Chap1 Correction d’examens d’algèbre de la FST

Faculté des Sciences et Techniques de Tanger
Département des Sciences de Mathématiques
Correction d’examens d’algèbre de la FST
A. Arhrib
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Table des matières
1 Théorie des ensembles 3
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Chapitre 1
Théorie des ensembles
Exercice 1. Soit E un ensemble, A,Bet Ctrois sous ensembles de E. Montrer que :
1.) Montrer que A=Bsi et seulement si A∪B=A∩B
2.) est ce que C⊂A∪Bimplique C⊂Aou C⊂B?
Réponse :
1.) ⇒) Si A=Balors A∪B=A=B=A∩B.
⇐) Montrons que si A∪B=A∩Balors A=B. En effet :
On a A⊂A∪B=A∩B⊂B, donc A⊂B.
De même B⊂A∪B=A∩B⊂A, donc B⊂A.
Autre méthode : Montrons que A⊂B,∀x∈Aon a :
x∈A⇒x∈A∪B=A∩B
⇒x∈A et x ∈B
⇒x∈B
Donc A⊂B. De même on montre que B⊂A.
2.) Ce résultat n’est pas vraie, voici un contre exemple, il suffut de choisir Aet Btel
que A∩B6=∅.
A= [−1,1] ,B= [0,2],A∪B= [−1,2], on prend C= [−1
2,3 2], il est clair que C⊂A∪B
mais C6⊂ Aet C6⊂ B.
La résultat est vraie si A∩B=∅.
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Exercice 2. Soient A, B, C trois parties d’un ensemble E. Pour X⊂E, on note Xle
complémentaire de Xdans E. Démontrer que :
1.) A=A, 2.) A∩B=A∪B, 3.) A∪B=A∩B, 4.) (A∩B)∪C=
(A∪C)∩(B∪C)
Réponse :
1.)
∀x∈A⇔x /∈A
⇔x∈A
d’où A=A.
2.)
∀x∈A∩B⇔x /∈A∩B
⇔x /∈A ou x /∈B
⇔x∈A ou x ∈B
⇔x∈A∪B
donc A∩B=A∪B.
3.) De la même façon on montre que : A∪B=A∩B
4.)
∀x∈(A∩B)∪C⇔x∈(A∩B)ou (x∈C)
⇔((x∈A)et (x∈B)) ou (x∈C)
⇔((x∈A)ou (x∈C)) et ((x∈B)ou (x∈C))
⇔(x∈A∪C)et (x∈B∪C)
⇔x∈(A∪C)∩(B∪C)(1.1)
Conclusion : (A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C). Cette relation exprime la distritubitivité
de la réunion par rapport à l’intersection.
De même on montre que : (A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C)qui exprime la distritubitivité
de l’intersection par rapport à la réunion.
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Exercice 4. Soit A,Bet Ctrois éléments de P(E). prouver que :
a. Si (A∩B) = (A∩C)et (A∪B) = (A∪C)⇔B=C.
b. A∪(B∩(A∪C)) = A∪(B∩C)
Réponse :
a.) Montrons que B⊂C. Soit xun élément de B, alors x∈A∪B.xest donc élément
de A∪Cpuisque A∪B=A∪C.
Deux cas : i) x∈Cou ii) x∈A.
i) Si x∈Calors B⊂C(rien à montrer).
ii) Si x∈Aalors x∈A∩B=A∩C(car x∈B), donc x∈Cce qui implique que
B⊂C.
de la même manière on montre que C⊂Bet donc B=C.
Autre méthode :
On a : B=B∩E=B∩(A∪A)=(B∩A)∪(B∩A)=(C∩A)∪(B∩A), car
B∩A=C∩A.
De plus B∩A= (A∪B)∩A= (A∩A)
| {z }
∅
∪(B∩A)=(A∪C)∩A=C∩A.
Donc : B= (B∩A)∪(B∩A) = (C∩A)∪(B∩A)=(C∩A)∪(C∩A) = C.
La dernière égalité est facile est facile a voir : (C∩A)∪(C∩A) = C∩(A∪A) = C∩E=C.
b.)
A∪(B∩(A∪C)) = A∪((B∩A)∪(B∩C))
= (A∪(B∩A))
| {z }
A
∪(B∩C)
=A∪(B∩C)(1.2)
On rappelle que la différence symétrique de deux sous ensembles Aet Bde Eest
l’ensemble A∆B= (A−B)∪(B−A).
1. Montrer que A∆B= (A∪B)−(A∩B).
On sait que X−Y=X∩Y, donc :
A∆B= (A−B)∪(B−A)=(A∩B)∪(B∩A)
= ((A∩B)∪B)∩((A∩B)∪A)
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