+, ×). Soit un élément a ∈ A et un entier n ∈ N . On note


a + · ·· + a si n = 0
• na =
n fois


si n = 0
0
• (−n)a = n(−a) = (−a) + · ·· + (−a)
• an =


 a × · ·· × a


n fois
1
n fois
si n = 0
si n = 0
• a −n n’a de sens que si a est inversible pour ×. On a alors a −n = a −1
n
.
D ÉFINITION 19.11 Élément nilpotent
Soit un anneau (A,+, ×). On dit qu’un élément a ∈ A (a = 0) est nilpotent s’il existe un entier n ∈ N∗ tel que a n = 0.
Le plus petit entier n vérifiant a n = 0 s’appelle l’indice de nilpotence de l’élément a .
Remarque 19.8
Si l’anneau A est intègre, il n’y a pas d’élément nilpotent dans cet anneau.
T HÉORÈME 19.17 ♥♥♥ Formule du binôme de Newton et formule de factorisation
Dans un anneau (A,+, ×), si (a, b) ∈ A2 vérifient
a ×b = b ×a
Alors pour tout n ∈ N, on a la formule du binôme de Newton
(a + b)n =
et pour tout n
n
n k n−k
a b
k=0 k
1, la formule de factorisation suivante
a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2 b + · ·· + ab n−2 + b n−1 ) = (a − b)
n−1
a n−1−k b k .
k=0
Démonstration La démonstration de la formule du binôme dans le cas où a et b sont des éléments d’un anneau A tels que ab = ba
se fait comme dans le cas où a et b sont des complexes. On consultera alors la démonstration 8.34 page 315
725
Prouvons la seconde formule :
(a − b)(a n−1 + a n−2 b + ·· · + abn−2 + b n−1 )
=
a n + a n−1 b + ·· · + a 2 b n−2 + abn−1 − a n−1 b + a n−2 b 2 + ·· · + abn−1 + b n
=
a n + a n−1 b − a n−1 b + ... + a 2 b n−2 − a 2 b n−2 + abn−1 − abn−1 − b n
=
a n − bn .
T HÉORÈME 19.18 Calcul d’une progression géométrique
Soit un anneau (A,+, ×) et un élément a ∈ A. On considère un entier n ∈ N , n
tire :
1. De la formule de factorisation, on
1 − a n = (1 − a)(1 + a + a 2 + · ·· + a n−1 )
En particulier, si l’élément a est nilpotent d’indice n : a n = 0, alors l’élément (1 − a) est inversible pour la loi × et on
sait calculer son inverse :
(1 − a)−1 = 1 + a + a 2 + · ·· + a n−1
D ÉFINITION 19.12 Sous-anneau
On considère un anneau (A,+, ×) et une partie A ⊂ A de cet anneau. On dit que la partie A est un sous-anneau de A si
et seulement si :
1. (A , +) est un sous-groupe du groupe (A,+) ;
2. la partie A est stable pour la loi× : ∀(a, b) ∈ A 2 , a × b ∈ A ;
3. l’élément neutre de l’anneau A est dans A : 1 ∈ A .
19.2.2
Structure de corps
D ÉFINITION 19.13 ♥♥♥ Corps
On considère un ensemble K muni de deux lois de composition interne, notées + et ×. On dit que (K,+, ×) est un corps
si et seulement si :
1. (K,+, ×) est un anneau intègre ;
2. (K \ {0},×) est un groupe commutatif.
Remarque 19.9 Comme (K,+, ×) est intègre, la loi × (ou plutôt sa restriction à K\{0}×K\{0}) est interne, ce qui permet
d’envisager que (K \ {0},×) soit un groupe (commutatif).
Exemple 19.15 (Q, +, ×), (R, +, ×), (C, +, ×) sont des corps, mais (Z, +, ×) n’en est pas un car ses seuls éléments inversibles sont 1 et −1.
D ÉFINITION 19.14 Sous-corps
Soit K \ K un sous-ensemble d’un corps (K,+, ×). On dit que la partie K est un sous-corps du corps K si et seulement
si :
1. K est un sous-anneau de l’anneau (K,+, ×) ;
2. l’inverse de tout élément non-nul de K est dans K .
T HÉORÈME 19.19 Calcul d’une somme géométrique dans un corps
Soit un élément k ∈ K du corps (K,+, ×). Alors la formule suivante permet de calculer une progression géométrique de
raison k :
n
(1 − k)−1 1 − k n+1
si k = 1
k i = 1 + k + k 2 + · ·· + k n =
si k = 1
(n + 1)1K
i=0
Démonstration
Laissée en exercice.
726
Chapitre
20
Arithmétique
Le père Rouault vint apporter à Charles le paiement de sa jambe remise,
soixante-quinze francs en pièces de quarante sous.
Gustave FLAUBERT, Madame Bovary, 1857.
Pour bien aborder ce chapitre
Un très beau chapitre. Tellement beau que nous allons le traiter deux fois ! En effet, il a beaucoup de points communs avec
le suivant. On peut expliquer ces points communs à l’aide de la théorie des idéaux d’un anneau, mais ce n’est pas l’objet
ici.
Par ailleurs l’arithmétique a toujours fasciné les hommes, les mathématiciens comme les profanes. Avec un peu de curiosité et d’observation, n’importe qui peut conjecturer des propriétés qui peuvent s’avérer ardues à démontrer. On peut
par exemple contempler le tableau des derniers chiffres de i j pour 0 i 9 et 1 j 5. Une explication viendra plus
tard...
j \i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
2
4
8
6
2
3
9
7
1
3
4
6
4
6
4
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
7
9
3
1
7
8
4
2
6
8
9
1
9
1
9
Par ailleurs, on peut s’émerveiller devant les nombres premiers, le mystère de leur répartition et la beauté gratuite de
leur étude. Gratuite ? Rien n’est moins sûr ! La découverte d’un algorithme rapide de décomposition en facteurs premiers
mettrait à mal bien des codes secrets et l’arithmétique est devenu un secteur d’étude stratégique.
Parmi les nombreux mathématiciens qui se sont intéressés à l’arithmétique, le nom de Gauss se détache. Toute sa vie
durant il est revenu sur des problèmes d’arithmétique. Mais on peut citer Euclide, Diophante, Fermat, Legendre, Euler et
Ramanujan.
L’arithmétique est une école de rigueur. Mais une fois les mécanismes acquis, ce chapitre devient une récréation.
20.1
Relation de divisibilité, division euclidienne
20.1.1
Relation de divisibilité
D ÉFINITION 20.1 ♥ Divisibilité
Soient deux entiers relatifs (a, b) ∈ Z2 . On dit que l’entier a divise l’entier b si et seulement si ∃k ∈ Z tq b = ka .
Notation 20.1 On notera a | b (se lit « a divise b ») le fait que l’entier a divise l’entier b .
Remarque 20.1
– ∀n ∈ N, n | 0 ;
– ∀n ∈ N, 0 | n =⇒ n = 0 ;
– ∀(a, b, c, d) ∈ Z4 , [a | b et
c | d] =⇒ ac | bd .
748
P ROPOSITION 20.1 Propriétés de la divisibilité
– La relation « divise » est réflexive : ∀a ∈ Z, a | a .
– La relation « divise » est transitive : ∀(a, b, c) ∈ Z3 , [a | b et b | c] =⇒ a | c .
– La relation « divise » n’est ni symétrique, ni antisymétrique. Donc ce n’est ni une relation d‘’équivalence, ni une
relation d’ordre sur Z ). Par contre : [a | b et b | a] ⇐⇒ a = ±b .
Démonstration
1. Soit a ∈ Z. Comme a = 1 × a il est clair que a|a .
2.
a|b
b|c
∃k ∈ Z,
=⇒
∃k ∈ Z,
b = ka
c = kb
=⇒ c = kk a =⇒ a|c
3. On a : [a|b et b|a] =⇒ ∃ k,k ∈ Z2 : b = ka et a = k b =⇒ a = kk a . Il vient alors :
– si a = 0 alors b = ka = 0 et donc a = b .
– si a = 0, kk = 1, comme k et k sont des entiers, cette égalité n’est possible que si k = k = 1 ou alors si k = k = −1. On
a finalement bien a = ±b .
Réciproquement si a = ±b , on a nécessairement [a|b et b|a].
P ROPOSITION 20.2
Soit a, b, c ∈ Z et k1 , k2 ∈ Z. Alors :
20.1.2
a|c] =⇒ a| (k1 b + k2 c)
En effet :
Démonstration
[a|b
et
[a|b
et
a|c] =⇒
∃k ∈ Z,
∃k ∈ Z,
b = ka
c = ka
=⇒ k1 b + k2 c = k1 ka + k2 k a = k1 k + k2 k a =⇒ a| (k1 b + k2 c)
Congruences
D ÉFINITION 20.2 Congruence
Considérons un entier strictement positif n ∈ N∗ et deux entiers (a, b) ∈ Z2 . On dit que l’entier a est congru à l’entier b
modulo n , et l’on note a ≡ b [n] lorsque l’entier n divise l’entier (b − a) :
a ≡ b [n] ⇐⇒ n/(b − a).
P ROPOSITION 20.3 Compatibilité des lois avec les congruences
Soient quatre entiers (a, b, c, d) ∈ Z4 et un entier n ∈ N∗ . On suppose que
1. a ≡ b [n] ;
2. c ≡ d [n].
Alors
1. a + c ≡ b + d [n] ;
2. a × c ≡ b × d [n] ;
3. ∀k ∈ N, a k ≡ b k [n].
Pour démontrer que a | b il peut être intéressant de démontrer que b ≡ 0 [a].
Exemple 20.2
On veut démontrer que 641 divise 232 + 1.
On remarque que n = 641 = 1 + 640 = 1 + 5 × 27 = 625 + 16 = 54 + 24 .
On en déduit 5 × 27 ≡ −1 [n]. En élevant à la puissance 4, on a 54 × 228 ≡ 1 [n]. Comme 54 ≡ −24 [n], on obtient
−24 × 228 ≡ 1 [n] soit en ajoutant 232 aux deux membres, 0 ≡ 232 + 1 [n], ce qu’il fallait vérifier.
Cet exemple historique est dû à Euler et fournit un contre-exemple à une conjecture de Fermat :
n
∀n ∈ N,22 + 1 est premier.
749
Exemple 20.3 Pour un nombre entier n (écrit en base 10) on a n ≡ a [10] où a désigne le chiffre des unités de n . Ainsi
la dernière ligne du tableau des i j p. 748 peut se lire i 5 ≡ i [10] pour tous entiers i .
p
p
Exemple 20.4 On a 10 ≡ 1 [9] et donc ∀k ∈ N,10k ≡ 1 [9]. En particulier k=0 ak 10k ≡ k=0 ak [9]. Autrement dit, un
p
nombre entier n = k=0 ak 10k (écrit en base 10) est congru modulo 9 à la somme de ses chiffres, et donc aussi à la
somme des chiffres de la somme de ses chiffres, etc. C’est le principe de la preuve par neuf enseignée autrefois à l’école
élémentaire. Elle peut s’énoncer de la façon suivante : « Le produit des restes des deux facteurs modulo 9 est congru au
reste du produit modulo 9 ».
L’exemple suivant est dû à Eugène Ionesco (La Leçon 1951).
L E P ROFESSEUR
...combien font, par exemple, trois milliards sept cent cinquante-cinq millions neuf cent quatre-vingt-dix-huit mille deux
cent cinquante et un, multiplié par cinq milliards cent soixante-deux millions trois cent trois mille cinq cent huit ?
L’É LÈVE , très vite.
Ça fait dix-neuf quintillions trois cent quatre-vingt dix quadrillions deux trillions huit cent quarante quatre milliards deux
cent dix-neuf millions cent soixante-quatre mille cinq cent huit...
On prend a = 3755998251, b = 5162303508. La somme des chiffres de a vaut 54 donc a ≡ 0 [9]. De même la somme des
chiffres de b vaut 33 donc b ≡ 6 [9]. Donc le produit ab est congru à 0 modulo 9.
La somme des chiffres du produit c = 19390002844219164508 annoncé par l’élève vaut 76 donc c ≡ 4 [9].
Moralité, le résultat donné par l’élève est faux.
Exemple 20.5 On peut de demander quelle est valeur exacte du produit. Faute d’un logiciel de calcul formel qui
donnerait la solution, on travaille avec une calculatrice qui donne quatorze chiffres significatif (en l’occurence il s’agit
d’un tableur).
Il donne 3755998251 × 5162303508 = 19389602947179200000. Il est clair que les derniers chiffres sont faux. Pour les
trouver, on travaille modulo 107 , ce qui va donner les sept derniers chiffres : Soit a = 5998251 et b = 2303508. On a
a ≡ a [107 ] et b ≡ b [107 ]. On a donc ab ≡ a b [107 ]. Le tableur donne a b = 13817019164508 ≡ 19164508 (mod 107 ).
On peut donc reconstituer ab = 19389602947179164508.
Bien entendu, on vérifie avec la preuve par neuf que ab ≡ 0 [9].
D ÉFINITION 20.3 Système complet de restes modulo m
Soit m un entier 2. On appelle système complet de restes modulo m un système d’entiers contenant un et un seul
représentant de chaque classe.
Exemples : 0,m − 1 , système de m entiers consécutifs, m entiers non congrus modulo m deux à deux.
P ROPOSITION 20.4
Soit x −→ f (x) = ni=0 ai x i une fonction polynôme où les ai ∈ Z.
On suppose que l’on a f (r ) non congru à 0 modulo m pour r décrivant un système complet de restes modulo m . On a
alors ∀x ∈ Z, f (x) non congru à 0 modulo m .
Démonstration En effet, soit x ∈ Z, il existe un r appartenant au système complet de restes modulo m , tel que x ≡ r [m]. Comme
par ailleurs, ni=0 a i x i ≡ ni=0 a i r i [m], le résultat en découle.
20.1.3
Division euclidienne
r
qa
b
(q + 1)a
F IGURE 20.1 – Division euclidienne dans Z
T HÉORÈME 20.5 ♥♥♥ Division Euclidienne
Soient deux entiers (a, b) ∈ Z × N avec b = 0. Alors il existe un unique couple (q, r ) ∈ Z2 tel que :
a = bq + r
0
r <b
On dit que l’entier q est le quotient et l’entier r le reste de la division euclidienne de a par b .
750
Démonstration
Unicité : Soient q,r ∈ Z2 et q ,r ∈ Z2 tels que a = qb +r , 0 r < b et a = q b +r , 0 r < b. Comme 0 r < b et 0 r < b,
on a : b q − q = r − r < b ce qui n’est possible que si q − q = 0, c’est a dire que si q = q . Ceci entraîne r = r et donc
q,r = q ,r .
Existence : – Supposons que a ∈ N et considérons l’ensemble M = {n ∈ N | nb a} des multiples de b inférieurs à a . M est
une partie de N. De plus, M est :
– non vide car 0 ∈ M .
– majorée par a . En effet, si n ∈ M alors, comme b 1, n nb a donc n a .
On en déduit que M admet un plus grand élément (voir page 304), noté q qui vérifie :
qb
a car q ∈ M .
q + 1 b > a car q + 1 > q et q est le plus grand élément de M , donc q + 1 ∈ M .
Posons r = a − bq . On a bien a = bq + r . Par ailleurs 0 r car a bq et r < b car b = q + 1 b − qb > a − qb = r .
– Supposons maintenant que a ∈ Z. Si a est positif, on se ramène au cas précédent. Sinon −a est positif et il existe (q ,r ) ∈ Z2
tel que :−a = q b + r et 0 r < b . On a donc a = b −q − r . Si r = 0 alors on pose q = −q et r = 0. On obtient ainsi le
couple recherché. Sinon, si r = 0, alors r ∈ 1,b − 1 et a = b(−q − 1) + (b − r ). On pose alors q = −q − 1 et r = b − r et on
obtient, ici encore, le couple recherché.
20.2
PGCD, théorèmes d’Euclide et de Bézout
D ÉFINITION 20.4 ♥ PGCD, PPCM
Soient deux entiers non tous deux nuls (a, b) ∈ Z∗2 .
1. L’ensemble des diviseurs de N∗ communs à a et b admet un plus grand élément noté a ∧ b . C’est le plus grand
commun diviseur (PGCD) des entiers a et b .
2. L’ensemble des entiers de N∗ multiples communs de a et b admet un plus petit élément noté : a ∨ b . C’est le plus
petit commun multiple (PPCM) des entiers a et b .
Si a = b = 0, on pose a ∧ b = a ∨ b = 0.
T HÉORÈME 20.6 ♥ Théorème d’Euclide
Soient deux entiers (a, b) ∈ Z∗2 . Effectuons la division euclidienne de l’entier a par l’entier b :
∃!(q, r ) ∈ N2 :
et
a = bq + r
0
r <b
Alors :
a ∧b = b ∧r
Démonstration Comme r = a − bq , tout entier divisant à la fois a et b divise aussi r . L’ensemble des diviseurs communs à a et
b est égal à l’ensemble des diviseurs communs à b et r . En particulier, ces deux ensembles ont le même plus grand élément, ce qui
s’écrit aussi : a ∧ b = b ∧ r .
a
d
b
b
r = a − 2b
b
F IGURE 20.2 – Euclide : si d | b et d | a , alors d | r
Le théorème précédent justifie l’algorithme d’Euclide pour trouver le pgcd de deux entiers non nuls (a, b) ∈ N∗2 . On pose
r 0 = a , r 1 = b et on définit ensuite ∀k 1, les couples (qk , r k ) en utilisant une division euclidienne :
si r k = 0, ∃!(qk , r k+1 ) ∈ Z2 tq r k−1 = qk r k + r k+1 et 0
r k+1 < r k
Comme la suite d’entiers (r k ) est strictement décroissante, il existe un rang n 1 tel que r n = 0 et r n+1 = 0. D’après le
théorème d’Euclide, on a ∀k ∈ [0,n − 1], a ∧ b = r k ∧ r k+1 . Comme r n divise r n−1 , on a r n ∧ r n−1 = r n . Par conséquent, le
dernier reste non-nul r n est le pgcd des entiers (a, b).
751
Exemple 20.6 Déterminons le pgcd des entiers 366 et 43 en utilisant l’algorithme d’Euclide :
366
=
43 =
✄
✂22 ✁ =
21
=
43 × 8 + 22
✞
☎
✄
22 × 1 + ✂21 ✁
✝
✆
✄
✂21 ✁ × 1 + 1
1 × 21 + 0
donc 366 ∧ 43 = 1.
– Paramètres : a , b (entiers).
– Variables locales : A,B, r .
– Initialisation :
– A ← a,
– B ← b,
– Corps : Tant que b = 0 faire :
– r ← A mod B,
– A ← B,
– B←r,
Fin tant que
– Renvoyer A (A = pgcd(a, b)).
ou sous une forme récursive :
15
10
5
5
10
15
Le pgcd de 17 et 24 égale 1.
20
D ÉFINITION 20.5 Nombres premiers entre eux
On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux si et seulement si leur plus grand diviseur commun est 1,
autrement dit si et seulement si a ∧ b = 1.
752
B IO 17 Étienne Bézout, , né le 31 mars 1730 à Nemours, mort le 27 septembre 1783 à Basses-Loges)
Mathématicien français. Auteur de différents livres d’enseignement
qu’il rédigea à l’attention des gardes de la marine ou des élèves du
corps de l’artillerie. Il est surtout connu pour le théorème ci dessous
mais il a travaillé également sur les déterminants et les équations
algébriques. Son nom est attaché à d’autres théorèmes en géométrie
algébrique et intersections de courbes.
T HÉORÈME 20.7 ♥♥♥ Coefficients de Bézout
Soient deux entiers non nuls (a, b) ∈ Z∗2 . Il existe (u, v) ∈ Z2 tels que
au + bv = a ∧ b.
Un tel couple (u, v) est appelé couple de coefficients de Bézout de a et b .
Démonstration Quitte à considérer |a| et |b| à la place de a et b , on peut supposer a et b positifs. La preuve se fait par récurrence
sur b . Si b = 0, alors a ∧b = a et 1.a +0.b = a donc un couple de coefficient de Bézout est (1,0). On fixe b ∈ N∗ et on suppose que la
propriété est vraie pour tout a ∈ N et tout nombre n de l’intervalle d’entiers 0,b − 1 . Par division euclidienne, il existe q,r ∈ N2
tels que a = bq +r et 0 r b −1. D’après le théorème d’Euclide, on sait que a ∧b = b ∧r . On applique l’hypothèse de récurrence
à b et r , il existe (U,V) ∈ Z2 tels que Ub +Vr = b ∧r . Donc Ub +V a − bq = a ∧b et Va + U − Vq b = a ∧b . La propriété est alors
prouvée par récurrence.
Remarque 20.2
Il n’y a pas unicité du couple de coefficients de Bézout de deux entiers. Voir exercice ?? p. ??.
T HÉORÈME 20.8 ♥♥♥ Théorème de Bézout
Soient deux entiers non nuls (a, b) ∈ (Z∗ )2 . On a
a ∧ b = 1 ⇐⇒ ∃(u, v) ∈ Z2 :
1 = au + bv
Démonstration
⇒ C’est une conséquence directe du théorème précédent.
⇐ Supposons qu’il existe (u, v ) ∈ Z2 tel que au +bv = 1. Si d est un diviseur commun à a et b alors d est un diviseur de 1. Il est
alors clair que a ∧ b = 1.
Remarque 20.3 Soient deux entiers (a, b) ∈ Z × N∗ premiers entre eux. L’algorithme d’Euclide permet de trouver un
couple de Bézout (u, v) ∈ Z2 tel que au + bv = 1. On définit les suites (r k ) et (qk ) des restes dans l’algorithme d’Euclide.
Notons r n = a ∧ b = 1 le dernier reste non-nul. On pose r 0 = a , r 1 = b et par récurrence, on définit
∀k
1, r k−1 = qk r k + r k+1 avec 0 < r k+1
rk
On définit simultanément deux suites (uk ) et (v k ) telles que
∀k ∈ [0,n], r k = uk a + v k b
Pour que cette propriété soit vraie pour tout k ∈ 0,n , on doit poser :
(u0 , v 0 ) = (1,0), (u1 , v 1 ) = (0,1) et ∀k ∈ [2,n],
uk+1 = uk−1 − qk uk
v k+1 = v k−1 − qk v k
On a alors 1 = aun + bv n .
r0 = a
1
0
r1 = b
q1
0
1
r2
q2
u2
v2
...
...
...
...
753
rk
qk
uk
vk
...
...
...
...
1
qn
un = u
vn = v
Voici une procédure Maple qui prend comme paramètres a et b et qui retourne a ∧ b , ainsi qu’un couple de Bézout (U, V)
Exemple 20.7 Déterminons grâce à l’algorithme d’Euclide un couple de Bézout pour a = 22 et b = 17.
r 0 = 22
u0 = 1
v0 = 0
r 1 = 17
q1 = 1
u1 = 0
v1 = 1
r2 = 5
q2 = 3
u2 = 1
v 2 = −1
r3 = 2
q3 = 2
u3 = −3
v3 = 4
r4 = 1
q4 = 2
u4 = 7
v 4 = −9
et 1 = 7 × 22 − 9 × 17 .
B IO 18
Carl Friedrich Gauss, né le 30 avril 1777 à Brunswick (Saint-Empire romain germanique), mort le
23 février 1855 à Göttingen (Royaume de Hanovre)
Mathématicien allemand. C’est un des plus grands mathématiciens de tous les
temps. Certains l’ont même surnommé le « prince des mathématiques ». Alors âgé
de trois ans, on raconte qu’il sut corriger son père dans un calcul de salaire. Il est remarqué par ses instituteurs qui le poussent à poursuivre ses études. Á dix-neuf ans,
il résout un problème qui date d’Euclide, celui de la construction à la règle et au
compas du polygône régulier à dix-sept côtés. Cette découverte fut à l’origine de sa
décision de consacrer sa vie aux mathématiques. Il effectue sa thèse sous la direction de Johann Pfaff à l’université de Brunswick. Celle-ci porte sur une démonstration du théorème fondamental de l’algèbre 21.24 page 778. Gauss s’intéressa à de
nombreuses branches des mathématiques : l’arithmétique, la géométrie, les probabilités, etc. Il a permis des avancées énormes en théorie des nombres, en géométrie
non-euclidienne, . . .Mais il s’est aussi intéressé, entre autres, à l’astronomie ou à la
cartographie à chaque fois avec génie. Même si la portée de ses travaux ne fut pas
complètement comprise par ses contemporains - Gauss ne publiant que très peu ce fut la postérité qui comprit la profondeur et l’étendue de son travail à la lecture
de son journal intime qui fut publié après sa mort. Il eut comme élèves Richard
Dedekind et Bernhard Riemann.
T HÉORÈME 20.9 ♥♥♥ Théorème de Gauss
Soient trois entiers non nuls (a, b, c) ∈ Z∗3 .
[a | bc
et
a ∧ b = 1] =⇒ a | c
754
Démonstration Si a ∧ b = 1 alors, d’après le théorème de Bézout 20.8, il existe (u, v ) ∈ Z2 tel que au + bv = 1. On a donc aussi
auc + bvc = c . Mais comme a divise bc et que a divise auc , a divise auc + bvc = c .
P ROPOSITION 20.10 Caractérisation des diviseurs et des multiples
Soient deux entiers (a, b) ∈ Z2 .
1. Soit un entier d ∈ Z .
2. soit un entier m ∈ Z .
d |a
d |b
a |m
b |m
⇐⇒ d | (a ∧ b)
⇐⇒ (a ∨ b) | m .
Démonstration
1. Supposons que que d divise a et b et notons δ = a ∧ b . D’après le théorème 20.7, il existe (u, v ) ∈ Z2 tels que au + bv = δ.
Comme d | a et que d | b , on sait que d | δ. La réciproque est facile.
2. Supposons que a et b divisent m et notons µ = a ∨b . Il existe k,k ∈ N tels que µ = ka et µ = k b . Il existe aussi l ,l ∈ N tels
que m = l a et m = l b . De plus, par application du théorème 20.5, il existe un unique couple q,r ∈ N2 tel que m = pµ + r
et 0 r < µ. On peut alors écrire l a = pka +r et l b = pk b +r et donc a | r et b | r . Si r = 0 alors r est un multiple commun
à a et b . Par définition de µ, il vient r µ ce qui est impossible. Donc r = 0 et µ divise m . La réciproque est évidente.
P ROPOSITION 20.11
Soient deux entiers non nuls (a, b) ∈ Z∗2 . Pour un entier k ∈ N∗ ,
(ka) ∧ (kb) = k(a ∧ b)
(ka) ∨ (kb) = k(a ∨ b)
.
Démonstration
– Posons δ = a ∧ b et ∆ = ka ∧ kb . Il est clair que kδ | ∆. Montrons que ∆ | kδ, ce qui prouvera la première égalité. Comme k | ∆ il
existe m ∈ Z tel que ∆ = km . Mais alors km | ka et m | a . De même, km | kb et donc m | b . L’entier m est donc un diviseur de δ
et ∆ = km | kδ.
– Posons maintenant d = a ∨b et D = ka ∨kb . L’entier kd est un multiple de ka et kb donc D | kd . Si on montre de plus que kd | D
alors la seconde égalité sera prouvée. Comme ka | D et que kb | D, il existe des entiers m1 et m2 tels que D = kam1 = kbm2 .
L’entier k est donc un diviseur de D et il existe un entier D tel que D = kD . Par suite, on a D = am1 = bm 2 et D est donc un
multiple commun à a et b ce qui amène d | D ainsi que kd | D.
P ROPOSITION 20.12 ♥ Autres propriétés du PGCD
Soient trois entiers non nuls (a, b, c) ∈ Z∗3 .
Soient trois entiers (δ, a , b ) ∈ N∗ × Z2 tels que a = δa , b = δb , alors
δ = a ∧ b ⇐⇒ a ∧ b = 1
a ∧b = 1
a ∧c = 1


