Électromagnétisme I H C O D A MPSI, PCSI et TSI Hassan ADOCH Professeur agrégé au Lycée Ibn Timiya Classes préparatoires aux grandes écoles, Marrakech TABLE DES MATIÈRES H C O D A 1 Électrostatique dans le vide 1 2 3 Champ et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Topographie de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Énergie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Symétrie et invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Analogie gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Étude d'un condensateur (MPSI/TSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Champ et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Énergie électrostatique d'un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Magnétostatique dans le vide 1 2 Champ magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Distribution de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Symétrie et invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Conservation de ux magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Dipôles électromagnétiques 1 3 3 3 4 5 6 7 10 10 10 11 12 17 19 19 20 22 23 23 23 24 25 26 26 27 27 32 33 Dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.1 Moment dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2 Potentiel et champ électrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 TABLE DES MATIÈRES 2 1.3 Topographie du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Interaction entre un dipôle et un champ électrostatique extérieur . . . . . . . . . . . . . Dipôle magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Champ crée par un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Interaction entre un dipôle et un champ magnétostatique extérieur . . . . . . . . . . . . 35 36 38 38 39 H C O D A H.ADOCH 2 / 39 [email protected] CHAPTER 1 ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE 1 H C O D A Champ et potentiel 1.1 Charge électrique La charge électrique est une grandeur physique, qui permet aux corps d'interagir avec un champ électromagnétique → − → − ( E , B ). C'est une grandeur scalaire, algébrique, conservée et quantiée. Son unité dans le système international est le coulomb (C). Ce qui est équivalent à A.s (ampère.seconde). La charge électrique peut être trouvée sous deux formes ou distributions à savoir : • Distribution discrète : Un ensemble de charges séparées par une distance très grande devant leurs tailles. La charge totale de la distribution est donnée par : Q= N X qN qi q1 i=1 q2 q3 q4 • Continue : Un ensemble de charges séparées par une distance très proche de la taille des charges. On trouve trois types de distribution continue : Distribution volumique Distribution surfacique C'est un volume chargé, on le caractérise par une grandeur appelée densité volumique de charge notée ρ. Exemples : sphère, cylindre, parallélépipède...etc. C'est une surface chargée, on la caractérise par une grandeur appelée densité surfacique de charge notée σ. Exemples : surface d'une sphère, surface d'un cylindre, plan ...etc. 3 Distribution linéique C'est un l chargé, on le caractérise par une grandeur appelée densité linéique de charge notée λ. Exemples : l rectiligne, spire ... etc. CHAPTER 1. La charge totale est donnée par : ˆ Q= La charge totale est donnée par : ˚ dq = ˆ ρ dτ dτ est un élément de volume. alors que dq est la charge de ce petit volume. D'où : ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE Q= La charge totale est donnée par : ¨ dq = ˆ σ dS Q= dS est un élément de surface. alors que dq est la charge de cette petite surface. D'où : ˆ dq = λ dl dl est un élément de longueur. alors que dq est la charge de cet élément. D'où : H C O D A (C.m−3 ) ρ = Remarques : dq dτ (C.m−2 ) σ = dq dS (C.m−1 ) λ = dq dl 1) En réalité, toutes les distributions sont discrets mais on peut modéliser certains distributions par des distributions continues. D'autre part, toute distribution continue est volumique, alors que les distributions surfaciques et linéaires ce sont des modélisations. 2) Pour une distribution homogène, la charge s'écrit sous la forme: Q = ρVcharg ou Q = σScharg ou Q = λLcharg −−−→ 3) Pour trouver l'expression de dτ , dS ou dl, on utilise l'expression de dOM dans le système de coordonnées approprié à la distribution (exemples plus tard). 1.2 Champ électrostatique Le champ électrostatique est déni à partir de la loi du Coulomb, qui donne la force d'interaction entre deux charges q1 et q2 placées respectivement en A et B. La force appliquée par la charge q1 sur la charge q2 s'écrit sous la forme : −→ → − → − F 1/2 = − F 2/1 = q1 q2 AB 4πε0 AB 2 AB On dénit le champ électrostatique crée par la charge q1 en un point B par la relation : → − −→ F 1/2 → − q1 AB = E 1 (B) = 2 q2 4πε0 AB AB Alors le champ électrostatique crée en un point M de l'espace par une charge q placée en O s'écrit sous la forme : → − E (M ) = q → − er 4πε0 r2 − Avec → e r est la vecteur radial de la base sphérique. Alors que ε0 est une constante appelée la permittivité du vide ou la constante diélectrique : ε0 = 8, 854 10−12 F.m−1 D'après le principe de superposition, le champ crée en M pour une distribution : H.ADOCH 4 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE • Discrète de charges s'écrit: X → − E (M ) = i −−→ X qi Pi M qi → − ui = 2 2 4πε0 Pi M 4πε0 Pi M Pi M i avec : Pi est la position de la charge qi • Continue de charges s'écrit: → − E (M ) = ˆ −−→ dq PM 2 4πε0 P M P M H C O D A Avec P est un point aléatoire du la distribution alors que dq dépend du type de la distribution : dq = ρdτ ou dq = σdS ou dq = λdl 1.3 Potentiel électrostatique Considérons une charge ponctuelle q placée en O, le champ en un point M de l'espace est donnée par : → − E (M ) = q → − er 4πε0 r2 On dénit la circulation de ce champ le long d'un contour L par la relation : ˆ → − −−−→ E .dOM C= L → − On dénit le potentiel V associé au champ électrostatique E par la relation : dC = −dV ⇒ → − −−−→ dV = − E .dOM ˆ ⇒ V (M ) = − → − −−−→ E .dOM L'unité du potentiel est le volt (V ). A partir de la dénition, on obtient l'unité du champ électrostatique qui est V/m. On montrer aussi que : −−→ → − E = −grad(V ) −−→ grad est appelé opérateur gradient dont l'expression dépend du système de coordonnées. En eet : Coordonnées cartésiennes : Coordonnées cylindriques : Coordonnées sphèriques : −−→ ∂V → ∂V → ∂V → − − − grad(V ) = ex+ ey+ ez ∂x ∂y ∂z −−→ ∂V → ∂V → ∂V → − − − grad(V ) = er+ eϕ+ ez ∂r r∂ϕ ∂z −−→ ∂V → ∂V → 1 ∂V → − − − er+ eθ+ eϕ grad(V ) = ∂r r∂θ r sin(θ) ∂ϕ Pour un charge ponctuelle, on écrit : dV = − H.ADOCH q → q − → − → − → − e . (dr e + rθ e + r sin(θ)dϕ e ) = − dr r r θ ϕ 4πε0 r2 4πε0 r2 5 / 39 [email protected] CHAPTER 1. Par une simple intégration on trouve : V (M ) = ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE q + cte 4πε0 r Le potentiel à l'inni est nul si on n'a pas de charge à l'inni. Donc l'expression du potentiel crée par une charge à un point M est donnée par : V (M ) = q 4πε0 r Pour les distributions, on utilise le même principe, ce qui donne : • Pour une distribution discrète, le potentiel en M s'écrit : H C O D A X V (M ) = i qi 4πε0 Pi M • Pour une distribution continue, le potentiel est donné par : ˆ V (M ) = dq 4πε0 P M 1.4 Topographie de champ L'étude de la topographie d'un champ se résume en deux propriétés : • Ligne de champ : c'est l'ensemble des points dont le vecteur champ électrostatique est tangent. L'ensemble de ligne de champ constitue une carte de champ. L'équation d'une ligne de champ est : → − −−−→ → − E ∧ dOM = 0 • Surface équipotentielle : c'est l'ensemble des points dont le potentiel est le même : V (M ) = cte Pour une charge ponctuelle q, le champ électrostatique et le potentiel crée en un point M de l'espace sont : → − E (M ) = q → − er 2 4πε0 r et V (M ) = q 4πε0 r Alors l'équation d'une surface équipotentielle est : V (M ) = q = V0 4πε0 r ⇒ r= q = cte 4πε0 V0 Donc les surfaces équipotentielles sont des sphères concentriques de rayon : r= q 4πε0 V0 Chaque sphère est dénie par une valeur de V0 . D'autre part, les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles : H.ADOCH 6 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE Ligne de champ Ligne de champ Surface équipotentielle Surface équipotentielle H C O D A Cas d'une charge négative Cas d'une charge positive Remarques : • Les lignes du champ électrostatique divergent des charges positives et convergent vers les charges négatives. • Les lignes du champ électrostatique sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles. • Les surfaces équipotentielles sont des surfaces à 3 dimension mais on représente généralement leurs projection sur le plan. 1.5 Exemples d'application 1.5.1 Fil rectiligne chargé Considérons un l rectiligne de longueur L chargé par une densité linéique λ de façon homogène. On se propose de déterminer l'expression du champ et de potentiel en un point M de l'espace. Le l possède une symétrie cylindrique (c'est un cylindre de rayon très petit) donc on choisit le système de coordonnées cylindrique (r, ϕ, z). La distribution est linéique donc le champ électrostatique crée en M s'écrit sous la forme : → − E (M ) = ˆ P λdl −−→ PM 4πε0 P M 3 −−→ b −→ −−→ − − Or d'après le schéma, on a dl = dz et P M = P O+OM = r→ e r −z → ez Donc le champ s'écrit sous la forme : → − E (M ) = H.ADOCH ˆ b λdz a 4πε0 Z − − r→ e r − z→ ez (r2 + z 2 ) 3 2 7 / 39 O a r M → − er → − eϕ [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE Ceci peut être écrit sous la forme : → − E (M ) = λ 4πε0 ˆ b − − r→ e r − z→ ez λ 3 dz = 4πε0 (r2 + z 2 ) 2 a ˆ b ˆ b − r→ er 3 dz − ! 3 (r2 + z 2 ) 2 a − z→ ez a dz (r2 + z 2 ) 2 Analysant chaque intégral seul : ˆ b − z→ ez b ib h 1 → − → − 2 2 − 21 =−ez √ 3 dz = − e z (r + z ) a r2 + z 2 a (r2 + z 2 ) 2 I= a ˆ b ˆ b H C O D A − r→ er J= (r2 + z 2 ) 2 a → − er 3 dz = 3 dz 2 2 z r2 1 + 2 r a On pose z = r tan(α) donc dz = r (1 + tg 2 (α)) dα D'où : ˆ b J= a ˆ α2 → − er r2 1 + 3 dz = 2 2 z r2 1 + tg 2 (α) → − 3 dα e r = ˆ α2 r (1 + tg 2 (α)) 2 α1 dα r (1 + tg 2 (α)) α1 1 2 → − er 1 . On obtient une intégrale simple à calculer : cos2 (α) α ˆ α2 dα cos(α) sin(α) 2 → → − → − − dα e r = er 1 e r = 2 r r 2 α1 r (1 + tg (α)) α1 En utilisant le faite que 1 + tg 2 (α) = ˆ α2 J= α1 donc la deuxième intégration donne : ˆ b − r→ er J= a (r2 + z 2 ) 3 2 dz = sin(α2 ) − sin(α1 ) → − er r D'autre part, en introduisant l'angle α l'intégrale I s'écrit sous la forme : ˆ b I= − z→ ez 3 a (r2 + z 2 ) 2 − dz = −→ ez " # α2 b α 1 1 cos(α) 2 → − → − √ =−ez p =−ez r r2 + z 2 a r 1 + tg 2 (α) α α1 1 On remplace les intégrales I et J par leurs expressions dans la relation : → − E (M ) = λ 4πε0 ˆ b ˆ b − r→ er 3 dz − (r2 + z 2 ) 2 a − z→ ez ! 3 a dz (r2 + z 2 ) 2 Le champ électrostatique crée par le l en M est alors : → − E (M ) = λ − − ([sin(α2 ) − sin(α1 )] → e r + [cos(α2 ) − cos(α1 )] → e z) 4πε0 r Tell que : tan(α1 ) = Remarques : H.ADOCH a r ; tan(α2 ) = 8 / 39 b r et a + b = L [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE • Pour un point M appartenant au plan médiateur du l, on aura b=-a donc α1 = −α2 ce qui signie que le champ s'écrit sous la forme : → − E (M ) = λ 4πε0 sin(α2 ) + sin(α2 ) → cos(α2 ) − cos(α2 ) → λ − − − sin(α2 )→ er er+ ez = r r 2πε0 r • Pour un l inni, on a α1 = − π = −α2 ce qui donne : 2 → − E (M ) = λ → − er 2πε0 r H C O D A • Le champ électrostatique est déni en tout point M de l'espace sauf au niveau du l (r=0). Ce qui est dû à la modélisation liforme qui n'est plus valable lorsque r devient très faible. A ce niveau, le l doit être modéliser par un cylindre plan. Le potentiel associé à ce potentiel est déduite en utilisant l'une des relations suivantes : −−→ → − E = −grad(V ) ; → − −−−→ dV = − E .dOM ou V (M ) = ˆ λdz 4πε0 P M Pour un l inni, on trouve : V (M ) = λ Ln(r) + Cte 4πε0 1.5.2 Disque chargé surfaciquement Considérons un disque de rayon R, chargé par une densité surfacique σ uniforme. Déterminant le champ et le potentiel en O le centre de disque. Pour ce faire, on utilise la relation : → − E (O) = ˆ σdS −→ PO 4πε0 P O3 En utilisant le système de coordonnées cylindriques on écrit : −→ − OP = r→ e r et dS = rdrdϕ D'où : → − E (O) = − Or : Donc : ¨ σ σdr dϕ → − er=− 4πε0 r 4πε0 ˆ → − e r dϕ ˆ dr r P O → − er → − − − e r = cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ ey ˆ 2π ˆ 2π → − 2π → − − − − − e r dϕ = (cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ e y ) dϕ = [sin (ϕ) → e x − cos (ϕ) → e y ]0 = 0 0 0 Alors le champ crée par le disque au niveau de centre O est nul. → − → − E (O) = 0 C'est la valeur attendue, car tout point P du disque possède un point symétrique P' par rapport au centre O. Ce point (P') crée un champ en O de même module et de direction opposée au champ crée par le point P . H.ADOCH 9 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE Pour déterminer l'expression du potentiel en O, n'utilise par l'expression du champ car elle est valable en un seule point. On utilise : ¨ σdS 4πε0 P O V (O) = Ce qui donne : ˆ 2π ˆ R σrdrdϕ 4πε0 r V (O) = 0 0 ⇒ V (O) = σ R 2ε0 1.6 Énergie électrostatique H C O D A → − Considérons une charge ponctuelle q placée en un point M dans un champ extérieur E ext . La force appliquée sur cette charge est : → − → − F = q E ext L'énergie potentielle associée à cette force est donnée par : −−−→ → − −−−→ → − dEp = − F .dOM = −q E ext .dOM = qdV Donc l'énergie électrostatique qui est dénie comme étant l'énergie d'interaction entre la charge et le champ est donnée par : Eint = qV (M ) Pour deux charges q1 et q2 isolées telle que q1 est placée en M1 et q2 est placé en M2 . L'énergie d'interaction est donnée par : Eint = q1 V2 (M1 ) = q1 q2 = q2 V1 (M2 ) 4πε0 M1 M2 Ce qu'on peut écrire sous la forme : Eint = 1 (q1 V2 (M1 ) + q2 V1 (M2 )) 2 Pour N charges, on montre que : Eint = 1X qi V (Mi ) 2 i Alors que pour une distribution continue de charge : 1 Eint = 2 2 ˆ dqV (M ) Théorème de Gauss 2.1 Symétrie et invariance Considérons une distribution quelconque de charges. On dit que cette distribution admet : • Un plan de symétrie : s'il existe un plan passant par M qui divise la distribution en deux parties de charges égales. H.ADOCH 10 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE • Un plan d'anti-symétrie : s'il existe un plan passant par M qui divise la distribution en deux parties de charges opposées. L'intérêt d'un tel plan est le faite que le champ électrostatique crée par cette distribution : • Appartient aux plans de symétrie. • Est perpendiculaire aux plans de d'anti-symétrie. Cette propriétés permet d'éliminer certains composantes du champ électrostatique. Exemples : − − • Si (M, → e x, → e y ) est un plan de symétrie donc le champ appartient à ce plan donc : → − → E .− e z = Ez = 0 H C O D A − − • Si (M, → e x, → e y ) est un plan de d'anti-symétrie donc le champ est perpendiculaire à ce plan donc : → − → → − − E .− e x = Ex = 0 et E .→ e y = Ey = 0 D'autre part, d'étude de l'invariance consiste à étudier la dépendance du champ en coordonnées. Pour ce faire, on étudie l'eet de la modication d'une cordonnée de sur la distribution. On a deux types d'invariance • Par translation : Si la translation de la distribution (ou du point M) selon une direction ne change pas la distribution. Dans ce cas, le champ ne dépend pas de la coordonnée associée à cette translation. Exemples : translation selon l'axe d'un l ou cylindre inni. • Par rotation : Si la rotation de la distribution (ou du point M) autour d'un axe ne change pas la distribution. Dans ce cas, le champ ne dépend pas de la coordonnée associée à cette rotation. Exemples : rotation autour d'un cylindre ou d'une sphère. 