Fiche1 Espace de Banach

Université Abdelmalek Essaâdi
Faculté des Sciences, Tétouan, Maroc
Travaux Dirigés
Théorie des Opérateurs
Master MAP
2024/2025
Exercice 1 :
Soit α= (αn)n∈N∗une suite de nombres strictement positifs, et 1≤p < ∞.
On note respectivement
ℓp
α=x= (xn)n∈N∗|xn∈C,∞
n=1
αn|xn|p<∞,
et
ℓ∞
α=x= (xn)n∈N∗|xn∈C,sup
n∈N∗
(αn|xn|)<∞.
Les espaces ℓp
αet ℓ∞ αsont munis des normes respectives
∥x∥p,α =∞
n=1
αn|xn|p1/p et ∥x∥∞,α = sup
n∈N∗
(αn|xn|).
1. Montrer que ℓp
αet ℓ∞ αsont des espaces de Banach.
2. On choisit αn= 1, pour toute n∈N. Montrer que si 1≤p < q ≤ ∞,
alors ℓp
1⊂ℓq 1, avec inclusion stricte et contractante :
∥f∥q≤ ∥f∥p∀f∈ℓp
1.
3. Soit c0,α ={x= (xn)n∈N∗|limn→∞ αnxn= 0}. Montrer que c0,α muni
de la norme ∥·∥∞,α est un espace de Banach.
Exercice 2 : Soit E=C1([−1,1]) l’espace des fonctions complexes con-
tinûment dérivables sur [−1,1].
1. On munit Ede la norme uniforme ∥f∥∞= sup (|f(x)| | x∈[−1,1]). Mon-
trer que (E, ∥ · ∥∞)n’est pas un espace de Banach. On pourra utiliser la
suite (fn)n∈N∗dénie par
fn(x) = x2+ 1
n2.
2. On munit E=C1([−1,1]) de la norme ∥f∥=∥f∥∞+∥f′∥∞. Montrer
que (E, ∥·∥)est un espace de Banach.
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Exercice 3 : Soit α∈]0,1]. On note J={(x, y)∈[0,1] ×[0,1] |x̸=y}.
Pour toute fonction f: [0,1] →C, on pose
pα(f) = |f(0)|+ sup
(x,y)∈J
|f(x)−f(y)|
|x−y|α.
On dénit l’espace
Lipα={f: [0,1] →C:pα(f)<∞}.
1. Montrer que Lipα⊂C([0,1]).
2. Montrer que pαest une norme sur Lipαvériant :
∀f∈Lipα,∥f∥∞≤pα(f).
3. Montrer que Lipαest complet pour cette norme.
4. Soient les fonctions fα, dénies par fα(x) = xα. Pour quelles valeurs de
γ∈]0,1] fα∈Lipγ.
5. Soit gla fonction continue dénie par
g(x) = 1
ln(x2)si x̸= 0, g(0) = 0.
Montrer qu’elle n’est dans aucun des Lipα.
6. Soit φla fonction dénie par
φ(x) = xln(x)pour x̸= 0, φ(0) = 0.
Montrer qu’elle n’est pas dans Lip1, mais qu’elle est dans Lipαpour α∈
]0,1[. Indication :
sup
t∈]0,1] t1−α|ln(t)|:= Cα<∞,
7. Soient α, β deux nombres tels que 0< β < α ≤1. Établir les inclusions
C1([0,1]) ⊂Lipα⊂Lipβ⊂C([0,1]).
Montrer que ce sont des inclusions strictes.
Exercice 4 :
Soit Eun espace normé et T∈L(E).
1. Montrer que ker(Tn)est fermé pour tout n∈N.
2. Supposons que Eest complet et que, pour tout x∈E, il existe n∈N
tel que x∈ker(Tn). Montrer que Test nilpotent (c’est-à-dire qu’il existe
d∈Ntel que Td= 0).
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3. Soit E=C[X]l’espace des polynômes complexes et notons pour P∈E,
∥P∥=∞
n=0
∥P(n)∥∞
avec ∥P∥∞= supx∈[0,1] |P(x)|et P(n)la dérivée d’ordre nde P. Vérier
que ∥P∥est bien une norme sur E.
4. Soit T:E→Edéni par T(P) = P′,P∈E. Vérier que T∈L(E).
(a) Montrer que pour tout P∈E, il existe n∈Ntel que P∈ker(Tn).
(b) Montrer que Tn’est pas nilpotent. Expliquer ce résultat.
Exercice 5 :
Soit E=C1([0,1]) l’espace des fonctions complexes de classe C1et F=
C([0,1]) l’espace des fonctions continues sur [0,1], munis de la norme ∥·∥∞.
Soit T:E→Fdéni par, pour tout f∈E,T(f) = f′. On note Gr(T) =
{(f, T (f)); f∈E}le graphe de T.
1. Montrer que G(T)est fermé dans E×F.
2. Montrer que Tn’est pas continue (on pourra utiliser la suite fn∈E,
fn(x) = xn).