a | c
b|c


a ∧b = 1
⇐⇒ a ∧ (bc) = 1 ;
=⇒ ab | c ;
pour tout couple (p, q) ∈ N∗2 , si a ∧ b = 1, alors a p ∧ b q = 1 ;
pour tout entier k ∈ N∗ , a k ∧ b k = (a ∧ b)k .
Démonstration
C’est une conséquence directe de la proposition 20.10.
Si a ∧b = 1 et a ∧c = 1, alors par application du théorème de Bézout 20.8, il existe des entiers s, t,u, v tels que
sa + t b = 1 et ua + vc = 1. Si on multiplie membre à membre ces deux égalités, on obtient l’égalité de Bézout :
(sua + v sc + tub) a + (tvc) b = 1 et en conclusion a ∧ (bc) = 1.
Réciproquement, si a ∧ (bc) = 1 alors il : est clair que a est premier à la fois avec b et c .
⇐
⇒
Comme a | c , il existe k ∈ Z tel que c = ka . Mais comme b | c = ka et que a ∧ b = 1 alors par le théorème de Gauss 20.9, il
vient que b | k . En conclusion ab | c .
Considérons A, B ∈ N∗ tels que A ∧B = 1 et m ∈ N∗ . Si on applique la deuxième règle avec a = A, b = B et c = B, on obtient :
A ∧ B2 = 1. En l’appliquant une nouvelle fois avec a = A, b = B et c = B2 , il vient que A ∧ B3 = 1. Si on l’applique encore
m − 3 fois, il vient que : A ∧ Bm = 1. En résumé, on a prouvé que si A ∧ B = 1 alors A ∧ Bm = 1. Considérons a,b ∈ N∗ tels
que a ∧ b = 1 et p, q ∈ N∗ . On applique ce résultat à A = a , B = b et m = q . Il vient a ∧ b q = 1. On l’applique alors une
nouvelle fois mais à A = b q , B = a et m = p et on trouve : a p ∧ b q = 1.
755
Soit k ∈ N∗ . Posons δ = a ∧ b. Grâce à la première règle, on a : aδ ∧ bδ = 1 et grâce à la quatrième :
appliquant à nouveau la première règle, il vient que : a k ∧ bk = δk = (a ∧ b)k .
k
a k
∧ bδ = 1. En
δ
T HÉORÈME 20.13 ♥ Relation entre PGCD et PPCM
Soient deux entiers non nuls (a, b) ∈ Z∗ 2 .
1. Si a ∧ b = 1 alors a ∨ b = |ab| ;
2. (a ∧ b)(a ∨ b) = |ab|.
Démonstration
1. Supposons que a et b sont positifs et premiers entre eux. Soit d un multiple commun à a et b. Alors il existe k ∈ N tels que
d = ka . Comme b | d et que a ∧ b = 1, on en déduit, grâce au théorème de Gauss 20.9, que b | k et qu’il existe donc k ∈ N
tel que d = k ab. Comme d est le plus petit commun multiple de a et b , il vient forcément que k = 1 et que d = ab. Si a et
b ne sont pas tous deux positifs, on applique ce résultat à |a| et |b|.
2. Notons δ = a ∧b et a = δa , b = δb avec a ,b ∈ Z. Montrons que l’ensemble des multiples communs à a et b est l’ensemble
des multiples de δa b . Il est clair que tout multiple de δa b est un multiple commun à a et b . Réciproquement, si m est un
multiple commun à a et b alors il existe k,k ∈ Z tels que m = ka = k b . On a aussi : m = kδa = k δb . Comme a et b sont
premiers entre eux, cette égalité implique, par application du théorème de Ga uss 20.9 que b | k . Donc m est un multiple
de δa b . Il s’ensuit que le ppcm de a et b est le plus petit multiple de δa b , c’est à dire que a ∨ b = δa b . Il vient alors
δ(a ∨ b) = δ δa b = |ab| d’où l’égalité.
20.3
Nombres premiers
20.3.1
Nombres premiers
D ÉFINITION 20.6 ♥ Nombre premier, nombre composé
Un entier n ∈ N est dit premier si n 2 et si ses seuls diviseurs dans N, sont 1 ou lui-même :
∀k ∈ N∗ , k/n =⇒ k ∈ {1, n}
On note P l’ensemble des nombres premiers.
Si un entier n ∈ N n’est pas premier, on dit qu’il est composé.
Remarque 20.4
Un entier positif est premier si et seulement si le cardinal de l’ensemble de ses diviseurs est égal à 2.
P ROPOSITION 20.14 ♥ Propriétés des nombres premiers
1. Soit un entier p ∈ N premier, et a ∈ Z un entier. Alors, p | a ou bien p ∧ a = 1.
2. Si n et m sont deux nombres premiers distincts, ils sont premiers entre eux : n = m =⇒ n ∧ m = 1.
3. Si n est un nombre premier et si (a1 ,. . . , ak ) ∈ Zk ,
n | a1 .. . ak =⇒ [∃i ∈ [[1,n]] :
n | ai ]
Démonstration
1. Si n et a ne sont pas premiers entre eux alors δ = n ∧ a > 1. Mais comme δ | n et que n est premier, δ = 1 ce qui n’est pas
possible ou δ = n . En conclusion, n | a .
2. n est premier et peut diviser m donc d’après le point précédent n ∧ m = 1.
3. D’après le théorème de Gauss et une petite récurrence.
P ROPOSITION 20.15 ♥
Tout entier supérieur à 2 admet un diviseur premier.
Démonstration Effectuons une récurrence forte. Si p = 2 alors p possède un diviseur premier : lui même. Supposons la propriété
vérifiée pour tout entier p ∈ 2,n et montrons là pour p = n +1. Soit A l’ensemble des diviseurs de n +1. On a |A | 2. Si |A | = 2
alors n + 1 est premier et cela démontre la propriété sinon A contient un entier q ∈ 2,n qui divise n + 1. On applique l’hypothèse
de récurrence à q : q possède un diviseur premier. Ce diviseur premier divise nécessairement aussi n + 1 et donc n + 1 possède un
diviseur premier. La propriété est donc démontrée par récurrence.
756
P ROPOSITION 20.16 ♥
L’ensemble P des nombres premiers est infini.
Démonstration Supposons que ce ne soit pas le cas. P forme alors une partie finie de N. P possède donc un plus grand élément
n . Considérons le nombre entier N = n! + 1. On a : N > n . D’après la proposition précédente, N possède un diviseur premier p
différent de 1. Ce dernier est nécessairement élément de l’ensemble 2,n . p divise donc aussi n!. Mais alors p divise 1 ce qui est
impossible. L’ensemble P des nombres premiers est donc infini.
20.3.2
Décomposition en facteurs premiers
L EMME 20.17
Soit m ∈ N∗ . On considère m nombre premiers p 1 ,. . . , p m ∈ P distincts deux à deux et des entiers naturels non nuls
α
α1 , .. . , αm . On forme le nombre entier p 1α1 .. . p mm . Alors tout diviseur premier de n est l’un des p i où i ∈ 1,m .
αm
Démonstration Considérons l’ensemble A des entiers de la forme n = p 1α1 ... p m
avec m ∈ N∗ , p 1 ,... , p m ∈ P distincts deux à
∗
deux et α1 ,... , αm ∈ N qui admettent un diviseur premier différent de chacun des p i . La propriété sera prouvée si on montre que
αm
A est vide. Supposons que ce n’est pas le cas. Alors comme A est une partie de N, A admet un plus petit élément n0 = p 1α1 ... p m
et d’après la proposition 20.15, n0 admet un diviseur premier p qui n’est, par définition de A , aucun des p i . L’entier p divise donc
αm
le produit p 1 .p 1α1 −1 ... p m
. Les entiers p et p 1 sont premiers entre eux car premiers. On en déduit, par application du lemme de
α
α
α1 −1
α −1
Gauss, que p | p 1
... p mm . Mais comme n0 est le plus petit élément de A , l’entier p 1 1 ... p mm n’est pas élément de A et p est
l’un des p i pour i ∈ 1,m ce qui rentre en contradiction avec l’hypothèse faite sur p . Le lemme est alors prouvé par l’absurde.
T HÉORÈME 20.18 ♥♥♥ Décomposition en facteurs premiers
Soit un entier n ∈ N \ {0,1}. Cet entier n s’écrit de façon unique de la manière suivante :
α
α
n = p 1 1 .. . p mm
où m ∈ N∗ , p 1 < . .. < p m sont m nombres premiers et où α1 ,. . . , αm ∈ N∗ . Ce résultat se formule aussi sous la forme
suivante : n s’écrit de manière unique, à l’ordre des facteurs près, comme
n=
p νp (n)
p∈P
où νp (n) ∈ N est appelé la p-valuation de l’entier n .
Démonstration
Exi st ence La preuve se fait par récurrence sur n . Si n = 2 alors comme 2 ∈ P, la proposition est vraie. Soit n ∈ N \ {0,1}.
Supposons que tout entier < n se décompose comme indiqué dans le théorème. Si n est premier alors le théorème est vrai pour
n . Sinon n admet un diviseur premier p ∈ P et il existe 0 < m < n tel que n = pm . Mais par application de l’hypothèse de
récurrence, m se décompose comme indiqué dans le théorème et il en est alors de même de n . L’existence de la décomposition
est alors prouvée par récurrence.
α
α
Uni ci té La preuve se fait à nouveau par récurrence. Supposons que 2 = p 1 1 ... p mm avec pour tout i ∈ 1,m , p i ∈ P, αi ∈ N∗ et
α1
α
p 1 < ... < p m . Comme 2 est le plus petit des nombres premiers, il vient : 2 = p 1 ... p mm 2α1 × ... × 2αm ce qui n’est possible
que si m = 1, p 1 = 2, α1 = 1. L’unicité de la décomposition de 2 en facteurs premiers est alors prouvée. Soit n ∈ N. Supposons
que tout entier < n admet une unique décomposition en facteurs premiers et supposons que que ce ne soit pas le cas pour n,
α
α
αm
c’est à dire que n admet au moins deux décompositions en facteurs premiers : n = p 1α1 ... p m
= p 1 1 ... p mm . Par application du
lemme précédent, il vient p 1 = p i pour un certain i ∈ 1,m et p 1 = p j pour un certain j ∈ 1,m . Mais p 1 p j = p 1 p i = p 1
et forcément p 1 = p 1 . On peut alors écrire :
α
n
α −1
α
α −1
= p 1 1 ... p mm = p 1 1 ... p mm
p1
L’hypothèse de récurrence nous permet d’affirmer que la décomposition de n/p 1 en facteurs premiers est unique donc : m = m ,
p 1 = p 1 , p 2 = p 2 , ..., p m = p m , α1 = α1 , ..., αm = αm . Les deux décompositions de n en facteurs premiers sont donc égales.
L’unicité est ainsi prouvée par récurrence.
Remarque 20.5
Tout entier relatif n ∈ Z non nul s’écrit de façon unique sous la forme :
n=±
p νp (|n|) .
p∈P
Pour des entiers a, b ∈ N∗ , et p ∈ P,
νp (a × b) = νp (a) + νp (b)
757
a | b =⇒ νp (a)
νp (b)
Chapitre
21
Polynômes
. . . polynomials are notoriously untrustworthy when extrapolated.
WG Cochran, GM Cox Experimental designs.
Dans tout ce chapitre :
• K désigne un corps (R ou C).
• KN ou S (K) représente l’ensemble des suites à coefficients dans K.
• m , n , p , q , r ∈ N sont des entiers.
Pour bien aborder ce chapitre
Les polynômes remontent à la plus haute antiquité. Le premier usage du mot semble remonter à François Viète (15401603). Cependant les babyloniens savaient résoudre les équations du second degré. Plus généralement, la résolution des
équations polynomiales a été un moteur de l’étude des polynômes. Nous avons déjà évoqué Tartaglia et Cardano éprouvant le besoin d’introduire les nombres complexes pour résoudre les équations du troisième et quatrième degré, ainsi que
Galois aux prises avec les équations du cinquième degré. Par ailleurs, le mot polynôme lui-même semble d’une origine
discutable.
Pour autant, qu’est-ce qu’un polynôme ? Prenons un exemple. Soit
f :R
x
−→
−→
R
.
f (x) = 3x 4 − 2x 2 + x + 1
On peut résumer toute l’information contenue dans f (x) à l’aide de la liste de ses coefficients :
1 ; 1 ; -2 ; 0 et 3. Un autre polynôme g (x) = x 2 − x − 2 se verra attribuer -2 ; -1 et 2 comme liste des coefficients. On voit
par là que la liste est à longueur variable ce qui n’est pas confortable.
Pour que tous les polynômes soient logés à la même enseigne, on considère une suite (donc infinie) de coefficients pour
chaque polynôme en rajoutant des zéros. Autrement dit, un polynôme est assimilé à une suite de coefficients tous nuls
sauf (peut-être) un nombre fini d’entre eux.
C’est cette définition purement algébrique qui va être suivie dans ce chapitre. Faudra-t-il pour autant oublier nos bonnes
vieilles fonctions polynomiales ? Certes non ! D’abord elles sont à la base de cette nouvelle définition et elles permettent
d’établir, via le TVI, que tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine.
Ce chapitre a beaucoup de points communs avec le précédent. Cependant il faudra une fois de plus attendre les espaces
vectoriels pour bien comprendre les tenants et les aboutissants de celui-ci.
21.1
Polynômes à une indéterminée
21.1.1
Définitions
D ÉFINITION 21.1 ♥ Polynômes
On appelle polynôme à coefficients dans K une suite (an ) d’éléments de K nulle à partir d’un certain rang :
767
(an ) = (a0 , a1 ,. . . , ak ,0,. ..)
On note K [X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
D ÉFINITION 21.2 ♥ Opérations sur K [X]
On définit les opérations suivantes sur les polynômes : Soient les polynômes P = (a0 , a1 ,. . . , an ,0,. ..) ∈ K [X], Q =
(b0 , b1 , .. . , b n , 0,. . .) ∈ K [X] et le scalaire λ ∈ K :
P + Q = (a0 + b0 , a1 + b1 ,. . . , an + bn ,0,. ..)
λ · P = (λ · a0 , λ · a1 ,. . . , λ · an ,0,. ..)
P × Q = (c0 , c1 ,. . . , cn ,. . .) où : ∀k ∈ N,
ck =
+∞
ak bn−k
k=0
Remarque 21.1
– A partir d’un certain rang (exercice !), la suite (ck ) est nulle. La multiplication est donc bien définie dans K [X].
– L’addition et la multiplication par un scalaire précedemment définies coincident avec l’addition et la multiplication
définie sur l’espace des suites à coefficients dans K : KN . Ce n’est par contre pas le cas de la multiplication entre
polynômes, qui ne coincide pas avec celle définie entre les suites.
– Pour une suite de nombres (ak ) qui sont tous nuls sauf un nombre fini, le nombre
+∞
ak
k=0
est la somme de tous les nombres non nuls de cette suite.
P ROPOSITION 21.1
Structure de K [X]
– (K [X] , +, ·) est un sous-espace vectoriel du K-espace vectoriel KN . Le vecteur nul est le polynôme (0, .. .)
– (K [X] , +, ×) est un anneau commutatif unitaire. L’élément neutre de la loi × est le polynôme (1, 0, .. .).
Remarque 21.2
– Attention, en raison de la remarque précédente, (K, +, ×) n’est pas un sous-anneau de KN , +, × .
– Comme (K [X] , +, ×) est un anneau commutatif, la formule du binôme est vraie dans K [X].
Notations définitives :
On note :
• 1 le polynôme (1, 0, .. .).
• X le polynôme (0, 1, 0, .. .).
En multipliant le polynôme X par lui-même, on obtient pour Xn , le polynôme :
(0,. . . , 0,.. .
,1,
↑
0,.. .)
place d’indice n
Avec ces notations, si P ∈ K [X] est donné par P = (a0 , a1 ,. . . , an ,0,. ..), on a :
P
=
a0 (1, 0, .. .) + a1 (0, 1, .. .) + .. . + an (0, .. . ,0,1,0,. ..)
=
a0 + a1 X + .. . + an Xn
=
a0 · 1 + a1 · X + .. . + an · Xn
Démonstration Du fait que la multiplication des polynômes est abstraite, il est nécessaire d’effectuer un certain nombre de
vérifications qui n’auraient pas lieu d’être avec des fonctions polynomiales. La plupart de ces vérifications sont immédiates.
La multiplication est commutative : Soit P = a0 + ... + a p X p ∈ K [X] et Q = b0 + ... + bp X q ∈ K [X], on a : PQ = c0 + ... + cp+q X p+q
avec, pour k = 0,. .. , p + q , ck = k=0 a bn− = a0 bk + a1 bk−1 + ... + ak−1 b1 + ak b0 . En effectuant la somme de droite à gauche,
c’est-à-dire en effectuant le changement d’indice p = k − , ck = ak b0 + ak−1 b1 + ... + a1 bk−1 + a0 bk ce qui est le coefficient
d’indice k du polynôme QP. Donc PQ = QP.
768
Associativité : Soit P =
i
ai Xi , Q =
j
bj Xj , R =
k
bk Xk . On a PQ =
d X avec c =
i=0
a i b −i . On a alors (PQ)R =
m
f m Xm
j
m
fm =
m
d cm−
=0
m
=
avec
=0 j =0
a − j b j cm−
m
=
=0 j =0
a − j b j cm−
m m
=
j =0 = j
a − j b j cm−
m
On effectue un changement d’indice p = − j c’est-à-dire = p + j .
p
m m− j
fm =
m
a p b j cm−p− j
j =0 p=0
m m−p
=
a p b j cm−p− j
p=0 j =0
m−p
m
=
ap
p=0
m
=
b j cm−p− j
j =0
a p g m−p
p=0
m
n
où g n =
b q cn−q désigne le n -ième coefficient de QR. Autrement dit f m est aussi le m -ième coefficient de P(QR).
q=0
Le principal intérêt de l’algèbre linéaire (qui ne va plus tarder maintenant) est d’éviter ce genre de démonstration particulièrement
indigeste. Voici comment nous pourrons rédiger une démonstration très bientôt.
Soit Q et R deux polynômes. On cherche à démontrer que
ΦQ,R : K [X]
P
−→
−→
K [X]
est l’application nulle. Or ΦQ,R
(PQ)R − P(QR)
est une application linéaire. Pour démontrer que son image est réduite au vecteur nul, il suffit de démontrer que toutes les images
d’une famille génératrice sont nulles. Par exemple que ∀ n ∈ N,ΦQ,R (Xn ) = (Xn Q)R − Xn (QR) = O.
Pour cela, soit n ∈ N et R ∈ K [X] On cherche donc à démontrer que
Ψn,R : K [X]
Q
−→
−→
K [X]
est l’application
(Xn Q)R − Xn (QR)
nulle. Or Ψn,R est une application linéaire. Pour démontrer que son image est réduite au vecteur nul, il suffit de démontrer que
toutes les images d’une famille génératrice sont nulles. Par exemple que ∀ m ∈ N,Ψn,R (Xm ) = (Xn Xm )R − Xn (Xm R) = O.
Pour cela, soit n ∈ N et m ∈ N On cherche donc à démontrer que
Θn,m : K [X]
Q
−→
−→
K [X]
est l’application
(Xn Xm )R − Xn (Xm R)
nulle. Or Θn,m est une application linéaire. Pour démontrer que son image est réduite au vecteur nul, il suffit de démontrer que
toutes les images d’une famille génératrice sont nulles. Par exemple que ∀ p ∈ N,Ψn,R (Xp ) = (Xn Xm )Xp −Xn (Xm X p ) = O. Or cette
dernière égalité est vérifiée immédiatement. Ce qui établit le résultat.
21.1.2
Degré d’un polynôme
D ÉFINITION 21.3 ♥ Degré d’un polynôme, terme dominant
Soit un polynôme P = a0 + .. . + a p X p ∈ K [X] avec a p = 0.
• On appelle degré de P et on note deg(P) l’entier p .
• Par convention, le degré du polynôme nul est −∞.
• On appelle terme dominant de P le monôme a p X p .
D ÉFINITION 21.4 ♥ Polynôme normalisé
On appelle polynôme normalisé un polynôme dont le terme dominant est égal à 1.
T HÉORÈME 21.2 ♥ Degré d’un produit, degré d’une somme
769
Soient P, Q ∈ K [X], on a :
deg(P + Q)
max deg(P) ,deg (Q)
deg(P × Q) = deg(P) + deg(Q)
Démonstration
•
•
Si P = Q = 0 alors deg P = deg Q = −∞ et deg (P + Q) = −∞ et la formule est prouvée dans ce cas.
Si P ou Q est non nul alors, supposant, quitte à interchanger P et Q, que P = 0, on a : P = nk=0 ak Xk ,
Q= n
b Xk où n = max deg P,deg Q et où les a k pour k ∈ 1,n ne sont pas tous nuls (en l’occurence,
k=0 k
les bk peuvent être tous nuls). On a donc : P + Q = nk=0 ak + bk Xk . Si an + bn = 0 alors deg (P + Q) =
max deg P, deg Q et sinon deg (P + Q) max deg (P) ,deg (Q)
•
•
Si P = 0 ou Q = 0 alors PQ = 0 et deg (PQ) = −∞ = deg P + deg Q d’après les lois d’addition dans R.
Sinon, on suppose que : P = nk=0 ak Xk , Q = m
b Xk où a n = 0 et où bm = 0. Par conséquent, n = deg P
k=0 k
et m = deg Q. Quitte à échanger le rôle de P et de Q, on peut supposer que n m . Soit l ∈ N. Notons cl le
coefficient d’indice l dans PQ. D’après la définition du produit de deux polynômes 21.2 et utilisant la remarque
suivant cette définition, on a :
l
si l < m + n
a b
k=0 k l −k
cl =
si l m + n
0
Nécessairement, deg (PQ) m +n . Mais le coefficient d’indice m +n dans PQ est an bm = 0 donc deg (P × Q) =
deg (P) + deg (Q).
Remarque 21.3
Si deg(P) = deg(Q) alors deg(P + Q) = max deg(P) ,deg (Q) .
P ROPOSITION 21.3
Intégrité de l’anneau des polynômes K [X]
Soient P, Q ∈ K [X].
P × Q = 0 =⇒ P = 0 ou Q = 0
Démonstration Si P × Q = 0 alors deg (P × Q) = −∞ = deg P + deg Q ce qui n’est possible que si deg P = −∞ ou deg Q = −∞ et
donc que si P = 0 ou Q = 0.
P ROPOSITION 21.4
Éléments inversibles de l’anneau K [X]
Les seuls éléments inversibles de l’anneau K [X] sont les polynômes de degré 0, c’est à dire les polynômes constants non
nuls.
Autrement dit, si P, Q ∈ K [X] et si P × Q = 1 alors il existe α ∈ K∗ tel que P = α et Q = α−1 .
Démonstration Soit P ∈ K [X] un polynôme inversible. Il existe alors un polynôme Q ∈ K [X] tel que : P×Q = 1. On a donc : deg P+
deg Q = 0. Cette égalité n’est possible que si deg P = deg Q = 0 et donc que si P est un polynôme constant non nul. Réciproquement,
si P est un polynôme constant non nul alors il est clair que P est inversible.
21.1.3
Valuation d’un polynôme
D ÉFINITION 21.5 ♥ Valuation d’un polynôme
Soit un polynôme P = a0 + .. . + a p X p ∈ K [X] non nul. On appelle valuation de P le plus petit entier k tel que ak = 0. On
le note v al (P).
Par définition, la valuation du polynôme nul est v al (0) = +∞
T HÉORÈME 21.5 ♥ Valuation d’un produit, valuation d’une somme
Soient P, Q ∈ K [X], on a :
val (P + Q)
min (val (P) , v al (Q))
val (P × Q) = val (P) + v al (Q)
770
21.1.4
Composition de polynômes
D ÉFINITION 21.6 ♥ Composition de deux polynômes
Soient deux polynômes P, Q ∈ K [X]. On suppose que P = a0 + a1 X + .. . + an Xn . On définit le polynôme composé de Q
par P, noté P ◦ Q, par :
n
P ◦Q =
a k Qk
k=0
P ROPOSITION 21.6
Soient deux polynômes non nuls P, Q ∈ K [X]. Alors :
deg(P ◦ Q) = deg(P) × deg(Q) .
Supposons que P = a0 + a1 X + ... + an X
deg Qn = n deg Q = deg P × deg Q car Q = 0.
Démonstration
21.1.5
n . Comme P = 0, on a a
n = 0. Alors P ◦ Q =
n a Qk et deg (P ◦ Q) =
k=0 k
Division euclidienne
D ÉFINITION 21.7 ♥ Divisibilité
Soient deux polynômes A, B ∈ K [X]. On dit que A divise B si et seulement si il existe Q ∈ K [X] tel que B = QA. On le
note A|B .
Exemple 21.1
– (X − 1) divise X2 − 2X + 1. En effet : X2 − 2X + 1 = (X − 1)2
– (X − 1) divise X2 − −1. En effet : X2 − 1 = (X − 1) (X + 1).
– (1 − X) divise 1 − Xn+1 . En effet : 1 − Xn+1 = 1 + X + X2 + .. . + Xn (1 − X).
P ROPOSITION 21.7
Polynômes associés Soient A, B ∈ K [X] deux polynômes non nuls. On a équivalence entre :
A|B et B|A.
∃λ ∈ K∗ :
B = λA
Deux tels polynômes sont dits associés.
Démonstration
⇒ Supposons que A|B et B|A. Alors il existe des polynômes Q1 ,Q2 ∈ K [X] tels que : A = Q1 B et B = Q2 A. On a alors : A =
(Q1 Q2 ) A ou encore : A (1 − Q1 Q2 ) = 0. Par intégrité de K [X] 21.3, comme A = 0, ceci n’est possible que si 1 − Q1 Q2 = 0 c’est à
dire si : Q1 Q2 = 1. Par conséquent, Q1 et Q2 sont des polynômes inversibles inverses l’un de l’autre. Appliquant la proposition
21.4, il existe α ∈ K∗ tel que Q1 = α et Q2 = α−1 . On a alors B = αA. A et B snt donc bien associés.
⇐ La réciproque est triviale.
T HÉORÈME 21.8 ♥ Division euclidienne
Soient A, B ∈ K [X] deux polynômes. On suppose que B = 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) de polynômes
de K [X] vérifiant :
A = BQ + R
deg(R) < deg(B)
Démonstration
Unicité Soient (Q1 ,R1 ) ∈ (K [X])2 et (Q2 ,R2 ) ∈ (K [X])2 tels que :
A = BQ1 + R1
et
deg (R1 ) < deg (B)
A = BQ2 + R2
deg (R2 ) < deg (B)
alors : B(Q1 − Q2 ) = R1 −R2 et donc, si Q1 −Q2 = 0 : deg (B(Q1 − Q2 )) = deg (R1 − R2 ) < deg B et par ailleurs : deg (B(Q1 − Q2 )) =
deg B + deg (Q1 − Q2 ) deg B ce qui constitue une contradiction. Si Q1 = Q2 alors R1 − R2 = 0 et R1 = R2 .
771
Existence La démonstrations se fait par récurrence sur n = deg A. Fixons pour toute la suite B = b0 + b1 X + ... + bm Xm avec
bm = 0 et pour tout n ∈ N, notons Pn la propriété :
A = BQ + R
Pn : pour tout A ∈ K [X] de degré n , il existe (Q,R) ∈ (K [X])2 tels que
deg (R) < deg (B)
• 1ère étape P0 , P1 , ..., Pm−1 sont vraies. Si A est un polynôme de degré n ∈ 1,m − 1 , il suffit de prendre Q = 0 et R = A. On
a bien : A = BQ + R et deg R = deg A = n < m .
• 2ème étape
Soit n
m.
• 3ème étape
Supposons que la propriété Pn est vraie. C’est notre hypothèse de récurrence et montrons que Pn+1 est vraie.
Soit A = a 0 + a 1 X + ... + an+1 Xn+1 un polynôme de degré n + 1. Posons A1 = A − abn+1 Xn−m B. A1 est un polynôme de degré
m
A1 = BQ1 + R1
n . On lui applique alors l’hypothèse de récurrence : il existe (Q1 ,R1 ) ∈ (K [X])2 tels que
deg (R1 ) < deg (B)
a
Q = Q1 + bn+1 Xn−m et R = R1 . On a :
. Posons
m
QB + R = Q1 +
• 4ème étape
a n+1
bm
Xn−m B + R1 = BQ1 + R +
a n+1
bm
Xn−m B = A1 +
a n+1
bm
Xn−m B = A
Le théorème est alors prouvé par application du théorème de récurrence.
Exemple 21.2
X3
−(X 3
+
+
X
X2 )
−X2
−(−X2
+
−
X
X)
2X
−(2X
+
1
+
+
1
2)
−1
X+1
X2 − X + 2
On a donc : X3 + X + 1 = (X + 1) X2 − X + 2 − 1 et deg(−1) = 0 < deg(X + 1) = 1.
21.1.6
Division selon les puissances croissantes
La division des polynômes suivant les puissances croissantes est hors programme.
T HÉORÈME 21.9 Division selon les puissances croissantes
Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K. On suppose que le terme constant de B n’est pas nul et on note p
un entier supérieur ou égal au degré de B. Il existe un unique couple de polynômes (Q,R) tels que A = BQ + X p+1 R et
degQ p .
Exemple 21.3 A = 1 + 3X + 2X2 − 7X3 , B = 1 + X − 2X2 p = 3. La présentation est celle de la division des nombres
décimaux lorsqu’on veut un quotient à 10−p . Le rôle de X étant joué par 10−1 .
1
+3X
+2X
+2X2
+4X2
+2X2
−7X3
−7X3
−3X3
−5X3
1
1
+4X4
+9X4
+X
+2X
−2X2
+2X2
−5X3
−10X5
Ce qui s’écrit :
1 + 3X + 2X2 − 7X3 = (1 + X − 2X2 ) (1 + 2X + 2X2 − 5X3 ) +X4 (9 − 10X) .
A
B
Q
R
Interprétation en termes de développements limités en zéro :
1 + 3x + 2x 2 − 7x 3
= 1 + 2x + 2x 2 − 5x 3 + o(x 3 ).
1 + x − 2x 2
Démonstration
• Unicité. On suppose l’existence de deux couples ( Q1 ,R1 ),(Q2 ,R2 ) résultat de la division selon les puissances croissantes de
A par B à l’ordre p , on va montrer qu’ils sont égaux. On dispose des égalités :
A = BQ1 + X p+1 R1 ,
A = BQ2 + X p+1 R2
772
donc
(1)
B(Q1 − Q2 ) = X p+1 (R2 − R1 ).
On regarde les valuations des deux membres. Par hypothèse val B = 0. Donc val B(Q1 −Q2 ) = val B+val (Q1 −Q2 ) = val (Q1 −
Q2 ). D’autre part val X p+1 (R2 −R1 ) p +1. Conclusion : Q1 −Q2 est un polynôme dont la valuation est supérieure au degré,
c’est donc le polynôme nul. Donc Q1 = Q2 et par suite R1 = R2 .
• Existence. Comme dans l’exemple, on va poser notre division, supposer qu’on a réussi à l’ordre p et passer à l’ordre p + 1.
A = a 0 + ·· · + a n−1 Xn−1 + a n Xn
et
B = b0 + ·· · + bn−1 Xn−1 + bn Xn
avec
b0 = 0
On raisonne donc par récurrence sur p . Si p = 0 :
A=
Q0 =
a0
B + X.R0
b0
a0
et on a bien deg Q0
b0
avec
R0 = a 1 −
a 0 b1
a 0 b2
a0 bn n−1
+ a2 −
X + ·· · + an −
X
b0
b0
b0
p.
On suppose maintenant le résultat vrai pour l’ordre p et montrons le à l’ordre p + 1. L’hypothèse de récurrence montre
l’existence d’un couple (Qp ,Rp ) tel que :
A = Qp B + X p+1 Rp
avec
deg Qp
p.
On applique la division selon les puissances croissantes à l’ordre 0 pour Rp et B :
∃λp ∈ K, ∃Rp+1 ∈ K[X]
R p = λp B + XRp+1
En remplaçant la valeur de Rp dans l’égalité au-dessus on obtient :
A = Qp B + X p+1 (λp B + XRp+1 )
Qp+1 = Qp + λp X p+1
et si
alors
A = Qp+1 B + X p+2 Rp+1
avec
deg Qp+1
p +1
Ce qu’il fallait vérifier.
21.2
Fonctions polynomiales
On cherche à démontrer que tout polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul. On peut le démontrer
par récurrence grâce au théorème de Rolle dans le cas où K = R ou Q. Dans le cas de C, il n’y a plus de théorème de
Rolle...
21.2.1
Fonctions polynomiales
D ÉFINITION 21.8 ♥ Fonctions polynomiales
Soit P = a0 + a1 X + . .. + an Xn ∈ K [X] un polynôme. On appelle fonction polynomiale associée à P la fonction donnée
par :
P:
K
x
−→
−→
K
a0 + a1 x + .. . + an x n
Nous noterons P le sous-espace vectoriel de F (K, K) des fonctions polynomiales.
Remarque 21.4
P est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de F (K, K)
P ROPOSITION 21.10
L’application
θ:
K [X]
P
−→
−→
F (K, K)
P
est un morphisme de K-espaces vectoriels et d’anneau. En particulier, si P, Q ∈ K [X] et si λ, µ ∈ K, on a :
λP + µQ = λP + µQ
P ×Q = P×Q
P ◦Q = P◦Q
De plus Im θ = θ (K [X]) = P.
Démonstration
21.2.2
Laissée en exercice.
Racines d’un polynôme
773
D ÉFINITION 21.9 ♥ Racine d’un polynôme
Soit P ∈ K [X] un polynôme. Soit α ∈ K. On dit que α est une racine de P si et seulement si P (α) = 0.
T HÉORÈME 21.11 ♥
Soient P ∈ K [X] un polynôme et α ∈ K un scalaire. On a équivalence entre :
α est une racine de P.
On peut factoriser P par X − α, c’est à dire : (X − α) |P.
Démonstration
⇒
Soit α une racine de P. Alors P (α) = 0. Par division euclidienne, il existe (Q,R) ∈ (K [X])2 tels que :
P = (X − α) Q + R
deg (R) < deg (X − α) = 1
On a alors deux possibilités, soit deg R = 0, soit deg R = −∞, c’est à dire R = 0. Montrons que la première n’est pas possible :
si on avait deg R = 0 alors il existerait γ ∈ K∗ tel que R = γ et on aurait : A = (X − α) Q + γ, mais alors : P = (X − α) Q + γ et
0 = P (α) = R (α) = γ = 0 ce qui est une contradiction. On a donc bien R = 0 et P = (X − α) Q.
⇐ Supposons que (X − α) |P. Alors il existe Q ∈ K [X] tel que P = (X − α) Q. Par conséquent : P = (X − α) Q et P (α) = 0 ce qui
prouve que α est une racine de P.
C OROLLAIRE 21.12
Si α1 , .. . , αp sont p racines distinctes d’un polynôme P ∈ K [X] alors le polynôme
p
(X − α1 ) .. . X − αp =
k=1
(X − αk )
divise P.
Démonstration
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre p de racines distinctes de P considérées.
La propriété vient d’être prouvée au rang 1 dans le théorème précédent.
Soit p > 1.
On suppose que la propriété est vraie au rang p −1 et prouvons-la au rang p . Soient α1 ,... , αp p racines de P. Par application
de l’hypothèse de récurrence, il existe B ∈ K [X] tel que : P = (X − α1 ) ... X − αp−1 B. Comme αp est une racine de P, on a :
0 = P (α) = αp − α1 ... αp − αp−1 B (α) .
Comme : ∀i ∈ 1, p − 1 , αi = αp , le nombre αp − α1 ... αp − αp−1 est non nul et donc nécessairement B (α) = 0,
c’est-à-dire αp est une racine de B. Appliquant le théorème précédent, il existe C ∈ K [X] tel que : B = X − αp C et donc
P = (X − α1 ) ... X − αp C. On a alors prouvé que (X − α1 ) ... X − αp divise P.
Le théorème est alors prouvé par application du principe de récurrence.
T HÉORÈME 21.13 ♥ Un polynôme non nul de degré
Soit P ∈ K [X] un polynôme non nul de degré
n admet au plus n racines
n . Si P admet au moins n + 1 racines distinctes alors P est nul.
Démonstration
Supposons qu’il existe α1 ,... , αn+1 n + 1 racines distinctes du polynôme P non nul de degré n . Appliquant le théorème précédent, le polynôme de degré n + 1 : (X − α1 ) ... (X − αn+1 ) divise P. Il existe donc B ∈ K [X] tel que :
P = B(X − α1 ) ... (X − αn+1 ). On a alors n = deg P = deg B + n + 1. Comme deg P 0, cette égalité n’est pas possible et donc notre
hypothèse de départ est absurde.
On en déduit :
T HÉORÈME 21.14 ♥
Tout polynôme qui admet une infinité de racines est le polynôme nul.
T HÉORÈME 21.15 ♥ Identification polynômes et fonctions polynomiales
L’application
θ:
K [X]
P
−→
−→
F (K, K)
P
qui envoie un polynôme sur sa fonction polynomiale associée est injective.
774
.
Démonstration Soit P et Q deux polynômes vérifiant θ(P) = θ(Q) soit P − Q = 0. P − Q possède donc une infinité de racines (tous
les éléments de K), ce qui n’est possible, d’après la proposition précédente, que si P − Q = 0.
Ce théorème permet de confondre polynômes et applications polynomiales. Attention, ceci est vrai à condition que K
contienne une infinité d’éléments, ce qui est bien notre cas car K = R ou C.
On convient désormais de confondre les notations P et P.
21.2.3
Schéma de Horner
C’est une façon de calculer les valeurs d’un polynôme en minimisant le nombre d’opérations, en particulier les multiplications. Soit P = a0 + a1 X + a2 X2 + a3 X3 + .. . + an−2 Xn−2 + an−1 Xn−1 + an Xn . On a P = a0 + X(a1 + X(a2 + X(a3 + .. . +
X(an−2 +X(an−1 + an X)). . .))) Donc pour calculer P(α) on initialise avec an ensuite on effectue une boucle : multiplier par
α puis ajouter le coefficient ak . Cet algorithme utilise n additions et n multiplications pour un polynôme de degré n .
On peut aussi obtenir le quotient de la division euclidienne de P par X − α : P = (X − α) Q + P(α) avec Q = b0 + b1 X + .. . +
bn−1 X n−1 . En effet, on a
P(X) − P(α) = (X − α)(bn−1 Xn−1 + .. . + b1 X + b0 )
an X n + . .. + a1 X + a0 − P(α) = (X − α)(bn−1 Xn−1 + .. . + b1 X + b0 )
an X n + .. . + a1 X + a0 − P(α) = bn−1 Xn + (bn−2 − αbn−1 )X n−1 + .. . + (b0 − αb1 )X − αb0
Par identification, on obtient le système ( d’inconnues b0 , b1 ,..., bn−1 ,P(α) ) :

bn−1




 bn−2 − αb n−1
. ..



