MPSI1 2025-2026: Devoir Maison N°1 - Exercices d'Analyse

MPSI1 2025-2026
DEVOIR MAISON N°1
– À REMETTRE LE LUNDI 03 NOVEMBRE 2025 –
Exercice 1 -
Soient a,b∈Rdeux réels tels que 0 <a6b
On note : ϕ: ]0,+∞[−→ R
t7−→ (1+t)ln(1+t)
t
ainsi que : ψa,b: ]0,+∞[−→ R
x7−→ ln(1+ax)
ln(1+bx)
1. Étudier la monotonie de ϕsur ]0,+∞[
2. Établir, grâce à la question précédente, que ψa,best monotone sur ]0,+∞[ , et préciser sa monotonie.
3. En déduire l’inégalité : ln³1+a
b´×lnµ1+b a¶6(ln2)2
Exercice 2 -
La fonction sécante, notée sec, est la fonction :
sec : i−π
2,π 2h−→ R
x7−→ sec(x)=1
cosx
1. Montrer que sec est dérivable sur ¤−π
2,π 2£et calculer sec0(x)
2. Montrer que sec induit une bijection de £0, π
2£sur un intervalle que l’on précisera
(énoncer soigneusement les hypothèses requises)
On appelle fonction arcsécante, et on note arcsec, l’application réciproque de cette bijection induite.
3. (a) Donner la définition théorique de la fonction arcsec
(b) Soit xun point du domaine de définition de la fonction arcsec.
Expliciter arcsec(x) à l’aide de la fonction arccos
4. Donner, en justifiant, et sans utiliser 3.(b) :
(a) le domaine de continuité de la fonction arcsec
(b) le domaine de dérivabilité de la fonction arcsec
5. Soit xun point du domaine de dérivabilité de la fonction arcsec
(a) Simplifier au maximum les expressions cos(arcsec(x)) et sin(arcsec(x))
(b) En déduire une expression de arcsec0(x) aussi simple que possible :
•d’une part, en utilisant 3.(b)
•d’autre part, sans utiliser 3.(b)
6. Dresser le tableau de variation de arcsec (indiquer les valeurs/limites aux extrémités sans justifier)
7. Tracer sur une même figure les courbes représentatives des fonctions sec (sur £0, π
2£) et arcsec
Exercice 3 -
Résoudre l’équation E: arctanµx−1
x−2¶+arctanµx+1 x+2¶=π 4, d’inconnue x∈R\{±2}

Exercice 4 -
Montrer, pour tout x∈R: ch x6ex2
2
On pourra introduire la fonction ϕ:x7−→ ln(chx)−x2
2
Exercice 5 - Détermination de « familles de primitives » grâce à une relation de récurrence
Dans cet exercice, on étudie deux exemples classiques et importants de détermination de familles de primitives,
par récurrence et grâce à la formule d’intégration par parties.
1. Pour tout n∈N∗, on note Fn:R−→ Rla fonction définie sur Rpar Fn(x)=Zx
0
1
(t2+1)nd t
(a) Calculer F1(x)
(b) Soit n∈N∗
En procédant à une intégration par parties, exprimer Fn+1(x) en fonction de Fn(x)
(c) Calculer à présent F2(x) puis F3(x)
2. Pour tout n∈N∗, on note Fn:R−→ Rla fonction définie sur Rpar Fn(x)=Zx
0
1
chntdt
(a) Calculer F1(x) et F2(x)
(b) Soit n∈N∗
En procédant à une intégration par parties, exprimer Fn+2(x) en fonction de Fn(x), net x
(c) Calculer à présent F3(x) puis F4(x)
Exercice 6 - Développement en série du nombre ex
Soit x∈R
On considère la suite (un)n∈Nde terme général un=1
n!·Zx
0(x−t)n·etdt
1. Soit n∈N
Exprimer un+1en fonction de un
2. En déduire, pour tout n∈N:un=ex−
n
X
k=0
xk
k!
3. Soit n∈N
(a) Montrer : |un|6e|x|·|x|n+1
(n+1)! (distinguer les cas x >0et x 60)
(b) En déduire : lim
n→+∞ un=0
(on admettra que par croissances comparées : lim
n→+∞
|x|n
n!=0, même lorsque |x| > 1, cf. « Suites » )
Culture mathématique :
Ce résultat se réécrit : lim
n→+∞
n
X
k=0
xk
k!=exi.e.
+∞
X
k=0
xk
k!=ex(développement en série du nombre ex)