Intégrales Simples et Multiples: Introduction et Techniques de Calcul

Chapitre I Intégrales Simples et Multiples
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2éme Année ELT
Module : Maths 3
Chapitre I
Les intégrales simples et multiples
1.1 Introduction sur les intégrales de Bernhard Riemann
Bernhard Riemann a, le premier, donné une définition précise de l’intégrale définie
d’une fonction irrégulière continue ou continue par morceau.
L’intégrale d’une fonction continue f (x) sur un intervalle [a; b] notée
est interprétée comme l’aire (ou surface S) comprise entre le graphe de
f, l’axe (OX) et les droites d’équations x=a et x=b
L’idée fondamentale de Riemann est la suivante : on découpe le graphe de la
fonction par des lignes verticales en obtenant des colonnes de même largeur. Dans
chaque colonne, on considère le rectangle de hauteur minimale sous le graphe et le
rectangle de hauteur maximale au-dessus du graphe.
Si, à mesure que l’on resserre les lignes verticales, la somme des aires des petits
rectangles tend vers la somme des aires des grands rectangles, on dit que la
fonction est intégrable au sens de Riemann.
y= f(x)
y
x
a
b
n rectangles
Sinf(n)
f(b)
x
f(a)
Surface des
erreurs
Δx
y
a
b
y= f(x)
n rectangles
y
x
a
b
Ssup(n)

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En subdivisant [a ; b] en n sous intervalles [xi-1 ; xi] de même largeur Δx = (b-a)/n
On définit l’intégrale def sur [a ; b] par :
Pour bien comprendre prenant un simple exemple
Soit la fonction : f(x) = x xϵ [a, b]
Calculons la surface entre x=a et x=b et l’axe des abscisses
Sn la somme des surfaces des n rectangles
La largeur de chaque rectangle est Δx
Sn = s1 + s2 + s3 + s4 +…… sn
Sn =Δxf(a+Δx) +Δxf(a+2Δx) +Δxf(a+3Δx) +….….+Δxf(b).
b =a+nΔx →Δx= (b-a)/n
f(a+Δx) = a+Δx, f(a+nΔx)= a+nΔx
Alors Sn = Δx (a+ Δx) + Δx (a+ 2Δx) + Δx (a+3Δx).……….+Δx (a+nΔx)
Sn = n.a.Δx + Δx2+ 2Δx2+ 3Δx2+…….nΔx2
Sn = n.a.Δx + Δx2(1+2+3+…..+n)
(1+2+3+…..+n) = n(n+1)/2 suite arithmétique
Donc 
La surface 
Pour vérifier, on calcule l’intégrale :
f(x) = x
y
x
a
b
b-a

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1.2 Définition d’une primitive
Si f est une fonction continue sur [a; b], alors pour x ϵ [a; b], l’intégrale 
où la borne supérieure varie, désigne une fonction de la variable ici notée x.
Si f est une fonction continue alors F est dérivable et vérifie F'(x) = f (x)
La fonction F est appelée la primitive de f.
1.2.1 Intégrale définie: 
 représente l’aire algébrique.
1.2.2 Intégrale indéfinie : La notation « sans bornes »  désigne une
primitive quelconque de f (x) et on appelle cette notation» intégrale indéfinie.
 telle que c une constante.
Les calculs d’intégrales indéfinies se terminent toujours par une constante « c »,
Deux primitives quelconques d’une même fonction dans un intervalle diffèrent
d’une constante c, donc la primitive de f n’est pas unique dans les intégrales
indéfinies.
1.2.3 Intégrales généralisées : La méthode de Riemann ne peut s’appliquer qu’à
des intégrales dans un intervalle borné.
- Pour calculer
on commence par calculer puis, avec le
résultat obtenu on cherche la limite lorsque  , bien sûr si la limite existe.
- De même pour 
 (si la limite existe).
- Pour la notation
 on sépare l’intégrale en deux parties pour pouvoir
traiter séparément les deux limites
(si ces deux limites existent
séparément) et c’est un réel quelconque que l’on peut choisir.

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1.2.4 Propriétés usuelles : Nous admettons les propriétés suivantes :
-. Positivité : Si f (x) ≥ 0 pour tout x de [a; b] avec a <b alors
-. Conservation de l’ordre (Monotonie): Si f (x) <g(x) pour tout x de [a; b] avec :
a <b alors 
 .
-. Linéarité :
-. Relation de Chasles :
-. Symétries : 
- Période : si f a pour période T alors
,
-. Inégalité triangulaire : Dans tous les cas :
1.2.5 Primitives de quelques fonctions
 , 
1.3 Techniques d’intégration
C’est malheureusement, on ne connaît pas les primitives de la plupart des
fonctions, cependant nous allons voir des techniques qui permettent des calculer
des intégrales et des primitives.

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1.3.1 Décomposition en somme (en éléments simples)
Si une fonction  et si  ont des primitives, on
calcule : 
Exemple 1:
Exemple 2 :
1.3.2 Intégration par parties
Soient u et v deux fonctions à dérivées continues sur un intervalle [a, b].
La formule d’intégration par parties est donnée par :
- Pour les intégrales indéfinies : 
- Pour les intégrales définies : 
Remarque : L’intégration par parties est commode (simple) dans les cas où f (x)
est de l’une des formes suivantes :
 ,    .
P(x) étant un polynôme  .
Exemple 1 : (intégrale de type : )
,
Posons :  
Alors :  