b − αb1

 0
−αb0
=
=
=
=

bn−1




 bn−2
.. .
soit



a1
b

 0
a0 − P(α)
P(α)
an
an−1
=
=
an
an−1 + αbn−1
=
=
a1 + αb1
a0 + αb0
Autrement dit, les différents coefficients du polynôme quotient Q sont les nombres obtenus à chaque étape de la boucle.
21.2.4
Racines multiples
D ÉFINITION 21.10 ♥ Racine d’ordre p , racine multiple
Soient P ∈ K [X] un polynôme, α ∈ K, p ∈ N∗ .
• On dit que α est une racine d’ordre p (ou de multiplicité p ) de P si et seulement si (X − α)p divise P et (X − α)p+1
ne divise pas P.
• Si α est une racine d’ordre 1 de P, on dit que α est une racine simple de P.
• Si α est une racine d’ordre 2 de P, on dit que α est une racine multiple de P.
P ROPOSITION 21.16
Caractérisation de l’ordre d’une racine
Soient α ∈ K un scalaire et P ∈ K [X] un polynôme. On a équivalence entre :
α est une racine multiple de P d’ordre p .
Il existe Q ∈ K [X] tel que P = (X − α)p Q et Q (α) = 0.
Démonstration
⇒ Supposons que α est une racine multiple de P d’ordre p . Comme (X − α)p divise P, il existe Q ∈ K [X] tel que P = (X − α)p Q.
Montrons que Q (α) = 0. Si c’était le cas, alors α serait une racine de Q et il existerait Q ∈ K [X] tel que : Q = (X − α) Q . Par suite,
on aurait : P = (X − α)p+1 Q et (X − α)p+1 diviserait P, ce qui n’est, par hypothèse, pas possible. Donc Q (α) = 0.
⇐ Supposons qu’il existe Q ∈ K [X] tel que P = (X − α)p Q et Q (α) = 0. Pour montrer que α est une racine multiple de P d’ordre
p , il faut montrer que (X − α) p+1 ne divise pas P. Par division Euclidienne de Q par X − α, il existe A, B ∈ K [X] tels que :
Q = (X − α) A + B et deg B < deg (X − α) = 1. Par conséquent deg B 0 et comme α n’est pas une racine de Q, B est un polynôme
constant non nul. On a alors :
P = (X − α) p ((X − α) A + B) = (X − α) p+1 A + (X − α)p B
Par unicité du couple quotient-reste dans la division Euclidienne de P par (X − α)p , (X − α)p B est le reste de cette division et
comme B = 0, ce reste est non nul. Par conséquent, (X − α) p+1 ne divise pas P.
775
21.3
Polynômes dérivés
21.3.1
Définitions et propriétés de base
D ÉFINITION 21.11 ♥ Polynôme dérivé
Soit P = a0 + a1 X + · ·· + an Xn ∈ K [X] un polynôme. On définit le polynôme dérivé de P par :
P
=
a1 + 2a2 X + · ·· + nan Xn−1
=
k=1
n
kak Xk−1
Remarque 21.5
• Cette définition est purement algébrique.
• Elle coïncide avec la dérivée des fonctions polynomiales sur le corps K·
P ROPOSITION 21.17
Soit P ∈ K [X] un polynôme. On a :
Si deg(P) > 0 alors deg P = deg(P) − 1.
P est constant si et seulement si P = 0.
Démonstration
p
p−1
Si deg (P) = p > 0 alors P = k=0 ak Xk avec a p = 0 et P = k=0 kak Xk . Le coefficient de terme dominant de P est pa p
qui est non nul. Par conséquent deg P = p − 1.
Si P est constant, il est clair que P = 0. Réciproquement, si P n’est pas constant, alors deg P > 0 et deg P 0 ce qui prouve
que P est non nul.
P ROPOSITION 21.18
Linéarité de la dérivation
Soient P, Q ∈ K [X] deux polynômes et α, β ∈ K deux scalaires. On a :
αP + βQ = αP + βQ
Démonstration
Laissée en exercice.
P ROPOSITION 21.19
Dérivée d’un produit
Soient P, Q ∈ K [X] deux polynômes. On a :
Démonstration
Supposons que P =
(PQ)
k∈N a k X
=
=
=
21.3.2
(PQ) = P Q + PQ
k et Q =
+∞
i+ j =0
+∞
i+ j =0
k∈N bk X
k . On a donc : PQ =
+∞ a b Xi+ j et :
i+ j =0 i j
i + j a i b j Xi+ j −1 par linéarité de la dérivation
i a i b j Xi−1 X j +
+∞
j a i b j Xi X j −1
i+ j =0
P Q + PQ
Dérivées successives
D ÉFINITION 21.12 ♥ Polynôme dérivé d’ordre n
Soit P ∈ K [X] un polynôme. On définit par récurrence la dérivée n -ième (ou d’ordre n ) de P par :
• P(0) = P
• ∀n ∈ N,
P (n+1) = P(n)
776
Remarque 21.6
L’application
−→
−→
K [X]
P
Dn :
K [X]
P(n)
est linéaire comme composée de n applications linéaires.
T HÉORÈME 21.20 ♥ Formule de Leibniz pour les polynômes
Soient P, Q ∈ K [X] deux polynômes. On a :
(PQ)(n) =
Démonstration
n
n (n−k) (k)
P
Q
k=0 k
C’est la même démonstration que celle écrite pour les fonctions n fois dérivables.
Remarque 21.7
Xp
(n)
0
=
p
p!
X p−n = A n X p−n
(p−n )!
si n > p
sinon
T HÉORÈME 21.21 ♥ Formule de Taylor pour les polynômes
Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à n et a ∈ K. Alors :
P=
Démonstration
Soit P =
n
p
p=0 a p X =
n P (k) (a)
k=0
k!
(X − a)k
n
.
p=0 a p Qp
p−k .
• Soit p n . La formule est vraie pour le polynôme Qp = X p : en effet, Qp = pX p−1 ,... ,Q(k)
p = p(p − 1) ... (p − k + 1)X
• Maintenant, utilisant la formule du binôme de Newton :
Qp = X p = ((X − a) + a)p =
• En rajoutant des termes nuls, Qp =
• Par linéarité,
p
p
p
p!
p p−k
(X−a)k
(X−a)k (k)
a
a p−k =
Qp (a)
(X − a)k =
(p−k )!
k=0 k
k=0 k!
k=0 k!
k
(X−a)
n
Q(k)
p (a).
k!
k=0
n
P=
a p Qp
p=0
n
=
ap
p=0
n (X−a)k
k!
k=0
n (X−a)k
Q(k)
p (a)
n
a p Q(k)
p (a)
k=0 k! p=0
n (X−a)k
=
P(k) (a)
k=0 k!
=
L EMME 21.22
Soient r ∈ N∗ et P ∈ K [X]. Soit a ∈ K. Si a est une racine d’ordre r de P alors a est une racine d’ordre r − 1 de P .
Démonstration
Comme a est une racine d’ordre r de P, il existe Q ∈ K [X] tel que : P = (X − a)r Q et Q (a) = 0. Par conséquent :
P (a) = r (X − a)r −1 Q + (X − a)r Q = (X − a)r −1 r Q + (X − a) Q
=B
et on a clairement B(a) = 0 ce qui prouve le lemme.
777
T HÉORÈME 21.23 ♥ Caractérisation des racines multiples
Soient un polynôme P ∈ K [X], un scalaire a ∈ K et un entier r > 0. On a équivalence entre :
a est une racine d’ordre r de P.
P (a) = P (a) = . .. = P(r −1) (a) = 0 et P(r ) (a) = 0 .
Démonstration
⇒ Par application du lemme, si a est une racine d’ordre r de P alors a est une racine d’ordre 1 de P(r −1) et d’ordre 0 de P(r )
donc P (a) = P (a) = ... = P(r −1) (a) = 0 et P(r ) (a) = 0.
⇐ Réciproquement, si P (a) = P (a) = ... = P(r −1) (a) = 0 alors, par application de la formule de Talor :
P=
n P (k) (a)
k=0
k!
(X − a)k = (X − a)r B
avc B ∈ K [X] tel que B(a) = 0.
21.4
Polynômes scindés
21.4.1
Définition
D ÉFINITION 21.13 ♥ Polynôme scindé sur K
Soit P ∈ K [X] de degré p . On dit que P est scindé sur K si et seulement si il s’écrit :
p
P = a p (X − α1 ) .. . X − αp =
k=0
(X − αk )
où les scalaires αk ∈ K sont les racines de P comptées avec leur multiplicité et a p est le coefficient du terme dominant
de P.
21.4.2
Factorisation dans C [X]
B IO 19 Jean le Rond D’Alembert, né à Paris le 16 novembre 1717 et mort à Paris le 29 octobre 1783
Mathématicien Français. Il fut avec Diderot à l’origine de l’Encyclopédie qui
se voulait une synthèse et une vulgarisation des connaissances de l’époque.
Tous deux durent jouer à cache-cache avec la censure pour faire paraître cette
œuvre monumentale. D’Alembert abandonna le projet, fatigué des controverses et se consacra à la partie mathématique. Son œuvre fut considérable en
mécanique, astronomie et mathématiques. Il énonce le théorème fondamental de l’algèbre dans son Traité de dynamique en 1743. Musicien, il établit
l’équation des cordes vibrantes. Enfant trouvé sur les marches d’une église, il
n’eut pas droit aux obsèques religieuses, car considéré comme athée.
T HÉORÈME 21.24 ♥ théorème fondamental de l’algèbre
Soit P un polynôme de C [X] de degré 1 (c’est à dire non constant) alors P possède au moins une racine dans C.
Démonstration Admise. Il existe de nombreuses démonstrations. Aucune n’est assez élémentaire pour être exposée ici. La
première démonstration rigoureuse est due à Gauss (1799). Ce théorème est aussi appelé théorème de d’Alembert-Gauss.
Remarque 21.8
racine dans R.
Attention ce théorème est faux dans R. Par exemple P = X2 +1 est non constant mais ne possède aucune
778
C OROLLAIRE 21.25
Factorisation dans C [X]
Tout polynôme de C [X] est scindé sur C, c’est à dire tout polynôme P ∈ C [X] s’écrit sous la forme :
P = a p . (X − α1 ) .. . X − αp
où les scalaires αk sont les racines de P comptées avec leur multiplicité et a p est le coefficient du terme dominant de P.
Démonstration Supposons que P est non constant, sinon la propriété est évidente. Soient α1 ,... , αp ∈ C la liste des racines de P.
p
Par application du théorème fondamental de l’algèbre cette liste est non vide. Il existe Q ∈ C [X] tel que : P = i=1 X − αi Q. Si
Q est non constant alors il possède une racine α et α est nécessairement aussi une racine de P. Donc la liste α1 ,... , αp n’était pas
celle de toutes les racines de P, ce qui constitue une contradiction. Par conséquent, Q est un polynôme constant et la proposition est
démontrée.
Une formulation équivalente du théorème fondamental de l’algèbre est la suivante :
T HÉORÈME 21.26 ♥
Un polynôme P ∈ C [X] de degré p possède p racines (comptées avec leur multiplicité) dans C.
Démonstration
Exemple 21.4
C’est un corollaire immédiat de la proposition précédente.
Soit P = Xn − 1. ∀k ∈ 0,n − 1 , ζk = exp 2ikπ
est une racine de P. Donc P est divisible par chacun
n
des X − ζk . Comme les ζk sont distincts deux à deux, P est aussi divisible par leur produit : Xn − 1 = K
n−1
k=0
(X − ζk ). En
regardant les degrés des deux memebres, on a degK = 0 c’est-à-dire que K est constant. En regardant les coefficients
dominants on en déduit que K = 1 et donc Xn − 1 =
21.4.3
n−1
k=0
(X − ζk ) .
Interlude : polynômes conjugués
D ÉFINITION 21.14 ♥ Polynômes conjugués
Soit P = a0 + a1 X + · ·· + a p X p ∈ C [X] un polynôme. On appelle conjugué de P le polynôme, noté P̄ et donné par :
P = a0 + a1 X + · ·· + a p X p
P ROPOSITION 21.27
Soient P, Q ∈ C [X] et r ∈ N. On a :
P +Q = P+Q
P ×Q = P×Q
∀α ∈ C,
(r )
P(r ) = P
P (α) = P α
P ∈ R [X] ⇐⇒ P = P.
Démonstration
Démontrons par exemple le troisième point : Soient α ∈ C et P = a0 + a1 X + ... + a p X p ∈ C [X]. On a :
P (α) = a 0 + a 1 α + ... + a p αp
et
d’où l’égalité.
L EMME 21.28
Soient P ∈ C [X] et r ∈ N∗ . Soit α ∈ C. On a équivalence entre :
α est une racine de P d’ordre r .
α est une racine de P d’ordre r .
779
P α = a 0 + a 1 α + ... + a p αp
Démonstration
On a la série d’équivalences :
α est une racine d’ordre r de P
⇔
⇔
⇔
P (α) = P (α) = ... = P(r −1) (α) = 0
P α = P α = ... = P(r −1) α = 0
et
et
α est une racine d’ordre r de P
P(r ) (α) = 0
P(r ) α = 0
C OROLLAIRE 21.29
Soit P ∈ R [X] un polynôme à coefficients réels. Si α est une racine d’ordre r de P alors α est aussi une racine d’ordre r
de P.
Démonstration
Remarque 21.9
21.4.4
Exercice laissé au lecteur.
On en déduit que les racines de P ∈ R [X] sont ou réelles ou complexes conjuguées.
Factorisation dans R [X]
P ROPOSITION 21.30
Factorisation dans R [X]
Soit P ∈ R [X] un polynôme non nul. Alors, il existe α1 ,. . . , αr ∈ R non nécessairement deux à deux distincts,
(b1 , c1 ) , .. . , (b s , c s ) ∈ R2 non nécessairement deux à deux distincts tels que ∆l = bl2 − 4cl < 0 pour tout ∈ 1, s , et
λ ∈ R∗ tels que :
r
P=a
k=1
s
(X − αk )
=1
X2 + b X + c
Démonstration Appliquant la proposition 21.25, P est scindé sur C et ses racines sont, d’après la dernière remarque, ou réelles
ou complexes conjuguées :
P = a (X − α1 ) ... X − αp (X − ω1 ) X − ω1 ... (X − ωr ) X − ωr
où α1 ,... , αp ∈ R sont les racines réelles de P et où ω1 ,ω1 ,... , ωr ,ωr sont les racines complexes conjuguées de P. On a, pour tout
k ∈ 1,r :
X − ωk
X − ωk = X2 − ωk + ωk + ωk ωk = X2 − 2Re ωk X + ω2k = X2 − p k X + qk
avec p k , qk ∈ R. Le résultat annoncé s’en suit.
21.4.5
Polynômes irréductibles
D ÉFINITION 21.15 ♥ Polynôme irréductible
Soit P ∈ K [X] un polynôme non constant . On dit que P est irréductible si et seulement si :
P = QH =⇒ Q ∈ K
ou
H∈K
Autrement dit : un polynôme P non constant est irréductible si et seulement si ses seuls diviseurs sont les polynômes
constants et les polynômes proportionnels à P.
P ROPOSITION 21.31
Les polynômes de degré 1 sont irréductibles
Soient α ∈ K un scalaire et P = (X − α) un polynôme de degré 1. Alors P est irréductible.
Démonstration Soit P un polynôme de degré 1. P est clairement non constant et si Q ∈ K [X] est un diviseurs de P alors il existe
H ∈ K [X] tel que : P = QH. Par conséquent : 1 = deg P = deg Q + deg H. Une des deux possibilités suivantes est alors vraie :
– deg Q = 1 et deg H = 0 donc Q est un polynôme proportionnel à P
– deg Q = 0 (et deg H = 1) et Q est un polynôme constant.
Par conséquent P est irréductible.
T HÉORÈME 21.32 ♥ Polynômes irréductibles de C [X]
Les polynômes irréductibles de C [X] sont les polynômes de degré 1.
Démonstration On vient de prouver que les polynômes de degré 1 sont irréductibles dans C [X]. Réciproquement, si P ∈ C [X] est
un polynôme irréducible de C [X], montrons qu’il est de degré 1. Si ce n’était pas le cas, alors comme P est non nul :
780
– soit deg P > 1 et par application du théorème fondamental de l’algèbre P possède au moins une racine α dans C. Par conséquent
le polynôme X − α divise P et donc P n’est pas irréductible.
– soit deg P = 0 et dans ce cas P est un polynôme constant non nul et ne peut être irréductible.
Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction et la proposition est alors prouvée par l’absurde.
T HÉORÈME 21.33 ♥ Polynômes irréductibles de R [X]
Les polynômes irréductibles de R [X] sont :
• les polynômes de degré 1.
• les polynômes de degré 2 dont le disciminant est négatif.
Démonstration
– Les polynômes de degré 1 sont irréductibles dans R [X].
– Soit P ∈ R [X] un polynôme de degré 2. Il est irréducible si et seulement si il n’est pas divisible par un polynôme de degré 1, c’est
à dire si et seulement si il n’a pas de racine réelle, ce qui est équivalent à dire que son discriminant est strictement négatif.
– Tout polynôme de degré 3 se décompose, d’après le théorème de factorisation dans R [X] 21.30, comme le produit de polynômes
de degré 1 et de degré 2. Un tel polynôme ne peut être irréductible.
21.4.6
Relations coefficients-racines
D ÉFINITION 21.16 ♥ Polynômes symétriques élémentaires
Soit α1 , .. . , αp ∈ K. On définit les polynômes symétriques élémentaires en les variables α1 ,. . . , αp par :
σ1
σ2
=
=
..
.
σp
Plus précisément, pour tout k ∈ 1, p
σk =
=
α1 + · ·· + αp
αi 1 αi 2
i 1 <i 2
α1 · · · αp
i 1 <···<i k
αi 1 · · · αi k
T HÉORÈME 21.34 ♥ Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme
Soit P = a0 + a1 X + · ·· + a p X p ∈ K [X] un polynôme scindé de degré p . Soient α1 ,. . . , αp ∈ K les p racines de p . On a :
∀k ∈ 1, p ,
Démonstration
σk = (−1)k
a p−k
ap
On démontre ces égalités en identifiant les coefficients des monômes de même degré dans l’égalité :
P = a p (X − α1 ) ... X − αp = a p X p − σ1 X p−1 + σ2 X p−2 + ... + (−1)p σp
Remarque 21.10
– En particulier, si p = 2, on a :
P = a2 (X − α2 )(X − α1 ) = a2 X2 − (α1 + α2 ) X + α1 α2
et donc :
σ1 = α1 + α2 = −
a1
a2
et
σ2 = α1 α2 =
a0
a2
– Si p = 3,
P = a3 (X − α1 )(X − α2 )(X − α3 ) = a3 X3 − (α1 + α2 + α3 ) X2 + (α1 α2 + α2 α3 + α1 α3 ) X − α1 α2 α3
et :
σ1 = α1 + α2 + α3 = −
a2
a3
,
σ2 = α1 α2 + α2 α3 + α1 α3 =
781
a1
a3
et
σ3 = α1 α2 α3 = −
a0
a3
21.5
Arithmétique dans K [X]
Nous allons définir le PGCD, comme pour les entiers relatifs. Ici il y a une difficulté : que veut dire "plus grand" ? Cela
veut dire avec le plus grand degré. Mais que se passe-t-il lorsqu’il y a deux polynômes de même degré en concurrence ?
Cela ne se produit pas (ou alors ils sont associés) et c’est ce qu’il faut établir.
21.5.1
Diviseurs communs
P ROPOSITION 21.35 Propriétés de la divisibilité
– La relation « divise » est transitive : ∀(P, Q, R) ∈ K [X]3 , [P | Q et Q | R] =⇒ P | R.
– Soit P,Q,R ∈ K [X] et U, V ∈ K [X]. Alors : [P | Q et P | R] =⇒ P | (UQ + VR)
On note pour la suite d(P, Q) = d(P) ∩ d(Q) l’ensemble des diviseurs communs à P et à Q.
Remarque : Si D ∈ d(P, Q), alors tout polynôme associé à D est aussi dans d(P, Q).
P ROPOSITION 21.36
Soit P un polynôme non nul. d(P, 0) = d(P).
P ROPOSITION 21.37
Si P = BQ + R alors d(P, Q) = d(Q,R).
Démonstration En effet, si D ∈ d(P,Q), alors D | Q et D | P − BQ donc D | Q et D | R donc D ∈ d(Q,R) : d(P,Q) ⊂ d(Q,R).
Inversement, si D ∈ d(Q,R), alors D | Q et D | BQ + R donc D | Q et D | P donc D ∈ d(P,Q) : d(Q,R) ⊂ d(P,Q).
T HÉORÈME 21.38
Soient P,Q ∈ K [X],non tous les deux nuls, il existe un unique polynôme D ∈ K [X] unitaire, tel que d(P, Q) = d(D).
Démonstration Unicité : Si D1 et D2 sont solutions alors d(D1 ) = d(D2 ) donc D1 | D2 et D2 | D1 donc ils sont associés. Ils sont
unitaires et associés donc égaux.
Existence : Quitte à échanger P et Q on peut supposer Q = 0. Posons P0 = P et P1 = Q. On réalise ensuite les divisions euclidiennes
suivantes tant que les restes obtenus sont non nuls (c’est l’algorithme d’Euclide) :
avec deg P2 < deg P1 ,
P0
=
P1 B1 + P2
...
Pm−2
Pm−1
Ce processus s’arrête puisqu’on a une suite strictement décroissante
Pm−1 Bm−1 + Pm avec deg Pm < deg Pm−1 ,
Pm Bm + 0.
d’entiers naturels deg P1 > deg P2 > .... On a alors d(P,Q) = d(P0 ,P1 ) = ... = d(Pm ,0) = d(Pm ) Le polynôme D unitaire associé à
Pm convient.
21.5.2
=
=
PGCD, théorèmes d’Euclide et de Bezout
D ÉFINITION 21.17 ♥ PGCD
Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls.
L’ensemble des diviseurs communs à admet un polynôme unitaire de plus grand degré ∆ noté δ = P ∧ Q. C’est le plus
grand commun diviseur des polynômes P et Q.
Démonstration On choisit ∆ unitaire pour que d(P,Q) = d(∆) avec les notations du paragraphe précédent. C’est dire que tout
diviseur commun à P et à Q divise ∆. Donc son degré est inférieur ou égal à celui de D.
Par ailleurs l’algorithme d’euclide fournit un moyen de calculer le PGCD : on normalise le dernier reste non nul.
P ROPOSITION 21.39
P ∧ Q = Q ∧ P. Si un polynôme divise deux polynômes, alors il divise leur PGCD.
T HÉORÈME 21.40 Bezout
Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls, soit ∆ = P ∧ Q.
Il existe deux polynômes U et V tels que
PU + QV = ∆.
782
Exemple 21.5 P = X5 − 2X3 − 2X2 − 3X − 2, Q = X5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X. On descend avec l’algorithme d’Euclide :
dividende
X 5 − 2X3 − 2X2 − 3X − 2
quotient
=
1
diviseur
×
(X 5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X)
reste
+
(3X4 − 4X3 + X2 − 4X − 2)
5
10
5
10
(− X3 − X2 − X − )
9
9
9
9
(18X2 + 18)
1
5
( X− )
× (3X4 − 4X3 + X2 − 4X − 2) +
3
9
27
5
10
5
10
3X4 − 4X3 + X2 − 4X − 2 = (− X + 18) × (− X3 − X2 − X − ) +
5
9
9
9
9
5
10
5
10
5
5
− X3 − X2 − X −
= (−
X− ) ×
(18X2 + 18)
+
9
9
9
9
162
81
2
2
Le dernier reste non nul est 18X + 18, qui normalisé, donne X + 1 comme PGCD de P et Q.
X 5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X
=
0
Maintenant on remonte en partant de l’avant-dernière ligne :
27
5
10
5
10
X + 18) × (− X3 − X2 − X − ) d’où
5
9
9
9
9
27
1
5
2
4
3
2
5
4
3
2
18X + 18 = 3X − 4X + X − 4X − 2 − (− X + 18) × X − 3X + 2X − 3X + X − ( X − ) × (3X4 − 4X3 + X2 − 4X − 2)
5
3
9
18X2 + 18 = 3X4 − 4X3 + X 2 − 4X − 2 − (−
d’où
27
1
5
27
X + 18) × ( X − )) × (3X4 − 4X3 + X2 − 4X − 2) − (− X + 18) × (X 5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X) soit
5
3
9
5
9
27
18X2 + 18 = (− X 2 + 9X − 9) × (3X4 − 4X3 + X2 − 4X − 2) − (− X + 18) × (X 5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X) d’où
5
5
9 2
27
2
5
3
2
18X + 18 = (− X + 9X − 9) × (X − 2X − 2X − 3X − 2)
− (X 5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X) − (− X + 18) × (X 5 −
5
5
3X4 + 2X3 − 3X2 + X) soit
9
9
27
18X2 + 18 = (− X 2 + 9X − 9) × (X 5 − 2X3 − 2X2 − 3X − 2) + (− X2 + 9X − 9) − (− X + 18) × (X 5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X)
5
5
5
9 2
9 2 82
2
5
3
2
18X + 18 = (− X + 9X − 9) × (X − 2X − 2X − 3X − 2) + (− X + X − 27) × (X 5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X)
5
5
5
En divisant par 18 :
1
1
1
1
1
1
(− X 2 + X − )(X5 − 2X3 − 2X2 − 3X − 2) + ( X2 − X − )(X5 − 3X4 + 2X3 − 3X2 + X) = X2 + 1.
10
2
2
10
5
2
18X2 + 18 = (1 + (−
Démonstration L’exemple montre comment conduire la démonstration. Par récurrence sur n = min(degP,deg Q).
Si n = −∞ ou n = 0 la propriété est claire. Pour fixer les idées deg P deg Q = n + 1. On écrit la division euclidienne de P par Q,
P = BQ+R avec deg R n . En utilisant la propriété de récurrence, il existe deux polynômes U1 et V1 de K [X] tels que ∆ = U1 Q+V1 R
avec ∆ = Q ∧ R. Or ∆ = P ∧ Q d’une part, et d’autre part ∆ = U1 Q + V1 (P − BQ) = V1 P + (U1 − BV1 )Q. D’où le résultat en penant
U = V1 et V = U1 − BV1 .
Remarque 21.11 Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls. S’il existe trois polynômes U, V et D
vérifiant PU + QV = D, alors D est un multiple de ∆ = P ∧ Q.
En effet on écrit P = P1 ∆ et Q = Q1 ∆. On obtient alors D = (P1 U + Q1 V)∆ donc ∆ | D.
P ROPOSITION 21.41
Si C est unitaire alors AC ∧ BC = C(A ∧ B).
Démonstration Posons ∆ = AC ∧ BC et D = A ∧ B. On a DC | AC et DC | BC donc DC | ∆.
Dans l’autre sens D = AU + BV donc DC = ACU + BCV d’où ∆ | DC.
21.5.3
Polynômes premiers entre eux
D ÉFINITION 21.18 ♥ Polynômes premiers entre eux
Soient P et Q deux polynômes de K [X].
On dit que P et Q sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
P ROPOSITION 21.42 Bezout
Soient P et Q deux polynômes de K [X].
P et Q sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux polynômes U et V de K [X] tels que
PU + QV = 1.
Démonstration Dans un sens c’est le théorème de Bezout déjà vu. Dans l’autre sens, comme PU +QV = 1 on en déduit que P ∧Q
divise 1. Il n’y a qu’un seul polynôme unitaire qui divise 1, c’est 1 lui-même.
783
P ROPOSITION 21.43 Lemme de Gauss
Si P,Q et R sont trois polynômes vérifiant
P | QR
P ∧Q = 1
alors P | R.
Démonstration La condition P ∧ Q = 1 permet d’écrire une relation de Bezout : PU + QV = 1 qui multipliée par R donne PUR +
QRV = R. Mainteant la condition P | QR assure l’existence d’un polynôme A tel que AP = QR et donc PUR + APV = P(UR+ AV) = R
et donc P divise R.
P ROPOSITION 21.44
P
Q
Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls et soit D = P ∧ Q. et sont des polynômes et ils sont
D
D
premiers entre eux.
Démonstration
On écrit P = P1 D et Q = Q1 D. On a
P
Q
= P1 et
= Q1 . De plus
D
D
D = P ∧ Q = P1 D ∧ Q1 D = D(P1 ∧ Q1 )
puisque D est unitaire. Ceci établit le résultat (K [X] est intègre).
P ROPOSITION 21.45
Si un polynôme P est premier avec Q1 et avec Q2 alors il est premier avec Q1 Q2 .
Démonstration On écrit une relation de Bezout pour (P,Q1 ) : PU1 + Q1 V1 = 1 puis une autre pour (P,Q2 ) : PU2 + Q2 V2 = 1. On
effectue le produit de ces deux égalités : P2 U1 U2 + PU1 Q2 V2 + PU2 Q1 V1 + Q1 Q2 U1 U2 = 1 soit P(PU1 U2 + U1 Q2 V2 + U2 Q1 V1 ) +
Q1 Q2 (U1 U2 ) = 1, ce qui donne le résultat.
Autre démonstration : Soit D un diviseur commun à P et à Q1 Q2 . D est premier avec Q1 , En effet, soit d diviseur commun à Q1 et
D. Comme d | D et D | P, on a d | P et donc d diviseur commun à P et Q donc deg d = 0. Maintenant d’après le lemme de Gauss,
D | Q1 Q2 et D ∧ Q1 = 1 donc D | Q2 , donc D | P ∧ Q2 , ce qu’il fallait démontrer.
P ROPOSITION 21.46
Si un polynôme P est premier avec Q1 ,Q2 ,. . . , Qm alors il est premier avec leur produit.
Démonstration
Par une récurrence sans malice.
C OROLLAIRE 21.47
Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls et premiers entre eux. Alors
• Pour tout entier m , P est premier avec Qm .
• Pour tous entiers m et n , Pn est premier avec Qm .
21.5.4
PPCM
P ROPOSITION 21.48
PQ
Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls et soit D = P ∧Q.
est un polynôme, multiple commun
D
à P et à Q.
Démonstration
On écrit P = P1 D et Q = Q1 D. On a
PQ
= P1 Q = PQ1 ce qui établit le résultat.
D
P ROPOSITION 21.49
Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls et soit D = P ∧ Q.
Tout multiple commun à P et à Q est multiple de
PQ
.
D
Démonstration Soit M un multiple commun à P et à Q. On écrit M = AP = AP1 D = BQ = BQ1 D. Après simplification par D on
a AP1 = BQ1 avec P1 et Q1 premiers entre eux. Maintenant P1 divise BQ1 et P1 ∧ Q1 . Donc d’après le lemme de Gauss, P1 | B.
Autrement dit, on peut écrire B = B1 P1 . Donc M = BQ1 D = B1 P1 Q1 D = B1
Cette propriété permet d’énoncer la
PQ
. Ce qu’il fallait démontrer.
D
D ÉFINITION 21.19 ♥ PPCM
Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls.
L’ensemble des polynômes de K [X] multiples communs de P et Q admet un polynôme unitaire de plus petit degré µ
noté : µ = P ∨ Q. C’est le plus petit commun multiple des polynômes P et Q.
784
ainsi que la
P ROPOSITION 21.50
Soient P et Q deux polynômes de K [X] non tous les deux nuls.
(P ∧ Q) × (P ∨ Q) est associé à PQ.
ce qui fournit un procédé de calcul au PPCM de deux polynômes.
21.5.5
Polynômes irréductibles
Où l’on revient vers les polynômes irréductibles. Nous avions vu quels étaient les polynômes irréductibles de C [X] ou
ceux de R [X]. Le théorème fondamental de l’algèbre permet de décomposer tout polynôme de C [X] ou R [X] en produit de
facteurs irréductibles. Mais qu’en est-il des polynômes irréductibles de Q [X] ? Nous ne répondrons pas à cette (difficile)
question, mais nous allons établir un résultat à la fois plus général et plus élémentaire (il se passe du théorème fondamental
de l’algèbre que nous avons dû admettre). C’est le pendant pour les polynômes de la décomposition en facteurs premiers.
P ROPOSITION 21.51
Soient P et Q deux polynômes irréductibles de K [X]. P et Q sont soit associés, soit premiers enre eux.
Démonstration Soit D = P ∧ Q. Comme D | P et que P est irréductible, alors D = 1 ou D est associé à P. Dans le deuxième cas,
comme D | Q et que Q est irréductible, alors D = 1 (impossible) ou D est associé à Q. Donc P est associé à Q.
T HÉORÈME 21.52 Décomposition en produit de facteurs irréductibles.
Soit P un polynômes de K [X] non nul.
Il existe α ∈ K∗ , il existe m ∈ N, m polynômes P1 ,. . . , Pm unitaires et irréductibles tels que
m
P=α
Pk .
k=1
α, m sont uniques et les Pk sont uniques à l’ordre près.
Démonstration
m
• Unicité : On suppose P = α
k=1
n
Pk = β
Q .
=1
Déjà, α est égal au coefficient dominant de P, ainsi que β. Donc α = β.
Pour établir que m = n et que la liste des Pk égale celle des Q nous allons raisonner par récurrence sur min(m,n). Pour fixer
n
les idées, m
n . Si m = 0 alors
m+1
Supposons donc que
k=1
Pk =
=1
n
Q . Comme deg Q > 0, on a bien n = 0.
n
Q avec n
=1
m + 1. Prenons Pm+1 . Pm+1 divise
Q . D’après la proposition précédente,
=1
il n’y a que deux possibilités : soit Pm+1 est premier avec chacun des Q soit il est associé à l’un d’entre eux. Le prmier cas
ne se présente pas, car si Pm+1 était premier avec chacun des Q il serait premier avec leur produit ce qui n’est pas possible
(deg p 1 1). Reste donc le second cas. Il existe 0 ∈ 1,n tel que Pm+1 soit associé à Q 0 auquel cas ces deux polynômes m
unitaires - sont égaux. On en déduit que
k=1
Pk =
Q . Maintenant, en utilisant la propriété de récurrence u rang m , on en
1
n
= 0
déduit que m = n − 1 et que les (Pk )1 k m sont les (Q ) = 0 . Ce qu’il fallait démontrer.
• Existence : Elle se démontre par récurrence sur le degré. Tout polynôme non nul de degré 1 est soit constant, soit irréductible.
On considère donc un polynôme non nul. Soit il est irréductible et il n’y a rien à faire, soit il peut s’écrire comme produit de deux
polynômes de degré strictement inférieur et alors on applique la propriété de récurrence à chacun de ces deux polynômes.
Le chapitre fut copieux. Pour s’en convaincre, il convient de jeter un coup d’œil au diagramme :
785
Chapitre
22
Fractions rationnelles
Pour bien aborder ce chapitre
Les fractions rationnelles sont aux polynômes ce que les nombres rationnels de Q sont aux entiers relatifs de Z. On
construit ainsi un corps contenant l’anneau des polynômes. Cette construction peut s’adapter à tous les anneaux intègres.
Elle ne sera qu’évoquée dans les lignes qui suivent.
Comme les polynômes, les fractions rationnelles sont des objets abstraits, plus algébriques qu’analytiques. Par exemple
la dérivation est purement formelle.
L’essentiel est de savoir calculer avec les fractions rationnelles, et ce ne sont pas les calculs qui manquent.
Vous devrez donc apprendre un certain nombre de techniques qui pourront vous éviter de vous noyer. Après quoi, vous
verrez en fin de chapitre des applications surprenantes des fractions rationnelles.
Lapartie la plus utilitaire de ce chapitre reste l’application au calcul de primitives.
22.1
Fractions rationnelles
Dans tout ce chapitre K désigne le corps R ou C .
22.1.1
Définition
D ÉFINITION 22.1 ♥ Fractions rationnelles
Une fraction rationnelle est un « quotient » de deux polynômes P,Q ∈ K[X]. On la note F(X) =
P(X)
. On note K (X)
Q(X)
l’ensemble des fractions rationnelles.
22.1.2
Égalité de deux fractions
On dit que deux fractions
P1
P2
et
sont égales si et seulement si
Q1
Q2
P1 Q2 = P2 Q1 .
Autrement dit
P1
P2
et
sont des écritures d’une même fraction.
Q1
Q2
Remarque 22.1
Si δ = P ∧ Q, alors P = P1 δ et Q = Q1 δ avec P1 ∧ Q1 = 1 et alors QP = QP11δδ = QP11 . On peut également
diviser au numérateur et au dénominateur par le coefficient dominant du polynôme Q1 . Dans la suite, on considérera
donc uniquement des fractions rationnelles de la forme F = QP avec P ∧ Q = 1 et Q un polynôme unitaire.
22.1.3
Polynômes
On assimile les polynômes P de K[X] aux fractions
fraction nulle
0
de K (X).
1
P
de K (X). En particulier le polynôme nul de K[X] est assimilé à la
1
812
22.1.4
Opérations sur les fractions
On peut définir la somme et le produit de deux fractions rationnelles par les formules suivantes :
F1 (X) =
et
F1 + F2 =
P1 (X)
,
Q1 (X)
F2 (X) =
P1 Q2 + P2 Q1
Q1 Q2
P2 (X)
Q2 (X)
F1 F2 =
P1 P2
.
Q1 Q2
Les sommes ou produits de fractions ne dépendent pas des écritures choisies.
Muni de ces lois, K (X),+, × est un corps commutatif. K[X] en est un sous-anneau.
22.1.5
Degré d’une fraction
D ÉFINITION 22.2 ♥ Degré d’une fraction rationnelle
Soit une fraction rationnelle F =
P
∈ K (X). On appelle degré de F :
Q
degF = degP − degQ ∈ Z
On vérifie que la notion de degré d’une fraction rationnelle ne dépend pas de l’écriture choisie.
On vérifie que le degré des fractions rationnelles prolonge le degré des polynômes, c’est-à-dire que
degP = deg
K[X]
P
.
1
K(X)
P ROPOSITION 22.1
On a les mêmes propriétés que pour le degré des polynômes :
deg(F1 + F2 )
max(degF1 ,degF2 ),
deg(F1 F2 ) = degF1 + degF2
Lorsque F = 0, le degré de F est un entier relatif. Lorsque F = 0, degF = −∞.
D ÉFINITION 22.3 ♥ Zéros, pôles d’une fraction rationnelle, fonctions rationnelles
P
∈ K (X). On rappelle que P et Q sont premiers entre eux. Les racines de P s’appellent les zéros de F et les
Q
racines de Q les pôles de F. Si P désigne l’ensemble des pôles de F, on peut définir la fonction rationnelle associée à
F:

