Pares de variables aleatorias discretas: Ejercicios corregidos con recordatorios

Couples de Variables Aléatoires Discrètes
Exercice corrigé avec rappels de cours
07 FEV 2026
Table des matières
1 Rappels de cours
1.1 Loi conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Probabilités et espérances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Indépendance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
2 Exercice
4
3 Correction
3.1 Question 1 : Détermination de la constante c . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Question 2 : Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Question 3 : Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Question 4 : Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Question 5 : Indépendance de X et Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Question 6 : Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
6
6
7
4 Résumé
9
1
1
Rappels de cours
1.1
Loi conjointe
Loi conjointe
Pour un couple (X, Y ) de variables aléatoires discrètes :
∀(xi , yj ) ∈ X(Ω) × Y (Ω),
pij = P(X = xi , Y = yj )
Constante de normalisation
On détermine c tel que :
XX
i
P(X = xi , Y = yj ) = 1
j
Lois marginales
P(X = xi ) =
X
pij ,
P(Y = yj ) =
X
j
1.2
pij
i
Probabilités et espérances conditionnelles
Probabilités conditionnelles
P(X = xi | Y = yj ) =
pij
P(Y = yj )
(si P(Y = yj ) > 0)
Espérances conditionnelles
E(X | Y = yj ) =
X
xi · P(X = xi | Y = yj )
i
1.3
Indépendance et covariance
Indépendance
X et Y sont indépendantes si et seulement si :
∀(xi , yj ),
P(X = xi , Y = yj ) = P(X = xi ) · P(Y = yj )
Covariance
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )
2
Important
La covariance nulle n’implique pas l’indépendance ! Mais l’indépendance implique
la covariance nulle.
3
2
Exercice
Énoncé
Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par :
X\Y
0
1
2
−1
c
2c
c
0
2c
3c
c
où c > 0 est une constante réelle.
1. Déterminer la valeur de c.
2. Calculer les lois marginales de X et Y .
3. Calculer P(X = 1 | Y = 0).
4. Calculer E(X | Y = 0).
5. X et Y sont-elles indépendantes ?
6. Calculer Cov(X, Y ).
4
2
c
c
2c
3
Correction
3.1
Question 1 : Détermination de la constante c
Détermination de la constante c
La somme des probabilités doit valoir 1 :
X
pij = 1
i,j
Somme des coefficients dans le tableau :
c + 2c + c + 2c + 3c + c + c + c + 2c = 14c
Donc :
14c = 1
3.2
⇒
c=
1
14
Question 2 : Lois marginales
Loi marginale de X
On somme sur toutes les valeurs de Y pour chaque valeur de X :
2
4
=
14
7
6
3
P(X = 1) = 2c + 3c + c = 6c =
=
14
7
4
2
P(X = 2) = c + c + 2c = 4c =
=
14
7
P(X = 0) = c + 2c + c = 4c =
Loi marginale de Y
On somme sur toutes les valeurs de X pour chaque valeur de Y :
2
7
3
P(Y = 0) = 2c + 3c + c = 6c =
7
2
P(Y = 2) = c + c + 2c = 4c =
7
P(Y = −1) = c + 2c + c = 4c =
Vérification
On vérifie bien que 27 + 37 + 27 = 1 pour chacune des lois marginales.
5
3.3
Question 3 : Probabilité conditionnelle
Calcul de P(X
On cherche :
P(X = 1 | Y = 0) =
P(X = 1, Y = 0)
P(Y = 0)
D’après le tableau :
P(X = 1, Y = 0) = 3c =
3
14
D’après la question 2 :
P(Y = 0) =
6
3
=
7
14
Donc :
P(X = 1 | Y = 0) =
3.4
3/14
3
1
= =
6/14
6
2
Question 4 : Espérance conditionnelle
Calcul de E(X | Y
On calcule E(X | Y = 0) =
X
x · P(X = x | Y = 0).
x
D’abord, on détermine toutes les probabilités conditionnelles sachant Y = 0 :
P(X = 0 | Y = 0) =
P(X = 0, Y = 0)
2c
1
=
=
P(Y = 0)
6c
3
3c
1
=
6c
2
1
c
P(X = 2 | Y = 0) =
=
6c
6
P(X = 1 | Y = 0) =
(déjà calculé)
Donc :
E(X | Y = 0) = 0 ×
3.5
1
1
1
1 2
1 1
5
+1× +2× =0+ + = + =
3
2
6
2 6
2 3
6
Question 5 : Indépendance de X et Y
Test d’indépendance
Pour vérifier l’indépendance, on teste si P(X = i, Y = j) = P(X = i) · P(Y = j)
pour tout (i, j).
