Une transformation conforme.

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PCSI - année 1999 - 2000
DEVOIR SURVEILLÉ N°2
I Implication.
Hachurer les ensembles suivants :
 xy1xy/
y
x
M
et
 1xyxy/
y
x
M
.
II Raisonnement par récurrence.
Démontrer que pour tout couple (p, q) d’entiers ≥ 1,
(p2k)Cp
k
k0
q1
qCp
q
.
III Calcul de somme.
Calculer et factoriser
ij
1ijn
.
IV Raisonnement par l’absurde.
Le nombre log 2 (= log10 2) est il rationnel ?
V Raisonnement par analyse et synthèse.
Démontrer que pour tout entier naturel N, il existe une unique suite
ak  k0
de
nombres égaux à 0 ou 1, nulle à partir d’un certain rang, telle que
Nak2k
k0
(comme les ak sont nuls à partir d’un certain rang, il n’y a qu’un nombre fini de
termes non nuls dans cette somme). Déterminer cette suite pour N = 2n, N = 2n-1.
VI Raisonnement par disjonction des cas.
1) a) Calculer
22
 2
.
b) Montrer qu’il existe un irrationnel qui, élevé à une puissance irrationnelle,
donne un rationnel.
2) Résoudre dans R2 le système de paramètre m :
mx y1
xmy m2

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VII Coefficients du binôme.
1) n et p sont des entiers naturels ; montrer que si p  2,
)1p(p n
Cp
p
n
.
2) Montrer qu’on peut écrire
1pb p
a
)1p(p 1
; en déduire
n
2p )1p(p 1
.
3) En déduire
3
n
1
1n
pour tout n  2 puis
2nn 3.2 1
n!n
pour tout n  2.
4) Déterminer
n
nn
1
1lim 
.
VIII Fonctions usuelles.
A. Les fonctions sécante et arc sécante.
1) Étudier la fonction sec définie par sec(x) =1/cos(x) (ensemble de définition,
ensemble d’étude, dérivée, variations, tracé).
2) Montrer que la fonction sec est inversible sur [0, π/2[. Définir sa fonction
réciproque, notée arcsec. Ensemble de définition, de continuité, de dérivabilité de la
fonction arcsec ?
3) Calculer arcsec’(y). Tracer la courbe de la fonction arcsec dans la figure du 1).
4) Calculer arcsec(x) à l’aide de fonctions du cours.
B. Les fonctions sécante hyperbolique et argument sécante hyperbolique.
1) Étudier la fonction sch définie par sch(x) =1/ch(x) (ensemble de définition,
ensemble d’étude, dérivée, variations, tracé).
2) Déterminer et tracer les points d’inflexion de la courbe de sch, c’est-à-dire les
points de coordonnées
x0
y0
tels qu’en x0 la dérivée seconde de sch s’annule en
changeant de signe.
3) Montrer que la fonction sch est inversible sur [0, +∞[. Définir sa fonction
réciproque, notée argsch. Ensemble de définition, de continuité, de dérivabilité de la
fonction argsch ?
4) Calculer argsch’(y). Tracer la courbe de la fonction argsch dans la figure du 1).
5) Calculer argsch(x) à l’aide de la fonction ln.