LEÇON N˚ 3 : Expérience aléatoire, probabilité

LEÇON N˚ 3 :
Expérience aléatoire, probabilité,
probabilité conditionnelle.
Pré-requis :
–Ensemble, opérations sur les ensembles et cardinaux;
–Épreuve et schéma de Bernoulli;
–Espaces probabilisés;
–calcul de probabilités.
Introduction
Nous disposons d’un dé équilibré, et on va lancer ce dé autant de fois que voulu. Le lancé de dé est une ex-
périence aléatoire (car l’issue n’est pas connue avant sa réalisation), c’est donc une expérience reproductible
dépendant du hasard, dont nous connaissons les issues possibles : {1,2,3,4,5,6}.
A-t-on plus de chances de tomber sur un chiffre pair plutôt qu’un impair?
Pour répondre à notre problème, nous allons dans un premier temps simuler une telle expérience de lancer
de dé.
3.1 Modèle expérimental
3.1.1 Simulation
Le programme suivant 1(TI-89 à Voyage 200) prend le nombre de lancers de notre expérience en paramètre,
et renvoie le nombre d’apparitions de chaque chiffre présent sur le dé :
1: Dans une ancienne version coexistait une fonction et un programme se chargeant de faire ce travail. Cécile F. (son site
"http://pedagomaths.ifrance.com/" propose plein de programmes sur calculatrice) m’a proposé cette version plus courte.

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Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle
3.1.2 Observations
Définition 1 : On appelle fréquence d’une issue, le quotient de l’effectif de cette issue par l’effectif
total. Autrement dit, pour tout i∈ {1,...,n},
fi=ni
N,avec N=
n
X
i=1
ni.
Tous les résultats suivants proviennent de la calculatrice, en faisant simde(n) (en remplaçant évidemment
npar l’une des valeurs suivantes) :
Issue 1 2 3 4 5 6
n= 10 Effectif ni4 2 1 0 1 2
Fréquence fi0,4 0,2 0,1 0 0,1 0,2
n= 15 Effectif ni8 9 4 12 12 8
Fréquence fi0,16 0,18 0,08 0,24 0,24 0,16
n= 100 Effectif ni17 14 16 13 19 14
Fréquence fi0,17 0,14 0,16 0,13 0,19 0,14
n= 150 Effectif ni23 26 15 27 22 25
Fréquence fi≈0,153 ≈0,173 0,1 0,18 ≈0,147 ≈0,167
n= 300 Effectif ni49 47 55 51 56 51
Fréquence fi≈0,163 ≈0,157 ≈0,183 0,17 ≈0,187 0,17
3.1.3 Interprétation
Pour n= 10 :La fréquence d’obtention d’un nombre pair est égale à f2+f4+f6= 0,4(soit 40%), et
d’un nombre impair à 100% −40% =60%.
Pour n= 50 :La fréquence d’obtention d’un nombre pair est égale à 58%, et d’un nombre impair à 42%.
Pour n= 100 :La fréquence d’obtention d’un nombre pair est égale à 41%, et d’un nombre impair à 59%.
Pour n= 150 :La fréquence d’obtention d’un nombre pair est égale à 52%, et d’un nombre impair à 48%.
Pour n= 300 :La fréquence d’obtention d’un nombre pair est égale à 49,7%, et d’un nombre impair à
50,3%.
On constate que la valeur des fréquences de chaque issue semble s’approcher de la valeur « idéale » 1/6≈
0,166 ... et qu’on a 50% de chances d’obtenir un nombre pair, quand le nombre de lancers devient plus
important.
3.1.4 Conclusion
Cette fréquence idéale nous permet d’introduire une nouvelle modélisation, ainsi que la notion de probabi-
lité.

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Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle
3.2 Vers le modèle idéal
3.2.1 Modélisation
Définition 2 : On appelle :
1. univers, noté Ω, l’ensemble de toutes les issues de notre expérience aléatoire;
2. événement élémentaire ou singleton, une issue de Ω;
3. événement A, une partie de Ω. C’est l’ensemble des événements qui sont dans Ω.
On note P(Ω) l’ensemble des parties de Ω.
Dans notre exemple :
1. Ω = {1,2,3,4,5,6}et Card(Ω) = 6.Ωest donc bien fini (comme le suggère le titre de la leçon).
2. {1},{2},{3},{4},{5}et {6}en sont les événements élémentaires.
3. L’ensemble A={2,4,6}correspond à l’événement A="obtenir un nombre pair". Cet ensemble est
constitué d’une réunion disjointe d’événements élémentaires : A={2} ∪ {4} ∪ {6}.
3.2.2 Probabilité
Définition 3 : Une probabilité sur l’univers Ω(avec Card(Ω) = n, est une application P : P(Ω) −→
[0,1] telle que :
⋄P(Ω) = 1 ;
⋄pour A, B ∈P(Ω), si A∩B=∅, alors P(A∪B) = P(A) + P(B).
Proposition 1 :
(i) P(Ac) = P(Ω\A) = 1 −P(A), où Acdésigne le complémentaire de Adans Ω;
(ii) P(∅) = 0 ;
(iii) P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
démonstration :
(i) A∪Ac= Ω et A∩Ac=∅, donc en combinant cette égalité avec la définition ci-dessus, on a
1 = P(Ω) = P(A∪Ac) = P(A) + P(Ac), d’où P(Ac) = 1 −P(A).
(ii) Ωc=∅, donc P(∅) = P(Ωc) = 1 −P(Ω) = 0, en utilisant (i) et la définition ci-dessus.
(iii) A∪B=A∪(B\A∩B)et A∩(B\A∩B) = ∅. En utilisant la définition ci-dessus, nous avons
donc :
P(A∪B) = PA∪(B\A∩B)
= P(A) + P(B\A∩B)
= P(A) + P(B)−P(A∩B).

