Dérivation vectorielle & Coordonnées : Cylindriques & Sphériques

Q Dérivation vectorielle – Bases de projection (33-103) Page 1 sur 5 JN Beury
DÉRIVATION VECTORIELLE
COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES
I. DÉRIVATION VECTORIELLE
I.1Définition
Soit
()
123
,,eee
GGG une base orthonormée directe. Soit
(
)
123
,,,Oe e eℜ=
G
GG un référentiel.
On considère un vecteur quelconque qui dépend du temps t. On projette ce vecteur dans la base
()
123
,,eee
GGG :
(
)
(
)
(
)
(
)
112 23 3
A
t x te x te x te=++
G
G
GG
Par définition, la dérivée de
()
A
t
G
par rapport au temps t et relativement au référentiel
ℜ
est :
11 2 2 3 3
d
d
A
x
exexe
tℜ
=++
G
G
GG
Rappels : les vecteurs
()
123
,,eee
GGG sont fixes dans le référentiel
ℜ
.
I.2 Propriétés
()
ddd
ddd
AB
A
B
ttt
ℜ
ℜ
ℜ
+
=+
GGG
G
()
dd
dd
A
A
tt
λλ
ℜ
ℜ
=
GG
si
λ
est un réel constant.
I.3 Dérivée d’un produit scalaire
()
ddd
ddd
uv vu
uv
ttt
ℜℜ
ℜ
⋅ 
=⋅ +⋅
GG GG
GG
I.4 Dérivée d’un produit vectoriel
()
d^ dd
^^
dd d
uv uv
vu
tt t
ℜℜ
ℜ
=+
GG GG
GG
Attention : l’ordre des vecteurs est impératif.
I.5 Conclusion
La dérivée d’un vecteur
(
)
A
t
G par rapport au temps dépend du référentiel.
On verra plus tard la relation entre d
d
A
tℜ
G
et
'
d
d
A
t
ℜ
G
.
S’il n’y a aucune ambiguïté dans l’exercice, on peut oublier la notation
ℜ
et écrire d
d
A
t
G
.
En mécanique, tous les vecteurs peuvent varier a priori. On utilisera les mêmes règles de dérivation qu’avec des
fonctions. Dans les chapitres qui suivront, on travaillera dans un seul référentiel par contre, on projettera le résultat (par
exemple le vecteur vitesse) dans telle ou telle base de projection (base des coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques).
()
(
)
()
ddd
ddd
tu tv uv
uv
ttt
αβ αα ββ +=+ ++
G
G
G
G
GG
Si
()
123
,,,Oe e eℜ= GG G et
() () ()
(
)
112 23 3
A
t x te x te x te=++
GGGG
, on retrouve facilement 11 2 2 3 3
d
d
A
x
exexe
tℜ
=++
G
GGG
puisque
()
123
,,eee
GGG est fixe dans ℜ.

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m
H
II. COORDONNÉES CARTÉSIENNES
On considère un point M et le référentiel
(
)
;,,
x
yz
Ou u uℜ=
G
GG. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le
référentiel ℜ.
Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes
(
)
,,
x
yz .
,,
x
yz−∞ < < ∞
x
yz
OM xu yu zu=++
JJJJGGGG
dd ddd
dd d d d
x
yz x y z
OM l x y z
vxuyuzuuuu
tt t t t
= ==++=++
JJJJGG
GGGGGGG
Le déplacement élémentaire vaut : d'ddd
x
yz
lMM xu yu zu==++
J
JJJJG
G
G
GG
.
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On en déduit : dddd
x
yz
τ
=.
x = cte : ddd
x
Syz=
y = cte : ddd
y
Sxz=
z = cte : ddd
z
Sxy=
III. COORDONNÉES CYLINDRIQUES OU SEMI-POLAIRES
III.1 Définition
On considère un point M et le référentiel
(
)
;,,
x
yz
Ou u uℜ=
G
GG. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le
référentiel ℜ. Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques
(
)
,,rz θ .
On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l’axe Oz joue un rôle important dans l’exercice.
On définit le point H projeté orthogonal de M sur l’axe Oz et le
point m projeté orthogonal de M dans le plan Oxy.
On définit le vecteur radial r
u
G
dirigé de O vers m.
On définit le vecteur orthoradial u
θ
G tel que la base
(
)
,,
rz
uuu
θ
G
GG
soit orthonormée directe.
On a alors rz
OM Om mM ru zu=+ =+
JJJJGJJJGJJJJG GG
Pour recouvrir l’espace une seule, on astreint ces coordonnées à rester dans les intervalles :
0,02,rz
θ
π ≤<∞ ≤≤ −∞<<+∞
En physique, on a toujours r ≥ 0.