 K \ P −→ K
P(x)
F:

x
−→
Q(x)
Soit F =
Remarque 22.2 Un pôle a ∈ K de la fraction F = QP , est dit de multiplicité k ∈ N , lorsque le scalaire a est un zéro de
multiplicité k du polynôme Q.
D ÉFINITION 22.4 ♥ Dérivée d’une fraction rationnelle
Soit une fraction rationnelle F =
P
∈ K (X). On définit formellement la dérivée de cette fraction rationnelle par la formule
Q
F =
P Q − PQ
Q2
813
Remarque 22.3
On associe la fonction rationnelle dérivée associée F : K \ P → K . Cette fonction dérivée coïncide
avec la dérivée usuelle de la fonction F lorsque K = R . On vérifie aussi que cette dérivée des fractions prolonge celle des
polynômes.
22.2
Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle
P ROPOSITION 22.2 ♥ Partie entière d’une fraction rationnelle
Soit une fraction rationnelle F =
A
∈ K (X). Il existe un unique couple (E, G) ∈ K [X] × K (X) tel que
B
F = E+G
degG < 0
Le polynôme E est appelé la partie entière de la fraction F.
Démonstration
• Unicité.
On suppose que F = E1 + G1 = E2 + G2 avec E1 ,E2 ∈ K [X] et G1 ,G2 ∈ K (X) avec deg G1 < 0 et deg G2 < 0. On en déduit
E1 − E2 = G2 − G1 . Donc deg(G2 − G1 ) < 0 soit deg(E 1 − E2 ) < 0. Le seul polynôme qui a un degré négatif est le polynôme nul.
Donc E1 = E2 et donc G2 = G1 . Ce qu’il fallait vérifier.
• Existence.
R
on effectue la division euclidienne du polynôme A par le polynôme B : A = BE + R avec deg R < deg B et alors F = E + avec
E ∈ K [X] et G =
B
R
de degré strictement négatif.
B
P ROPOSITION 22.3 ♥ Partie polaire d’une fraction rationnelle
Soit une fraction rationnelle F =
A
∈ K (X) et un pôle a ∈ K de multiplicité k :
B
B = (X − a)k B avec B(a) = 0
Il existe un unique couple (C,D) ∈ K [X]2 de polynômes tels que
F=
La fraction rationnelle
A2
(X − a)k
C
B
+
D
(X − a)k
et deg(D) < k
est appelée partie polaire de la fraction F relative au pôle a .
Démonstration
• Unicité.
C
On écrit F = 1 +
D1
C2
D2
C − C2
D2 − D1
avec deg(D1 ) < k et deg(D2 ) < k . On en déduit que 1
et donc
=
+
=
B
(X − a)k
B
(X − a)k
B
(X − a)k
(C1 − C2 )(X − a)k = (D2 − D1 )B. On en déduit que a est une racine d’ordre au moins k du polynôme (D2 − D1 )B donc du
polynôme (D2 − D1 ) puisque B(a) = 0. a est une racine d’ordre k d’un polynôme de degré < k : Ce polynôme est nul. D2 = D1
et par suite C1 = C2 . Ce qu’il fallait vérifier.
• Existence.
Dans un premier temps on ne s’occupe pas du degré de D : Comme B(a) = 0, B et X − a sont premiers entre eux. Il en est donc
de même pour B et (X − a)k . D’après la propriété de Bézout, il existe deux polynômes U et V vérifiant
A(X) = U(X)(X − a)k + V(X)B(X).
Dans un deuxième temps on s’occupe du degré de D : On effectue la division euclidienne de V par (X − a)k . Il existe deux
polynômes Q et D avec deg D < k tels que
V = Q(X − a)k + D.
En remplaçant V , on obtient A = (U + Q)(X − a)k + DB, ce qui donne le résultat en prenant C = U + Q.
P ROPOSITION 22.4 ♥ Coefficient associé à un pôle simple
814
Si une fraction rationnelle F =
P
est de degré < 0 avec Q(X) = (X − a)V(X), où V(a) = 0, la partie polaire de la fraction F
Q
λ
relativement au pôle simple a est de la forme X−a
:
F=
λ
U
+
X−a V
(22.1)
C’est le résultat précédent dans le cas particulier k = 1.
Remarque 22.4
Pour trouver le scalaire λ, on peut :
• Multiplier (22.1) par (X − a), puis faire x = a dans la fonction rationnelle associée. On trouve que : λ =
• Utiliser la formule de Taylor pour Q, et obtenir λ =
P(a)
.
V(a)
P(a)
. Cette formule est très utile lorsqu’il est difficile de trouver
Q (a)
le quotient V du polynôme Q par (X − a).
22.2.1
Décomposition en éléments simples dans C(X)
T HÉORÈME 22.5 ♥ Décomposition dans C (X)
Soit une fraction rationnelle F =
P
∈ C (X), avec la décomposition du polynôme Q en éléments irréductibles qui s’écrit :
Q
Q = (X − a1 )α1 .. . (X − an )αn
Alors la fraction F s’écrit de façon unique sous la forme
λ1α1
λ11
λ12
+
+ · ·· +
+ · ·· +
X − a1 (X − a1 )2
(X − a1 )α1
λnαn
λn1
λn2
+
+
+ · ·· +
X − an (X − an )2
(X − an )αn
F=E+
où la partie entière E ∈ C [X] est un polynôme nul, ou de degré deg(P) − deg(Q) et où les coefficients λi j ∈ C sont
complexes.
Démonstration
• Unicité.
On part de l’écriture
λ1α1
λ11
λ12
+
+ ·· · +
+ ·· · +
X − a 1 (X − a 1 )2
(X − a 1 )α1
λnαn
λn1
λn2
+
+
+ ·· · +
X − a n (X − a n )2
(X − a n )αn
F=E+
et on réduit chaque partie polaire au même dénominateur :
F=E+
D1 (X)
Dn (X)
+ ·· · +
(X − a 1 )α1
(X − a n )αn
Chaque polynôme Dk = λk1 (X − ak )αk −1 + ·· · + λkαk vérifie deg(Dk ) < αk . D’après la proposition 22.3, les polynômes Dk sont
uniques. Il en est de même des coefficients λk p ,1 p αk qui sont les coordonnées du polynôme Dk dans la famille libre
(X − a k )αk −p .
• Existence.
La proposition 22.3 utilisée jusqu’à épuisement des parties polaires donne
F=E+
D1 (X)
Dn (X)
+ ·· · +
(X − a 1 )α1
(X − a n )αn
avec deg(Dk ) < αk . La fraction rationnelle E est une fraction sans pôle, c’est donc un polynôme. Comme la fraction
D1 (X)
Dn (X)
+ ·· · +
(X − a 1 )α1
(X − a n )αn
815
est de degré strictement négatif, E est donc la partie entière de F.
Il ne reste plus qu’à obtenir les coefficients λk p ,1 p αk qui sont les coordonnées du polynôme Dk dans la famille génératrice
(X − a k )αk −p .
Remarque 22.5
Tous les coefficients λkαk sont différents de zéro.
Exercice 22.1
Décomposer les fractions rationnelles F(X) =
X−4
1
et G(X) = n
dans C (X).
(X − 1)(X + 1)X
X −1
Solution : Pour chaque fraction, tous les pôles sont simples.
Pour F, en multipliant par X − a où a vaut successivement 1,−1 et 0, on trouve :
X−4
−3/2 −5/2 4
=
+
+ .
(X − 1)(X + 1)X X − 1 X + 1 X
x −4
de deux façons différentes on
(x − 1)(x + 1)x
−3/2 −5/2 4
+
+ + o x1 . Ce qui est bien cohérent. Cette
et d’autre part : f (x) =
x
x
x
En effectuant un développement limité à l’infini à l’ordre 1 de f (x) =
trouve d’une part : f (x) = o x1
vérification simple et rapide est à retenir.
P(X)
P(a)
on utilise λa =
. Les pôles sont les exp 2ikπ
,0 k n − 1.
n
Q(X)
Q (a)
exp 2ikπ
exp 2ikπ
n−1
1
n
n
2ikπ
n
n−1
. On en déduit n
Q(X) = X − 1, Q (X) = nX
, Q exp n
=
=
n
X − 1 k=0 n X − exp 2ikπ
Pour F(X) =
.
n
Recherche des coefficients associés aux pôles multiples
On suppose que F(X) =
P
avec degF < 0 et Q(X) = (X − a)n V(X) avec (V(a) = 0). La décomposition de F s’écrit alors
Q
F=
λ1
λ2
λn
U(X)
+
+ · ·· +
+
2
n
(X − a) (X − a)
(X − a)
V(X)
(22.2)
– En multipliant (22.2) par (X − a)n et en faisant x = a , on trouve λn ;
λn
à F, et on recommence pour trouver λn−1 etc ;
(X − a)n
P1 (Y)
– Si n 3, on fait le changement de variables Y = X − a , F(Y) = n
, et on effectue une division selon les puissances
Y V1 (Y)
croissantes (ou un DL(0, n − 1)) à l’ordre n − 1 :
– Si n est petit, (n
2), on retranche
P1 = V1 (a0 + a1 Y + · ·· + an−1 Yn−1 ) + R avec val(R)
On a alors :
F(Y) =
n
a0
a1
an−1
+ n−1 + · ·· +
+ .. .
n
Y
Y
Y
et on trouve les coefficients λ1 = an−1 , λ2 = an−2 ,. . . .
Exercice 22.2
Décomposer dans C (X) les fractions rationnelles F(X) =
X5 + 1
X+1
et G(X) =
.
X(X − 1)2
(X − 1)4 X
Solution : Pour F, on commence par déterminer la partie entière en posant la division euclidienne de X5 + 1 par
X(X − 1)2 . On trouve X5 + 1 = (X 2 + 2X + 3)X(X − 1)2 + 4X2 − 3X + 1. On obtient donc E(X) = X2 + 2X + 3. Donc F(X) =
A
B
C
.
+
+
X (X − 1)2 X − 1
On trouve A = 1 par multiplication par X. Pour la partie polaire relative à 1, on pose X = 1+Y. En utilisant les techniques
(1 + y)5 + 1
= (2 + 5y)(1 − y) + o(y) = 2 + 3y + o(y). D’où B = 2 et C = 3. Finalement,
des développements limités :
1+ y
X5 + 1
1
2
3
= X 2 + 2X + 3 + +
+
.
X(X − 1)2
X (X − 1)2 X − 1
Autre méthode, en utilisant le fait qu’il n’y a qu’un seul pôle d’ordre 2 :
X 2 + 2X + 3 +
816
4X2 − 3X + 1
A
B
C
= X2 + 2X + 3 + +
+
. On
X(X − 1)2
X (X − 1)2 X − 1
détermine A = 1 comme précédemment, et B = 2 en multipliant par (X −1)2 . Ensuite en écrivant le développement limité
4x 2 − 3x + 1
1
2
+
à l’infini à l’ordre 1 de f 1 (x) =
. On trouve d’une part : f 1 (x) = o x4 et d’autre part : f 1 (x) = +
x(x − 1)2
x (x − 1)2
C
1 C
= + + o x1 . D’où 1 + C = 4 et C = 3.
x −1 x x
A
B
C
D
E
On écrit G(X) = +
. On a A = 1 facilement. Pour la partie polaire relative à 1, on
+
+
+
4
3
2
X (X − 1)
(X − 1)
(X − 1)
X−1
2+ y
2+ y
1
= 1+
=
pose x = 1 + y . g (1 + y) = 4
. On détermine donc un développement limité à l’ordre 3 de
y (1 + y)
1+ y
1+ y
2
3
3
2 − y + y − y + o(y ). D’où B = 2, C = −1, D = 1, E = −1. On vérifie après coup que A + E = 1 + (−1) = 0, le coefficient
de x1 dans le développement limité à l’infini à l’ordre 1 de g (x).
X+1
1
2
1
1
1
= +
−
+
−
Finalement,
.
(X − 1)4 X X (X − 1)4 (X − 1)3 (X − 1)2 X − 1
On détermine la partie entière et on écrit F(X) = X2 + 2X + 3 +
Remarque 22.6 Trois astuces à retenir pour obtenir des relations entre coefficients :
– multiplier par x p et faire x → +∞ (ou prendre la partie entière des fractions résultantes) ;
– Utiliser la parité éventuelle de la fraction ;
– Donner une valeur particulière à x (x = 0).
Exercice 22.3
Décomposer dans C (X) les fractions rationnelles F(X) =
X+2
X
et G(X) = 2
.
2
2
(X − 1) (X − 2)
(X − 1)2
A
B
C
D
. On pose x = 1 + y ,
+
+
+
(X − 1)2 (X − 1) (X − 2)2 (X − 2)
3+ y
3+ y
on a F(1 + y) = 2
et on détermine un développement limité à l’ordre 1 de
= (3 + y)(1 + 2y) + o(y) =
y (y − 1)2
(y − 1)2
2
3 + 7y + o(y). D’où A = 3 et B = 7. On détermine C = 4 en calculant F(X)(X − 2) en 2. En écrivant le développement
limité à l’infini à l’ordre 1 de F(x) on obtient B + D = 0 soit D = −7.
X+2
3
7
4
7
Finalement,
.
=
+
+
−
2
2
2
2
(X − 1) (X − 2)
(X − 1)
(X − 1) (X − 2)
(X − 2)
A
B
C
D
On écrit la décomposition à priori : G(X) =
. On pose x = 1 + y , on a G(1 + y) =
+
+
+
(X − 1)2 (X − 1) (X + 1)2 (X + 1)
1+ y
1+ y
1− y
1
1
= (1+ y)
+o(y) = +o(y). D’où A =
et on détermine un développement limité à l’ordre 1 de
2
2
2
y (2 + y)
(2 + y)
4
4
4
A
B
C
D
A
B
C
+
+
+
=−
+
−
+
et B = 0. On écrit aussi G(X) = −G(−X) = −
(−X − 1)2 (−X − 1) (−X + 1)2 (−X + 1)
(X + 1)2 (X + 1) (X − 1)2
D
.
(X − 1)
1
D’après l’unicité de l’écriture de la décomposition en éléments simples, C = −A = − et B = A = 0. Finalement,
4
X
1
1
1
=
−
.
(X2 − 1)2 4 (X − 1)2 (X + 1)2
Solution :
22.2.2
On écrit la décomposition à priori : F(X) =
Décomposition en éléments simples dans R(X)
Une fraction rationnele de R(X) est aussi dans C (X). On peut comme telle lui appliquer le théorème 22.5. Comme ses
pôles non réels sont conjugués deux à deux, on peut additionner les parties polaires correspondant à ces pôles conjugués
pour obtenir :
T HÉORÈME 22.6 ♥ Décomposition dans R (X)
Soit F =
P
∈ R (X), où la décomposition en facteurs irréductibles dans R [X] du dénominateur s’écrit :
Q
Q = (X − a1 )α1 .. . (X − an )αn (X 2 + b1 X + c1 )β1 .. . (X 2 + b p X + c p )αp
817
Alors la fraction F s’écrit de façon unique :
λ1α1
λ11
λ12
+
+ · ·· +
+ · ·· +
X − a1 (X − a1 )2
(X − a1 )α1
λnαn
λn1
λn2
+
+
+ · ·· +
+
2
X − an (X − an )
(X − an )αn
µ1β1 X + δ1β1
µ11 X + δ11
µ12 X + δ12
+
+ 2
+ · ·· +
+ · ·· +
2
2
X + b1 X + c1 (X + b1 X + c1 )
(X 2 + b1 X + c1 )β1
µpβp X + δpβp
µp1 X + δp1
µp2 X + δp2
+ 2
+ 2
+ · ·· +
2
X + b p X + c p (X + b p X + c p )
(X 2 + b p X + c p )βp
F=E+
où la partie entière E ∈ R[X] est un polynôme nul ou de degré degP − degQ, et tous les λi j , µi j , δi j sont des réels.
Le premier groupe est formé d’éléments simples de première espèce et le second groupe d’éléments simples de seconde
espèce.
– La recherche de la partie entière et des coefficients des éléments simples de première espèce se fait comme précédemment ;
– On peut utiliser une décomposition dans C (X) et regrouper les éléments simples correspondant aux pôles conjugués
pour obtenir les éléments simples de seconde espèce ;
– Si X2 + pX + q = (X − a)(X − a), on peut multiplier la décomposition par (X2 + pX + q)k et faire x = a , puis x = a ;
– Utiliser les remarques précédentes pour trouver des relations entre coefficients.
Exercice 22.4
1
1
X
Décomposer dans R (X) les fractions rationnelles F(X) = 2n
, G(X) = 2
et H(X) = 2
.
2
2
2
X
Solution : On a déjà vu la décomposition sur C : F(X) =
−1
(X + X + 1)
exp 2ikπ
1 n−1
2n
2n k=−n X − exp 2ikπ
(X + 1) (X − 1)
. On regroupe les pôles conjugués
2n
qui correspondent aux valeurs de k opposées. Restent k = −n , (pôle −1) et k = 0, (pôle 1). Enfin
exp 2ikπ
2n
X − exp 2ikπ
2n
+
exp − 2ikπ
2n
X − exp − 2ikπ
2n
=
2 cos kπ
X−2
n
X2 − 2 cos kπ
n X+1
. Donc


2 cos kπ
X−2
n−1
1
1 
1
1
n
.
=
−
+
+
X2n − 1 2n
X + 1 X − 1 k=1 X2 − 2 cos kπ X + 1
n
Un jour l’Empereur voulut engager un conseiller qui soit aussi sage que savant. À cette fin il fit réunir tous les prétendants
au poste dans une pièce fermée par une lourde porte sur laquelle était une serrure aussi imposante que complexe. Il leur
fit savoir que le premier qui passerait cette porte serait nommé mais qu’ils devaient prendre garde à ne pas bloquer la
serrure auquel cas tous seraient livrés à leur sort.
Tous les prétendants se mirent fébrilement à observer, à mesurer la serrure, à effectuer de longs et savants calculs pour
percer le mystère du mécanisme. Tous sauf un qui méditait dans un coin de la pièce, insensible au brouhaha. Alors
que l’excitation était à son comble parmi les doctes savants, l’adepte du zen se leva, alla droit sur la porte, en tourna la
poignée et s’en alla.
La serrure G(X) est déjà un élément simple. Les Empereurs et les interrogateurs sont parfois facétieux.
AX + B
CX + D
E
F
+ 2
+
+
. On s’occupe de la partie polaire rel(X 2 + 1)2
X +1
(X − 1)2 X − 1
1+ y
ative au pôle 1. On pose y = x − 1, H(1 + y) =
. On détermine un développement limité à l’ordre 1 de
((1 + y)2 + 1)2 y 2
1+ y
1+ y
1
1
1
=
+ o(y) = (1 − y) + o(y). D’où E = et F = − .
((1 + y)2 + 1)2 y 2 4(1 + y 2
4
4
4
i
=
Calcul de A et B : On multiplie par (X2 + 1)2 et on calcule la valeur des deux membres en i . Ai + B =
(i − 1)2
i
i
1
1
=
= − . D’où A = 0 et B = − .
−1 + 2i + 1 −2i
2
2
1
1
X
1
1
+
=
Calcul de C et D : On soustrait −
à chaque membre. Or
2 (X 2 + 1)2
(X 2 + 1)2 (X − 1)2
2 (X 2 + 1)2
1
X2 + 1
1
=
. Maintenant on multiplie par (X2 +1)2 et on calcule la valeur des deux mem2
2
(X − 1)2
2(X2 + 1)(X − 1)2
2 (X + 1)
On écrit la décomposition à priori : H(X) =
818
1
1
i
1
=
= . D’où C = et D = 0.
2
2(i − 1)
−4i 4
4
X
1/2
X/4
1/4
1/4
=− 2
+
+
−
Finalement, 2
.
(X + 1)2 (X − 1)2
(X + 1)2 X2 + 1 (X − 1)2 X − 1
bres en i . Ci + D =
Exercice 22.5
Décomposer dans R (X) la fraction F(X) =
1
.
(X + 1)3 (X 2 + X + 1)2
A
B
C
DX + E
FX + G
. On s’oc+
+
+
+
(X + 1)3 (X + 1)2 X + 1 (X 2 + X + 1)2 X2 + X + 1
1
cupe de la partie polaire relative au pôle 1. On pose y = x+1, F(y −1) = 3
. On détermine un développement
y (1 − y + y 2 )2
1
limité à l’ordre 2 de
= 1 + 2y + y 2 + o(y 2 ). D’où A = 1, B = 2 et C = 1.
(1 − y + y 2 )2
1
Calcul de D et E : On multiplie par (X 2 + X + 1)2 et on calcule la valeur des deux membres en j . D j + E =
=
( j + 1)3
1
= −1. D’où D = 0 et E = −1.
1 + 3j + 3j 2 + 1
1
1
1
+ 2
=
Calcul de F et G : On soustrait − 2
à chaque membre. Or
(X + X + 1)2
(X + 1)3 (X 2 + X + 1)2
(X + X + 1)2
3
2
2
1
1
1
X + 3X + 3X + 2
(X + 2)(X + X + 1)
. Miracle ? Non. Comme on a
+1 =
=
(X2 + X + 1)2 (X + 1)3
(X 2 + X + 1)2
(X + 1)3
(X + 1)3 (X 2 + X + 1)2
transformé le pôle d’ordre 2 en pôle d’ordre 1, on est sûr que la factorisation existe ! Maintenant on multiplie par
j +2
X 2 + X + 1 et on calcule la valeur des deux membres en j . F j + G =
= −( j + 2). D’où F = −1 et G = −2.
( j + 1)3
1
1
2
1
1
X+2
Finalement,
.
=
+
+
−
−
(X + 1)3 (X2 + X + 1)2 (X + 1)3 (X + 1)2 X + 1 (X 2 + X + 1)2 X2 + X + 1
Solution : On écrit la décomposition à priori : F(X) =
Exercice 22.6
Utiliser la décomposition de la fraction F(X) =
1
pour trouver la limite de la suite de terme général
X(X + 1)(X + 2)
n
Sn =
1
k=1 k(k + 1)(k + 2)
1/2
1
1/2
−
+
. On peut donc écrire
X
X+1 X+2
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
. La somme S n se télescope en
. La limite de S n
F(k) =
−
−
−
1−
−
−
2 k k +1
2 k +1 k +2
2
n +1
2 2 n +2
1
égale donc .
4
Solution :
Tous les pôles sont simples, et on obtient simplement F(X) =
Exercice 22.7
a. Soit f la fonction arctan. Décomposer f (x) dans C (X), puis utiliser cette décomposition pour calculer explicitement f (n) (x). En déduire les zéros de f (n) .
1
.
1 − 2X cos ϑ + X2
1 − X cos ϑ
c. Calculer les dérivées successives de G =
.
1 − 2X cos ϑ + X2
b. Calculer les dérivées successives de F =
Solution :
a. f (x) =
1
1
=
x 2 + 1 2i
1
1
−
.
x −i x +i
(−1)n−1 (n − 1)!
1
1
.
−
n
2i
(x − i )
(x + i )n
n−1
n
n
(−1)
(n − 1)! (x + i ) − (x − i )
1
On peut écrire f (n) (x) =
. Le polynôme Pn (X) =
((X + i )n − (X − i )n ) est réel,
2
n
2i
(x + 1)
2i
de degré n − 1. Son coefficient dominant égale n . Les racines sont les solutions de (x + i )n = (x − i )n , soit x +
En dérivant n − 1 fois cette égalité, on obtient f (n) (x) =
i = exp 2ikπ
(x − i ), k = 0, .. . ,n − 1, soit pour k = 1, .. . ,n − 1,
n
x=i
exp 2ikπ
+1
n
exp 2ikπ
−1
n
=i
ikπ
exp ikπ
n + exp − n
exp ikπ
− exp − ikπ
n
n
=
cotan kπ
. Ces n −1 racines sont distinctes car la fonction cotan est strictement décroissante sur ]0;π[. Ce sont donc
n
les n − 1 racines de Pn . Donc f (n) (x) =
(−1)n−1 n! n−1
kπ
x − cotan
(x 2 + 1)n k=1
n
819
b. F(X) =
−1
1
1
(−1)n (n − 1)!
.
Donc
−
F(n−1) (x) =
2i sin ϑ X − e iϑ X − e −iϑ
2i sin ϑ
X − e −iϑ
n
− X − e iϑ
n
n
. Le polynôme
1 − 2X cos ϑ + X2
n
n
−iϑ n
iϑ n
est de degré n − 1. Ses racines sont les solutions de z − e −iϑ = z − e iϑ soit z − e −iϑ =
X−e
− X−e
−i(ϑ+kπ/n)
i(ϑ+kπ/n)
e
−e
sin(ϑ + kπ/n)
e 2ikπ/n z − e iϑ . Soit z 1 − e 2ikπ/n = e −iϑ − e iϑ e 2ikπ/n , soit z =
=
,k =
−ikπ/n
ikπ/n
sin(kπ/n)
e
−e
1, . .. ,n − 1.
n
n
Comme le coefficient dominant de X − e −iϑ − X − e iϑ
égale −2i n sin ϑ on en déduit que F(n−1) (x) =
(−1)n−1 n!
n−1
k=1
X−
sin(ϑ+kπ/n)
sin(kπ/n)
n
1 − 2X cos ϑ + X2
c.
Exercice 22.8
n
Soit un polynôme P =
.
ak Xk de degré n à coefficients réels n’admettant que des racines réelles simples.
k=1
a. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle F =
P
.
P
b. En déduire que ∀x ∈ R , P (x)P(x) P (x)2 .
c. En déduire que le polynôme (P )2 − PP" n’a aucune racine réelle.
d. Vérifier que ∀k ∈ {1,. .. , n − 1}ak−1 .ak+1
ak2
Solution :
a. Comme les racines (xk )1 k n de P sont simples on peut écrire
d’où
n
P (X)
1
.
=
P(X) k=1 X − xk
n
P (X)
λk
P (xk )
=
= 1,
. On calcule λk =
P(X) k=1 X − xk
P (xk )
b. On dérive les deux membres (en dehors des pôles) pour obtenir
galité reste vraie pour les racines de P.
n
P (x)P(x) − P (x)2
1
=−
< 0. L’iné2
P (x)
(x
−
x k )2
k=1
c. Donc les seules racines réelles de (P )2 − PP" ne peuvent être que les racines de P. Mais si xk est racine de
PP" − (P )2 , alors ak serait aussi racine de P et donc racine double de P ce qui est impossible.
d. D’après le théorème de Rolle, P est aussi un polynôme à coefficients réels n’admettant que des racines réelles
simples. Il en est de même de sa dérivée k − 1-ième. On en déduit que ∀x ∈ R , P(k+1) (x)P(k−1) (x) P(k) (x)2 . En
particulier pour x = 0, P(k+1) (0)P(k−1) (0) P(k) (0)2 , soit (k + 1)!ak+1 (k − 1)!ak−1 (k!)2 ak2
donc ak+1 ak−1
22.2.3
ak2
k2
k(k + 1)
ak2 .
Moralité
• On peut traiter les parties polaires séparéments.
• Il est déconseillé de soustraire la partie entière.
Traduction du théorème d’existence et unicité : Pour obtenir les coefficients, tous les coups sont permis !
• Pour les pôles simples : multiplication par (X − a) et valeur en a , ou P/Q lorsqu’on ne connaît pas explicitement la
fraction.
• Pour les pôles multiples : Division suivant les puissances croissantes ou développement limité.
• Exploiter la parité ou plus généralement les symétries.
• Regarder le comportement à l’infini.
• Prendre une valeur particulière.
820
Chapitre
25
Calcul matriciel
Pour bien aborder ce chapitre
Tout est dit dans le théorème 24.21 page 908 du chapitre 24...si on se fixe une base e = e 1 ,. . . , e p de E et une base
f = f 1 , .. . , f q de F alors une application linéaire u ∈ L(E,F) est entièrement déterminée par les composantes des vecteurs
u (e i ) dans la base f . Ces p q scalaires définissent complètement u . Il est tentant de les représenter dans un tableau. Si on
q
note, pour tout j ∈ 1, p , u e j = i=1 ai j f j alors on peut écrire :










u (e1 )
u ej
u ep
a11
a1 j
a1p
ai1
ai j
aip
aq1
aq j
aqp










f1
fi
fq
Ce tableau est la matrice de u dans les bases e de E et f de G. Se posent alors des questions naturelles :
Si on effectue cette manipulation pour deux applications linéaires u et v , comment se calcule la matrice correspondante à αu + βv ? On verra qu’on peut définir une addition entre les matrices et une multiplication par un scalaire.
Avec ces deux lois, l’ensemble des matrices (de même taille) possède une structure de K-espace vectoriel.
Si u et v sont deux endomorphismes de E, quel est le lien entre la matrice de u ◦ v et celles de u et v ? Pour
l’expliciter, on définira le produit entre les matrices.
Peut-on calculer le rang d’une application linéaire facilement à partir de sa matrice dans des bases données ? La
réponse est oui et l’outil est le pivot de Gauss.
Peut-on par un procédé calculatoire déterminer si un endomorphisme est inversible à partir de sa matrice dans des
bases données ? La réponse est là aussi oui et l’outil consistera en le déterminant.
Pour un endomorphisme inversible, existe-t’il un procédé permettant de calculer la matrice de son inverse ? Cet
outil existe et il est donné par la comatrice.
Si on prend d’autres bases e et f de E et F, peut-on calculer la matrice de u dans ces nouvelles bases en fonction
de sa matrice dans les bases initiales ? La réponse est encore positive et on mettra en place des formules de
changement de bases.
Enfin, pour un endomorphisme u ∈ L (E), existe-il une base de E dans laquelle la matrice de u prend une forme
simple et facile à manipuler ? La réponse sera donnée en spé dans le chapitre sur la réduction des endomorphismes.
Au niveau historique, on peut indiquer qu’au 3e siècle, le mathématicien chinois Liu Hui résolvait les systèmes linéaires
ayant jusqu’à 6 inconnues. Il représentait ces systèmes grâce à des tableaux et avait découvert la méthode qu’on appelle
maintenant pivot de Gauss pour les résoudre. Au 17e siècle, toujours pour résoudre des systèmes linéaires, Leibniz invente le déterminant. Cette notion est approfondie par Cramer qui découvre soixante ans plus tard la méthode qui porte
maintenant son nom. Il faut attendre le 19e siècle, pour que la notation matricielle sous forme de « rectangle (ou carré) de
nombres » apparaisse. Gauss découvre le produit matriciel en dimension 3 et indique que la formule se généralise dans
les autres dimensions mais sans détailler. Sylvester, le premier, dénomme ces rectangles de nombres du mot « matrix ».
Dans tout ce chapitre, m, n, p, q, r sont des entiers positifs, K désigne le corps R des réels ou le corps C des complexes. E
et F sont des K-espaces vectoriels.
949
25.1
Matrice à coefficients dans K
25.1.1
Définitions
D ÉFINITION 25.1 ♥ Matrice
Soit K un corps et q, p ∈ N∗ . On appelle matrice à q lignes et p colonnes à coefficients dans K toute application :
A:
1, q × 1, p
i, j
−→
−→
K
ai,j
que l’on note :
colonne j


a1p
 a11







aq1




 ligne i



aij
aqp
– Le coefficient de A qui se trouve à l’intersection de la i -ème ligne et de la j -ème colonne est noté ai,j ou [A]i,j :
i représente l’indice de ligne.
j représente l’indice de colonne.
– On dit aussi que A est une matrice q × p ou une matrice q, p à coefficients dans K.
– On note Mq,p (K) l’ensemble des matrices à q lignes et p colonnes à coefficients dans K.
Notation 25.1 On notera aussi [A]i j le coefficient ai j de A.
D ÉFINITION 25.2 Vecteur ligne, vecteur colonne d’une matrice
Pour toute matrice A ∈ Mq,p (K) :


A=
.. .
a1,1
..
.
a1,p
..
.
.. .
.. .
a q,1
a q,p
on appelle, pour i , j ∈ 1, q × 1, p :
– i -ème vecteur ligne de A le p−uplet Li = ai,1 ,. . . , ai,p ∈ Kp .
– j -ème vecteur colonne de A le q−uplet C j a1, j ,. . . , a q,j ∈ Kq .



