Examen final - MA300 - Analyse et algèbre linéaire
L2 UVSQ - Lundi 05/01/2025
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Exercice 1
(1) Soit f: ]0 ,+∞[→Rune fonction continue.
(a) On suppose que f(t)−→
t→0+2. Quelle est la nature de l’intégrale Z1
0
f(t)dt? Justifier en une ou deux
lignes.
(b) On suppose que f(t)−→
t→+∞2. Quelle est la nature de l’intégrale Z+∞
1
f(t)dt? Démontrer ce résultat.
(2) Soit A∈M2(R). On suppose que Apossède deux valeurs propres distinctes et que celles-ci sont des
entiers positifs. On suppose également que det(A)=9. Que vaut tr(A)?
(3) Soit f:R2→Rune fonction continue et a= (a1, a2)∈R2un point tel que
∀h= (h1, h2)∈R2, f(a1+h1, a2+h2)−f(a1, a2) = −h4
1+−1
2+ 3h1h4
2.
Montrer que le point aest alors un extremum local de fet préciser s’il s’agit d’un minimum local ou d’un
maximum local.
Exercice 2
Déterminer la nature des séries suivantes.
(a) un=1
Arctan(n)n
(b) vn=(−1)n
√nexp(e−n)(c) wn=√n+ 1 ln(n)−√nln(n+ 1).
Exercice 3
Soit α∈Ret A=
1 1 0
−α0α
0 1 1
.
(1) (a) Déterminer les valeurs propres de A. On constatera qu’elles ne dépendent pas de α.
(b) Déterminer, en fonction de α, si la matrice Aest diagonalisable ou non. Lorsque Aest diagonalisable,
déterminer une matrice inversible Pet une matrice diagonale Dtelles que A=P DP −1.On ne
demande pas de calculer la matrice P−1.
(c) Lorsque Aest diagonalisable, déterminer Anpour tout n∈N∗.
(2) À partir de maintenant, on suppose que An’est pas diagonalisable.
(a) Donner un vecteur non nul u=
u1
u2
u3
appartenant à Ker(A). De plus, calculer A
1
0
1
et
A
1
−α
0
. En déduire que A=QT Q−1avec Q=
u11 1
u20−α
u31 0
et T=
0 0 0
0 1 −α
0 0 1
.On
ne demande pas de calculer la matrice Q−1.
(b) Soient M, N ∈Md(R). À quelle condition sur Met Nla formule suivante est-elle vraie ?
∀n∈N,(M+N)n=
n
X
k=0 n
kMn−kNk.
1
(c) Soient M=
000
010
001
et N=
0 0 0
0 0 −α
0 0 0
. Calculer Mnet Nnpour tout n∈N.
(d) En déduire Tnpour tout n⩾2. En déduire, pour tout n⩾2,Anen fonction de Q,Q−1,net α.
(e) Par la méthode de votre choix, calculer Q−1. En déduire, pour tout n∈N, l’expression de An.
(f) Soient un,vnet wnles trois suites définies par u0= 1,v0= 1,w0=−1et, pour tout n⩾2,
un+1 =1
2(un+vn), vn+1 =1
2(un−wn)et wn+1 =1
2(vn+wn).
Déterminer, pour tout n⩾2, l’expression de un,vnet wnen fonction de n. La série de terme général
unconverge-t-elle ?
Exercice 4
Pour tout a > 0, on note J(a) = Z+∞
0
ln(t)
a2+t2dtsi cette intégrale converge.
(1) Montrer que, pour tout a > 0, l’intégrale J(a)converge.
(2) (a) Soit x > 1. En effectuant le changement de variable t=1
u, calculer I(x) = Zx
1
x
ln(t)
1 + t2dt.
(b) En déduire la valeur de J(1).
(3) En effectuant le changement de variable t=as, calculer J(a)pour tout a > 0.
Exercice 5
Soit f:R2→Rdéfinie par f(x , y) = 2(x−y)2−(x2+y)2.
(1) Déterminer les points critiques de f.
(2) Déterminer la nature (locale) de chacun des points critiques de f.
(3) La fonction fpossède-t-elle un minimum global sur R2? un maximum global sur R2?
Exercice 6
(1) Soit h: (u , v)∈R27→ h(u , v)∈Rune fonction de classe C1. On suppose que ∂h
∂u = 0. Montrer qu’il
existe une fonction a:R→Rde classe C1telle que, pour tout (u , v)∈R2,h(u , v) = a(v).
Indication : pour v∈Rfixé, calculer la dérivée k′(u)de la fonction k(u) = h(u , v).
(2) Soit f: (x , y)∈R27→ f(x , y)∈Rune fonction de classe C2. Soit également γ∈R∗. On suppose que
∀(x , y)∈R2,∂2f
∂x2(x , y) = γ2∂2f
∂y2(x , y).(1)
On pose, pour tout (u , v)∈R2,g(u , v) = f(u+v , γu −γv).
(a) Montrer que, pour tout (u , v)∈R2,∂2g
∂u∂v (u , v)=0.
(b) En déduire qu’il existe une fonction φ:R→Rde classe C1telle que, pour tout (u , v)∈R2,
∂g
∂v (u , v) = φ(v). Puis montrer qu’il existe deux fonctions Ψ : R→Ret Φ : R→Rde classe C2
telles que, pour tout (u , v)∈R2,g(u , v) = Ψ(u) + Φ(v).
(c) En déduire que, pour tout (x , y)∈R2,f(x , y)=Ψx
2+y
2γ+ Φ x
2−y
2γ.
(3) Réciproquement, soient Ψ : R→Ret Φ : R→Rdeux fonctions de classe C2. Montrer que la fonction
f(x , y)=Ψx
2+y
2γ+ Φ x
2−y
2γest de classe C2sur R2et vérifie la relation (1).
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