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On peut passer facilement des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes :
cos
sin
xr
yr
zz
θ
θ
=
=
=
Si z = 0, le mouvement est plan. On dit que l’on a des coordonnées polaires.
On retient par cœur :
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques
(
)
,,rz θ . On a : rz
OM ru zu=+
J
JJJG
G
G
Remarque : ne pas rajouter une coordonnée suivant le vecteur orthoradial !!! On retrouve cette formule avec le schéma et la
relation de Chasles.
III.2 Base des coordonnées cylindriques
À chaque instant t, on a donc une base orthonormée directe
(
)
,,
rz
uuu
θ
G
GG . On verra que cette base de projection sera très
pratique à utiliser dans les exercices où la distance à un axe joue un rôle important.
Soit
A
G un vecteur quelconque.
Ce vecteur quelconque peut être projeté dans :
• la base des coordonnées cartésiennes.
A
G
a pour coordonnées
(
)
,,
xyz
A
AA . On a alors : xx yy zz
A
Au Au Au=++
GGGG
• la base des coordonnées cylindriques.
A
G
a pour coordonnées
(
)
,,
rz
A
AA
ϑ
. Ar est appelée coordonnée radiale,
A
θ
est appelé coordonnée orthoradiale. On a alors : rr zz
A
Au Au Au
θθ
=++
G
G
GG
III.3 Dérivation des vecteurs unitaires
Comment dériver r u
G et u
θ
Gpar rapport au temps dans le référentiel
ℜ
? La méthode est de projeter dans ce référentiel et
de calculer la dérivée des différentes composantes.
On a donc : cos sin
sin cos
rxy
xy
uuu
uuu
θ
θθ
θ
θ
=+
=− +
GGG
GGG
ddsin cos
dd
rr
xy
uu uuu
tt
θ
θ
θθθ θ
ℜ
==− + =
GG GGG
ddcos sin
dd xyr
uu uuu
tt
θθ
θ
θθθ θ
ℜ
==− − =−
GG GGG
d
d
r
uu
t
θ
θ
ℜ
=
G
G
 ; d
dr
uu
t
θ
θ
ℜ
=−
G
G
Il faut connaître par cœur le résultat et surtout la méthode consistant à projeter dans une base de projection fixe
dans le référentiel ℜ.
III.4 Vitesse du point M et déplacement élémentaire
() ()
d
ddd d dd
ddd d d d d
r
rz r z r z
u
OM l r z
vM v ruzu rur zu ur u u
ttt t t t t
θ
θ
ℜ== = = + = + + = + +
JJJJGG
G
GG GGG GGGG
Comme dd d d
dd d d
rz
lr z
ur u u
tt t t
θ
θ
=+ +
G
GGG
, on a : dd d d
rz
lruruzu
θ
θ =+ +
G
G
GG
Interprétation graphique :
• Si
θ
et z sont fixés. On fait varier r de dr. Le point M se déplace
parallèlement à r
u
G de dr. On retrouve donc : dd
r
lru=
G
G
.
• Si r et z sont fixés. On fait varier
θ
de d
θ
. Le point M se déplace
parallèlement à u
θ
G sur le cercle de centre H et de rayon r. Comme la
variation d’angle vaut d
θ
, le déplacement est donc dr
θ
, d’où
ddlru
θ
θ
=
GG
• Si r et
θ
sont fixés. On fait varier z de dz. Le point M se déplace
parallèlement à
z
u
G de dz. On retrouve donc : dd
z
lzu=
G
G

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•
m
La vitesse du point M vaut : ddd
ddd
rz
rz
vuru u
ttt
θ
θ
=+ +
G
GGG
Le déplacement élémentaire vaut : d'ddd
rz
lMM ruru zu
θ
θ ==+ +
J
JJJJG
G
G
GG
.
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
Ces résultats sont à connaître par cœur et peuvent s’en déduire graphiquement.
r
u
G est dans le sens des r croissants. De même pour u
θ
G
et
z
u
G
dans le sens des
θ
et z croissants.
On en déduit :
()( )()
ddddrr z τθ =.
r = cte : ddd
r
Sr z
θ
=
θ
= cte : dddSrz
θ
=
z = cte : ddd
z
Srr
θ
=
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr.
()
2
222 22 2
d2d
d1 12d
rr
rrHrH r HrH r HrH rrH
rr
πππ ππ ππ
+−=+ −=+ −=
Le volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre de
rayon r et de hauteur H multipliée par dr : d2drrH
τ
π
=
IV. COORDONNÉES SPHÉRIQUES
IV.1 Définition
On considère un point M et le référentiel
(
)
;,,
x
yz
Ou u uℜ=
G
GG. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le
référentiel ℜ. Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques
(
)
,,r
θ
ϕ .
On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans l’exercice.
On appelle r la distance OM. Soit r
u
G le vecteur unitaire dirigé de O vers M. On a alors : r
OM ru=
JJJJGG.
Soit m le projeté orthogonal de M dans le plan Oxy. On définit
(
)
,
x
uOm ϕ =
J
JJG
G
et
(
)
,
z
uOM θ =
J
JJJG
G
On définit donc 3 vecteurs unitaires
()
,,
r
uuu
θϕ
GGG .
r
u
G est dans le sens des r croissants. De même pour u
θ
G
et u
ϕ
G
dans le sens des
θ
et
ϕ
croissants.
Géographie terrestre :
r
u
G est dirigé selon la verticale ascendante du lieu.
u
θ
G est dirigé vers le sud.
u
ϕ
G est dirigé vers l’est.
θ
est appelé la colatitude.
ϕ
est la longitude.