D ÉFINITION 25.3 Matrice ligne, matrice colonne
– Une matrice colonne est une matrice qui ne possède qu’une seule colonne.
– Une matrice ligne est une matrice qui ne possède qu’une seule ligne.
D ÉFINITION 25.4 ♥ Matrice nulle
On dit que A ∈ Mq,p (K) est la matrice nulle de Mq,p (K) si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. On la note :
0Mq,p (K) ou 0 lorsqu’aucune confusion n’est à craindre.
D ÉFINITION 25.5 ♥ Matrice carrée
Une matrice possédant autant de lignes que de colonnes est dite carrée. On note Mn (K) l’ensemble des matrices carrées
à n lignes et n colonnes.
D ÉFINITION 25.6 ♥ Matrice identité
On appelle matrice identité et on note In la matrice de Mn (K) donnée par :

1


0
In =  .
.
.
0
0
. ..
1
..
.
..
.
..
.
. ..
0
950
0

.. 
.

 ∈ Mn (K)

0
1
Tous ses coefficients sont nuls sauf ceux situés sur la diagonale et qui valent 1.
1
Exemple 25.2 I1 = 1 , I2 =
0
25.1.2

1
0
, I3 =  0
1
0

0
0.
0
1
0
1
L’espace vectoriel Mq,p (K)
On munit Mq,p (K) d’une addition et d’une multiplication par un scalaire. Le triplet Mq,p (K), +,. est alors un K-espace
vectoriel de dimension p q .
P ROPOSITION 25.1 ♥ Somme de matrices, multiplication d’une matrice par un scalaire
– Soient A = ai,j , B = bi,j ∈ Mq,p (K). On définit A + B comme étant la matrice C = ci,j ∈ Mq,p (K) donnée par :
∀ i , j ∈ 1, q × 1, p ,
ci,j = ai,j + bi,j .
– Soit A = ai,j ∈ Mq,p (K) et λ ∈ K. On définit λ · A comme étant la matrice D = di,j ∈ Mq,p (K) donnée par :
∀ i , j ∈ 1, q × 1, p ,
di,j = λai,j
Muni de ces deux lois Mq,p (K), +, · est un K−espace vectoriel.
Démonstration : Laissée au lecteur. On vérifie aisément les différents axiomes définissant un espace vectoriel.
Exemple 25.3
1
−2
−1
1
0
0
−2
−3
−1
2
0
1
1
=
1
0
−5
1
−2
−5
D ÉFINITION 25.7 ♥ Matrices élémentaires
Pour tout i ∈ 1, q et j ∈ 1, p on définit la matrice élémentaire Ei,j ∈ Mq,p (K) par :
colonne j

 0



Ei j = 



 0
0
1
0










ligne i
Tous les coefficients de la matrice élémentaire Ei,j sont nuls sauf celui à l’intersection de la i ème ligne et de la j ème
colonne qui vaut 1.
Exemple 25.4 Les matrices élémentaires de M2,3 (K) sont
E1,1 =
1
0
0
0
0
0
, E1,2 =
0
0
1
0
0
0
,E 1,3 =
0
0
0
0
1
0
,E 2,1 =
0
1
0
0
0
0
,E 2,2 =
0
0
0
1
0
0
,E 2,3 =
0
0
0
0
0
.
1
À titre d’exercice, et pour préparer le théorème suivant, montrer que cette famille de 6 matrices constitue une base de
M2,3 (K).
T HÉORÈME 25.2 ♥ Base canonique de Mq,p (K)
La famille formée par les matrices élémentaires Ei,j (i,j )∈ 1,q × 1,p est une base de Mq,p (K) appelée base canonique
de Mq,p (K). On en déduit que :
dim Mq,p (K) = q p
Démonstration
951
• Prouvons que cette famille est libre. Soient αi,j
Alors on a l’égalité :
i∈ 1,q ,j ∈ 1,p

α1,1
 .
 .
 .
αq,1
...
..
.
...
une famille de scalaires de K tels que :
α1,p
q
i=1
p
α E = 0.
j =1 i,j i,j

. 

..  = 0.
αq,p
Par identification des coefficients de ces deux matrices, on a : ∀i ∈ 1, q ,
∀ j ∈ 1, p ,
αi,j = 0 ce qui prouve la liberté de la
famille Ei,j .
• Montrons que cette famille est génératrice de Mq,p (K). Soit A = a i,j
∈ Mq,p (K). On a clairement : A =
i∈ 1,q ,j ∈ 1,p
q
i=1
25.1.3
p
a E . Ce qui prouve que la famille Ei,j
j =1 i,j i,j
est génératrice de Mq,p (K).
Produit matriciel
On définit maintenant, quand c’est possible, le produit de deux matrices. Le théorème 25.10 page 957 explicite le sens de
ce produit, il correspond en fait à la composition des applications linéaires.
D ÉFINITION 25.8 ♥ Produit matriciel
Soit A ∈ Mr,q (K) et B ∈ Mq,p (K). On définit AB comme la matrice C de Mr,p (K) définie par :
q
∀i ∈ 1,r
∀j ∈ 1, p
ci,j = [AB]i,j =
ai,k bk,j
k=1
colonne j
k
ligne i
b11
b1j
b1p
bk1
bkj
bkp
bq1
bqj
bqp
a11
a1k
a1q
c11
c1j
c1p
ai1
aik
aiq
ci1
cij
cip
ar1
ark
arq
cr1
crj
crp
Attention 25.5 On ne peut effectuer le produit de A ∈ Mr,q (K) et B ∈ Mq ,p (K) que si q = q !




1 −1
−1 −1 −1
−1
1
0
−1
4
2  et BA =
Exemple 25.6 Si A = 0 2  et B =
alors AB =  0
0 2 1
1
1 −3
−1 −5 −3
général, le produit AB peut exister sans que ce ne soit forcément le cas pour le produit BA.
3
. Remarquons qu’en
1
Il est souvent utile dans les exercices de savoir multiplier les matrices élémentaires. Pour ce faire introduisons le symbole
de Kronecker.
952
D ÉFINITION 25.9 ♥ Symbole de Kronecker
Pour tout i , j ∈ N, on définit le symbole de Kronecker δi,j par :
si i = j
sinon
1
δi,j =
0
T HÉORÈME 25.3 ♥♥♥ Produit de matrices élémentaires
Pour deux matrices élémentaires de Mn (K), on a la formule importante suivante qui donne leur produit :
Ekl E pq = δl p Ek q
Démonstration
Par un calcul direct.
P ROPOSITION 25.4 Règles de calculs avec les matrices
Quant les produit suivants sont possibles, pour des matrices A,B, C et des scalaires α, β :
Le produit matriciel est distributif à gauche par rapport à l’addition : C αA + βB = αCA + βCB.
Le produit matriciel est distributif à droite par rapport à l’addition : αA + βB C = αAC + βBC.
Démonstration
25.1.4
Le produit matriciel est associatif : (AB) C = A (BC).
Le produit matriciel admet la matrice In comme
élément neutre :AIn = In A = A.
Laissée au lecteur.
Transposition
D ÉFINITION 25.10 ♥ Transposée d’une matrice
On appelle transposée de A ∈ Mq,p (K) la matrice noté t A ∈ Mp,q (K) dont les colonnes sont formées par les lignes de
A. Autrement dit :
∀i ∈ 1, p ,
Remarque 25.1
t
∀j ∈ 1, q ,
A i,j = a j ,i
Transposer revient à échanger les lignes et les colonnes d’une matrice.

1
Exemple 25.7 Si A = 2
0

−3
1
7  alors t A =
−3
−4
2
7
0
.
−4
P ROPOSITION 25.5 ♥ La transposition est une symétrie de Mp,q (K)
L’application :
Mq,p (K) −→ Mp,q (K)
Φ:
A
−→
t
A
est un isomorphisme d’espaces vectoriels. En particulier, si A,B ∈ Mq,p (K) et si α, β ∈ K. Alors :
t t
A =A
et
t
αA + βB = αt A + βt B .
Démonstration : La linéarité ainsi que la relation t t A = A sont faciles à prouver. Pour la bijectivité, on propose deux méthodes :
– On montre facilement que, si A ∈ Ker Φ, on a t A = 0 et donc A = t t A = 0 et Ker Φ = {0}, θ est injective. Grâce à la formule du rang,
on en déduit qu’elle est aussi surjective et donc bijective.
– On peut aussi remarquer que Φ ◦ Φ = id ce qui prouve que Φ est bijective et égale à sa fonction réciproque.
Remarque 25.2
En prenant un peu d’avance sur le paragraphe 25.3.4, L’opération de transposition est une symétrie
par rapport à KerΦ − id = S n (K) parallèlement à KerΦ + id = An (K).
953
P ROPOSITION 25.11 ♥ Écriture matricielle de l’image d’un vecteur par une application linéaire
Soient :
E un K-espace vectoriel de dimension p et e = e 1 ,. . . , e p une base de E.
F un K-espace vectoriel de dimension q et f = f 1 ,. . . , f q une base de F.
alors :
u ∈ L (E,F).
Mat f (u (x)) = Mat f ←e (u) × Mate (x)
Autrement dit, si Y = Mat f (u (x)), A = Mat f ←e (u) et X = Mate (x), on a : Y = AX .
Démonstration
p
x u ej =
j =1 j
Posons A = ai,j ∈ Mq,p (K), X = x j ∈ Mp,1 (K) et Y = y i ∈ Mq,1 (K). On a : u (x) = u
p
x
j =1 j
q
a f =
i=1 i,j i
q
i=1
p
a x f =
j =1 i,j j i
q
y f . Par identification, on a bien :
i=1 i i
p
x e
j =1 j j
=
p
∀i ∈ 1, q ,
yi =
R2
(x − y, x + y + z)
v:
a i,j x j
j =1
ce qui prouve le résultat.
Exemple 25.12
– Soit deux applications linéaires
R3
(x, y, z)
u:
−→
−→
R2
(x, y)
R3
(x + y, x + 2y, x − y)
−→
−→
On note e la base canonique de R3 et f la base canonique de R2 .
1
1. On écrit Mat f ←e (u) =
1
−1
1

1
0
et Mate← f (v) = 1
1
1

1
2 .
−1
2. On écrit maintenant Mate←e (v ◦ u) et Mat f ← f (u ◦ v). On sait que

1
Mate←e (v ◦ u) = Mate← f (v) × Mat f ←e (u) = 1
1

1
1
2 ×
1
−1
et que
1
Mat f ← f (u ◦ v) = Mat f ←e (u) × Mate← f (v)× =
1
−1
1
−1
1

1
0 
× 1
1
1

2
0
= 3
1
0
3. Donnons l’expression analytique de u ◦ v et v ◦ u . On utilise le théorème 25.11.

2

D’une part 3
0
D’autre part
0
3
–
0
1
−2
−1
2
0
1
−2

1
0
2 =
3
−1

1
2
−1
−1
.
2
  

1
x
2x + z
2   y  = 3x + y + 2z  donc u ◦ v x, y, z = 2x + z,3x + y + 2z, −2y − z .
−1 z
−2y − z
x
−y
et v ◦ u x, y = −y,3x + 2y .
=
y
3x + 2y
25.3
Matrices carrées
25.3.1
Définitions
Rappelons qu’une matrice est carrée si et seulement si elle possède autant de lignes que de colonnes. L’ensemble des
matrices carrées de taille n est noté Mn (K).
P ROPOSITION 25.12 ♥
– (Mn (K) , +, ·) possède une structure d’espace vectoriel de dimension finie n 2 .
– (Mn (K) , +, ×) possède une structure d’anneau unitaire (non commutatif).
Démonstration Le premier point est un corollaire immédiat des propositions 25.1 et 25.2. On vérifie facilement les axiomes d’un
anneau pour (Mn (K) ,+,×).
958
Remarque 25.5 Comme (Mn (K) , +, ×) est un anneau, pour deux matrices A,B ∈ Mn (K), on pourra utiliser la formule
du binôme de Newton (voir le théorème 19.17 page 725) dès que A et B commutent, c’est-à-dire dès que AB = BA.




1 −1 1
0 −1 1
Exemple 25.13 Calculons les puissance de A = 0 1 −1. On remarque que A = I3 + B avec B = 0 0 −1.
0 0
1
0 0
0


0 0 1
On remarque aussi que B2 = 0 0 0 et que B3 = 0. Comme I3 B = BI3 = B, on peut appliquer la formule du binôme et
0 0 0
écrire pour n 2 :


1 −n n(n+1)
n n
2
n
−
1)
(n
An =
In−k
Bk = I3 + nB +
B2 = 0
1
−n  .
3
2
k=0 k
0
0
1
Par un calcul direct, on montre que cette égalité reste correcte si n = 0, 1 d’où le résultat.
D ÉFINITION 25.15 ♥ Matrice d’un endomorphisme dans une base
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et e une base de E. Soit u ∈ L (E) un endomorphisme de E. On appelle
matrice de l’endomorphisme u dans la base e la matrice notée Mate (u) et donnée par :
Mate (u) = Mate←e (u)
Remarquons que Mate (u) est une matrice carrée : Mate (u) ∈ Mn (K).
P ROPOSITION 25.13 ♥ Un endomorphisme est entièrement déterminé par sa matrice dans une base
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n et e une base de E. Alors, l’application
θ:
L (E)
u
−→
−→
Mn (K)
Mate (u)
est un isomorphisme d’anneaux et d’espaces vectoriels.
En particulier, si M ∈ Mn (K), il existe un unique endomorphisme u ∈ L (E) tel que θ−1 (M) = u . On dit que u est
l’endomorphisme de E représenté par M dans la base e .
Démonstration Le fait que θ est un isomorphisme d’espaces vectoriels est un cas particulier du théorème 25.8. Par ailleurs, si
u, v ∈ L (E) alors θ(u ◦ v ) = Mate (u ◦ v ) = Mat e (u) Mat e (v ) = θ(u) θ(v ) ce qui prouve que θ est un morphisme d’anneaux.
P LAN 25.2 : Autrement dit :
Avec les notations de la proposition précédente, se fixant une base e de E :
• A toute matrice A de Mn (K) correspond un et un seul endomorphisme u de E dont la matrice dans la base e
est A.
• Réciproquement, à tout endomorphisme de E correspond une et une seule matrice de Mn (K) qui le représente
dans la base e .
25.3.2
Éléments inversibles dans Mn (K), groupe GL n (K)
D ÉFINITION 25.16 ♥ Matrice inversible
On dit qu’une matrice carrée A ∈ Mn (K) est inversible si et seulement si il existe B ∈ Mn (K) tel que :
AB = In
et
BA = In
Si tel est le cas B est unique et est appelée matrice inverse de la matrice A ; on la note A−1 . L’ensemble des matrices de
taille n est noté GL n (K).
Démonstration : Soit B et B deux matrices de Mn (K) telles que AB = BA = In et AB = B A = In . On a donc
B = BIn = B AB = (BA) B = In B = B .
Exemple 25.14
959
La matrice A =
1
0


x+z =1



y + t = 0
système :

z =0




t =1
1
x
est inversible. En effet, cherchons son inverse sous la forme B =
1
z
qu’on résout et on trouve B =
1
0
y
. Comme AB = I2 on a le
t
−1
. On vérifie que AB = BA = I3 donc B = A−1 .
1
Remarque 25.6
On comprend grâce à cet exemple qu’il va falloir développer des outils plus sophistiqués si on
veut montrer sans trop de calculs qu’une matrice est inversible. Ces outils seront le rang (voir paragraphe 25.5) et
le déterminant (voir paragraphe 25.6). On montrera aussi dans ce dernier paragraphe comment, grâce à la notion de
comatrice, on pourra calculer l’inverse de matrices inversibles de taille pas trop grande.
La proposition suivante permet de traduire la notion d’inversibilité entre les matrices et les applications linéaires.
P ROPOSITION 25.14 ♥ Une application linéaire est inversible si et seulement si sa matrice est inversible
Soient e et f des bases respectives des K-espace vectoriels E et F tous deux de dimension n , u ∈ L (E,F) et A =
Mat f ←e (u). Alors A est inversible si et seulement si u est un isomorphisme.
Démonstration
⇒ Supposons que A est inversible. Alors il existe B ∈ Mn (K) tel que AB = BA = In . Soit v élément de L (E,F) tel que B =
Mate← f (v ). On a :
Mate←e (IdE ) = In = BA = Mat e← f (v ) Mat f ←e (u) = Mat e←e (v ◦ u) .
Par conséquent : v ◦ u = IdF . De même, on a :
Mat f ← f (IdF ) = In = AB = Mat f ←e (u) Mate← f (v ) = Mat f ← f (u ◦ v ) .
Par conséquent : u ◦ v = IdE . On a ainsi prouvé que u est un isomorphisme de E dans F d’application réciproque v .
Réciproquement si u est un isomorphisme de E dans F alors notons v : F → E son application réciproque. Posons B =
Mate← f (v ). On a :
⇐
et
AB = Mat f ←e (u) Mate← f (v ) = Mat f ← f (u ◦ v ) = Mat f ← f (IdF ) = In
BA = Mate← f (v ) Mat f ←e (u) = Mat e←e (v ◦ u) = Mat e←e (IdE ) = In
et donc A est inversible de matrice inverse B.
P ROPOSITION 25.15 ♥ Si E est de dimension n , GLn (K) et GL (E) sont des groupes isomorphes
(GL n (K) , ×) est un groupe (en général non abélien).
Si E est un K-espace vectoriel de dimension n et si e est une base de E, l’application
θ:
GL (E)
u
−→
−→
GL n (K)
Mate (u)
est un isomorphisme de groupe.
Démonstration
• θ est bien définie car si u est un automorphisme de E alors Mate (u) est inversible.
• θ est un morphisme de groupe : si (u, v ) ∈ (GL (E))2 , alors θ(u ◦ v ) = Mate (u ◦ v ) = Mat e (u) Mat e (v ) = θ(u) θ(v ).
• θ est injective car si θ(u) = In alors Mat e (u) = In et donc u = IdE .
• Enfin, θ est surjective car toute matrice de GLn (K) représente un automorphisme de E.
Remarque 25.7 Les deux démonstrations qui viennent sont typiques de ce chapitre. Pour démontrer une propriété sur
les matrices, on la transcrit en terme d’application linéaire. Vous devez vous familiariser avec cette gymnastique.
1
de l’exemple 25.14 p. 959.
1
A est la matrice, dans la base (1,X), de l’endomorphisme u de K1 [X] dans lui-même défini par u(P) = P(X + 1).
Il est clair que l’endomorphisme v de K1 [X] dans lui-même défini par v(P) = P(X − 1) "défait ce que fait u " et donc que
u et v sont inverses l’un de l’autre. Donc A est inversible d’après la proposition 25.14 p. 960. De plus A−1 est la matrice
1 −1
de v dans la base (1,X), à savoir
.
0 1
Exemple 25.15 On reprend la matrice A =
1
0
960
T HÉORÈME 25.16 ♥♥ Une première caractérisation des matrices inversibles
Soient A,B ∈ Mn (K). On suppose que :
H1
A × B = In
alors A et B sont inversibles et inverses l’une de l’autre : B = A−1 et A = B−1 .
Démonstration Soient E un espace vectoriel de dimension n, e une base de E et soit u l’endomorphisme de E représenté par A
dans la base e et v l’endomorphisme de E représenté par B dans la base e . Comme AB = In , on a : In = AB = Mate (u) Mate (v ) =
Mate (u ◦ v ) = Mate (IdE ). Par conséquent : u ◦ v = IdE . On en déduit que d’après le théorème 24.30 page 912 que u est inversible
d’inverse v et donc que A est inversible d’inverse B.
P ROPOSITION 25.17 Une seconde caractérisation des matrices inversibles
A ∈ GL n (K) ⇐⇒ ∀X ∈ Mn,1 (K) ,
AX = 0
X=0 .
=⇒
Démonstration Soient E un espace vectoriel de dimension n, e une base de E et soit u l’endomorphisme de E représenté par A
dans la base e : A = Mate (u). Soient X ∈ Mn,1 (K) et x le vecteur de E tel que Mate (x) = X. On a :
AX = 0 ⇐⇒ Mat e (u) Mat e (x) = 0 ⇐⇒ Mat e (u (x)) = 0.
Si A est inversible alors u est un isomorphisme. Donc AX = 0 n’est possible que si u (x) = 0 c’est-à-dire si x = 0. Par conséquent
X = 0. Réciproquement, si AX = 0 entraîne X = 0, alors u (x) = 0 entraîne x = 0 et donc Ker u = {0} par suite u est injectif. Comme
u est un endomorphisme, u est donc aussi surjectif d’après le corollaire 24.29 page 912 et définit bien un isomorphisme. Par
conséquent A est inversible.
P ROPOSITION 25.18 ♥♥
Si A,B ∈ Mn (K) sont inversibles, il en est de même pour AB et :
(AB)−1 = B−1 A−1 .
Démonstration Supposons que A et B soient inversibles. Il existe alors A ,B ∈ Mn (K) telles que : AA = In et BB = In . Montrons
que : B A est la matrice inverse de AB ce qui prouvera le résultat. Il suffit pour ce faire de remarquer que :
ABB A = A BB A = AA = In .
=In
P ROPOSITION 25.19 ♥
Si A ∈ Mn (K), t A est inversible si et seulement si A l’est. De plus, si tel est le cas :
t
A
−1
= t A−1
.
Démonstration : On a la série d’équivalences :
A ∈ GLn (K) ⇐⇒ ∃B ∈ Mn (K) : AB = In ⇐⇒ ∃B ∈ Mn (K) : t (AB) = t In ⇐⇒ ∃B ∈ Mn (K) : t Bt A = In ⇐⇒ t A ∈ GLn (K) .
→
u est un vecteur du plan de coordonnées (x, y) dans une base orthonormale
Exemple 25.16 On a vu au chapitre 2 que si −
→
−
→
−
→
u dans e sont : x , y =
directe e = ı ,  et si Rθ est la rotation vectorielle d’angle θ ∈ R alors les coordonnées de Rθ −
cosθx + sin θy, − sin θx + cos θy . On a donc :
Mate (Rθ ) =
cosθ
− sin θ
sin θ
cosθ
.
Remarquons que Rθ est un automorphisme du plan, de bijection réciproque : R−θ . On a par ailleurs bien :
Mate (Rθ ) Mate (R−θ ) =
cosθ
− sin θ
sin θ
cosθ
cosθ
sin θ
− sin θ
cos θ
= I2 .
Remarquons que (Mate (Rθ ))−1 = tMate (Rθ ). Les matrices inversibles A dont la matrice inverse est égale à leur transposée : t A sont dites orthogonales.
961
B IO 22 Camille Jordan, né le 5 janvier 1838 à Lyon, mort le 22 janvier 1922 à Paris)
Mathématicien Français. Camille Jordan est issu d’un milieu favorisé. Son père
était polytechnicien et sa mère était la soeur du peintre Pierre Puvis de Chavannes. Il fait des études brillantes et intègre Polytechnique à la première place.
Il devient ingénieur du corps des mines et mène en parallèle des recherches mathématiques. En 1876, il succède à Cauchy comme enseignant à l’école Polytechnique.
Ses travaux mathématiques portent sur la géométrie, (courbes de Jordan), mais
également sur l’étude du groupe des permutations, et les séries de Fourier. Il
est aussi l’auteur d’un procédé de réduction des endomorphismes tellement utile
qu’il est parfois nommé « jordanisation des endomorphismes ». Réduire un endomorphisme consiste à trouver une base dans laquelle sa matrice prend une
« forme simple ». Dans le cas de la jordanisation, il s’agit d’une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de Jordan (voir l’exercice 25.58).
Ce procédé est en particulier important pour résoudre certaines équations différentielles. Ajoutons que Jordan était réputé pour l’excentricité de ses notations.
Il prend sa retraite en 1912. Celle ci est marquée par le décès de trois de ses huit
enfants durant la première guerre mondiale.
25.3.3
Trace d’une matrice
D ÉFINITION 25.17 ♥ Trace d’une matrice carrée
Soit A = ai,j ∈ Mn (K) une matrice carrée. On appelle trace de A et on note Tr (A), le scalaire :
n
Tr (A) =
Remarque 25.8
ai,i
i=1
La trace de A ∈ Mn (K) est égale à la somme des éléments diagonaux de A.
P ROPOSITION 25.20 ♥ Propriétés de la trace
– L’application Tr :
Mn (K) −→
A
−→
K
est un forme linéaire. En particulier, si α, β ∈ K et si A,B ∈ Mn (K) alors
Tr (A)
Tr αA + βB = αTr (A) + βTr (B) .
– ∀A,B ∈ Mn (K) ,
Tr (AB) = Tr (BA)
Démonstration
– La linéarité de la trace est laissée en exercice.
– Soient A, B ∈ Mn (K). On suppose que A = ai,j et B = bi,j . On a : Tr (AB) =
et ces deux quantités sont bien égales.
n
i=1
n a b
k=1 i,k k,i
et Tr (BA) =
n
i=1
P LAN 25.3 : En résumé : Opérations sur les matrices
t
Si A,B ∈ Mq,p (K) et si α, β ∈ K, alors :
t t
t
A =A
−1
= t A−1
Si A,B ∈ Mn (K) et si α, β ∈ K, alors :
αA + βB = αt A + βtB
t
A
Tr αA + βB = αTr (A) + βTr (B)
(AB) = t Bt A
Si A,B ∈ GL n (K),
Tr (AB) = Tr (BA)
(AB)−1 = B−1 A−1
962
n a b
k=1 k,i i,k
25.3.4
Matrices carrées remarquables
Matrices scalaires, diagonales, triangulaires
Nous allons nous intéresser à deux types particuliers de matrice dans cette section : les matrices diagonales et les matrices
triangulaires. Les premières se multiplient et s’inversent très facilement (quand c’est possible évidemment). Avec les
secondes, les calculs sont plus difficiles mais moins que dans le cas de matrices quelconques.
D ÉFINITION 25.18 ♥ Matrices scalaires, diagonales
– Une matrice D ∈ Mn (K) est diagonale si et seulement si :
∀i , j ∈ 1,n

i = j =⇒ di,j = 0
0
λ1


0
D= .
.
.
0
...
..
.
.
..
.
...
0
λ2
..
0

.. 
. 

.

0
λn
On notera D = Diag (λ1 , .. . , λ2 ) ainsi que Dn (K) l’ensemble des matrices diagonales de taille n .
– Les matrices diagonales de la forme Diag (λ,. . . , λ) où λ ∈ K sont appelées matrices scalaires.
Remarque 25.9
Une matrice A ∈ Mn (K) est scalaire si et seulement si il existe λ ∈ K tel que A = λIn .
D ÉFINITION 25.19 ♥ Matrice triangulaire supérieure
On dit que T ∈ Mn (K) est triangulaire supérieure lorsque :
∀i , j ∈ 1,n
T est de la forme :

t11
0

T= .
 ..
0
i > j =⇒ ti,j = 0

.. .
t1n
.
..
. ..
0
.. 
. 
t22
..
.
tnn


On note Tn (K) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille n .
P ROPOSITION 25.21 Dimension du sous-espace des matrices diagonales et du sous-espace des matrices triangulaires
Le sous-ensemble des matrices scalaire de Mn (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K) de dimension 1.
Le sous-ensemble des matrices diagonales Dn (K) de Mn (K) est un sous-espace vectoriel de Mn (K) de dimension n .
Le sous-ensemble des matrices triangulaires supérieures Tn (K) de Mn (K) est un sous-espace vectoriel de
Mn (K) de dimension
n (n + 1)
.
2
Démonstration
• Le fait que chacun de ces quatre sous-ensembles de Mn (K) sont des sous-espaces vectoriels de Mn (K) est laissé en exercice au
lecteur.
– La matrice identité engendre clairement le sous-ensemble des matrices scalaire de Mn (K). Par conséquent ce sous-ensemble est
de dimension 1.
– Les matrices élémentaires Ei,i i∈ 1,n engendrent clairement le sous-ensemble des matrices diagonales Dn (K) de Mn (K).
Comme cette famille est une sous-famille d’une famille libre, elle est libre et forme donc une base de Dn (K). Par conséquent :
dim Dn (K) = n .
– De même les matrices élémentaires Ei,j
engendrent le sous-ensemble des matrices triangulaires supérieures Tn (K)
i,j ∈ 1,n ,j i
de Mn (K). Comme cette famille est une sous-famille d’une famille libre, elle est libre et forme donc une base de Tn (K). Il y a
n (n + 1)
n (n + 1)
de telles matrices et donc : dim Tn (K) =
.
2
2
P ROPOSITION 25.22 ♥ Opérations algébriques avec les matrices diagonales et les matrices triangulaires
supérieures
963
– Si D1 et D2 sont deux matrices diagonales dont les coefficients diagonaux sont respectivement λ1 ,. . . , λn et µ1 ,. . . , µn ,
D1 D2 est diagonale et ses coefficients diagonaux sont λ1 µ1 ,. . . , λn µn .
– Si T1 et T2 sont deux matrices triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux sont respectivement λ1 ,. . . , λn
et µ1 , .. . , µn , T1 T2 est triangulaire supérieure et ses coefficients diagonaux sont λ1 µ1 ,. . . , λn µn .
– Si N ∈ Mn (K) est une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont nuls, alors Nn = 0 ; on
dit que N est nilpotente.
Démonstration
Exercice.
C OROLLAIRE 25.23 ♥ Inverse d’une matrice diagonale et d’une matrice triangulaire
• Une matrice diagonale D = Diag (λ1 ,. . . , λn ) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non
nuls. Dans ce cas :
D−1 = Diag λ1 −1 ,. . . , λn −1
• Une matrice triangulaire supérieure T ∈ Mn (K) de la forme :

t11
0

T= .
 ..

∗
t22
.. .
∗
..
.
..
. ..
0
.. 
. 
0
.
tnn


est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, T−1 est de la forme :
 −1
t11
 0

T= .
 ..
0
∗
.. .
..
.
..
. ..
0
−1
t22
.

∗
∗ 

.
.. 
. 
−1
tnn
Démonstration
• Soit D = Diag(λ1 ,... , λn ) une matrice diagonale. Supposons que : ∀k ∈ 1,n , λk = 0 alors clairement la matrice Diag(λ1 −1 ,... , λn −1 )
est la matrice inverse de D. Réciproquement, si un des coefficients, λ1 par exemple est nul. Alors, posant X = t (1,0,.. . ,0) ∈
Mn,1 (K), on a AX = 0 et X = 0 donc,appliquant la proposition 25.17, A n’est pas inversible.
• De même si T est une matrice triangulaire supérieure telle que ses coefficients diagonaux sont non nuls, alors en posant X =
t (x1,. .. , x ) ∈ M
n
n,1 (K), on a : TX = 0 si et seulement si :

λ1 x1 + a 1,2 x2 + a 1,3 x3 + ... + a 1,n xn = 0






λ2 x2 + a 2,3 x3 + ... + a 2,n xn = 0

.
..