2.2 Théorème de Gauss Le théorème de Gauss est une méthode de calcul du champ électrostatique d'une distribution en utilisant les symétries et les invariances de système. Son énoncé s'écrit : Le ux de champ électrostatique à travers d'une surface fermée Σ est égal au rapport de la charge intérieur de cette surface sur la constante diélectrique ε0 : ‹ → Qint → − − E .dS = ε0 Σ L'utilisation de ce théorème se fait en suivant ces étapes : • Choix de système de coordonnées: en général, cylindriques pour les cylindres et le l et sphérique pour les sphères. • Détermination des plans de symétrie : ce qui permet de déterminer les composantes non nulle de champ électrostatique. • Etude de l'invariance : qui permet de déduire la dépendance du ces composantes. • Choix de la surface de Gauss Σ : Selon la symétrie du système, on choisit un cylindre de hauteur h ni ou une sphère. • Calcul de ux du champ électrostatique à travers la surface Σ. • Détermination de la charge intérieur : selon la position de point M. • Déduire l'expression du champ pour tout point de l'espace. H.ADOCH 11 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE 2.3 Exemples d'application 2.3.1 Fil rectiligne inni Considérons un l inni chargé par une densité linéique λ homogène. L'axe de l est noté Z. • Coordonnées : Le système possède une symétrie cylindrique donc on choisit les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z ). − − − − • Symétrie : Les plans de symétrie sont (M, → e r, → e z ) et (M, → e r, → e ϕ ) donc le champ électrostatique : → − − E (M ) = E(M )→ er H C O D A • Invariance : Le système est invariant par translation selon OZ donc le champ électrostatique ne dépend pas de z et il est invariant par rotation autour de l'axe OZ donc le champ est indépendant de l'angle ϕ. Alors : → − − E (M ) = E(r)→ er • La surface de Gauss c'est un cylindre de rayon r et de longueur h et centré sur l'axe OZ . • Application du théorème Le théorème de Gauss s'écrit : " → Qint → − − E .dS = ε0 Σ Le ux de champ électrostatique peut être diviser sous la forme : " → → − − E .dS = ¨ → → − − E .dS 1 + → → − − E .dS 2 + ¨ M → → − − E .dS 3 r 3 2 1 Σ ¨ Z tel que chaque vecteur surface élémentaire est perpendiculaire à la surface correspondante et dirigé vers l'extérieur de la surface de Gauss. Alors : − → − dS 1 = dS1 → ez ; − → − dS 2 = dS2 (−→ e z) ; 2 3 − → − dS 3 = dS3 → er 1 h Or le vecteur déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques est donnée par : −−→ − − − dOM = dr→ e r + rdϕ→ e r + dz → ez Alors : − → − dS 1 = dr rdϕ → ez ; − → − dS 2 = dr rdϕ (−→ e z) ; − → − dS 3 = rdϕ dz → er En remplaçant dans l'expression du ux on trouve : " → → − − E .dS = ¨ Σ On aura alors : − − E(r)→ e r .dr rdϕ → ez− 1 " → → − − E .dS = ¨ − − E(r)→ e r .dr rdϕ → ez+ 2 ¨ − − E(r)→ e r .rdϕ dz → er 3 ˆ 2π E(r)rdϕ dz = rE(r) 3 ¨ ˆ h dϕ 0 dz = 2πrhE(r) 0 Donc la première partie du théorème de Gauss donne : " H.ADOCH → → − − E .dS = 2πrhE(r) 12 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE D'autre part, la charge intérieur de la surface de Gauss est donnée pour une distribution linéique par : ˆ Qint = ˆ λdl = λ dl = λh Alors le champ crée par le l en un point M est donné par : → − E (M ) = λ → − er 2πε0 r H C O D A Le champ crée par le l n'est pas déni en r = 0, ceci s'explique par le fait que la modélisation linéique n'est plus valable au voisinage du l. Il faut alors utiliser la modélisation volumique c'est-à-dire considéré le l comme un cylindre de rayon R. 2.3.2 Cylindre inni Le cylindre inni est un cylindre de longueur L très grande devant le rayon R. On analyse deux cas à savoir la distribution surfacique de charge et la distribution volumique. Dans tout les deux cas l'étude préliminaire donne les mêmes résultats : • Coordonnées : Le système est un cylindre donc on choisit les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z ). − − − − • Symétrie : Les plans de symétrie sont (M, → e r, → e z ) et (M, → e r, → e ϕ ) donc le champ électrostatique : → − − E (M ) = E(M )→ er • Invariance : Le système est invariant par translation selon OZ donc le champ électrostatique ne dépend pas de z et il est invariant par rotation autour de l'axe OZ donc le champ est indépendant de l'angle ϕ. Alors : → − − E (M ) = E(r)→ er • La surface de Gauss : dans tout les cas c'est un cylindre de rayon r et de longueur h et centré sur l'axe OZ. Le théorème de Gauss s'écrit : " → Qint → − − E .dS = ε0 Σ Le ux de champ électrostatique peut être diviser sous la forme : " → → − − E .dS = Σ ¨ 1 → → − − E .dS 1 + ¨ → → − − E .dS 2 + 2 ¨ → → − − E .dS 3 3 M R tel que chaque vecteur surface élémentaire est perpendiculaire à la surface correspondante et dirigé vers l'extérieur de la surface de Gauss. Alors : − → − dS 1 = dS1 → ez ; − → − dS 2 = dS2 (−→ e z) ; r Z 2 3 − → − dS 3 = dS3 → er 1 h Or le vecteur déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques est donnée par : −−→ − − − dOM = dr→ e r + rdϕ→ e r + dz → ez Alors : H.ADOCH − → − dS 1 = dr rdϕ → ez ; − → − dS 2 = dr rdϕ (−→ e z) ; 13 / 39 − → − dS 3 = rdϕ dz → er [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE En remplaçant dans l'expression du ux on trouve : " → → − − E .dS = ¨ Σ − − E(r)→ e r .dr rdϕ → ez− 1 On aura alors : " ¨ − − E(r)→ e r .dr rdϕ → ez+ 2 → → − − E .dS = ¨ − − E(r)→ e r .rdϕ dz → er 3 ˆ h ˆ 2π dz = 2πrhE(r) dϕ E(r)rdϕ dz = rE(r) 0 0 3 ¨ Donc la première partie du théorème de Gauss donne : " H C O D A → → − − E .dS = 2πrhE(r) La deuxième partie du théorème (la charge intérieure) dépend du cas et de la position du point M. Cas 1 : densité ρ uniforme M à l'extérieur (r>R) : M à l'intérieur (r<R) : M r R R r Z M Z h h La charge intérieur Qint est la charge contenue dans La charge intérieur Qint est la charge contenue dans le surface de Gauss. Dans ce cas elle est donnée par : le surface de Gauss. Dans ce cas elle est donnée par : ˚ Qint = ˚ ρdτ = ρ ˚ 2 dτ = ρV = ρπR h Qint = ˚ ρdτ = ρ dτ = ρV = ρπr2 h Alors on trouve : E ρR2 → − e r si r ≥ R → − 2 ε0 r E (M ) = ρr → − er si r < R 2 ε0 Le module de champ électrostatique est continue et le potentiel aussi. A partir de ces expressions on peut déduire les expressions du potentiel en utilisant : r R Allure du champ électrostatique −−→ → − E = −grad(V ) H.ADOCH 14 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE − Le champ électrostatique est suivant → e r et dépend juste de r donc : → − dV − − E = E(r)→ er=− → er dr Ce qui donne : V (M ) = ⇒ ˆ V (M ) = − E(r)dr ρR2 − 2 ε Ln(r) + cte si r ≥ R 0 2 ρr − + cte0 4 ε0 si r < R Pour trouver les deux constantes, il faut deux conditions sur V(M) la première c'est la continuité en R alors que la deuxième vient d'un choix (par exemple V(r=0)=0). on trouve alors: H C O D A − ρR2 ρR2 Ln(R) + cte = − + cte0 2ε0 4ε0 et V (r = 0) = cte0 = 0 On trouve alors: V (M ) = ρR2 r ρR2 − Ln( ) − si r ≥ R 2ε R 4ε 0 0 ρr2 − 4 ε0 si r < R Cas 2 : densité σ uniforme M à l'extérieur (r>R) : M à l'intérieur (r<R) : M r R R r Z M Z h h La charge intérieur Qint est la charge contenue dans La charge intérieur Qint est la charge contenue dans le surface de Gauss. Dans ce cas elle est donnée par : le surface de Gauss. Dans ce cas, elle est nulle : ˚ Qint = ¨ σdS = σ dS = σS = σ2πRh Qint = 0 Alors on trouve : σR → − e r si r > R → − ε r 0 E (M ) = − → 0 si r < R H.ADOCH 15 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE A partir de ces expressions on peut déduire les expressions du potentiel en utilisant : −−→ → − E = −grad(V ) − Le champ électrostatique est suivant → e r et dépend juste de r donc : → − dV − − E = E(r)→ er=− → er dr Ce qui donne : ⇒ ˆ V (M ) = − E(r)dr − σR Ln(r) + cte si r > R ε0 V (M ) = cte0 si r < R H C O D A Pour trouver les deux constantes, il faut deux conditions sur V(M) la première c'est la continuité en R alors que la deuxième vient d'un choix (par exemple V(r=0)=0). on trouve alors: V (r = 0) = cte0 = 0 et − σR Ln(R) + cte = cte0 = 0 ε0 ⇒ cte = σR Ln(R) ε0 On trouve alors: − σR Ln( r ) si r ≥ R ε0 R V (M ) = 0 si r < R Le champ n'est pas continue en R car la distribution considérée est une modélisation qui est valable pour rR ou rR alors qu'au voisinage de R la surface chargée n'est plus une surface mais elle a une épaisseur qu'il faut considéré. 