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0,0,02r
θ
πϕπ ≤<∞ ≤ ≤ ≤ ≤
r
OM ru=
JJJJGG
sin cos
sin sin
cos
xr
yr
zr
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
=
=
=
IV.2 Dérivation des vecteurs unitaires
• Soit u
G le vecteur unitaire dirigé de O vers m.
On a : cos sin
r
uku
θ
θ =+
G
GG
avec cos sin
xy
uuu
ϕϕ
=+
GGG
. D’où cos sin cos sin sin
rxy
uk u u
θ
θϕ θϕ =+ +
G
G
GG
• Si on remplace
θ
par 2
π
θ
+
, remplace r u
G par u
θ
G
.
On a donc : cos sin cos sin sin
22 2
xy
uk u u
θ
ππ π
θ
θϕθϕ
=+++ ++
G
GGG
, d’où
sin cos cos cos sin
xy
uk u u
θ
θ
θϕ θϕ =− + +
G
GGG
• On a : cos sin sin cos
22
xyxy
uuuuu
ϕ
ππ
ϕϕ ϕϕ
=+++=− +
GGGGG
• dsin cos cos sin sin cos sin sin cos
d
r
xyy
uku u u
t
θ
θθθϕ ϕθϕθθϕ ϕθϕ =− + − + +
GGGGG
On a donc : dsin
d
r
uuu
t
θϕ
θϕ
θ =+
GGG
IV.3 Vitesse du point M et déplacement élémentaire
() ()
dd
dd d d d
sin sin
dd d d d d d
rr
rr r
ru u
OM l r
vrurrururuururu
tt t t t t t
θ
ϕθϕ
θ
ϕ
θθϕ θ
=== =+ =++ =+ +
JJJJGGGG
GGGGGGGG
Interprétation graphique :
• Si
θ
et
ϕ
sont fixés. On fait varier r de dr. Le point M se déplace parallèlement à r u
G
de dr. On retrouve donc :
dd
r
lru=
GG.
• Si r et
ϕ
sont fixés. On fait varier
θ
de d
θ
. Le point M se déplace parallèlement à u
θ
G sur le cercle de centre O et
de rayon r. Comme la variation d’angle vaut d
θ
, le déplacement est donc dr
θ
, d’où ddlru
θ
θ
=
GG
• Si r et
θ
sont fixés. On fait varier
ϕ
de d
ϕ
. Le point m se déplace parallèlement à u
ϕ
G sur le cercle de centre O et
de rayon sinOm r
ϕ
=. Comme la variation d’angle vaut d
ϕ
, le déplacement est donc sin dr
ϕ
ϕ , d’où
dsindlr u
ϕ
θ
ϕ =
GG
Le déplacement élémentaire vaut : d'ddsind
r
lMM rurur u
θ
ϕ
θ
θϕ ==+ +
J
JJJJG
G
G
GG
.
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
Ces résultats sont à connaître par cœur et peuvent s’en déduire graphiquement.
r
u
G est dans le sens des r croissants. De même pour u
θ
G
et u
ϕ
G
dans le sens des
θ
et
ϕ
croissants.
On en déduit :
()( )( )
dddsindrr r
τ
θθϕ =.
r = cte :
()( )
ddsind
r
Sr r
θ
θϕ =
θ
= cte :
()( )
ddsindSrr
θ
θ
ϕ =
ϕ
= cte : dddSrr
ϕ
θ
=
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr.
()
3
333 33 32
444d443d4
d1 14d
333 33 3
rr
rr r r r r r rr
rr
πππ ππ ππ
+− = + − = + − =
Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr est la surface de la sphère de
rayon r multipliée par dr : 2 d4drr τπ =