Prenons par exemple (i, j) = (0, 0) :
P(X = 0, Y = 0) = 2c =
6
2
1
=
14
7
6
1
7
2 3
× =
̸= =
7 7
49
7
49
7
6
Puisque 49 ̸= 49 , l’égalité n’est pas satisfaite.
P(X = 0) · P(Y = 0) =
Conclusion : X et Y ne sont pas indépendantes.
Méthode
Pour montrer que deux variables ne sont pas indépendantes, il suffit de trouver un
seul couple (i, j) pour lequel l’égalité P(X = xi , Y = yj ) = P(X = xi ) · P(Y = yj )
est violée.
3.6
Question 6 : Covariance
7
Calcul de Cov(X
On utilise la formule : Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Calcul de E(X) :
E(X) = 0 ×
2
3
2
3 4
+1× +2× =0+ + = 1
7
7
7
7 7
Calcul de E(Y ) :
E(Y ) = (−1) ×
2
3
2
2
4
2
+0× +2× =− +0+ =
7
7
7
7
7
7
Calcul de E(XY ) : X
On calcule E(XY ) =
xi yj · pij .
i,j
Les seuls termes non nuls sont ceux où xi ̸= 0 et yj ̸= 0 simultanément. Détaillons :
E(XY ) = (0 × (−1)) · c + (0 × 0) · 2c + (0 × 2) · c
+ (1 × (−1)) · 2c + (1 × 0) · 3c + (1 × 2) · c
+ (2 × (−1)) · c + (2 × 0) · c + (2 × 2) · 2c
= 0 + 0 + 0 + (−2c) + 0 + 2c + (−2c) + 0 + 8c
= 6c = 6 ×
6
3
1
=
=
14
14
7
Calcul final :
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) =
3
2
3 2
1
−1× = − =
7
7
7 7
7
La covariance étant positive, X et Y sont positivement corrélées.
Vérification de E(XY )
Une façon plus rapide : parmi les 9 cellules du tableau, seules celles avec xy ̸= 0
contribuent, c’est-à-dire les couples où x ∈ {1, 2} et y ∈ {−1, 2} :
— (x, y) = (1, −1) : contribution = 1 × (−1) × 2c = −2c
— (x, y) = (1, 2) : contribution = 1 × 2 × c = 2c
— (x, y) = (2, −1) : contribution = 2 × (−1) × c = −2c
— (x, y) = (2, 2) : contribution = 2 × 2 × 2c = 8c
6
3
Somme : −2c + 2c − 2c + 8c = 6c =
= .
14
7
8
4
Résumé
Points clés de l’exercice
— Normalisation de la loi conjointe : la somme de toutes les probabilités
vaut 1, ce qui permet de déterminer la constante c.
— Lois marginales : obtenues par sommation sur la variable à éliminer (ligne
ou colonne).
pij
— Probabilités conditionnelles : P(X = xi | Y = yj ) =
.
P(Y
=
y
)
j
X
— Espérance conditionnelle : E(X | Y = yj ) =
xi · P(X = xi | Y = yj ).
i
— Test d’indépendance : un seul contre-exemple suffit à conclure que les
variables ne sont pas indépendantes.
— Covariance : Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) mesure la dépendance
linéaire entre X et Y .
Important à retenir
Covariance nulle ̸⇒ Indépendance.
En revanche : Indépendance ⇒ Covariance nulle.
Résultat
Constante c
P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2)
P(Y = −1), P(Y = 0), P(Y = 2)
P(X = 1 | Y = 0)
E(X | Y = 0)
Indépendance
Cov(X, Y )
9
Valeur
1
14
2 3 2
, ,
7 7 7
2 3 2
, ,
7 7 7
1
2
5
6
Non
1
7