2.3.3 Sphère chargée En utilisant les coordonnées sphériques, on remarque que le système admet deux plans de symétries a savoir − − − − (M, → e r, → e θ ) et (M, → e r, → e ϕ ) donc : → − − E (M ) = E(M )→ er D'autre part, le système est invariant par rotation selon les deux angles sphériques ϕ et θ donc la champ électrostatique s'écrit sous la forme : → − − E (M ) = E(r)→ er Le théorème de Gauss s'écrit sous la forme : " → Qint → − − E .dS = ε0 La surface de Gauss à choisir pour une symétrie sphérique est une sphère de rayon r et de même centre que la distribution. Alors : − → − − dS = dS → e r = r dθ rsin(θ) dϕ→ e r = r2 sin(θ)dθdϕ Car: −−−→ − − − dOM = dr→ e r + rdθ→ e θ + rsin(θ)dϕ→ eϕ Donc la première partie du théorème de Gauss donne : " → → − − E .dS = ¨ 2 ˆ 2π 2 E(r)r sin(θ)dθdϕ = r E(r) dϕ 0 H.ADOCH 16 / 39 ˆ π sin(θ)dθ 0 [email protected] CHAPTER 1. " ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE → → − − E .dS = 4πr2 E(r) Pour le deuxième partie du théorème, elle dépend de la position du point M. Pour M à l'extérieur (r>R) Pour M à l'intérieur (r<R) La charge qui existe dans la surface de Gauss La charge qui existe dans la surface de Gauss correspond à la tout la charge de la distribution donc correspond à la charge de la sphère de Gauss et donc : : ˚ ˚ ˚ ˚ Qint = H C O D A ρdτ = ρ 4 dτ = ρV = ρ πR3 3 Qint = ρdτ = ρ 4 dτ = ρV = ρ πr3 3 M M R O r r O R Ce qui donne : ρ R3 → − e r si r ≥ R 2 → − 3ε0 r E (M ) = ρ r→ − er si r < R 3ε0 Pour déterminer l'expression du potentiel on utilise la relation : −−→ → − dV − E = −grad(V ) = − → er dr Ce qui donne : ⇒ V (M ) = − ˆ E(r)dr 3 ρ R + cte si r ≥ R 3ε r 0 V (M ) = ρ r2 − + cte0 si r < R 6ε0 2.4 Analogie gravitationnelle En analysant les lois de Coulomb est la loi d'interaction gravitationnel du Newton, On remarque, qu'on a une grande analogie entre l'électrostatique et la gravitation. On se propose dans cette partie de pousser cette H.ADOCH 17 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE analogie un peu plus loin. Cause Force Champ Électrostatique charge q Gravitation masse m q 1 q2 → − er 4πε0 r2 → − E (M ) m1 m2 − −G 2 → er r → − G (M ) 1 4πε0 ‚→ → Qint − − E .dS = ε0 Constante −G H C O D A Théorème de Gauss ‚→ → − − G .dS = −4πGMint Une application très classique c'est l'utilisation du théorème de Gauss pour déterminer l'expression de la champ de pesanteur terrestre. Pour ce faire, on considère la terre comme une distribution sphérique homogène de masse. La terre est caractérisée par son rayon R et sa masse totale MT . Déterminant l'expression de champ → − gravitationnel G (M ) en tout point de l'espace. Premièrement, la masse volumique de la terre est donnée par : MT 3MT ρ= 4 3 = 4πR3 πR 3 Pour appliquer le théorème de Gauss, on suit les mêmes étapes du théorème de Gauss de l'électrostatique. En utilisant les coordonnées sphériques, on remarque que le système admet deux plans de symétries a savoir − − − − (M, → e r, → e θ ) et (M, → e r, → e ϕ ) donc : → − − G (M ) = G(M )→ er D'autre part, le système est invariant par rotation selon les deux angles sphériques ϕ et θ donc la champ électrostatique s'écrit sous la forme : → − − G (M ) = G(r)→ er Le théorème de Gauss s'écrit sous la forme : " → → − − G .dS = −4πGMint La surface de Gauss à choisir pour une symétrie sphérique est une sphère de rayon r et de même centre que la distribution. Alors : − → − − − dS = dS → e r = r dθ rsin(θ) dϕ→ e r = r2 sin(θ)dθdϕ→ er Car: −−−→ − − − dOM = dr→ e r + rdθ→ e θ + rsin(θ)dϕ→ eϕ Donc la première partie du théorème de Gauss donne : " → → − − G .dS = ¨ ˆ 2π 2 2 G(r)r sin(θ)dθdϕ = r G(r) dϕ 0 " H.ADOCH ˆ π sin(θ)dθ 0 → → − − G .dS = 4πr2 G(r) 18 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE Pour le deuxième partie du théorème, elle dépend de la position du point M. Pour M à l'intérieur (r<R) Pour M à l'extérieur (r>R) M M H C O D A r R O r O R La masse qui existe dans la surface de Gauss La masse qui existe dans la surface de Gauss correspond à la masse de la sphère de Gauss et donc : correspond la masse totale de la distribution donc : ˚ Mint = ˚ ρdτ = ρ 4 dτ = ρV = ρ πR3 = MT 3 ˚ Mint = ˚ ρdτ = ρ r3 4 dτ = ρV = ρ πr3 = MT 3 3 R Le champ gravitationnel est alors : MT − −G 2 → e r si r ≥ R → − r G (M ) = − −G MT r → e r si r < R 3 R La force d'attraction appliquée par la terre à une masse m s'écrit donc : m MT − e r si la mass est à l'extérieur −G 2 → → − r F = − −G mMT r → e r si la masse est à l'intérieur R3 3 Étude d'un condensateur (MPSI/TSI) 3.1 Présentation Un condensateur électrostatique est un ensemble de deux conducteurs chargés en inuence totale c'est-à-dire que tout ligne de champ sortant de l'un arrive sur l'autre. Cette inuence totale implique que les deux conducteurs ont des charges opposées. On a trois types de condensateurs à savoir : • Condensateur plan : c'est l'ensemble de deux conducteurs plans dont les dimensions sont très grandes devant la distance qui les séparent. • Condensateur cylindrique : constituée de deux cylindres innis de même axe OZ . H.ADOCH 19 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE • Condensateur sphérique : qui est l'ensemble de deux sphériques concentriques de rayons diérents. : On caractérise un condensateur par une grandeur physique positive appelée la capacité qu'on dénie par (F ) C= Q U Q > 0 est la charge d'un des conducteurs et U est la tension entre les deux conducteurs. 3.2 Champ et potentiel H C O D A On se propose d'étudier le condensateur plan. Pour ce faire, on commence par l'étude d'un plan inni chargé uniformément par une densité surfacique σ > 0. Le système est un plan inni donc on choisit les cordonnées cartésiennes comme système d'étude. On considère que la plan inni correspond au plan z=0. Pour n'importe − − − − qu'il point M dans l'espace, les plans (M, → e x, → e z ) et (M, → e y, → e z ) sont des plans de symétrie (l'autre plan est parallèle à la distribution et donc il ne la coupe pas) alors : → − − E (M ) = E(M )→ ez La distribution est un plan inni donc elle est invariante par translation le long de OX et OY. Donc le champ dépend à priori de la coordonnée z seule : → − − E (M ) = E(z)→ ez D'autre part, le vecteur champ électrostatique est antisymétrique c'est-à-dire que : E(−z) = −E(z) Le théorème de Gauss s'écrit : ‹ → Qint → − − E .dS = ε0 On a choisit les cordonnées cartésiennes donc la surface de Gauss correspondante est un cube (ou parallélépipède). Alors : ‹ → X → − − E .dS = i − → ¨ − → − E(z)→ e z .dS i Z Σ1 Σi − Or → e z .dS i = 0 pour tout les surfaces de parallélépipède sauf les surfaces Σ1 et Σ2 . Ces deux surfaces correspondent à deux valeurs de z diérentes (Notés z1 et z2 ). Telle que : − → − − dS 1 = dS1 → e z = dxdy → ez − → − − dS 2 = −dS2 → e z = −dxdy → ez Σ2 En remplaçant dans le théorème du Gauss, on obtient : ‹ → → − − E .dS = ¨ − − E(z1 )→ e z .dxdy → ez− Σ1 L'intégration sur x et y donc : ‹ → → − − E .dS = E(z1 ) ¨ − − E(z2 )→ e z .dxdy → ez Σ2 ¨ ¨ dxdy − E(z2 ) Σ1 H.ADOCH σ dxdy = E(z1 )S1 − E(z2 )S2 Σ2 20 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE Telle que S1 et S2 sont les aires des surfaces Σ1 et Σ2 respectivement, or d'après le schéma S1 = S2 = S . D'autre part, on choisit z2 = −z1 = −z donc la première partie du théorème de Gauss s'écrit : ‹ → → − − E .dS = 2E(z) S La charge est distribué sur la surface du plan, la partie qui est à l'intérieur du surface de Gauss correspond à la charge de la surface S qui est homogène donc elle est donnée par: Qint = σ S H C O D A Le champ électrostatique crée alors donné par : → − σ → − ez E (M ) = 2ε0 Une représentation de ce champ donne pour σ > 0 : Z σ 2ε0 σ E σ − 2ε0 z D'autre part, le potentiel associé à ce champ est donné par : −−→ → − E (M ) = −grad(V ) ⇒ σ dV =− 2ε0 dz ⇒ V (M ) = − σ z + cte 2ε0 Pour un condensateur plan, on a deux plans parallèles et innis donc on a trois régions de l'espace : • A l'extérieur du condensateur, les champs sont le même module mais des directions opposées donc : Z → − → − E ext = 0 • A l'intérieur du condensateur les champs s'additionne σ et donc le champ totale est donné par : e → − σ− ez E int = − → ε −σ La tension entre les deux conducteurs est donnée par : ˆ + ˆ z+ σ σ σ dz = (z+ −z− ) = e ε0 ε0 − z − ε0 La charge d'une partie de surface S du plan chargé σ est donnée par : ¨ Q= σdS = σS U= dV = V+ −V− = H.ADOCH 21 / 39 [email protected] CHAPTER 1. ÉLECTROSTATIQUE DANS LE VIDE La capacité associé à ce condensateur est alors : C= Q S = ε0 U e Remarques : • On trouve aussi des condensateurs cylindriques et sphériques mais les condensateurs plans sont les plus utilisés en pratique. • A cause de la valeur faible de ε0 , les valeurs de la capacité est généralement très faibles (10µF − 1pF ). • Pour augmenter la capacité, il faut soit augmenter la surface des plaques ce qui se fait par traitement du surface. Soit diminuer la distance entre les deux plaques ce qui est dicile à cause des eets quantiques qui apparaissent lorsque e est très faible. • Une autre technique pour augmenter la capacité d'un condensateur, c'est introduire un milieu isolant à l'intérieur du condensateur. L'expression de la capacité devient : H C O D A C= Q S =ε U e ε est appelée permittivité diélectrique (ou constante diélectrique) du milieu. 3.3 Énergie électrostatique d'un condensateur Le condensateur est constitué de deux conducteurs chargés donc l'énergie électrostatique est donnée par : Ee = 1 (Q+ V− (M+ ) + Q− V+ (M− )) 2 Telle que Q+ est la charge d'une partie du plan chargé positivement et M+ un point de ce plan alors que V+ et le potentiel crée par ce plan. Pour les grandeurs Q− , M− et V− elles correspondent au plan chargé négativement. Or : Q+ = −Q− = Q ; V+ (M− ) = V− et V− (M+ ) = V+ Alors : 1 1 Ee = Q (V+ − V− ) = QU 2 2 On retrouve alors l'expression utilisée en électronique pour l'énergie stockée dans un condensateur : 1 1 1 Q2 Ee = QU = CU 2 = 2 2 2C H.ADOCH 22 / 39 [email protected] CHAPTER 2 MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE 1 H C O D A Champ magnétostatique 1.1 Distribution de courant Le courant électrique est déni comme étant le mouvement d'ensemble des charges électriques. L'intensité du courant est une variation de charge en courant du temps : I= dq dt Par dénition le courant est une charge en mouvement donc on peut relier les densités du courant à des densités de charges en mouvement. On eet : • Une densité linéique de charge en mouvement par une vitesse v correspond à un courant d'intensité : I= dq dl = λ = λv dt dt • Une densité surfacique de charge en mouvement par une vitesse v correspond à une densité surfacique du courant : ˆ I= − dq dS → − → j s . dl = =σ = dt dt ˆ → − − σ→ v . dl ⇒ → − − j s = σ→ v • Une densité volumique de charge en mouvement par une vitesse v correspond à une densité volumique du courant : ˆ I= → dq dτ → − − j .dS = =ρ = dt dt ¨ − → − σ→ v .dS ⇒ → − − − j = ρ→ v = n∗ q → v n∗ est la densité volumique de particules chargées qui est déni par : n∗ = N V N le nombre de charge alors que V est le volume de la distribution Comme pour les charges, on a aussi des distributions de courant, ces distributions sont caractérisées par deux grandeurs à savoir l'intensité du courant et l'élément du courant : 23 CHAPTER 2. Distribution linéique C'est un l parcouru par un courant d'intensité I. Son élément du courant est donnée par : → − → − d C = I dl MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE Distribution surfacique C'est un courant qui se propage le long d'une surface, L'intensité de courant dans ce cas est donnée par : ˆ I= → − → j s .− n dl Distribution volumique C'est un déplacement volumique de charge, caractérisé par une intensité : ¨ I= → → − − j .dS Alors que l'élément de courant est donnée par : H C O D A → − dl est l'élément de longueur de la distribution dirigé selon la direction du courant. Exemples : Fil rectiligne, spire ...etc. I Alors que l'élément de courant : → − → − d C = j dS → − j s est la densité surfacique de courant (A.m−1 ). → − js I0 → − → − d C = j dτ → − n dl → − j est la densité volumique de courant (A.m−2 ) → − j − → dS 1.2 Loi de Biot et Savart Le champ magnétostatique est déni à partir de la partie magnétique de la force de Lorentz. Soit une charge → − − q en mouvement avec une vitesse → v dans un champ magnétique B , la force magnétique appliquée sur cette charge est : → − → − − F = q→ v ∧B → − Le module du champ B est exprimé en Tesla (T) qui en SI équivalent à kg.s−2 .A−1 . On trouve aussi une autre unité c'est la Gauss: 1G = 10−5 T A partir des lois d'électromagnétisme (2eme année), on montre que le champ crée par une distribution de courant en un point M est donné par : → − µ0 B = 4π ˆ → − −−→ d C ∧ PM P M3 Avec : µ0 = 4π 10−7 H.m−1 est appelée perméabilité magnétique du vide. Elle caractérise la faculté d'un matériau à modier un champ magnétique. P est un point quelconque de la distribution. → − d C est l'élément du courant associé à la distribution étudiée. H.ADOCH 24 / 39 [email protected] CHAPTER 2. MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE 1.3 Exemples d'application 1.3.1 Fil rectiligne Considérons un l rectiligne parcouru par un courant d'intensité I . Déterminant l'expression du champ magnétostatique en tout point M de l'espace. Le l possède une symétrie cylindrique (c'est un cylindre de rayon très petit) donc on choisit le système de coordonnées cylindrique (r, ϕ, z). La distribution est linéique donc le champ magnétostatique selon la loi de Biot et Savart est : − −−→ ˆ → Z P H C O D A → − µ0 B (M ) = 4π I dl ∧ P M P M3 b En utilisant le système de coordonnées cylindriques on écrit : → − − dl = dz → ez −−→ − − et P M = −z → e z + r→ er O a → − eϕ Alors le champ magnétostatique en M est donnée par : ˆ − µ0 I b rdz → eϕ = 3 4π a (r2 + z 2 ) 32 a (r2 + z 2 ) 2 Pour résoudre cette intégrale, On pose z = rtan(α) ce qui donne dz = r (1 + tg 2 (α)) dα donc : ˆ ˆ α2 − → − µ0 I α2 r2 (1 + tg 2 (α)) dα→ µ0 I → eϕ dα − B (M ) = = eϕ 3 1 4π α1 4π r α1 (1 + tan2 (α)) 2 (r2 + r2 tan2 (α)) 2 → − µ0 I B (M ) = 4π ˆ b M → − er − − − dz → e z ∧ (−z → e z + r→ e r) En utilisant le fait que 1 + tan2 (α) = 1 on trouve : cos2 (α) → − µ0 I → − e ϕ (sin(α2 ) − sin(α1 )) B (M ) = 4π r a b α1 = arctan( ) α2 = arctan( ) r r Remarques : • Le champ magnétostatique dépend de a et b et de r ce qui peut être expliquer par la seule invariance du système à savoir l'invariance par rotation autour de l'axe OZ. π • Pour un l inni, on a α2 = −α1 = . Ce qui donne : 2 → − µ0 I → − B (M ) = eϕ 4π r • Le champ diverge pour r = 0 ce qui s'explique par le faite que la modélisation linéaire n'est plus valable lorsque M est très proche du l. Le l doit être traité comme un cylindre de rayon R parcouru par un courant → − de densité j avec : I → → − − j = ez πR2 − • Les lignes de champ magnétostatiques sont l'ensemble des points tangents à → e ϕ ce qui donne un ensemble de cercles concentriques de rayons variables. H.ADOCH 25 / 39 [email protected] CHAPTER 2. MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE 1.3.2 Spire circulaire Considérons une spire de rayon R, de centre O et d'axe OZ; parcouru par un courant d'intensité I. Déterminons l'expression du champ magnétostatique en un point M sur l'axe. La spire possède une symétrie cylindrique donc on choisit le système de coordonnées cylindrique (r, ϕ, z). La distribution est linéique donc le champ magnétostatique selon la loi de Biot et Savart est : → − µ0 B (M ) = 4π ˆ Z M → − −−→ I dl ∧ P M P M3 H C O D A P En utilisant le système de coordonnées cylindriques on écrit : → − − dl = Rdϕ→ eϕ → − er −−→ − − et P M = z → e z − R→ er O I En remplaçant ceci dans l'expression du champ on obtient l'expression : → − µ0 I B (M ) = 4π ˆ 2π − − − Rdϕ→ e ϕ ∧ (z → e z − R→ e r) 3 = (R2 + z 2 ) 2 0 ˆ 2π µ0 IR 3 4π (R2 + z 2 ) 2 − − dϕ (z → e r + R→ e z) 0 − La seule grandeur qui dépend de l'angle ϕ est → e r , en eet : → − − − e r = cos(ϕ)→ e x + sin(ϕ)→ ey Alors : → − B (M ) = µ0 IR ˆ 2π → − → − z e r dϕ + 2πR e z 3 4π (R2 + z 2 ) 2 0 Le champ magnétostatique crée par la spire en un point M de son axe est alors : → − B (M ) = µ0 IR2 3 2 (R2 + z 2 ) 2 → − ez Remarques : − • On trouve que le champ est suivant → e z se qui est évident car tout point P de la spire possède un point symétrique P' par rapport à O. Ce point (P') crée un champ magnétostatique symétrique au champ crée par P par rapport à l'axe OZ. Ce qui résulte en un champ totale suivant OZ. • Pour un point M confondu avec O (z=0), le champ est donnée par : → − µ0 I → − B (O) = ez 2R • Si le point M n'appartient pas à l'axe OZ, cette méthode donne une intégrale dicile à résoudre. 