CPGE Ibn Timiya
PCSI1 Devoir maison ◦2
Exercice 1) On consid`ere les trois matrices
M=
11
2
1
4
01
2
1
2
0 0 1
4
, Q =
1 1 1
0−1−2
0 0 1
et D=QMQ.
1. Calculer Q2. En d´eduire que Qest inversible et expliciter Q−1.
2. Calculer D(on v´erifiera que Dest une matrice diagonale). Justifier que M=QDQ.
3. Montrer que ∀n∈N, Mn=QDnQ.
4. Expliciter les neuf coefficients de la matrice Mn.
Exercise 2) Soit
A=
100
6−5 6
3−3 4
1. Calculer la matrice A2.
2. On d´efinit Anpour tout entier nnon nul par A1=Aet
An+1 =AnA.
On admet que, pour tout entier nnon nul, il existe un r´eel antel que
An=
1 0 0
2an1−2an2an
an−an1+an
.
(a) Calculer An+1 =AnA.
(b) En d´eduire la relation : an+1 = 3 −2an.
3. Soit la suite (bn) d´efinie pour tout entier naturel nnon nul par
bn=an−1.
(a) Montrer que (bn) est une suite g´eom´etrique et pr´eciser son premier terme et sa raison.
(b) Calculer bnpuis anen fonction de n.
4. En d´eduire l’expression de Anen fonction de n.
Exercise 3) Soit n∈Net l’´equation
(En)xn+x−1 = 0.
(a) Montrer qu’il existe une unique solution positive de (En) not´ee xnet que
lim
n→+∞xn= 1.
(b) On pose yn= 1 −xn. Montrer que, pour nassez grand,
ln n
2n≤yn≤2 ln n
n
(on posera fn(y) = nln(1 −y)−ln(y)).
1
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(c) Montrer que ln(yn)∼ − ln npuis que
xn= 1 −ln n
n+oln n
n.
Exercise 4) Pour tout n∈N, on pose
an=
n
X
k=1
1
k−ln(n+ 1) et bn=
n
X
k=1
1
k−ln(n).
(a) ´
Etablir que
ln(1 + x)≤xpour tout x∈]−1,+∞[.
(b) Justifier que les suites (an)n≥1et (bn)n≥1sont adjacentes. On note γleur limite commune.
(c) Justifier le d´eveloppement asymptotique
n
X
k=1
1
k=
n→+∞ln(n)+γ+o(1).
Exercise 5) R´esoudre dans R4le syst`eme (S7) suivant les valeurs du param`etre r´eel m:
(S7)
mx +y+z+t= 1,
x+my +z+t= 1,
x+y+mz +t= 1,
x+y+z+mt = 1.
Bon courage !
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