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Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle
Cas de l’équiprobabilité
Définition 4 : On dit qu’il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même proba-
bilité.
Proposition 2 : Si A∈P(Ω) et que Ωest muni d’une équiprobabilité, alors on a
P(A) = Card(A)
Card(Ω) .
démonstration :Soit A∈P(Ω), avec Card(A) = a>1. Soit ωi, pour i∈ {1,...,a}, les singletons
de A. On peut alors écrire Acomme une réunion disjointe de ses singletons. Puisque nous sommes dans
une situation d’équiprobabilité, chaque singleton a pour probabilité 1/Card(Ω), d’où
P(A) = P a
[
i=1
ωi!=
a
X
i=1
P(ωi) =
a
X
i=1
1
Card(Ω) =a Card(Ω) =Card(A) Card(Ω).
Dans notre exemple : Lorsqu’on lance un dé équilibré, on est dans une situation d’équiprobabilité. Chaque
événement élémentaire a donc pour probabilité 1/Card(Ω), soit 1/6. La probabilité d’obtenir un nombre
pair est donc égale à P(A) = 3/6 = 1/2.
3.3 Probabilité conditionnelle
On se place dans un espace probabilisé Ω,P(Ω),P.
Introduction : On se donne le tableau suivant représentant la proportion de garçons (G) et de filles (F)
étudiant l’anglais (A) ou l’espagnol (E) en 1re langue.
A E
G 48 22 70
F 53 27 80
101 49 150
Quelle est la probabilité qu’un élève fasse de l’anglais sachant que c’est un garçon :
|G∩A|
|G|=48 70.
On constate aussi que
P(G∩A)
P(G)=48/150 70/150 =48 70.

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Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle
Théorème 1 : Soit B∈P(Ω) telle que P(B)6= 0. Alors l’application ci-dessous est une probabilité
sur Ω:PB:P(Ω) −→ [0,1]
A7−→ PB(A) = P(A∩B)
P(B).
démonstration :Puisque pour toute partie Bde Ω,B∩Ω = B, il est clair que PB(Ω) = 1. Soient
alors A1, A2∈P(Ω) tels que A1∩A2=∅. Alors
PB(A1
.
∪A2) = P(A1
.
∪A2)∩B
P(B)=P(A1∩B).
∪(A2∩B)
P(B)
=P(A1∩B)
P(B)+P(A2∩B) P(B)= PB(A1) + PB(A2).
PBest donc bien une probabilité sur Ω.
Définition 1 : Soient A, B ∈P(Ω) tels que P(B)6= 0. Le nombre PB(A)est appelé probabilté
conditionnelle de Asachant (que) B(est réalisé), aussi notée P(A|B).
Conséquences directes :
– Si A∩B=∅, alors PB(A) = 0 ;
– Si B⊂A, alors PB(A) = 1 (car A∩B=B) ;
– Si P(A)6= 0 et P(B)6= 0, alors P(A∩B) = PB(A) P(B) = PA(B) P(A).
Exemple : Une urne contient deux boules rouges et trois bleues. On fait deux tirages successifs sans remise.
Quelle est la probabilité de tirer deux boules bleues?
Soient Bil’événement « on tire une boule bleue au i-ième tirage » pour i∈ {1,2}. Alors :
P(B1∩B2) = PB1(B2) P(B1) = 1
2
3
5=3 10.
Théorème 2 (formule des probabilités composées) : Soient A1,...,An∈P(Ω) tels que P(A1∩
· · · ∩ An)6= 0. Alors : P(A1∩ · · · ∩ An) =
n
Y
i=1
P(Ai|Ai+1 ∩ · · · ∩ An).
démonstration :On effectue une récurrence sur l’entier n∈N∗:
•Initialisation : Pour n= 1, le résultat est évident.
•Hérédité : Supposons le résultat vrai au rang n−1, c’est-à-dire vrai pour n−1parties de Ωdont
la probabilité de l’intersection ne soit pas nulle. Alors
PA1∩(A2∩ · · · ∩ An)= P(A1|A2∩ · · · ∩ An) P(A2∩ · · · ∩ An)
H.R.
= P(A1|A2∩ · · · ∩ An)P(A2|A3∩ · · · ∩ An)···
P(An−1|An) P(An),
et le résultat est ainsi démontré au rang n, ce qui achève la récurrence. 