2 Théorème d'Ampère 2.1 Symétrie et invariance Par analogie aux charges, les distributions de courant possèdent aussi des plans de symétrie et d'anti-symétrie. Ces plans sont reliés à la direction et l'intensité du courant. Exemples : H.ADOCH 26 / 39 [email protected] CHAPTER 2. I I MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE I π0 I π Exemple d'un plan (π) d'antisymétrie Exemple d'un plan (π0 ) de symétrie Le champ magnétostatique toujours appartient aux plans d'anti-symétrie et il est perpendiculaire aux plans de symétrie. C'est l'inverse du champ électrostatique. H C O D A Remarques : • Les plans doit bien sure passés par le point M. • Il sut donc de connaître un seule plan de symétrie de la distribution de courant pour déterminer la direction du champ magnétostatique. • Il faut deux plans d'anti-symétrie pour déterminer la direction du champ. → − → − • La diérence entre le champ B et E vient du faite que le champ électrostatique est proportionnel à la forme électrique alors que le champ magnétostatique est relié à la force magnétique par un produit vectoriel. On → − → − dit alors que le champ E est un vrai vecteur alors que le champ B est un pseudo-vecteur. • Les règles d'invariance reste valable en magnétostatique. 2.2 Théorème d'Ampère Comme pour le champ électrostatique, on a une théorème qui permet de calculer de manière simple le champ magnétostatique c'est le théorème d'Ampère. La circulation du champ magnétostatique le long d'un contour fermé L (appelé contour d'Ampère) est égale au produit de µ0 et la somme algébrique des courants enlacés par ce contour. C'est-à-dire les courants qui travers la surface délimitée par le contour d'Ampère: ˛ X − → − → B . dl = µ0 Ienlace L Pour appliquer ce théorème, il faut suivre les mêmes étapes du théorème de Gauss à savoir : • Choix de système de coordonnées. • Détermination des plans de symétrie et d'anti-symétries pour déduire la direction du champ. • Etudier l'invariance pour déduire la dépendance du champ. • Choix de contour d'Ampère : si le courant est axial : L circle. si non : L est un rectangle. • Applications du théorème en calculons les deux parties. Déduire le champ. 2.3 Exemples d'application 2.3.1 Fil rectiligne inni Considérons un l inni parcouru par un courant d'intensité I constante. On se propose de déterminer la champ magnétostatique crée par ce l en tout point M de l'espace. • Système de Coordonnées : Le l est un cylindre de rayon très faible donc on choisit le système de coordonnées cylindrique (r, ϕ, z). H.ADOCH 27 / 39 [email protected] CHAPTER 2. MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE • Symétrie: On trouve deux plans passant par M et qui divise la distribution en deux parties égaux à savoir → − − − (M, → e r, → e ϕ ) qui est un plan d'anti-symétrie donc le champ B (M ) appartient à ce plan. Alors que le plan − − (M, → e r, → e z ) est un plan de symétrie donc le champ est perpendiculaire à ce plan. Ce qui signie que : → − − B (M ) = B(M )→ eϕ • Etude de l'invariance : le système possède deux invariances à savoir : par rotation autour de l'axe OZ c'est-à-dire que le champ ne dépend pas de ϕ et une invariance translation le long de OZ et donc le champ ne dépend pas de z . Ce qui permet d'écrire que : → − − B (M ) = B(r)→ eϕ H C O D A • Contour d'Ampère : le courant est axial c'est-à-dire qu'il suit l'axe de la distribution donc le contour d'Ampère est un cercle de rayon r d'axe OZ et qui passe par M. On choisit une orientation du contour. • Théorème d'Ampère: ˛ Z − → − → B . dl = µ0 Ienlac Pour l'élément de longueur, on le choisit selon l'orientation du contour : → − − dl = rdϕ→ eϕ Donc : ˛ − → − → B . dl = → − − et B (M ) = B(r)→ eϕ I ˆ 2π r B(r)r dϕ = 2πrB(r) M → − e r 0 La surface délimitée par le contour est traversée par un seul courant à savoir I. Pour connaître le signe de I il faut utiliser la règle de tire bouchon. → − − On eet, l'orientation du contour correspond toujours à l'orientation de dl qui est ici → e ϕ . Donc par la règle de tire bouchon : Ienlac = +I En remplaçant dans le théorème d'Ampère : 2πrB(r) = µ0 I Alors le champ magnétostatique en M est donné par : → − µ0 I → − − B (M ) = B(r)→ eϕ= eϕ 2πr On retrouve alors le résultat du paragraphe 1.3.1. 2.3.2 Cylindre inni L'expression du champ magnétostatique crée par un l inni montre que le champ n'est pas déni en r=0. Ce qui s'explique par le faite que la modélisation liforme (linéique) n'est plus valable au voisinage du l. Pour remédier à ce problème, on utilise une modélisation plus réaliste. H.ADOCH 28 / 39 [email protected] CHAPTER 2. MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE → − On considère alors un cylindre inni de rayon R parcouru par un courant de densité volumique j uniforme. L'étude est presque similaire à celle d'un l inni. • Système de Coordonnées : on choisit le système de coordonnées cylindrique (r, ϕ, z). • Symétrie: On trouve deux plans passant par M et qui divise la distribution en deux parties égaux à savoir → − − − (M, → e r, → e ϕ ) qui est un plan d'anti-symétrie donc le champ B (M ) appartient à ce plan. Alors que le plan − − (M, → e r, → e z ) est un plan de symétrie donc le champ est perpendiculaire à ce plan. Ce qui signie que : → − − B (M ) = B(M )→ eϕ • Etude de l'invariance : le système possède deux invariances à savoir : par rotation autour de l'axe OZ c'est-à-dire que le champ ne dépend pas de ϕ et une invariance translation le long de OZ et donc le champ ne dépend pas de z . Ce qui permet d'écrire que : → − − B (M ) = B(r)→ eϕ H C O D A • Contour d'Ampère : le courant est axial c'est-à-dire qu'il suit l'axe de la distribution donc le contour d'Ampère est un cercle de rayon r d'axe OZ et qui passe par M. On choisit une orientation du contour. • Théorème d'Ampère: ˛ − → − → B . dl = µ0 Ienlac Z Pour l'élément de longueur, on le choisit selon l'orientation du contour : → − − dl = rdϕ→ eϕ Donc : ˛ − → − → B . dl = → − − et B (M ) = B(r)→ eϕ → − j ˆ 2π r B(r)r dϕ = 2πrB(r) 0 M → − e r La surface délimitée par le contour est traversée par un seul courant volumique d'intensité I donnée par : ¨ Ienlac = I = → → − − j .dS S Le surface S (la surface grise) c'est la partie de la surface délimité par le contour qui est traversée par le − → → − courant j . La direction du vecteur dS est déterminer par la règle de tire bouchon. En eet c'est-toujours la → − même direction de dl . Alors : ¨ Ienlac = I = ˆ 2π jdS = j dϕ 0 ¨ Ienlac = I = ˆ R rdr = πr2 j si M à l'intérieur : r < R ˆ r dϕ 0 si M à l'extérieur : r > R 0 ˆ 2π jdS = j rdr = πR2 j 0 En remplaçant dans le théorème d'Ampère, on obtient : jR2 → − µ e ϕ si r ≥ R 0 → − r B (M ) = − µ0 jr→ eϕ si r < R H.ADOCH 29 / 39 [email protected] CHAPTER 2. MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE 2.3.3 Solénoïde circulaire Considérons un cylindre de longueur h entouré par un nombre N de spires de même rayon R et parcouru par un