.
= ..
λn xn = 0
comme les λi , pour i ∈ 1,n sont non nuls, ce système possède comme unique solution le n -uplet nul donc X = 0 et appliquant
à nouveau la proposition 25.17, A n’est pas inversible. Réciproquement, si un des coefficient, λ1 par exemple est nul, alors en
posant X = t (1,0,.. . ,0) ∈ Mn,1 (K), on a AX = 0 et X = 0 donc, appliquant la proposition 25.17, A n’est pas inversible.
Matrices symétriques, antisymétriques
D ÉFINITION 25.20 ♥ Matrices symétriques, antisymétriques
Soit A ∈ Mn (K).
– On dit que A est symétrique si et seulement si t A = A c’est-à-dire si et seulement si :
∀i , j ∈ 1,n
a j ,i = ai,j
L’ensemble des matrices symétriques de taille n est noté S n (K).
– On dit que A est antisymétrique si et seulement si t A = −A c’est-à-dire si et seulement si :
∀i , j ∈ 1,n
a j ,i = −ai,j
L’ensemble des matrices antisymétriques de taille n est noté An (K) à n lignes et n colonnes.
964
P ROPOSITION 25.32 ♥ Formule de changement de base pour un endomorphisme
On considère e et e deux bases du K-espace vectoriel E et u ∈ L (E). On a la formule de changement de base :
Mate (u) = Pe →e × Mate (u) × Pe→e
qui s’écrit aussi avec P = Pe→e , A = Mate (u) et A = Mate (u) :
A = P−1 AP
Démonstration : C’est un corollaire immédiat de la proposition précédente.
Remarque 25.12
25.4.4
Avec les notations précédentes, si A = P−1 AP alors A n = P−1 An P.
Pour une forme linéaire
P ROPOSITION 25.33 ♥ Formule de changement de base pour une forme linéaire
Soient e et e deux bases du K-espace vectoriel E. Si ϕ est une forme linéaire sur E, on a :
Mate ϕ = Mate ϕ × Pe→e .
Démonstration : C’est encore un corollaire immédiat de la proposition précédente.
25.4.5
Un exemple
Soit l’espace vectoriel E = R2 muni de sa base canonique e et les deux vecteurs f 1 = (1,2), f 2 = (1,3).
1. Montrons que le système f = ( f 1 , f 2 ) est une base de E. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment donc
une famille libre de R2 . Comme dimR2 = 2, f est forcément une base de E. On écrit Mate f =
2. On écrit la matrice de passage Pe→ f =
1
2
3
−2
1
3
1
.
3
3. On inverse cette matrice en cherchant une matrice B =
trouve P f →e = B =
1
2
x
z
y
telle que Pe→ f × B = I2 . On obtient un système et on
t
−1
1
4. Soit le vecteur x = (4,1). On cherche matriciellement les coordonnées du vecteur x dans la base f . On trouve
Mat f (x) = P f →e Mate (x) =
5. Soit l’endomorphisme u :
bases e et f : Mate (u) =
25.5
2
1
3
−2
−1
1
4
11
.
=
1
−7
E
−→ E
. On écrit les matrices de cet endomorphisme dans les
(x, y) −→ (2x + y, x − y)
1
3 −1 2 1 1 1
13
17
et Mat f (u) = P f →e Mate (u) Pe→ f =
.
=
−1
−2 1 1 −1 2 3
−9 −12
Rang d’une matrice
On va développer dans cette section des méthodes pratiques pour :
1. calculer le rang d’une application linéaire à partir de sa matrice dans des bases données.
2. tester si une matrice (et donc si l’endomophisme associé) est inversible.
25.5.1
Définition et propriétés
D ÉFINITION 25.23 ♥♥♥ Rang d’une matrice
On appelle rang de A ∈ Mq,p (K), et on note rg A, le rang de la famille constituée des vecteurs colonnes C1 ,...,Cp de A
dans Kq .
968
P ROPOSITION 25.34 ♥♥♥ Le rang d’une matrice est égal au rang de l’application linéaire qu’elle représente
Soient :
E un K-espace vectoriel de dimension p muni d’une base e .
F un K-espace vectoriel de dimension q muni d’une base f .
A ∈ Mq,p (K).
On sait qu’il existe une unique application linéaire u ∈ L (E,F) telle que A = Mat f ←e (u) alors on a : rg u = rg A .
Démonstration Rappelons que rg u = dim Vect u (e 1 ) ,... , u e p . Pour tout i ∈ 1, p , notons Ci le vecteur colonne de Mq,1 (K)
donné par : Ci = Mat f u e i . Les vecteurs colonnes de A = ai j sont exactement les vecteurs C1 ,... , Cp . Notons aussi :
F = Vect u (e 1 ) ,... , u e p
⊂F
et
G = Vect C1 ,... ,Cp ⊂ Kq .
Utilisant le lemme de réduction d’une famille liée, on peut extraire de la famille u (e 1 ) ,... , u e p une sous-famille libre b qui
engendre encore F . Quitte à re-numéroter les vecteurs de la famille u (e 1 ) ,... , u e p , supposons que la sous-famille en question
est : b = u (e 1 ) ,... , u e l où l ∈ 1, p . b est donc une base de F et rgu = l . Montrons que c = C1 ,... ,Cl est une base de G .
On aura ainsi bien prouvé que rg A = l = rgu . Supposons que α1 ,... , αl sont l scalaires de K tels que lj =1 α j C j = 0. Alors :
∀i ∈ 1, q ,
l
α a = 0. Par ailleurs :
j =1 j i j







αj u e j =
αj
ai j f i =
α j ai j  f i = 0



j =1
j =1
i=1
i=1  j =1

l
l
p  l
p
=0
La famille b étant libre, ceci n’est possible que si α1 = ... = αl = 0. Donc c est libre. Montrons que c est génératrice de G . Il suffit
de montrer que chacun des vecteurs C j pour j ∈ l + 1, p est combinaison linéaire des vecteurs C1 ,... ,Cl . Mais ceci est clairement
conséquence du fait que chaque vecteur u e j pour j ∈ l + 1, p est combinaison linéaire des vecteurs u (e 1 ) ,... , u e l . La famille
c est donc bien une base de G et la proposition est alors démontrée.
T HÉORÈME 25.35 ♥♥♥ Une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang est égal à sa taille
A ∈ Mn (K) est inversible si et seulement si rg(A) = n .
Démonstration Soient e une base d’un K-espace vectoriel E de dimension n et soit u l’unique endomorphisme de E tel que :
Mate (u) = A. On a : A inversible ⇐⇒ u est un automorphisme de E ⇐⇒ rgA = rg u = n .
P ROPOSITION 25.36 ♥♥♥
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n , e une base de E et (x1 ,. . . , xn ) une famille de n vecteurs de E. Alors
Mate (x1 , .. . , xn ) est inversible si et seulement si (x1 ,. . . , xn ) est une base de E.
Démonstration Soit u l’endomorphisme de E défini par : ∀i ∈ 1,n , u e i = xi . Notons A = Mat e (x1 ,... , xn ) = Mate (u). On
a : A est inversible ⇐⇒ u est un automorphisme de E ⇐⇒ l’image d’une base de E par u est une base de E.
T HÉORÈME 25.37 ♥
Soit A ∈ Mq,p (K). On a : A est une matrice de rang r si et seulement si il existe Q ∈ GL q (K) et P ∈ GL p (K) telles que
A = QJr P où
r
Jr =
 1

 0










0
0
1 0
0
0
0 0
Démonstration
969
0 




0 

0 




0
r
⇒ Soit E un K-espace vectoriel de dimension p , e une base de E, F un K-espace vectoriel de dimension q et f une base de
F. Soit u ∈ L (E,F) l’unique application linéaire de E dans F telle que Mat f ←e (u) = A. On a : rg u = rgA = r . Faisant comme
dans la démonstration du théorème 24.27, on peut décomposer E en la somme : E = Ker u ⊕ G où G est un sous-espace de E
tel que u|G : G → Imu est un isomorphisme. Par conséquent, dim G = dim Im u = rgu = r . Soit e 1 ,... , e r une base de G et
e r +1 ,... , e p une base de Ker f . e = e 1 ,... , e r ,e r +1 ,... , e n est donc une base de E et l’image d’une base d’un espace vectoriel
par un isomorphisme étant une base de l’espace vectoriel d’arrivée, u e 1 ,... , u e r est une base de Im f qu’on peut compléter
en une base f = u e 1 ,... , u e r , f r +1 ,... , f q de F. On a : Mat f ←e (u) = Jr et utilisant les formule de changement de base,
on a :
A = Mat f ←e (u) = P f → f × Mat f ←e (u) × Pe →e
qui est de la forme voulue.
⇐ Soit E un K-espace vectoriel de dimension p et F un K-espace vectoriel de dimension q . Soit e une base de E, f une base de
F et :
– e une autre base de E telle que Pe →e = P.
– f une autre base de F telle que P f → f = Q.
Soit u ∈ L (E,F) tel que : Mat f ←e (u) = Jr . Interprétant la formule A = QJr P comme une formule de changement de base, on a :
A = Mat f ←e (u). Par conséquent : rgA = rg u = rgJr .
C OROLLAIRE 25.38 ♥ Le rang d’une matrice est égal au rang de sa transposée
Pour tout A ∈ Mq,p (K), rg t A = rg(A).
Démonstration Posons r = rg A. En appliquant la proposition précédente, il existe Q ∈ GL q (K) et P ∈ GL p (K) telles que A =
QJr P. Par conséquent : t A = t P t Jr t Q = t PJr t Q et t P ∈ GLp (K), t Q ∈ GL q (K). Par conséquent, appliquant à nouveau la proposition
précédente : rg t A = r .
D ÉFINITION 25.24 Matrices équivalentes
Deux matrices A,B ∈ Mq,p (K) sont dites équivalentes si et seulement s’il existe deux matrices inversibles Q ∈ GL q (K)
et P ∈ GL p (K) telles que A = QBP−1 .
Remarque 25.13
ont même rang.
Un corollaire du théorème précédent est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles
D ÉFINITION 25.25 Matrices semblables
Deux matrices carrées A,B ∈ Mn (K) sont dites semblables s’il existe une matrice inversible P telle que A = PBP−1 .
Remarque 25.14
Deux matrices semblables sont a fortiori équivalentes.
Remarque 25.15
Deux matrices semblables ont même trace.
25.5.2
Calcul pratique du rang d’une matrice
P ROPOSITION 25.39 ♥ Deux matrices déduites l’une de l’autre par une oel ou une oec ont même rang
Deux matrices obtenues l’une de l’autre par une oel ou une oec sont de même rang.
Démonstration Soit A ∈ Mn,p (K) et P une matrice correspondant à une oel ou une oec. P est donc inversible. Posons B = PA. Soit
r = rg(A). On applique le théorème 25.37. Il existe des matrices Q1 ∈ GLn (K) et Q2 ∈ GL p (K) telles que A = Q1 Ir Q2 . On a donc :
B = PQ1 Ir Q2 = Q0 Ir Q2 avec Q0 = PQ1 qui est une matrice inversible de GLn (K). Par conséquent, B étant de la forme Q0 Ir Q2 où
Q0 et Q1 sont inversibles. On applique à nouveau la proposition 25.37 et on peut affirmer que B est de rang r .
L EMME 25.40 ♥
Soit α ∈ K∗ . On a :

α

 0
rg 
 ..
 .
0
.. .
A
970



 = 1 + rg A .


Démonstration
Soit


...
α
 0

A=
 ..
 .


.


A
0
Par définition, rgA = dim Vect (L1 ,... ,Ln ) où L1 ,... ,Ln représentent les vecteurs colonnes de A. Posons F = Vect (L1 ) et G =
Vect (L2 ,... ,Ln ). Montrons que ces deux sous-espaces vectoriels de Kp sont en somme directe. Soit L = 1 ,... , p ∈ F∩G. Comme
L ∈ F, on a : L = λL1 . Comme L ∈ G, on a aussi 1 = 0. Par conséquent, en regardant la première coordonnée, λα = 0, d’où λ = 0 et
donc L = 0. Donc F et G sont en somme directe. On a donc dim Vect (L1 ,... ,Ln ) = dim F +dim G ce qui s’écrit aussi rg A = 1+rg A .
P LAN 25.4 : Application au calcul du rang d’une matrice A
Pour calculer le rang d’une matrice, on applique le plan suivant :
Si A = 0 alors rg A = 0.
Sinon A possède un coefficient α non nul. Par des permutations de lignes et de colonnes, on peut supposer
que α est en position (1, 1). En retranchant aux n − 1 dernières lignes un multiple judicieusement choisi de la
première ligne, on obtient une matrice du type :

et donc rg A = 1 + rg A

.. .
α

 0
 .
 .
 .
0





A
On se ramène ainsi à une matrice de taille (n − 1) × p − 1 sur laquelle il suffit de réitérer le procédé jusqu’à
obtenir une matrice de taille nulle.

1
Exemple 25.18 Calculons le rang de la matrice A = 0
1

1
rg(A) = rg 0
1
−1
2
−1
2
1
2


0
1
L3 ←L3 −L1
−1 ========= rg 0
0
0
−1
2
−1
−1
2
0
2
1
0
2
1
2

0
−1. On a
0

0
2
−1 = 1 + rg
0
0
1
0
−1
= 2 + rg 0
0
0 =2
P ROPOSITION 25.41 ♥ Méthode du pivot de Gauss
Par une suite d’oel, on peut transformer une matrice inversible en une matrice triangulaire supérieure (inversible !).
Démonstration
On va démontrer cette proposition en effectuant une récurrence sur la taille n de cette matrice.
Si n = 1 la proposition est évidente.
Soit n ∈ N, n > 1.
Supposons la proposition vraie au rang n −1 et prouvons la au rang n . Soit A = ai j ∈ GLn (K). Quitte à permuter les lignes
de A, cette matrice étant inversible, on peut supposer que a11 = 0. Par des oel, en utilisant comme pivot le coefficient a11 ,
on peut alors transformer A en une matrice B de la forme :



B=


a 11
0
.
..
0
...
A






et on a, par application du lemme précédent : rgA = rgB = 1 + rgA . On applique l’hypothèse de récurrence à A , on peut
transformer A , via une suite finie d’oel, en une matrice triangulaire. On effectue les oel correspondantes sur la matrice B et
on la transforme en une matrice triangulaire.
La proposition est alors démontrée par application du principe de récurrence.
Remarque 25.16 Grâce aux opérations élémentaires sur les lignes et en s’inspirant de l’algorithme précédent, on peut
calculer l’inverse d’une matrice A ∈ GL n (K) donnée. Il suffit de suivre les étapes suivantes.
On juxtapose A et In .
971
Grâce à des oel de type 1 et 3 sur A on se ramène à une matrice triangulaire supérieure. Ceci correspond à
multiplier successivement à gauche A par des matrices P1 , . . . , Pr de type 1 ou 3. La matrice triangulaire obtenue
est Pr . .. . .P1 .A. On effectue ces mêmes oel sur In . La matrice obtenue est Pr .. . . .P1 .
On effectue des oel de type 2 sur Pr .. . . .P1 .A afin d’obtenir une matrice triangulaire dont la diagonale ne
comporte que des 1. Ceci correspond à multiplier successivement à gauche A par des matrices Q1 , . . . , Qs de
type 2. La matrice triangulaire obtenue est Qs .. . . .Q1 .Pr .. . . .P1 .A. On effectue ces mêmes oel sur In . La matrice
obtenue est Qs . .. . .Q1 .Pr .. . . .P1 .
Enfin, à nouveau grâce à des oel de type 1, on se ramène à la matrice In . Ceci correspond à multiplier
successivement à gauche Qs .. . . .Q1 .Pr .. . . .P1 .A par des matrices R1 , . . . , R t de type 1. La matrice triangulaire obtenue est R t .. . . .R1 .Qs .. . . .Q1 .Pr .. . . .P1 .A. On effectue ces mêmes oel sur In . La matrice obtenue est
R t . .. . .R1 .Qs . .. . .Q1 .Pr .. . . .P1 .
Au final, on a donc R t .. . . .R1 .Qs .. . . .Q1 .Pr .. . . .P1 .A = In . La matrice R t .. . . .R 1 .Qs .. . . .Q1 .Pr .. . . .P1 est donc l’inverse de A.

1
Exemple 25.19 La matrice A = −1
0
1
1
−1
son inverse :

1
et on en déduit que A−1 = 1
1
25.6

−1
0  est de rang 3 comme on le vérifie en appliquant la méthode 70. Calculons
1
1
−1
0
1
1
−1
−1
0
1
1
0
0
1
2
−1
−1
−1
1
1
0
0
1
2
0
−1
−1
1/2
L3
←
L3 + L2 /2
1
0
0
1
1
0
1
−1/2
1
L2
L3
←
←
L2 /2
2L3
1
0
0
1
1
0
0
0
1
L1
L2
←
←
1
0
0
0
1
0
0
0
1
L1
←
0
1
1
L2
←
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1/2
0
1
1/2
0
0
1
1
1/2
1
0
1/2
1
0
0
2
L1 + L3
L2 + L3 /2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
L1 − L2
1
1
1
0
1
1
1
1
2
L2 + L1

1
1.
2
Déterminant d’une matrice carrée de taille 2 ou 3
Grâce à la notion de déterminant nous disposerons d’un outil performant pour prouver qu’une matrice est inversible.
Cette notion a néanmoins d’autres applications comme le calcul de l’inverse d’une matrice inversible via le calcul de la
comatrice, la résolution de certains systèmes linéaires, les problèmes d’orientation du plan ou de l’espace...
Comme stipulé dans les programmes des filières PCSI, PTSI, TSI, nous nous bornerons à travailler en dimension 2 ou 3.
Néanmoins, la plupart des démonstrations que nous allons donner sont valables en dimension n quelconque.
Les étudiants de la filière MPSI devront compléter ce chapitre par la lecture du chapitre 26 sur le groupe symétrique.
Dans toute la suite, on pourra considérer que n est un entier égal à 2 ou 3 et que E est un K-espace vectoriel de dimension
n . On commencera par expliquer ce qu’est le déterminant d’une matrice, d’une famille de vecteurs puis d’un endomorphisme. Nous nous intéresserons ensuite à des méthodes pratiques de calcul du déterminant. Enfin, nous donnerons des
applications.
972
25.6.1
Définitions
D ÉFINITION 25.26 ♥ Déterminant d’une matrice de taille 2 ou 3
a11
a21
a12
a22
∈ M2 (K) le scalaire de K, noté det(A) et donné par :
det(A) =
a11
a21
a12
a22
a12
a22
a32

a13
a23  ∈ M3 (K) le scalaire de K, noté det(A) et donné par :
a33
a22
a32
a23
a33
– On appelle déterminant de la matrice A =

a11
– On appelle déterminant de la matrice A =  a21
a31
det(A) =
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
= a11
= a11 a22 − a12 a21
− a21
a12
a32
a13
a33
+ a31
a12
a22
a13
a23
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12
qui se calcule avec la règle de Sarrus. Voir remarque 3.14 p. 125.
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
−
+
Exemple 25.20
– det I2 = 1, det I3 = 1.
– Plus généralement, le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses coefficients diagonaux.
25.6.2
Propriétés
T HÉORÈME 25.42 ♥ Propriétés du déterminant d’une matrice
Soient A, B ∈ Mn (K)
det 0Mn (K) = 0 .
Autrement dit : le déterminant d’une matrice inversible est inversible
det(In ) = 1 .
1
Si A est inversible alors det A−1 = det(A)
.
det(λA) = λn det(A) où λ ∈ K.
det t A = det(A)
det(AB) = det(A) × det(B)
Caractérisation des matrices inversibles :
A ∈ GL n (K) ⇐⇒ det(A) = 0 .
Démonstration Ces propriétés se démontrent pour la plupart par des calculs directs. Prouvons par exemple les points et
. Soit A ∈ GLn (K) une matrice inversible. Alors A × A−1 = In et d’après les points et , det (A) det A−1 = 1 donc det (A) = 0
1 . La réciproque sera une conséquence du corollaire 25.45. En effet,
et det A−1 = det(A)
A peut être vue comme la matrice d’une
certaine famille de n vecteurs dans un espace de dimension n dans une base e fixée. Dire que det (A) = 0 revient à dire que cette
famille est libre et donc que la matrice A qui les représente dans la base e est inversible.
25.7
Déterminants d’ordre 2 ou 3 d’une famille de vecteurs
25.7.1
Définition
973
D ÉFINITION 25.27 ♥ Déterminant d’ordre 2 et 3 d’une famille de vecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n muni d’une base e = (e 1 ,. . . , e n ).
– Si n = 2, on appelle déterminant dans la base e des vecteurs V1 et V2 de E et on note dete (V1 ,V2 ), le déterminant de
la matrice formée par la famille (V1 ,V2 ) dans la base e : Mate (V1 ,V2 ) :
det (V1 ,V2 ) = det Mate (V1 ,V2 )
e
En particulier, si : V1 = x11 e 1 + x12 e 2 , V2 = x21 e 1 + x22 e 2 alors :
x11
x12
det (V1 ,V2 ) =
e
x21
x22
= x11 x22 − x12 x21
– Si n = 3, on appelle déterminant dans la base e des vecteurs V1 , V2 et V3 de E et on note dete (V1 ,V2 ,V3 ), le déterminant de la matrice formée par la famille (V1 ,V2 ,V3 ) dans la base e : Mate (V1 ,V2 ,V3 ) :
det (V1 ,V2 ,V3 ) = det Mate (V1 ,V2 ,V3 )
e
En particulier, si : V1 = x11 e 1 + x12 e 2 + x13 e 3 , V2 = x21 e 1 + x22 e 2 + x23 e 3 et V3 = x31 e 1 + x32 e 2 + x33 e 3 alors :
det (V1 ,V2 ,V3 ) =
e
x11
x12
x13
x21
x22
x23
x31
x32
x33
= x11 x22 x33 + x12 x23 x31 + x13 x21 x32 − x31 x22 x13 − x32 x23 x11 − x33 x21 x12
qui se calcule avec la règle de Sarrus.
Remarque 25.17
– Le déterminant introduit dans les chapitres 2 et 3 est celui dans les bases canoniques respectives de R2 et R3 .
– Le déterminant d’une matrice carrée définie dans le paragraphe précédent est le déterminant de ses vecteurs colonnes
dans la base canonique de Kn .
25.7.2
Propriétés
P ROPOSITION 25.43 ♥ Le déterminant de deux ou trois vecteurs est une forme multilinéaire alternée
Soit e une base du K-espace vectoriel E.
– Si n = 2, le déterminant est une forme bilinéaire et alternée : pour tout u , u1 , u2 , v , v 1 , v 2 ∈ E et pour tous scalaires
λ1 , λ2 , on a :
Le déterminant est une forme bilinéaire :
det(u, λ1 v 1 + λ2 v 2 ) = λ1 det(u, v 1 ) + λ2 det(u, v 2 )
e
e
e
det(λ1 u1 + λ2 u2 , v) = λ1 det(u1 , v) + λ2 det(u2 , v)
e
e
e
Le déterminant est alterné :
det (v, u) = −det (u, v)
e
e
– Si n = 3, Le déterminant est une forme trilinéaire et alternée : pour tout u , u1 , u2 , v , v 1 , v 2 , w , w 1 , w 2 ∈ E et pour
tous scalaires λ1 , λ2 , on a :
Le déterminant est une forme trilinéaire :
det(λ1 u1 + λ2 u2 , v, w) = λ1 det(u1 , v, w) + λ2 det(u2 , v, w)
e
e
e
det(u, λ1 v 1 + λ2 v 2 , w) = λ1 det(u, v 1 , w) + λ2 det(u, v 2 , w)
e
e
e
det(u, v, λ1 v w 1 + λ2 w 2 ) = λ1 det(u, v, w 1 ) + λ2 det(u, v, w 2 )
e
e
e
Le déterminant est alterné :
det (u, v, w) = −det (v, u, w) = det (v, w, u) = −det (w, v, u) .
e
e
e
974
e
Démonstration
Par un calcul direct.
Remarque 25.18
On suppose que n = 2 ou 3. Soient x1 ,. . . , xn ∈ E. Si deux des vecteurs de cette famille sont égaux alors dete (x1 ,. . . , xn ) =
0.
25.7.3
Formule de changement de base
P ROPOSITION 25.44 ♥ Formule de changement de base
Soient :
– E un K-espace vectoriel de dimension n .
– e = (e 1 , .. . , e n ) une base de E.
– e = e 1 , .. . , e n une autre base de E.
– S = (x1 , .. . , xn ) une famille de n vecteurs de E.
Alors :
det (x1 ,. . . , xn ) = det (e 1 ,. . . , e n ) × det (x1 ,. . . , xn )
e
Démonstration
On a :
det (x1 ,... , xn )
e
=
det Mate (x1 ,... , xn )
=
det Pe←e × Mat e (x1 ,... , xn )
=
det Mate (e) × Mat e (x1 ,... , xn )
=
det (e) × det (x1 ,... , xn )
=
Remarque 25.19
e
e
det Mate (e) × det (Mate (x1 ,... , xn ))
e
e
En remplaçant x par e dans cette dernière formule, on obtient :
1 = det e = det (e) × det e
e
e
e
C OROLLAIRE 25.45 ♥♥♥ Caractérisation des familles libres via le déterminant
Soient :
– E un K-espace vectoriel de dimension n .
– e = (e 1 , .. . , e n ) une base de E.
– S = (x1 , .. . , xn ) une famille de n vecteurs de E.
Alors S est libre si et seulement si dete (x1 ,. . . , xn ) = 0.
Démonstration
⇒ Supposons que S soit libre. Alors comme S est de cardinal n = dim E, S forme une base de E. Par conséquent, Mate (S )
est inversible et dete (S ) = det Mate (S ) = 0.
⇐ Réciproquement, supposons que S soit liée, alors, quitte à re-numéroter les vecteurs de la famille S , on peut supposer que
x1 est combinaison linéaire des vecteurs : x2 ,... , xn , c’est-à-dire qu’il existe α2 ,... , αn tels que : x1 = α2 x2 + ... + αn xn . On a
donc
det (x1 , x2 ,... , xn ) = det (α2 x2 + ... + αn xn , x2 ,... , xn ) = α2 det (x2 , x2 ... , xn ) + ... + αn det (xn , x2 ,... , xn ) = 0
e
e
e
par application de la remarque 25.18 p.975. Donc dete (S ) est nul.
P ROPOSITION 25.46 ♥♥♥ Caractérisation des familles liées via le déterminant
Soient :
– E un K-espace vectoriel de dimension n .
– e = (e 1 , .. . , e n ) une base de E.
– S = (x1 , .. . , xn ) une famille de n vecteurs de E.
Alors S est liée si et seulement si dete (x1 ,. . . , xn ) = 0.
Démonstration
Par contraposée de la proposition précédente.
975
e
25.8
Déterminant d’un endomorphisme
25.8.1
Définition
P ROPOSITION 25.47 ♥ Déterminant d’un endomorphisme
Soient :
– E un K-espace vectoriel de dimension n .
– e = (e 1 , .. . , e n ) une base de E.
– u un endomorphisme de E.
Le scalaire dete (u (e 1 ) , .. . , u (e n )) est indépendant de e et est appelé déterminant de l’endomorphisme u . On le note
det(u)..
Démonstration
Soit f une autre base de E. On a : Mat f (u) = P f →e × Mat e (u) × Pe→ f . Par conséquent,
det u f 1 ,... , u f n
f
= det Mat f (u) = det P f →e × Mat e (u) × Pe→ f
= det P f →e det (Mat e (u)) det Pe→ f = det (Mat e (u))
car Pe→ f = P f →e
Remarque 25.20
25.8.2
−1
et donc det Pe→ f = det P f →e
−1
.
Si u est un endomorphisme de E et que e est une base de E, on a : det(u) = det(Mate (u)).
Propriétés
T HÉORÈME 25.48 ♥♥♥ Propriétés du déterminant d’un endomorphisme
Soient E un K-espace vectoriel de dimension n , u , v des endomorphismes de E. On a :
Caractérisation des automorphismes de E :
d et 0L (E) = 0K .
det(IdE ) = 1K
u ∈ GL (E) ⇐⇒ det(u) = 0
det(λu) = λn det(u) où λ ∈ K est un scalaire.
1
Si u ∈ GL (E) alors det u −1 = det(u)
.
det(u ◦ v) = det(u) × det(v) .
Démonstration
25.9
C’est un corollaire immédiat du théorème 25.42 et de la remarque précédente.
Méthodes de calcul du déterminant
On se restreindra dans cette section aux déterminants des matrices carrées, le déterminant d’une famille de vecteurs ou
d’un endomorphisme s’en déduisant.
25.9.1
Opération sur les lignes et les colonnes
Les propriétés qui suivent découlent directement des propriétés des formes n -linéaires alternées :
T HÉORÈME 25.49 ♥ Calcul d’un déterminant par des oel et des oec
Un déterminant qui a deux colonnes identiques est nul.
Un déterminant qui a une colonne combinaison linéaire des autres colonnes est nul.
Un déterminant dont une colonne est formée de 0 est nul.
On ne change pas la valeur d’un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres
colonnes.
Si on multiplie par λ une colonne d’un déterminant, on multiplie par λ la valeur de ce déterminant.
Quand on permute deux colonnes d’un déterminant, on change son signe.
Comme le déterminant d’une matrice est égale à celui de sa transposée, les 6 phrases précédentes restent vraies
si on remplace le mot "colonne" par le mot "ligne".
976
Démonstration Démontrons par exemple le point 4. On suppose que la matrice A ∈ Mn (K) est composée des vecteurs colonnes
C1 ,...,Cn Soient i ∈ 1,n , α1 ,... , αi−1 ,αi+1 ,... , αn des scalaires de K. On a :
n
det (A) = det (C1 ,... ,Cn )
det (C1 ,... ,Cn ) + det C1 ,... ,Ci−1 ,
=
αk Ck ,Ci+1 ,... ,Cn
k=1,k=i
=0 en raison du second point
n
det C1 ,... ,Ci−1 ,Ci +
=
αk Ck ,Ci+1 ,... ,Cn
k=1,k=i
Exemple 25.21 Calculons
–
–
–
1
1
0
1
2
0
2
1
3
25.9.2
3
2
1
1
3
0
1
1
2
1
0
2
2
1
0
4
2
6
1
L2 ←−L2 −L1
========== 1
0
3
2
1
1
1
0 = 0
2
0
3
−1
1
1
−1 = −1
2
= 0 car la troisième ligne est nulle.
= 0 car L3 = L1 + L2 .
Développement d’un déterminant suivant une rangée
P ROPOSITION 25.50 ♥
Soit A ∈ Mn (K) une matrice de la forme :

0


A=


où A ∈ Mn−1 (K). Alors det(A) = α det A
Démonstration

.. 
. 

A

0 
α
.. .
.
Par un calcul immédiat en utilisant la définition d’un matrice de taille 2 ou 3.
D ÉFINITION 25.28 ♥ matrices triangulaires
On appelle matrice triangulaire inférieure toute matrice A ∈ Mn (K) vérifiant ∀i < j , ai j = 0.
On appelle matrice triangulaire supérieure toute matrice A ∈ Mn (K) vérifiant ∀i > j , ai j = 0.
Soit L (resp. U) l’ensemble des matrices triangulaires inférieures (resp. supérieures). L et U sont des sous-espacesvectoriels de Mn (K), et Mn (K) = L + U. L ∩ U est l’espace vectoriel des matrices diagonales.
C OROLLAIRE 25.51 ♥ Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux
Soit A = ai j ∈ Mn (K) une matrice triangulaire : Alors :
n
det A =
Démonstration
akk
k=1
Immédiat par un calcul direct (si n = 2 ou 3) ou en utilisant la propriété précédente.
Exemple 25.22 On va calculer, sous forme factorisée :
1.
a −b −c
2b
2c
2.
1+a
b
c
2a
b −c −a
2c
a
1+b
c
a
b
1+c
2a
2b
c −a −b
3.
a
c
b
b
a
c
c
b
a
4.
1
1
1
a
b
c
a2
b2
c2
où a, b, c sont trois complexes.
977
5.
bc
a
1
ca
b
1
ab
c
1
Remarque 25.21 On comprend après ces quelques calculs les limitations pratiques de cette méthode. En dimension 2
et 3 les calculs restent faisables mais ils deviennent très lourds dés que n 4 si la matrice ne possède pas beaucoup de 0.
25.10.3
Orientation du plan et de l’espace
D ÉFINITION 25.31 ♥ Bases de même sens, de sens contraire
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 2 ou 3. Soient e et e deux bases de E. On dit que :
– e et e sont de même sens (ou ont même orientation) si et seulement si dete e > 0.
– Sinon, on dit que e et e sont de sens contraires (ou n’ont pas la même orientation).
D ÉFINITION 25.32 ♥ Orientation
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 2 ou 3. Orienter E revient à choisir une base e de E. Si e une autre base de
E, on dit qu’elle est directe si elle est de même sens que E et indirecte sinon.
Exemple 25.24 On oriente E = R2 en prenant la base canonique e . La base donnée par e = ((1, 1) , (1,−1)) est indirecte.
En effet :
1
1
25.11
1
−1
= −2 < 0
Systèmes linéaires
On termine ce chapitre par une étude des systèmes linéaires.
25.11.1
Définitions
D ÉFINITION 25.33 ♥ Système linéaire à n équations et p inconnues
Soient




A=
a1,1
.. .
..
.
an,1
a1,p
..
.
.. .
an,p

 ∈ Mn,p (K)
b1



et B =  ...  ∈ Mn,1 (K)
bn
On considère le système linéaire à n lignes et p inconnues (S ) donné par :
(S ) =

a x + a1,2 x2 + · ·· + a1,p x p = b1

 1,1 1


..
.
an,1 x1 + an,2 x2 + · ·· + an,p x p = bn
Résoudre ce système consiste à déterminer l’ensemble S de tous les p -uplets x1 ,. . . , xp ∈ Kp vérifiant (S ).
Le vecteur b = (b1 , .. . , bn ) s’appelle le second membre du système (S ).
On appelle système homogène associé au système (S ), le système obtenu lorsque b = 0. On le note (S0 ) et on
note S 0 l’ensemble de ses solutions.
A s’appelle la matrice du système (S ).
rg A s’appelle le rang du système et est noté rg(S ).
On dit que le système est compatible si l’ensemble de ses solutions est non vide.
25.11.2
Interprétations
La compréhension des différentes interprétations qu’on peut avoir d’un système linéaire est un bon test de votre compréhension de l’algèbre linéaire.
Interprétation vectorielle
Notons C1 = (a11 , .. . , an1 ) , .. . , Cp = a1p ,. . . , anp ∈ Kn les p vecteurs colonnes de A et b = (b1 ,. . . , bn ) le second membre
de (S ). On a :
x1 ,. . . , x p ∈ Kp est solution de (S ) ⇐⇒ x1 C1 + .. . x p Cp = b
Donc :
– Le système est compatible si et seulement si b ∈ Vec t C1 ,. . . , Cp .
– rg(S ) = rg C1 , .. . , C p .
980
Interprétation matricielle

x1



Notons X =  ...  ∈ Mp,1 (K) On a :
xp
x1 ,. . . , x p ∈ Kp est solution de (S ) ⇐⇒ AX = B
Interprétation en termes de formes linéaires
Notons E = Kp , e la base canonique de E et L1 = a11 ,. . . , a1p ,. . . , Ln = an1 ,. . . , anp ∈ Kp les n vecteurs lignes de A.
Soient ϕ1 , .. . , ϕn n formes linéaires sur E telles que :
Mate ϕi = Li
∀i ∈ 1,n ,
On a :
x1 ,. . . , x p ∈ Kp est solution de (S0 )
⇐⇒ ∀i ∈ 1,n , ϕi x1 ,. . . , x p = 0
n
⇐⇒ x1 ,. . . , x p ∈
Kerϕi
i=1
Interprétation en termes d’applications linéaires
Considérons E = Kp et F = Kn munis de leurs bases canoniques respectives e et f . Soient u ∈ L (E,F) l’unique application

x1



linéaire de E dans F telle que Mat f ←e (u) = A et x le vecteur de E tel que Mate (x) =  ... .
xp
On a :
x1 ,. . . , x p ∈ Kp est solution de (S ) ⇐⇒ u (x) = b
Donc :
– Le système (S ) est compatible si et seulement si b ∈ Im (u).
– Si u est injective et si le système (S ) est compatible alors l’ensemble des solutions de (S ) ne possède qu’un et un seul
élément.
– Si u est surjective, le système (S ) est compatible.
– Si u est à la fois surjective et injective alors l’ensemble des solutions de (S ) ne possède qu’une et une seule solution.
25.11.3
Structure de l’ensemble des solutions
T HÉORÈME 25.55 ♥ Structure de l’ensemble des solutions de l’équation homogène
Soit (S ) un système linéaire à n équations et p inconnues. L’ensemble des solutions du système homogène (S0 )
associé à (S ) est un K-espace vectoriel de dimension p − rg(S ).
Soit u : Kp → Kn l’application linéaire représentée par A dans les bases canoniques de Kn et Kp . Soit x =
x1 ,... , x p ∈ Kp . x est solution de (S0 ) si et seulement si u (x) = 0 c’est-à-dire si et seulement si x ∈ Ker u . Par conséquent
(S0 ) = Ker u . Ceci prouve à la fois que (S0 ) est un sous-espace vectoriel de Kp mais aussi que, d’après la formule du rang,
dim (S0 ) = dim Ker u = dim Kp − rg u = p − rg S .
Démonstration
T HÉORÈME 25.56 ♥ Structure de l’ensemble des solutions de (S )
Soit S l’ensemble des solutions du système linéaire (S ).
Si le système (S ) n’est pas compatible alors S = ∅.
Sinon, alors il existe une solution particulière x0 de (S ) et on a alors :
S = x 0 + S 0 = x 0 + x ∈ Kp | x ∈ S 0
Démonstration
Supposons que le système (S ) soit compatible, alors S = ∅. Soit x0 ∈ S . On a :
x ∈ S ⇐⇒ u (x) = b ⇐⇒ u (x − x0 ) = 0 ⇐⇒ x − x0 ∈ Ker u = S 0 ⇐⇒ x = x0 + S 0
981
25.11.4
Cas Particulier : Les systèmes de Cramer
D ÉFINITION 25.34 ♥ Système de Cramer
Un système de n équations à n inconnues de rang n est dit de Cramer.
Remarque 25.22
Matriciellement, un système de Cramer s’écrit AX = B où A ∈ GLn (K) et B ∈ Mn,1 (K).
P ROPOSITION 25.57 ♥ Résolution matricielle d’un système de Cramer
Un système de Cramer possède une et une seule solution qui s’écrit matriciellement : X = A−1 B.
Démonstration
A étant inversible, la proposition est immédiate.
P ROPOSITION 25.58 ♥ Formules de Cramer
Si (S ) est un système de Cramer d’écriture matricielle AX = B, l’unique solution de (S ) est le n -uplet (x1 ,. . . , xn ) tel
que :
∀i ∈ 1,n ,
xi =
det Ai
det A
où Ai est la matrice obtenue en remplaçant la i -ème colonne de A par B.
Démonstration
Soit (x1 ,... , xn ) l’unique solution de (S ) alors si C1 ,... ,Cn désignent les vecteurs colonnes de A, on a :
n x C = B. Par conséquent, pour tout i ∈ 1,n , on a :
k
k
k=1
n
det C1 ,... , Ci−1 ,B,Ci+1 ,... , Cn
xk det C1 ,... ,Ci−1 ,Ck ,Ci+1 ,... ,Cn
=
k=1
=
xi det C1 ,... ,Ci−1 ,Ci ,Ci+1 ,... ,Cn = xi det (A)
d’où le résultat.
Remarque 25.23
En particulier, si n = 2, on a : Soit
(S ) =
ax + b y = α
.
cx + d y = β
b
Ce système est de Cramer si et seulement si det(A) =
d
couple solution de (S ) est donné par :
Notons A =
a
c
x=
25.11.5
α
β
b
d
ad −bc
et
y=
a
b
a
c
b
d
= ad − bc = 0 et dans ce cas, le
α
β
ad −bc
Méthode du Pivot de Gauss
Remarque 25.24 Si un système à n équations et à n inconnues est sous forme triangulaire (c’est à dire si la matrice A
correspondante est triangulaire et sans zéro sur la diagonale) alors il est de Cramer. En effet, la matrice A est inversible.
Méthode : Résolution d’un système de Cramer par la méthode de Gauss
Soit (S ) un système de Cramer d’écriture matricielle AX = B. La méthode du pivot de Gauss consiste, en utilisant des
oel à transformer la matrice A en une matrice triangulaire supérieure en effectuant les mêmes opérations sur la matrice
colonne B. Lesystème correspondant est alors équivalent au système initial et possède donc le même ensemble solution.
La descente :
 x
−x

x
+2y
−3y
+y
+3z
+5z
+z
=
=
=
1
2
−1
On fait apparaître des zéros : coefficients de x dans les deuxièmes et troisièmes lignes. On ne touche pas à la première.

