Une transformation conforme.

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PCSI - année 1999 - 2000
DEVOIR SURVEILLÉ N°2
I Implication.
Hachurer les ensembles suivants :
 x

 x

M / xy  1  y  x  et M / y  x  xy  1 .
 y

 y

II Raisonnement par récurrence.
q1
Démontrer que pour tout couple (p, q) d’entiers ≥ 1,
 (p  2k)C
k
p
 qCqp .
k 0
III Calcul de somme.
Calculer et factoriser
 ij .
1 i  jn
IV Raisonnement par l’absurde.
Le nombre log 2 (= log10 2) est il rationnel ?
V Raisonnement par analyse et synthèse.
Démontrer que pour tout entier naturel N, il existe une unique suite a k k 0 de
k
nombres égaux à 0 ou 1, nulle à partir d’un certain rang, telle que N   a k 2
k 0
(comme les ak sont nuls à partir d’un certain rang, il n’y a qu’un nombre fini de
termes non nuls dans cette somme). Déterminer cette suite pour N = 2n, N = 2n-1.
VI Raisonnement par disjonction des cas.
1)
a) Calculer
 .
2
2
2
b) Montrer qu’il existe un irrationnel qui, élevé à une puissance irrationnelle,
donne un rationnel.
2) Résoudre dans R2 le système de paramètre m :
mx  y  1

2
x  my  m
2
VII Coefficients du binôme.
1) n et p sont des entiers naturels ; montrer que si p  2, C pn 
2) Montrer qu’on peut écrire
1
a
b
 
; en déduire
p(p  1) p p  1
np
.
p(p  1)
n
1
 p(p 1) .
p2
n
n!
1
 1
3) En déduire 1    3 pour tout n  2 puis n 
pour tout n  2.
n
2.3n  2
 n
n
 1
4) Déterminer lim 1   .
n 
 n
VIII Fonctions usuelles.
A. Les fonctions sécante et arc sécante.
1) Étudier la fonction sec définie par sec(x) =1/cos(x) (ensemble de définition,
ensemble d’étude, dérivée, variations, tracé).
2) Montrer que la fonction sec est inversible sur [0, π/2[. Définir sa fonction
réciproque, notée arcsec. Ensemble de définition, de continuité, de dérivabilité de la
fonction arcsec ?
3) Calculer arcsec’(y). Tracer la courbe de la fonction arcsec dans la figure du 1).
4) Calculer arcsec(x) à l’aide de fonctions du cours.
B. Les fonctions sécante hyperbolique et argument sécante hyperbolique.
1) Étudier la fonction sch définie par sch(x) =1/ch(x) (ensemble de définition,
ensemble d’étude, dérivée, variations, tracé).
2) Déterminer et tracer les points d’inflexion de la courbe de sch, c’est-à-dire les
x0
points de coordonnées
tels qu’en x0 la dérivée seconde de sch s’annule en
y0
changeant de signe.
3) Montrer que la fonction sch est inversible sur [0, +∞[. Définir sa fonction
réciproque, notée argsch. Ensemble de définition, de continuité, de dérivabilité de la
fonction argsch ?
4) Calculer argsch’(y). Tracer la courbe de la fonction argsch dans la figure du 1).
5) Calculer argsch(x) à l’aide de la fonction ln.