courant I. M M I I Z Z H C O D A Représentation complète de solénoïde Représentation symbolique La première caractéristique d'un solénoïde est le nombre de spire par unité de longueur qui est dénie par : n= N h Avec N est le nombre de spire dans une longueur h. Analysant le cas d'un solénoïde inni (le cas ni peut être traiter en utilisant Biot et Savart). • Système de Coordonnées : on choisit le système de coordonnées cylindrique (r, ϕ, z). • Symétrie: On trouve deux plans passant par M et qui divise la distribution en deux parties égaux à savoir → − − − (M, → e r, → e z ) qui est un plan d'anti-symétrie donc le champ B (M ) appartient à ce plan. Alors que le plan − − (M, → e r, → e ϕ ) est un plan de symétrie donc le champ est perpendiculaire à ce plan. Ce qui signie que : → − − B (M ) = B(M )→ ez • Etude de l'invariance : le système possède deux invariances à savoir : par rotation autour de l'axe OZ c'est-à-dire que le champ ne dépend pas de ϕ et une invariance translation le long de OZ et donc le champ ne dépend pas de z . Ce qui permet d'écrire que : → − − B (M ) = B(r)→ e z • Contour d'Ampère : le courant est spiral c'est-à-dire qu'il tourne autour de l'axe de la distribution donc le contour d'Ampère est rectangle ABCD qui passe par M. On choisit une orientation du contour. L B A C D C B r2 r1 r2 Z D A Z r1 L Contour l'extérieur du solenoide H.ADOCH Contour à l'intérieur 30 / 39 [email protected] CHAPTER 2. • Théorème d'Ampère : ˆ ˆ ˛ − → − → → − → − B . dl = B(r) e z .dr e r + AB − − B(r)→ e z .dz → ez+ ˆ BC MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE − − B(r)→ e z .dr(−→ e r) + CD ˆ − − B(r)→ e z .dz(−→ e z) DA Il faut faire attention au faite que BC et DA n'ont pas le même r donc B(r) est diérent. On a alors : ˛ − → − → B . dl = B(r2 )L − B(r1 )L = L (B(r2 ) − B(r1 )) Dans les deux cas des gures ci-dessus, aucun courant traverse la surface du rectangle. Donc : ⇒ Ienlac = 0 B(r2 ) = B(r1 ) H C O D A → − Alors le champ est uniforme à l'extérieur du solénoïde on le note dans la suite B ext . De même à l'intérieur, → − le champ est uniforme, on le note B int . Le champ extérieur est homogène donc il a la même valeur pour tout valeur de r>R. Pour un point M à → − → − l'inni, le champ est nul donc B ext = 0 . Pour déterminer l'expression du champ à l'intérieur on utilise un contour d'Ampère qui possède une partie à l'intérieur et une autre à l'extérieur : L B C A D Z Contour partiellement à l'extérieur du solenoide Dans ce cas, la première partie du théorème d'Ampère qui s'écrit : ˛ − → − → B . dl = ˆ − − B(r)→ e z .dr→ er+ AB donne : ˆ − − B(r)→ e z .dz → ez+ ˆ BC ˛ − − B(r)→ e z .dr(−→ e r) + CD ˆ − − B(r)→ e z .dz(−→ e z) DA − → − → B . dl = 0 + Bext L + 0 − Bint L = −Bint L D'autre part, la somme des courants enlacées par le contour ABCD est : X Ienlac = N (−I) Telle que N est le nombre de courant I traversant la surface du rectangle. Alors que le signe ” − ” vient en faite de l'orientation du contour ABCD. Cette orientation montrer par la règle du tire bouchon que le sens positif est le sens entrant. En utilisant n le nombre de spire par unité de longueur, on écrit : X Ienlac = −N I = −nLI Le champ crée par le solénoïde est alors : → − B (M ) = H.ADOCH → − µ0 nI e z si r < R − → 0 31 / 39 si r > R [email protected] CHAPTER 2. MAGNÉTOSTATIQUE DANS LE VIDE 2.4 Conservation de ux magnétostatique On admet que pour tout distribution de courant, le champ magnétostatique crée possède un ux conservative. C'est-à-dire que le ux du champ magnétostatique à travers une surface Σ fermée quelconque est nul: ‹ → → − − B .dS = 0 Σ Cette équation possède deux origines ou explications équivalentes. • La première c'est qu'il n'existe pas de charge magnétique, c'est qui explique le fait que même si on coupe un aiment pour séparer la partie Nord du partie Sud, on remarque la formation de deux pôles dans chaque partie du l'aiment. • La deuxième c'est que les lignes de champ magnétostatique sont toujours des courbes fermés. H C O D A H.ADOCH 32 / 39 [email protected] CHAPTER 3 DIPÔLES ÉLECTROMAGNÉTIQUES 1 H C O D A Dipôle électrostatique 1.1 Moment dipolaire On appel un dipôle électrostatique, l'ensemble formé par deux charges électriques égales et de signes opposés séparées par une distance N P . On caractérise le dipôle électrostatique par une − grandeur vectorielle appelée le moment dipolaire noté → p qui déni par : −−→ → − p = q NP Remarques : • Il est exprimé généralement en Debye (D) avec 1D = 1 −30 10 C.m. 3 • En chimie, on utilise µ au lieu de p. • En général, une distribution dipolaire est une distribution de charge dont la charge totale est nulle Qtot = 0 → − − mais le moment dipolaire totale est non nul → p tot 6= 0 . 1.2 Potentiel et champ électrostatiques 1.2.1 Cadre d'étude Z Pour étudier un dipôle électrostatique, on le modèle par deux charges ponctuelles de signes opposée : une charge q > 0 en P et une autre −q en N . La distance entre les deux charges est noté a. On s'intéresse à l'eet de ce dipôle en un point M de l'espace. On note O le centre de dipôle. On travail dans le cadre de l'approximation dipolaire qui consiste à considéré le champ et le potentiel à des distances OM très grande devant la dimension de dipôle P N . M θ r P a O → − er N Modélisation d'un dipôle électrostatique 33 CHAPTER 3. DIPÔLES ÉLECTROMAGNÉTIQUES 1.2.2 Potentiel électrostatique Dans un premier temps, déterminons le potentiel crée par le dipôle en M en utilisant le fait que ce potentiel est la somme des potentiels crée par chaque charge en M. On a alors : q q q V (M ) = VP (M ) + VN (M ) = − = 4πε0 P M 4πε0 N M 4πε0 Or : −−→ −→ −−→ a− − P M = P O + OM = − → e z + r→ er 2 Alors : 1 1 − PM NM −−→ −−→ −−→ a − − et N M = N O + OM = → e z + r→ er 2 H C O D A a a a2 a2 − − → − → − → − → − − ar→ e z .→ e r + r2 = − ar cos(θ) + r2 PM = − e z + r e r . − e z + r e r = 2 2 4 4 2 NM2 = a a2 a2 − − → − − − − + ar→ e z .→ e r + r2 = + ar cos(θ) + r2 e z + r→ er . → e z + r→ er = 2 2 4 4 a Dans le cadre de l'approximation dipolaire on aura : 2 12 21 1 a a a 2 2 2 PM = ≃ −ar cos(θ) + r ≃ r 1 − cos(θ) ≃ r 1 − − ar cos(θ) + r cos(θ) 4 r 2r 2 12 21 1 a a a 2 2 2 NM = + ar cos(θ) + r ≃ ar cos(θ) + r cos(θ) ≃ r 1 + cos(θ) ≃ r 1 + 4 r 2r En remplaçant dans l'expression du potentiel on trouve : q 1 1 − a a 4πε0 r 1 − cos(θ) r 1+ cos(θ) 2r 2r −1 −1 q a a = 1− cos(θ) − 1+ cos(θ) 4πε0 r 2r 2r V (M ) = Un développement limité à l'ordre 1 donne : V (M ) = qa cos(θ) a a q 1+ cos(θ) − 1 + cos(θ) = 4πε0 r 2r 2r 4πε0 r2 L'expression du potentiel électrostatique en coordonnées sphérique est alors : V (M ) = qa cos(θ) 4πε0 r2 On peut réécrire cette expression sous la forme dite intrinsèque : V (M ) = → − − p .→ er 4πε0 r2 − − car → p = qa→ ez Remarques : • Le potentiel d'un dipôle décroît plus rapidement que le potentiel d'une seule charge. • Le potentiel dépend de deux variables sphériques à savoir r et θ donc le champ électrostatique aussi dépend de ces deux variables. Cette conclusion est en accord avec le fait que le système possède une seule invariance qui est l'invariance par rotation autour de l'axe OZ. Cette invariance correspond bien à l'angle ϕ. H.ADOCH 34 / 39 [email protected] CHAPTER 3. DIPÔLES ÉLECTROMAGNÉTIQUES 1.2.3 Champ électrostatique Pour déterminer le champ électrostatique crée par ce dipôle, on utilise l'expression du potentiel électrostatique et le fait que : −−→ → − ∂V → 1 ∂V → 1 ∂V → − − − E (M ) = −grad(V ) = − er− eθ− eϕ ∂r r ∂θ rsinθ ∂ϕ On obtient alors : → − qa E (M ) = − 4πε0 2 cos(θ) → sin(θ) → − − − er− eθ r3 r3 L'expression du champ électrostatique crée par le dipôle en un point M en coordonnées sphériques est : H C O D A → − E (M ) = qa − − (2cos(θ)→ e r + sin(θ)→ e θ) 4πε0 r3 − − Pour retrouver l'expression intrinsèque du champ on remplace "qa cos(θ)" par → p .