3. Expliquer le résultat.
Exercice 6 :
Soit E=C([0,1]) l’espace des fonctions continues sur [0,1]. On considère
les deux espaces normés X= (E, ∥·∥∞)et Y= (E, ∥·∥1), où
∥f∥∞= sup
t∈[0,1]
|f(t)|et ∥f∥1=1
0
|f(t)|dt.
On désigne par Il’application identité de Xdans Y.
1. Montrer que Iest bijective et continue. Quelle est sa norme ?
2. Montrer que I−1n’est pas continue (on pourra utiliser la suite fn(t) = tn).
3. En déduire que Yn’est pas complet.
Exercice 7 : Propriétés du shift unilatéral
Soit H=ℓ2, et (ej)la base hilbertienne canonique de H, c’est-à-dire ejest
la suite dont tous les éléments sont nuls sauf celui de rang jqui vaut 1. On note
H0=Vect{en;n∈N∗}.
Soit S0:H0→H0l’application linéaire dénie par
∀n∈N∗, S0en=en+1,
puis prolongée à H0par linéarité.
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1. Montrer que S0peut être prolongée de manière unique sur Hentier comme
application linéaire continue Sde Hdans H. Montrer que S(le Shift
unilatéral) est isométrique. Quelle est sa norme ?
2. Montrer qu’il existe un élément T∈L(H)tel que T S =I, mais que S
n’est pas inversible dans L(H).
3. Montrer que, pour µ∈C, l’équation ⟨x, Sx⟩=µx n’admet que la solution
x= 0.
4. Soit λ∈C,p∈N∗. Résoudre l’équation Sx −λx =ep.
5. Soit λ∈Cavec |λ| ≤ 1. Montrer que
r= inf {∥(S−λI)x∥;∥x∥= 1}
est strictement positif. En déduire que Im(S−λI)est un sous-espace
fermé de H.
6. Soit λ∈Cavec |λ|= 1. Étudier la suite ((S−λI)fn)n∈N∗pour fn=
1
√nn
p=1 λ−pep. En déduire que G=Im(S−λI)n’est pas fermé dans H.
7. Montrer que le spectre σ(S)de Sest le disque unité fermé.
Exercice 8 :
Soit E=C([0,1]) muni de la norme ∥f∥∞= supx∈[0,1] |f(x)|et pour f∈E,
on dénit l’opérateur Tpar :
T f(x) = x
0
K(x, t)f(t)dt
où K(x, t)∈C([0,1] ×[0,1]). On note M= sup0≤x,t≤1|K(x, t)|.
1. Montrer que T∈L(E), c’est-à-dire que Test un opérateur linéaire borné
sur E.
2. Montrer que pour tout n≥1, on a
|Tnf(x)| ≤ Mn
n!xn∥f∥∞.
En déduire que pour tout n≥1,
∥Tn∥ ≤ Mn
n!.
3. Déterminer le spectre de T.
Exercice 9 : Opérateur de Volterra
Soit E=C([0,1]) muni de la norme ∥f∥∞et pour f∈E, on dénit
l’opérateur Tpar :
T f(x) = x
0
f(t)dt.
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1. (a) Montrer que pour n≥1, on a
Tnf(x) = x
0
Kn(x, t)f(t)dt
où Kn(x, t) = (x−t)n−1
(n−1)! .
(b) En déduire la valeur de la norme ∥Tn∥, pour n≥1.
2. Calculer la somme 
n≥1
Tn.
3. Résoudre l’équation (I−T)f=g, où g∈E.
Exercice 10 : Soit Aune partie d’un espace de Hilbert H.
1. Montrer que l’orthogonal de A, noté A⊥, est un sous-espace vectoriel fermé
de H.
2. Soit Fun sous-espace vectoriel fermé de H. Montrer que la projection
orthogonale PFsatisfait la relation suivante :
PF+PF⊥=IdH,
où IdHest l’opérateur identité sur H.
3. Montrer que F⊕F⊥=Het que (F⊥)⊥=F, où ⊕désigne la somme
directe des sous-espaces Fet F⊥.
4. Montrer l’ensemble (A⊥)⊥est le plus petit sous-espace vectoriel fermé de
Hcontenant A.
5. Si Yest un sous-espace vectoriel de H, on a (Y⊥)⊥=Y.
Exercice 11 :
1. Soient Met Ndeux sous-espaces orthogonaux d’un espace de Hilbert H.
Montrer que M⊕Nest fermé si et seulement si Met Nsont fermés.
2. Soit H=ℓ2(cf. D 1.15), ainsi que :
E=Vect{e2n, n ≥1}et F=Vect e2n+1 +1
ne2n+1, n ≥1
où (en, n ≥1) est la base canonique de H.
(a) Montrer que E∩F={0}.
(b) Montrer que E+Fn’est pas fermé dans H.
Exercice 12 : Soient Hun espace de Hilbert, Fun sous-espace vecto-
riel fermé séparable de H, et (en)n≥0une base hilbertienne du sous-espace F.
Montrer que pour tout vecteur x∈H, la projection orthogonale de xsur Fest
donnée par :
PF(x) =
+∞
k=0
⟨x, ek⟩ek.
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