 x

+2y
−y
y
+3z
+8z
+2z
=
=
=
982
1
3
2
L2 ←− L2 + L1
L3 ←− L3 − L1
Ces opérations sur les lignes se traduisent par des multiplications à gauche par des matrices. Il suffit de voir le résultat sur
la matrice I3 . Donc il s’agit de la matrice


1
G1 =  1
−1
Autrement dit

1
G1 · A =  1
−1
ou encore

1
G1 · Ã =  1
−1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0 .
1
 
0
1
0 × −1
1
1
2
−3
1
2
−3
1
3
5
1
 
0
1
0 × −1
1
1
 
3
1
5 = 0
1
0
 
1
1
2  = 0
−1
0
2
−1
1

3
8
2
2
−1
1
3
8
2

1
3 .
2
On continue de «sculpter» le système (ou la matrice à obtenue en soudant les matrices A et B) pour faire apparaître un
zéro : le coefficient de y dans la troisième ligne.

 x

Cette fois
+2y
−y
=
=
=
1
3
5
1
G2 = 0
0
0
1
1
+3z
+8z
10z

L3 ←− L3 + L2

0
0 .
1
Il ne reste plus qu’à remonter : On trouve successivement z = 12 , y = 1 et x = − 52 .
Il est à remarquer
que G1 et G2 sont inversibles. Pour trouver leurs inverses, il suffit de défaire ce que faisaient ces matrices.

Pour G−1
1 :
Donc
 L1 ←− L1
L ←− L2 − L1 .
 2
L3 ←− L3 + L1

1

G−1
1 = −1
1
0
1
0

0
0 .
1

1

De même G−1
2 = 0
0
983
0
1
−1

0
0 .
1
25.12 Exercices
25.12.1
Opérations sur les matrices
Exercice 25.1
Soient les matrices :
♥

−1
A= 0
−2
1. Calculer : AB et BA.

1
−1 
0
0
2
1
et

1
B =  −1
2

1
2 
2
1
0
−1
2. Calculer : t(AB) et tB, t A et tBt A.
3. Calculer : Tr (A), Tr (B), Tr (AB) et Tr (BA).
4. Développer :(A + B)2 .
Solution :


1
1. AB = 
 −4
−3


1
2. t(AB) = 
 −2
1
−4

3
−3



2 
 et BA =  −3
0
−2
1

1
−2
2

0

−1 
. On remarque que AB = BA.
−6 0 3



−3
1 −1 2
−1




t

 t

−2 
, B =  1 0 −1 , A =  0

1
2
0
1
2
2
1
0
2
−1
−2


1


t t

1 
 et B A =  −2
0
1
−4
1
2
3. Tr (A) = 1, Tr (B) = 3, Tr (AB) = 2 et Tr (BA) = 2. On a bien : Tr (AB) = Tr (BA)
−3


t
−2 
 = (AB).
0
4. (A + B)2 = A2 + AB + BA + B2 = A2 + 2AB + B2 car AB = BA. De manière plus générale, la formule du binôme ne
s’applique pour développer (A + B)n que si A et B commutent.
Exercice 25.2
♥
Calculer lorsque cela est possible les produits AB et BA :
1.
A=
−1
2
0
1
1
0
1
0
1
et
Solution :
1. AB =
−1
3
2
1

1
 0
B=
 1
−1
et
2.
A=

−1

 2

et BA = 

 3

3
3.

0
1 

2 
A=
1
1
1
1
et


−1
 1 

B=
 0 
1
1


1
B= 0 
1
0
1
1
0
2
1
1
−1
1


0 

.

1 

−1
2. Le produit AB n’est pas possible. Par contre : BA = B.

3. AB =
1
−1

 1

et BA = 

 0

1
Exercice 25.3
−1
−1
1
1
0
0
1
1
−1


1 



0 

1
♥♥
1. Soient i , j , k, l ∈ 1,n et Ei j , Ekl les matrices élémentaires de Mn (K) correspondantes. Calculer Ei j × Ekl .
984
Chapitre
1
Nombres complexes
C’est plus Zamuzant en Z.
Publicité Peugeot - 20e siècle.
Pour bien aborder ce chapitre
En 1545, le mathématicien Gerolamo Cardano publie une formule donnant une solution par radicaux de l’équation 1
x 3 = ax + b :
x=
3
b
+
2
b 2
a 3 3 b
−
+
−
2
3
2
b 2
a 3
−
.
2
3
Cette formule avait été découverte par les mathématiciens del Ferro et Tartaglia. Ce dernier l’avait communiqué à Cardano
en lui demandant de s’engager à ne pas la publier, promesse que Cardano ne tint pas.
Bombelli, en 1572, applique la formule à l’équation x 3 = 9x + 2 et il obtient :
x=
3
1 + −26 +
3
1 − −26.
Il relève par ailleurs que x = 4 et x = −2 ± 3 sont les 3 solutions de l’équation. Il se retrouve donc face au problème
suivant : alors que les solutions de l’équation sont toutes réelles, il faut écrire des racines de nombres négatifs pour les
calculer. Bombelli ne se démonte pas et il invente alors des règles de calcul permettant de manipuler des quantités de
la forme a + −b avec b > 0 qui n’ont pas de sens. Il écrit par exemple −1 × −1 = −1. Ces nouveaux nombres ne
sont pas compris tout de suite et leur manipulation conduit à des absurdités. Au 17e siècle, René Descartes propose, tant
leur existence est contestable, de les appeler nombres imaginaires 2 . Il faut attendre la fin du 18e siècle et les travaux de
Caspar Wessel pour que la construction des nombres complexes soit bien formalisée et pour comprendre leur interprétation
géométrique. Ses travaux passent malheureusement complètement inaperçus. Quelques années plus tard, Carl Friedrich
Gauss redécouvre et popularise les travaux de Wessel. Il démontre en particulier le théorème fondamental de l’algèbre
(voir théorème 21.24 page 778) qui dit qu’un polynôme à coefficients complexes de degré n admet n racines comptées
avec leur multiplicité.
Ce chapitre reprend et approfondit les notions apprises au lycée quant aux nombres complexes. On verra en particulier
comment on peut les utiliser pour trouver les racines de certains polynômes à coefficients réels ou complexes, comment
ils servent à résoudre des problèmes de géométrie plane ainsi que des problèmes d’analyse réelle comme celui de la
primitivation de produits de fonctions trigonométriques ou la résolution d’équations trigonométriques. Ce chapitre servira
aussi d’introduction à la notion de structure algébrique et plus particulièrement à celle de groupe et celle de corps. Les
groupes sont des objets fondamentaux et vous verrez qu’ils sont omniprésents dans le cours de mathématiques durant vos
deux années en classe préparatoire.
Les fonctions trigonométriques seront utilisées en permanence pendant ces deux années et ce dès ce premier chapitre. Il
est indispensable d’avoir une connaissance parfaite du paragraphe B.1 page 1155 de l’annexe B.
1. Les nombres complexes ont été découvert en étudiant des équations polynomiales de degré 3 et non pas de degré 2 car les mathématiciens du 16e
siècle considèrent que des quantités comme x 2 + 1 sont strictement positives et que cela n’a pas de sens de chercher leurs racines
2. Les nombres négatifs ne sont d’ailleurs alors guère mieux compris. Dans son dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, d’Alembert
en parle comme d’une idée dangereuse : « Il faut avouer qu’il n’est pas facile de fixer l’idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens ont
même contribué à l’embrouiller par les notions peu exactes qu’ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c’est avancer une
chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que 1 n’est pas comparable à −1, & que le rapport entre 1 & −1 est différent du rapport entre
− − 1 & 1, sont dans une double erreur : (...) Il n’y a donc point réellement & absolument de quantité négative isolée : −3 pris abstraitement ne présente
à l’esprit aucune idée. »
19
Vous aurez aussi souvent à manipuler des sommes ou des produits (symbolisés respectivement par les symboles et Π).
Il sera utile pour vous familiariser avec ces calculs de lire le paragraphe B.2 page 1158, toujours dans l’annexe B. Vous
y trouverez les définitions de ces symboles ainsi que des méthodes et des formules classiques : télescopage, formule du
binôme, sommes géométriques, arithmétiques, etc ... Ces notions seront re-précisées au chapitre 8.
1.1
Le corps C des nombres complexes
1.1.1
Un peu de vocabulaire
D ÉFINITION 1.1 ♥ Produit cartésien
On appelle produit cartésien de deux ensembles A et B l’ensemble, noté A × B, des couples (a, b) où a ∈ A et b ∈ B.
Notation 1.1 On notera A2 le produit cartésien A × A.
Exemple 1.2 R2 est l’ensemble des couples de réels.
D ÉFINITION 1.2 ♥ Loi de composition interne
Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne une application de E × E dans E :
ϕ:
E×E
(a, b)
−→
−→
E
a
b
Exemple 1.3 Si E = N, la multiplication ou l’addition des entiers forme une loi de composition interne. Ce n’est pas le
cas de la soustraction car la différence de deux entiers positifs n’est pas toujours un entier positif.
1.1.2
Construction de C
D ÉFINITION 1.3 Corps des nombres complexes
Nous appellerons corps des nombres complexes que nous noterons C, l’ensemble R2 muni des deux lois internes ⊕ et ⊗
définies de la façon suivante. Pour tous couples (a, b) , a , b ∈ R2 , on pose
(a, b) ⊕ (a , b ) = (a + a , b + b )
(a, b) ⊗ (a , b ) = (aa − bb , ab + a b)
Remarque 1.1
Nous expliciterons et justifierons l’utilisation du mot corps un peu plus loin.
– Pour simplifier les écritures, nous noterons + et × (ou ·) les lois de composition interne ⊕ et ⊗.
– Pour tout nombre réel a , nous conviendrons d’identifier le nombre complexe (a,0) avec le réel a . Nous noterons par
ailleurs i le nombre complexe (0,1). En appliquant cette convention et en utilisant la définition de l’addition et de la
multiplication dans C, on peut écrire pour tout nombre complexe (a, b),
(a, b) = a + i b.
En effet, (a, b) = (a, 0) + (0,b). Par ailleurs, (0,b) = (b,0) × (0,1) = i .b donc (a, b) = a + i .b ou plus simplement a + i b .
P ROPOSITION 1.1
Le nombre complexe i précédemment introduit vérifie i 2 = −1 .
Démonstration
1.1.3
On a i 2 = (0,1) × (0,1) = (−1,0) = − (1,0) = −1.
Propriétés des opérations sur C
Avec les conventions d’écriture précédentes, l’addition et la multiplication définies sur R2 deviennent pour tous complexes
a + i b et a + i b ,
(a + i b) + (a + i b ) = (a + a ) + i (b + b )
(a + i b)(a + i b ) = (aa − bb ) + i (ab + ba )
20
P ROPOSITION 1.2 Propriétés de l’addition dans C
L’addition dans C
– est associative : ∀z, z , z ∈ C z + (z + z ) = (z + z ) + z ;
– est commutative : ∀z, z ∈ C z + z = z + z
– possède un élément neutre 0 : ∀z ∈ C z + 0 = z ;
– de plus, tout nombre complexe z = a + i b possède un opposé, −z = −a − i b .
On résume ces quatre propriétés en disant que (C, +) est un groupe commutatif.
Démonstration
Vérifications laissées en exercice au lecteur.
Remarque 1.2 Expliquons brièvement ce qu’est un groupe. Cette notion sera développée et étudiée dans le chapitre 19.
Considérons un ensemble G et une application qui à un couple x, y d’éléments de G associe un élément noté x y
de G. Une telle application est appelée une loi de composition interne sur G. On dit que (G, ) est un groupe si est une
loi de composition interne sur G qui vérifie les propriétés suivantes :
la loi
la loi
est associative : ∀x, y, z ∈ G,
x
y
z = x
admet un élément neutre e ∈ G : ∀x ∈ G,
x
tout élément x de G admet un symétrique y : ∀x ∈ G,
z.
y
e =e
x = x.
∃y ∈ G :
Si de plus la loi est commutative, c’est-à-dire si elle vérifie : ∀x, y ∈ G,
abélien (ou commutatif ).
x
x
y=y
y=y
x = e.
x , alors on dit que le groupe est
Il est clair que l’addition dans C vérifie ces propriétés. C’est aussi le cas de la multiplication dans C∗ 3 :
P ROPOSITION 1.3 Propriétés de la multiplication dans C
La multiplication dans C
– est associative : ∀z, z , z ∈ C z(z z ) = (zz )z
– est commutative : ∀z, z ∈ C zz = z z
– possède un élément neutre 1 : ∀z ∈ C z × 1 = z
De plus, tout nombre complexe non nul z = a + i b possède un inverse z −1 vérifiant z × z −1 = 1 donné par
z −1 =
a
b
−i 2
a2 + b2
a + b2
On résume ces quatre propriétés en disant que (C∗ , ×) est un groupe commutatif.
Démonstration Prouvons l’existence d’un inverse. Soit z = a + i b un complexe non nul. Remarquons que (a + i b)(a − i b) =
a 2 + b 2 . Le complexe z étant non nul, a 2 + b 2 = 0 4 . En divisant les deux membres de l’égalité par a 2 + b 2 , on trouve
a −ib
(a + i b) × 2
=1
a + b2
ce qui prouve que z possède un inverse z −1 qui s’écrit
a −ib
a 2 + b2
.
De plus, la multiplication est distributive par rapport à l’addition :
∀z, z , z ∈ C,
z z +z
= zz + zz
et
z + z z = zz + z z .
On résume les deux propositions précédentes en disant que (C, +, ×) est un corps. Nous définirons ce terme dans le chapitre
19.
Une conséquence importante est que les formules fondamentales suivantes sont valables dans C :
(a + b)n =
n k n−k
n
a b
k=0 k
Formule du binôme
a n − b n = (a − b)
n−1 n−1−k k
a
b
k=0
Formule de factorisation