→ e r et on utilise le fait que : → − − − − − − e r = cos(θ)→ e z + sin(θ)→ e ρ et → e θ = −sin(θ)→ e z + cos(θ)→ eρ Ce qui donne : → − − − e z = cos(θ)→ e r − sin(θ)→ eθ ⇒ − − − sin(θ)→ e θ = −→ e z + cos(θ)→ er Donc l'expression du champ devient : → − E (M ) = − − − − 3 (→ p .→ e r )→ er−→ p qa → − → − (3 cos(θ) e − e ) = r z 3 3 4πε0 r 4πε0 r Le champ électrostatique d'un dipôle décroît aussi plus rapidement comparant au champ électrostatique d'une seule charge. 1.3 Topographie du champ La topographie est la détermination de la forme des lignes de champ et des surfaces équipotentielles. Le potentiel est donné par : V (M ) = qa cos(θ) 4πε0 r2 La surface équipotentielle est l'ensemble des points qui ont le même potentiel donc : V (M ) = V0 ⇒ r2 = qa cos(θ) = r02 cos(θ) 4πε0 V0 L'angle θ varie entre 0 et π donc r varie entre 0 et r0 . D'autre part, une ligne de champ est dénie par la relation : → − −−−→ → − − − − − − E ∧ dOM = 0 = (Er → e r + Eθ → e θ ) ∧ (dr→ e r + rdθ→ e θ + rsin(θ)dϕ→ e ϕ) Ce qui donne : → − − − − − Er rdθ→ e ϕ − Er r sin(θ)dϕ→ e θ − Eθ dr→ e ϕ + Eθ r sin(θ)dϕ→ er= 0 Le projection de cette relation sur les vecteurs de la base sphérique donne : Eθ r sin(θ)dϕ = 0 H.ADOCH Er r sin(θ)dϕ = 0 35 / 39 Er rdθ = Eθ dr [email protected] CHAPTER 3. DIPÔLES ÉLECTROMAGNÉTIQUES − Le vecteur champ électrostatique n'a pas de composante selon → e ϕ donc les lignes de champ sont contenues → − → − dans le plan ( e r , e θ ) d'où dϕ = 0 alors on retrouve : qa qa 2cos(θ) rdθ = sin(θ) dr 3 4πε0 r 4πε0 r3 ⇒ dr 2cos(θ) dθ = sin(θ) r Une simple intégration donne: 2Ln(sin(θ)) = Ln(r) + cte ⇒ r = A sin2 (θ) H C O D A C'est l'équation d'une ligne de champ. Chaque ligne est caractérisée par une valeur de la constante A. L'angle θ varie entre 0 et θ ce qui correspond à une variation de r entre 0 et A. Z Surfaces équipotentielles Lignes de champ → − p 1.4 Interaction entre un dipôle et un champ électrostatique extérieur − Considérons maintenant un dipôle électrostatique caractérisé par son moment dipolaire → p et qui est placé → − dans un champ électrostatique E ext . Le dipôle est considéré rigide c'est-à-dire indéformable. 1.4.1 Cas d'un champ uniforme Le champ électrostatique applique sur chaque charge une force, la force totale est donnée par : → − → − → − → − F = q E ext (P ) − q E ext (N ) = 0 H.ADOCH 36 / 39 [email protected] CHAPTER 3. DIPÔLES ÉLECTROMAGNÉTIQUES Alors que le moment associé à ce champ est donnée par : −→ −−→ → → − −→ → − −−→ → − − Γ = OP ∧ q E ext + ON ∧ (−q) E ext = q OP − ON ∧ E ext ⇒ → − → − − Γ =→ p ∧ E ext Ces deux résultats signie qu'un champ extérieur uniforme n'a pas d'eet sur le barycentre de dipôle (force résultante nulle) mais c'est un couple de force donc il provoque une rotation à causse du moment non nul. Le − moment devient nul lorsque le moment dipolaire → p est aligné avec le champ extérieur. 1.4.2 Cas d'un champ non uniforme H C O D A Dans ce cas la force n'est plus nulle, d'autre part c'est une force conservative donc elle dérive d'une énergie potentielle. L'énergie potentielle associée est appelée énergie d'interaction entre le dipôle et le champ extérieur. Pour trouver son expression, on a deux méthodes : • Première Méthode: L'énergie d'interaction est la somme des énergies d'interaction entre le potentiel associée au champ extérieur et chaque charge : Eint = qV (P ) − qV (N ) = q (V (P ) − V (N )) Or dans le cadre de l'approximation dipolaire, N et très proche de P alors un développement limité s'écrit sous la forme : −−→ −−→ −−→ → − V (P ) = V (N ) + N P .grad(V ) = V (N ) − N P . E ext En remplaçant dans l'expression de l'énergie d'interaction on trouve : −−→ → − → − − Eint = −q N P . E ext = −→ p . E ext • Deuxième Méthode : En utilisant la dénition de l'énergie potentielle d'une force on écrit : → −−→ −−−→ − → − dEint = − q E ext .dOP − q E ext .dON On considère que le champ extérieur est uniforme sur les distances considérées (dON,dOP, dPN) donc : → −−−→ → − − −−→ → − − dEint = −q E ext .dN P = −d q E ext .N P = d(−→ p . E ext ) Alors on retrouve l'expression : → − − Eint = −→ p . E ext La force résultantes appliquée sur le dipôle est donc : −−→ − → → − − p . E ext F = grad → D'autre part, on admet que le couple possède la même expression que le cas uniforme : → − → − − Γ =→ p ∧ E ext (O) O est le centre de dipôle. H.ADOCH 37 / 39 [email protected] CHAPTER 3. DIPÔLES ÉLECTROMAGNÉTIQUES Remarques : → − • Pour étudier l'eet de ce champ sur le dipôle on note α l'angle entre le vecteur champ extérieur E ext et le − moment dipolaire → p . La position stable de dipôle est celle pour laquelle l'énergie d'interaction est minimale ce qui correspond un angle α = 0. → − → − • En utilisant l'angle α on montre que Γ = 0 pour α = 0 ce qui correspond bien à une position d'équilibre stable. → − → − • La position α = π correspond aussi à une position d'équilibre ( Γ = 0 ) mais l'énergie correspondante est maximale donc c'est instable. • Dans le cas d'un champ extérieur uniforme on a retrouve les expressions du paragraphe précédent : H C O D A −−→ → → − → − −−→ → − − F = grad p . E ext = grad (pEext cos(α)) = 0 2 Dipôle magnétique 2.1 Champ crée par un dipôle 2.1.1 Moment magnétique Un milieu magnétique peut être considéré comme une assemblé de boucles de courants de dimension atomiques dont les eets sont étudiés à des distance macroscopiques. Des telles boucles élémentaires sont appelées dipôles magnétiques. Dans tout la suite, on modélise un dipôle magnétique par une spire de courant I. On associé à toute boucle une grandeur vectorielle appelée moment magnétique qu'on dénit par : → − S → − → − m =IS → − I est l'intensité du courant passant par la boucle et S un vecteur dont la norme représente la surface de la boucle et le direction est le vecteur normal → − n et dans le sens est donné par la règle de tire bouchon. I 2.1.2 Champ magnétostatique Le champ électrostatique crée par un dipôle électrostatique s'écrit sous la forme : − − − − → − 3 (→ p .→ e r) → er−→ p E (M ) = 3 4πε0 r Par analogie, on admet que l'expression du champ magnétostatique crée par un dipôle magnétique est : − − − − → − 3 (→ m.→ e r) → er−→ m B (M ) = µ0 3 4πr 2.1.3 Carte de champ En utilisant l'expression du champ magnétique, on peut montrer que l'équation des lignes de champ est similaire à celle des lignes de champ d'un dipôle électrostatique. H.ADOCH 38 / 39 [email protected] CHAPTER 3. DIPÔLES ÉLECTROMAGNÉTIQUES Z Z → − p → − m H C O D A Figure 1 : Dipôle électrostatique Figure 2 : Dipôle magnétostatique La seule diérence c'est que les lignes de champ du dipôle magnétostatique sont fermés alors que celles du dipôle électrostatique sort du la charge positive vers la charge négative. 2.2 Interaction entre un dipôle et un champ magnétostatique extérieur − Considérons maintenant un dipôle magnétostatique caractérisé par son moment magnétique → m et qui est → − placé dans un champ magnétostatique B ext . Le dipôle est considéré rigide c'est-à-dire indéformable. On admet que : • L'énergie d'interaction entre le dipôle est le champ est : → − − Eint = −→ m. B ext • La force appliquée sur le dipôle est donnée par : −−→ −−→ − → → − − F = −grad(Eint ) = grad(→ m. B ext ) Alors que le couple associé à cette force possède un moment donné par : → − → − − Γ =→ m ∧ B ext Remarques : → − • Pour étudier l'eet de ce champ sur le dipôle on note α l'angle entre le vecteur champ extérieur B ext et le − moment magnétique → m . La position stable de dipôle est celle pour laquelle l'énergie d'interaction est minimale ce qui correspond un angle α = 0. → − → − • En utilisant l'angle α on montre que Γ = 0 pour α = 0 ce qui correspond bien à une position d'équilibre stable. → − → − • La position α = π correspond aussi à une position d'équilibre ( Γ = 0 ) mais l'énergie correspondante est maximale donc c'est instable. • Dans le cas d'un champ extérieur uniforme on a trouve : −−→ − → → − − −−→ → − F = grad → m. B ext = grad (mBext cos(α)) = 0 H.ADOCH 39 / 39 [email protected]