n+1

1−q
n
k
q =
1−q
k=0

n + 1
si q = 1
Somme géométrique
si q = 1
Les deux premières seront démontrées dans le théorème 19.17 page 725 et la troisième dans la proposition 8.7 page 307.
3. C∗ représente l’ensemble des nombres complexes privé de 0
4. En effet, si la somme de deux nombres positifs est nulle, alors ces deux nombres sont nécessairement nuls.
21
1.2
Parties réelle, imaginaire, Conjugaison
1.2.1
Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe
P ROPOSITION 1.4
Soient a , a , b et b des réels. On a :
• a + i b = 0 ⇔ a = 0 et b = 0.
• a + i b = a + i b ⇔ a = a et b = b .
Pour tout nombre complexe z il existe donc un unique couple (a, b) de réels tels que z = a + i b .
– a + i b est la forme algébrique de z .
– a est la partie réelle de z . On la note Re(z)
– b est la partie imaginaire de z . On la note Im(z).
Démonstration En utilisant les conventions précédentes, a + i b = 0 se lit (a,b) = (0,0) ce qui est vrai si et seulement si a = 0 et
b = 0. La suite en découle facilement.
Dans toute la suite du chapitre a et b désignent des nombres réels sauf mention du contraire.
P ROPOSITION 1.5 Nombre imaginaire pur
1. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle
z ∈ R ⇔ Im (z) = 0
2. Si un nombre complexe a sa partie réelle nulle, on dit qu’il est imaginaire pur. On notera i R l’ensemble des
nombres imaginaires purs
z ∈ i R ⇔ Re(z) = 0
Démonstration
1.2.2
C’est une conséquence directe des définitions.
Conjugaison
D ÉFINITION 1.4 Conjugué d’un nombre complexe
Soit z = a + i b ∈ C, un nombre complexe. On appelle complexe conjugué de z que l’on note z̄ le nombre complexe
défini par z̄ = a − i b .
P ROPOSITION 1.6
Pour tout complexe z ∈ C, on a
1. Re(z) =
3. z̄¯ = z .
z + z̄
2
4. z̄ = z ⇐⇒ z ∈ R
z − z̄
2. Im(z) =
.
2i
Démonstration
5. z̄ = −z ⇐⇒ z ∈ i R
Calculs immédiats.
P ROPOSITION 1.7 ♥ Propriétés de la conjugaison
Pour tous complexes z, z ∈ C,
1. z + z = z̄ + z̄
3.
z
z̄
=
z
z̄
si z = 0.
2. zz = z̄ z̄
Démonstration Calculs immédiats. Pour le quotient (3), on peut raccourcir les calculs en remarquant que si u = z/z alors z = u z
et appliquer (2).
22
Application 1.4 Mise sous forme algébrique d’un quotient de nombres complexes. Pour mettre sous forme algébrique
le complexe
3 − 2i
, on multiplie le quotient, en haut et en bas par le conjugué du dénominateur :
2+i
3 − 2i (3 − 2i )(2 − i )
4 − 7i
1
=
= 2 2 = (4 − 7i )
2+i
2 −i
5
(2 + i )(2 − i )
Remarque 1.3
Si z ∈ C alors zz ∈ R∗+ .
1.3
Représentation géométrique des complexes
1.3.1
Représentation d’Argand
→
→
On notera P l’ensemble des points du plan et V l’ensemble des vecteurs du plan. Soit R = (O, −
ı ,−
 ) un repère orthonormal du plan. À tout point M de coordonnées (x, y) dans ce repère on peut faire correspondre le nombre complexe z = x+i y .
On réalise ainsi une bijection de C vers le plan. À tout nombre complexe on peut faire correspondre un unique point du
plan et réciproquement à tout point du plan on peut faire correspondre un unique complexe. Cette représentation est due
au mathématicien français Jean Robert Argand (1768 − 1822) et va s’avérer d’un grand intérêt en géométrie. Certains
problèmes de géométrie se traduisent très bien en calculs faisant intervenir des nombres complexes et réciproquement,
certains calculs avec les nombres complexes ont une interprétation géométrique naturelle.
y
z = x+i y
i
O
x
1
F IGURE 1.1 – Représentation d’Argand
→
v de V de
De la même façon, on peut identifier l’ensemble des vecteurs V du plan avec C en associant à tout vecteur −
coordonnées (α, β) dans R le complexe α + i β et réciproquement.
D ÉFINITION 1.5 Image d’un nombre complexe, affixe d’un point, d’un vecteur
→
→
ı ,−
 ) un repère orthonormal du plan.
Soit R = (O, −
– L’image du nombre complexe z = x + i y est le point du plan de coordonnées (x, y) dans le repère R .
– L’affixe du point M de coordonnées (x, y) dans le repère R est le nombre complexe z = x +i y que l’on notera Aff(M).
→
→
→
→
v = α−
ı +β−
 est le complexe α + i β que l’on notera Aff(−
u ).
– L’ affixe du vecteur −
→
ı ). Ceux qui ont une affixe imaginaire
Remarque 1.4 Les points du plan d’affixe réelle sont situés sur l’axe réel (O, −
→
−
sont situés sur l’axe imaginaire (O,  ).
1.3.2
Interprétation géométrique de quelques opérations
→
→
On considère dorénavant et pour tout le reste du chapitre qu’un repère orthonormal R = (O, −
ı ,−
 ) a été fixé, ce qui permet
d’identifier C au plan P.
P ROPOSITION 1.8 Propriétés de l’affixe
→
→
Soient −
u et −
v deux vecteurs de V . Soient A et B deux points de P :
−
→
→
→
Aff(→
u +−
v ) = Aff(−
u ) + Aff(−
v)
23
−→
Aff(AB) = Aff(B) − Aff(A)
Démonstration
−
−
−
−ı + b −
→
−
−ı + d →
− et →
−
−
−ı + (b + d)→
− . Ce
1. Supposons que Aff(→
u ) = a + i b et Aff(→
v ) = c + i d alors →
u = a→
,→
v = c→
u +→
v = (a + c)→
→
−
→
−
→
−
→
−
qui prouve que Aff( u + v ) = (a + c) + i (b + d) = (a + i b) + (c + i d ) = Aff( u ) + Aff( v ).
−→
−→
−→
−→
−→
−→
2. Comme OB = OA + AB, en utilisant l’égalité précédente, on obtient Aff(OB) = Aff(OA) + Aff(AB), soit Aff(B) = Aff(A) +
−→
Aff(AB).
P ROPOSITION 1.9 Interprétation géométrique de z → z + a
→
→
Soit −
u un vecteur d’affixe a . La translation de vecteur −
u est l’application qui à tout point M d’affixe z associe le point
d’affixe z + a .
−−−→
−−→
−
−
Démonstration Au point M de P , la translation de vecteur →
u associe le point M tel que OM = OM + →
u . Si z, z et a sont les
→
−
affixes respectives de M, M et u , la proposition précédente conduit à z = z + a .
P ROPOSITION 1.10 Interprétation géométrique de z → z̄
→
La réflexion d’axe (O, −
ı ) est l’application qui à tout point M d’affixe z associe le point d’affixe z̄ .
→
Démonstration La réflexion d’axe (O, −
ı ) associe à tout point M de coordonnées (x, y) le point M de coordonnées (x,−y). La
proposition s’en déduit immédiatement.
1.4
Module d’un nombre complexe, inégalités triangulaires
D ÉFINITION 1.6 Module d’un nombre complexe
Soient z = a + i b un nombre complexe et M son image dans P. On appelle module de z le réel positif ou nul noté |z|
et donné par :
−−→
|z| = ||OM||
P ROPOSITION 1.11 ♥ Expression du module d’un nombre complexe
Pour tout complexe z = a + i b ,
|z| =
z z̄ =
a2 + b2
−−→
Soit z = a + i b ∈ C et soit M l’image de z dans P alors on sait que |z|2 = ||OM||2 = a 2 + b2 . Par ailleurs,
z z̄ = (a + i b)(a − i b) = a 2 + b 2 .
Démonstration
P ROPOSITION 1.12 ♥ Propriétés du module
Pour tout nombre complexe z ,
1. |z| = 0 ⇔ z = 0
3. Re(z)
2. |z| = |z̄|
4. Im(z)
|Re(z)|
|z|
|Im(z)|
|z|
Démonstration
1. Soit z = a + i b ∈ C tel que |z| = 0 alors a 2 + b 2 = 0 ce qui n’est possible que si a = b = 0. Réciproquement, si z = 0 alors
|z| = 0.
2. Évident.
3. Si z = a + i b alors Re(z) = a |a| = a 2
a 2 + b 2 = |z|.
4. De même.
P ROPOSITION 1.13
Pour tous nombres complexes z, z ,
1.
1
z̄
= 2 si z = 0.
z |z|
3. |zz | = |z||z | .
4.
1
2. |z| = 1 ⇔ = z̄ .
z
24
z
|z|
=
z
|z |
si z = 0.
Démonstration
1. Si z ∈ C∗ , on a
z×
donc
1
z̄
.
=
z |z|2
2. Si |z| = 1, le résultat précédent amène :
z̄
|z|2
=
zz
|z|2
|z|2
=
|z|2
=1
1
= z . La réciproque est évidente.
z
3. Pour la troisième, écrivons |zz |2 = (zz )(zz ) = z z̄z z̄ = |z|2 |z |2 . On termine en passant à la racine carrée et en remarquant
que zz
0 et que |z| 0, z
0.
4. Et pour la dernière :
z 2 z z
|z|2
. On termine alors de la même façon qu’en 3.
=
=
z
z z
|z |2
P ROPOSITION 1.14 ♥♥♥ Inégalités triangulaires
Pour tous nombres complexes z et z , on a
1. |z + z |
|z| + |z | .
Démonstration
2.
|z| − |z |
|z − z | .
Soient deux complexes z, z ∈ C.
1. On peut démontrer de manière géométrique la première inégalité triangulaire en remarquant que c’est une traduction, dans
le cadre complexe, de celle vue pour le triangle en classe de cinquième. Si le point M est l’image du complexe z et le point
−−→
N l’image du complexe z + z dans P , alors, dans le triangle OMN, ON OM +MN. Comme Aff(MN) = Aff(N) − Aff(M) =
z + z − z = z , on a MN = |z |. Par ailleurs, ON = |z + z | et OM = |z|. On peut aussi démontrer cette première inégalité de
manière algébrique. Développons le module au carré
|z + z |2 = (z + z )(z + z ) = |z|2 + 2Re (zz ) + |z |2
En utilisant l’inégalité Re zz
|z||z |, on en tire que
|z + z |2
|z|2 + 2|z||z | + |z |2 = |z| + |z |
2
et il suffit de prendre la racine carrée de ces nombres positifs.
2. Utilisons l’inégalité triangulaire déjà démontrée :
|z| = |(z + z ) + (−z )|
d’où |z| − |z |
|z + z | + |−z | = |z + z | + |z |
|z + z |. On obtient de façon symétrique
|z | = |(z + z ) + (−z)|
d’où également |z | − |z|
|z + z |. Puisque |z| − |z |
|z + z | + |z|
|z + z | et que −(|z| − |z |)
|z + z |, on a bien |z| − |z |
|z + z |.
P ROPOSITION 1.15
Soient a ∈ C et r ∈ R∗+ . Soit A le point du plan d’affixe a . L’ensemble des points du plan d’affixe z ∈ C vérifiant
• |z − a| = r est le cercle de centre A et de rayon r .
• |z − a| r est le disque fermé de centre A et de rayon r .
• |z − a| < r est le disque ouvert de centre A et de rayon r .
Démonstration
Ces trois résultats proviennent de l’égalité |z − a| = AM
1.5
Nombres complexes de module 1
1.5.1
Groupe U des nombres complexes de module 1
P ROPOSITION 1.16 Groupe U des nombres complexes de module 1
Nous noterons U, l’ensemble des nombres complexes de module égal à 1
U = {z ∈ C | |z| = 1}
Cet ensemble vérifie les propriétés suivantes.
1. U est stable pour le produit : ∀z, z ∈ U,
z.z ∈ U.
25
2. Le produit est associatif : ∀z, z , z ∈ U,
(z × z ) × z = z × (z × z ).
4. Si z est élément de U, alors son inverse
1
1
aussi. De plus, on a
= z̄ .
z
z
5. Le produit est commutatif : ∀z, z ∈ U,
z × z = z × z.
3. Le complexe 1 est élément de U et est l’élément neutre du produit : ∀z ∈ U,
z × 1 = 1 × z = z.
On dit que (U, ×) est un groupe commutatif appelé groupe des nombres complexes de module 1.
i
U
z
1
O
z̄ = 1z
F IGURE 1.2 – groupe U des nombres complexes de module 1
Démonstration
Soient z, z ∈ U.
1. On a : z × z = |z| × z = 1 × 1 = 1. Donc z × z ∈ U.
2. L’associativité est une conséquence directe de l’associativité de la multiplication dans C.
3. On a : |1| = 1 donc 1 ∈ U. La suite est évidente.
4. On a : z × z̄ = z̄ × z = |z|2 = 1 donc z̄ est l’inverse de z . En utilisant les notations introduites précédemment, on obtient
z −1 = 1/z = z̄ .
5. La commutativité est une conséquence directe de la commutativité de la multiplication dans C.
Remarque 1.5
1.5.2
On verra dans l’exemple 19.10 page 722 une méthode plus rapide pour vérifier que (U, ×) est un groupe.
Exponentielle imaginaire
On suppose ici connues les propriétés élémentaires des fonctions cosinus et sinus ainsi que les différentes formules de
trigonométrie circulaire. On pourra se reporter à ce sujet à l’annexe B paragraphe B.1. Ce paragraphe doit être parfaitement
maîtrisé.
L EMME 1.17
Soient (a, b) ∈ R2 tel que a 2 + b 2 = 1. Il existe un réel (pas unique) θ tel que a = cosθ et b = sin θ.
Démonstration Comme a 2 +b 2 = 1, on a nécessairement −1 a 1 et −1 b 1. L’image de R par la fonction cos étant [−1,1],
il existe α ∈ R tel que cos α = a . Comme : cos2 α + sin2 α = 1, il vient sin2 α = b2 . Une des deux égalités suivantes est alors vérifiée
par α, sinα = b ou bien sinα = −b .
– Si la première est vraie, nous posons θ = α.
– Sinon, la seconde est alors vraie et nous posons θ = −α.
Dans les deux cas, le réel θ construit vérifie les deux égalités mentionnées dans l’énoncé du lemme.
26
P ROPOSITION 1.18
Pour tout complexe z ∈ U, il existe un réel θ tel que z = cosθ + i sin θ.
Démonstration Soit z = a +i b ∈ U. Par définition de U, a et b vérifient a 2 +b2 = 1. Par application du lemme précédent, il existe
donc θ ∈ R tel que a = cos θ et b = sinθ. On a donc z = cos θ + i sin θ.
Remarque 1.6
→
→
→
Soit z ∈ C et soit θ ∈ R tel que z = cosθ + i sin θ. On rapporte le plan à un repère orthonormé direct O, −
ı ,−
 . Soit −
u un
→
→
vecteur d’affixe z alors θ est une mesure de l’angle −
ı ,−
u . Cette mesure est définie à 2kπ près ( k ∈ Z).
i
u(z)
θ
1
O
F IGURE 1.3 – Interprétation géométrique de la proposition 1.18
D ÉFINITION 1.7 Exponentielle imaginaire
Pour tout réel θ ∈ R, nous appellerons exponentielle imaginaire de θ et nous noterons e iθ le nombre complexe défini par
e iθ = cos θ + i sin θ
Remarque 1.7
– Soit z ∈ U. D’après la proposition 1.18, il existe θ ∈ R tel que z = e iθ .
– Réciproquement, tout nombre complexe de la forme e iθ est de module 1. Donc
U = z ∈ C | ∃θ ∈ R, z = e iθ
Remarque 1.8 La définition précédente est justifiée par l’égalité suivante, qui généralise la propriété fondamentale de
l’exponentielle réelle ∀a, b ∈ R, e a+b = e a e b .
P ROPOSITION 1.19 ♥ Propriété de morphisme de l’exponentielle imaginaire
∀θ, θ ∈ R,
e i (θ+θ ) = e iθ e iθ
27
i
eiθ
θ
1
O
F IGURE 1.4 – e iθ
Soient θ, θ ∈ R. On a :
Démonstration
e
i (θ+θ )
par définition de l’exponentielle d’un nombre imaginaire pur
=
cos θ + θ + i sin θ + θ
=
(cos(θ) + i sin(θ)) cos(θ ) + i sin(θ )
=
=
cos(θ) cos(θ ) − sin(θ)sin(θ ) + i cos(θ) sin(θ ) + sin(θ)cos(θ ) par application des formules d’addition
e iθ e iθ
Remarque 1.9
Afin d’expliquer cette terminologie, explicitons ce qu’est un morphisme de groupes. Cette notion sera étudiée dans le
paragraphe 19.1.3 du chapitre 19. Soit (G1 , 1 ) et (G2 , 2 ) deux groupes. On dit qu’une application ϕ de G1 dans G2 est
un morphisme de groupes lorsque
∀x, y ∈ G1 ,
ϕ x
1y
= ϕ (x)
2ϕ
y
Nous pouvons alors reformuler la propriété précédente.
P ROPOSITION 1.20
La fonction exponentielle est un morphisme du groupe (R, +) sur le groupe (U, ×)
Remarque 1.10
Avec les notations de la définition 1.9, on définit
• Le noyau du morphisme ϕ comme étant le sous-ensemble de G1 noté Kerϕ donné par : Kerϕ = x ∈ G1 | ϕ (x) = e 2
où e 2 est le neutre de G2 .
• L’image du morphisme ϕ comme étant le sous-ensemble de G2 noté Im ϕ donné par : Im ϕ = ϕ (x) | x ∈ G1 .
Notre morphisme de groupes
ϕ:
(R, +)
θ
−→
−→
(C∗ , ×)
e iθ
a pour noyau Kerϕ = 2πZ et pour image Im ϕ = U .
P ROPOSITION 1.21
Soient θ et θ deux réels, on a e iθ = e iθ ⇐⇒ ∃k ∈ Z,
Démonstration
est évidente.
θ = θ + 2kπ
Si e iθ = e iθ alors e i (θ−θ ) = 0 et θ − θ = 2kπ où k ∈ Z. Par conséquent θ = θ + 2kπ avec k ∈ Z . La réciproque
28
π
Remarque 1.11 e i×0 = 1, e i 2 = 1, e iπ = −1. Cette dernière égalité, écrite sous la forme e iπ + 1 = 0 est connue sous
le nom de « Relation d’Euler ». Elle est remarquable car elle lie cinq nombres fondamentaux en mathématiques e, i , π,1
et 0.
C OROLLAIRE 1.22
Pour tout réel θ ∈ R, on a e −iθ =
1
e iθ
= e iθ
Démonstration En effet, si θ ∈ R, e iθ e −iθ = e i(θ−θ) = e i×0 = 1. Par conséquent, l’inverse du nombre complexe e iθ est e −iθ .
Comme e iθ ∈ U, par application de la proposition 1.16, l’inverse de e iθ est aussi e iθ , d’où les deux égalités ci-dessus.
T HÉORÈME 1.23 ♥ Formules d’Euler
∀θ ∈ R,
Démonstration
cosθ =
Soit θ ∈ R. On a :
e iθ + e −iθ
2
et
sin θ =
e iθ − e −iθ
2i
e iθ = cos θ + i sin θ
e −iθ = cos θ − i sin θ
En additionnant la première équation à la deuxième et en divisant les deux membres de l’égalité obtenue par 2, on obtient la formule
annoncée pour cos θ. De même, en soustrayant la deuxième équation à la première et en divisant les deux membres de l’égalité
obtenue par 2i , on obtient la formule annoncée pour sinθ.
B IO 1 Leonhard Euler, né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg.
Peu après sa naissance les parents d’Euler déménagent à Riehen. Le père d’Euler
est un ami de la famille Bernoulli et Jean Bernoulli, dont Euler profita des leçons,
est alors considéré comme le meilleur mathématicien européen. Le père d’Euler
souhaite que Leohnard devienne comme lui pasteur mais Jean Bernoulli qui a
remarqué les aptitudes remarquables de son élève, le convainc qu’il est destiné
aux mathématiques.
Après ses études à Bâle, il obtient un poste à Saint-Pétersbourg en 1726 qu’il
quitte pour un poste à l’académie de Berlin en 1741. Malgré la qualité de ses
contributions à l’académie, il est contraint de la quitter en raison d’un conflit
avec Frédéric II. Voltaire qui était bien vu par le roi avait des qualités rhétoriques qu’Euler n’avait pas et dont il fut la victime. En 1766, il retourne à
Saint-Pétersbourg où il décéda en 1783.
Euler souffrit tout au long de sa vie de graves problèmes de vue. Fait remarquable, il effectua la plus grande partie de ses découvertes lors des dix-sept
dernières années de sa vie, alors qu’il était devenu aveugle. Il fut, avec 886 publications, un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps. Il est
à l’origine de multiples contributions en analyse (nombres complexes, introduction des fonctions logarithmes et
exponentielles, détermination de la somme des inverses des carrés d’entiers, introduction de la fonction gamma,
invention du calcul des variations, ...), géométrie (cercle et droite d’Euler d’un triangle, formule liant le nombre de
faces, d’arêtes et de sommets d’un polyèdre, ...), théorie des nombres (fonction indicatrice d’Euler, ...), théorie des
graphes (problème des sept ponts de Königsberg) ou même en physique (angles d’Euler, résistance des matériaux,
dynamique des fluides... ) et en astronomie (calcul de la parallaxe du soleil,...).
P ROPOSITION 1.24 ♥ Formule de Moivre
∀θ ∈ R,
Démonstration
∀n ∈ Z,
e inθ = e iθ
n
Soit θ ∈ R. Montrons d’abord par récurrence la propriété pour n ∈ N .
0
– Si n = 0, on a : e i×0 = 1 = e iθ . L’égalité est donc vraie au rang 0.
29
– Supposons l’égalité vraie au rang n et démontrons-la au rang n + 1 :
e i(n+1)θ
=
e i(nθ+θ)
=
e iθ e iθ
=
e iθ
e iθ e inθ car exp est un morphisme de groupes
=
n
par hypothèse de récurrence
n+1
Démontrons maintenant la propriété pour n ∈ Z \ N. On a alors −n ∈ N et on peut appliquer la relation que nous venons de prouver
à l’entier −n . Cela donne : e i (−n) θ = e −iθ
donc
1
e inθ
=
1
e iθ
n
n
. Mais d’après la proposition 1.22, on a e i (−n)θ = e −inθ =
et l’on a bien e i n θ = e iθ
n
1
e inθ
et e −iθ
n
=
1
e iθ
. La relation est alors démontrée pour tout n ∈ Z.
Les formules suivantes interviennent souvent dans les exercices.
P ROPOSITION 1.25 ♥♥♥ Factorisation par les angles moitiés
Pour tout réel x ∈ R :
ix
ix
ix
ix
ei x + 1 = e 2 e 2 + e− 2
Remarque 1.12
= 2e 2 cos
x
2
ix
ix
ix
ei x − 1 = e 2 e 2 − e− 2
ix
= 2i e 2 sin
x
2
On a la factorisation de l’angle moitié plus générale (voir figure 1.6) :
ei x + ei y = e
i(x+y)
2
e
i(x−y)
i(x−y )
2
+ e− 2
= 2e i
x+y
2 cos
x−y
.
2
eix + eiy
1 + eix
eiy
os
x−
2 y
eix
2c
x
os 2
2c
x+y
2
x
2
O
eix
O
1
ix
F IGURE 1.5 – e i x + 1 = 2e 2 cos
x
2
F IGURE 1.6 – e i x + e i y = 2e i
x+y
2 cos
x−y
2
B IO 2 Abraham de Moivre né le 26 mai 1667 à Vitry-le-François et mort le 27 novembre 1754 à Londres.
Abraham de Moivre est un mathématicien français qui vécut la plus grande
partie de sa vie en exil à Londres en raison de la révocation de l’Edit de
Nantes. Il fut l’auteur de deux ouvrages majeurs en mathématiques. Le premier, consacré aux probabilités ``Doctrine of chance´´et paru en 1718, s’intéresse en particulier au calcul des probabilités d’un événement aléatoire
dépendant d’autres événements aléatoires ainsi qu’aux problèmes de convergence des variables aléatoires. Le second, ``Miscellanea Analytica´´, paru en
1730, est un ouvrage d’analyse dans lequel figure pour la première fois la
fameuse « formule de Stirling ». On raconte cette histoire au sujet de sa mort.
Il s’était rendu compte qu’il dormait un quart d’heure de plus chaque nuit. En
utilisant cette suite arithmétique, il avait calculé à quelle date il mourrait : cela
devait correspondre au jour où il dormirait 24 heures. Ce fut exactement ce
qu’il advint.
30
n
,
1.6
Argument, fonction exponentielle complexe
1.6.1
Argument d’un nombre complexe
P ROPOSITION 1.26 Argument d’un nombre complexe, Argument principal d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul. Il existe au moins un nombre réel θ tel que z = ρe iθ où ρ = |z| ∈ R∗+ est le module
de z .
– ρe iθ est une forme trigonométrique de z .
– Le réel θ est appelé un argument de z .
Un tel nombre n’est pas unique : si θ0 est un argument de z , l’ensemble de tous les arguments de z est donné par
{θ0 + 2kπ | k ∈ Z}. On notera arg(z) = θ0 [2π]. Enfin, il existe un unique argument de z appartenant à l’intervalle ]−π, π].
On l’appellera l’argument principal de z .
Démonstration Soit z un nombre complexe non nul. Posons ρ = |z| = 0, on a alors z/ρ ∈ U. D’après la remarque 1.7, il existe
θ ∈ R tel que : z/ρ = e iθ ce qui prouve l’existence d’un argument de z . Si θ ∈ R est un autre argument de z , on a bien : θ ≡ θ[2π].
En effet, en partant de z = e iθ = e iθ et en utilisant la proposition 1.21, il existe k ∈ Z tel que θ = θ + 2kπ.
Exemple 1.5 On a :
arg 1 ≡ 0[2π]
argi ≡
π
[2π]
2
arg−1 ≡ π [2π]
π
arg −i ≡ − [2π]
2
z = ρeiθ
ρ
i
θ
O
1
F IGURE 1.7 – Représentation trigonométrique d’un nombre complexe
P LAN 1.1 : Comment calculer le module et un argument d’un nombre complexe donné
Soit z = a + i b ∈ C∗ d’argument θ ∈ R et de module ρ ∈ R∗+ . Exprimons ρ et θ en fonction de a et b :
• On a ρ = |z| = a 2 + b 2
• Comme z = a + i b = ρ (cosθ + i sin θ) = ρ
vérifiant cosθ =
a
a2 + b2
et sin θ =
b
a2 + b2
a
a2 + b2
+i
.
b
a2 + b2
, on cherche un unique réel θ ∈] − π, π]
P ROPOSITION 1.27 Produit et quotient de deux nombres complexes sous forme trigonométrique
Soient deux nombres complexes non nuls : z = ρe iθ et z = ρ e iθ ,
1. zz = ρρ e i (θ+θ )
2.
31
z
ρ
= e i (θ−θ ) .
z
ρ
Démonstration
C’est une conséquence directe de la proposition 1.19.
C OROLLAIRE 1.28
Soient z et z deux nombres complexes non nuls. On a :
1. arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2π]
2. arg
3. arg(z̄) = arg
z
= arg(z) − arg(z ) [2π] .
z
1
= − arg(z) [2π]
z
Démonstration Démontrons la première égalité, la démonstration des deux suivantes est identique. Notons θ (respectivement θ )
un argument de z (respectivement de z ) et ρ (respectivement ρ ) le module de z (de z ). Par application de la propriété précédente,
zz = ρρ e i (θ+θ ) . Par conséquent arg zz = θ + θ [2π] = arg z + arg z [2π].
P ROPOSITION 1.29
∀n ∈ Z, ∀z ∈ C∗ ,
arg(z n ) = n arg (z) ([2π])
Démonstration
Soient n ∈ Z et z ∈ C∗ . L’écriture trigonométrique de z est z = ρe iθ où θ ∈ R est un argument de z et ρ
n
n
est le module de z . On a donc : z n = ρe iθ = ρn e iθ = ρn e inθ par application de la formule de Moivre. Par conséquent,
arg z n = nθ ([2π]) = n arg (z) [2π].
1.6.2
Fonction exponentielle complexe
On suppose ici connues les propriétés de la fonction exponentielle réelle. On pourra à ce sujet consulter le paragraphe
4.1.2.
D ÉFINITION 1.8 Fonction exponentielle complexe
Soit z = a + i b un nombre complexe. On appelle exponentielle de z le nombre complexe
e z = e a+ib = e a e ib
La fonction qui à tout nombre complexe z associe le nombre complexe e z ainsi définie s’appelle fonction exponentielle
complexe.
Remarque 1.13
– Soit z = a + i b ∈ C. On a e z = e a+ib = e a e ib = e a [cos b + i sin b]
– Soit z = a + i b ∈ C. On a |e z | = e a e ib = |e a | e ib = |e a | = e a car la fonction exponentielle réelle est strictement
positive.
– La fonction exponentielle complexe ne s’annule jamais : |e z | = e a = 0. La fonction exponentielle complexe est donc à
image dans C∗ .
– La fonction exponentielle complexe prolonge la fonction exponentielle réelle ( ce qui signifie que sa restriction aux
nombres réels coïncide avec la fonction exponentielle réelle).
– Si Z est un complexe non nul, on peut l’écrire sous forme trigonométrique Z = ρe iθ . Un complexe z = a + i b vérifie
e z = Z si et seulement si e a e ib = ρe iθ . En prenant le module, on trouve que a = ln(ρ) puis ensuite b = θ + 2kπ ,
(k ∈ Z ).
– La fonction exponentielle complexe
C
z
−→
−→
C
ez
est surjective (Voir la définition 1.7 page 1139) mais pas injec-
tive (Voir la définition 1.6 page 1138). Il sera impossible à notre niveau de définir un logarithme complexe.
P ROPOSITION 1.30 La fonction exponentielle complexe est un morphisme du groupe (C, +) dans le groupe (C∗ , ×)
∀z, z ∈ C,
e z+z = e z e z
∀z ∈ C,
ez
−1
= e −z
Démonstration
• Soient z = a + i b, z = a + i b ∈ C. En utilisant les propriétés de l’exponentielle réelle et imaginaire, e z e z = e a e ib e a e ib =
e a+a e i(b+b ) = e z+z .
−1
• Soit z ∈ C. Par application de la propriété précédente, e z e −z = e z−z = e 0 = 1. Par conséquent, e −z est l’inverse de e z et e z
=
−z
.
e
Vous pouvez maintenant étudier l’appendice B.3 pour des applications très importantes de l’exponentielle imaginaire aux
calculs trigonométriques. Avant cela, il est conseillé de lire l’appendice B.2 pour vous familiariser avec les techniques de
calcul de sommes et à la notation .
32
1.7
Racines n -ièmes de l’unité
Dans tout ce paragraphe n désigne un entier naturel non nul : n ∈ N∗ .
D ÉFINITION 1.9 Racine n -ième d’un nombre complexe
Soit z ∈ C. On appelle racine n -ième du nombre complexe z tout nombre complexe ξ vérifiant ξn = z .
2iπ
Exemple 1.6 i est une racine deuxième de −1, e 3 est une racine cubique de 1, i 2 est une racine deuxième de −2.
D ÉFINITION 1.10 Racine n -ième de l’unité
On appelle racine n -ième de l’unité une racine n -ième de 1, c’est-à-dire un nombre complexe z tel que z n = 1 . On
notera Un l’ensemble des
racines n -ièmes de l’unité : Un = {z ∈ C | z n = 1} .
Remarque 1.14
– Pour tout n 1, on a : 1 ∈ Un et −1 ∈ Un si et seulement si n est pair.
– On a Un ⊂ U. En effet, si z ∈ Un alors z n = 1 et donc |z|n = |z n | = 1. Comme |z| ∈ R∗+ , cette égalité n’est possible que
si |z| = 1.
Notation 1.7 Soient m, n ∈ Z tels que m
n . On note m, n l’intervalle d’entiers donné par :
m, n = {k ∈ Z | m
n} .
k
2ikπ
P ROPOSITION 1.31 ♥♥♥ Les racines n -ièmes de l’unité sont de la forme ωk = e n où k ∈ 0,n − 1
2iπ
Notons ω = e n . Il y a exactement n racines n -ièmes de l’unité. Elles sont données par les puissances de ω : ωk où
k ∈ 0,n − 1
Un = ωk | k ∈ [[0,n − 1]] = e
2ikπ
n
| k ∈ 0,n − 1
Démonstration Soit z ∈ C tel que z n = 1. En prenant le module, on en déduit que |z| = 1. Il existe donc un unique réel θ ∈ [0,2π[
tel que z = e iθ . On doit alors avoir e inθ = 1, c’est-à-dire nθ = 2kπ avec k ∈ Z . Comme on veut θ ∈ [0,2π[, on doit avoir 0 k < n
2kπ
et donc k ∈ [[0,n − 1]] d’où z = e i n = ωk . Réciproquement, tout complexe de cette forme vérifie bien z n = 1.
P ROPOSITION 1.32 (Un , ×) est un groupe commutatif
L’ensemble Un vérifie les propriétés suivantes :
1. Un est stable pour le produit (c-a-d : ∀ξ, ξ ∈ Un ,
2. Le produit est associatif (c-a-d : ∀ξ, ξ , ξ ∈ Un ,
ξ × ξ ∈ Un ).
(ξ × ξ ) × ξ = ξ × (ξ × ξ )).
3. Le complexe 1 est élément de Un et est l’élément neutre du produit (c-a-d : ∀ξ ∈ Un ,
4. Si ξ est élément de Un , alors son inverse
1
aussi. De plus, on a :
ξ
ξ × 1 = 1 × ξ = ξ).
1
= ξ̄
ξ
5. Le produit est commutatif (c-a-d : ∀ξ, ξ ∈ Un ,
ξ × ξ = ξ × ξ).
(Un , ×) est donc muni d’une structure de groupe commutatif.
Démonstration
Soient ξ,ξ ∈ Un :
1. On a : ξ × ξ n = ξn × ξ n = 1. Donc ξ × ξ ∈ Un .
2. L’associativité est une conséquence directe de l’associativité du produit dans C.
3. On a : 1n = 1 donc 1 ∈ Un . La suite est évidente.
n
4. Remarquant tout d’abord que ξ = ξn = 1. Donc ξ ∈ Un . De plus : ξ ×ξ = ξ ×ξ = 1 car Un ⊂ U. Par conséquent, ξ−1 = 1/ξ = ξ̄.
5. La commutativité est une conséquence directe de la commutativité de la multiplication dans C.
33
Remarque 1.15 En fait, (Un , ×) est un sous-groupe de (U, ×) qui lui-même est un sous-groupe de (C∗ , ×). Nous verrons
là aussi plus tard comment prouver la propriété précédente de manière plus rapide (voir 46 page 722). L’application
θ : U → U, z → z n est un morphisme de groupe de noyau Un .
i
ωi
ω
2π
3
O
2π
= π2
4
ω3 = 1
O
ω2
1
ω4 = 1
1
ω2
ω3
F IGURE 1.8 – U3
i
F IGURE 1.9 – U4
i
ω
ω2
ω
ω2
2π
5
O
2π
6
ω5 = 1
ω6 = 1
O
ω3
1
1
ω3
ω4
ω4
F IGURE 1.10 – U5
ω5
F IGURE 1.11 – U6
P ROPOSITION 1.33 ♥ La somme des racines n -ièmes de l’unité est nulle
Soit un entier n
Démonstration
2. On a : 1 + ω + ω2 + .. . + ωn−1 =
z∈Un
z =0 .
On utilise la formule d’une somme géométrique de raison ω = 1 et ωn = 1 :
1 + ω + ·· · + ωn−1 =
ωn − 1
= 0.
ω−1
2iπ
Remarque 1.16 On utilisera très souvent les racines cubiques de l’unité. On note j = e 3 . C’est une racine cubique
primitive de l’unité au sens où U3 = {1, j , j 2 }. Les puissances de j sont simples à calculer :


1
jk = j

 2
j
si k = 3p
si k = 3p + 1
si k = 3p + 2
Les propriétés suivantes interviennent souvent : j 2 = j = 1/j et 1 + j + j 2 = 0 .
34
i
j
2π
3
j3 = 1
O
1
j 2 = j = 1/j
F IGURE 1.12 – Racines cubiques de l’unité
P ROPOSITION 1.34 Expression des racines n -ièmes d’un nombre complexe
Un complexe non nul z = ρe iθ admet n racines n -ièmes données par
Z k = ρ1/n e
θ + 2kπ
i n
n
= ρ1/n e iθ/n ωk ,
k ∈ [[0,n − 1]] .
2iπ
où ω = e n ou toute autre racine n -ième primitive de l’unité.
Démonstration Notons Z0 = ρ1/n e iθ/n . On a bien Zn0 = z et donc Zn = z si et seulement si (Z/Z0 )n = 1 c’est-à-dire si et seulement
si (Z/Z0 ) est une racine n -ième de l’unité.
On pourra consulter plus tard l’annexe B paragraphe B.4.4 afin de voir le rôle des racines de l’unité dans la factorisation
de certains polynômes.
1.8
Équations du second degré
1.8.1
Racines carrées
D ÉFINITION 1.11 Racine carrée d’un nombre complexe
Soit un nombre complexe z ∈ C. On appelle racine carrée de z une racine deuxième de z , c’est-à-dire un complexe Z
vérifiant Z2 = z .
Par application de la proposition 1.34, on peut affirmer :
P ROPOSITION 1.35
Tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées. De plus, ces deux racines carrées sont opposées
l’une de l’autre.
Attention 1.8 La notation z n’a de sens que pour z ∈ R+ . Si on l’utilise à mauvais escient, on aboutit vite à des
2
absurdités. Par exemple : −1 = −1 = −1 × −1 = (−1) × (−1) = 1 = 1.
Remarque 1.17
– Le complexe nul z = 0 ne possède qu’une seule racine carrée 0.
– Si x ∈ R+ , ses deux racines carrées sont données par x et − x .
– Si x ∈ R∗− , ses deux racines carrées sont données par i |x| et −i |x|. En effet, la forme trigonométrique de x est
x = |x| e iπ . D’après la proposition 1.34, les deux racines carrées de x sont |x|e iπ/2 = i |x| et |x|e π/2 e 2π/2 = −i |x|.
35
Pour calculer en pratique les racines carrées d’un nombre complexe z , le plus simple consiste souvent à mettre z sous
forme trigonométrique et à appliquer les formules précédentes. On dispose également d’une méthode permettant de calculer les parties réelles et imaginaires des racines carrées de z .
P LAN 1.2 : Comment calculer les racines carrées d’un nombre complexe
Soit z = a + i b ∈ C. Soit Z = X + i Y une des deux racines carrées de z : Z2 = z . On a :
 2

|Z| = |z|
ReZ2 = Re z


Im Z2 = Im z
On en déduit
 2
2
2
2

X + Y = a + b
X2 − Y2 = a


2XY = Im z
Et en particulier
 2
2
2
2

X + Y = a + b
X2 − Y2 = a


XY est du signe de Im z
Exemple 1.9 Calculons les racines carrées de z = 8 − 6i . Soit Z = X + i Y une des deux racines carrées de z . Les réels X
et Y satisfont

2
2

X + Y = 100 = 10
X2 − Y2 = 8


XY est négatif
Par addition des deux premières équations, on obtient : X = 3 ou X = −3. Par soustraction de ces deux mêmes équations,
on obtient : Y = 1 ou Y = −1. Comme le produit XY est négatif, les seules possibilités sont X = 3 et Y = −1 ou alors X = −3
et Y = 1. En conclusion, Z = 3−i ou Z = −3+i . On vérifie au brouillon que ces deux complexes vérifient bien Z2 = 8−6i .
1.8.2
Équations du second degré
T HÉORÈME 1.36 ♥ Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes
Soient a , b , c trois nombres complexes avec a = 0. Considérons l’équation d’inconnue z ∈ C
az 2 + bz + c = 0
( )
Notons ∆ = b 2 − 4ac le discriminant de l’équation ( ). On a :
• Si ∆ = 0, l’équation ( ) admet une racine double z0 donnée par : z0 =
−b
.
2a
• Si ∆ = 0 et si δ désigne une des deux racines carrées de ∆ alors l’équation ( ) admet deux racines distinctes z1 et z2
−b − δ
−b + δ
données par : z1 =
et z2 =
.
2a
2a
Démonstration
Soit z ∈ C une solution de l’équation ( ). Puisque a = 0, nous pouvons écrire le trinôme sous forme canonique
0 = a z2 +
b
c
z+
=a
a
a
z+
b 2 b 2 − 4ac
−
2a
4a 2
En notant Z = z + b/2a , on doit avoir Z2 = ∆/4a 2 .
– Si ∆ = 0, alors Z = 0 c’est à dire z = −b/(2a).
– Si ∆ = 0, en notant δ une racine carrée complexe de ∆, (Z−δ)(Z+δ) = 0 c’est à dire Z = ±δ ou encore z =
On vérifie dans chacun des cas précédents que z est effectivement solution de l’équation.
C OROLLAIRE 1.37 ♥ Résolution d’une équation du second degré à coefficients réels
Soient a , b , c trois nombres réels avec a = 0. Considérons l’équation d’inconnue x ∈ C
ax 2 + bx + c = 0
36
( )
−b − δ
−b + δ
ou z =
.
2a
2a
Notons ∆ = b 2 − 4ac son discriminant. Remarquons que ∆ ∈ R. On a :
• Si ∆ > 0, ( ) admet deux solutions distinctes, toutes deux réelles x1 et x2 données par
x1 =
−b − ∆
2a
et
x2 =
−b + ∆
2a
• Si ∆ = 0, ( ) admet une seule solution x0 donnée par :
x0 = −
b
2a
• Si ∆ < 0, ( ) admet deux solutions distinctes, toutes deux complexes conjuguées x1 et x2 données par
x1 =
−b − i |∆|
2a
et
x2 =
−b + i |∆|
2a
Démonstration
– Si ∆ 0, une racine de ∆ est donnée par δ = ∆ et les formules pour x0 , x1 et x2 se déduisent de celles énoncées dans le
théorème 1.36.
– Si ∆ < 0, une racine de ∆ est donnée, d’après la remarque 1.17 par δ = i |∆|. D’après les formules énoncées dans le théorème
1.36, les deux racines de ( ) sont x1 =
−b − i |∆|
−b + i |∆|
et x2 =
qui sont bien complexes et conjuguées.
2a
2a
On pourra se reporter à l’annexe B paragraphe B.4.1 pour des précisions supplémentaires sur les trinômes du second degré
et au paragraphe B.4.5 pour des applications des relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme.
1.9
Nombres complexes et géométrie plane
1.9.1
Distance
P ROPOSITION 1.38
Soient A et B deux points du plan d’affixes respectives a et b . La distance de A à B est donnée par AB = |b − a|
Démonstration
1.9.2
−→
−→
L’affixe du vecteur AB est donnée par Aff(B) − Aff(A). De plus, par définition, |b − a| = ||AB|| = AB.
Barycentre
P ROPOSITION 1.39
Soient A, B et G trois points d’affixes respectives a, b et g ; Soient α et β deux réels tels que α + β = 0. Alors, G est le
barycentre des points A et B affectés respectivement des poids α et β si et seulement si
α(g − a) + β(g − b) = 0.
Démonstration
−→
−→
→
−
C’est une traduction en terme d’affixe de l’égalité vectorielle αGA + βGB = 0 qui définit le barycentre G.
Remarque 1.18
Si α = β = 1, le point G est le milieu du segment [AB]. On a alors, avec les notations précédentes,
l’égalité g = (a + b)/2.
P ROPOSITION 1.40
Soient n 2 un entier, A1 , ..., A n des points du plan d’affixes respectives z1 ,...., zn . Soient α1 ,..., αn des réels tels que
n
i=1
αi = 0. Le point G est le barycentre des points A i affectés des poids αi , i = 1, ...,n si et seulement si son affixe z
vérifie l’équation
n
i=1
αi (zi − z) = 0
n
Démonstration
C’est une traduction en terme d’affixe de l’égalité vectorielle
i=1
37
−−→ →
−
αi GAi = 0 .
1.9.3
Angles
P ROPOSITION 1.41
Soient A, B, et C trois points du plan tels que C est distinct de A et de B, d’affixes respectives a , b et c . Une mesure de
−→ −→
−→ −→
l’angle (CA, CB) est alors donnée par (CA, CB) = arg
b −c
[2π]
a −c
b −c
−→
= arg(b − c) − arg (a − c) [2π]. Par ailleurs b − c = Aff(BC) et a −
a −c
−→
→
→
−ı , −
−ı , −
c = Aff(CA). Donc arg (b − c) = (→
CB) et arg(a − c) = (→
CA). On conclut en utilisant la relation de Chasles pour les angles
−→ −→
−
→
−
→
−ı , CB) − (→
−ı , CA) [2π].
(CA, CB) = (→
Démonstration
Remarquons tout d’abord que arg
C OROLLAIRE 1.42
Soient A, B, et C trois points du plan tels que C est distinct de A, d’affixes respectives a , b et c .
– A, B, et C sont alignés si et seulement si
c −b
est réel.
c −a
– Les droites (CA) et (CB) sont perpendiculaires si et seulement si
1.10
c −b
est imaginaire pur.
c −a
Transformations remarquables du plan
On notera P le plan et V l’ensemble des vecteurs du plan. On appelle transformation du plan toute application bijective
du plan dans lui même. À toute transformation f du plan, on peut associer une application g du plan complexe dans lui
même qui au complexe z d’image le point M ∈ P associe l’affixe du point f (M) :
g:
C
−→
Aff(M) −→
C
où M = f (M) .
Aff(M )
On dit alors que g représente l’application f dans le plan complexe.
1.10.1
Translations, homothéties
D ÉFINITION 1.12 Translation, homothétie
→
→
→
– Soit −
u un vecteur du plan. La translation de vecteur −
u , notée t−
u , est la transformation du plan qui à tout point M ∈ P
−−−→
→
associe le point M ∈ P tel que MM = −
u.
– Soit Ω un point du plan et λ un réel non nul. L’homothétie de centre Ω et de rapport λ, noté hΩ,λ , est la transformation
−−−→
−−→
du plan qui à tout point M ∈ P associe le point M ∈ P tel que ΩM = λΩM .
Remarque 1.19
– Si le rapport d’une homothétie h vaut 1, alors h est l’application identique ( L’application identique de P est celle
qui à tout point M ∈ P associe lui même).
– Les translations conservent les longueurs (on dit que ce sont des isométries), les homothéties de rapport λ les multiplient par |λ|.
P ROPOSITION 1.43
Soit Ω un point du plan d’affixe ω et λ un réel différent de 0 et 1. L’homothétie de rapport λ et de centre Ω peut être
représentée dans le plan complexe par l’application qui à tout z ∈ C associe z ∈ C tel que z − ω = λ(z − ω) (ou encore
z = λz + (1 − λ)ω).
−−−→
−−→
Démonstration Le point M est l’image de M par hΩ,λ si et seulement si ΩM = λΩM ou encore Aff(M) − Aff(Ω) = λ(Aff(M) −
Aff(Ω)) c’est-à-dire z − ω = λ(z − ω).
1.10.2
Rotation
D ÉFINITION 1.13 Rotation
Soient Ω ∈ P et θ un réel. La rotation de centre Ω et d’angle θ, notée r Ω,θ est la transformation du plan qui
38
– à Ω associe Ω,

 −−→ −−−→
(ΩM, ΩM ) = θ [2π]
– à tout point M différent de Ω associe le point M tel que
−−→
−−→
 ||−
ΩM || = ||ΩM||
P ROPOSITION 1.44
Soient Ω ∈ P et θ un réel. Soit ω l’affixe de Ω. La rotation de centre Ω et d’angle θ peut être représentée dans le
plan complexe par l’application qui à tout z ∈ C associe le complexe z tel que z − ω = e iθ (z − ω) (ou encore z =
e iθ z + (1 − e i θ)ω).
Démonstration
Soient z et z les affixes respectives de M et M . Si M = Ω, on a :
M est l’image de M par la rotation de centre Ω et d’angle θ ⇔
−−→ −−−→
(ΩM, ΩM ) = θ [2π] et ΩM = ΩM ⇔
z −ω
arg
= θ [2π] et |z − w | = |z − ω| ⇔
z −ω
z −ω
z −w
arg
= θ [2π] et
= 1 (∗).
z −ω
z −ω
z −w
. Les deux relations précédentes sont équivalentes à ρ = 1 et α = θ [2π].
z −ω
z −w
iθ
iθ
Donc (∗) est équivalente à
= e , soit z − ω = e (z − ω). Si M = Ω alors M = Ω et z = z = ω. L’égalité z − ω = e iθ (z − ω)
z −ω
Soit ρe iα une représentation trigonométrique de
est alors trivialement vérifiée.
1.10.3
Similitudes directes
D ÉFINITION 1.14 Similitude directe
Une similitude directe est une transformation du plan admettant comme représentation dans le plan complexe l’application :
C
z
−→
−→
C
az + b
où (a, b) ∈ C∗ × C.
P ROPOSITION 1.45
Une similitude directe conserve les angles orientés et les rapports de longueurs.
Démonstration Soit f la similitude représentée par z → az + b , A1 , A2 , A3 , A4 des points de P tels que A1 = A2 et A3 = A4 , z1 ,
z2 , z3 , z4 leurs affixes respectives et z1 , z2 , z3 , z4 les affixes respectives de leurs images par f . Pour tout i ∈ {1,2,3,4}, on a donc
zi = azi + b . En particulier :
z2 − z1 = a(z2 − z1 )
z4 − z3 = a(z4 − z3 )
et donc a étant non nul :
z4 − z3
z2 − z1
=
z4 − z3
. Par conséquent
z2 − z1
−−−→ −−−→
z − z3
z4 − z3
−−−→ −−−→
(A1 A2 , A3 A4 ) = arg( 4
) = arg
= (A1 A2 , A3 A4 ) [2π]
z2 − z1
z2 − z1
et
A3 A4
A1 A2
=
z4 − z3
z2 − z1
=
z4 − z3
A3 A4
=
,
z2 − z1
A1 A2
ce qui prouve la propriété.
P ROPOSITION 1.46
La composée de deux similitudes directes est encore une similitude directe.
Démonstration Soient f et f deux similitudes directes représentées dans le plan complexe par, respectivement, z → az + b et
z → a z + b où (a,b) ∈ C∗ × C et où (a ,b ) ∈ C∗ × C. Alors f ◦ f est représentée par z → a (az + b) + b soit z → aa z + a b + b .
Notant α = a a et β = a b +b et remarquant que α est non nul, on a représenté f ◦ f par z → αz +β avec (α,β) ∈ C∗ ×C et f ◦ f est
donc bien une similitude directe.
39